Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ МЕХАНІКИ ТОНКОСТІННИХ ПРУЖНИХ ТІЛ

Виконав Сухорольський Михайло Антонович

Львів - 2003

АНОТАЦІЯ

Сухорольський М.А. Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл. _ Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. _ Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригала НАН України, Львів, 2003.

Сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл (пластин, оболонок, шарів, покрить), який включає послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних тіл та узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Розвинуто метод послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних тіл і на цій основі побудовано теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами. Побудовано дельтоподібні фінітні функції з заданими властивостями гладкості та відповідні їм дельтоподібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є. На цій основі сформульовано математичні моделі локальних навантажень і побудовано узагальнені розв'язки крайових задач теорії оболонок з сингулярними вільними членами рівнянь. Розвинуто метод інтегральних рівнянь стосовно до крайових та контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному поданні функцій Гріна. Побудовано розв'язки задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з отворами, вирізами та масивними включеннями. Побудовано узагальнені розв'язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно та нелінійно-пружні шари.

пружний деформування навантаження фур'є

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У механіці деформованого твердого тіла значне місце займають задачі визначення напружено-деформованого стану пружних тіл при локальних навантаженнях, зокрема, про нагрів джерелами тепла та дію зусиль, зосереджених у точках або розподілених на частині тіла чи частині границі тіла. Сингулярні розв'язки рівнянь теорії пружності (розв'язки задач про дію зусиль, зосереджених у точках) використовуються як безпосередньо в інженерних розрахунках, так і для зображення в інтегральному вигляді розв'язків більш складних крайових задач та формулювання числових методів їх розв'язування.

Визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл _ тонкостінних елементів (пластин, оболонок, шарів, покрить) з використанням рівнянь теорії пружності ускладнюється тим, що відповідні крайові задачі є погано обумовленими і, більше того, тонкостінні тіла, як правило, анізотропні, а вихідні рівняння записуються у криволінійних системах координат. Використання рівнянь теорії оболонок для розв'язування задач такого типу, хоч і спрощує побудову їх розв'язків, однак, внаслідок постулювання законів розподілу переміщень і напружень по товщині тіл, встановлює додаткові умови при формулюванні задач (на математичні моделі локальних навантажень та математичні моделі взаємодії тіл з середовищем). Так у межах теорій оболонок типу Тимошенка (коли розподіл переміщень і напружень за товщиною постулюється лінійним законом) локалізація навантажень на бокових поверхнях і локалізація зовнішніх об'ємних сил можуть бути враховані лише за координатами серединної поверхні, а математичні моделі локальних навантажень на лицевих поверхнях повинні забезпечувати лінійну залежність від товщинної координати точного розв'язку відповідної задачі теорії пружності. Природно, що ефективні розв'язки задач про локальне навантаження тонкостінних тіл можуть бути побудовані за умови формулювання відповідних крайових задач в межах теорії пружності з наступним їх зведенням до двовимірних задач. Редукція тривимірних задач теорії пружності до двовимірних ґрунтується, як правило, на наближенні шуканих величин послідовностями частинних сум рядів за товщинною координатою або малими параметрами і є по суті послідовнісним поданням математичних моделей деформування тонкостінних тіл і, відповідно, послідовнісним поданням математичних моделей навантажень та математичних моделей взаємодії тіла з середовищем. Аналіз відомих у літературі розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл вказує на необхідність розвитку методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень з використанням слабко збіжних послідовностей функцій та розвитку методів послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних тіл з використанням послідовностей частинних сум рядів за малими параметрами. Актуальними також є питання розмежування та систематизації математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл стосовно задач про локальну дію об'ємних сил та задач про локальну дію поверхневих (на лицевих поверхнях) навантажень.

При формулюванні задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл локальна дія фізичних полів та середовища моделюється, як правило, розривними (або узагальненими) функціями, і тому ці задачі є некоректно поставленими в сенсі застосування (найчастіше використовуваного у теорії пружності) методу Фур'є, оскільки формально знайдені цим методом розв'язки зображуються розбіжними рядами в класичному розумінні суми. Одним із шляхів вирішення цієї проблеми є побудова узагальнених розв'язків задач такого типу і, зокрема, подання узагальнених розв'язків у вигляді границь слабко збіжних послідовностей функцій. Послідовнісний підхід до побудови узагальнених розв'язків некоректно поставлених крайових задач ще не зайняв належного місця у теорії пружності. Тому актуальним є питання розвитку методів послідовнісного подання узагальнених функцій і узагальнених розв'язків задач теорії пружності, що ґрунтуються на використанні слабко збіжних послідовностей функцій і слабко збіжних послідовностей частинних сум рядів Фур'є. Актуальним є також питання модифікації методу Фур'є стосовно задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл.

Безпосередньо пов'язаними з задачею про дію на оболонку об'ємних сил, локалізованих за координатами серединної поверхні і розподілених за заданим законом за товщинною координатою (що визначається відповідною теорією оболонок), є задачі побудови функцій Гріна крайових задач теорії оболонок і на цій основі формулювання граничних інтегральних рівнянь та розв'язування задач визначення напружено-деформованого стану багатозв'язних оболонок. З задачею про локальне поверхневе навантаження оболонок пов'язано формулювання та розв'язування інтегральних рівнянь контактних задач теорії оболонок. Тому актуальним є питання розвитку методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач та контактних задач теорії оболонок.

