Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл

Дискретизація інтегрального рівнянні і мінімізація нев'язки наближеного розв'язку в N контрольних точках - серединах прямокутників , приводить до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Стійкий числовий розв'язок цієї системи будується методом простої ітерації при умові.

Для випадку задачі про взаємодію оболонки з жорстким тілом через проміжний шар вздовж смуги S постійної ширини з серединною лінією L спочатку задається закон розподілу контактного напруження по ширині смуги (наприклад, близький до рівномірного) зводиться до інтегрального рівняння відносно усередненого контактного напруження вздовж лінії L, а потім будується числовий розв'язок цього рівняння.

Побудовано розв'язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара, заповненого рідиною, з двома жорсткими опорами через проміжний шар. Досліджено залежність контактних напружень від приведеної жорсткості проміжного шару; побудовано графіки розподілу контактних напружень.

Побудовано і досліджено розв'язки задач про взаємодію абсолютно жорстких гладких штампів постійної кривини з циліндричною оболонкою з вздовж смуги. Показано, що значення контактних напружень, знайдені за допомогою різних теорій оболонок, відрізняються тільки у приграничній зоні області контакту, співмірній з товщиною оболонки. Тому оптимальним при побудові числових розв'язків контактних задач є розбиття області контакту на відрізки, довжини яких співмірні з товщиною оболонки.

Розглядаються також задачі про взаємодію без відшарування циліндричної оболонки з підкріплюючими жорсткими елементами змінної кривини. Досліджено розв'язок задачі про підкріплення (вздовж смуги ширини ) шарнірно закріпленої замкнутої циліндричної оболонки (довжини ) жорстким бандажем, що має форму овалу з радіусами симетричних дуг.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено наукову проблему розвитку методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, а також розвитку методу Фур'є та методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання узагальнених розв'язків стосовно задач про локальну силову дію та тепловий нагрів тонкостінних пружних тіл, контактних задач теорії оболонок, задач про власні та вимушені коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами, отворами та включеннями.

Отримано наступні наукові та практичні результати:

1. Сформульовано послідовнісний підхід до побудови математичних моделей механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях, в основі якого лежить послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних елементів (теорій оболонок) та математичних моделей взаємодії з середовищем, а також послідовнісний підхід до побудови узагальнених розв'язків відповідних крайових задач. Практичною реалізацією підходу є наближення достатньо диференційованих розв'язків крайових задач послідовностями частинних сум рядів Фур'є (або послідовностями частинних сум степеневих рядів) і наближення узагальнених розв'язків крайових задач послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є (або слабко збіжними послідовностями функцій).

2. Систематизовано і строго викладено характерні в теорії пружності два методи редукції тривимірних задач для криволінійного шару до двовимірних, що ґрунтуються на апроксимації розв'язків послідовностями частинних сум рядів Фур'є за системою поліномів Лежандра від товщинної координати. Наведено рівняння для довільних наближень розв'язку, одержаних за першим і другим способами апроксимації, а також рівняння перших наближень, що відповідають математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов першого роду на лицевих поверхнях) та модифікованій математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов другого роду та змішаних умов на лицевих поверхнях).

3. Розвинуто у межах теорій оболонок Тимошенка метод послідовнісного подання математичних моделей деформування тонкостінних елементів, що ґрунтується на наближенні шуканих величин послідовностями частинних сум в ряди за введеними малими параметрами та побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; _ з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами. Сформульовано інтегральні умови застосовності спрощених теорій оболонок.

4. Поширено математичний апарат методу потенціальних комплексних функцій на граничні задачі згину пластинки з відсутніми нормальними жорсткими поворотами (ключовими для якої є бігармонічне і гармонічне рівняння). Знайдено потенціальні комплексні функції для задач згину і кручення нескінченних пластин з отворами та жорсткими круговими включеннями.

5. За допомогою варіаційних методів доведено коректність побудови послідовнісним методом спрощених теорій оболонок типу Тимошенка. Методом множників Лагранжа сформульовано узагальнені варіаційні принципи спрощених теорій оболонок типу Тимошенка, що відповідає побудові методом гіпотез співвідношень і рівнянь цих теорій.

6. Досліджено умови існування розв'язків Фур'є (у вигляді сум рівномірно збіжних тригонометричних рядів з рівномірно збіжними рядами похідних, що містяться у рівняннях) крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка в залежності від властивостей вільних членів диференціальних рівнянь і на цій основі розвинуто теоретичні основи послідовнісного подання узагальнених розв'язків крайових задач.

7. Побудовано подібні фінітні функції з наперед заданими властивостями гладкості і відповідні їм подібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур'є і на цій основі побудовано функції Гріна крайових задач теорії пологих оболонок у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є.

