Проводник в электрическом токе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Закон Кулона

2. Электрический заряд

3. Электрическое поле

4. Принцип суперпозиции

5. Теорема Гаусса

6. Дивергенция электрического поля

7. Электрический потенциал

8. Градиент потенциала

9. Силовые линии и эквипотенциали

10. Уравнение Пуассона

11. Общее решение уравнения Пуассона

12. Проводник в электрическом токе

13. Уравнение Лапласа

14. Стандартные задачи электростатики

15. Энергия взаимодействия электрических зарядов

16. Плотность энергии электрического поля

17. Мультипольное разложение

18. Емкость системы проводников. Емкостные и потенциальные коэффициенты

19. Экспериментальная проверка закона Кулона

электрический ток поле заряд

Введение

Наша жизнь сегодня такова, что далеко не всегда мы задумываемся о том, что происходит вокруг нас, и уж тем более почему. И вот так вот не замечая, а точнее не обращая внимание ни на происходящее, ни на его суть, мы продолжаем стремительно двигаться куда-то вдаль, куда и сами не знаем, как, впрочем, не знаем и зачем. Мы очень часто говорим, что мир чересчур сложен, и мы не можем, да и не имеем времени на то, чтобы остановиться и попытаться сделать хоть небольшой шаг к его пониманию. И лишь бессмысленно и тупо злимся, торопясь куда-то, от того, что когда мы причесываемся волосы не причесываются, и не лежат так, как нам надо, а наоборот липнут к пластмассовым зубьям противной расчески, мы ни на секунду не задумываемся, от чего это собственно происходит, да и зачем ведь это всё равно ничего не изменит, думаем мы, ведь это всё равно ничего не изменит... И в ярости, кинув её, снова летим куда-то, впрочем, как и обычно. А на самом деле человек вынужден подчас бороться с отрицательными воздействиями статического электричества и изобретать различные антистатики, браслеты для специалистов, обслуживающих современную электронику, спецодежду и т.д.

Впрочем, всё не так уж и сложно, что касается хоть той же расчески. В основе этого явления как вы знаете лежит поляризация диэлектриков, а это явление из электростатики, которая в свою очередь одна из электромагнитных сил, которые в своей совокупности составляют 97% от всех существующих в природе сил, с которыми и благодаря которым мы живем как днем, так и ночью. Что же касается непосредственно электростатики, то это раздел физики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов. И рамки её (электростатики) влияния охватывают и каждый атом, как на земле, так и за её пределами, включая, как и простую расческу, так и земной шар. Однако в общеобразовательных учебных заведениях, зачастую рассматриваются лишь теоретеческие аспекты электростатики, и опускается реальное применение, да никто об этом особо и не задумывается, а ведь она на использовании её законов видно чуть ли не на каждом шагу: к примеру на свойстве металлических проводников экранировать пространство от внешних полей основано его применение для электростатической защиты хоть в той же медицине (аппаратура, пациенты, обслуживающий персонал, окруженные проводящей металлической сеткой, не испытывают воздействия внешних электрических полей, что необходимо как для безопасности больного да врача, так и для предотвращения искажений при снятии, например электрокардиограммы). Или другой вопрос, касающийся заряда Земли, у которой он есть. Как известно, существует напряженность электрического поля у поверхности нашей планеты оно равно приблизительно 130в/м На первый взгляд довольно странно, ведь из-за атмосферных ионов воздух проводит электрический ток и расчёты показывают, что планета разрядилась бы полностью за полчаса, если бы ни что её не "подпитывало", так может быть и было бы, но каждый день на Земле происходит около 40000 гроз, и ежесекундно планету "бьет" 18000 молний (установленный факт), несущих отрицательный заряд и благодаря такой "подпитке", а также тому, что во время грозы возникают токи с многочисленных остроконечных предметов(огни святого Эльма, о которых, как и о Земле мы поговорим несколько попозже), которые отводят от земной поверхности положительный заряд, заряд самой Земли не исчезает. Также на основе использования статических электрических полей как естественных так и специально сгенерированных, разработаны методы электроразведки недр Земли.

1. Закон Кулона

Основой электростатики является закон Кулона (1785 г.). В современной формулировке он устанавливает силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов.

