Перетворення світлових пучків у параксіальних оптичних системах

Теорія, що її розвинуто в підрозділі 2.2, дозволяє узагальнити означення М²-фактора якості пучка [3] на випадки довільних тривимірних параксіальних пучків:

.

Разом з тим відзначено його обмежену придатність, пов'язану з докорінною вадою моментів інтенсивності як характеристик поперечного профілю пучка - високою чутливістю до характеру поведінки комплексної амплітуди і кутового спектра пучка в нескінченності. Для таких цінних і практично важливих моделей, як плоскі хвилі чи пучки, утворені при дифракції на отворах з “жорсткими” краями, метод моментів інтенсивності є незастосовним.

Слід завважити, що матеріали даного підрозділу відносяться до галузі, яка швидко розвивається, і тому частину його результатів було також незалежно добуто іншими методами (див., наприклад, [3,4]). Такі факти підтверджують достовірність результатів; у той же час, прийняті в дисертації способи їх виведення та кінцева форма є більш наочними і звичними для оптиків.

Підсумки розділу 2 закладають основи оптики амплітудно-неоднорідних параксіальних систем з довільним астигматизмом і дають практично вичерпний опис перетворень, здійснюваних лінзоподібними системами із заданою конфігурацією. Засоби аналізу ефектів, обумовлених невеликими відхиленнями від номінальної конфігурації, подано в розділі 3.

В рамках лінзоподібного наближення загальний аналіз (підрозділ 3.1) базується на попередній моделі оптичної системи (2), але з урахуванням лінійного по r члена правої частини. В цьому випадку найважливішу роль грає 5-рядкова розширена матриця передачі

(11)

утворена з матриці (6) доданням рядка з чотирьох нулів і вектора

що описує поточні координати нульового променя, який на вході системи пристає до осі z.

Як і в "центрованому" випадку, опис перетворень, здійснюваних роз'юстованою системою, будується за допомогою елементів матриці передачі (тепер це Н_е). Але дія такої системи не повністю визначається елементами розширеної матриці передачі; амплітуда і фаза пучка залежать ще й від "інтегрального" члена



,

що враховує нагромадження ефектів роз'юстування на всьому протязі оптичної системи. Тому у випадку послідовного з'єднання оптичних систем, крім правила обчислення матриці результуючої системи, в пункті 3.1.2 отримано ще й правило визначення величини J. Приклади розрахунку повного набору величин, що характеризують окремі роз'юстовані елементи, завершують побудову формальної схеми аналізу децентрованих оптичних систем.

У пункті 3.1.3 розглядаються найпростіші наслідки цієї схеми. Показано, що еволюція пучка в роз'юстованій системі може бути вичерпно описана, якщо відомі перетворення, здійснювані відповідною системою з ідеальною геометрією (центрованої), та будь-який розв'язок променевих рівнянь роз'юстованої системи. Знайдено автомодельні розв'язки рівняння еволюції (моди децентрованої лінзоподібної системи). Якщо система містить тільки фазові неоднорідності, то ці розв'язки можуть бути зображені як моди центрованої системи, “прив'язані” до певної викривленої осі, роль якої грає нульовий промінь, тобто вплив роз'юстувань зводиться до зсуву та повороту пучка як цілого без зміни його форми.

У пункті 3.1.4 розглянуто особливості опису перетворень моментів інтенсивності в децентрованій лінзоподібній системі. Показано, що в цьому випадку зміни перших та других моментів взаємопов'язані, і впроваджено розширену 5-рядкову матрицю перших і других моментів

,

перетворення якої виражається подібно до (9):



.

Сформульовані результати становлять формальний "каркас" матричного методу аналізу роз'юстованих лінзоподібних систем, але для його "наповнення" потрібне знання матриць типових оптичних елементів. Ця задача розв'язується в підрозділі 3.2, де з загальної точки зору розглянуто перетворення параксіального пучка при заломленні чи відбитті на криволінійній неоднорідній межі поділу доволі плавної форми. Розроблена для цього процедура ("метод зшиття"), заснована на узгодженні просторових розподілів падаючого, відбитого та прохідного пучків, забезпечує коректне врахування членів нульового, а при нормальному падінні - першого порядку параксіального наближення.

В якості загальної моделі оптичного елемента, на якому має місце злам оптичної осі системи, розглядається межа між однорідними ізотропними діелектричними середовищами 1 і 2 з показниками заломлення n₁ і n₂. З межею пов'язана система декартових координат (X, Y, Z), причому площина Z = 0 є дотичною до ідеально з'юстованого (номінального) розташування межи в точці заломлення O, де номінальна вісь системи O₁OO₂ терпить злам. Впроваджено також системи координат (x₁, y₁, z₁) і (x₂, y₂, z₂), пов'язані зі вхідним (падаючим) та вихідним (перетвореним) пучками відповідно; їх спільний початок відліку лежить у точці O. Через ту саму точку проходять відлікові площини, в яких повинні вимірюватись параметри пучків: вхідна ОП1 пристає до координатної площини z₁ = 0, вихідна ОП2 - до площини z₂ = 0. Осі z₁ і z₂ збігаються із вхідною та вихідною ділянками номінальної осі системи; вісь x₁ лежить у площині падіння, вісь x₂ - у площині заломлення, що проходить через осі Z і z₂. Можлива розбіжність площин падіння та заломлення (j₁ j₂) дозволяє брати до уваги ситуації, коли межа містить довільно орієнтовану дифракційну ґратку; при цьому вісь z₂ відповідає номінальному напрямку обраного порядку дифракції.

Нехай у номінальному режимі форма межи описується функцією

()

тоді форма роз'юстованої межи може бути зображена рівнянням

. (12)

Тут z і характеризують зсув уздовж нормалі і нахили межи навколо осей і ; перетвір

, (13)

де , враховує паралельний перенос R_s та поворот w_s розгляджуваного елементу в площині Z = 0, а також деформації, що відбуваються в цій площині і описуються полем зміщень U(R). Лінійні z, R_s, U(R) і кутові N, w_s параметри роз'юстувань за порядком величини не перевищують gb₀ та g відповідно.

У пунктах 3.2.1, 3.2.2 показується, що в загальному випадку така межа виконує проективне перетворення пучка, описуване розширеною матрицею передачі у вигляді (11), де

, (14)

та визначаються значення блоків цієї матриці для випадків проходження і відбиття від межи у формі поверхні другого порядку з можливою амплітудною неоднорідністю, еквівалентною децентрованому транспаранту с гауссовим розподілом пропускання.