Метою роботи є розвиток методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, а також розвиток методу Фур'є та методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання узагальнених розв'язків стосовно задач про локальну силову дію та тепловий нагрів тонкостінних елементів, контактних задач теорії оболонок і задач про власні та вимушені коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами, отворами та включеннями.

Досягнення мети передбачає:

_ формулювання послідовнісного підходу до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл;

_ розвиток методів послідовнісного подання математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл;

_ розвиток теоретичних основ послідовнісного подання узагальнених функцій і на цій основі розвиток методів послідовнісного подання локальних навантажень;

_ розвиток методу Фур'є стосовно крайових задач теорії оболонок з правими частинами рівнянь, що містять розривні функції;

_ розвиток методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач та контактних задач теорії оболонок.

Об'єкт дослідження - локальна силова дія та локальний нагрів тонкостінних елементів, напружено-деформований стан тонкостінних елементів при локальних

навантаженнях, коливання двозв'язних оболонок, оболонок з вирізами та включеннями, а також контактна взаємодія оболонок.

Предмет дослідження _ математичні моделі локальних навантажень, математичні моделі деформування тонкостінних елементів, методи побудови математичних моделей та узагальнених розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних елементів, методи розв'язування динамічних задач для багатозв'язних оболонок та контактних задач теорії оболонок.

Наукова новизна. 1. Сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл, який включає послідовнісні подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних тіл та математичних моделей взаємодії з середовищем, а також послідовнісне подання узагальнених розв'язків відповідних задач теорії оболонок.

2. З метою побудови спрощених математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, розвинуто метод, що ґрунтується на наближенні шуканих величин крайових задач теорії оболонок та модифікованої теорії оболонок Тимошенка послідовностями частинних сум рядів за введеними малими параметрами, і на цій основі побудовано: _ теорію оболонок з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і відсутніми нормальними жорсткими поворотами.

Сформульовано інтегральні умови стосовно переміщень точок границі серединної поверхні тонкостінного тіла, що забезпечують ефективність використання спрощених теорій оболонок (теорій оболонок типу Тимошенка), а також доведено в межах цих теорій взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи. Поширено математичний апарат методу потенціальних комплексних функцій на задачі згину пластин з відсутніми нормальними жорсткими поворотами.

3. Сформульовано клас дельтоподібних послідовностей фінітних функції з заданими властивостями гладкості і побудовано відповідні їм дельтоподібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є. На цій основі розвинуто метод Фур'є стосовно крайових задач теорії оболонок, праві частини рівнянь яких містять розривні функції.

4. Показано, що дельтоподібні фінітні функції є ефективними математичними моделями локальних навантажень. З цією метою знайдено допустимі значення характеристик локальних навантажень (густини і області локалізації), що дозволяють у межах модифікованої теорії оболонок типу Тимошенка коректно формулювати задачі про локальне поверхневе навантаження тонкостінних тіл. Побудовано також математичну модель деформування тонкого шару при об'ємних локально-імпульсних силовій дії та нагріві.

5. Розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка. На цій основі побудовано алгоритми числового розв'язування задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних оболонок, а також оболонок з вирізами, виступами та включеннями.

6. Розроблено, спираючись на послідовнісне подання сингулярних розв'язків рівнянь теорій оболонок типу Тимошенка і метод інтегральних рівнянь, методику дослідження контактних напружень при взаємодії оболонок з жорсткими та пружними тілами. Побудовано математичну модель нелінійно-пружного шару і сформульовано нові контактні задачі теорії оболонок, а також розроблено числові алгоритми розв'язування задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари.

Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Послідовнісний підхід до побудови розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних елементів визначає новий напрям розв'язування задач цього класу.

Послідовнісний підхід до побудови (у межах теорій оболонок Тимошенка) математичних моделей деформування тонкостінних елементів за допомогою послідовностей частинних сум рядів за введеними малими параметрами є аналітичною реалізацією методу гіпотез. Він може бути поширений на аналогічні задачі теорій оболонок вищих порядків.

Розвинутий математичний апарат методу послідовнісного подання узагальнених розв'язків задач теорії оболонок за допомогою послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є вирішує проблему застосування методу Фур'є до розв'язування крайових задач з правими частинами рівнянь, що містять розривні функції.

Подання функцій Гріна в аналітичній формі (у вигляді границь збіжних послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є) дозволяє ефективно використовувати відомі у теорії пружності схеми методу граничних інтегральних рівнянь до розв'язування крайових задач для багатозв'язних оболонок.

Сформульовані у межах побудованих теорій оболонок задачі деформування двозв'язних оболонок зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь, що суттєво спрощує побудову їх числових розв'язків.

Методика досліджень вимушених та власних коливань кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами та включеннями, а також методика дослідження контактної взаємодії оболонок спрощують одержання числових результатів і підвищують їх точність. Вони однаково ефективні при розв'язуванні задач різних теорій оболонок.

Послідовнісний підхід до побудови математичних моделей локальної та імпульсної дії фізичних полів може бути поширений на інші фізичні системи, а модифікація методу Фур'є стосовно крайових задач для неканонічних областей може бути поширена на крайові задачі інших прикладних наук.

Результати досліджень розв'язків задач про локальний нагрів шару, про власні та вимушені коливання неоднорідних оболонок і оболонок з вирізами та включеннями, а також контактних задач про взаємодію оболонок з іншими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари мають практичне застосування.