Рис. 1.1 Закон Кулона формулируется для двух точечных зарядов

Согласно закону Кулона, электрический заряд q1, находящийся в точке с радиус вектором r>1, действует на заряд q2 в точке с радиус вектором r>2 с силой

F>12 = q1q2 r>2 ?r>1 ?r>2 ?r>1?3. (1.1)

По третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый заряд со стороны второго, имеет противоположный знак, т.е.

F>21 = ?F>12 = q1q2 r>1 ?r>2 ?r>1 ?r>2?3.

Закон Кулона (1.1) записан в абсолютной гауссовой системе единиц, которую также называют системой СГС. В электродинамике от выбора системы единиц зависит даже сам вид формул. Например, в системе СИ в законе Кулона появляется дополнительный коэффициент, имеющий не только числовое значение, но и размерность. В нашей книге мы повсеместно используем систему СГС. Правила пересчета систем единиц изложены в приложении A. Там же имеется сводка ключевых формул электродинамики в системе СИ. Система СГС удобна для теоретических расчетов, но на практике чаще применяют систему СИ. Многие физики делают промежуточные вычисления в системе СГС и лишь окончательный результат переводят в систему СИ. Для этого достаточно знать несколько приближенных соотношений между единицами СГС и СИ.

В системе СГС сила измеряется в динах (дн), расстояние в сантиметрах, а заряд -- в статкулонах (стКл): [q] = 1стКл = 1г1?2 см3?2?сек. (1.2)

Заряд величиной 1стКл, находящийся на расстоянии 1см от равного себе, действует на него с силой 1дн. В системе СИ единицей измерения заряда является Кулон (Кл). Это очень большая величина: 1Кл ? 3?109 стКл. (1.3)

На расстоянии 1 метр он действует на равный себе с силой 9?1013 н.

2. Электрический заряд

Что такое заряд? Философ бы ответил, что это некая характеристика реального мира, данного нам в ощущение. Нам известно, что некоторые материальные объекты притягиваются или отталкиваются с силой, пропорциональной квадрату расстояния между ними. Это свойство таких объектов характеризуется тем, что таким объектам приписывается электрический заряд.

Известно, что существуют заряды двух сортов (Бенджамин Франклин, 1706-1790; 1747г.), так как заряды могут отталкиваться, а могут притягиваться. Известно также, что заряды одного сорта отталкиваются. Если бы это было не так, к закону Кулона (1.1) пришлось бы приписать знак минус. Замена притяжения отталкиванием есть просто смена знака силы. Из закона Кулона явствует, что сила изменяет направление при изменении знака заряда. Следовательно, два сорта зарядов -- это заряды положительные и заряды отрицательные. Сейчас этому учат в школе и трудно представить, что ещё не так давно люди этого не знали.

Какой сорт зарядов считать положительным, а какой отрицательным -- дело соглашения. История распорядилась так, что заряд электрона считают отрицательным, а заряд протона -- положительным.

Величину заряда определяют при помощи закона Кулона. Выбрав какой-то заряд в качестве эталона, можно определить знак другого заряда и во сколько раз по абсолютной величине он больше или меньше эталонного. Природный эталон заряда называют элементарным зарядом; по абсолютной величине он равен заряду электрона, поэтому его обозначают буквой e. Однако элементарный заряд слишком мал, чтобы его удобно было считать единицей измерения. В системе СГС e = (4,803242 ± 0,000014)?10?10стКл; в системе СИ e = (1,6021892 ± 0,0000046)?10?19Кл.

Современная наука считает элементарный заряд величиной, не зависящей от времени, т.е. мировой константой. Существуют теории, согласно которым некоторые мировые константы изменяются в ходе эволюции Вселенной. Однако относительно элементарного заряда достоверных сведений такого рода нет. Отсюда следует закон сохранения заряда в замкнутой системе:

Q = ? iqi = const. (2.1)

Он остается в силе, даже если число заряженных частиц изменяется за счёт реакций между ними, как, например, при аннигиляции электрона и позитрона:

e?e+ > 2г.

Важно только, чтобы заряды не пересекали границы объема; в противном случае объем не является замкнутым.

3. Электрическое поле

Закон Кулона предстанет в совершенно ином свете, если ввести понятие электрического поля. Зафиксируем в пространстве заряд q1. Для простоты можно считать, что он расположен в начале координат, а радиус-вектор точки, где расположен второй, так называемый пробный заряд q2, обозначить через r> (без индекса).