Найбільш загальні результати наведені в пункті 3.2.3, де описана методика застосовується для аналізу лінзоподібних перетворень, здійснюваних довільно орієнтованими двовимірними дифракційними ґратками, в тому числі з криволінійними і нееквідистантними штрихами. Хоча поляризаційні характеристики та розподіл потужності дифрагованого випромінювання між різними порядками дифракції визначаються конкретною структурою ґратки, в кожному порядку здійснюється проективне перетворення пучка, і тому для опису характеристик випромінювання окремих порядків застосовним є матричний метод.

У цьому випадку ґратка моделюється періодичним транспарантом у площині Z = 0 з функцією пропускання

, (15)

, і -

базисні вектори оберненої ґратки. Для опису окремого (l, m) порядку достатньо розглянути лише один доданок суми (15). Подальший аналіз ґраток відрізняється тим, що в доповнення до вищезазначених видів збурень (12) і (13) слід взяти до уваги ще й "дисперсійне" роз'юстування, викликане відхиленням хвильового числа від номінального значення

, (16)

та відповідними змінами показників заломлення межуючих середовищ

, ,(17)



де - дисперсії матеріалів.

Матричний опис перетворень, виконуваних ґраткою, виявляється можливим і в деяких випадках складнішої, ніж квадратична, форми поверхні завдяки відповідній деформації ґратки U(R). В найбільш важливому випадку, коли межа є поверхнею другого порядку з вершиною в точці О, і

де - симетрична матриця кривизни,

, ,

,

.(18)

, ,

, ,

а симетрична матриця визначається умовою

=

при відсутності ґратки (гладка межа) слід вважати b_lm = 0.

Отримані результати дозволяють з нових позицій розглянути деякі властивості оптичних систем. Зокрема, розв'язується питання про "неоднозначність" оптичної довжини систем з ґратками, яка здається геометрично очевидною (на рис. 2 видима оптична відстань між вхідною і вихідною площинами при переході від номінальної осі до паралельної осі змінюється). Насправді такий перехід еквівалентний окремому випадку роз'юстування (13) - зсуву ґратки в її власній площині на вектор R_s, і врахування супутньої зміни фази вихідного пучка (див. останній доданок (18)) веде до висновку про повну ідентичність системи при будь-яких трансляціях осі.

При обговоренні ефектів, пов'язаних з рухом дифракційних ґраток відносно світлового пучка, доцільним є залучення "енергетичного" методу аналізу оптичних систем, заснованого на підрахунку роботи DE, продукованої світловим полем при механічному переміщенні елементів [5]. У пункті 3.2.5 показано, що якщо єдиним наслідком такого переміщення є зміна фази вихідного пучка, то вона дорівнює

, (19)

де w = F/c - лінійна густина енергії пучка, w = ck - кругова частота випромінювання. Рівність (19) поширює енергетичний підхід, відомий раніше тільки для резонаторів, на випадки незамкнених оптичних систем. Але більш важливим видається випливаючий з нього висновок, що тривіальний факт зміни фази світлового пучка при зсувах елементів оптичної системи може тлумачитись як свідоцтво існування його механічних атрибутів. Виявляється, прояви пондеромоторних взаємодій світлових хвиль виразно присутні майже в кожному перетворенні світлових пучків і можуть бути використані як у цілях аналізу оптичних систем, так і для вивчення механічних характеристик пучків різної структури.

Методологічні засади, сформовані в розділах 2 і 3, узагальнюються і отримують подальший розвиток у розділі 4. Тут розглядаються системи з "обмеженим" порушенням лінзоподібності, яке може бути певним чином "ізольовано", так що його врахування може розглядатись як доповнення і уточнення аналізу, виконаного на підставі більш простих лінзоподібних уявлень.

У підрозділі 4.1 досліджено перетворення, здійснювані ПДЕ. Під цією назвою об'єднуються заломні межи поділу, дифракційні ґратки та їх сполучення, які широко застосовуються для кутової селекції випромінювання з різними довжинами хвилі. Вони є окремими випадками розглянутих вище локальних елементів (рис. 1) при плоскій межі і без деформацій ґратки (Y = U(R) = 0).

В нульовому порядку параксіального наближення ПДЕ описується матрицею передачі (11), де Н визначається рівнянням (14) з С = 0, і розглядається як елемент з нульовою довжиною. Проте він відрізняється від звичайних параксіальних систем, що виконують проективне відображення площини на площину, тим, що реальні відстані між “предметом” і “зображенням” для різних пар спряжених точок можуть помітно відрізнятись. В цих умовах “довжина” ПДЕ, яка не може бути менше максимальної різниці вказаних відстаней, далеко не завжди є нехтовно малою.

У пункті 4.1.1 розроблено методику аналізу перетворень пучка в ПДЕ у першому порядку параксіального наближення. На основі розгляду ПДЕ як лінійного фільтра просторових частот і зображення пучка через кутовий спектр одержано вирази для ФГ ПДЕ і знайдено явний вигляд закону перетворення просторової структури пучка:

, (20)

(21)

є результат проективного наближення (t_e - коефіцієнт, що враховує ефективність перетворення, D - блок матриці передачі (6) ПДЕ, визначений за методикою розділу 2, ), а диференціальний оператор D_d описує поправку, обумовлену дифракцією пучка в ПДЕ. Її величина пропорційна розміру кутового спектра пучка і є тим більшою, чим більше відхилення траєкторії пучка від картини прямолінійного поширення чи дзеркального відбиття. В найбільш поширеному випадку, коли на рис. 1 j₁ = j₂ (осі падаючого і перетвореного пучків лежать в площині рис. 1а і є ортогональні до штрихів ґратки), у (20), (21) слід вважати

, ,(22)

, , .(23)

Дифракційні поправки не дорівнюють нулеві навіть у відсутності ґратки, тобто при звичайному заломленні на плоскій межі. Іншою їх особливістю є принципова тривимірність: у квадратних дужках (22) поперечні координати “перемішані” навіть тоді, коли з геометричної точки зору розділення змінних є припустимим. Нарешті, структура закону (20) - (22) така, що він дозволяє усунути видиму неоднозначність "дифракційної" довжини систем з ПДЕ: зміна “геометричної” довжини системи при паралельному зсуві її осі компенсується відповідною зміною правил трансформації пучка при переході до нових відлікових площин. Разом з висновком пункту 3.2.4 про поперечну інваріантність набігу фази пучка в системах с ґратками це означає, що оптична довжина таких систем не є принципово неоднорідною по поперечному перетину пучка, і вони, принаймні для монохроматичного світла, не відрізняються в цьому сенси від звичайних систем.

