Размещено на http://www.allbest.ru/

Основные положения квантовой механики

1. Принцип квантования

Открытия в физике конца XIX - начала XX веков привели к коренному изменению сложившихся представлений классической физики и созданию современной физики. Ее облик в основном определила квантовая механика, описывающая движение микрочастиц и микросистем: электронов, атомов, ядер и молекул. квантовый механика физика

Основные принципы квантовой механики были сформулированы в результате анализа и обобщения данных многих экспериментов. Остановимся на принципе квантования, который собственно и дал название теории. Его суть заключается в том, что свойства микрочастиц и их систем (микросистем) невозможно описать без использования дискретных величин, т.е. без квантования.

Сам факт существования микрочастиц говорит о дискретности материи, а отсюда недалеко до вывода о дискретности величин, описывающих микрочастицы. Принцип квантования подтверждается результатами опытов и выводами из них. Напомним о некоторых из них.

В 1900 г. М. Планк сформулировал квантовую гипотезу: электромагнитное излучение испускается и поглощается веществом порциями (квантами) энергия, которых пропорциональна частоте излучения:

= , (1.1)

где - фундаментальная постоянная, называемая постоянной Планка и равная = h/(2) = 1,0510-34 Джс. Опираясь на это утверждение, Планк вывел закон спектрального распределения энергии в излучении черного тела, который объяснил результаты опытов по тепловому излучению.

В теории Планка дискретность относится к состояниям вещества, а не к излучению. А. Эйнштейн в 1905 г. предложил фотонную теорию, рассматривающую электромагнитное излучение (свет) как поток частиц, которые были названы фотонами. Кроме энергии = фотон характеризуется импульсом, равным

, (1.2)

где - волновой вектор, модуль которого связан с длиной волны (k = 2/).

Фотонная теория Эйнштейна объяснила законы внешнего фотоэффекта.

Открытие в 1922 г. эффекта Комптона можно рассматривать как прямое доказательство дискретности электромагнитного излучения. Суть эффекта заключается в том, что при рассеянии фотона на микрочастице длина волны увеличивается на величину, зависящую от угла рассеяния. Увеличение длины волны обусловлено уменьшением энергии фотона из-за отдачи микрочастицы.

В 1911 г. Э. Резерфорд на основании опытов Гейгера и Марсдена открыл существование атомного ядра и построил планетарную модель атома. Эта модель противоречила законам классической электродинамики. Электроны, двигаясь по орбитам, должны терять энергию на излучение и падать на ядро. Время жизни атома должно составлять примерно 10-8 с, что не соответствует действительности. Это противоречие было снято в теории Н. Бора (1913 г.). Он постулировал наличие у атома стационарных состояний с определенными дискретными значениями энергии, переходы между которыми могут сопровождаться испусканием или поглощением фотонов. Дополнительно Бор постулировал дискретность момента импульса электрона:

m r = n, n = 0, 1, 2, ... (1.3)

Успех этой теории связан с расчетом энергии стационарных состояний атома водорода:

En = -IH , (1.4)

где IH - энергия ионизации атома водорода, равная IH = me4/(8h2) 13,6 эВ.

Рассчитанный на основе этой формулы спектр атомарного водорода прекрасно согласуется с опытным (бальмеровским) спектром.

Опыты Дж.Франка и Г.Герца (1914 г.) непосредственно подтвердили дискретность энергии атомов, а опыты Штерна и Герлаха, проведенные в 1922 г., доказали дискретность магнитных моментов атомов.

2. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности

Фотонная теория показала, что свет (электромагнитное излучение) имеет двойственную природу. С одной стороны он проявляет себя как волна, например, в опытах по дифракции и интерференции. С другой стороны в таких явлениях, как фотоэффект или комптоновское рассеяние, излучение проявляется как поток частиц (фотонов). Таким образом, для частиц света - фотонов характерна двойственность, называемая корпускулярно-волновым дуализмом. Электроны же рассматривались лишь как частицы, пока эту асимметрию свойств частиц вещества и поля не устранила гипотеза Л. де Бройля (1924 г.). Она утверждает, что электроны и другие частицы вещества наряду с корпускулярными обладают и волновыми свойствами. Другими словами пучки частиц следует рассматривать как волны (волны де Бройля). Частота и волновой вектор, характеризующие волны де Бройля, связаны с энергией и импульсом частицы теми же соотношениями, что и для фотона:

= , , k = 2/ . (2.1)

Гипотеза де Бройля объяснила квантовые условия Бора как условия стоячих волн в атоме. Экспериментально она была доказана в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера (1927 г.) по дифракции электронных пучков на кристаллических решетках. Следовательно, микрочастицы - это не классические частицы, а волновые или квантовые частицы. Классические частицы движутся по определенным траекториям и в любой момент времени имеют вполне определенные значения координаты и импульсы. Этого нельзя сказать о квантовых частицах. Не имеет смысла говорить о длине волны в данной точке пространства. Следовательно, нельзя говорить об импульсе волновой частицы p = h/ в данной точке пространства. Из теории волн известно неравенство

x kx 1, (2.2)

которое связывает протяженность волнового пакета или группы волн x с разбросом значений проекции волнового вектора kx. Смысл этого неравенства заключается в том, что менее протяженному (более локализованному) в пространстве волновому пакету соответствует больший разброс значений проекции волнового вектора или длин волн, образующих этот пакет. Объединив соотношения (2.2) с формулами (2.1), получаем соотношение неопределенностей В. Гейзенберга (1927 г.):

x px . (2.3)

Отсюда следует, что: координату и соответствующую проекцию импульса частицы невозможно одновременно определить с большей точностью, чем это допускается соотношением неопределенностей. Это утверждение выражает принцип неопределенности, отражающий волновую природу частиц.

Возникает вопрос, как понимать волны де Бройля. Что изменяется в этих волнах? Ответ состоит в том, что волны частиц следует рассматривать как волны амплитуд вероятности. Движение частиц является вероятностным. Причем понятие вероятности в квантовой механике отличается от вероятности в классической физике. Если в классической физике вероятность - это свойство большого числа частиц, каждая из которых движется вполне определенным образом, то в квантовой механике вероятность - свойство одной, отдельно взятой частицы. Поясним это на примере опыта Юнга по интерференции пучков частиц (практически его легко осуществить для фотонов, а для других частиц рассматриваем его мысленно), в котором два когерентных пучка накладываясь друг на друга на экране (фотопластинке) образуют интерференционную картину.