Результати проведених у дисертаційній роботі досліджень з питань послідовнісного підходу до побудови узагальнених розв'язків крайових задач для основних рівнянь математичної фізики склали основу навчального посібника «Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв'язки крайових задач».

Методи досліджень. У роботі використовуються методи математичного аналізу (фундаментальні послідовності і ряди Фур'є), теорії функцій (апроксимація функцій послідовностями частинних сум рядів, послідовнісний підхід до побудови узагальнених функцій); теорії рівнянь з частинними похідними (зведення крайових задач до граничних інтегральних рівнянь, побудова узагальнених розв'язків крайових задач у розумінні слабкої збіжності), механіки суцільного середовища (варіаційні формулювання задач, варіаційні принципи), а також числові методи розв'язування інтегральних рівнянь.

Обґрунтованість і вірогідність результатів. Основні результати роботи сформульовано у вигляді тверджень, які доведено, постулатів, які апробовано на тестових задачах та узгоджено у частинних випадках з відомими у літературі результатами, і крайових задач, існування класичних та узагальнених розв'язків яких доведено. Вірогідність наближених числових розв'язків крайових задач забезпечена строгістю виконання достатніх умов існування і стійкості розв'язків.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Теоретичні і практичні результати, які склали основу дисертації, отримані здобувачем при виконанні держбюджетної теми кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка» «Питання алгебри, функціонального аналізу, математичної фізики, гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування» (1984 _ 2003, номер державної реєстрації 01870095011) і конкурсних держбюджетних тем: «Математичне моделювання і методи розрахунку кусково-однорідних структур під дією полів різної фізичної структури» (1994 - 1995, номер державної реєстрації 0194U029517); «Метод граничних елементів у задачах математичної фізики» (1995 - 1996, номер державної реєстрації 0195U014374); «Числова реалізація деяких крайових задач методом граничних елементів» (1997 - 1998, номер державної реєстрації 0197U000215); «Розробка математичних моделей для опису впливу зовнішніх полів на рівноважні і не рівноважні системи» (1998 - 2000, номер державної реєстрації 0198U007870); «Теорія станів хемосорбованих на поверхнях та сольвантованих в структурно-невпорядкованих середовищах атомів і молекул» (2001 - 2002, номер державної реєстрації 0101U000881).

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати роботи доповідалися і обговорювалися на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Національного університету «Львівська політехніка», Всесоюзній науковій конференції «Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь» (Дрогобич, 1987), Всеукраїнській науковій конференції «Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь» (Дрогобич, 1994), Всесоюзному науковому семінарі «Актуальные проблемы неоднородной механики» (Єреван, 1991), Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003), Міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1994, 1997, 2000), Всеукраїнській науковій конференції «Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях» (Львів, 1995), III Міжнародному симпозіумі «Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів» (Івано-Франківськ, 1995), Міжнародній науковій конференції «35 godina maљinskog fakulteta univerziteta u Niљu» (Niљ, 1995), Міжнародних наукових конференціях «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (Львів, 1997, 2000, 2003), Міжнародному конгресі «Modeling and investigation of systems stability» (Київ, 1997), Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки і математики» (Львів, 1998), Міжнародній науковій конференції «Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки» (Дрогобич, 2001), Міжнародній науковій конференції «Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ» (Донецьк, 2002), Міжнародній науковій конференції «Международная конференция по математическому моделированию, МКММ 2002» (Херсон, 2002) та інших.

У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі кафедри вищої математики Національного університету «Львівська політехніка» під керівництвом проф. Ю.К. Рудавського, на науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом член. кор. НАН України, проф. Я.Й. Бурака, на об'єднаному семінарі кафедр теоретичної та прикладної механіки і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом акад. НАН України, проф. В.П. Шевченка, на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І.Франка під керівництвом проф. Г.Т. Сулима, на проблемному семінарі з механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом член. кор. НАН України, проф. Г.С. Кіта, на науковому семінарі з математичного моделювання Тернопільського державного технічного університету ім. І. Пулюя під керівництвом проф. О.М. Шаблія, на науковому семінарі з математичних проблем механіки Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова під керівництвом Г.Я. Попова, на науковому семінарі відділу механіки оболонкових систем Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом акад. НАН України Я.М. Григоренка.

Основні результати дисертаційної роботи отримані дисертантом самостійно. У монографії дисертантом розвинуто послідовнісно-апроксимаційний метод редукції тривимірних задач теорії термопружності до двовимірних, сформульовано в межах уточненої теорії оболонок узагальнений варіаційний принцип, а також побудовано розв'язки двовимірних контактних задач теорії оболонок. У посібнику дисертантом викладено послідовнісний підхід до побудови узагальнених функцій і узагальнених розв'язків крайових задач для основних рівнянь математичної фізики, а також метод інтегральних рівнянь розв'язування крайових задач для двозв'язних областей. У самостійно опублікованих працях викладено основні теоретичні дослідження і практичні результати роботи. У решти спільних публікаціях дисертанту належить математична постановка задач, виведення основних співвідношень та рівнянь, розробка методів розв'язування задач, а також участь у розробці числових алгоритмів та аналізі отриманих результатів.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, відзначено її новизну, наукове та практичне значення, обґрунтовано вірогідність отриманих результатів, наведено дані про апробацію результатів, що становлять основний зміст роботи, відзначено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів, а також частково сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях. У кінці вступу подано відомості про структуру та об'єм роботи.