У пункті 4.1.2 розглянуто також перетворення енергетичних характеристик пучка (потоку і густини потоку енергії). Показано, що траєкторія ЦТ пучка у взаємодії з ПДЕ терпить поперечний зсув і нахил відносно відповідного геометро-оптичного променя, величина яких визначається просторово-кутовими моментами інтенсивності пучка. Наприклад, в умовах застосовності (22) зсуви компонент радіус-вектора ЦТ r₀ (4) визначаються співвідношеннями

, (24)

куди входять елементи блоку матриці моментів (5), що може слугувати для експериментального визначення останніх. За порядком величини лінійний зсув ЦТ може досягати 10-³ см, а відхил 10-⁵ рад.

Застосовувані звичайно для кутового відхилення пучка, ПДЕ, як правило, працюють в умовах роз'юстувань. Тому в пункті 4.1.3 розроблено методику аналізу роз'юстованих ПДЕ з урахуванням як геометричних (z, N, R_s, w_s, див. (12), (13)), так і дисперсійних ((16), (17)) збурень, а також методику розрахунку оптичних систем, що містять комбінації декількох ПДЕ та однорідних проміжків. Результуючий закон перетворення може бути зображений з гідною уваги подібністю до (20)

.

Тут є результат лінзоподібного наближення, описуваного розширеною матрицею (11), де , а матриця відрізняється від величиною порядку g, що враховує зміну поперечних розмірів вихідного пучка внаслідок роз'юстування і яка не бралась до уваги в розділі 3, поки точність обмежувалась нульовим параксіальним порядком. Вплив роз'юстувань виражається також у додатковому зсуві () та нахилі (c₂) вихідного пучка. Показано, що довільні комбінації ПДЕ і телескопічних ділянок можуть бути зображені як один ПДЕ, параметри якого залежать від параметрів складових частин системи; наведено алгоритм обчислення "результуючих" параметрів таких систем і правила побудови їх ФГ.

На цій основі одержано явні вирази, що описують перетворення пучка в найбільш широко використовуваних оптичних системах з ПДЕ: з дифракційною ґраткою в автоколімаційному розташуванні, з призмою Літтрова та з декількома однаковими ґратками або симетричними призмами. Розроблена методика опису перетворень пучка в системах з ПДЕ істотно базується на скалярній моделі пучка, але може бути узагальнена для врахування векторного характеру світлових хвиль; просторову неоднорідність ПДЕ можна взяти до уваги шляхом впровадження відповідної залежності t_e(r₂) у (21).

У підрозділі 4.2 розглянуто іншу практично важливу ситуацію, де методи розділів 2 і 3 приносять відчутну користь. Вона може слугувати моделлю поширення пучка в середовищі з одночасною присутністю крупномасштабної регулярної та дрібномасштабної стохастичної неоднорідностей показника заломлення. До такого типу належить багато технічних і природних об'єктів, особливо біологічних, і вивчення здійснюваних ними перетворень світлових пучків становить інтерес для розвитку оптичних методів їх дослідження та діагностики.

Обговорювані в цьому підрозділі системи можуть бути описані як середовища, показник заломлення яких репрезентується співвідношенням (1), другий доданок якого складається з двох частин:

,

описуючих крупномасштабну регулярну та дрібномасштабну випадкову компоненти. Поширення пучка в такому середовищі аналізується за таких умов:

· середовище є крупномасштабно лінзоподібним, тобто регулярна компонента неоднорідності заломлення має вигляд (2);

· характеристичні розміри дрібномасштабної і крупномасштабної b₀ неоднорідностей задовольняють нерівності (цим забезпечується малокутовий характер розсіяння та застосовність параксіального наближення);

· є статистично однорідним дійсним випадковим полем з нульовим середнім і кореляційною функцією

.

При цьому виявляється можливим знайти точне аналітичне зображення ФВ параксіального пучка, яке визначається розширеною матрицею передачі (11), що враховує тільки крупномасштабну компоненту. Відповідні результати є узагальненням, з одного боку, законів поширення пучка в ідеально лінзоподібному середовищі, з іншого - результатів теорії малокутового розсіяння в середовищі без крупномасштабної неоднорідності [6].

Їх найбільш цікаві наслідки стосуються поведінки матриці других центральних моментів (5). Її можна зобразити як суму

,

описує еволюцію пучка з початковою матрицею моментів М(0) при врахуванні тільки квадратичної частини неоднорідності (2), тобто в припущенні , а доданок



(25)

"акумулює" всі внески розсіюючої неоднорідності, що проявляються в поведінці других моментів. У

,

- матриця передачі (6), що описує властивості ділянки центрованої лінзоподібної системи між перетинами z_t і z.

Той факт, що вплив розсіяння може бути виражений таким простим чином, є додатковим підтвердженням ефективності методів ФВ і моментів інтенсивності. Знайдені рівняння для моментів пучка в неоднорідному розсіюючому середовищі явно виражають зв'язок параметрів середовища і безпосередньо вимірюваних характеристик пучка, що може виявитись корисним в задачах оптичного зондування. Зокрема, можна запропонувати низку раціональних методик вимірювання параметрів середовища і , наприклад, визначити функції моментів, які залежать лише від якого-небудь одного типу неоднорідності, знайти характеристики пучка, відносно стійкі до неминучих відхилень від прийнятої моделі, і т. ін.

Розроблені в даній роботі методи слугують основою простих і ефективних схем розрахунку характеристик випромінювання в багатьох практично важливих оптичних системах. Серед останніх особливе місце належить оптичним системам відкритих резонаторів, яким присвячено розділ 5. Резонатори являють собою приклад пристроїв, аналіз яких вимагає детального дослідження всього комплексу просторово-кутових, частотних і амплітудних характеристик випромінювання і тому потребує застосування найбільш досконалих методів.