Рис. 2.1. Схема Юнга

На фотопластинке одна частица дает одно пятно, а множество частиц - интерференционную картину, которая не зависит от интенсивности пучка. Это говорит о том, что вероятность попадания частицы на экран связана с каждой частицей, а не с совокупностью частиц.

3. Описание состояний. Волновая функция. Принцип суперпозиции

Как описываются волновые частицы и системы таких частиц?

Постулат 0. Все свойства чистого Смешанные состояния описываются матрицей плотности и будут рассмотрены позже. состояния квантовой системы описываются волновой функцией (амплитудой вероятности)

Под волновой функцией или амплитудой вероятности понимают комплексную функцию действительных переменных (, t), где - набор переменных системы, а t - момент времени. В координатном представлении под понимают совокупность координат частиц системы:

= (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ... ).

Квадрат модуля волновой функции определяет плотность распределения переменных (М. Борн, 1926 г.):

(, t) = |(, t)|2 = *(, t) (, t). (3.1)

Вероятность того, что в момент t значения координат частиц лежат в интервале (, + d) будет равна

dw(, t) = (, t)d. (3.2)

Умножение волновой функции на число не приводит к новому состоянию. Поэтому ее принято нормировать так, чтобы полная вероятность была равна единице:

|(, t)|2 d = 1. (3.3)

Интегрирование здесь производится по всей области возможных значений переменных . Следовательно, волновая функция должна быть квадратично интегрируемой. (Множество всех квадратично интегрируемых комплексных функций действительных переменных называют гильбертовым пространством и обозначают L2. Поэтому волновые функции представляют собой элементы гильбертова пространства).

Из статистического смысла волновой функции (1) следует, что и нормированная волновая функция остается неоднозначной. Она определяется с точностью до фазового множителя ei, где - любое действительной число. Если произвести замену (, t) ei(, t), то это не отразится на значениях измеряемых в опыте величин. Ведь в опыте можно измерить плотность вероятности, но не волновую функцию.

Анализ результатов многих экспериментов с микрочастицами показывает, что для состояний квантовых систем справедлив еще один фундаментальный принцип - принцип суперпозиции:

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями 1 и 2, то она может находиться и в состоянии

= a11 + a22, (3.4)

где a1 и a2 - произвольные комплексные числа, не нарушающие нормировку.

Например, рассмотренный выше опыт по интерференции можно объяснить, если значения волновой функции в точках наблюдения можно представить в виде линейной комбинации (4). Только в этом случае распределение вероятности попадания частиц в различные участки экрана будет содержать интерференционные члены:

||2 = |a1|2|1|2 + |a2|2|2|2 + a1*a21*2, + a1a2*12*.

Математическим следствием принципа суперпозиции является линейность уравнений, которым удовлетворяют волновые функции.

Система постулатов квантовой механики должна быть построена таким образом, чтобы сами постулаты и выводы из них удовлетворяли сформулированным выше фундаментальным принципам, в которых сконцентрированы данные опыта. Помимо рассмотренных принципов: квантования, неопределенностей и суперпозиции далее будут рассмотрены также принцип причинности и принцип тождественности частиц.

4. Описание наблюдаемых. Эрмитовы операторы. Собственные функции и собственные значения операторов

Состояния квантовой системы характеризуются волновыми функциями, значения которых не могут быть измерены в опыте. В этом смысле состояния системы не наблюдаемы. Всякая теория должна рассматривать величины, значения которых могут измеряться в опытах, хотя бы в принципе. В квантовой механике их называют наблюдаемыми. Их значения должны быть действительными.

Постулат 1. Каждой наблюдаемой F ставится в соответствие линейный эрмитов оператор .
Постулат 2. Наблюдаемая F в любом квантово-механическом состоянии может принимать только те значения, которые являются собственными значениями ее оператора .

Рассмотрим некоторые необходимые математические определения, относящиеся к операторам.

Оператором называют правило, которое функции () ставит в соответствие функцию (): () = (). Примеры: операторы умножения на число, возведения в степень, умножения на некоторую функцию, однократного и многократного дифференцирования и т.д.

Оператор называют единичным, если для любой функции () имеет место () = ().

Суммой или разностью () операторов и называют оператор, для которого имеет место () = . Очевидна коммутативность и ассоциативность суммы операторов: , .

Умножение оператора на число эквивалентно умножению на это число результата действия оператора: (a) = a().

Оператор называют линейным, если для любых функций () и () имеет место (a + b) = a + b, где a и b - любые комплексные числа. Например, операторы умножения на функцию или число, операторы дифференцирования являются линейными, а операторы возведения в квадрат или в куб, операторы логарифмирования - нелинейными.

Произведением операторов называют оператор, действие которого на функцию сводится к последовательному применению сначала оператора , а затем : . Произведение операторов обладает свойством ассоциативности и дистрибутивности: , . В общем случае произведение операторов не коммутативно: .

Коммутатором операторов и называют их перестановочное соотношение, обозначаемое так: . Если операторы и коммутируют, то . Легко видеть, что .

Оператор -1 , удовлетворяющий условию , называют обратным оператору , если он существует.

Оператор называют эрмитовым (самосопряженным), если для произвольных функций 1* и 2 имеет место 1*2 d = 2 *1*d.

Уравнение вида = A, где A - число, - искомая функция, называют уравнением на собственные функции оператора . В общем случае решения этого уравнения существуют только для определенных значений An, называемых собственными значениями оператора : n = Ann, где n - соответствующие собственные функции.

Собственное значение называют невырожденным, когда ему соответствует (с точностью до постоянного множителя) лишь одна собственная функция. В противном случае собственные значения называют вырожденными (двукратно, трехкратно и т.д.). Совокупность собственных значений {An} называют спектром оператора . Спектры операторов могут быть дискретными, непрерывными или смешанными. Для определенности в дальнейшем будем рассматривать преимущественно операторы с дискретным спектром.

Физический смысл постулатов 1 и 2 помогают раскрыть следующие теоремы.

Теорема 1. Собственные значения линейных эрмитовых операторов являются действительными.

