Основные положения квантовой механики

Ylm(, ) = , (20.21)

которые удовлетворяют условиям ортонормированности:

. (20.22)

21. Общие свойства движения в центрально-симметричном поле

Рассмотрим общие свойства движения частицы в центрально-симметричном поле: U() = U(r), где . Гамильтониан системы имеет вид

, (21.1)

где 2 - оператор Лапласа. В сферических координатах оператор Лапласа можно записать так:

. (21.2)

Подставив (2) в (1) получаем гамильтониан частицы в центрально-симметричном поле:

+ U(r). (21.3)

а) Легко видеть, что этот гамильтониан коммутирует с операторами квадрата орбитального момента и проекции:

[] = 0, [] = 0. (21.4)

Следовательно, системы с гамильтонианом (3) могут находиться в стационарных состояниях с определенным значением энергии E, квадрата L2 и проекции Lz орбитального момента. Волновые функции этих состояний являются одновременно собственными функциями всех трех операторов , , :

, (21.5)

где l = 0, 1, 2…, а m= 0, 1, 2, … l.

б) Здесь первое из уравнений (5) представляет собой стационарное уравнение Шредингера. Зависящий от угловых переменных множитель в его решении представляет собой собственную функцию операторов и , т.е. сферическую функцию:

= fEl(r)Ylm(, ). (21.6)

Здесь радиальная функция fEl(r) может зависеть от энергии состояния E и орбитального квантового числа l. Подставив гамильтониан (3) и функцию (6) в стационарное уравнение Шредингера, получаем

=

= Ef(r)Y(, ).

Отсюда получаем радиальное уравнение Шредингера

. (21.7)

Вместо радиальной функции f(r) часто бывает удобно искать функцию

R(r)=r f(r), (21.8)

которую также называют радиальной функцией. Найдем уравнение, которому она подчиняется.

= =

Учитывая это равенство, радиальное уравнение Шредингера (7) приводим к виду

. (21.9)

Если ввести эффективный потенциал

Ul(r) = ,

в котором второе слагаемое имеет смысл «центробежной» энергии, то легко увидеть сходство уравнения (9) с уравнением частицы в одномерном поле. Функция f(r) конечна при r = 0, поэтому R(0) = 0. Координатная функция Elm(r, , ) нормирована условием

= 1, (21.10)

Сферическая функция Ylm(, ) нормирована условием (20.22). Поэтому для радиальных функций условия нормировки таковы:

= 1 или = 1. (21.11)

в) Каждое стационарное состояние с определенным значением орбитального числа l будет (2l+1)-кратно вырождено, т.к. данному значению l отвечает (2l+1) значений магнитного числа m: m= 0, 1, 2… l. Кратность вырождения обозначим gl = 2l+1. Состояния с определенным значением l обычно обозначают латинскими буквами:

l	0	1	2	3	4	5	6
обозначение	s	p	d	f	g	h	i

г) Действие оператора инверсии на функцию сферических координат частицы определяется так:

(r, , ) = (r, - , + ). (21.12)

Оператор инверсии коммутирует с гамильтонианом (3): [] = 0. Его собственные значения или пространственную четность P находим, воспользовавшись свойствами сферических функций:

.

Отсюда получаем P = (-1)l (21.13)

д) Собственные значения энергии E, радиальные волновые функции, а с ними и характер движения частицы зависят от вида потенциальной энергии U(r) в уравнении (9).

Если U(r) > 0 при 0 r , то связанные состояния отсутствуют, а энергия не квантуется.

22. Движение частицы в сферической потенциальной яме. Сферический осциллятор

Частица в потенциальной яме. Часто для оценок оказывается удобной простая модельная система, которая представляет собой частицу массой m, движущуюся в сферически-симметричной потенциальной яме прямоугольной формы. Ее радиальная функция внутри потенциальной ямы (r < a) радиусом a является решением уравнения

. (22.1)

Решения этого уравнения выражаются функциями

, (22.2)

где A - нормировочный множитель, - сферические функции Бесселя,

. (22.3)

Из условия непрерывности волновой функции следует

. (22.4)

Корни этого уравнения (функции Бесселя) определяют дискретные значения энергии стационарных состояний:

. (22.5)

Полная волновая функция системы выглядит так:

. (22.6)

Проще всего найти решение этого уравнения для s-состояний, для которых значение орбитального числа l = 0. В этом случае уравнение (1) принимает вид волнового уравнения для плоской волны:

. (22.7)

Нормированные решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям:

R(0) = 0 и R(a) = 0, (22.8)

