Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нелінійні задачі гідродинаміки вітрових хвиль та суден в умовах морського хвилювання

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Кінець минулого століття без перебільшення можна визначити, як період зміни парадигми у низці природничих, соціальних та інших наук, як систем певних знань, пов'язаний з переходом від лінійних підходів, моделей та методів до більш глибоких та змістовних нелінійних моделей та методів досліджень явищ, процесів, механізмів взаємодії, закономірностей. Не є виключенням з цього загального процесу і динаміка хвильових рухів у суцільних середовищах, зокрема, гідродинаміка поверхневих хвиль у океані і гідродинаміка суден та інших плавучих споруд в умовах морського вітрового хвилювання.

Представлена робота з нелінійної гідродинаміки поверхневих хвиль і судна в умовах вітрового хвилювання (шторму) є вагомим внеском автора у процес напрацювання нових нелінійних моделей та методів з метою більш глибокого та комплексного дослідження фізичних процесів, механізмів, що ними керують, та закономірностей, що їх супроводжують, у даній галузі науки.

Актуальність роботи. Фізичним виміром актуальності досліджень поверхневих хвиль в океані є те, що морське вітрове хвилювання є невід'ємною і найбільш вражаючою частиною загальних хвильових океанічних процесів, що супроводжують і значним чином впливають на діяльність людини на теренах Світового океану. Такий вплив буде зростати і надалі, зважаючи на те, що у майбутньому чисто транспортні функції океану будуть все більше розширюватися до функцій джерела мінеральних, біологічних, енергетичних та ін. ресурсів для людства. Здатність коректно описувати гідродинаміку крутих вітрових хвиль та визначати закономірності у даному явищі, особливо для жорстких умов хвилювання, дозволяє розв'язувати далі проблеми розрахунку хвильових навантажень та динаміки технічних засобів діяльності людини в океані (суден, нафто - та газовидобувних платформ, трубогонів, плавучих чи підводних сховищ, виробничих комплексів і т. ін.).

Математичним виміром актуальності нелінійного дослідження поверхневих хвиль в океані є те, що відповідні моделі та теорії виявляються не тільки більш загальними, але й у значній мірі універсальними, з можливістю їх застосування для дослідження хвильових процесів у інших фізичних середовищах (електродинаміці, оптиці, плазмі та ін.). Зокрема, нелінійні моделі морського вітрового хвилювання породжують нелінійні еволюційні рівняння Шредінгера та рівняння Захарова, які на даний час дуже активно використовуються і які відносяться до низки універсальних рівнянь для широкого класу нелінійних хвильових процесів у різноманітних середовищах.

Актуальність дослідження нелінійної гідродинаміки суден в умовах морського хвилювання (гідродинамічних навантажень та реакцій суден на дію хвиль) полягає в першу чергу у тому, що від коректного та якісного розв'язання даної проблеми суттєво залежить рівень надійного проектування і експлуатації суден (їх морехідності, міцності) у даних умовах. Зусилля, що були витрачені людством на розв'язання даної проблеми настільки значні, що слід було б очікувати зниження аварійності та підвищення рівня безпеки суден в умовах морського хвилювання останнім часом. На жаль, реальна статистика вказує на інше, зокрема, за даними Лондонського інституту страхувальників щомісяця потерпає від аварій 35-55 суден різних типів, а приблизно 12-15 з них гине, причому третина аварійних ситуацій безпосередньо пов'язана з дією хвиль, а в інших випадках штормові умови додатково ускладнювали аварійність ситуацій. При цьому через штормові умови гине приблизно від 1/2 до 3/4 аварійних суден, тоді як для інших причин (пожежі, вибухи, зіткнення, посадки на мілину, поломка двигуна) гине тільки 1/25 -1/15 суден, що потрапили в аварійну ситуацію.

Це потребує суттєвого переосмислення теоретичних основ проектування, які було розроблено у 50-70-ті роки минулого століття у рамках лінійних методів гідродинаміки суден та теорії імовірностей для розв'язання практичних питань проектування широкого класу суден нових типів. Накопичений досвід експлуатації та подальші теоретичні і експериментальні дослідження показали на суттєвий вплив нелінійних ефектів у гідродинамічних навантаженнях та реакціях суден при високих швидкостях їх руху та в умовах інтенсивного хвилювання. Тому нелінійне узагальнення існуючих на даний час моделей та методів у даній проблемі - актуальний на подальші роки напрямок досліджень, що, до речі, добре простежується у періодичній літературі.

Актуальність досліджень з нелінійної гідродинаміки поверхневих хвиль та суден підтверджується також тим, що даний напрямок знаходиться на вістрі сучасних досліджень у таких країнах, як Англія, Росія, США, Японія.

Зв'язок з науковими програмами, планами і темами. З початку 80-х років представлені у дисертації дослідження входили складовою частиною до госпрозрахункових та держбюджетних НДР, при виконанні яких автор був науковим керівником чи відповідальним виконавцем. Госпрозрахункові НДР виконувались у співробітництві з ЦКБ «Чорноморсуднопроект» (1982-84 рр., відповід. виконавець і Казенним дослідницько-проектним центром кораблебудування (1993-94 рр., відповід. виконавець). Держбюджетні НДР (N ДР 81075817, 01890010651, 01870008592, 0193U020027, 0196U012387, 0197U012955, науковий керівник) входили до наукових програм досліджень університету по лінії Міністерства освіти і науки України та національних програм наукових досліджень з транспорту, енергозбереження та захисту довколишнього середовища. Також виконувались договори при творчу співдружність з ЦНДІ ім. акад. О.М. Крилова та Інститутом гідромеханіки НАНУ.

Мета та задачі досліджень.

Основною метою дисертаційної роботи є створення фізико-математичних моделей і методів для комплексного розв'язання нелінійних задач гідродинаміки поверхневих хвиль та суден сучасних типів в умовах морського вітрового хвилювання на глибокій воді та систематичного дослідження фізичних процесів і закономірностей у нелінійних хвилях, навантаженнях та реакціях суден.

Для досягнення цієї мети потребують розв'язання наступні основні задачі.

· Постановка та розв'язок слабо нелінійної крайової задачі теорії поверхневих вітрових хвиль на глибокій воді з урахуванням старших наближень за нелінійністю та нерегулярністю хвильових рухів.

· Розробка ефективного наближеного методу розв'язання сильно нелінійної крайової задачі для гранично крутих вітрових хвиль та особливих хвиле-утворень - аномальних хвиль в умовах морського вітрового хвилювання.