Рис. 1.2 К определению понятия электрического поля

Если теперь в законе Кулона (1.1) вынести величину пробного заряда в буквальном смысле за скобки,

F>12 = q2 q1 r2 r> r ? q2 E>1(r>), (3.1)

то выяснится, что нечто, оставшееся в скобках, можно измерить в простом опыте, если заранее знать величину пробного заряда q2. Для этого достаточно измерить направление и величину силы, действующей на пробный заряд. Перемещая пробный заряд, измерения можно выполнить, по крайней мере мысленно, во всех точках пространства. Таким образом, нечто, обозначенное выше через E1(r>), является тем, что в математике принято называть векторным полем. В данном случае это электрическое поле. Существенно, что оно не зависит от пробного заряда. Можно сказать, что заряд q1 создает в окружающем пространстве электрическое поле независимо от того, имеется ли ещё какой-либо заряд, в том числе пробный, или его нет. Электрическое поле может быть создано зарядом другой величины, расположенным в другом месте, или даже несколькими зарядами одновременно. Если оно известно, то известна и сила, действующая на пробный заряд. По сути дела, определением электрического поля является равенство

F> = q E>, (3.2)

где q -- величина пробного заряда, а F> -- сила, действующая на него в точке r>. Из закона Кулона следует, что электрическое поле точечного заряда q на расстоянии r> от него равно

E>(r>) = q r2 r> r. (3.3)

В зависимости от постановки задачи один и тот же заряд q можно рассматривать в качестве источника поля (3.3) или в качестве инструмента измерения поля других зарядов, как следует из (3.2). Вектор E> называют вектором напряженности электрического поля, или просто электрическим полем. Абсолютное значение E = ?E>? вектора E> называют напряженностью электрического поля.

Формулировка закона Кулона в виде (1.1) соответствует так называемой концепции дальнодействия. Согласно ей, взаимодействие зарядов, находящихся на расстоянии друг от друга, осуществляется без промежуточной субстанции, которую в прошлом отождествляли с мировым эфиром. Представление закона Кулона в виде (3.3) соответствует концепции близкодействия, когда силовое воздействие на заряд способны оказывать только упругие напряжения мирового эфира. Концепция близкодействия более адекватна современной трактовке взаимодействия частиц посредством переноса квантов поля, но в целом представления о мировом эфире безнадежно устарели.

В рамках электростатики электрическое поле остается не более чем формальным, математическим понятием. Исследуя только статические явления, невозможно сделать однозначный выбор между концепциями дально- и близкодействия. Только электродинамика, доказывающая существование электромагнитных волн, делает электрическое поле физической реальностью. Понять это утверждение можно хотя бы на примере упоминавшейся уже реакции аннигиляции электрон-позитронной пары:

e?e+ > 2г.

В результате аннигиляции исчезают заряженные частицы -- источники электрического поля, но зато возникает свободное электромагнитное поле в виде двух гамма-квантов.

4. Принцип суперпозиции

Если E>1(r>) -- поле системы зарядов №1, а E>2(r>) -- поле системы зарядов №2, то при наличии зарядов обоих систем

E>(r>) = E>1(r>) + E>2(r>). (4.1)

Рис. 1.3 поясняет сказанное.

Рис. 1.3

Принцип суперпозиции. В отсутствие заряда q2 на пробный заряд q3 действует сила F>13 = q3E>1, а в отсутствие заряда q1 -- сила F>23 = q3E>2. При наличии обоих зарядов действующая сила равна их сумме, F>3 = F>13 + F>23 = q3E>. Отсюда следует, что в месте нахождения пробного заряда E> = E>1 + E>2.

Простейшая система состоит из одного заряда. Следовательно, электрическое поле системы зарядов равно сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности, в отсутствие других зарядов:

E>(r>) = ? j qj ?r> ?r>j?2 r> ?r>j ?r> ?r>j?. (4.2)

Здесь qj,r>j -- заряд и радиус-вектор j-го заряда. Правило сложения (4.1) называют принципом суперпозиции, а формула (4.2) является следствием принципа суперпозиции и закона Кулона.

Принцип суперпозиции является экспериментальным фактом. В электродинамике он рассматривается как абсолютно точный в том смысле, что никакие отклонения от него не обнаружены. Принцип суперпозиции для электрического поля не столь очевиден, как могло бы показаться на первый взгляд. Например, можно предположить, что он нарушается в очень сильном поле аналогично тому, как в твердом теле упругие напряжения можно складывать только при условии, что они достаточно малы (при больших деформациях тело разрушается). Однако эксперименты свидетельствуют, что даже на поверхности тяжёлых ядер, где электрическое поле достигает громадных значений, принцип суперпозиции выполняется. Другое дело, что при полях, примерно в 100 раз меньших, проявляются эффекты поляризации вакуума в результате рождения электрон-позитронных пар. Это приводит к квантово-механической нелинейности взаимодействия зарядов.