8. Показано, що подібні фінітні функції є ефективними математичними моделями локальних поверхневих навантажень тонкостінних тіл, а також досліджено вплив параметрів, що характеризують гладкість густин локальних поверхневих навантажень і параметрів області локалізації, на розподіл напружень у шарі. Використання рівнянь модифікованої теорії оболонок Тимошенка для визначення напружено-деформованого стану шару при локальних поверхневих навантаженнях забезпечує достатню точність, якщо навантаження моделюється гладкою дельтоподібною фінітною функцією з діаметром області локалізації більшим ніж товщина шару.

9. Побудовано математичну модель деформування тонкого криволінійного шару (покриття) при локально-імпульсному нагріві, в основу якої покладено послідовнісний підхід до моделювання навантажень і рівняння модифікованої теорії оболонок Тимошенка для випадку нехтування нормальними жорсткими поворотами.

10. Проведено теоретичний і числовий аналіз розв'язків задачі про локальне навантаження шарнірно опертої оболонки, прямокутної в плані, одержаних за допомогою рівнянь теорії оболонок Тимошенка, рівнянь класичної теорії оболонок Кірхгофа-Лява і спрощених рівнянь теорії оболонок типу Тимошенка, в основу спрощення яких покладено гіпотези про нехтовну малість нормальних жорстких поворотів. Показано, що деформований стан шарнірно закріпленої пологої оболонки за умов потенціальності поля зовнішніх тангенціальних сил та моментів і близькості кривин () характеризується нехтовно малими жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні. Для випадку оболонки з різними головними кривинами жорсткий поворот відносно нормалі до серединної поверхні не змінюється по товщині оболонки і хоч не дорівнює нулеві, однак, як показує числовий аналіз, не суттєво впливає на напружено-деформований стан оболонки.

11. Розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь стосовно динамічних задач теорії пологих оболонок типу Тимошенка, що ґрунтується на зображенні функцій Гріна у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є. При цьому крайові задачі для випадку однозв'язної границі серединної поверхні оболонки зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.

12. Розроблені числові схеми розв'язування граничних інтегральних рівнянь од-наково ефективні у застосуваннях до крайових задач як теорій оболонок типу Тимошенка, так і теорії оболонок Кірхгофа-Лява. Досліджено власні коливання шарнірно опертих прямокутних оболонок з підкріпленими або вільними від навантажень круговим і прямокутним отворами, а також оболонок з вирізами. Показано, що числові розв'язки задач про власні та вимушені коливання прямокутної пластинки з вільним від навантажень круговим отвором близькі до відомих розв'язків відповідних задач, одержаних методом скінчених елементів та методом Рітца.

Побудовано числові схеми розв'язання та знайдено розв'язки задач про власні та вимушені коливання оболонки з масивними включеннями.

13. Розроблено методику побудови розв'язків задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних пластин та оболонок. Досліджено власні коливання неоднорідної пластинки, складеної з двох однорідних частин, в залежності від густин її частин.

14. Розроблено методику розв'язування методом інтегральних рівнянь контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному зображенні функції Гріна. Вона полягає у _ побудові сингулярних розв'язків вихідних систем рівнянь у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур'є; _ формулюванні інтегральних рівнянь; _ побудові дискретних аналогів інтегральних рівнянь, що ґрунтуються на лінійній дискретизації області контакту і апроксимації функцій послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур'є. У межах послідовнісного подання узагальнених розв'язків контактних задач одержано наближені їх розв'язки, які узгоджуються з відповідними гіпотезами теорій оболонок.

15. Побудовано математичну модель нелінійно пружного проміжного шару, що узагальнює відомі математичні моделі на випадок обмеження поперечного деформування шару. Сформульовано задачі про взаємодію пологих оболонок з жорсткими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари і побудовано розв'язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара з опорами через нелінійно-пружний шар.

16. Запропоновано нові формулювання і побудовано розв'язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і задач про підкріплення оболонок. Розглянуто задачі про взаємодію оболонок з жорсткими елементами змінної кривини і досліджено розподіл контактних напружень при підкріпленні циліндричної оболонки жорстким бандажем овальної форми.

17. Розглянуті у дисертаційній роботі крайові задачі і відповідні їм інтегральні рівняння є типовими для інших галузей математичної фізики. Тому розвинуті методи послідовнісного підходу до побудови узагальнених функцій і математичних моделей локальних збурень фізичних полів, узагальнені методи підсумовування рядів, модифікації методу Фур'є та методу інтегральних рівнянь стосовно крайових задач мають значно ширшу область застосування. Вони ефективно можуть бути використані для розв'язування задач гідродинаміки, термодинаміки, в'язкопружності, дифракції та інших наук.

РОБОТИ, У ЯКИХ ОПУБЛІКОВАНІ ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек. - К: Наук. думка, 1980. - 216 с.

2. Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв'язки крайових задач: Навч. посібник / Рудавський Ю.К., Костробій П.П., Сухорольський М.А., Зашкільняк І.М., Колісник В.М., Микитюк О.А., Мусій Р.С. - Львів: Національний ун-т «Львівська політехніка», 2002. - 226 с.