· Розробка узагальнених нелінійних методів розрахунку гідромеханічних навантажень усіх категорій при дії на судна крупномасштабної компоненти морського хвилювання, і, у першу чергу, збурених судном гідродинамічних навантажень Хаскінда. Розробка ефективного числового методу розрахунку гідродинамічних характеристик - прилучених мас та коефіцієнтів демпфірування широкого класу суднових контурів сучасних типів.

· Розробка нелінійних методів розрахунку динамічних реакцій судна як твердого тіла та як пружної конструкції на дію крутих вітрових хвиль і, у тому числі, розробка ефективних чисельних та асимптотичних методів інтегрування за часом нелінійних рівнянь реакцій суден.

· Розробка пакету дослідницьких обчислювальних програм та проведення порівняльних та систематичних чисельних розрахунків параметрів хвиль, хвильових навантажень та реакцій суден на їх дію з метою дослідження впливу нелінійних ефектів на фізичні процеси та розрахункові параметри.

Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є крупномасштабні хвилі та судна сучасних типів в умовах морського вітрового хвилювання на глибокій воді. Предметом дослідження є локальна гідродинаміка груп вітрових хвиль скінченної амплітуди, нелінійні гідродинамічні навантаження на судна при дії хвиль та відповідні реакції суден у різних умовах морського хвилювання.

Методи дослідження у дисертаційній роботі побудовані на застосуванні та подальшій розробці і узагальненні сучасних варіантів методів теорії збурень та асимптотичного аналізу, методів осереднення, методів нелінійної гідродинаміки ідеальної рідини та судна, методів обчислювальної математики.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному.

1. Узагальнивши сучасні варіанти методу багатьох масштабів (МБМ), вперше отримано систематичний та повний розв'язок слабо нелінійної крайової задачі для поверхневих хвиль на глибокій воді у рамках перших п'яти порядків за малим параметром, що визначає ступінь нелінійності та нерегулярності хвильового руху. Показано, що МБМ є найбільш ефективним методом для дослідження гідродинаміки крупномасштабної компоненти морського вітрового хвилювання для слабо нелінійного наближення.

2. Вперше отримано повні ланцюжки нелінійних рівнянь Шредінгера (НРШ) у рамках теорії п'ятого порядку та з використанням групи лінійних перетворень змінних досліджено структуру операторів НРШ IV та V порядків і побудовано повну множину стаціонарних двовимірних (2D) розв'язків НРШ III порядку у еліптичних функціях Вейєрштрасса. Показано, що НРШ для комплексної обвідної амплітуд відіграють ключову роль при дослідженні нелінійних груп хвиль методами теорії збурень і отримання множини їх розв'язків дозволяє повністю визначити інші характеристики хвиль.

3. Для гранично крутих вітрових хвиль, для яких мають місце перевертання та часткове руйнування гребенів, а також для особливих аномальних хвиль вперше розроблено новий аналітичний метод напівзворотньої задачі для наближеного розв'язку сильно нелінійної крайової задачі теорії хвиль, який за точністю практично не поступається загальним чисельним методам типу методу граничних елементів (МГЕ), а за трудомісткістю значно простіший.

4. Розроблено узагальнені нелінійні методи розрахунку хвильових сил Крилова та гідродинамічних сил Хаскінда, що діють на судна при русі довільними курсовими кутами до груп хвиль скінченної амплітуди з урахуванням нелінійних та нерегулярних ефектів. У рамках методу для збурених судном гідродинамічних сил Хаскінда теоретично обґрунтовано відому у літературі гіпотезу змінних за миттєвою осадкою суднового контуру прилучених мас та коефіцієнтів демпфірування, через які визначають дані навантаження у прикладних задачах нелінійної динаміки суден.

5. Отримано загальні нелінійні рівняння хитавиці традиційних однокорпусних та багатокорпусних суден з малою площею ватерліній (СМПВ) на групах хвиль та вперше розроблено ефективний метод їх чисельного інтегрування за часом шляхом узагальнення на рівняння хитавиці мінімізаційного методу Куявського - Галагера.

6. Спираючись на гіпотезу про групову структуру вітрових хвиль, вперше розроблено нелінійний метод розрахунку гідро-пружних коливань гнучких суден у вертикальній площині в умовах помірного вітрового хвилювання (хвильова вібрація суден). Метод має п'ятий порядок точності за крутістю хвиль, тоді як існуючі на даний час методи є методами другого порядку, оскільки виходять з нелінійного узагальнення спектральної техніки при урахуванням тільки квадратичних нелінійностей у задачі.

7. Числовими розрахунками надійно доведено суттєвий вплив нелінійних ефектів у гідродинамічних характеристиках хвиль, хвильових навантаженнях та реакціях суден - хитавиці, хвильовій вібрації, внутрішніх зусиллях при дії хвиль скінченної амплітуди.

Наукове значення роботи полягає у тому, що створено комплекс логічно поєднаних нелінійних фізико-математичних моделей та методів для дослідження: 1) груп вітрових хвиль на глибокій воді від слабко до сильно нелінійного наближень, 2) гідродинамічних навантажень при взаємодії суден і хвиль, 3) основних реакцій суден сучасних типів на дію хвиль в умовах інтенсивного і помірного хвилювання, та на цій основі проведено їх теоретичне і чисельне дослідження і отримано нові обґрунтовані результати, які підтверджують суттєвий вплив нелінійних ефектів на фізичні процеси і характеристики, що в сукупності створює нове вирішення даної проблеми.

Практичне значення роботи складають наступні основні результати.

- Нелінійні розрахункові залежності для гідродинамічних характеристик поверхневих хвиль - хвильового профілю, поля хвильового тиску та поля швидкостей часток рідини, які отримано у рамках різних моделей хвилювання - від груп гранично крутих вітрових хвиль до усталених періодичних хвиль Стокса VI порядку, як основа для подальших нелінійних розрахунків хвильових навантажень на судна, бурові платформи і т. ін.

- НРШ IV, V порядків у різних модифікаціях операторів та інші асоційовані з ними рівняння у збуреннях, як основа для подальших фундаментальних досліджень поверхневих вітрових хвиль на глибокій воді для слабо нелінійного наближення з урахуванням старших порядків за крутістю хвиль.

