Анализ поведения бегущих электромагнитных волн в волноводном тракте

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Поведение электромагнитных полей в пространственно ограниченных системах зачастую представляет собой весьма сложный физический процесс, который не всегда даётся достаточно корректно описать при помощи математических выражений. Интерес к описанию этого процесса подтверждается тем, что в настоящее время в научной периодике имеется большое количество публикаций, посвященных описанию механизма самовозбуждения электромагнитной волны в замкнутых системах.

Отдельный интерес представляет поведение электромагнитных волн в кольцевых системах. Особенностью кольцевой системы является прохождение друг за другом огромного количества волн, что в свою очередь даёт возможности для измерения некоторых величин.

В настоящей работе проведено экспериментальное исследование поведения бегущих электромагнитных волн в волноводном тракте. Целями настоящей работы являются:

1) определить оптимальные условия возбуждения бегущей электромагнитной волны в кольцевом тракте;

2) исследовать влияние образцов на амплитуду бегущей волны;

3) сборка наиболее подходящей установки для вышеперечисленных целей.

• 1. Общие сведения о волнах
• 1.1 Поведение электромагнитных волн

Согласно теории де Бройля движущемуся электрону можно поставить в соответствие волновой процесс с длиной волны л. Тогда для отбора стационарных круговых орбит в простейшей модели атома Бора необходимо выполнение следующего условия: длина окружности стационарной орбиты должна быть равна целому числу волн де Бройля. Иначе говоря, для устойчивых орбит должен иметь место резонанс бегущей волны, распространяющейся по замкнутому контуру. Этот вывод можно моделировать при помощи 3-см электромагнитных волн. Тот факт, что для бегущей волны, распространяющейся по замкнутому контуру, при соответствующем выборе длины контура действительно наблюдается явление резонанса, показано в работе следующим образом (рис. 1).

Из отрезков 3-см волновода, разной формы собирается волноводное кольцо, в которое включены направленный ответвитель НО, 3-см измерительная линия ИЛ и диэлектрический фазовращатель ц. 3-см электромагнитные волны, модулированные по амплитуде низкой частотой (400 Гц), поступают в кольцо от генератора Г, волноводный выход которого стыкован со входом направленного ответвителя. Диэлектрический фазовращатель позволяет менять электрическую длину контура. Детектор в зонде измерительной линии регистрирует амплитуду волны в данной точке контура. От зонда продетектированный сигнал через усилитель низкой частоты поступает на вход осциллографа ЭО-7.



Рис. 1. Волноводное кольцо

Вначале фазовращатель стоит в нулевом положении. На экране осциллографа наблюдается сигнал небольшой амплитуды, так как при произвольной длине контура в нем не укладывается целое число волн и волны гасят друг друга. Вращая ручку фазовращателя, находят такое положение, что амплитуда сигнала проходит через максимальное значение. Это соответствует случаю, когда в кольце уложилось целое число волн. Можно убедиться, что в обоих случаях в контуре существует бегущая волна: при перемещении зонда вдоль линии изменения амплитуды сигнала незначительны. Они обусловлены неидеальной стыковкой деталей контура. Опыт показал, что при определенных условиях при бегущей волне имеет место резонанс.

Волноводное кольцо размыкается, удалив участок А В С, а открытые выходы волноводов замыкаются металлическими пластинками КК. В линии устанавливается стоячая волна. При перемещении зонда вдоль линии сигнал на экране осциллографа периодически меняется от нуля (узлы стоячей волны электрического поля) до максимума (пучности стоячей волны). Конечно, при показе этого опыта тщательно оговаривается различие природы волн де Бройля и электромагнитных и разъясняется, что задача опыта -- лишь моделировать идеи де Бройля. Однако эта оговорка ни в коей мере не отрицает полной аналогии между электрическими процессами, происходящими в электронной оболочке атома в стационарном либо квазистационарном состоянии, и поведением электромагнитной волны в замкнутой кольцевой системе при выполнении условия резонанса, так как 1-й постулат Бора по форме полностью совпадает с условием резонанса электромагнитных волн в замкнутых системах. В настоящее время, несмотря на огромное количество работ, как теоретических, так и экспериментальных, в данном направлении, поведение волн во многом далеко от полноты своего описания. Это особенно ярко проявляется в случаях, когда длина волны является величиной, сравнимой с характерными размерами элементов систем. Таким процессом может быть рассеяние на спиральных элементах либо - структурах, резонансные явления в волноводных и коаксиальных трактах.

Существует большое количество работ, посвященных описанию механизма самовозбуждения электромагнитной волны. Так, рассматривались вопросы о механизме появления комплексных волн в спектре экранированного волновода. С помощью теории преобразования типов волн объясняется механизм появления комплексных волн в спектре экранированного диэлектрического волновода. Для волновода круглой формы приведены результаты численных расчётов, подтверждающие правильность разработанной модели.

Был предложен метод определения величины комплексной постоянной распространения поверхностной электромагнитной волны, не требующее знания электрофизических параметров исследуемого материала.

С точностью до членов размножения высшего порядка малости по степеням л/L и ?/щ, получены уравнения переноса энергии, импульса и момента импульса пакета электромагнитной волны, распространяющейся в слабопоглащающей однородной стационарной анизотропной и гиротропной среде с временной и пространственной дисперсией. Показано, что закон сохранения собственного момента импульса (спина) волны имеет место только для поперечных волн с круговой поляризацией. Определены выражения для плотности спина, его потока.