вытекающим из требований конечности и непрерывности волновых функций, имеют вид

, (n = 1, 2, 3, …) (22.9)

Собственные значения энергии системы, соответствующие этим функциям в s-состояниях, не зависят от l и равны

, (n = 1, 2, 3, …) (22.10)

Сферический осциллятор. Под сферическим осциллятором понимают частицу массы m, которая движется в центральном поле с потенциалом

. (22.11)

Подставив (11) в радиальное уравнение получаем

. (22.12)

Здесь можно перейти к безразмерным величинам:

, , (22.13)

и привести уравнение (12) к виду

. (22.14)

Это уравнение имеет решение, если

, n, l = 0, 1, 2, … (22.15)

С учетом (13) получаются энергетические уровни системы:

, n, l = 0, 1, 2, … (22.16)

которые как и в случае линейного осциллятора являются эквидистантными и отстоят друг от друга на величину . Соответствующие радиальные волновые функции будут иметь вид

, (22.17)

где Nnl - нормировочный множитель, - вырожденная гипергеометрическая функция. Полная волновая функция осциллятора

. (22.18)

Каждое из состояний характеризуется двумя квантовыми числами n и l. Энергия зависит от комбинации = 2n + l этих чисел, поэтому число = 0, 1, 2, … можно назвать главным квантовым числом. Уровни с 2 являются вырожденными, т.к. могут быть получены разными комбинациями n и l.

23. Движение в кулоновском поле. Энергетический спектр атома водорода

В атоме водорода электрон движется в кулоновском поле ядра с потенциалом

U(r) = - , (23.1)

где - элементарный заряд. Будем интересоваться связанными состояниями электрона в атоме, когда энергия состояний E < 0. Состояния с положительной энергией E > 0 отвечают ионизации.

Пренебрегаем размерами ядра и его движением. Движение ядра легко учитывается путем замены массы электрона m на приведенную его приведенную массу [m/(1+ m/M)], где M - масса атомного ядра.

Чтобы найти радиальную волновую функцию электрона в атоме водорода решим радиальное уравнение (21.9) с кулоновским потенциалом (1):

. (23.2)

Здесь удобно перейти к безразмерной переменной:

, (23.3)

где постоянная 0,5310-10 м - первый боровский радиус атома водорода. Перейдем теперь в уравнении (2) к безразмерной радиальной переменной :

,

. (23.4)

Для дальнейшего упрощения уравнения введем положительную безразмерную величину 2 пропорциональную энергии электрона E:

. (23.5)

Радиальное уравнение (4) в безразмерных переменных принимает вид

(23.6)

Исследуем асимптотические свойства решения этого уравнения. При
вкладом последних двух слагаемых можно пренебречь. В этом пределе решение уравнения имеет вид R() = . Так как эта функция должна быть конечной при , следует полагать B = 0, т.е.
R() = .

При 0 можно пренебречь вторым и третьим слагаемыми в уравнении (6). В этом случае решение имеет вид R() = constz. Подставив эту функцию в асимптотическое уравнение можно показать, что z l + 1.

Учитывая асимптотические свойства, будем искать решение уравнения (6) в виде

R() = . (23.7)

Найдем производные этой функции:

,

.

Подставив функцию (7) и ее производные в уравнение (6), получим уравнение

. (23.8)

Это уравнение можно привести к виду

= . (23.9)

Перенумеруем члены степенного ряда в левой части ( + 1). Учитывая, что два степенных ряда могут быть равны при любых значениях только при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях , получаем

=. (23.10)

Отсюда получаем рекуррентное соотношение:

. (23.11)

Все коэффициенты выражаются теперь через 0, который может быть найден из условия нормировки.

Решение в виде (7) должно быть ограниченным при . Это может иметь место только, если ряд в (7) обрывается на некотором члене max = nr, что сводится к требованию

(nr + l + 1) - 1 = 0. (23.12)

Здесь nr = 0, 1, 2… - радиальное квантовое число. Целесообразно ввести главное квантовое число, связанное с радиальным числом:

n = nr + l + 1. (23.13)

Главное квантовое число принимает значения n = 1, 2, 3, … . Воспользовавшись формулой (5), находим значения энергии стационарных состояний атома водорода:

= - IH . (23.14)

Здесь IH = = = = - энергия ионизации атома водорода, - постоянная тонкой структуры. Ее численное значение, равное IH = 13,6 эВ, определяет масштаб атомных энергий.