- Нелінійні розрахункові залежності для хвильових навантажень усіх категорій, що діють на судно, нелінійні рівняння хитавиці і гідро-пружних коливань суден сучасних типів, як основа для подальших теоретичних та практичних досліджень нелінійних навантажень та реакцій суден при дії хвиль.

- Алгоритми та дослідницькі комп'ютерні програми як інструмент для практичних розрахунків гідродинамічних характеристик хвиль і суднових контурів, хвильових навантажень і основних реакцій суден різних типів.

- Результати систематичних чисельних розрахунків параметрів хвиль та реакцій суден в умовах інтенсивних та помірних хвильових режимів, як основа для прийняття обґрунтованих висновків що до впливу нелінійних ефектів на параметри хвиль, навантажень та реакцій суден з їх подальшим використанням у практиці проектування та експлуатації суден. Зокрема, нові нелінійні апроксимаційні залежності для згинаючого моменту на міделі судна, який є важливою нормативною характеристикою міцності суден.

Особистий внесок здобувача. Усі без винятку теоретичні та практичні результати дисертаційної роботи були отримані особисто автором. Розробка дослідницьких комп'ютерних програм та чисельні розрахунки виконувалися при безпосередній участі та під керівництвом автора. У спільних роботах [7,8,11,20,24,31] співавтори (аспіранти та дипломники) брали участь у створенні програм і проведенні чисельних розрахунків, а із спільної публікації [5] використано тільки ті результати, що належать особисто автору.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, які наведені у дисертаційній роботі, представлялись та обговорювались протягом 80-90-х та на початку 2000-х років на наступних конференціях: Всесоюзній наук.-техн. конференції «Проблемы научных исследований в области изучения и освоения Мирового океана» (Владивосток, 1983); II і III Республік. наук.-техн. конфенц. «Проблеми гідродинаміки у освоєнні океану» (Київ, 1982, 1984); Всесоюзній наук.-техн. конференц. «Физико-математ. моделиров. при решении проблем гидроаэродинамики и динамики судов и средств освоения Мирового океана» (Ленінград, 1989); VI наук.-техн. конференц. «Проблемы создания новой техники для освоения шельфа» (Горький, 1989); Всесоюзній нараді з чисельних методів у задачах хвильової гідродинаміки (Ростов-на-Дону, 1990); Всесоюзній наук.-техн. конференц. «Методы прогнозиров. и повышения мореходных качеств судов и средств освоения океана» (Ленінград, 1991); IV Міжнар. науков. конгресі IMAEM-87 (Варна, 1987); Міжнар. наук.-техн. конференц. з міцності та надійності суден ПЭНС (Владивосток, 1996, 1999); Міжнар. наук.-техн. конференц. з сучасних проблем суднобудування та океанотехніки SOPP (Владивосток, 1998, 2001); Міжнар. конгресі з суднобудування ISC-98 (Санкт-Петербург, 1998); Міжнар. конференц. «Моделювання динамічних систем та дослідження їх стійкості» (Київ, 1999); Міжнар. конференц. з математичного моделювання МКММ (Херсон, 2000-2003); Міжнар. науковій школі-семінарі «Імпульсні процеси у механіці суцільних середовищ» (Миколаїв, 2001); Научн. сессии Совета по нелинейной динамике (Москва, 2002), на наук.-техн. конференц. МКІ-УДМТУ (1982-2002 рр.),

а також на наукових семінарах у ЦНДІ ім. акад. Крилова О.М. під керівн. проф. Палія О.М. (Ленінград, 1982), у Хельсінському технологічному університеті під керівн. проф. Костілайнена В. (1986), Центрі Математичн. Моделю-вання при ЛКІ під керівн. проф. Рождественського К.В. (Ленінград, 1990), Інституті гідродинаміки ім. акад. Лаврентьєва М.А. СВ АН СРСР під керівн. проф. Пухначова В.В. (Новосибірськ, 1991), у ОДМУ під керівн. проф. Вороб-йова Ю.Л. (Одеса, 1998), у Інституті гідромеханіки НАНУ під керівн. проф. Салтанова М.В. (Київ, 1998), проф. Селезова І.Т. (2000), акад. Грінченко В.Т. (2002), у Інституті математики НАНУ під керівн. акад. Луковського І.О. (Київ, 2000,2001), у ХНУ під керівн. проф. Пацегона М.Ф. (Харків, 2002), у ДНУ під керівн. проф. Гомана О.Г. (Дніпропетровськ, 2002).

Публікації. Основні результати досліджень, що представлені у дисертації, опубліковано у 54 роботах (з них 37 - без співавторів), у тому числі 23 публікації - у фахових виданнях України, що визнані ВАК України, (з них 18 - без співавторів).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з Вступу, п'яти Розділів з короткими висновками по кожному, загальних Висновків, Списку використаних джерел. Повний обсяг роботи складають 297 сторінок тексту, 89 рисунків, а Список використаних джерел включає 549 найменувань.

Подяки. Автор висловлює глибоку подяку своєму куратору д.ф.-м.н., проф. Салтанову М.В. за постійну підтримку та різноманітну допомогу у процесі написання та підготовки до захисту дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі сформульовано основну мету та задачі досліджень, обґрунтовано актуальність роботи, подано характеристику наукової новизни та практичного значення отриманих результатів. Також наведено дані про апробацію роботи та коротко викладено структуру і зміст роботи.

У першому розділі, який має оглядовий характер, представлено аналіз сучасного стану досліджень з нелінійної гідродинаміки поверхневих хвиль на воді, хвильових навантажень на судна та реакцій суден на дію хвиль в умовах морського вітрового хвилювання. У підрозділі 1.1 послідовно розглянуто результати сучасних досліджень з гідродинаміки усталених періодичних хвиль скінченної амплітуди, біфуркацій розв'язків та основні механізми їх нестійкості, зокрема, субгармонічної нестійкості обвідної амплітуд та супергармонічної нестійкості хвильового профілю для дво - та тривимірних збурень. Розглянуто основні методи дослідження та відповідні рівняння для нестаціонарних нелінійних хвиль, у тому числі і особливо крутих вітрових хвиль. Як основні на даний час, виділено методи багатьох масштабів, нелінійні спектральні методи (у рамках гамільтонового формалізму) та чисельні методи типу МГЕ. Також коротко розглянуто роботи із взаємодії поверхневих хвиль з іншими динамічними полями (вітром, течіями, внутрішніми хвилями) та межами (донним рельєфом різних типів, прибережною смугою) в океані. Сучасний етап досліджень нелінійних хвиль на воді розпочався приблизно з 60-х років минулого століття і значні результати у цьому напрямку належать роботам T. Benjamin, P. Bryant, J. McLean, J. Miles, H. Lake, M. Longuet-Higgins, P. Saffman, M.-Y. Su, J. Zufiria (періодичні хвилі, їх біфуркації, нестійкість), В.Є. Захарова, Є.А. Куз-нєцова, В.М. Конторовича, Д.Є. Пеліновского, А.Б. Шабата, І.Т. Селезова, Л.В. Черкесова, О.Є. Букатова, В.В. Гуленко, Г.М. Заславського, Г.А. Хабахпашева, І.В. Лавренова, В.Г. Полнікова, А.Я. Басовича, В.В.Єфімова, В.А. Калмикова, В.П. Красицького, В.В. Яковлєва, T. Akylas, D. Dommermuth, K. Dysthe, R. Grin-show, P. Janssen, M. Greenhow, D. Peregrine, W. Melville, K. Hasselmann, M. Stias-snie (нестаціонарні хвилі та їх взаємодії з межами та полями у океані) та ін.