Сообщается о новом подходе, позволяющем существенно эффективней и быстрее, а также с большей точностью решать задачи вычисления полей широкого класса диэлектрических волноводов. Этот подход при численной реализации обеспечивает хорошую устойчивость.

Метод интегрированного уравнения, полученный на основе применения тождества Грина, используется для определения резонансных частот дисковых и кольцевых резонаторов, расположенные на однослойной диэлектрической подложке и заключенных в низкий цилиндрический резонатор- экран. Вследствие использования в качестве базисных функций собственных колебаний структуры существенно сокращено время расчетов. Приведены результаты определения резонансных частот дисковых резонаторов для колебаний типа Е010, ЕН110. В кольцевом резонаторе определены собственные частоты колебаний типа ЕН110, ЕН210, ЕН310.

Обсуждается вопрос о замене реальных граничных условий при решении задач отражения и прохождения электромагнитной волны через приближенные импедансы.

Общая теория реактивной связи двух резонансных типов колебаний сформулирована в терминах нормализованных эквивалентных сосредоточенных элементов. Выявлено влияние связи на добротность и уход резонансных частот.

Приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований полосковых кольцевых резонаторов, перестраиваемые с помощью варакторных диодов. Кольца образованы щелевой линией передачи или компланарным волноводом. Получена электронная перестройка резонансной частоты щелевого резонатора в полосе частот 3,03- 3,83 ГГц (23%) при вносимых потерях 4,5 ± 1,5 дБ, резонатор на компланарном волноводе перестраивается в полосе 2,83- 3,59 ГГц.

Рассматриваются особенности прохождения плоской электромагнитной волны через бесконечную диэлектрическую среду, состоящую из плоскопараллельных пластин. Предполагается, что среда является периодической. Её периодические элементы состоят из конечного числа пластин с произвольными значениями диэлектрической проницаемости, волна падает под произвольным углом на пластины и имеет либо ТМ-, либо ТЕ- поляризацию. С использованием теоремы Флоке задача сводится к рассмотрению полей только в отдельном элементе периодичности среды. Метод демонстрируется на примере, когда элемент периодичности среды состоит только из двух пластин.

Предложена схема возбуждения колебания кольцевого резонатора, использующая идею автоколебания и сохраняющая интегрирующий эффект. Автоколебания обеспечиваются внешней нелинейной запаздывающей обратной связью, связывающей колебания резонатора в некоторых точках с величиной напряжения на электродах в системе возбуждения колебаний. На основе известной нелинейной модели резонатора выявлены условия существования автоколебаний, исследована их устойчивость и получены асимптотические формулы. Показано отсутствие зависимости калибровочного коэффициента резонатора от коэффициента усиления в цепи внешней запаздывающей обратной связи.

Предложена точная формула для расчёта числа типов волн, возбуждаемых в прямоугольном волноводе для произвольной полосы частот. Показано, что в пределе высоких частот полученная формула переходит в известное асимптотическое приближение. Проведено сравнение результатов расчёта числа типов волн по точной и асимптотической формулам.

Рассмотрено применение конечно- разностных методов для расчёта диэлектрических волноведущих систем. Исследованы основные причины, препятствующие широкому использованию метода конечных разностей для расчёта открытых диэлектрических структур и волноводов с диэлектрическим наполнением. Указаны перспективные направления развития рассматриваемых методов.

Излагается обзор современного состояния волноводной техники. Представлены частотные характеристики коэффициентов затухания в волноводах различных типов (круглых, прямоугольных, коаксиальных Н- образных). Дан также обзор конструкций устройств на волноводах с увеличенными размерами поперечного сечения: волноводных переходов, устройств для подавления волн высших типов.

Даны результаты расчетов характеристик коэффициента затухания ряда типов волн в прямоугольных и круглых волноводах. Расчеты выполнены в приближении малых потерь. Результаты расчетов представлены в виде графиков зависимости нормированных коэффициентов затухания для 14 первых типов ТЕ и ТМ в прямоугольном волноводе и 15 в круглом от длины волны, нормированной к ширине прямоугольного волновода.

Изучены общие закономерности формирования амплитудно- частотной характеристики симметричных волноводных или периодических резонаторов на основе выяснения их взаимосвязи с собственными частотами колебаний открытых структур. Исследовано влияние количества и местоположения собственных частот колебания одного или различных типов симметрии на частотные характеристики. Даны простые оценки зон наличия или отсутствия резонансов полного отражения и прохождения, добротности и величин смещения резонансов относительно реальных частей собственных частот.

При размерах систем сопоставимых с длиной волны излучения, распространяющихся в данной системе, проявляются квантовые эффекты, характерные для электромагнитных процессов происходящих в атомных и молекулярных системах для электромагнитных волн видимого диапазона, т.е. в оптике. В частности, поведение электрона в атоме водорода описывается на основе постулатов, т.е. утверждений, которые не могут быть доказаны, а воспринимаются как факт на основе экспериментальных результатов. Основным постулатом является утверждение о существовании стационарных орбит, на которых электрон не излучает, причем длина орбиты при этом равна длине волны электрона. Экспериментальную проверку данного постулата в оптике затруднительна, поскольку длина волны при этом весьма мала. Для радиотехнических систем, где длины волн имеют макроскопические размеры, постановка такого эксперимента вполне осуществима. Эксперимент по поведению бегущих электромагнитных волн в замкнутой системе, длина которой кратна длине волны, описан в литературе как демонстрационный, хотя изучение поведения бегущих волн в замкнутых системах представляет и чисто практический интерес.