Доказательство. Пусть - линейный эрмитов оператор, собственные функции которого удовлетворяют уравнению

= F. (4.1)

Сопряженное ему уравнение имеет вид

** = F**. (4.2)

Умножив слева первое уравнение на *, а второе - на , проинтегрируем обе части каждого по всем возможным значениям переменных и вычтем почленно одно из другого. Оператор - эрмитов, поэтому

0 = (F - F*)* d. (4.3)

Так как * d > 0, получаем F = F*. Следовательно, F - действительное.

Определение. Говорят, что функции () и () взаимно ортогональны, если

*()()d = 0. (4.4)

Теорема 2. Собственные функции линейного эрмитова оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть n и m - собственные функции линейного эрмитова оператора , относящиеся к различным собственным значениям:

n = Fnn, (4.5)

*m* = Fmm*. (4.6)

Умножив слева первое уравнение на m*, а второе - на n, проинтегрируем обе части каждого по всем возможным значениям переменных и вычтем почленно одно уравнение из другого. Оператор - эрмитов, поэтому

0 = (Fn - Fm)m*n d. (4.7)

Так как по условию Fn Fm, получаем условие ортогональности:

m*n d = 0. (4.8)

Объединив условие ортогональности (4.8) собственных функций с условием нормировки (3.3), получаем условие, называемое условием ортонормированности собственных функций оператора наблюдаемой:

m*n d = mn, (4.9)

где mn - дельта-символ Кронекера,

mn = . (4.10)

Еще одним важным свойством оператора наблюдаемой является полнота системы его собственных функций, которая выражается условием

n*() = ( - ), (4.11)

где ( - ) - дельта-функция Дирака. По сути, условие полноты и является необходимым условием того, что соответствующий эрмитов оператор представляет наблюдаемую величину.

5. Средние значения наблюдаемых. Вероятности
возможных значений

В процессе измерений микросистема, находящаяся в состоянии Зависимость от времени опущена для простоты. (), взаимодействует с прибором, поэтому с той или иной вероятностью наблюдаемая будет принимать одно из собственных значений. Приборы являются макроскопическими, поэтому измерение наблюдаемой возможно только для макроскопического множества микросистем, каждая из которых находится в состоянии (), т.е. для ансамбля. Каким будет результат измерения наблюдаемой?

Постулат 3. Среднее значение наблюдаемой F в состоянии, описываемом нормированной функцией (, t), определяется формулой F = *(, t)(, t) d.

Пусть система находится в состоянии (), а - эрмитов оператор некоторой наблюдаемой, с полной ортонормированной системой собственных функций {n}:

n = Fnn, (5.1)

Разложим функцию состояния по собственным функциям {n}:

() = () ( - )d = ()n*() d =

= an. (5.2)

Здесь an - коэффициенты разложения, определяемые выражениями

an = n*()()d. (5.3)

Подставив разложение (5.2) функции состояния в условие нормировки, получаем условие нормировки для коэффициентов an:

*()()d = m*n d = mn = = 1. (5.4)

Подставим теперь (5.2) в формулу среднего значения наблюдаемой F:

F = *()() d = Fnm*n d = Fn. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) видно, что среднее значение F наблюдаемой имеет смысл математического ожидания, а wn = |an|2 - вероятность того, что наблюдаемая примет собственное значение Fn, т.е. при измерении окажется в состоянии, описываемом собственной функцией n().

6. Операторы важнейших физических величин. Коммутаторы

Каждая наблюдаемая представляется эрмитовым оператором. Как же определить вид оператора конкретной наблюдаемой?

Постулат 4. В координатном представлении оператор координаты частицы = {x, y, z} есть оператор умножения на координату: . Оператор импульса частицы = {px, py, pz} есть оператор = - i, где . Операторы наблюдаемых, выражаемых в классической физике функциями координат и импульсов частиц, получаются заменой их на операторы координат и импульсов (так, чтобы обеспечить эрмитовость). Операторы наблюдаемых, не имеющих классических аналогов, постулируются.

Легко установить для операторов и следующие коммутационные соотношения:

[] = ikl, k, l = (x, y, z). (6.1)

Рассмотрим операторы некоторых наиболее важных физических величин. Оператор кинетической энергии частицы с массой m в соответствии с постулатом 4 имеет вид

. (6.2)

Для оператора потенциальной энергии частицы получаем

. (6.3)

Оператор полной энергии системы называют гамильтонианом. Гамильтониан частицы в потенциальном поле получаем в виде

. (6.4)

Системе частиц, взаимодействующих центральными силами, ставится в соответствие гамильтониан

. (6.5)

Оператор момента импульса частицы имеет вид

, (6.6)

а его декартовым проекциям сопоставляются операторы:

, (6.7)

, (6.8)

, (6.9)

Для операторов проекций момента импульса выполняются коммутационные соотношения

, (6.10)

где i, k, l = (x, y, z) и образуют правую тройку. Совокупность трех соотношений (6.10) можно записать в виде одного векторного коммутационного соотношения:

. (6.11)

Оператор квадрата момента импульса частицы определяется так:

. (6.12)

Не трудно показать, что имеют место важные в квантовой механике коммутационные соотношения, связывающие операторы квадрата и проекции момента импульса частицы:

, i = (x, y, z). (6.13)

Все рассмотренные выше операторы эрмитовы в L2.

7. Условия совместной измеримости наблюдаемых. Полный набор наблюдаемых

Если функция состояния системы совпадает с собственной функцией оператора , то в этом состоянии наблюдаемая F имеет определенное собственное значение. Если та же функция состояния является одновременно собственной функцией другого оператора , то в этом состоянии наблюдаемая M также имеет определенное собственное значение. Другими словами наблюдаемые F и M совместно измеримы, если они имеют общую систему собственных функций.

Уже из принципа неопределенности ясно, что далеко не все наблюдаемые могут быть одновременно измерены.

Теорема 3. Для совместной измеримости наблюдаемых F и M в данном состоянии необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутировали.

Доказательство необходимости. Пусть наблюдаемые F и M совместно измеримы, т.е. операторы имеют общий набор собственных функций {n}:

n = Fnn, (7.1)

n = Mnn. (7.2)

Вычтем почленно из первого уравнения второе, умножив первое уравнение слева на оператор , а второе - на . Получаем

()n = (FnMn - MnFn) n = 0. (7.3)

Отсюда следует, что если F и M совместно измеримы, то их операторы коммутируют:

. (7.4)

Доказательство достаточности. Пусть операторы и коммутируют, т.е. . Покажем, что они имеют общую систему собственных функций. Пусть n - собственная функция оператора , относящаяся к невырожденному собственному значению Mn:

n = Mnn.