У підрозділі 1.2 розглянуто сучасний стан досліджень з нелінійної гідродинаміки суден сучасних типів на хвилюванні, і, зокрема, основну увагу було зосереджено на аналізі нелінійних методів розрахунку хвильових навантажень на судна та їх реакцій на хвильову дію як твердого тіла та як пружної конструкції. У сучасних дослідженнях нелінійних хвильових навантажень виділено два основних напрямки роботи, це, по-перше, розробка наближених практичних методів, побудованих на використанні добре відпрацьованих гіпотез лінійної гідродинаміки судна та з додатковим урахуванням основних нелінійних ефектів (роботи O. Faltinsen, M.-C. Fang, J. Dalzell, T. Fukasawa, M. Fujino, A. Mansour, N. Salvesen, Y. Yamamoto, R. Bishop, C. Soares, W. Price, A. Troesh, M. Ochi і ін.). Другий напрямок досліджень виходить з використання загальних асимптотичних та чисельних методів при розв'язанні нелінійних граничних задач теорії потенціалу у даній проблемі, які становлять суттєву частину при визначенні хвильових навантажень на судна (роботи В.В. Луговського, Л.М. Дихти, Ю.Л. Воробйова, Ю.І. Нечаєва, В.Г.Сізова, В.В. Пухначова, А.А. Коробкіна, M. Issacson, P. Sclavounos., T. Vinje, T. Mijamoto, I. Watanabe., H. Takemoto та ін.). Огляд показав, що для розрахунку нелінійних реакцій суден на хвильову дію на даний час в основному використовуються методи чисельного інтегрування рівнянь хитавиці та пружних коливань за часом. Окремо звернуто увагу на гідродинаміку сучасних та перспективних типів швидкісних суден, зокрема, контейнеровозів та багатокорпусних суден типу СМПВ.

Виходячи з огляду, у підрозділі 1.3 сформульовано основну мету, об'єкти та предмети досліджень, а також основні задачі досліджень (див. вище), розв'язання яких має забезпечити досягнення поставленої мети та отримання необхідних результатів.

Розділ 2 представляє результати досліджень автора з нелінійної гідродинаміки крупномасштабних поверхневих вітрових хвиль на глибокій воді. Ці дослідження проводилися у рамках двох наближень: слабо нелінійного наближення з використанням сучасних асимптотичних методів та наближення сильно нелінійних гранично крутих вітрових хвиль з використанням методу напівзворотньої задачі, розробленого у роботі.

У підрозділі 2.1 подано класифікацію поверхневих хвиль за ознаками дисперсії (глибини рідини), нелінійності (крутості хвиль) та нерегулярності хвиль (ширини спектру) з градацією ступенів: «відсутність ознаки», «слабкий», «помірний» та «сильний» ступені і на даному тлі виділено клас крупномасштабних хвильових рухів, збуджених вітром на глибокій воді, як основний об'єкт дослідження. Дана стисла порівняльна характеристика двох основних сучасних методів дослідження нелінійних та нерегулярних хвиль на поверхні води - методу багатьох масштабів та асоційованих з ним нелінійних рівнянь Шредінгера і нелінійного спектрального методу (у рамках гамільтонового формалізму) та відповідних рівнянь Захарова. Як робочий метод далі застосовано МБМ з узагальненнями та модифікаціями.

У підрозділі 2.2 сформульовано нелінійну крайову задачу для потенціалу швидкості хвильового руху , розглянуто найбільш поширені методи спрощення граничних умов на хвильовій поверхні для слабо нелінійного наближення та отримано загальні залежності основного методу дослідження слабо нелінійних хвиль - методу багатьох масштабів. Для потенціального наближення та з урахуванням дії заданого поверхневого вітрового тиску на хвилі нелінійна крайова задача має відомий вигляд

(1)

програма крайовий нелінійний хвиля

Головні труднощі при розв'язанні задачі (1) пов'язані з нелінійними граничними умовами на невідомій хвильовій поверхні . Для усунення ефекту змінної та невідомої межі у дослідженнях знайшли поширення три основні підходи; це, по-перше, розкладення потенціалу швидкості у ряди Тейлора за вертикальною координатою в околі деякої відомої межі (тихої води, площини дна). По-друге, вибір у якості основних невідомих значень потенціалу на хвильовій поверхні та самої поверхні, що є складовою гамільтонового формалізму. І, по-третє, відображення області під хвильовою поверхнею на деяку відому область з простою межею, наприклад, у рамках техніки конформних відображень, що широко використовувалось у класичних роботах при дослідженні усталених хвиль скінченної амплітуди. У даній роботі використано перший з вказаних підходів і остаточно граничні умови на вільній поверхні у задачі (1) було об'єднано та трансформовано до площини тихої води у вигляді (відносно потенціалу )

(2)

де для похідної від і для похідної від та позначено оператори При цьому для хвильової поверхні вперше отримано асимптотичну залежність

(3)

Порядок наближення визначається максимальними значеннями чиселу (2) і (3). У даній роботі розглядалась теорія п'ятого порядку за крутістю хвиль.