• 1.2 Волновой процесс

Слова «волна», «волновой процесс», употребляемые в физике и технике, получили широкое распространение. Под распространением волны понимается постепенное вовлечение среды в некоторый физический процесс, приводящее к передаче энергии в пространстве. Представление о волновом процессе чуждо «принципу дальнодействия», допускающему мгновенные физические взаимодействия на расстоянии без участия среды.

Пусть в какой-то области пространства наблюдается физический процесс, который в точке можно охарактеризовать функцией . В другой точке измерения величины в это же время, быть может, покажут отсутствие процесса. Но через какое-то время он будет передан средой, и мы отметим, что

В простейшем случае будет обнаружено лишь запаздывание процесса во времени, т. е. , где -- время, требуемое для прохождения пути со скоростью . Пусть в пространстве существует зависимость только от одной координаты . Характеризующая процесс функция

, (1)

построена при и при . Очевидно,.

Говорят, что функция (1) описывает волну. Иногда волны этого рода называют «недеформируемыми»; имеется в виду, что временной закон во всех точках пространства -- с точностью до сдвига -- одинаков. Волна называется плоской и однородной. Дело в том, что, положив, мы задаем плоскость, на которой мгновенное значение функции постоянно. Любую такую плоскость называют фронтом волны. В некоторый момент фронт, для которого движется вдоль оси со скоростью ,. Плоскую однородную волну, распространяющуюся в противоположном направлении, следует описывать при помощи выражения (1) с изменением знака:

.

Обратимся к однородному волновому уравнению:

(2)

Если пользоваться декартовой системой координат и рассматривать только процессы, не зависящие от и , то волновое уравнение примет вид:

(3)

Путем непосредственной подстановки нетрудно убедиться, что функции, выражаемые формулами, являются решениями одномерного волнового уравнения (3).

Общее решение уравнения (3) выражает формула:

 (4)

где и -- произвольные дважды дифференцируемые функции. Это наложение двух плоских однородных недеформируемых: волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

1.3 Поляризация и наложение волн

Для описания ориентации волны, распространяющейся в заданном направлении, существует понятие поляризации. Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую через направление распространения и параллельную вектору . Таким образом, всякое наложение двух волн с произвольными амплитудами и фазами есть также некоторая электромагнитная волна. Любая из плоскостей, проходящих через ось , может в равной мере быть плоскостью поляризации.

Существенно, что при распространении волны плоскость ее поляризации может и не оставаться неподвижной, т. е. волна может изменять свою ориентацию относительно направления распространения. Действительно, рассмотрим электрические поля двух ортогонально поляризованных волн одного направления и составим их наложение

(5)

Если фазы волн совпадают ( и ), то, как легко убедиться, наложение волн есть волна, поляризованная в неподвижной плоскости, составляющей угол с плоскостью поляризации первой волны. Это плоская, или линейная, поляризация.

Картина оказывается иной, если фазы налагающихся волн различны. Пусть, например, при одинаковых амплитудах () фазовое различие составляет . Полагая в (5) и , определим вектор как

(6)

Определяя угол , указывающий положение плоскости поляризации волны, имеем:

(7)

т.е. угол наклона вектора к оси не остается постоянным в пространстве и времени, а равен . Как видно, в каждой фиксированной плоскости вектор вращается с угловой скоростью , а в фиксированный момент времени распределение поля вдоль оси таково, что конец вектора «скользит по винтовой линии».

Если налагаемые волны имеют произвольные амплитуды и фазы, то результирующий волновой процесс есть волна эллиптической поляризации. Вращаясь, вектор при этом изменяется по величине и описывает эллипс. Ориентация и эксцентриситет эллипса определяются соотношением комплексных чисел и .

Наложение противоположно направленных волн одинаковых амплитуд вызывает процесс, называемый стоячей волной. Особенностью электромагнитной стоячей волны является характерное пространственное и фазовое смещение распределений и .

Рассмотрим, например, стоячую волну, поляризованную в плоскости , Положив и находим:

 (8)

или, переходя от комплексных амплитуд к векторам поля в случае идеального диэлектрика (, ):

(9)

Узлы (или пучности) стоячих волн векторов и сдвинуты на четверть волны. Во времени же эти поля смещены на по фазе. Такая стоячая волна в среднем не переносит энергии, как легко убедиться, вычисляя среднюю величину вектора Пойнтинга.

1.4 Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла

Формулы Френеля определяют амплитуды и интенсивности преломлённой и отражённой электромагнитной волны при прохождении через плоскую границу раздела двух сред с разными показателями преломления. Названы в честь Огюста Френеля, французского физика, который их вывел. Отражение света, описываемое формулами Френеля, называется френелевским отражением.

Формулы Френеля справедливы в том случае, когда граница раздела двух сред гладкая, среды изотропны, угол отражения равняется углу падения, а угол преломления определяется законом Снеллиуса. В случае неровной поверхности, особенно когда характерные размеры неровностей одного порядка с длиной волны, большое значение имеет диффузное рассеяние света на поверхности.

При падении на плоскую границу различают две поляризации света. s-Поляризация -- это поляризация света, для которой напряжённость электрического поля электромагнитной волны перпендикулярна плоскости падения (т.е. плоскости, в которой лежат и падающий, и отражённый луч).

p-Поляризация -- поляризация света, для которой вектор напряжённости электрического поля лежит в плоскости падения.