Действуя слева на это уравнение оператором , и используя коммутационное соотношение , находим

. (7.5)

Из этого равенства видно, что функция n является собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению Mn. Следовательно, функция n может отличаться от функции n только числовым множителем. Обозначив этот множитель через Fn, получаем уравнение

n = Fnn, (7.1)

из которого видно, функция n также является собственной функцией оператора . Что и требовалось доказать.

Очевидно, что взаимно коммутирующих операторов может быть много, но не все из них будут независимыми. Полным набором наблюдаемых называют максимальную совокупность независимых совместно измеримых наблюдаемых.

8. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Пусть и - некоммутирующие эрмитовы операторы некоторых наблюдаемых. В любом состоянии обе наблюдаемые не могут одновременно принимать определенные собственные значения. Какие же ограничения накладываются на их дисперсии при одновременном их измерении?

В общем случае можно ввести эрмитов оператор , который связан с коммутатором рассматриваемых операторов:

. (8.1)

Введем операторы отклонения от средних значений:

, . (8.2)

Не сложно показать, что они удовлетворяют перестановочному соотношению

. (8.3)

Рассмотрим положительно определенный интеграл, зависящий от действительного параметра :

J() = |()|2d 0. (8.4)

Преобразуем его, воспользовавшись эрмитовостью операторов и :

J() = [()]()*d =

= *()[()]d =

= *{}d =

= 2(A)2 + (B)2 + C 0. (8.5)

Значение параметра , при котором функция J() принимает минимальное значение, находим из условия J/ = 2(A)2 + C = 0:

m = - C/(2(A)2). (8.6)

Минимальное значение интеграла также положительно, поэтому

J(m) = (B)2 - C2/(4(A)2) 0. (8.7)

Отсюда находим соотношение неопределенностей для наблюдаемых A и B:

(A)2(B)2 C2. (8.8)

Рассмотрим частные случаи.

а) Если принять = x и , то оператор = . Поэтому из условия (8.8) приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга:

(x)2(px)2 или . (8.9)

б) Если же принять = , а , то = . В этом случае получаем соотношение неопределенностей для угловой переменной (азимута) и проекции момента импульса частицы:

Lz . (8.10)

в) Полагая = t, а , получаем соотношение неопределенностей для времени и энергии: t E . (8.11)

9. Принцип причинности в квантовой механике. Уравнение Шредингера. Плотность потока вероятности

Изменение со временем состояний любой системы происходит в соответствии с принципом причинности. В физике суть этого принципа можно выразить утверждением: все изменения состояний динамической системы, понимаемые как переход от начальных состояний к конечным состояниям, с необходимостью обусловлены ее внешними и внутренними взаимодействиями как причиной этих изменений. В квантовой механике принцип причинности выражается следующим постулатом.

Постулат 5. Нерелятивистская квантовая система может находиться в тех, и только тех состояниях, волновые функции которых удовлетворяют уравнению Шредингера i = (, t), (9.1) где - гамильтониан системы.

Так как гамильтониан системы представляет собой линейный оператор, уравнение Шредингера является линейным. Следовательно, уравнение Шредингера удовлетворяет принципу суперпозиции.

Чтобы показать, что уравнение Шредингера (9.1) выражает собой принцип причинности, запишем его иначе. Для упрощения полагаем, что гамильтониан не зависит от времени (/t = 0). В этом случае формальное решение уравнения (9.1) можно записать в виде

(, t) = (t, to) (, to), (9.2)

где оператор эволюции

, (t > t0) (9.3)

преобразует функцию состояния (, to) в начальный момент времени to в волновую функцию системы (, t) в момент времени t. Взаимодействия в системе отражаются гамильтонианом. Оператор эволюции является унитарным: он не изменяет нормировку функции состояния.

Для частицы массы m, находящейся в потенциальном силовом поле, гамильтониан можем записать так

. (9.4)

Уравнение Шредингера такой системы можно записать в виде

-. (9.5)

Пространственная плотность распределения вероятности частицы определяется выражением

. (9.6)

Выражая временную производные от волновой функции из уравнения Шредингера (9.5) и комплексно сопряженного уравнения, найдем производную по времени от плотности вероятности:

. (9.7)

Используя формулу , получаем уравнение

. (9.8)

Если ввести вектор, называемый вектором плотности потока вероятности:

, (9.9)

то уравнение (9.8) принимает вид уравнения непрерывности

. (9.10)

Теперь нетрудно установить, что абсолютная величина вектора плотности потока вероятности имеет смысл наибольшей вероятности прохождения частицы через единичную площадку за единицу времени, а его направление перпендикулярно этой площадке.

10. Изменение во времени средних значений наблюдаемых. Картины Шредингера и Гейзенберга. Уравнения Гейзенберга

Среднее значение наблюдаемой F в состоянии, описываемом нормированной функцией (, t), определяется формулой

F = *(, t)(, t) d. (10.1)

Найдем производную по времени

F = {(*) + *() + *}d. (10.2)

Производные от функций по времени выразим из уравнения Шредингера (9.1):

, . (10.3)

Подставив формулы (10.3) в правую часть (10.2), находим

= . (10.4)

В силу эрмитовости гамильтониана получим уравнение

или

. (10.5)

Отсюда следует, что при и , имеет место F = const. Таким образом, среднее значение наблюдаемой не изменяется с течением времени, если ее оператор не зависит от времени явно и коммутирует с гамильтонианом. Такие наблюдаемые называют интегралами движения.

Выше мы полагали, что с течением времени изменяется функция состояния (, t) системы, а операторы координат, импульсов, кинетической энергии и др. явным образом от времени не зависят. Изменение средних значений наблюдаемых обусловлено зависимостью от времени функции состояния, являющейся решением уравнения Шредингера. Такое описание временной эволюции квантовой системы называют представлением (или картиной) Шредингера. Однако, возможны и другие способы описания эволюции системы.

В представлении (картине) Гейзенберга зависимость от времени переносится с функции состояния на операторы наблюдаемых.