5. Теорема Гаусса

Принцип суперпозиции в сочетании с законом Кулона даёт ключ к вычислению электрического поля произвольной системы зарядов, но непосредственное суммирование полей по формуле (4.2) обычно требует сложных вычислений. Впрочем, при наличии той или иной симметрии системы зарядов вычисления существенно упрощаются, если ввести понятие потока электрического поля и использовать теорему Гаусса.

Представления о потоке электрического поля привнесены в электродинамику из гидродинамики. В гидродинамике поток жидкости через трубу, то есть объём жидкости N, проходящий через сечение трубы в единицу времени, равен v?S, где v -- скорость жидкости, а S -- площадь сечения трубы. Если скорость жидкости изменяется по сечению, нужно использовать интегральную формулу N = ? Sv>?dS>. Действительно, выделим в поле скоростей малую площадку dS, перпендикулярную к вектору скорости (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Поток жидкости

Объём жидкости, протекающий через эту площадку за время dt, равен v dS dt. Если площадка наклонена к потоку, то соответствующий объём будет v dScosиdt, где и -- угол между вектором скорости v> и нормалью n> к площадке dS. Объём жидкости, протекающий через площадку dS в единицу времени получается делением этой величины на dt. Он равен v dS cosиdt, т.е. скалярному произведению v>?dS> вектора скорости v> на вектор элемента площади dS> = n>dS. Единичный вектор n> нормали к площадке dS можно провести в двух прямо противоположных направлениях. одно из них условно принимается за положительное. В этом направлении и проводится нормаль n>. Та сторона площадки, из которой выходит нормаль n>, называется внешней, а та, в которую нормаль n> входит, -- внутренней. Вектор элемента площади dS> направлен по внешней нормали n> к поверхности, а по величине равен площади элемента dS = ?dS>?. При вычислении объёма протекающей жидкости через площадку S конечных размеров, её надо развить на бесконечно малые площадки dS, а затем вычислить интеграл ? Sv>?dS> по всей поверхности S.

Выражения типа ? Sv>?dS> встречаются во многих отраслях физики и математики. Они называются потоком вектора v> через поверхность S независимо от природы вектора v>. В электродинамике интеграл

N = ? SE>?dS> (5.1)

называют потоком напряженности электрического поля E> через произвольную поверхность S, хотя с этим понятием не связано никакое реальное течение.

Допустим, что вектор E> представляется геометрической суммой

E> = ? jE>j.

Умножив это равенство скалярно на dS> и проинтегрировав, получим

N = ? jNj.

где Nj -- поток вектора E>j через ту же самую поверхность. Таким образом, из принципа суперпозиции напряженности электрического поля следует, что потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически.

Теорема Гаусса гласит, что поток вектора E> через произвольную замкнутую поверхность равен умноженному на 4р суммарному заряду Q всех частиц, находящихся внутри этой поверхности:

? SE>?dS> = 4рQ. (5.2)

Вектор элемента поверхности dS> здесь направлен по нормали, внешней по отношению к тому объему, где сосредоточен заряд Q (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Теорема Гаусса для одного точечного заряда

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1. Начнем с вычисления потока электрического поля одного точечного заряда q (рис. 1.5). В простейшем случае, когда поверхность интегрирования S является сферой, а заряд находится в её центре, справедливость теоремы Гаусса практически очевидна. На поверхности сферы напряженность электрического поля

E> = qr>?r3

постоянна по величине и всюду направлена по нормали к поверхности, так что поток электрического поля просто равен произведению E = q?r2 на площадь сферы S = 4рr2. Следовательно, N = 4рq. Этот результат не зависит от формы поверхности, окружающей заряд. Чтобы доказать это, выделим произвольную площадку поверхности достаточно малого размера с установленным на ней направлением внешней нормали n>. На рис. 1.6 показан один такой сегмент преувеличенно большого (для наглядности) размера.