Формулы Френеля для s-поляризации и p-поляризации различаются. Поскольку свет с разными поляризациями по-разному отражается от поверхности, то отражённый свет всегда частично поляризован, даже если падающий свет неполяризован. Угол падения, при котором отражённый луч полностью поляризован, называется углом Брюстера; он зависит от отношения показателей преломления сред, образующих границу раздела.

Постановка задачи.

Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2, с электрической и магнитной проницаемостью и соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской). При переходе через границу раздела волна разделится на две части: отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2), необходимо выяснить соотношения между углами и , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 2).

Рис. 2. Поведение волны на разделе сред

Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла (учитывая, что среда диэлектрическая, т.е. ):

и (10)

для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):

и (==0) (11)

где A и B, и , - постоянные (не зависят от времени и координаты), и - характеристики среды, в которой распространяется волна, , t - рассматриваемый момент времени, x - рассматриваемая координата на оси Х, V - скорость распространения волны в данной среде (естественно, в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением ). Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела: и не терпят разрыва на поверхности раздела, и также не терпят разрыва, поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:

(12)

(индексом 1 обозначаем все, относящееся к первой среде, индексом 2 - ко второй).

Таким образом, необходимо построить точное решение уравнений (10), удовлетворяющих условиям (12). Для этого рассмотрим два случая: случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная), и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.

Случай ТМ - волны (p - волны).

Рис. 3 Распространение ТМ-волны

Из рисунка видно, что , запишем условия равенства на границе раздела: (учитывая, что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн).

подставляем значения:

подставляем из (11):

.

Аналогично, поскольку получаем для вектора на границе раздела:

(c учетом (11))

для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов:

потребуем также равенства начальных фаз:

из рисунка видно, что:

, (13)

(,и - соответственно: угол падения, угол отражения и угол преломления), тогда имеем:

из равенства аргументов получаем:

т.е. получены, как и следовало ожидать, законы отражения и преломления света разделим теперь выражения дляи на , получим (c учетом (4)) следующую систему:

(14)

здесь неизвестными являются и , а - заданно.

Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе, тогда члены с сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы, то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:

.

(разделим числитель и знаменатель на , и учтя, что)

из второго уравнения системы (14) получаем для :



(15)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела, которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо, поскольку , проверим первое равенство :

из рисунка видно, что , а подставим значения , и ( из 2), сократив сразу на , и учитывая (13):

(выражая через второе уравнение системы (14))

Таким образом, действительно получено точное решение уравнений (11), удовлетворяющее всем начальным условия. Итак, имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления:

.

Случай ТЕ -волны ( s - волны)



Рис. 4. Распространение ТЕ-волны

Из рисунка видно, что

Условия (12) для и :

подставляя значения и из (11) получим:

как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света, сокращая на и с учетом (13) получим систему:

(16)

умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе:

поскольку мы полагаем (см. выше) то

(17)

из второго уравнения системы (16) получаем:

(18)

проверим теперь неучтенные условия на границе раздела: и .

Второе условие выполняется, поскольку , проверим выполнение равенства: из рисунка видно, что , а подставим значения , и (из 11), сократив сразу на , и учитывая (13) получим:

подставляем из второго уравнения системы (16):



таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2), удовлетворяющее всем начальным условиям. В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (17) и (18)):

и

Анализ формул Френеля.

Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга падающей и отраженной ( и в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (и ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления, с учетом (11) будем иметь:

Отражение.

Исследуем сначала поведение и на границах отрезка :

при (просто положить равным нулю нельзя, потому что будет неопределенность):

для случая падения из воздуха в стекло ():

т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить, что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух, то это значение не изменится).

В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при:

Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.

В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, необходимо учесть явление полного внутреннего отражения, когда прошедшей волны нет - вся волна отра отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших, чем , вычисляемого следующим образом:

Для падения из стекла в воздух

Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение, поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:

Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками, для этого исследуем на монотонность функции: и

Нам понадобится производная , найдем ее как производную функции, заданной неявно:

Знак этой производной ( поскольку , ) зависит только от знака выражения , это выражение > 0, когда (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и <0, когда (из более оптически плотной в менее оптически плотную ), следовательно в первом случае монотонно возрастает, а во втором, убывает. Но в случае , следовательно по модулю это выражение будет возрастать, в случае оно также будет по модулю возрастать. Таким образом, , как квадрат этого выражения, в обоих случаях монотонно возрастает от при до 1 при .или.



Знак этой производной,( поскольку , есть >0 при и <0 при ).

Знак функции меняется следующим образом:

при если невелико>0, но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель, при рассматриваемых пределах изменения , в 0 обращаться не может 1 это происходит тогда, когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:

Это есть угол Брюстера (), при котором обращается в 0, то есть отраженная волна отсутствует. Для случая падения из воздуха в стекло , для обратного случая (из стекла в воздух) При переходе через этот угол меняет знак на минус, следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля), а затем возрастает (до 1).

При для небольших<0, при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место, хотя изменяется до ,а не до , поскольку . Таким образом снова монотонно убывает до 0, а затем монотонно возрастает до 1.

Итак, в обоих случаях сначала монотонно убывает от при до 0 при , а затем монотонно возрастает до 1 при или .

Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками:

на первом показана зависимость (сплошная линия) и (пунктирная линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)

Рис. 5. Зависимость и от для падение волны из воздуха в стекло

на втором - для случая падения волны из стекла в воздух



Рис. 6. Зависимость и от для падение волны из стекла в воздух

Преломление.