Далі вважається, що морське вітрове хвилювання вже досягло стадії насичення, є достатньо інтенсивним і потрібно дослідити нелінійну локальну гідродинаміку крупномасштабних вітрових хвиль на обмежених часово-просторових інтервалах у рамках задачі (1). Для отримання розв'язків крайової задачі (1) з модифікованими умовами (2), які повинні відповідати крупномасштабним вітровим хвилям з довжинами порядку 100-200 м та висотами порядку 10-20 м, розроблено узагальнений варіант МБМ, основні положення якого полягають у наступному. Потенціал , як основна невідома, представляється асимптотичним рядом за малим параметром , що фізично відповідає характерній крутості хвиль та відносній ширині частотної смуги для енергетичної компоненти у спектрі вітрового хвилювання,

, (4)

а фізичні просторово-часові змінні замінюються повільними змінними (масштабами) та узагальненими швидкими фазовими змінними ,із структурою похідних

(5)

та умовами узгодженості типу, де величини і є невідомі функції повільних змінних і відповідно.

Техніка МБМ породжує рекурентні ланцюжки рівнянь у збуреннях для усіх невідомих величин у (4) і (5). Зокрема, для потенціалів мають місце лінійні крайові задачі, розв'язки яких отримано у вигляді

(6)

де - комплексна фазова координата; а дрейфовий потенціал та амплітуди кратних гармонік визначаються з лінійних крайових задач через комплексну амплітуду основної фундаментальної гармоніки хвильового руху та амплітуди кратних гармонік у поверхневому вітровому тиску, для якого було прийнято .

Загальний варіант МБМ із структурою розв'язку (5) дозволяє досліджувати широкий клас хвильових рухів, у тому числі з повільно змінними параметрами рідини, меж чи інших полів (течій, внутрішніх хвиль), але він пов'язаний з достатньо трудомісткими аналітичними перетвореннями у старших порядках. Тому далі для хвиль на глибокій воді при відсутності течій, а також з метою отримання старших наближень було розглянуто частинний варіант МБМ з лінійною структурою швидких змінних .

Умови знищення вікових або секулярних розв'язків для потенціалів породжують рекурентні ланцюжки рівнянь у збуреннях для амплітуди , у тому числі і добре відомі у літературі нелінійні рівняння Шредінгера - НРШ.

Підрозділ 2.3 присвячено дослідженню НРШ III-V порядків, які було отримано у рамках процедур МБМ. Розглянуто модифікації та спрощення операторів старших порядків НРШ у рамках групи лінійних замін змінних, досліджувались деякі важливі класи їх розв'язків, зокрема, отримано новий узагальнений клас стаціонарних 2D розв'язків у еліптичних функціях Вейєрштрасса. На першому етапі з допомогою факторизації часово-просторових повільних змінних задачі ланцюжок НРШ III-V порядків трансформувався до об'єднаного НРШ V порядку

(7)

де - лінійні диференціальні (дисперсійні) оператори j-го порядку; - нелінійно-дисперсійні оператори; - нелокальний оператор, пов'язаний з дрейфовим потенціалом ; також прийнято .

Далі, у рамках групи лінійних замін повільних змінних задачі досліджувалась структура операторів НРШ у IV, V порядках шляхом виділення у операторах старших порядків базового оператора НРШ III порядку . Для змінних отримано наступні залежності для старших операторів НРШ та -- з найбільш простою структурою для «залишків» . Для асимптотичних розв'язків усі виділені базові оператори знищуються, так що остаточно в операторній формі НРШ V буде

(8)

На множині розв'язків НРШ головну увагу було зосереджено на отриманні стаціонарних розв'язків НРШ III та IV порядків для обвідної амплітуд та модуляції фази . Для класу стаціонарних 2D розв'язків НРШ III отримано новий узагальнений розв'язок у функціях Вейєрштрасса для обвідної амплітуд та нелінійною структурою залежності для модуляції фази

(9)

Подібні розв'язки для хвиль у плазмі та оптиці було отримано в останні роки у роботах Є. Громова, Т. Давидової, А. Порубова та ін. Розв'язок (9), як частинні випадки, дає добре відомі у літературі стаціонарні розв'язки: 1) хвилю Стокса та 2) солітон обвідної амплітуд які у свою чергу є граничними асимптотами для періодичного розв'язку через еліптичну функцію Якобі ( - максимальне значення та глибина модуляції обвідної амплітуд) з відповідною фазою . Усі розв'язки було об'єднано на діаграмі у площині довільних сталих інтегрування .

Досліджувались також 3D розв'язки для НРШ III порядку та узагальнення солітонного розв'язку на НРШ IV порядку. З'ясувалося, що досить легко отримати псевдо тривимірні, або косі групи хвиль, але виникають суттєві труднощі при отриманні повноцінно тривимірних груп вітрових хвиль. Також у випадку врахування старших порядків НРШ за нелінійністю виявилося, що звичайні асимптотичні ряди для обвідної амплітуд дають нерівномірні, або секулярні розв'язки, для усунення яких потрібна більш загальна техніка асимптотичного аналізу, зокрема, МБМ з нелінійною структурою фазових змінних (типу (5)). Крім того, у основному першому наближенні розглядались нестаціонарні розв'язки НРШ III у рамках 1) спектральної та 2) багатосолітонної моделей для обвідної амплітуд хвиль. У обох випадках основні труднощі пов'язані з чисельним інтегруванням нелінійних рівнянь взаємодії між спектральними гармоніками чи між окремими солітонами обвідної відповідно.

У підрозділі 2.4 отримано залежності для гідродинамічних характеристик (ГХ) нелінійних груп хвиль - хвильового профілю, поля швидкості та тиску, які необхідні для визначення хвильових навантажень на судна. Розроблено як загальні співвідношення, так і частинні випадки та виконана перевірка результатів для стаціонарних періодичних хвиль Стокса VI порядку, отриманих незалежно. У рамках техніки МБМ п'ятого порядку для ГХ мають місце залежності

(10)

де - характерні значення амплітуди та колової частоти нерегулярних хвиль, а середні значення та комплексні амплітуди кратних гармонік залежать від набору повільних часово-просторових змінних і мають наступну структуру , де перший член відповідає плоским вільним хвилям, другий враховує тривимірність хвиль, а третій - дії вітрового тиску. Виявилося, що ефекти тривимірності хвиль та дії вітрового тиску загалом дають малі кількісні поправки, проте значно ускладнюють розрахункові залежності. Тому також отримано частинні випадки для вільних груп хвиль, плоских груп хвиль та періодичних хвиль Стокса. Для останніх виконано порівняння профілю та тиску з вихровими хвилями Герстнера та з рекомендаціями нормативних документів.