У першому розділі проаналізовано, згідно з основними етапами визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів, відомі в літературі двовимірні математичні моделі деформування тонкостінних пружних тіл, математичні моделі локальних навантажень та методи розв'язування відповідних крайових задач. Аналіз досліджень проведено з міркувань застосування послідовнісного підходу до побудови математичних моделей та розв'язків задач механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях.

Особливості формулювань та побудови розв'язків задач про локальне навантаження пружних тіл, а також сингулярні розв'язки задач теорії пружності для областей з нерегулярними границями детально досліджено у роботах В.Т. Грінченка і А.Ф. Улітка. Відзначено, що важливим при формулюванні задач такого типу є вибір вихідних математичних моделей _ навантажень, форми тіла та взаємодії тіла з зовнішнім середовищем. Визначальним у процесі розрахунку напружено-деформованого стану тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях є побудова двовимірних математичних моделей деформування цих тіл (теорій оболонок). Характерними у літературі є два підходи до побудови теорій оболонок. В основі першого з них лежить спрощення тривимірних крайових задач теорії пружності для тонкостінних пружних тіл методом гіпотез (гіпотетичним методом). Другий підхід ґрунтується на методах послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл _ наближенні шуканих величин тривимірних задач теорії пружності послідовностями частинних сум рядів за товщинною координатою або малими параметрами. У роботах К. Васідзу, А.Н. Гузя, А.И. Лур'є, В.В. Новожилова, Б.Л. Пелеха, С.П. Тимошенка, К.Ф. Черниха та інших викладено побудову гіпотетичним методом теорії оболонок Кірхгофа-Лява і теорії оболонок, що враховують поперечні зсувні деформації. У роботах С.А. Амбарцумяна, В.В. Васильєва, З.В. Власова, Е.І. Григолюка, В.М. Толкачова, І.Т. Селєзова, В.І. Шваб'юка гіпотетичним методом побудовано уточнені варіанти теорій оболонок. Ефективно гіпотетичний метод використовується для побудови теорій шаруватих оболонок. Теорії оболонок, побудовані з використанням послідовностей частинних сум рядів Фур'є за системою поліномів Лежандра від товщинної координати, покладені в основу проведених у дисертаційній роботі досліджень напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів. Аналіз побудованих теорій оболонок показує, що актуальними ще залишаються питання аналітичної реалізації гіпотез та побудови в межах цих теорій оболонок спрощених математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл.

Визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів з використанням рівнянь теорій оболонок встановлює, внаслідок постулювання законів розподілу переміщень і напружень по товщині елементів, додаткові в порівнянні з відповідними задачами теорії пружності обмеження на величину області локалізації і гладкість функцій, що моделюють ці навантаження. Що стосується коректності формулювань задач про локальне навантаження тонкостінних елементів (як об'ємними силами, так і поверхневими напруженнями), то вони допускають узагальнені розв'язки для достатньо загальних правих частин рівнянь - математичних моделей локальних навантажень. Однак ефективність математичних моделей поверхневих локальних навантажень та одержаних розв'язків, а також відповідність розв'язків (знайдених за допомогою рівнянь теорій оболонок) реальному напружено-деформованому стану тонкостінних елементів, що є важливим для практики, можуть бути оцінені лише при порівнянні цих розв'язків з розв'язками відповідних задач теорії пружності.

Для моделювання локальних навантажень тонкостінних елементів використовуються як дельта-функція, так і дельтоподібні функції (з областю локалізації співмірною з товщиною оболонки). Оскільки ряди Фур'є розривних функцій зображуються розбіжними (в класичному розумінні суми) рядами, формально знайдені методом Фур'є розв'язки задач теорії оболонок з розривними правими частинами рівнянь зображуються також не завжди збіжними рядами. Питання математичного моделювання локальних навантажень за допомогою послідовностей дельтоподібних функцій, питання дослідження похибок використання теорій оболонок для вирішення задач цього класу та питання залежності розв'язків задач від значень параметрів, що характеризують область і густину локальних навантажень, ще недостатньо вивчені у науковій літературі.

Для побудови узагальнених розв'язків некоректно поставлених (у розумінні існування розв'язків Фур'є) крайових задач математичної фізики С.Л.Соболєвим запропоновано послідовнісний підхід, що ґрунтується на використанні дельтоподібних послідовностей функцій. У дисертаційній роботі розвинуто методи послідовнісного подання узагальнених функцій і узагальнених розв'язків крайових задач теорії оболонок з використанням дельтоподібних послідовностей фінітних функцій. Дельтоподібні фінітні функції з заданими властивостями гладкості конструюються за допомогою елементарних функцій так, що відповідні їм послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є рівномірно збігаються (в будь-якій області, що не містить особливих точок). Узагальнені розв'язки та функції Гріна крайових задач теорії оболонок подаються у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є, рівномірно збіжних з рівномірно збіжними похідними заданих порядків в областях, що не містять точок сингулярності.