Функция (вектор Понятие о векторе состояния будет дано позже в связи с матричным представлением операторов.) состояния H() представления Гейзенберга связана с функцией (вектором) состояния (, t) Шредингера так (см. (9.2) и (9.3)):

(, t) = H(), *(, t) = *H(), (10.6)

т.е. H() = (, 0). Легко видеть, что нормировка функций сохраняется

*(, t)(, t) d = *H()H() d = 1.

Операторы в представлении Гейзенберга зависят от времени и связаны с операторами в представлении Шредингера следующим образом:

. (10.7)

Легко видеть, что приведенное определение гейзенберговских операторов и векторов состояния приводят к таким же средним значениям наблюдаемых, как и в представлении Шредингера:

F = *(, t)(, t) d = *H()(t)H() d. (10.8)

Дифференцируя по времени равенство (10.7) получаем дифференциальное уравнение движения для гейзенберговских операторов:

, (10.9)

которое описывает эволюцию системы в представлении Гейзенберга. Выполнив усреднение этого уравнения по вектору состояния гейзенберговского представления, приходим снова к равенству (10.5), как и следовало ожидать.

Последнее слагаемое в уравнении движения Гейзенберга представляет собой квантовые скобки Пуассона, которые являются аналогами классических скобок Пуассона.

Рассмотрим в классической механике некоторую величину F(pi, xi, t), зависящую от обобщенных импульсов pi, координат xi и времени t. Движение системы подчинено каноническим уравнениям:

, , (10.10)

где H = H(pi, xi) - функция Гамильтона.

Производная по времени динамической функции F(pi, xi, t) с учетом канонических уравнений движения приводится к виду

, (10.11)

где классические скобки Пуассона равны

. (10.12)

Если F не зависит явно от времени и {H, F} = 0, то F = const.

11. Теоремы Эренфеста. Предельный переход к классической механике

Рассмотрим, как изменяются со временем координата и импульс частицы. Для простоты ограничимся одномерным случаем, когда гамильтониан частицы имеет вид:

. (11.1)

Производная по времени оператора координаты (представление Гейзенберга) равна

, (11.2)

откуда для средних значений получаем

x = . (11.3)

Находим аналогично производную по времени оператора проекции импульса:

. (11.4)

Усреднив это равенство, получаем

. (11.5)

Уравнения (3) и (5) выражают содержание теорем Эренфеста. Квантовое уравнение (5) очень похоже на классическое уравнение Ньютона для частицы в потенциальном поле

,

которое для средних значений величин следует записать так

. (11.6)

Из сравнения уравнений (5) и (6) видно, что квантовая механика переходит в классическую, если выполняется условие

. (11.7)

Это условие выполняется в случае, когда в разложении потенциала по степеням координаты можно пренебречь степенями выше второго:

U(x) U(0) + U(0)x + U(0)x2. (11.8)

Например, для описания движения электрона в кинескопе телевизора вместо квантового уравнения (5) можно применять классическое уравнение (6). Однако. В случае движения электрона в атомах или молекулах, где потенциал изменяется очень сильно на малых расстояниях, классическое приближение (6) неприменимо.

12. Унитарные преобразования. Преобразования симметрии

Преобразование, определяемое оператором :

(, t) = (, t), (12.1)

называют унитарным, то есть сохраняющим нормировку волновой функции:

1 = |(, t)|2d = |(, t)|2d, (12.2)

если для произвольных функций 1*() и 2() имеет место соотношение

1*()*2()d = 2()-11*()d. (12.3)

Например, рассмотренный выше оператор эволюции (9.3) является унитарным.

Говорят, что система и ее гамильтониан инвариантны относительно преобразования , если описание состояния функцией (, t) эквивалентно описанию функцией (, t) = (, t). Для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор коммутировал с гамильтонианом:

[] = 0. (12.4)

Такое преобразование есть преобразование симметрии для системы. Покажем это. Подействуем на левую и правую части уравнения Шредингера

i(, t) = (, t) (12.5)

оператором преобразования . Так как имеет место соотношение (4), получаем

или . (12.6)

Отсюда видно, описание функцией (, t) эквивалентно описанию системы функцией (, t).

Рассмотрим оператор сдвига переменной (оператор трансляции)

(12.7)

Результат действия оператора на произвольную функцию (x) есть функция (x - ). Сначала покажем для функции вида :

. (12.8)

Теперь для произвольной функции получаем

(x) = (q)dq = (q) dq = (x - ), (12.9)

что и требовалось доказать. (Унитарность оператора сдвига предлагается доказать в качестве упражнения).

13. Законы сохранения и их связь со свойствами симметрии пространства-времени

Докажем, что наличие интегралов движения и соответствующих законов сохранения связано со свойствами симметрии систем относительно преобразования координат и времени.

а) Однородность времени. Однородность времени проявляется в том, что свойства замкнутой системы не зависят от произвольного сдвига времени.

Введем оператор сдвига времени на :

, . (13.1)

Однородность времени выражается тогда условием

[] = 0. (13.2)

Отсюда [] = 0 или = 0, т.е. гамильтониан замкнутой системы не зависит явно от времени. Следовательно, энергия замкнутой системы является интегралом движения, так как [] = 0:

E = = const. (13.3)

Таким образом, закон сохранения энергии замкнутой системы вытекает из однородности времени.

б). Однородность пространства. Однородность пространства проявляется в том, что свойства замкнутой системы не изменяются при произвольном параллельном смещении (трансляции) системы, как целого.

Оператор трансляции частицы на вектор выражается так:

, . (13.4)

Для системы частиц оператор трансляции есть произведение одночастичных операторов

, (13.5)

где - оператор полного импульса системы.

Однородность пространства выражается условием

[] = 0. (13.6)

Отсюда следует, что

[] = 0, (13.7)

Следовательно, однородность пространства определяет закон сохранения импульса замкнутой системы (Pсист = const).

в). Изотропность пространства. Изотропность пространства проявляется в инвариантности свойств замкнутой системы относительно произвольных поворотов.

Определим оператор поворота системы на угол вокруг оси z с единичным вектором :

, (13.8)

, (13.9)

где - оператор проекции момента импульса системы на Оz.

Условие изотропности пространства имеет вид

[] = 0, (13.10)

откуда следует [] = 0.

Таким образом, из изотропности пространства следует закон сохранения проекции момента импульса замкнутой системы (Lz = const).