У підрозділі 2.5 розроблено новий аналітичний метод напівзворотньої задачі для дослідження локальної гідродинаміки сильно нелінійних вітрових хвиль та особливих аномальних хвиль, гребені яких зазнають укручення, перевертання та часткове руйнування. Згідно з даним методом хвильовий профіль вважається відомою частиною розв'язку, а поле швидкостей на хвильовій поверхні і у рідині та поле тиску отримані із співвідношень крайової задачі (1). Зокрема, на першому етапі граничні умови на хвильовій поверхні у задачі (1) записуються відносно лагранжових змінних - проекцій поля швидкості на хвильовій поверхні з умовою

(11)

де члени порядку і вище пов'язані з тривимірністю та груповою структурою хвиль; - нелінійна частотна поправка для dn-розв'язку і для похідних за часом використано співвідношення типу. Умови (11) дозволяють отримати точні алгебраїчні залежності для проекцій , які у першому порядку мають вигляд

(12)

де Далі поле швидкості в усій рідині визначалось з допомогою інтегральної формули Коші, поле тиску - через інтеграл Коші-Лагранжа, а оцінку поперечної проекції швидкості було отримано інтегруванням рівняння нерозривності у крайовій задачі (1) за поперечною координатою уздовж гребенів хвиль.

На другому етапі хвильовий профіль, що входить у співвідношення (12), визначався наступним рядом за кратними зв'язаними гармоніками

(13)

де для амплітуд та фаз кратних гармонік з використанням техніки Фур'є-аналізу та Паде-апроксімант остаточно отримано наступні залежності

(14)

Тут - стоксівські коефіцієнти, а усі інші коефіцієнти було визначено, спираючись на результати, отримані у рамках МБМ V порядку, та шляхом Фур'є-аналізу серій хвильових профілів на різних стадіях деформування, отриманих іншими авторами чисельними розрахунками МГЕ та модельними експериментами у басейнах для гранично крутих вітрових хвиль.

Розроблений метод дозволив провести дослідження особливих хвильових рухів - аномальних хвиль (abnormal waves), дуже небезпечних для суден в умовах шторму. Порівняння поля швидкостей з незалежними розрахунками МГЕ показали добре співпадання результатів.

Підсумок результатів розділу представлено у підрозділі 2.6.

У третьому розділі розроблено узагальнені нелінійні методи розрахунку навантажень на судна різних типів при дії на них груп вітрових хвиль скінченної амплітуди, які було розглянуто у другому розділі роботи. Основну увагу було зосереджено на нелінійному розрахунку гідродинамічних навантажень Хаскінда, пов'язаних із збуреннями судном рідини за рахунок хитавиці судна та дифракції хвиль, при довільних курсових кутах руху судна.

У підрозділі 3.1 введено системи координат, визначено загальні залежності для кінематики коливань судна та хвильових навантажень, прийнято необхідні припущення та гіпотези, які спрощують подальші співвідношення, головним чином, при визначенні гідродинамічних навантажень, розрахунок яких потребує розв'язання нелінійної та нестаціонарної крайової задачі для потенціалу збуреного поля швидкостей в околі судна.

Основними є системи координат і , перша з яких рівномірно рухається із швидкістю руху судна та під курсовим кутом до хвиль, а друга жорстко зв'язана з корпусом судна. Судно зазнає три лінійні види хитавиці та три кутові види - з відповідними матрицями нахилень. Повна матриця нахилень судна у просторі визначається добутком матриць . Динамічні переміщення , швидкості та прискорення точок корпусу судна при хитавиці визначаються відповідно , . При цьому амплітуди переміщень вважаються скінченними, зіставними з поперечними розмірами судна, що може призводити до оголення та повного занурення кінцевих частин корпусу у хвилі. Корпус судна вважається непрямостінним, подовженим (або складається з подовжених елементів для СМПВ) з однією площиною симетрії - площиною ДП та таким, що не є нахиленим на тихій воді.

Гідромеханічні навантаження визначаються інтегруванням повного гідромеханічного тиску у рідині уздовж миттєвого зануреного контуру шпангоуту (для інтенсивностей навантажень на корпус як на балку), чи по миттєвій змоченій поверхні корпусу (для інтегральних сил). При цьому рідина вважається ідеальною, а її рух безвихровим з потенціалом . Практика нелінійних розрахунків гідромеханічних навантажень на даний час виходить з розділення їх на дві категорії - незбурені судном хвильові сили Крилова, визначені у рамках гіпотези О.М. Крилова, та гідродинамічні сили Хаскінда, які враховують збурення рідини через хитавицю судна та дифракцію хвиль на корпусі (у англомовній літературі сили Фруда-Крилова та Хаскінда-Ньюмана відповідно).

Для повного гідромеханічного тиску у рідині тоді буде , де - гідродинамічний тиск збуреного руху рідини, у якому для першої лінійної відносно та друга квадратичної складових отримано

(15)

де - потенціал збуреного поля швидкостей та індекс «s» вказує на дотичну, а індекс «n» - на нормальну до суднової поверхні проекції швидкостей.

Крайова задача для загального потенціалу має вигляд (1) з додатковими умовами непротікання на судновій поверхні і для її спрощення та трансформації до крайової задачі відносно потенціалу далі використано гіпотези, які добре зарекомендували себе у лінійній гідродинаміці судна, зокрема, гіпотези плоского обтікання шпангоутів та нехтування швидкістю руху судна у граничних умовах на хвильовій поверхні. Крім того, у граничних умовах на збуреній хвильовій поверхні відкинуто нелінійні члени, а самі умови перенесено на поверхню незбурених судном хвиль. Таким чином, основними нелінійними ефектами у крайовій задачі для потенціалу залишились змінність поверхні набігаючих хвиль і миттєвої зануреної суднової

поверхні та ангармонічність відносного поля швидкості на ній.

Підрозділ 3.2 є ключовим у розділі і представляє конкретні нелінійні методи розрахунку інтенсивностей гідромеханічних навантажень усіх категорій, тобто хвильових навантажень Крилова та гідродинамічних навантажень Хаскінда для суден різних типів. Розподілені уздовж судна навантаження Крилова визначаються прямим інтегруванням незбуреного хвильового тиску уздовж миттєвого зануреного контуру шпангоуту, так що після переходу від контурних інтегралів до інтегралів по площі буде

(16)

де - вектори інтенсивностей силових та моментних навантажень на поперечний переріз корпусу з миттєвою зануреною площею . Далі виявилося доцільним розділити дані навантаження на дві складові - неврівноважену гідростатичну та чисто хвильову складові, а для однокорпусних суден при інтегруванні додатково явно виділити прямобортну та непрямобортну частини суднового корпусу, остання з яких породжує основні нелінійні ефекти у хвильових силах Крилова.