Другу важливу область застосувань сингулярних розв'язків задач теорії пружності складають крайові задачі для багатозв'язних тіл та контактні задачі, в основу побудови розв'язків яких покладено метод інтегральних рівнянь. Важливою умовою ефективного застосування методу граничних інтегральних рівнянь до розв'язування цих задач є подання в явному вигляді сингулярних розв'язків відповідних вихідних диференціальних рівнянь. Метод граничних інтегральних рівнянь стосовно до задач теорії оболонок успішно використовується в роботах Р. Баттерфілда, П. Бенерджі, А.С. Гольцева, Є.Г. Грицька, К.Н. Довбні, Л.М. Журавчак, З.Т. Назарчука, М.М. Николишина, В.А. Осадчука, М.П. Саврука, М.Й. Теплого, А.Г.Угоднікова, Н.М. Хуторянського, В.А. Цванга, В.П. Шевченка та інших. У роботах В.К. Дзядика, М. Жічковського А.П. Зелінського, В.М. Максимовича, T. Кусами, Й. Міцуі, T. Oками для формулювання інтегральних рівнянь окремих класів крайових задач теорії оболонок використовуються формальні зображення сингулярних ядерних функції рядами Фур'є. Для загального випадку формулювання крайових задач теорії оболонок відповідні інтегральні рівняння зводяться до систем алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами, що зображуються розбіжними рядами. Тому питання модифікації методу Фур'є і методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна (у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є) є актуальними у теорії пружності.

Формулювання контактних задач для тонкостінних тіл (обмежених плоскими, циліндричними або сферичними поверхнями) з використанням рівнянь теорії пружності здійснюється, як правило, в межах змішаних крайових задач. Характерним при зведенні контактних задач до інтегральних рівнянь є зображення ядер в явному вигляді.

Контактні задачі теорії оболонок формулюються як обернені задачі для рівнянь з частинними похідними; задається одна або більше невідомих функцій розв'язку (найчастіше нормальні переміщення) на частині області, у якій шукається розв'язок. Характерною особливістю цих задач є зображення ядер (функцій Гріна) відповідних інтегральних рівнянь у вигляді розвинень за системами функцій або через спеціальні функції, в окремих випадках, через елементарні функції. Крім того, функції Гріна для однакових задач в межах різних теорій оболонок є навіть якісно різними. Для розв'язування контактних задач теорії оболонок у роботах Е.І. Григолюка, В.Н. Максименка, Г.Я. Попова, А.О. Сяського, В.М. Толкачова, Л.А. Фільштинського та інших використано методи прискорення збіжності рядів з виділенням сингулярних частин функцій Гріна в явному вигляді і зведення задач до інтегральних рівнянь з сингулярними ядрами. Методи інтегральних перетворень і розвинення у ряди ефективно використовується Т.С. Акульшиною. В.С. Гудрамовичем, Є.М. Макеєвим, В.І.Моссаковським, В.М. Тищенком, В.П. Шевченком, Ю.А. Шевляковим при розв'язуванні контактних задач і задач про взаємодію оболонок з підкріплюючими елементами через пружні прошарки (що природно регуляризує побудову розв'язків). Формулювання контактних задач теорії оболонок, а також математичне моделювання взаємодії тонкостінних елементів проаналізовано у роботах В.М. Александрова, М.В. Блоха, В.З. Власова, Г.С. Кіта, Н.И. Леонтьева, О.В. Максимука, С.М. Мхитаряна, Б.Л. Пелеха та його учнів, Г.Я. Попова, В.М. Толкачова та інших.

При взаємодії тонкостінних тіл характерною є концентрація контактних напружень у приграничних зонах областей контакту. Значення контактних напружень, знайдені за допомогою різних математичних моделей деформування оболонок, практично збігаються у середній зоні області контакту і відрізняються у приграничних зонах цієї області. При цьому значення контактних напружень у приграничних зонах областей контакту, знайдені за допомогою рівнянь будь-якої з теорій оболонок, є неточними в порівнянні з розв'язками відповідних задач, одержаних за допомогою рівнянь теорії пружності. Однак, оскільки перерозподіл напружень у невеликій області оболонки (згідно з принципом Сен-Венана) не впливає на напружено-деформований стан оболонки в цілому, розв'язки (в широкому розумінні) контактних задач у межах різних теорій оболонок однаково мають як теоретичну, так і практичну цінність. Питання коректності формулювань контактних задач теорії оболонок ще не цілком висвітлені у науковій літературі.

У дисертаційній роботі в основу побудови математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл та узагальнених розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл покладено послідовнісний підхід до їх подання. Реалізація цього підходу ґрунтується на наближенні достатньо гладких розв'язків відповідних крайових задач послідовностями частинних сум рядів Фур'є або послідовностями частинних сум степеневих рядів і наближенні сингулярних розв'язків крайових задач слабко збіжними послідовностями функцій або послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є. При цьому всі етапи визначення напружено-деформованого стану тіл (побудова математичних моделей та розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл) розглядаються у взаємозв'язку і на однаковому рівні. У межах послідовнісного підходу, обмежуючись скінченими узагальненими частинними сумами рядів (або окремими варіантами), одержуються математичні моделі локальних навантажень, достатньо близькі до реальних, і одержуються розв'язки задач про локальне навантаження тонкостінних тіл, що відповідають реальному їх напружено-деформованому стану. Шляхом граничного переходу у виразах одержаних розв'язків коректно будуються (у класі узагальнених функцій) узагальнені розв'язки та функції Гріна відповідних крайових задач, які використовуються для формулювання інтегральних рівнянь та числових методів розв'язування достатньо широких класів задач теорії оболонок.