Рис. 1.6 Поток электрического в элемент телесного угла

Поток вектора E> через эту площадку равен

dN = E>?dS> = EcosиdS,

где и -- угол между направлением E> и внешней нормалью n> к площадке dS. Так как E = q?r2, а dScosи?r2 по абсолютной величине есть элемент телесного угла dЩ = dS?cosи??r2, под которым видна площадка dS из точки расположения заряда,

dN = ±q dЩ.

где знаки плюс и минус отвечают знаку cosи, а именно: следует взять знак плюс, если вектор E> составляет острый угол с направлением внешней нормали n>, и знак минус в противном случае.

2. Теперь рассмотрим конечную поверхность S, охватывающую некоторый выделенный объём V. По отношению к этому объёму всегда можно определить, какое из двух противоположных направлений нормали к любому элементу поверхности S следует считать внешним. Внешняя нормаль направлена из объёма V наружу. Суммируя по сегментам, с точностью до знака имеем N = q Щ, где Щ -- телесный угол, под которым видна поверхность S из точки, где находится заряд q. Если поверхность S замкнута, то Щ = 4р при условии, что заряд q находится внутри S. В противном случае Щ = 0. Чтобы пояснить последнее утверждение, можно вновь обратиться к рис. 1.7.

Рис. 1.7 Потоки через площадки, опирающиеся на один телесный угол, но обращенные в разные стороны, взаимно сокращаются

Очевидно, что потоки через сегменты замкнутой поверхности, опирающиеся на равные телесные углы, но обращенные в противоположные стороны, взаимно сокращаются. Очевидно также, что если заряд находится вне замкнутой поверхности, то любому сегменту, обращенному наружу, найдется соответствующий сегмент, обращенный внутрь.

3. Наконец, воспользовавшись принципом суперпозиции, приходим к итоговой формулировке теоремы Гаусса (5.2). Действительно, поле системы зарядов равно сумме полей каждого заряда в отдельности, но в правую часть теоремы (5.2) дают ненулевой вклад только заряды, находящиеся внутри замкнутой поверхности. Этим завершается доказательство.

В макроскопических телах число носителей заряда столь велико, что дискретный ансамбль частиц удобно представить в виде непрерывного распределения, введя понятие плотности заряда. По определению, плотностью заряда с называется отношение ДQ?ДV в пределе, когда объём ДV стремится к физически бесконечно малой величине:

с = limДV >0ДQ ДV = dQ dV. (5.3)

Физически бесконечно малым является объём, который мал по сравнению с любыми другими макроскопическими размерами рассматриваемой задачи, но достаточно велик по сравнению с расстоянием между частицами, в данном случае заряженными частицами. С помощью плотности заряда теорему Гаусса можно переписать в виде

? SE>?dS> = 4р ? V сdV, (5.4)

где интегрирование в правой части производится по объему V, замкнутому поверхностью S.

Теорема Гаусса даёт одно скалярное уравнение на три компоненты вектора E>, поэтому для расчета электрического поля одной этой теоремы недостаточно. Необходима известная симметрия распределения плотности зарядов, чтобы задача могла быть сведена к одному скалярному уравнению. Теорема Гаусса позволяет найти поле в тех случаях, когда поверхность интегрирования в (5.4) удается выбрать так, что напряженность электрического поля E постоянна на всей поверхности.

6. Дивергенция электрического поля

С помощью теоремы Остроградского поверхностный интеграл в левой части теоремы Гаусса (5.4) можно преобразовать в интеграл по объему V, ограниченному поверхностью S:

? SE>?dS> = ? V divE>dV. (6.1)

Результат преобразования называют теоремой Остроградского-Гаусса:

? V divE>dV = 4р ? V сdV

Поскольку она верна для любой области интегрирования V, в том числе и бесконечно малой, из неё следует равенство подынтегральных выражений слева и справа в каждой точке пространства:

divE> = 4рс. (6.2)

Это дифференциальное уравнение является одним из основных уравнений электростатики; оно верно также для динамических явлений.

Теорему Остроградского (6.1) можно пытаться доказывать, отталкиваясь от какого-либо из определений оператора дивергенции div. Однако саму эту теорему можно рассматривать в качестве инвариантного определения div, не зависящего от выбора системы координат. Переходя в (6.1) к пределу V > 0, получаем:

divE> = limV >0 ? SE>?dS> V. (6.3)

Вместо E> здесь, как и в (6.1), может стоять любой другой вектор.