Для анализа поведения и воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную, причем энергия падающей волны (энергия, переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому, поскольку коэффициент показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей, - отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне, а и - аналогичные отношения в s-волне, должны выполнятся соотношения:

и

Действительно, проверим это:

рассмотрим отдельно числитель:

таким образом действительно , аналогично:

Таким образом, используя предыдущее исследование , можно сказать, что:

Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить, что если среды поменять местами, то это значение не изменится ) .

Между этими точками и ведут себя противоположно и .

Окончательно, монотонно возрастает от ( )до , а затем монотонно убывает до 0 ( при ), монотонно убывает от до 0 (при тех же пределах изменения). Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды, так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.

Рис. 7. Зависимость и от Рис. 8 Зависимость и от при падении из менее плотной при падении из более плотной среды в более плотную среды в менее плотную

Набег фаз при отражении и преломлении.

Из формул Френеля следует, что отношения ,,и могут в принципе получится и отрицательными. Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина, в этом случае имеет место сдвиг фазы волны на. Далее выясним, когда такой сдвиг имеет место.

В случае отраженной p-волны , как установлено в п. А, эта функция при n>1 больше 0 при и меньше 0 при , при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами. Таким образом, в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной p-волне наблюдается при , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при.

В случае отраженной s-волны , эта функция меньше 0 при и больше 0 в противном случае. Таким образом, сдвиг фаз на в отраженной s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную, и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную.

В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны, которая представляется в виде суммы p и s-волн, в отраженной волне, таким образом, можно получить, в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации.

Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне, воспользуемся соотношениями, возникшими как промежуточные результаты при выводе (15) и (18):

, ,

из этих соотношений видно, что, поскольку и , то всегда и . То есть, в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).

1.5 Электромагнитные волны в мелкослоистых средах

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в среде, состоящей из бесконечно чередующихся слоев двух различных однородных и изотропных веществ. Если толщины этих слоев достаточно малы по сравнению с длинами волн в них, то такая сложная среда в целом ведет себя как однородная, но анизотропная. В определении электрических и упругих параметров этой среды и состоит задача.

Л.М. Левин детально рассмотрел распространение электромагнитной волны в периодически слоистой среде перпендикулярно к слоям, лишенным поглощения.

Из симметрии задачи ясно, что для определения средних постоянных среды достаточно рассмотреть три случая распространения волны: распространение в направлении, параллельном слоям, при двух поляризациях (либо электрический, либо магнитный вектор параллелен слоям) и распространение в направлении, перпендикулярном к слоям.

Распространение вдоль слоев. Вектор Е параллелен границам слоев.

Направим ось в направлении распространения волны. Направление совместим с осью . Ось направляем нормально границам слоев. Для отличных от нуля компонент электромагнитного поля и имеем в каждом из слоев уравнения

(19)

где , а через обозначена комплексная диэлектрическая проницаемость среды. Проницаемости и меняются периодически в зависимости от , поочередно принимая значения в одном слое и -- в другом.

Решение уравнений (19) будем искать в виде:

(20)

где , и -- пока неизвестные функции , а -- показатель преломления, характеризующий скорость распространения волн вдоль слоев, который мы должны определить. Подстановка (20) в (9) дает:

(21)

Выберем произвольную пару соседних слоев и поместим начало координат на границе между ними. Слой с постоянными пусть простирается от до , а слои с постоянными от до .

Решения уравнений (21) в каждом слое будут:

(22)

(23)

На эти решения должны быть наложены четыре условия непрерывности и периодичности и (т. е. и ) по :

, ,

, , (24)

При помощи (22) и (23) получаем из (24) четыре однородных уравнения:

(25)

где:

Приравнивая нулю детерминант системы (13.7), получаем дисперсионное уравнение, определяющее как функцию :

(27)

Разрешив это уравнение относительно , нетрудно привести его к совокупности следующих двух уравнений:

Пользуясь уравнениями (25), можно показать, что первое из уравнений (28) соответствует волне, в которой и распределены в каждом слое симметрично относительно его середины, т. е. являются четными функциями в слое 1 и в слое 2. Компонента же при этом нечетная. В дальнейшем мы будем интересоваться электрическим и магнитным полями, усредненными по периоду структуры . Так как в волне рассматриваемого типа среднее значение равно нулю, то волна будет иметь лишь компоненты , , т. е. является чисто поперечной волной.

Таким же образом можно показать, что второе из уравнений (28) дает волну, в которой четно, а и нечетны относительно середин, слоев. В результате, усредненное поле будет иметь только продольную компоненту . Однако нетрудно видеть, что такая волна будет быстро затухать в направлении , вследствие чего мы ее исключим из дальнейшего анализа. Действительно, пространство между серединами двух слоев, например, между и , можно рассматривать как ограниченное двумя абсолютно проводящими плоскостями, поскольку на них в рассматриваемом случае . Но известно, что в волноводах с абсолютно проводящими стенками, волны, содержащие тангенциальную компоненту (в данном случае компонента ) практически не могут распространяться и сильно затухают уже на расстоянии, равном ширине волновода (в нашем случае ), если длина волны велика по сравнению с . Этот результат остается справедливым при любых проницаемостях и «прокладок» между идеально проводящими стенками.