У другому розділі систематизовано і строго викладено побудову теорій оболонок, що ґрунтуються на апроксимації шуканих величин крайових задач теорії пружності послідовностями частинних сум рядів Фур'є за поліномами Лежандра, а також розвинуто гіпотетичний метод побудови спрощених математичних моделей деформування оболонок, який ґрунтується на наближенні шуканих величин крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка частинними сумами рядів за введеними малими параметрами.

Викладено два підходи до редукції тривимірних крайових задач теорії пружності для тонкого шару (у розумінні відношення товщини до найменшого радіуса кривини серединної поверхні) до двовимірних, в основі яких лежать відповідно два способи апроксимації функцій послідовностями частинних сум рядів за поліномами Лежандра. Перший підхід приводить до структурно простих рівнянь, які, як правило, використовуються для розрахунку пластин і оболонок, на лицевих поверхнях яких задаються граничні умови першого роду (напруження). В основу другого підходу покладено умовну апроксимацію переміщень і напружень поліномами (додатково реалізується умова неперервності напружень на лицевих поверхнях при наближенні із середини шару). Одержані при цьому двовимірні математичні моделі деформування шару можуть використовуватися для розрахунку покрить і тонких шарів, на лицевих поверхнях яких задаються як напруження, так і переміщення. У межах другого підходу вирази для переміщень точок лицевих поверхонь містять доданки, пропорційні поверхневим навантаженням, що природно регуляризують розв'язки крайових задач з умовами другого роду на лицевих поверхнях шару.

Наведено основні рівняння і співвідношення довільних наближень розв'язків динамічних задач для термопружного стану криволінійного шару, одержаних за першим і другим способами, а також наведено рівняння перших наближень, які є відповідно математичною моделлю і модифікованою математичною моделлю Тимошенка.

Тут прийнято позначення _ криволінійні координати; _ товщина шару і головні кривини серединної поверхні; _ пружні сталі; _ коефіцієнти лінійного розширення; _ поверхневі напруження; _ компоненти об'ємної сили і функція температури.

Граничні умови крайових задач формуються відносно величин на граничному контурі серединної поверхні.

У межах теорій оболонок Тимошенка можуть розглядатися задачі про локальне навантаження тонкостінних елементів для випадку дії об'ємних сил, довільно локалізованих за координатами у серединній поверхні і лінійно розподілених за нормальною координатою. Параметри, що характеризують математичну модель поверхневого локального навантаження, не можуть задаватися довільно, вони повинні визначатися з умов лінійної залежності від товщинної координати розв'язків (напружень і переміщень) відповідних задач теорії пружності.

Розвинуто гіпотетичний метод побудови (у межах теорій оболонок Тимошенка) спрощених математичних моделей деформування оболонок, в основу якого покладено ідею послідовнісного методу - наближення шуканих величин послідовностями частинних сум рядів за введеними малими параметрами. Якщо відомо, що в крайовій задачі теорії оболонок окремі компоненти тензора деформацій (або лінійні комбінації цих компонент), які називаються нехтовно малими величинами, малі в порівнянні з іншими компонентами, то ця задача містить малі параметри неявно і у рівняння задачі можна ввести малі параметри. Спочатку у рівняннях фізичного закону виділяються нехтовно малі деформації і пружні сталі, що є множниками біля цих деформацій (які вважаються великими параметрами), і вводяться допоміжні функції, що дорівнюють добуткам нехтовно малих деформацій і великих параметрів. Потім, заміною великих параметрів через обернені до них величини, вихідну задачу зведено до задачі з малими параметрами. Апроксимуючи шукані величини послідовностями частинних сум рядів за малими параметрами, одержано спрощені математичні моделі деформування оболонок. Вироджені (при нульових значеннях малих параметрів) рівняння, представляють також одну із спрощених математичних моделей деформування оболонок.

Побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок типу Тимошенка, що характеризуються нехтовно малими окремими компонентами тензора деформацій, _ теорія оболонок з незмінними по товщині жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні (узагальнення класичної моделі оболонки), _ з відсутніми нормальними жорсткими поворотами, _ з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами (спрощення класичної моделі оболонки). У межах кожної із побудованих математичних моделей деформування оболонок проаналізовано ключові рівняння для циліндричної і сферичної оболонок. Показано, що прийняття відповідних гіпотез не змінює типу ключових диференціальних рівнянь вихідної теорії оболонок. У межах розглянутої математичної моделі деформування оболонки формулюються перша і мішана граничні задачі. При формулюванні другої граничної задачі граничні тангенціальні переміщення і кут повороту не можуть задаватися довільно, через потенціальність поля переміщень і поля кутів повороту. Сформульовано необхідні і достатні умови застосовності спрощених математичних моделей оболонок, які встановлюють обмеження на тангенціальні переміщення точок границі серединної поверхні.

У третьому розділі у межах побудованих у другому розділі спрощених математичних моделей деформування оболонок сформульовано і доведено основні взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи (стаціонарності потенціальної енергії і стаціонарності додаткової енергії). Варіаційне формулювання задач у межах спрощених теорій оболонок типу Тимошенка є по суті побудовою методом гіпотез співвідношень і рівнянь цих теорій.