Покажем, как из (6.3) получается выражение для дивергенции в декартовых координатах. Рассмотрим небольшой параллепипед, образованный координатными плоскостями, как показано на рис. 1.12.

Рис. 1.12

В пределах каждой грани параллелипипеда вектор E> можно считать постоянным, поскольку затем размеры параллелипипеда будут устремлены к нулю. Тогда поверхностный интеграл по каждой грани равен произведению площади грани на нормальную (к этой грани) компоненту вектора E>. Например, для пары противоположных граней в координатных плоскостях x и x + dx имеем (Ex?x+dx ? Ex?x)?Sx?, где ?Sx? = dy dz -- площадь каждой из граней. Знак минус перед вторым слагаемым в скобках здесь связан с тем, что нормаль к соответствующей грани направлена в отрицательном направлении оси x. Разлагая первое слагаемое в скобках в ряд Тейлора вокруг точки x с точностью до члена, линейного по dx, находим, что вклад этой пары граней в поверхностный интеграл равен (?Ex??x)V, где V = dxdy dz. Аналогичным образом вычисляется вклад двух других пар граней. После сокращения на V из (6.3) получаем:

divE> = ?Ex ?x + ?Ey ?y + ?Ez ?z. (6.4)

7. Электрический потенциал

Электростатическое поле, т.е. электрическое поле неподвижных зарядов, потенциально. Это означает, что работа электрического поля по перемещению пробного заряда по любому замкнутому контуру равна нулю:

A = ?q ? E>dr> = 0. (7.1)

Потенциальность электростатического поля есть следствие закона сохранения энергии, ибо в противном случае можно было бы построить вечный двигатель 1-го рода.

Рис. 1.13

Доказательство равенства (7.1) очень просто. Вследствие принципа суперпозиции достаточно проверить, что равна нулю работа по замкнутому контуру в поле точечного заряда (рис. 1.13). Вычислим интеграл

A = ?? r>ir>qQ r>dr> r3.

соответствующий работе по перемещению пробного заряда q в электрическом поле E> = Qr>?r3 заряда Q из начальной точки с радиус вектором r>i в наблюдения точку с радиус-вектором r> по произвольному контуру. Дифференцируя тождество r>2 = r2, легко убедиться, что r>dr> = rdr. Поэтому криволинейный интеграл сводится к определённому между радиусами ri и r начальной точки и точки наблюдения:

A = ?? rirqQ dr r2 = qQ r ?qQ ri.

Отсюда следует, что при любом выборе этих точек работа определяется только их положением и не зависит от формы пути. На замкнутом пути конечная точка совпадает с начальной, т.е. r = ri, поэтому A = 0.

Приведенное доказательство можно пояснить следующими рассуждениями. Любой контур можно представить в виде сегментов достаточно малого размера, поочередно идущих то по радиальному направлению от заряда Q, то по сферической поверхности, как показано на рис. 1.14.

Рис. 1.14 Траектория перемещения пробного заряда и её приближение отрезками радиальных линий и дугами окружностей

Перемещение пробного заряда q по сфере перпендикулярно кулоновской силе, поэтому электрическое поле там не совершает работу. Все такие перемещения можно просто исключить. Тогда произвольный контур сжимается в отрезок прямой линии, идущей по радиусу от источника поля Q. Пробный заряд проходит этот отрезок дважды: сначала в одну сторону, потом обратно. На каждом участке обратного пути на него действует та же сила, что и при движении вперед, но так как заряд движется в противоположном направлении, работа имеет противоположный знак. Таким образом, при возвращении в точку старта работа электрического поля обращается в нуль.

Рис. 1.15 Работа A132 по перемещению заряда в электростатическом поле из точки 1 в точку 2 по пути 132 равна работе A142 по перемещению того же заряда по пути 142. При перемещении заряда по замкнутому пути 13241 работа на участке 241 изменит знак: A241 = ?A142. Поэтому A13241 = A132 + A241 = 0

В потенциальном электрическом поле работа не зависит от формы пути. Это утверждение можно рассматривать в качестве альтернативного определения свойства потенциальности электрического поля. Два определения полностью эквиваленты, как должно быть ясно из приведенных выше рассуждений. Формальное же доказательство состоит в том, что если замкнутый контур разбить на две траектории, имеющие общие точки старта и финиша, то из равенства работы при перемещении пробного заряда по этим траекториям следует равенство нулю полной работы по замкнутому контуру (рис.1.15). И наоборот, из равенства нулю работы по замкнутому контуру следует равенство работы при перемещении пробного заряда по любым траекториям с общими точками старта и финиша.