3. Сухорольский М.А. Про штучне введення малих параметрів у задачах теорії пружності // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Диф. рівняння і їх застосування. - 1990. _ № 242. - С. 93-94.

4. Сухорольський М.А. Про підсумовування тригонометричних рядів // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Диф. рівняння та їх застосування. _ 1992.

_ № 261. _ С. 140-143.

5. Сухорольський М.А. Спрощені математичні моделі напруженого стану тонкого шару // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Прикл. математика. - 1997. _ № 320. - С 140-141.

6. Сухорольський М.А. Про порядок локального наближення функцій тригонометричними поліномами - частинними сумами операторів усереднення // Укр. мат. журн. - 1997. _ № 5. - С. 706-714.

7. Сухорольський М.А. Редукція тривимірної задачі теорії пружності для криволінійного шару до двовимірної // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Прикл. математика. - 1998. _ № 346. - С. 115-119.

8. Сухорольський М.А. Підсумовування за Ейлером степеневих і тригонометричних рядів // Мат. методи і фіз.-мат. поля. - 1999. -Т. 42, № 3. - С. 106-113.

9. Сухорольський М.А. Узагальнений розв'язок динамічної задачі для оболонки Тимошенка // Вісн. Львів. ун-ту. Серія механіко-математична. - 2000. -Вип. 57. _ С. 162-165.

10. Сухорольський М.А. Тонке покриття під локальним навантаженням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2000. - Т. 36, № 6. _ С. 33-38.

11. Сухорольський М.А. Метод граничних елементів розв'язування динамічних задач для оболонки з отвором // Машинознавство. _2000. _ № 3. _ С. 27-32.

12. Сухорольський М.А. Неявні малі параметри в граничних задачах теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2000. -Т. 42. _№3. - С. 126-130.

13. Сухорольський М.А. Узагальнені граничні інтегральні рівняння в теорії оболонок Тимошенка // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2000. -Т. 42, № 4. - С. 40-46.

14. Сухорольський М.А. Згинні коливання прямокутної ортотропної пластинки з масивним включенням // Машинознавство. _ 2001. _ № 1. _ С. 8

15. Сухорольський М.А., Колісник В.М. Про представлення дельтоподібних послідовностей // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Диф. рівняння та їх застосування. - 1993. _ № 269. _ С. 188-192.

16. Сухорольский М.А., Костенко И. С. Секвенциальное представление решений контактных задач теории оболочек // Теорет. и прикл. механика. - 2002. - Вып. 36. - С. 108_115.

17. Сухорольський М.А., Костенко І.С., Микитюк О.А., Зашкільняк І. М. Послідовнісний підхід до моделювання локальних збурень фізичних полів // Вісн. Запорізького держ. ун-ту. - 2002. _ №1. - С. 106_110.

18. Бурак Я.Й., Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А. Узагальнені розв'язки Фур'є крайових задач теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, №4. - С. 57-62.

19 Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Взаємодія пружної оболонки і жорсткого тіла через нелінійно-пружний шар // Машинознавство. - 2001. _ № 11. - С. 10_13.

20. Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Коливання кусково - однорідних оболонок і пластин // Машинознавство. - 2002. _№ 12. - С. 3_8.

21. Зашкильняк И.М., Костенко И. С., Сухорольский М.А. Исследование изгибных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с отверстием методом граничных элементов // Теорет. и прикл. механика. - 2001. - Вып. 34. _ С. 152-158.

22. Колесник В.М., Сухорольский М.А. О взаимосвязи перемещения и внешнего усилия для одного класса контактных задач теории пластин // Вестн. Львов. политехн. ин-та. Диф. уравнения и их приложения. - 1986. _ № 202. - С. 54-56.

23. Мартинович Т.Л., Сухорольський М.А. Комплексні функції напружень для задач згину пластинок тимошенківського типу // Крайові задачі термомеханіки. Частина 2. - К.: Ін-т математики НАН України, 1996. _ С. 18.

24. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один підхід до побудови теорії оболонок з врахуванням граничних умов на поверхнях // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1978. -№ 5. - С. 444-446.

25. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один метод апроксимації функції і її першої похідної поліномами Лежандра та його застосування // Доп. АН УРСР. Серія А. _ 1980. _№ 3. - C. 25-28.

26. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А. Метод Фур'є стосовно до динамічних задач для оболонок з отворами // Машинознавство. - 2003. _ № 1. - С. 15_19.

27. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А., Колісник В.М. Поперечні коливання пологої оболонки постійної кривини з жорстким включенням // Вісн. держ. ун-ту «Львівська політехніка». Прикл. математика. - 1998. _ № 337. - С. 389-392.

28. Шопа В.М., Сухорольский М.А. Про один клас контактних задач теорії оболонок // Доп. АН УРСР. Сер. А. _ 1987. _ № 9. _ С. 41-44.

29. Шопа В.М., Сухорольский М.А., Полевой Б.Н. Математическая модель нелинейной механической системы с упорами // Прикл. механика. - 1990. _ Т. 26, № 4. _ С. 109-113.

Размещено на Allbest.ru