Спочатку записано взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи теорії пружності у криволінійних координатах. Апроксимуючи переміщення і напруження криволінійного шару поліномами за товщинною координатою проведено спрощення відповідних функціоналів енергії і сформульовано взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи теорії оболонок Тимошенка та модифікованої теорії оболонок Тимошенка. Потім з використанням варіаційного формулювання задач теорій оболонок методом множників Лагранжа сформульовано узагальнені варіаційні принципи спрощених теорій оболонок (з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами). З рівності нулю першої варіації цього функціоналу випливають рівняння і граничні умови першої граничної задачі теорії оболонок типу Тимошенка з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами.

У четвертому розділі сформульовано дельтоподібні послідовності фінітних функцій, які покладено в основу послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та послідовнісного подання узагальнених розв'язків Фур'є задач теорії оболонок з сингулярними правими частинами рівнянь. Досліджено обмеження на параметри локалізації поверхневих локальних навантажень (дельтоподібних фінітних функцій), що забезпечують у межах теорії оболонок типу Тимошенка достатню точність розв'язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл, а також досліджено похибки застосування теорій оболонок типу Тимошенка та Кірхгофа-Лява до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл.

Спочатку досліджено коректність формулювань (у сенсі існування розв'язків Фур'є) крайових задач теорії оболонок та модифікованої теорії оболонок Тимошенка, що допускають відокремлення змінних, у залежності від вільних членів диференціальних рівнянь. Встановлено умови відносно вільних членів рівнянь, при виконанні яких існують розв'язки Фур'є відповідних крайових задач (у вигляді сум рівномірно збіжних тригонометричних рядів з рівномірно збіжними рядами похідних, що містяться в рівняннях задач). Зокрема, показано, що розв'язки Фур'є крайових задач теорії оболонок типу Тимошенка існують, якщо праві частини рівнянь мають відокремлені змінні і є періодичними функціями з першими похідними, що задовольняють умови Діріхле. Розв'язки Фур'є крайових задач модифікованої теорії оболонок Тимошенка існують, якщо праві частини рівнянь - періодичні функції з відокремленими змінними і мають другі похідні, що задовольняють умови Діріхле.

Потім на основі послідовнісного подання узагальнених функцій, зокрема, дельта-функції, побудовано математичні моделі локальної дії поверхневих навантажень та об'ємних сил, а також розвинуто теоретичні основи узагальненого підсумовування тригонометричних рядів (сформульовано нові методи узагальненого підсумовування рядів) та послідовнісного подання узагальнених (в розумінні слабкої збіжності) розв'язків некоректно поставлених крайових задач теорії оболонок.

Дельтоподібні фінітні функції при є більш об'єктивними математичними моделями локальної дії навантажень (силової дії, нагріву, взаємодії тощо). Граничною в сенсі слабкої збіжності для дельтоподібної функції є дельта-функція. Використання дельта-функції у задачах прикладної теорії пружності більше продиктовано досконалістю відповідного математичного апарату. Таким чином, поряд з дельта-функцією як математичною моделлю дії фізичних полів розглядаються фінітні дельтоподібні функції (або дельтоподібні послідовності функцій). Визначені інтеграли із змінною верхньою межею від дельтопоподібних функцій є ефективними математичними моделями перехідних процесів. При цьому граничною при для цих інтегралів є функція Хевісайда.

Інтегральні зображення функцій у вигляді (12), (13) в застосуваннях до задач математичної фізики узгоджуються з введеними С.Л.Соболєвим узагальненими розв'язками крайових задач рівнянь з частинними похідними. Узагальненим (у розумінні слабкої збіжності) розв'язком Фур'є некоректно поставленої крайової задачі називається границя послідовності розв'язків крайових задач з однаковими з вихідною задачею диференціальними операторами рівнянь і вільними їх членами _ достатньо гладкими функціями, що слабко збігаються до правих частин рівнянь вихідної задачі.

Побудовано функції Гріна крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка і модифікованих теорій оболонок типу Тимошенка у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум подвійних тригонометричних рядів.

Побудовано математичну модель деформування тонкого трансверсально-ізотропного покриття (шару), що знаходиться під дією силового поля і нагрівається джерелами тепла, локалізованими за координатами у серединній поверхні і лінійно залежними від товщинної координати. Для покриття використано математичну модель модифікованої теорії оболонок типу Тимошенка (з відсутніми нормальними жорсткими поворотами). Локальна дія температурного поля задається добутком несиметричних дельтоподібних функцій за часовою координатою і симетричних дельтоподібних фінітних функцій за лінійними координатами. Ефективність моделі ілюструється на прикладі задачі про імпульсний нагрів джерелами тепла покриття (шару), нанесеного на абсолютно тверде тіло. Джерело тепла локалізовано у співмірній з товщиною покриття області.

Також знайдено розв'язки задачі про локальне навантаження нормальними напруженнями шарнірно закріпленої циліндричної панелі , Досліджено числові розв'язки задачі, одержані за допомогою рівнянь теорії оболонок Тимошенка, класичної теорії оболонок і теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами.

Для випадку сферичної оболонки, умов шарнірного закріплення і потенційності поля зовнішніх тангенціальних сил та моментів, числові розв'язки, одержані за теоріями збігаються.