Зафиксируем точку старта r>i, считая, что траектория перемещения заряда может финишировать в точке наблюдения с произвольными координатами r> = (x,y,z) (рис. 1.14). Тогда интеграл

?(r>) = ?? r>ir>E>?dr> (7.2)

является однозначной функцией координат точки наблюдения, поскольку форма траектории не влияет на её значение. Функцию ? называют скалярным потенциалом электрического поля; используют также термины электростатический или электрический потенциал. Скалярный потенциал равен работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного пробного заряда из точки наблюдения в ту точку, где потенциал условно принят равным нулю. Если нуль потенциала не задан, то говорят, что потенциал определен с точностью до аддитивной константы.

Пробный заряд q в электростатическом поле обладает потенциальной энергией

U(r>) = q ?(r>). (7.3)

Потенциальная энергия также определена с точностью до константы. Имеет смысл только разность потенциальной энергии U(r>) ? U(r>i) между двумя точками. Эта разность равна работе по перемещению заряда из точки r>i в точку r>:

A = U(r>) ? U(r>i). (7.4)

Потенциал точечного заряда Q нетрудно найти, повторив вычисления начала параграфа:

?(r>) = ?? rirQ dr r2 = Q r ?Q ri.

Приняв за точку нуля бесконечно удаленную точку ri = ?, получим

? = Q r. (7.5)

Если заряд qj находится в произвольной точке с радиус-вектором r>j, то

?(r>) = qj ?r> ?r>j?.

Потенциал системы зарядов есть сумма потенциалов отдельных зарядов:

?(r>) = ? j q ?r> ?r>j?. (7.6)

Это следует из принципа суперпозиции.

В системе СИ потенциал измеряется в вольтах (В). В абсолютной гауссовой системе единицей измерения является статвольт (стВ):

[?] = 1стВ ? 300В. (7.7)

При перемещении заряда 1Кл между точками с разностью потенциала 1В совершается работа 1Дж, т.е. 1В = 1Дж?Кл. Электрическое поле измеряется соответственно в вольтах на метр (В/м) и в статвольтах на сантиметр (стВ/см):

[E] = 1стВ/см ? 3?104 В/м. (7.8)

8. Градиент потенциала

Выразим теперь напряженность электрического поля через потенциал. Пусть 1 и 2 -- две бесконечно близкие точки, расположенные на оси X, так что x2 ? x1 = dx (рис. 1.16).

Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна Ex dx. Та же работа равна ?1 ? ?2 = ?d?. Приравнивая оба выражения, получим d? = ?ex dx. Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z. В результате находим все три компоненты вектора E>:

E> = ?(?? ?x, ?? ?y, ?? ?z). (8.1)

Так как E> есть вектор, то и выражение, стоящее в правой части, есть вектор. Его называют градиентом скаляра ? и обозначают grad?, или ??. Его можно рассматривать, как произведение дифференциального оператора

? = e>x ? ?x + e>y ? ?y + e>z ? ?z

на скаляр ?. Теперь формулу (8.1) можно записать короче:

E> = ?grad? = ???. (8.2)

Она явно формула показывает несущественность аддитивной постоянной в определении потенциала: константа просто не влияет на результат дифференцирования.

Можно дать инвариантное определение градиента, которое будет верно в произвольной криволинейной системе координат. Градиент функции ?(r>) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции, а его длина равна производной функции в том же направлении. Чтобы пояснить смысл такого определения, проведем из произвольной точки r> в каком-либо направлении единичный вектор s>. Проекция вектора A> ? grad?на это направление есть As = s>?A> = s>?grad?. Но та же величина равна производной As = ????s функции ? по направлению s>. В этом легко убедиться, проведя координатную ось в направлении вектора s> и повторив рассуждения начала параграфа. Таким образом,

?? ?s = s>?grad?.

Производная функции в каком-либо направлении равна проекции градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда это направление совпадает с направлением градиента.

9. Силовые линии и эквипотенциали

Для наглядного представления векторных полей используют картину силовых линий. Силовая линия есть воображаемая математическая кривая в пространстве, направление касательной к которой в каждой точке, через которую она проходит, совпадает с направлением вектора поля в той же точке (рис. 1.17).