Итак, остановимся на первом из двух рассмотренных выше случаев и обозначим значения и , усредненные по периоду , через и . Введем и -- «эффективные» значения проницаемостей так, чтобы соблюдались соотношения:



где п -- корень первого из уравнений (28). Имеем:

Сюда необходимо подставить значения и из (22) и (23), а после интегрирования воспользоваться соотношениями (25) между постоянными А, В, С и . Аналогично находится . В ревультате получаем:

Подставляя это в (29) и решая затем два уравнения относительно и , находим:

(30)

Рассмотрим детальнее случай малых толщин и . Заменяя в (28) получаем, затем из (30):

где:

 -среднее значение по периоду,

-среднее значение по периоду. (32)

Более точная оценка, с учетом кубичных членов в разложении дает:

(33)

где

Мы видим, что поправочные члены имеют порядок Кроме того, при заданных и они играют тем меньшую роль, чем ближе параметры одного вещества к параметрам другого.

Распространение вдоль слоев. Вектор параллелен границам слоев.

Уравнения для электромагнитного поля, имеющего в этом случае компоненты , и будут:

. (34)

Условиям непрерывности и периодичности на границах между слоями будут подчинены и . Очевидно, все формулы, относящиеся к рассматриваемому случаю, могут быть получены из формул предыдущего случая, если в последних произвести замену соответственно на .

Усреднение выражений для компонент поля по периоду структуры дает поперечную волну, компоненты которой и удовлетворяют уравнениям Максвелла:

, (35)

где эффективные значения проницаемостей выражаются формулами:

которые получаются из (30) путем указанной выше замены. Соответственное уравнение для будет:

. (37)

При малых и получаем:

, (38)

где:

(39)

Распространение в направлении, нормальном границам слоев.

Возьмем в качестве отличных от нуля компонент поля и . Они будут удовлетворять уравнениям:

. (40)

При непрерывных и можно было бы на основании теоремы Фату сразу заключить, что при решение уравнений (40) будет приближаться к решению таких же уравнений, но с усредненными проницаемостями и .

Строгое решение показывает, что этот результат остается в силе и в рассматриваемом случае разрывных и . Тем не менее, поскольку нас будет интересовать вопрос о величине поправки к и в эффективных и , мы и здесь начнем с точного расчета, следуя способу, примененному М. Л. Левиным.

Учитывая теорему Флоке, решение уравнений (13.40) будем искать в виде:

(41)

где и -- периодические с периодом функции от .

Если проинтегрируем уравнения (40) в отдельности для каждого из слоев и сопоставим результат с (41), то получим:

(42)

.

.

Налагая на и условия непрерывности и периодичности, которые и здесь записываются в виде (24), получаем четыре однородных уравнения для постоянных интегрирования:

,

(43)

Приравнивание нулю детерминанта системы (43) дает дисперсионное уравнение, определяющее :

(44)

Снова определим средние по периоду структуры значения полей и . Требуя, чтобы для средних полей были справедливы уравнения Максвелла:



мы должны определить и из условий:

,

Откуда:

. (45)

Вычисления дают:

. (46)

Как мы видим, поправка к приближенной величине будет квадратичной.

Пусть толщины слоев и настолько малы, что поправочными членами в (46) и в аналогичных формулах, полученных выше, можно пренебречь. Объединяя все рассмотренные выше случаи, получаем следующую систему уравнений Максвелла для усредненных полей в нашей «квазианизотропной» среде:

Это единая система уравнений Максвелла для среды, в которой тензоры для диэлектрической и магнитной проницаемостей и являются однократно вырожденными, имеют совпадающие главные оси и следующие главные значения:

(47)

Таким образом, рассматриваемая сложная среда обладает свойством одноосного кристалла с оптической осью, перпендикулярной слоям.

В заключение напомним, что в полученных выше формулах , , , будут комплексными величинами, если в слоях имеется поглощение волн.

1.6 Поглощения волн

Поглощение волн - уменьшение интенсивности электромагнитного излучения, проходящего через материальную среду, за счёт процессов его взаимодействия со средой. Энергия волны при поглощении волн переходит в различные формы внутренней энергии среды; она может быть полностью или частично переизлучена средой на частотах, отличных от частоты поглощённого излучения.

Основной закон, описывающий поглощения волн -- закон Бугера , который связывает интенсивности волны, прошедшей слой среды толщиной , и исходной волны . Не зависящий от , и коэффициент называется показателем поглощения; как правило, он различен для разных длин волн . Этот закон установил на опыте в 1729 П. Бугер. В 1760 И. Ламберт вывел его теоретически из очень простых предположений, сводящихся к тому, что при прохождении слоя вещества интенсивность электромагнитной волны уменьшается на долю, которая зависит только от показателя поглощения и толщины слоя, т.е. (дифференциальная, равносильная первой, запись закона Бугера). Физический смысл закона состоит в том, что показатель поглощения не зависит от и (это было проверено С. И. Вавиловым экспериментально с изменением ~ в 1020 раз).