14. Преобразование инверсии. Пространственная четность

Введем оператор инверсии пространства, который заменяет значения декартовых координат частиц на противоположные:

. (14.1)

Найдем собственные значения оператора . Действуем на левую и правую части равенства (1) оператором , получаем равенство

. (14.2)

Отсюда собственное значение квадрата оператора инверсии равно P2 = 1. Поэтому собственные значения оператора равны:

P = 1. (14.3)

Эти собственные значения называются четностью или пространственной четностью системы. Четности, P = 1, отвечает состояние системы с четной собственной функцией :

, (14.4)

а значению четности P = -1 соответствует состояние с нечетной собственной функцией:

. (14.5)

Гамильтониан любой замкнутой системы, в которой отсутствуют слабые взаимодействия частиц, инвариантен по отношению к преобразованию инверсии. Эта инвариантность сохраняется и для систем с центрально-симметричным полем, если центр системы совпадает с центром поля.

Инвариантность гамильтониана по отношению к преобразованию инверсии [] = 0 приводит к закону сохранения четности, который выполняется для замкнутых систем в отсутствие слабых взаимодействий. Если в системе имеет место слабое взаимодействие частиц, закон сохранения четности нарушается. Это установили в 1956 г. Ли Цзундао и Янг Чженьнин.

15. Стационарное уравнение Шредингера. Свойства стационарных состояний

Если гамильтониан системы не зависит от времени явно ( = 0), то уравнение Шредингера

(15.1)

допускает разделение переменных:

(, t) = ()(t), (15.2)

где () - функция координат, а (t) - функция времени. Подставив (2) в уравнение Шредингера (1), получаем

i()(t) = (t)() (15.3)

Разделив левую и правую части этого равенства на ()(t), разделяем переменные:

. (15.4)

Так как функция в левой части (4) зависит только от координат, а в правой - только от времени, она может быть только постоянной, которую обозначили E.

Отсюда получаем стационарное уравнение Шредингера

() = E(), (15.5)

которое представляет собой уравнение на собственные функции гамильтониана, а E - собственное значение гамильтониана или энергия стационарного состояния.

Из (4) получаем также уравнение

i(t) = E (t). (15.6)

Его решение с точностью до постоянного множителя есть

(t) = (15.7)

Стационарными состояниями называются состояния с определенными значениями энергии. Волновые функции стационарных состояний имеют вид

(, t) = Е(). (15.8)

Свойства стационарных состояний

А) Зависимость от времени волновых функций стационарных состояний однозначно определяется энергией состояния;

Б) В стационарных состояниях плотность вероятности не зависит от времени: (, t) = |Е()|2 = const.

В) В стационарных состояниях среднее значение наблюдаемой F не изменяется с течением времени, если = 0:

F = *(, t)(, t) d = *Е() Е() d = const.

Сама наблюдаемая может иметь определенное значение в стационарном состоянии, если [] = 0.

Г) Вероятность обнаружить систему в собственном состоянии оператора остается постоянной:

w(Fk ) = | ak |2 = | (, t)*k() d |2 = const.

Одномерное движение частицы

16. Свободное движение частицы

Рассмотрим одномерное движение свободной частицы массы m. Ее гамильтониан состоит из оператора кинетической энергии:

. (16.1)

Стационарное уравнение Шредингера

(x) = E(x) или -(x) = E(x) (16.2)

после деления на множитель перед второй производной переходит в волновое уравнение

= 0, (16.3)

где k = - проекция волнового вектора, E - энергия частицы. Характеристическое уравнение

2 + k2 = 0 (16.4)

имеет два корня: 1,2 = ik. Уравнение (3) имеет два частных решения:

1(x) = и 2(x) = , (16.5)

которые являются собственными функциями оператора проекции импульса частицы, которые отвечают собственным значениям px1 = k = и px2 = -k = -. Первое стационарное состояние

1(x, t) = 1(x) = A (16.6)

представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси Оx. Здесь A - амплитуда этой волны Для таких волн обычная нормировка неприменима. Их необходимо нормировать на -функцию Дирака.. Второе стационарное состояние

2(x, t) = 2(x) = B (16.7)

есть волна, распространяющаяся в противоположном направлении. B - ее амплитуда.

Общее решение уравнения Шредингера будет суперпозицией функций (6) и (7):

(x, t) = A + B. (16.8)

Вектор плотности потока вероятности выражается формулой

. (16.9)

Проекция вектора плотности потока вероятности для свободной частицы, движущейся в направлении оси Ох, которая описывается функцией 1(x, t):

= (|A|2 + |A|2) = |A|2 (16.10)

Величина jx пропорциональна вероятности попадания частицы в нормальную единичную площадку за единицу времени.

17. Потенциальные барьеры. Туннельный эффект

Рассмотрим прохождение частицы (туннелирование) через потенциальный барьер прямоугольной формы, когда ее энергия E меньше высоты барьера: E < U0. Пусть a - ширина этого барьера. Найдем коэффициент прохождения D, связанный с коэффициентом отражения R соотношением D + R = 1. Для определенности полагаем, что первоначально частица двигалась в положительном направлении оси Ох.

U

U0

E

x

I 0 II a III

Рис. 17.1. Потенциальный барьер

В координатных областях I и III частица движется свободно, поэтому стационарное уравнение Шредингера сводится к волновому уравнению:

= 0, (17.1)

где k = (17.2)

есть проекция волнового вектора. Решение уравнения (1) в указанных областях можно записать соответственно:

1(x) = A1 + B1, (17.3)

3(x) = A3. (17.4)

Здесь A1 и B1 - амплитуды падающей и отраженной волн, соответственно; A3 - амплитуда волны, прошедшей через барьер. В области III может быть только прошедшая волна, так как частица падает на барьер слева направо.