Нелінійний розрахунок інтенсивності навантажень Хаскінда потребує розв'язання нелінійної крайової задачі зі змінними межами (незбурена хвильова поверхня та миттєва занурена частина контуру) для потенціалу . Для отримання розв'язку використаємо підхід Сєдова-Келдиша, який полягає у фіксації та спрощенні змінних меж крайової задачі. З метою фіксації хвильової частини межі використаємо перетворення зсуву , а для фіксації зануреної у хвилі частини межі на судновому контурі - конформне відображення ,,. Тоді на площині та півколі у параметричній площині граничні умови для будуть

(17)

де - напрямні косинуси нормалі та - приведені відносні швидкості на контурі уздовж осей Oy і Oz та відносно осі Ox відповідно

(18)

Швидкості є слабко ангармонічними функціями з модульованими амплітудами і фазами і їх можна представити подвійними рядами Фур'є , , де перша сума враховує присутність кратних гармонік на середній частоті зустрічі з хвилями, а друга - модуляційні ефекти у амплітудах та фазах, які пов'язані з груповою структурою хвиль (). Записавши аналогічні ряди для величин та використавши процедуру методу варіації довільних сталих, для Фур'є-трансформант отримано наступне правило перестановки М.Д. Хаскінда для контурних інтегралів (на контурі S у параметричній площині)

, (19)

яке дозволяє не відшуковувати явний вираз для потенціалів при визначенні інтегралів, а ввести до розгляду узагальнені ГХ суднових контурів, занурених до миттєвої ватерлінії, - прилучені маси та коефіцієнти демпфірування (за М.Д. Хаскіндом)

(20)

де - одиничні гармонічні потенціали випромінення для лінійної крайової задачі про гармонічні коливання з малою амплітудою та частотою контуру з фіксованою у даний момент часу формою на вільній поверхні у параметричній площині.

ГХ контурів суттєво залежать від частоти коливань і тому, по-перше, розклавши їх у ряди Тейлора в околі кратних частот та, по-друге, визначивши поправні множники на наявність кратних гармонік типу (для )

(21)

(де кутовими дужками позначено середні значення Фур'є-трансформант для відносних швидкостей на миттєвому контурі шпангоуту), можна повернутися з частотної області розв'язку та параметричної площини у основну часову область та фізичну площину і отримати остаточно узагальнені залежності для нелінійних гідродинамічних навантажень Хаскінда (у змінних Oxyz)

 (22)

(23)

де - повільна часова змінна, а інші величини мають вигляд

(24)

При осередненні швидкостей у формулах (24) в якості вагових множників наближено використано гармонічні потенціали при коливаннях еліптичного контуру у безмежній рідині. Також при розрахунках другої квадратичної складової у (22), яка є малою поправкою до основної першої складової , використано наближені оцінки для дотичної до контуру збуреної швидкості .

Залежність (23) є узагальненням відомої формули М.Д. Хаскінда на випадок плоских коливань шпангоутного контуру на заданій хвильовій поверхні зі скінченними, повільно змінними за часом амплітудами та фази коливань та хвиль. Дана залежність включає змінні за миттєвою осадкою прилучені маси та коефіцієнти демпфірування та осереднені на миттєвому контурі відносні швидкості, які враховують нелінійні ефекти, а також асимптотичний ряд за параметром , який враховує модуляційні ефекти (нерегулярність) відносних коливань контуру на хвильовій поверхні. Отримана залежність теоретично обґрунтовує добре відому у літературі феноменологічну гіпотезу змінних за миттєвою осадкою ГХ суднових контурів, яка широко застосовується на даний час у практичних методах розрахунку нелінійних гідродинамічних навантажень. Для частинного випадку періодичних коливань контурів потрібно відкинути члени з , а при малих амплітудах коливань слід вважати ГХ визначеними до ватерлінії рівноваги на тихій воді.

При оголенні (виході з води) суднового контуру усі гідромеханічні навантаження повинні дорівнювати нулю, а при повному зануренні контуру у хвилі - визначаються для контуру до верхньої палуби.

У підрозділі 3.3 розроблено метод розрахунку ГХ - прилучених мас та коефіцієнтів демпфірування суднових контурів у широкому діапазоні їх параметрів та форми, необхідних для розрахунку гідродинамічних навантажень Хаскінда у нелінійному наближенні. Метод побудовано на поєднанні техніки багатопараметричних конформних відображень та методу гідродинамічних особливостей (методу Урсела) у параметричній площині, яка показала свою ефективність при розв'язанні лінійних задач гідродинаміки судна (див. роботи Л.М. Дихти, R. Bishop, W. Price) і яка не має побічних ефектів типу нерегулярних частот, характерних для інших методів. Конформне відображення одиничного кола на миттєвий дубльований контур шпангоуту у вигляді

(25)

дозволило отримати добрі результати для широкого класу контурів, що далеко виходять за межі можливостей класичних методів.

У (25) параметрита кути для точок коллокацій на контурі знаходились з допомогою методу найменших квадратів, причому основні труднощі виникали при пошуку кутівяк коренів швидко осцилюючих функцій. Далі, у параметричній площині комплексні гармонічні потенціали було задано рядами за потенціалами гідродинамічних особливостей - джерела, диполя та мультиполів високого порядку , де невідомі коефіцієнти знаходилися з граничних умов на одиничному колі також з використанням методу найменших квадратів. При цьому колова форма контуру у параметричній площині забезпечувала швидку збіжність рядів . Результати числових розрахунків для ГХ порівнювалися з незалежними даними для традиційних контурів (Ю.В. Ремез), нахилених (Я.М. Еліс), зі скуловими кілями (W. Price), контурів СМПВ (І.К. Бородай) і результати порівняння загалом виявилися добрими, що підтвердило коректність та ефективність методу розрахунку. Було також встановлено значну залежність ГХ за миттєвою осадкою та миттєвим кутом нахилення контуру. Нарешті, зазначимо, що на даний час вітчизняна практика розрахунку ГХ виходить з використання графіків, таблиць та обчислювальних програм з досить обмеженими діапазонами для параметрів та форми контурів.

Основні результати третього розділу наведено у підрозділі 3.4.