Зависимость от называется спектром поглощения вещества. Для изолированных атомов (например, в разреженных газах) он имеет вид набора узких линий, т. е. отличен от 0 лишь в определённых узких диапазонах длин волн (шириной в десятые -- сотые доли ). Эти диапазоны соответствуют частотам собственных колебаний электронов внутри атомов, «резонирующих» с проходящим излучением и поэтому поглощающих из него энергию. Спектры поглощения волн отдельных молекул также соответствуют собственным частотам, но гораздо более медленных колебаний внутри молекул самих атомов, которые значительно тяжелее электронов. Молекулярные спектры поглощения волн занимают существенно более широкие области длин волн, так называемые полосы поглощения, шириной от единиц до тысяч . Наконец, поглощение волн жидкостями и твёрдыми телами обычно характеризуется очень широкими областями (тысячи и десятки тысяч ) с большими значениями и плавным ходом его изменения. Качественно это можно объяснить тем, что в конденсированных средах сильное взаимодействие между частицами приводит к быстрой передаче всему коллективу частиц энергии, отданной волной одной из них. Другими словами, с волной «резонируют» не только отдельные частицы, но и многочисленные связи между ними. Об этом свидетельствует, например, изменение поглощения волн молекулярными газами с ростом давления -- чем выше давление (чем сильнее взаимодействие частиц), тем «расплывчатее» полосы поглощения, которые при высоких давлениях становятся сходными со спектрами поглощения волн жидкостями.

Ещё Бугер высказал убеждение, что для поглощения волн важны «не толщины, а массы вещества, содержащиеся в этих толщинах». Позднее немецкий учёный А. Бер (1852) экспериментально подтвердил это, показав, что при поглощении волн молекулами газа или вещества, растворённого в практически непоглощающем растворителе, показатель поглощения пропорционален числу поглощающих молекул на единицу объёма (и, следовательно, на единицу длины пути электромагнитной волны), то есть концентрации (правило Бера). Так закон поглощения волн приобрёл вид закона Бугера--Ламберта--Бера; где не зависит от концентрации и характеризует молекулу поглощающего вещества. Физический смысл правила Бера состоит в утверждении независимости поглощения волн молекулами от их взаимодействия с окружением, и в реальных газах (даже при невысоких давлениях) и растворах наблюдаются многочисленные отступления от него.

Сказанное выше относится к средам сравнительно малой оптической толщины, равной . При возрастании поглощения волн средой усиливается на всех частотах -- линии и полосы поглощения расширяются. При достаточно больших среда поглощает всё проникающее в неё излучение как абсолютно чёрное тело.

В проводящих средах (металлах, плазме и т.д.) волновая энергия передаётся не только связанным электронам, но и (часто преимущественно) свободным электронам, в таких средах сильно зависит от их электропроводности . Значительное поглощения волны в проводящих средах очень сильно влияет на все процессы распространения волны в них; это формально учитывается тем, что член, содержащий входит в выражение для комплексного преломления показателя среды. В несколько идеализированном случае поглощения волны только свободными электронами (электронами проводимости) ( -- действительная часть показателя преломления, -- скорость света). Измерения поглощения волн металлами позволяют определить многие характерные их свойства; опытные данные при этом хорошо описываются современной квантовой теорией металлооптики. В теоретических расчётах часто пользуются величиной , связанной с соотношением , где -- длина волны вакууме (а не в среде). Если равно 1, то в слое среды толщиной интенсивность электромагнитного излучения уменьшается в , то есть ~ в 100 000 раз.

В терминах квантовой теории при поглощении волны электроны в поглощающих атомах, ионах, молекулах или твёрдых телах переходят с более низких уровней энергии на более высокие. Обратный переход в основное состояние или в «нижнее» возбуждённое состояние может совершаться с излучением фотона или безызлучательно. В последнем случае энергия возбуждённой частицы может, например, в столкновении с другой частицей перейти в кинетическую энергию сталкивающихся частиц. Тип «обратного» перехода определяет, в какую форму энергии среды превращается энергия поглощённой волны.

В электромагнитных волнах чрезвычайно большой интенсивности поглощение волн многими средами перестаёт подчиняться закону Бугера -- начинает зависеть от . Связь между и становится нелинейной (нелинейное поглощение волны). Этот эффект, в частности, может быть обусловлен тем, что очень большая доля поглощающих частиц, перейдя в возбуждённое состояние и оставаясь в нём сравнительно долго, меняет (или совсем теряет) способность поглощать волну, что, разумеется, заметно изменяет характер поглощения волны средой. Особый интерес представляет ситуация, когда в поглощающей среде искусственно создана инверсия населённостей энергетических уровней, при которой число возбуждённых состояний на верхнем уровне больше, чем на нижнем. В этом случае каждый фотон из падающего потока вызывает испускание ещё одного точно такого же фотона с большей вероятностью, чем поглощается сам. В результате интенсивность выходящего потока превосходит интенсивность падающего , т. е. имеет место усиление волны. Формально это явление соответствует отрицательности в законе Бугера и поэтому носит название отрицательного поглощения волны. На отрицательном поглощении волны основано действие оптических квантовых усилителей и оптических квантовых генераторов (лазеров).

Поглощение волны широчайшим образом используется в различных областях науки и техники. Так, на нём основаны многие особо высокочувствительные методы количественного и качественного химического анализа, в частности абсорбционный спектральный анализ, спектрофотометрия, колориметрия и пр. Вид спектра поглощения волны удаётся связать с химической структурой вещества, установить в молекулах наличие определённых связей (например, водородной связи), исследовать характер движения электронов в металлах, выяснить зонную структуру полупроводников и многих др.

1.7 Плоский резонатор

Распределение поля, возникающее в идеальном диэлектрике при нормальном падении волны на идеально проводящую плоскость, стоячая волна обладает тем свойством, что в любой плоскости, расположенной на расстоянии от границы раздела сред, выполняется условие .

Следовательно, любую из таких плоскостей можно заменить границей с идеальным проводником, так что в «отсеченном» диэлектрическом слое сможет существовать прежнее поле.