У підрозділі 5.1 розглянуто властивості астигматичних дводзеркальних резонаторів з довільним лінзоподібним заповненням. Найпростіша резонаторна структура утворена двома нескінченними дзеркалами 1 і 2, номінальна форма поверхні яких задається рівнянням

,

де - симетрична дійсна матриця, j = 1, 2 - індекс, що нумерує дзеркала, - значення осьового показника заломлення (див. (1)) всередині резонатора біля дзеркал. Між дзеркалами розташована лінзоподібна система з матрицею передачі .

Основна мода нероз'юстованого резонатора являє собою гауссів пучок (3) з t = 0, а вищі моди визначаються через (8). Як звичайно [2], параметри мод знаходяться з умов відтворюваності пучка після колового обходу. В даній роботі, завдяки використанню властивостей блоків матриці передачі, для них отримані компактні аналітичні вирази. Результати мають вигляд, аналогічний відомим формулам для двовимірних резонаторів, внаслідок чого вони легко інтерпретуються і дозволяють автоматично узагальнити багато положень елементарної теорії відкритих резонаторів на випадок складного астигматизму. Наприклад, просторовий профіль пучка, що виходить із резонатора через j-е дзеркало, характеризується виразом

, (26)



який відрізняється від аналогічного результату теорії двовимірних резонаторів лише тим, що скалярні величини замінено відповідними матрицями. Так, матриці

, .

є аналогами відомих g-параметрів [2], W_j відповідають кривизні дзеркал, а - довжині резонатора. Та ж аналогія простежується і у співвідношеннях, що визначають власні частоти і поріг генерації резонатора, а також (для резонаторів з дійсною лінзоподібністю) умови стійкості [2], але там аналогом добутку g₁g₂ є власне значення матриці

Важливо відзначити, що зовнішня подібність формул не означає відсутності глибоких фізичних відзнак, спричинених астигматизмом резонатора. Зокрема, багатозначність квадратного кореня з матриці в (26) відбиває можливість специфічних вироджених ситуацій, коли з даною конфігурацією резонатора сумісні гауссові пучки різних форм. Так, у стійкому резонаторі, якщо матриця g₁g₂ скалярна, а , існує нескінченна множина "основних" мод у вигляді обертових гауссових пучків, і кожна з них, згідно з (8), "породжує" власний набір вищих мод.

Ефекти, обумовлені роз'юстуванням дзеркал і внутрішньорезонаторних елементів, розглядається в пункті 5.1.2, де наведені аналітичні вирази, що визначають поперечний зсув і нахил осі пучка основної моди астигматичного резонатора. Завдяки особливостям лінзоподібних систем, отримані співвідношення дозволяють описати й поведінку вищих мод, а також зсуви власних частот і порога генерації, викликані роз'юстуванням. Результати пункту допомагають досліджувати чутливість характеристик резонатора до роз'юстувань і шукати конфігурації з корисними властивостями, наприклад, з підвищеною стійкістю відносно механічних збурень.

З цієї точки зору астигматичний дводзеркальний резонатор узагальнено характеризується величиною , яку можна розглядати як матричний аналог "міцності променевого контуру", відомої для резонаторів без амплітудної неоднорідності [7]. На відміну від більшості ранніх робіт використаний метод природним чином дозволяє досліджувати вплив роз'юстувань і деформацій внутрішньорезонаторних елементів. Завдяки цьому знайдено нові умови стабилізації характеристик випромінювання; зокрема, встановлено, що пучок на вихідному дзеркалі “не відчуває” клиновидної неоднорідності в середині резонатора, якщо подовжній розподіл цієї неоднорідності є ортогональний (у функціональному значенні) певним променям нероз'юстованого резонатора, що відтворюються при відбитті від іншого дзеркала.

У підрозділі 5.2 розроблено і досліджено уточнену модель дисперсійного резонатора (ДР) перестроюваного лазера. В основі звичайних методів аналізу ДР з ПДЕ лежить уявлення про "еквівалентний резонатор" (ЕР). Воно дозволяє при дослідженні мод і перестроювальних характеристик лазера з ДР замінити останній певним неселективним резонатором, причому частотне розстроювання вихідного ДР описується як роз'юстування ЕР [8]. Модель ЕР довгий час вважалась цілком задовільною, поки не стали відомі експериментальні факти, які не вдавалось пояснити на її основі [9]. Це стало головним стимулом для удосконалення теорії ДР на базі викладених вище результатів дослідження перетворень пучка в ПДЕ.

Об'єктом аналізу є типовий дводзеркальний ДР, структура якого зображена на рис. 3. При парному m він містить m/2 симетричних призм; випадок непарного m відповідає наявності коло дзеркала 1 призми Літтрова (“половини” симетричної призми), і тоді всередині резонатора міститься (m - 1)/2 “цілих” призм. Розміри дзеркал 1 і 2 не обмежені, так що всі апертурні ефекти визначаються діючою діафрагмою розміром 2a2b.

Найбільш загальним методом дослідження такого резонатора є метод інтегральних рівнянь. Оскільки розв'язок і дослідження таких рівнянь є складною математичною задачею, спочатку розглядається простіший випадок, коли площини дзеркала 2 і апертурної діафрагми збігаються (l₂ = 0). Для нього в пункті 5.2.1 виводиться рівняння

,(27)

де u(X, Y) - власна функція рівняння, що описує розподіл комплексної амплітуди резонаторної моди в площині діафрагми, - відповідне власне значення,

,

- диференціальні оператори, що описують вплив дифракційних поправок (коефіцієнти n_x, n_y і f_x визначаються рівностями (23)), - множник, що враховує залежність пропускання граней призми від кута падіння, параметр

, (28)

характеризує ефективний кут роз'юстування ЕР, а є інтегральний оператор [2] ЕР

;



крім того, впроваджені безрозмірні параметри , та ефективні числа Френеля N_x, N_y, які залежать від роз'юстування та параметрів структури резонатора g_xl, g_yl

, .

Щоб отримати опис резонатора з дифракційними ґратками, досить переозначити g_k у (28).

З метою з'ясування ролі дифракційних поправок у пункті 5.2.3 розглядаються властивості резонатора при номінальній настройці (h = 0). Для цього розроблено наближені методи аналітичного дослідження інтегрального рівняння (27). У випадку N_x,y >> 1 застосовується підхід теорії збурень [2], у протилежному випадку N_x,y << 1 - метод пробних функцій (розподіл комплексної амплітуди шукається у вигляді полінома від поперечних координат).