В области потенциального барьера II из уравнения Шредингера получаем

= 0, (17.5)

где = . (17.6)

Решение уравнения (5) можно записать так:

2(x) = A2 + B2, (17.7)

Коэффициент прохождения по определению равен

D = = . (17.8)

Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точках x = 0, x = a получаем систему уравнений, связывающих коэффициенты:

1(0) = 2(0), A1 + B1 = A2 + B2; (17.9а)

2(a) = 3(a), A2 + B2 = A3; (17.9б)

1(0) = 2(0), ik(A1 - B1) = (A2 - B2 ); (17.9в)

2(a) = 3(a), (A2 - B2) = ik A3. (17.9г)

Разделим левую и правую части уравнения (9г) на . Полученное уравнение сначала сложим с (9б), а затем почленно вычтем из (9б). В результате получаем уравнения:

A2 = A3, (17.10)

B2 = A3. (17.11)

Разделим уравнение (9в) на ik и сложим почленно с уравнением (9а). Получим

A1 = . (17.12)

Подставив сюда выражения (10) и (11), находим связь между коэффициентами

A1 = . (17.13)

Подставив эту формулу в (8), найдем искомый коэффициент прохождения D. Однако рассматриваемая задача является модельной, поэтому найдем менее громоздкое приближенное выражение для D. В равенстве (13)

= ,

поэтому при a ~ 1 можно пренебречь первым слагаемым в правой части:

A1 . (17.14)

Подставим это выражение в (8) и получим с учетом (6)

D = D0. (17.15)

Отсюда видно, что коэффициент прохождения не слишком мал, если имеет место соотношение

1. (17.16)

Для электрона, полагая (U0 - E) ~ 1 эВ = 1,610-19 Дж, находим, что туннелирование возможно, если ширина барьера имеет величину порядка a 10-10 м.

В случае потенциала произвольной формы приближенная формула (15) переходит в формулу

, (17.17)

которая выражает коэффициент прозрачности барьера в квазиклассическом приближении.

Туннелирование через потенциальные барьеры частиц с энергией меньшей, чем высота барьера - чисто квантовый эффект, обусловленное волновой природой частиц. Оно объяснило множество явлений, например, альфа-распад атомных ядер, холодную эмиссию электронов из металла и многие другие.

В настоящее время туннельный эффект нашел применение в туннельных микроскопах, позволяющих получать изображения структуры поверхности тел с разрешением в нанометры.

18. Линейный гармонический осциллятор

Рассмотрим одномерные колебания частицы в поле квазиупругих сил с потенциалом

U(x) = . (18.1)

Такую систему называют линейным гармоническим осциллятором. Здесь m - масса, а - круговая частота осциллятора. Задача о движении квантового гармонического осциллятора является одной из немногих, которые удается решить точно, вместе с этим она чрезвычайно важна в квантовой оптике, физике твердого тела и др. разделах современной физики.

Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

(18.2)

Чтобы найти энергии и волновые функции стационарных состояний, решим уравнение Шредингера

. (18.3)

Подставив сюда гамильтониан (2), получаем уравнение

(18.4)

Для решения этого дифференциального уравнения обычно переходят к безразмерным координатам

= x (18.5)

и безразмерной энергии = . (18.6)

Уравнение Шредингера (4) в безразмерных координатах и энергии имеет вид:

(18.7)

Из физического смысла задачи следует, что функция должна стремиться к нулю при стремлении к бесконечности: . Такое решение уравнения (7) будем искать в виде

() = . (18.8)

Подставив эту функцию в уравнение (7) получаем уравнение

= 0. (18.9)

Его решение будем искать в виде степенного ряда:

u() = . (18.10)

Производные ряда равны соответственно:

= = , (18.11)

= = . (18.12)

В (12) перенумеровали члены ряда, что не изменяет ряд. Подставив (10) - (12) в уравнение (9), получаем

= 0. (18.13)

Этот степенной ряд тождественно равен нулю только при условии равенства нулю всех его коэффициентов, когда

ak+2 = ak. (18.14)

Из рекуррентного соотношения (14) видно, что существуют два независимых решения, соответствующих четным и нечетным значениям k:

u1() = a0 + a22 + a44 + … , (18.15)

u2() = a1 + a33 + a55 + … (18.16)

При ряды (15) и (16) возрастают как , так как при больших k имеем ak+2 2ak/k. Но в этом случае, как видно из (8), функция () возрастает как , что невозможно. Следовательно, указанные ряды должны обрываться при kmax = n, то есть должны сводиться к полиномам. Тогда выполняется условие

2n + 1 - = 0, (18.17)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3, ... Подставив (6) в (17), находим, что энергия осциллятора может принимать только дискретные значения:

. (18.18)

Соответствующие этим значениям энергии стационарные волновые функции безразмерных координат выражаются так:

, (18.19)

где Cn - нормировочный коэффициент, n - квантовые числа (n = 0, 1, 2, ...), а Hn() - полиномы Эрмита, которые можно найти по формуле

. (18.20)

Выпишем для примера несколько первых полиномов Эрмита:

H0 = 1; H1 = 2; H2 = 42 - 2; H3 = 83 - 12; …

Если теперь с помощью формулы (5) вернуться к размерным величинам, то получим нормированные функции стационарных состояний в виде

(18.21)

Волновые функции стационарных состояний в безразмерных переменных для нижних состояний с n = 0, 1, 2 и 3 приведены на рис. 18.1.

а б

Рис. 18.1. Стационарные состояния гармонического осциллятора: а) волновые функции состояний; б) распределение вероятности.

Из формулы (18) следует, наименьшее значение энергии осциллятора, называемое нулевой энергией, равно

. (18.22)

Это означает, что у квантового осциллятора в отличие от классического нет состояния покоя.

19*. Операторы рождения и уничтожения кванта для гармонического осциллятора. Когерентные состояния

Как видно из формулы (18.18) энергетический спектр осциллятора является эквидистантным, то есть расстояние между соседними уровнями энергии одинаково и равно . Поэтому, поглощая квант энергии , осциллятор переходит на уровень выше, а испуская - на один уровень ниже. В квантовой теории электромагнитное поле или поле колебаний атомов твердого тела рассматривают как совокупность (бесконечную для электромагнитного поля и конечную для поля колебаний атомов) осцилляторов, каждый из которых имеет то или иное число квантов. Число квантов осциллятора совпадает с квантовым числом n и называется числом заполнения. Изменение состояния осцилляторов поля рассматривается как процесс рождения и уничтожения квантов поля (фотонов или фононов). В вакуумном состоянии осцилляторы поля имеют нулевые энергии.