Формула (14) энергии стационарных состояний атома водорода сыграла огромную роль в создании квантовой механики. Первоначально она была получена Н. Бором (1914) в его теории атома водорода. Исходя из этой формулы, он вывел формулу Бальмера, которая правильно описывала наблюдаемый в опыте спектр излучения атомарного водорода, но не нашла обоснование в классической физике. Вывод формулы (14) был дан Э. Шредингером (1926) в его волновой механике. Эта формула была выведена и в рамках матричной механики Гейзенберга (В. Паули, 1926).

24. Волновые функции и квантовые числа атома водорода. Водородоподобные и ридберговские атомы

Как было установлено выше, энергии состояний En = - IH/n2 атома водорода определяются только значением главного квантового числа n, и не зависит от других квантовых чисел. Это следствие того, что электрон движется в кулоновском поле. Волновые функции этих состояний имеют вид

, (24.1)

где fnl(r) - радиальная функция, Ylm(,) - сферическая функция. Отсюда видно, что волновые функции помимо главного числа n зависят еще и от значений орбитального числа l и магнитного числа m. Поэтому состояния En атома водорода будут вырожденными. Причиной этого вырождения является кулоновский потенциал поля ядра. Такое вырождение отсутствует у атомов, содержащих более одного электрона, так как эффективное поле, действующее на электрон в многоэлектронном атоме отличается от кулоновского.

Из формулы (22.13) следует, что возможные значения орбитального числа ограничиваются значением главного квантового числа:

l = 0, 1, 2, … (n - 1), (24.2)

а модуль магнитного числа не может превышать значение орбитального числа:

m = 0, 1, 2, 3, …l. (24.3)

Определим кратность вырождения состояния атома с заданным квантовым числом n. Без учета спина электрона она будет равняться

. (24.4)

В дальнейшем будет показано, что учет спина электрона приводит к удвоению кратности вырождения состояний атома: .

Радиальная функция fnl(r), входящая в виде множителя в волновую функцию атома водорода, связана с функцией Rnl(r), которая является решением уравнения (22.2) и имеет вид

R(r) =. (24.5)

Учитывая это, радиальную функцию fnl(r) можно записать так

fnl(r) = = . (24.6)

Здесь r - расстояние от ядра до электрона, a - радиус первой боровской орбиты, а - полиномы Лагерра, которые можно найти по формуле

. (24.7)

Радиальные функции fnl(r) нормируются условием

. (24.8)

Выражения для этих функций при значениях главного квантового числа n = 1, 2 и 3 приведены в следующей таблице 24.1.

Таблица 24.1

n	l	Состояние	Радиальная функция fnl(r)	gn= n2
1	0	1s		1
2	0	2s		4
	1	2p
3	0	3s		9
	1	3p
	2	3d

На рисунке 24.1 приведены радиальные функции и радиальные распределения вероятностей для состояний 2s и 2p в безразмерных переменных r/a.

а

б

Рис. 24.1. Радиальные функции (а) и радиальные распределения (б) вероятности 2s (сплошная линия) и 2p (пунктирная линия) состояний.

Как было найдено выше, нормированные сферические функции Ylm(,), также входящие в виде множителя в волновую функцию атома, имеют вид

Ylm(, ) = . (24.9)

Они взаимно ортогональны как по значениям орбитального числа l, так и магнитного числа m, поэтому удовлетворяют следующим условиям ортонормированности:

. (24.10)

В целом же волновая функция (1) удовлетворяет условию нормировки:

. (24.11)

Для значений орбитального квантового числа l = 0, 1, 2 выражения для сферических функций приведены в следующей таблице 24.2.

Таблица 24.2

Состояние	l	m	Ylm(,)
s	0	0	Y0,0(,) =
p	1	0	Y1,0(,) = cos
		1	Y1,1(,) = sin
d	2	0	Y2,0(,) = (3cos2 - 1)
		1	Y2,1(,) = sin cos
		2	Y2,2(,) = sin2

На основе рассмотренной выше квантово-механической теории атома водорода легко можно изучать состояния ионов других атомов, если они имеют всего один электрон. Подобные ионы называют водородоподобными. Энергии их состояний и волновые функции получаются из формул (23.14) и (24.6) заменой на , где Z - атомный номер (заряд ядра).

Улучшение экспериментальной техники позволило в последние годы наблюдать и исследовать атомы в высоковозбужденных состояниях, в которых значения главного квантового числа n достигают нескольких сотен. В таких состояниях возбужденный электрон движется в кулоновом поле атомного остова. Такие водородоподобные атомы получили называние ридберговских атомов. Их размеры достигают в ряде случаев 10-6 м. Предпринимаются попытки получения конденсированного вещества, атомы которого находились бы в ридберговских состояниях.

Размещено на Allbest.ru

...