У першому наближенні розгляджувані поправки не збурюють власних частот ДР, а в просторовому розподілі основної моди виникає асиметрія. ЦТ поперечного профілю пучка зсувається в бік меншої ефективної довжини резонатора на величину порядку a²/L, де L - довжина резонатора (звичайно долі проценту від ширини пучка). Асиметрія розподілу фази вихідного пучка здатна викликати кутове відхилення пучка від номінальної осі резонатора, знак якого може бути змінено при варіаціях довжини або апертури резонатора.

У пункті 5.2.4 аналітично і чисельно досліджено добротність резонатора з ПДЕ. Висновок, що мінімум втрат (тобто максимум залежності ) може досягатись у конфігурації, яка відповідає певному роз'юстуванню ЕР, є найбільш суттєвим уточненням загальновживаної моделі ЕР. Він означає, що довжина хвилі, на якій здійснюється генерація в перестроюваному лазері, всупереч існуючим уявленням, не обов'язково збігається з довжиною хвилі, для якої його резонатор є нероз'юстованим.

У випадку щілинної діафрагми, витягненої вздовж осі y (a/b << 1), і N_x << 1 величина зсуву довжини хвилі описується простою формулою, якісно придатною і в інших ситуаціях

.

Фізична природа зсуву резонансної довжини хвилі полягає в тому, що при роз'строюванні ДР відбувається не лише роз'юстування ЕР (чому відповідає зменшення добротності), а й зміна інших параметрів ЕР, що здатні компенсувати це зменшення. Члени в дужках відповідають трьом каналам такого впливу. Перше з них (~ g_k) відображає роль зміни довжини хвилі, друге (~ g_xl) обумовлене зміною ефективної довжини резонатора, нарешті, третє покликане компенсувати збільшення дифракційних втрат, що виникає внаслідок поперечного зсуву пучка в резонаторі з ПДЕ.

У пункті 5.2.5 виконано аналіз більш реальної схеми ДР, у якій дзеркало 2 і діафрагма просторово розділені. Розгляд базується на чисельних розрахунках, виконаних за методом Фокса - Лі [2]. У цьому випадку становить інтерес залежність Dl₀ від розташування діафрагми. Криві 1 відрізняються від кривих 2 тим, що в другому випадку діафрагму зміщено в поперечному напрямку на 1 см "вище" початкової осі резонатора. Як видно з графіків, довжина хвилі генерації за певних умов виявляється досить критичною як до подовжніх, так і до поперечних зсувів діючої діафрагми.

Величина відповідного зсуву довжини хвилі в більшості ситуацій є невеликою (до 20 пм), однак вона залежить від параметрів структури ДР. Це може стати причиною спотворень перестроювальної характеристики і невідтворюваності довжини хвилі перестроюваних лазерів, помітною при їх застосуванні для прецизійних вимірювань. Результати розрахунків свідчать також про можливість нетрадиційних механізмів керування спектром генерації перестроюваних лазерів шляхом поступних пересувань елементів, наприклад, при поперечному зсуві діафрагми.

Універсальний характер і ефективність розроблених методів та концепцій найкраще проявляються в застосуваннях до нових напрямів досліджень, що виникли в останні роки. До таких належить оптика пучків с оптичними вихорами [1], які здатні нести "орбітальний" механічний кутовий момент (ОКМ), що не залежить від стану поляризації. У розділі 6 викладено найважливіші підсумки дослідження таких пучків.

У підрозділі 6.1 подано опис спінового, орбітального і повного моменту імпульсу параксіального пучка в довільному стані поляризації. Для цього техніку, використовувану в попередніх розділах у рамках скалярного наближення, поширено на просту "векторну" ситуацію. Пучок зображується у вигляді суперпозиції двох ортогонально поляризованих компонент; при цьому вираз для кутового моменту пучка складається з двох доданків, інтерпретованих як "орбітальна" (зобов'язана специфічній формі амплітудно-фазового профілю пучка) та "спінова" (обумовлена циркулярною поляризацією) компоненти. Тим самим досягається уніфіковане зображення спінового і орбітального моментів довільного параксіального пучка. Переваги такого підходу розкриваються у випадку часткової поляризації, коли він веде до співвідношення спінового моменту L_C з параметрами Стокса s₃, s₀ [10]

,

придатного і при неповній когерентності пучка.

Підрозділ 6.2 присвячено загальному розгляду ОКМ як характеристики циркулярного переносу енергії в оптичних пучках. При цьому головним інструментом слугує встановлений в пункті 6.2.1 зв'язок ОКМ L і моментів інтенсивності пучка, виражений формулою

,

де М₁₂ - блок матриці моментів (5), J_a означено в (13), позначає слід матриці.

Цей результат дозволяє включити концепцію ОКМ у добре розвинуту схему характеризації пучка за допомогою матриці моментів і користуватись при дослідженні ОКМ усіма супутніми перевагами: комерційно доступним стандартним обладнанням для вимірювань, детально розробленим математичним забезпеченням і т.д. Зокрема, за його допомогою в пункті 6.2.2 проаналізовано властивості ОКМ як характеристики поперечної циркуляції енергії в пучку. Показано, що ОКМ адекватно відображає загальні аспекти такої циркуляції; в той же час існують дві якісно різні форми поперечної циркуляції світлової енергії, опис яких вимагає уточнення відомих концепцій. Перша форма - вихрова - властива сингулярним пучкам з осьовою симетрією та гвинтовою дислокацією хвильового фронту, друга характерна для пучків з гладким фронтом, але з порушеною симетрією і з неузгодженням головних осей поперечних розподілів амплітуди і фази (приклад - обертовий гауссів пучок). У вихрових пучків з порушеною симетрією звичайно присутні обидві форми, що можуть переходити одна в одну в процесі поширення або перетворення пучка в оптичній системі. Для опису таких ситуацій впроваджено кількісні характеристики вихрової L_v та невихрової ("асиметрійної") L_a компонент повного ОКМ

, .



У пункті 6.2.3 теоретично і на чисельних прикладах ілюструється продуктивність впроваджених означень компонент ОКМ, їх адекватність як мір присутності "вихрового руху" в пучку та його видимого обертання. Обговорюються також межи їх застосовності, обумовлені, головним чином, обмеженими можливостями других моментів як характеристик пучка.