У п'ятому розділі розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функції Гріна (у вигляді границі послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є) стосовно до динамічних задач теорії пологих оболонок. Розглядаються задачі про власні та вимушені коливання трансверсально-ізотропних пологих оболонок з отворами, масивними включеннями та вирізами, а також задачі про коливання кусково-однорідних оболонок. В основу досліджень напружено-деформованого стану оболонок покладено рівняння теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами, оскільки гіпотеза про нехтовну малість жорстких поворотів (відносно нормалі до серединної поверхні) співмірна з гіпотезою (прийнятою в теорії оболонок і у даній роботі) про переважаючий вплив на основні форми та частоти коливань інерційності елемента оболонки в напрямі нормалі до серединної поверхні в порівнянні з інерційністю в тангенціальних напрямах і кутовою інерційністю. Вихідна система рівнянь спрощеної теорії оболонок зводиться до системи трьох ключових рівнянь відносно прогину і двох потенціалів поля тангенціальних до серединної поверхні переміщень і кутів повороту нормалі, а відповідні крайові задачі для випадку однозв'язної границі серединної поверхні оболонок зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.

Сформульована також спрощена числова схема (з фіктивним контуром) розв'язування задачі, за якою межова умова на контурі L замінюється аналогічною умовою на контурі , що знаходиться в області D на відстані від L. При цьому одержується система алгебраїчних рівнянь, що в порівнянні з системою не містить діагональних членів . Показано, що наближені розв'язки задач, одержані за двома числовими схемами, практично збігаються.

Встановлено залежність наближених розв'язків задач від параметрів дискретизації інтегральних рівнянь і параметрів узагальненого підсумовування рядів. Показано, що для задач про коливання квадратної мембрани з отвором, діаметр якої дорівнює половині її сторони, достатньо точні для практики результати (з похибкою не більшою 5%) одержуються при і K>300.

Розроблено також числові схеми розв'язування крайових задач для рівняння Гельмгольца в полігональних областях. Метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного підходу до подання функцій Гріна розвивається стосовно до нестаціонарних задач теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами і класичної теорії оболонок.

Сформульовано інтегральні рівняння задач про усталені коливання оболонок і пластин з отворами. Розглядаються оболонки з шарнірно опертими зовнішніми краями (по контуру прямокутника) і довільно навантаженими або підкріпленими внутрішніми краями отворів. На краях отворів задаються три з шести величин _ нормальні компоненти векторів переміщення в серединній поверхні, кута повороту, мембранної сили та моменту, а також прогин і зрізуюча сила. Задачі зводяться до розв'язування системи трьох інтегральних рівнянь відносно трьох невідомих густин, розподілених вздовж внутрішнього контура.

Побудовано алгоритми числового розв'язування задач про усталені коливання пластин і оболонок, прямокутних у плані, з отворами, вирізами та масивними включенням, а також задач про усталені коливання кусково-однорідних оболонок та пластин. Досліджено напруження та власні частоти коливань прямокутної пластини з вільними від навантажень або підкріпленими отворами, прямокутної пластини з симетрично розміщеним масивним включенням і прямокутної пластини з симетричними круговими вирізами. Показано, що значення власних частот коливань прямокутної пластини з круговим отвором близькі до значень відповідних частот, одержаних методом скінчених елементів і методом Рітца.

Досліджено також основні частоти коливань квадратної пластинки, складеної із двох ізотропних пластин. Графіки частот у залежності від відношення густин окремих частин пластини для трьох значень параметра l₁/l. Різке зменшення значень основних частот спостерігається при незначному збільшенні густини однієї з частин пластини. Значення частот (при незмінній її масі) суттєво залежить також від характеру розподілу густини матеріалу пластини. Наприклад, для однорідної квадратної пластини, що має однакову з кусково-однорідною пластиною масу, маємо при l₁/l= 0,3 і d=4. У той час як приведена частота неоднорідної пластини при цих значеннях параметрів дорівнює.

Шостий розділ присвячений розробці методики дослідження контактних напружень при взаємодії тонкостінних елементів з абсолютно жорсткими і пружними тілами. В основу побудови узагальнених розв'язків контактних задач теорії оболонок Кірхгофа-Лява і різних варіантів теорій оболонок типу Тимошенка покладено послідовнісне подання функцій Гріна і метод інтегральних рівнянь. Розглядаються задачі про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно- і нелінійно-пружні проміжні шари.

Для опису напружено-деформованого стану проміжного шару побудовано математичну модель нелінійно-пружного шару, що узагальнює відомі моделі для випадку обмеження поперечного деформування шару. Приймається гіпотеза про незалежність нормальних напружень від товщинної координати і нехтується дотичними напруженнями в шарі. Залежність нормальних контактних напружень від поперечних деформацій.

Контактні задачі теорії оболонок про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через нелінійно-пружний шар формулюються для випадку щільного прилягання оболонки і шару та відсутності дотичних напружень в області контакту . Контактні умови формулюються відносно переміщень. Прогин оболонки зображується через невідомі контактні напруження у вигляді інтегралів, ядерні функції яких задаються послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є з граничною функцією Гріна типу. При цьому вираз прогину при скінченій довжині відрізків рядів (скінченому досить великому ) описує прогин оболонки при дії контактних напружень в області (розширенні області S), границя якої знаходиться на відстані від границі області . Підставивши одержаний вираз прогину оболонки в умови контакту (умови рівності переміщень точок внутрішньої поверхні проміжного шару і прогину оболонки в області) і використавши залежність, яка розглядається для випадку h₁ =h₂ =1 і рівності нулю другого доданка.