У четвертому розділі представлено результати нелінійного дослідження основних реакцій суден різних типів на дію хвильових навантажень, визначених у попередньому розділі роботи. Зокрема, хитавиці судна як твердого тіла та загальних коливань корпусу за балочними формами у вертикальній площині як пружної конструкції. Отримано відповідні рівняння реакцій та розроблено чисельні і асимптотичні методи їх інтегрування за часом. Підрозділ 4.1 включає отримання нелінійних рівнянь хитавиці суден різних типів - традиційних однокорпусних суден і багатокорпусних суден типу СМПВ та розробку методів їх інтегрування за часом. Для СМПВ, які є тривимірними багатоелементними тілами, у якості початкових використано загальні рівняння коливань у формі Ейлера, які далі трансформовано до вигляду

(26)

де M_G - маса судна і індекси «hs», «w», «o» відповідають неврівноваженій гідростатичній, чисто хвильовій та гідродинамічній складовим навантажень для кожного j-го елементу корпусу СМПВ (рис. 10), які визначаються інтегруванням розподілених навантажень уздовж елементів, а індекс «r» відповідає зусиллю на k-му стерні керування. Для суден типу СМПВ при розрахунку перших двох складових навантаження (сили Крилова) враховано особливості конструкції СМПВ, зокрема, тонкість стояків-крил, а при розрахунку третьої складової (сили Хаскінда) прийнято до уваги повільність хитавиці та відносно слабка залежність ГХ підводних корпусів за частотним параметром. Проте для суден даного типу важливим є врахування зусиль на стернах керування рухом та стабілізації хитавиці, особливо поздовжньої.

Для однокорпусних суден, які є подовженими тілами, при отриманні рівнянь хитавиці у якості альтернативних використано умови динамічної врівноваженості внутрішніх зусиль у кінцевих поперечних перерізах корпусу як безопорної балки, тобто, де силовий та моментний вектори зусиль визначались інтегруванням інтенсивностей усіх навантажень уздовж корпусу.

Остаточно нелінійні рівняння хитавиці приведено до канонічного для механічних систем вигляду з узагальненими матрицями інерції, демпфірування, жорсткості, та вектором збурюючих сил

, (27)

де елементи матриць та вектору збурюючих сил мають структуру

(28)

Тут перші члени відповідають лінійному наближенню, а другі пов'язані з урахуванням нелінійних ефектів у гідродинаміці вітрових хвиль, кінематиці коливань судна, гідромеханічних силах (змінність та непрямобортність миттєвої зануреної поверхні корпусу, змінність за часом ГХ суднових контурів, оголення та повне занурення кінців корпусу у хвилі і т. ін.).

Ефективні розрахунки нелінійних складових у (28) можливі тільки з допомогою чисельних процедур і тому практично єдиним методом інтегрування нелінійних рівнянь хитавиці слід вважати чисельні методи. У роботі було проаналізовано та порівняно на тестових задачах (лінійний осцилятор і осцилятор Дюффінга) найбільш поширені на даний час методи чисельного інтегрування нелінійних рівнянь хитавиці суден, які можна розділено на три класи у залежності від основної ідеї методу. За термінологією Дж. Холла це 1) багатоетапні (Ейлера, Рунге-Кутта, Неймарка), 2) багатокрокові (Адамса-Бешфорта, Адамса-Мултона) та 3) мінімізаційні (Рітца, найменших квадратів, Куявського-Галагера). Оскільки чисельне інтегрування рівнянь (27) пов'язане з великим обсягом розрахунків для елементів матриць та збурюючих сил на кожному кроці за часом, то з погляду на це перевагу було віддано мінімізаційному алгоритму Куявського-Галагера, який показав високу стійкість і потребував мінімального обсягу розрахунків (ітерацій) на кожному кроці за часом у порівнянні до методів Рунге-Кутта, Адамса-Мултона і Неймарка.

Тому для чисельного інтегрування нелінійних систем рівнянь типу (27), (28) у роботі було узагальнено та детально відпрацьовано мінімізаційний метод Куявського-Галагера. Основні положення методу полягають у наступному. Для локального інтервалу за часом розв'язок та вектор правої частини у системі рівнянь (27) інтерполюються поліномами Лагранжа другого порядку і визначається функціонал у вигляді локального сумарного зваженого квадрату похибки розв'язку системи рівнянь

 (29)

де ,; - довільні вагова функція і вагові множники та, крім того, усі матриці визначено у точці коллокацій .

Тоді розрахунковий алгоритм будується з умови мінімізації функціоналу (29) на невідомому значенні і остаточно має вигляд

(30)

де матриці визначаються через матриці та довільні коефіцієнти , які пов'язані з інтегруванням вагової функції та з ваговими множниками . Для визначення коефіцієнтів було використано умови точності алгоритму для першого кроку k=1 та його стійкості при k>>1 для модельної задачі - лінійного осцилятора з демпфіруванням, який є граничним випадком для системи рівнянь (27). Тестові розрахунки для типових рівнянь, порівняльні та систематичні розрахунки для реальних суден показали високу стійкість та ефективність алгоритму (30).

У підрозділі 4.2 представлено результати дослідження пружної динамічної реакції корпусів суден сучасних типів, що мають підвищену гнучкість корпусу (багатотоннажних океанських суден та суден типу «ріка-море») в умовах експлуатації на хвилюванні. Головну увагу приділено вивченню симетричних вертикальних коливань корпусів гнучких суден при русі зустрічним курсом на слабкому та помірному хвилюванні, коли хитавиця практично відсутня (так звана хвильова вібрація суден, або whipping). Для визначення пружних коливань корпусу судна використано відомі рівняння «балки Тимошенко»

 (31)

де , , .

Сумарне навантаження , що збуджує хвильову вібрацію, включає складові (16) і (23), які у даній задачі модифіковано на випадок відсутності хитавиці та ефектів тривимірності при дії відносно коротких хвиль. Остаточно залежність для отримано у явному вигляді за фазовою координатою до п'ятої кратної гармоніки включно

(32)

де - повільно змінні амплітуди кратних гармонік.

Коректність отриманих залежностей перевірялась порівнянням результатів розрахунків за формулою (32) з результатами незалежних випробувань поділеної на секції моделі судна у басейні (БІГС, Варна) та з незалежними розрахунками інтенсивності навантажень згідно (16), (23) чисельними методами. Результати порівнянь виявилися загалом добрими.

...