Рассмотрим теперь плоский диэлектрический слой между двумя идеально проводящими плоскостями, расположенными на некотором фиксированном расстоянии . Из предыдущего следует, что необходимым условием существования поля в данной системе является кратность величины половине длины волны в диэлектрике. Запишем это в двух формах:

, (48)

Как видно равенство (48) порождает бесконечную последовательность «разрешенных» длин волн и соответствующих волновых чисел , при которых в слое могут существовать свободные поля вполне определенной структуры. Из (48) нетрудно найти круговые частоты соответствующие волновым числам :

(49)

Говорят, что электродинамической системе свойственны собственные колебания, а величины называются ее собственными круговыми частотами.

Возможны собственные колебания, если диэлектрик является несовершенным. Полагая и в (49) комплексными и используя представления , , убеждаемся, что собственные частоты существуют и оказываются комплексными:

(50)

Рассмотренная система есть не что иное, как простейший электромагнитный резонатор. При внешнем возбуждении с частотой в экранированном слое будут происходить так называемые вынужденные колебания поля, амплитуда которых каждый раз резко возрастает при . Это и есть резонансы поля в слое.

1.8 Резонансные системы с отрезками линий, содержащими неоднородности

В ряде случаев по конструктивным соображениям, а также, например, для улучшения фильтрующих свойств, расширения диапазона перестройки PC в качестве составной части PC используют ступенчато-неоднородные отрезки линий. Коаксиальная линия может состоять из нескольких отрезков, имеющих разные диаметры внутренних и внешних проводников, т.е. обладающих разными значениями волновых сопротивлений; могут быть изменены размеры двухпроводной или полосковой линии и т.д. Эти неоднородности приводят к возбуждению высших типов волн, локализованных вблизи неоднородности. Поля таких волн имеют в основном реактивный характер, поэтому поглощением мощности, связанным с их возбуждением, в первом приближении можно пренебречь. Неоднородность может быть учтена включением в эквивалентную схему линии некоторой реактивной проводимости. Скачкообразные изменения размеров проводников линии учитывают включением сосредоточенной емкости.

Резонансное условие для сложной PC, состоящей из параллельно включенных участков линий, записывается для выбранного сечения в виде равенства нулю суммы реактивных проводимостей, определяемых пересчетом к этому сечению проводимостей отдельных участков: Yвх1 + Yн + Yвх2 = 0,- где Yн = jCн /(5,31л) -проводимость емкости, отражающей в эквивалентной схеме неоднородность линии; Yвх2=-j/[Z02tg(2рl2л)] -- входая проводимость короткозамкнутого отрезка линии длиной l1; Yвх1 =-j/Xвх1; Xвх1 -- входное реактивное сопротивление участка линии длиной l1, нагруженного на конце сосредоточенной емкостью С0.

PC можно перестраивать, не изменяя общей длины системы l= l1 + l2 изменением либо емкости С0, либо места включения неоднородности (l2, а стало быть, и l1 = l- l2). Возможна также перестройка системы одновременным изменением С0 и l2. Коэффициент перекрытия диапазона гп = лmax/лmin будет зависеть в там числе и от фактора неоднородности

Полосы пропускания PC располагаются в окрестности каждого значения резонансной частоты. Ширина полос пропускания определяется нагруженной добротностью эквивалентного контура на соответствующем виде колебаний.

Для выполнения требований по фильтрации высших гармоник, всегда присутствующих в спектре СВЧ- тока генератора, необходимо, чтобы резонансные частоты щ0, щ1, щ2,... не были бы кратными.

Если аналогичным образом найти резонансные частоты PC с короткозамкнутым отрезком однородной линии, то окажется, что PC, образованные из отрезков однородной линии, обладают низкими фильтрующими свойствами для нечетных гармоник.

Когда трудно получить одновременно большое значение R0э.хх при перестройке PC в широком диапазоне частот, линейный закон перестройки, хорошие фильтрующие свойства и т. д., в PC включают отрезки плавно-неоднородных линий. В них волновое сопротивление вдоль линий изменяется по определенному закону, для чего в двухпроводных линиях обычно изменяют расстояние между проводниками линии; в коаксиальных -- диаметры проводников (чаще всего наружного); в полосковых -- ширину полоскового проводника.

К плавно-неоднородным линиям относят и радиальную линию, у которой с увеличением радиуса растет погонная емкость, а погонная индуктивность и волновое сопротивление уменьшаются. Для таких линий

Z0 (r) = 60h/r = Z0r0/r, (51)

где Z0 -- волновое сопротивление в начале линии, на начальном радиусе r0; Z0 (r) -- волновое сопротивление на некотором текущем радиусе r. Радиальные линии обычно возбуждают электрическим полем в емкостном зазоре d, диаметр которого 2r0.

Условие резонанса (для начала радиальной линии, r=r0).

jC0Z0/(5,31) + Y(r0,R) (52)

Первый член выражения (52) является нормированной по Z0 проводимостью емкостного зазора, второй член -- нормированной входной проводимостью радиальной линии, короткозамкнутой на радиусе r = R. Расчет такой PC производится по уравнению (52), при этом обычно задают значения С0, л, r0, h. Графически или численными методами находят значение R. Если емкость С0 не задана, ее определяют как емкость соответствующего конденсатора: С0=е0еrрr02/d, где е0 -- электрическая постоянная вакуума, еr-- относительная диэлектрическая проницаемость материала, заполняющего зазор.

Если заполнение зазора -- воздух или вакуум (еr= 1):

C0=0,28r02/d (53)

...