Введем неэрмитовы операторы уничтожения и рождения кванта, связанные с операторами координаты и импульса осциллятора:

= , (19.1)

= , (19.2)

С их помощью операторы координаты и импульса можно выразить так:

, (19.3)

. (19.4)

Алгебраические свойства операторов рождения и уничтожения определяются их коммутатором. Так как [] = i, легко показать, что

. (19.5)

Подставив формулы (3) и (4) в (18.2), выражаем гамильтониан осциллятора через операторы рождения и уничтожения:

, (19.6)

где - эрмитов оператор числа заполнения, собственные значения которого являются квантовыми числами осциллятора (n = 1, 2, 3, …). Он коммутирует с гамильтонианом, поэтому имеет с ним общие собственные функции (18.21).

Умножая левую и правую части равенства (5) справа на оператор , получаем

или . (19.7)

Действуя равными операторами (7) на собственные функции оператора числа заполнения (18.21), получаем

(n) = (n - n) = (n - 1)(n). (19.8)

Отсюда следует, что функция (n) с точностью до числового множителя совпадает с функцией n - 1:

n = cnn - 1. (19.9)

Чтобы найти числовой множитель cn, воспользуемся условием нормировки функций n и формулами (1) и (2):

= =

= = = n. (19.10)

Полагая фазовый множитель равным единице, и используя дираковские обозначения для собственных функций (n |n), равенство (9) можно записать в виде

|n = |n - 1. (19.11)

Аналогично находим для оператора рождения:

|n = |n + 1. (19.12)

Из этих формул становится понятным смысл названия операторов и .

Действуя n раз на функцию |0 нулевого или вакуумного состояния оператором рождения согласно (12), получаем

()n |0 = |n или |n = |0. (19.13)

Если учесть, что |0 = , то по формуле (13) с учетом (2) можно найти любую функцию |n возбужденного состояния. Представление, в котором операторы поля выражаются через операторы рождения и уничтожения осцилляторов поля, называют представлением вторичного квантования.

В квантовой оптике часто используют представление когерентных состояний. Под когерентными состояниями осциллятора понимают собственные состояния | z оператора уничтожения:

| z = z | z, (19.14)

где z - соответствующее собственное значение. Оператор уничтожения не эрмитов. Его собственные значения z являются комплексными и занимают всю комплексную плоскость.

Нормированные обычным условием z | z = 1 векторы когерентных состояний могут быть выражены через собственные векторы осциллятора |n:

| z = . (19.15)

С течением времени вектор когерентного состояния изменяется по закону

| z, t = , (19.16)

а параметр состояния - по закону z(t) = .

Среднее значение энергии в когерентном состоянии остается постоянным и равным

E =(n + Ѕ) =(|z|2 + Ѕ). (19.17)

В этом легко убедиться, так как |z(t)|2 = |z0|2.

Средние значения координаты и импульса осциллятора изменяются с течением времени:

x(t) = x0cos t + (p0/m)sin t; (19.18)

p(t) = p0cos t - mx0sin t, (19.19)

где x0 и p0 - средние значения координаты и импульса осциллятора в начальный момент времени.

Движение в центрально-симметричном поле

20. Собственные функции и собственные значения оператора
орбитального момента

Момент импульса частицы, связанный с его орбитальным движением, в отличие от собственного момента (спина) называют орбитальным моментом. Его оператор имеет вид

, (20.1)

где и - операторы координат и импульса частицы. С помощью операторов проекций его можно представить так:

. (20.2)

Операторы проекций орбитального момента , и не коммутируют друг с другом, поэтому частица в данном состоянии может иметь определенное значение только одной из проекций орбитального момента. Но все они коммутируют с оператором квадрата орбитального момента :

. (20.3)

Следовательно, в определенном состоянии частица может принимать определенные значения квадрата орбитального момента и одной из его проекций. За таковую обычно принимают .

Собственные функции операторов и удобно искать в сферических координатах: радиальной r, полярной и азимутальной , которые связаны с декартовыми координатами соотношениями:

. (20.4)

z

y

x Рис. 20.1.

Напомним, что в сферической системе координат элемент объема выражается формулой

dV = r2 d = r2 dr sin d d,

где d = sin d d - элемент телесного угла.

В сферических переменных оператор проекции орбитального момента имеет вид:

= - i, (20.5)

а оператор квадрата орбитального момента -

, (20.6)

где - угловая часть оператора Лапласа. (Вид операторов и в сферических переменных можно найти в учебниках квантовой механики).

Легко убедиться в том, что имеет место соотношение [] = 0. Поэтому операторы и имеют общую систему собственных функций. Найдем собственные функции и собственные значения . Для этого решим уравнение

() = (), (20.7)

которое с учетом (5) принимает вид

-i() = (). (20.8)

Решение этого уравнения с разделяющимися переменными находится легко:

() = A. (20.9)

Эта функция должна удовлетворять условию однозначности

() = ( + 2). (20.10)

Подставив (9) в уравнение (10) получаем искомые собственные значения оператора проекции орбитального момента:

Lz = m, (20.11)

где m - магнитное квантовое число, принимающее целые значения m = 0, 1, 2, 3… Подставив с учетом (11) функцию (9) в условие нормировки:

, (20.12)

находим постоянную интегрирования А. В результате для нормированных собственных функций оператора проекции орбитального момента получаем выражение

. (20.13)

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата орбитального момента:

Y(, ) = L2Y(, ), (20.14)

с учетом выражения (6) можно записать в виде

Y(, ) = - Y(, ). (20.15)

Операторы и коммутируют, поэтому собственная функция оператора содержит в качестве множителя, зависящего от , собственную функцию оператора :

Y(, ) = ()() = (). (20.16)

Подставив в уравнение (15) получаем уравнение

() = 0. (20.17)

Это уравнение представляет собой обобщенное уравнение Лежандра (нужно лишь использовать замену переменной = cos ). Оно имеет конечные решения только в том случае, когда собственные значения квадрата орбитального момента равны

L2 = 2l(l + 1), (20.18)

где l - орбитальное квантовое число, принимающее значения l = 0, 1, 2, 3, … Причем модуль магнитного числа m не может превышать значение орбитального числа:

m = 0, 1, 2, 3, …l. (20.19)

Следовательно, данному значению квадрата орбитального момента L2 соответствует 2l + 1 значение проекции орбитального момента Lz.

Решения уравнения (17) выражаются через так называемые присоединенные полиномы Лежандра:

lm() = . (20.20)

Присоединенные полиномы Лежандра могут быть найдены с помощью формулы Родриго:

.

Имея в виду (13) и (16), получаем нормированные собственные функции оператора квадрата орбитального момента, называемые сферическими функциями:

...