Прямі та обернені спектральні задачі для демпфованих механічних систем

Анотація

Пивоварчик В. Н. Прямі та обернені спектральні задачі для демпфованих механічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03. -- математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню прямих (опис спектрів або, так званих, спектральних даних, їх асимптотик) та обернених (побудова параметрів cтрун, в тому числі неоднорідної густини) задач, що пов'язані з малими демпфованими коливаннями струн та стержнів скінченної та нескінченної довжини. Крім того розглянуті прямі та обернені задачі на зіркоподібному та на петлеподібному графах, що породжені рівнянням Штурма-Ліувілля. Для цього дослідження отримані нові результати про розташування спектрів поліноміальних (в основному квадратичних) в'язок. Досліджені питання існування та єдиності розвязків обернених задач. Використовуються результати теорії цілих функцій Ерміта-Білера а також класичні результати В.А. Марченка з теорії обернених задач.

Ключові слова: рівняння Штурма-Ліувілля, рівняння Шредінгера, потенціал, крайова задача, спектр, функції Ерміта-Білера, узагальнений клас функцій Ерміта-Білера, функції типу синуса, поліноміальні та квадратичні операторні в'язки, нормальні власні значення, істотний спектр, S-матриця, функція Йоста, обернені задачі, демпфовані струни, малі поперечні коливання, крайові умови, залежність від спектрального параметра, рівняння Марченка, асимптотика, в'язко-пружний стержень, гіроскопічна стабілізація, пружна півсмуга.

Аннотация

Пивоварчик В. Н. Прямые и обратные задачи для демпфированных механических систем. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.03. -- математическая физика. - Інститут математики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена исследованию спектров малых поперечных колебаний демпфированных струн и стержней, а также решению обратных задач для демпфированных струн, прямых и обратных задач для уравнения Штурма-Лиувилля с линейными и квадратичными по спектральному параметру условиями или (и) с линейным по спектральному параметру потенциалом на конечном интервале, на полуоси и на всей оси, а также прямых и обратных задач Штурма-Лиувилля на графах. Краевые задачи, описывающие малые поперечные колебания демпфированных гладких неоднородных струн, сводятся к краевым задачам Штурма-Лиувилля с потенциалом и краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра. В большинстве рассматриваемых в диссертации случаев речь идет о струнах конечной длины, поэтому спектры их колебаний - дискретные. Влияние трения приводит к диссипации энергии, что выражается в том, что спектры таких струн лежат в открытой (например, в случае трения на одном конце) или в замкнутой (в случае трения в центре) верхней полуплоскости. Это позволяет отождествить спектры таких задач, с одной стороны, со спектрами квадратичных операторных пучков определенного класса, с другой стороны, с множествами корней целых функций класса Эрмита-Билера или обобщенного класса Эрмита-Билера. В диссертации получены и использованы при решении обратных задач результаты об инвариантности относительно возмущений суммарной алгебраической кратности спектров квадратичных операторных пучков определенного вида в полуплоскости спектрального параметра. При слабых условиях на гладкость струны показано, что при условиях демфирования на правом конце и самосопряженных условиях из широкого класса на левом конце спектр задачи отделен от вещественной оси. При решении обратных задач использованы также известные результаты из теории целых функций Эрмита-Билера, а также классические методы решения обратных задач Штурма-Лиувилля на конечном интервале, на полуоси и на всей оси. Решены обратные задачи восстановления плотности неоднородной гладкой струны и других ее параметров по спектру и длине струны для случаев вязкого трения на одном конце при закрепленном втором, для случая закрепленных концов и вязкого трения в центре, для случая, когда струна демпфирована на всем своем протяжении и несет сосредоточенную массу на правом конце при закрепленном левом. Получены условия, при выполнении которых последовательность комплексных чисел является спектром демпфированной струны. Решена обратная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на звездообразном компактном графе с тремя ребрами. При этом потенциал восстанавливается по спектру краевой задачи на графе и спектрам трех краевых задач Дирихле на ребрах. Решена обратная задача на некомпактном петлеобразном графе. При этом потенциал предполагается не равным нулю только на кольце и восстанавливается по функции Йоста. Найдены закономерности в расположении собственных значений задач Штурма-Лиувилля на полуоси и на всей оси для случая потенциала вида , где q(x) - вещественная быстро убывающая функция, а p(x) - неотрицательная быстро убывающая функция, а - спектральный параметр. Решена обратная задача для уравнения Шредингера на всей оси с потенциалом линейным по спектральному параметру, стремящимся к отрицательной постоянной при . При этом потенциал восстанавливается по S-матрице и информации о собственных значениях и некоторых константах (аналогах связанных состояний и нормировочных констант). Изучен дискретный спектр в задаче о малых поперечных колебаниях вязко-упругого полубесконечного стержня в среде с вязким трением. Получены необходимые условия гироскопической стабилизации в задаче о малых поперечных колебаниях упругого трубопровода, несущего установившийся поток идеальной жидкости. Найдены оценки количества (с учетом кратностей) вещественных собственных значений задачи, описывающей малые поперечные колебания упругой полуполосы.

Ключевые слова: Уравнение Штурма-Лиувилля, уравнение Шредингера, потенциал, краевая задача, функции Эрмита-Билера, обобщенный класс функций Эрмита-Билера, функции типа синуса, полиномиальные и квадратичные операторные пучки, нормальные собственные значения, существенный спектр, S-матрица, функция Йоста, обратные задачи, демпфированные струны, малые поперечные колебания, краевые условия, зависимость от спектральнного параметра, уравнение Марченко, асимптотика, вязко-упругий стержень, гироскопическая стабилизация, упругая полуполоса.

Summary

Pivovarchik V. N. Direct and inverse problems for damped mechanical systems. -- Manuscript.

The thesis advanced for a degree of Doctor of Science (Physics and Mathematics) in the speciality 01.01.03. -- mathematical physics. Institute of Mathematics National Academy of Sciences, Kyiv, 2003.

The thesis is dedicated to investigation of direct (description of the speсtra or so-called spectral data including the asymptotics) and inverse (recovering the parameters of the strings including the inhomogeneous density) problems, associated with small vibrations of damped strings and beams of finite and infinite length. Also direct and inverse problems generated by the Sturm-Liouville equation on a star-shaped and on a lasso graphs are solved. For this investigation auxiliary results on the location of the spectra of polynomial (in particular: quadratic) operator pencils are obtained. The existence and uniqueness of the solutions to the inverse problems are investigated. The theory of Hermite-Biehler entire functions and the classical results by V.A. Marchenko on the inverse problems are used.

Key words: Sturm-Liouville equation, Schrodinger equation, potential, boundary value problems, spectrum, Hermite-Biehler functions, generalized class of Hermite-Biehler functions, sine-type functions, polynomial and quadratic operator pencils, normal eigenvalues, essential spectrum, S-matrix, Jost function, inverse problems, damped strings, small transversal vibrations, boundary conditions, dependence of spectral parameter, Marchenko equation, asymptotics, visco-elastic beam, gyroscopic stabilization, elastic strip.

Размещено на Allbest.ru