Зображення ОКМ пучка через матрицю моментів використовується в підрозділі 6.3 для розробки методу вимірювання ОКМ, заснованого на властивостях перетворення пучка в ПДЕ. Його принцип випливає з рівності (24), згідно з якою зсув ЦТ пучка в ПДЕ безпосередньо залежить від елементів матриці М₁₂, тобто саме від тих моментів, котрі визначають величину ОКМ. При застосуванні в якості ПДЕ автоколімаційної дифракційної ґратки інформація про ОКМ добувається з компоненти зсуву ЦТ, перпендикулярній до площини падіння: . Для визначення моменту вихідний пучок піддається перетворенню, що відповідає переставленню поперечних координат, і вимірювання повторюється. Згідно з оцінками, після автоколімаційного відбиття від ґратки в мінус перший порядок зсув ЦТ лагерр-гауссового пучка з довжиною хвилі 632.8 нм може досягати 10-⁴ см, а відповідна точність вимірювання ОКМ - 1%. Така процедура вимірювання ОКМ вигідно відрізняється від раніше запропонованих методів [1] тим, що не спирається на механічну дію світла і тому вільна від невизначеностей, пов'язаних з невідомою ефективністю передачі моменту імпульсу мікрочастинкам, і не вимагає точної реєстрації їх механічного руху.



ВИСНОВКИ

У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове розв'язання наукової проблеми, що виявляється у створенні узагальненого уніфікованого підходу до опису і аналізу перетворень світлових пучків у параксіальних оптичних системах. Внаслідок цього вдалося з вичерпною повнотою реалізувати можливості лінзоподібних моделей та побудувати низку точно розв'язних аналітичних моделей, що описують властивості важливих нелінзоподібних систем, які становлять інтерес для застосувань. Це досягнуто завдяки систематичному дослідженню властивостей параксіальних пучків, оптичних систем і методів їх характеризації, вивченню природи і математичної структури параксіального наближення, залученню додаткових можливостей, що виникають при застосуванні, поряд із традиційними, енергетичних та механічних характеристик пучка, функції Вігнера і її моментів.

Отримані в роботі результати можна віднести до кількох тематичних груп.

Теорія параксіальних оптичних систем

1. Систематичний аналіз властивостей 4- і 5-рядкових матриць передачі та їх блоків, класифікація астигматичних лінзоподібних систем за виглядом їх матриць і впровадження матричних аналогів звичайних скалярних параметрів оптичних систем дозволили розробити стандартну процедуру аналітичного опису перетворень параксіального пучка як у центрованих, так і в роз'юстованих лінзоподібних оптичних системах з довільними астигматизмом і амплітудною неоднорідністю елементів.

2. Створена таким чином формальна схема аналізу астигматичних систем наповнюється конкретним змістом завдяки встановленим у роботі правилам обчислення матриць передачі типових астигматичних елементів. Зокрема, знайдено 5-рядкові матриці, що описують перетворення пучка при довільному падінні на неплоску межу поділу у формі поверхні другого порядку та на зігнуту 2-вимірну дифракційну ґратку. Модельовані такими сполученнями оптичні елементи практично вичерпують множину локальних елементів, присутність яких може бути описано в рамках матричного метода.

Означені результати ввійшли до монографії [2]; загалом вони утворюють впорядковану сукупність фактів, понять і методів, яку можна розглядати як практично завершену картину оптики лінзоподібних астигматичних систем. Але при застосування до реальних об'єктів їх точність часом є недостатньою; зокрема, при похилому падінні вона обмежується нульовим параксіальним порядком, що стимулювало подальший вихід за межи лінзоподібного наближення.

3. Знайдено закони перетворення просторової структури параксіального пучка у плоскому дисперсійному елементі (ПДЕ), що враховують у першому порядку параксіального наближення дифракцію пучка в ПДЕ, і розроблено уніфіковану схему аналізу оптичних систем, що містять лінзоподібні елементи і ПДЕ. Величина відповідних дифракційних поправок знаходиться у прямій залежності від розміру кутового спектру пучка і степеня відхилу траєкторії пучка від прямолінійного поширення чи дзеркального відбиття. Врахування дифракційних поправок дозволяє усунути позірну неоднозначність оптичної довжини систем з ПДЕ. Перетворення пучка в ПДЕ є також принципово тривимірним; воно супроводжується “перемішуванням” поперечних координат навіть тоді, коли з геометричної точки зору розділення поперечних змінних видається припустимим.

4. Теоретично передбачені явища зсуву і нахилу траєкторії центра тяжіння світлового пучка при проходженні через ПДЕ, достовірність яких була пізніше підтверджена в роботах інших авторів незалежним аналізом окремих випадків (відомий зсув Гооса-Хенхена [11], спостережуваний при повному відбитті, є окремим випадком цього ефекту). Величина зсувів визначається просторово-кутовими моментами інтенсивності пучка і може слугувати для їх експериментального вимірювання.

5. На основі опису просторової структури пучка за допомогою функції Вігнера аналітично розв'язана задача про поширення параксіального пучка в лінзоподібній системі зі світлорозсіянням. Особливо наочно виглядають закони еволюції моментів інтенсивності пучка, де роль розсіюючої неоднорідності зводиться до додання адитивних членів у результати, отримані для чисто лінзоподібного випадку. Здобуті формули є застосовними при оптичних дослідженнях середовищ, у яких одночасно присутні крупномасштабна і дрібномасштабна неоднорідності, і можуть бути корисними в задачах технічної та біомедицинської діагностики.

6. Здійснено подальший розвиток енергетичного методу аналізу роз'юстованих і деформованих оптичних систем, заснованого на розгляді пондеромоторної взаємодії світлового пучка з оптичними елементами. Метод поширено на незамкнені системи, а зміни фази пучка пов'язано з роботою сил світлового тиску при деформаціях системи. Цей факт свідчить, що механічна дія світлових хвиль виразно виявляється майже в кожному перетворенні пучка і може бути використана як для аналізу оптичних систем, так і для вивчення механічних характеристик світлових пучків різної структури.

Опис і характеристики світлових пучків

7. Впроваджено повну матрицю просторово-кутових моментів інтенсивності довільного параксіального пучка. Показано, що сукупність моментів мусить розглядатись як єдиний фізичний об'єкт, знайдено диференціальні і алгебраїчні рівняння еволюції моментів у системах з дійсною лінзоподібністю, досліджено інваріанти матриці моментів і класи параксіальних пучків, що відрізняються властивостями їх матриці моментів. Аналоги деяких результатів, отримані незалежно в роботах інших авторів, підтверджують їх достовірність. Проте прийняті в дисертації способи їх виведення і кінцева форма більш показові і звичні для оптиків.

8. Із застосуванням інваріантів і канонічних зображень показано, що матриця моментів будь-якого параксіального пучка може бути подана як сума матриць моментів двох гауссових пучків або як матриця моментів певного позаосьового гауссового пучка. На цій підставі узагальнено методи моделювання довільних параксіальних пучків через "вбудовані" гауссові пучки, які раніше були розроблені лише для двовимірних та еквівалентних їм пучків. Ці методи можуть застосовуватись при аналізі і конструюванні оптичних систем, призначених для роботи з випромінюванням реальних лазерів.

9. Виявлений зв'язок моментів інтенсивності з енергетичними і механічними характеристиками пучка дозволив включити останні в добре розроблену систему параметрів просторово-кутового розподілу енергії в пучку. Завдяки цьому всі переваги апарату матриці моментів інтенсивності можуть бути використані при вивченні картини переносу енергії в світлових пучках та відповідних механічних ефектів.

Відзначені результати практично завершують побудову формальних засад методу других моментів у найзагальнішому вигляді і створюють повноцінну базу для його застосувань. В даній роботі цей метод використано для дослідження пучків з оптичними вихорами:

10. Знайдено зображення орбітального кутового моменту (ОКМ) параксіального пучка через елементи матриці моментів, на основі якого продемонстровано ефективність застосування ОКМ як характеристики просторової структури пучка с оптичним вихором. Виявлено існування двох якісно різних форм поперечної циркуляції енергії в таких пучках, для опису яких за допомогою моментів інтенсивності впроваджено кількісні означення "вихрової" та "невихрової" компонент ОКМ. Корисність нових характеристик для вивчення перетворень вихрових пучків у системах, що порушують їх симетрію, підтверджено в експериментах.

11. На основі результатів п. 4 в дисертації розроблено принцип і запропоновано конкретну схему безпосереднього вимірювання елементів матриці моментів, а також ОКМ пучка. В порівнянні з відомими методами, заснованими на спостереженні механічної дії "обертального" світлового пучка, пропонована процедура є більш зручною і забезпечує точність порядка 1%.

Переваги запропонованих методів яскраво виявляються в теорії відкритих оптичних резонаторів, яка звичайно вимагає найбільш досконалих підходів:

12. Одержано повний аналітичний опис характеристик випромінювання ідеальних і роз'юстованих дводзеркальних лінзоподібних резонаторів з довільним астигматизмом міждзеркальної оптичної системи і дзеркал. Явні вирази для просторових і частотних параметрів мод резонатора, що є матричними узагальненнями відомих результатів теорії двовимірних резонаторів, легко інтерпретуються і дозволяють широко залучати звичні уявлення; в той же час специфіка астигматичного резонатора проявляється у нових випадках виродження мод, додаткових можливостях стабілізації характеристик та ін.

13. Закони перетворення пучка в ПДЕ використано для побудови уточненої теорії дисперсійних резонаторів перестроюваних лазерів. Виведено інтегральні рівняння, що описують практично важливі конфігурації таких резонаторів (з призмою Літтрова, з автоколімаційною ґраткою та з кількома однаковими призмами чи ґратками), розроблено методи їх аналітичного і чисельного розв'язку. Обчислено викликані ПДЕ деформації мод резонатора, що в типових випадках становлять ~ 0,1%, але можуть призвести до відчутних варіацій дифракційних втрат.

14. У першому порядку параксіального наближення уточнено механізм селекції частоти генерації лазерів з дисперсійними резонаторами. Показано, що робоча довжина хвилі перестроюваного лазера може відрізнятись від того значення, для якого його резонатор є нероз'юстованим. Для типових умов генерації на 1,06 мкм величина зсуву становить десятки пікометрів, але вона може бути більшою за зростання номінальної довжини хвилі та звуження діючої діафрагми. Крім того, вона залежить від геометричних параметрів резонатора. На цьому ґрунті виникає можливість перестроювання лазерів не тільки при кутових поворотах, а і при певних поступних рухах елементів резонатора, що слід ураховувати, наприклад, при вимірювальному використанні перестроюваних лазерів. На цій основі можлива також розробка нових методів керування спектром і вдосконалення конструкції резонатора з метою підвищення стабільності та керованості параметрів генерації.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Бекшаев А.Я. Преобразование оптического пучка при падении на неплоскую границу раздела // Опт. и спектр. - 1984. - Т. 57, № 6. - С. 1070-1073.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Матричный метод анализа оптических систем с произвольными квадратичными фазово-амплитудными корректорами // Опт. и спектр. - 1986. - Т. 61, № 5. - С. 1123-1128.

Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М. Моды астигматического резонатора с линзоподобной средой // Опт. и спектр. - 1988. - Т. 64, № 1. - С. 170-176.

Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М., Окунишников О.Н. Измерение координат энергетического центра многомодовых световых пучков квадрантным фотоприемником // Измерительная техника. - 1988. № 5. - С. 28-29.

Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М. Нарушение поперечности и перенос энергии электромагнитного поля в когерентных световых пучках // Опт. и спектр. - 1989. - Т. 66, № 1. - С. 220-222.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Матричный метод анализа разъюстированных оптических систем с астигматическими элементами // Опт. и спектр. - 1989. - Т. 66, № 4. - С. 910-913.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Учет локальных элементов в матричном методе анализа разъюстированных астигматических систем // Опт. и спектр. - 1989. - Т. 66, № 3. - С. 702-708.

Бекшаев А.Я. Матричное описание двумерных дифракционных решеток // Опт. и спектр. - 1989. - Т. 67, № 2. - С. 428-432.

Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М., Окунишников О.Н. Метод измерения смещений пучков с флуктуирующими параметрами при помощи квадрантного фотоприемника // Измерительная техника. - 1989. - № 9. - С. 16-18.

Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М. Влияние разъюстировок на пространственные характеристики излучения астигматического резонатора с линзоподобной средой // Опт. и спектр. - 1991. - Т. 70, № 4. - С. 902-906.

Бекшаев А.Я. Высшие моды и собственные частоты разъюстированных двухзеркальных астигматических резонаторов // Опт. и спектр. - 1991. - Т. 71, № 6. - С. 1074-1078.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Теория моментов интенсивности произвольных световых пучков // Опт. и спектр. - 1994. - Т. 76, № 4. - С. 624-635.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Изменение структуры световых пучков при их прохождении через дисперсионные элементы. I. Общая теория // Опт. и спектр. - 1995. - Т. 78, № 5. - С. 808-816.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Изменение структуры световых пучков при их прохождении через дисперсионные элементы. II. Частные случаи // Опт. и спектр. - 1996. - Т. 80, № 3. - С. 497-504.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Уточненная теория оптических систем, содержащих элементы с угловой дисперсией // Опт. и спектр. - 1996. - Т. 81, № 2. - С. 308-318.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я. Уточненная теория дисперсионных резонаторов // Опт. и спектр. - 1997. - Т. 82, № 5. - С. 860-868.

Бекшаев А.Я. Влияние дифракции в плоских дисперсионных элементах на настройку дисперсионного резонатора // Опт. и спектр. - 1998. - Т. 84, № 4. - С. 682-689.

Бекшаев А.Я. Изменение структуры световых пучков при их прохождении через дисперсионные элементы: энергетический подход // Опт. и спектр. - 1998. - Т. 85, № 3. - С. 503-506.

Бекшаев А.Я. Моменты интенсивности лазерного пучка, образованного суперпозицией эрмит-гауссовых мод // Фотоэлектроника: Межведомственный научный сборник. - Одесса: ОГУ, 1999. - Вып. 8. - С. 22-25.

Ананьев Ю.А., Бекшаев А.Я., Гримблатов В.М. Пространственно-угловые моменты интенсивности световых пучков в линзоподобной среде со светорассеянием // Опт. и спектр. - 1999. - Т. 87, № 1. - С. 114-120.

Бекшаев А.Я. Проявление механических свойств световых волн в оптических системах: "вихревые пучки" // Опт. и спектр. - 2000. - Т. 88, № 6. - С. 993-999.

Бекшаев А.Я. Фазовые соотношения и эффективная длина оптических систем с дифракционными решетками // Вісник Одеського державного університету. - 2000. - Т. 5, вип. 3. - С. 135-140.

Бекшаев А.Я., Васнецов М.В., Денисенко В.Г., Соскин М.С. Преобразование орбитального углового момента пучка с оптическим вихрем в астигматической оптической системе // Письма ЖЭТФ. - 2002. - Т. 75, № 3. - C. 155-158.

Bekshaev A.Ya., Popov A.Yu. Method of light beam orbital angular momentum evaluation by means of space-angle intensity moments // Ukrainian Journal of Physical Optics. - 2002. - V. 3, No 4. - P. 249-257.

Bekshaev A.Ya., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Optical vortex symmetry breakdown and decomposition of the orbital angular momentum of light beams // J. Opt. Soc. Amer. A. - 2003. - V. 20, No 8. - P. 1635-1643.

Grimblatov V.M., Bekshaev A.Ya. Characterization of the laser beams with different scale inhomogeneities by means of space-angle moments // Beam Control, Diagnostics, Standards and Propagation. - Proc. SPIE. - 1995. - V. 2375. - P. 294-304.

Bekshaev A.Ya., Grimblatov V.M. Diagnostics of lens-like media with small-scale inhomogeneities by method of probing beam intensity moments // 5th International Conference on Industrial Lasers and Laser Applications '95. - Proc. SPIE. - 1996. - V. 2713. - P. 442-452.

Grimblatov V.M., Bekshaev A.Ya. Diagnostics of lens-like biological media // Photon Propagating in Tissues. - Proc. SPIE. - 1995. - V. 2626. - P. 188-195.

Anan'ev Yu.A., Bekshaev A.Ya. Theory of optical resonator with plane dispersive elements // Laser Resonators. - Proc. SPIE. - 1998. - V. 3267. - P. 317-328.

Bekshaev A.Ya., Kontush S.M., Mikhailovsky S.S. Aerosol diagnostics in inhomogeneous media by the method of small-angle light scattering // J. Aerosol Sci. - 1998. - V. 29, Suppl. 1. - P. S395-S396.

Bekshaev A.Ya. Mechanical properties of the light wave with phase singularity // Fourth International Conference on Correlation Optics. - Proc. SPIE. - 1999. - V. 3904. - P. 131-139.

Bekshaev A., Popov A. Optical system for Laguerre-Gaussian / Hermite-Gaussian mode conversion // 2^nd International Conference on Singular Optics (Optical Vortices): Fundamentals and Applications. - Proc. SPIE - 2001. - V. 4403. - P. 296-301.

Bekshaev A., Popov A. Measurement of the orbital angular momentum of an optical beam with the help of space-angle intensity moments // Selected Papers from Fifth International Conference on Correlation Optics. - Proc. SPIE. - 2002. - V. 4607. - P. 90-98.

Список використаних джерел

2. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. - М.: Наука, 1990. - 264 с.

3. Siegman A.E. How to (maybe) measure laser beam quality // DPSS Lasers: Applications and Issues (OSA TOPS, V. 17). - Washington D.C.: Optical Society of America, 1998. - P. 184-199.

4. Simon R., Mukunda N.J. Optical phase space, Wigner representation, and invariant quality parameters // J. Opt. Soc. Am. A. - 2000. - V. 17, N 12. - P. 2440-2463.

5. Бекшаев А.Я. Свойства оптических резонаторов с аберрациями: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.05 / Одесский Гос. ун-т. - Одесса, 1984. - 18 с.

6. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, т.1. - М.: Мир, 1981. - 280 с.

7. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. - М.: Сов. радио, 1980. - 208 с.

8. Анохов С.П., Марусий Т.Я., Соскин М.С. Перестраиваемые лазеры. - М.: Радио и связь, 1982. - 360 с.

9. Анохов С.П. Новый подход к резонаторам с одномерной дисперсией // Квант. электроника. - 1994. - Т. 21, № 5. - С. 433-438.

10. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1990. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru

...