Условие параллельности вектора E> и касательной можно записать

в виде равенства нулю векторного произведения E> и элемента дуги dr> силовой линии:

[dr>,E>] = 0. (9.1)

Векторное уравнение (9.1) есть система трёх скалярных уравнений, но только два из них независимы. В декартовой системе его обычно записывают следующих образом:

dx Ex = dy Ey = dz Ez.

За положительное направление силовой линий принимают направление самого вектора поля E>. При таком соглашении можно сказать, что электрические силовые линии начинаются от положительных зарядов и оканчиваются на отрицательных. На рис. 1.18 изображены силовые линии положительного и отрицательного зарядов.

Рис. 1.18

Эквипотенциалью называют поверхность, на которой постоянна величина электрического потенциала ?. В поле точечного заряда, как показано на рис. 1.18, эквипотенциальными являются сферические поверхности с центров в месте расположения заряда; это видно из уравнения ? = q?r = const.

Анализируя геометрию электрических силовых линий и эквипотенциальных поверхностей, можно указать ряд общих свойств геометрии электростатического поля.

Во-первых, силовые линии начинаются на зарядах. Они либо уходят на бесконечность, либо заканчиваются на других зарядах, как на рис. 1.19.

Рис. 1.19

Во-вторых, в потенциальном поле силовые линии не могут быть замкнуты. В противном случае можно было бы указать такой замкнутый контур, что работа электрического поля при перемещении заряда по этому контуру не равна нулю.

В-третьих, силовые линии пересекают любую эквипотенциаль по нормали к ней. Действительно, электрическое поле всюду направлено в сторону скорейшего уменьшения потенциала, а на эквипотенциальной поверхности потенциал постоянен по определению

Рис. 1.20

И наконец, силовые линии нигде не пересекаются за исключением точек, где E> = 0. Пересечение силовых линий означает, что поле в точке пересечения есть неоднозначная функция координат, а вектор E> не имеет определенного направления. Единственным вектором, который обладает таким свойством, является нулевой вектор.

Метод силовых линий, конечно, применим для графического представления любых векторных полей. Так, в главе ?? мы встретим понятие магнитных силовых линий. Однако геометрия магнитного поля совершенно отлична от геометрии электрического поля.

Рис. 1.21

Представление о силовых линиях тесно связано с понятием силовой трубки. Возьмем какой-либо произвольный замкнутый контур L и через каждую точку его проведём электрическую силовую линию (рис. 1.21). Эти линии и образуют силовую трубку. Рассмотрим произвольное сечение трубки поверхностью S. Положительную нормаль проведём в ту же сторону, в какую направлены силовые линии. Пусть N -- поток вектора E> через сечение S. Нетрудно видеть, что если внутри трубки нет электрических зарядов, то поток N остаётся одним и тем же по всей длине трубки. Для доказательства нужно взять другое поперечное сечение S?. По теореме Гаусса, поток электрического поля через замкнутую поверхность, ограниченную боковой поверхностью трубки и сечениями S, S?, равен нулю, так как внутри силовой трубки нет электрических зарядов. Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор E> касается этой поверхности. Следовательно, поток через сечение S? численно равен N, но противоположен по знаку. Внешняя нормаль к замкнутой поверхности на этом сечении направлена противоположно n>. Если же направить нормаль в ту же сторону, то потоки через сечения S и S? совпадут и повеличине, и по знаку. В частности, если трубка бесконечно тонкая, а сечения S и S? нормальны к ней, то

ES = E?S?.

Получается полная аналогия с течением несжимаемой жидкости. В тех местах, где трубка тоньше, поле E> сильнее. В тех местах, где она шире, поле E> сильнее. Следовательно, по густоте силовых линий можно судить о напряженности электрического поля.

До изобретения компьютеров для экспериментального воспроизведения силовых линий брали стеклянный сосуд с плоским дном и наливали в него жидкость, не проводящую электрически ток, например, касторовое масло или глицерин. В жидкости равномерно размешивали истертые в порошок кристаллики гипса, асбеста или какие-либо другие продолговатые частицы. В жидкость погружали металлические электроды. При соединении с источниками электричества, электроды возбуждали электрическое поле. В этом поле частицы электризуются и, притягиваясь друг к другу разноименно наэлектризованными концами, располагаются в виде цепочек вдоль силовых линий. Картина силовых линий искажается течениями жидкости, вызываемыми силами, действующими на неё в неоднородном электрическом поле.

Лучшие результаты получаются по методу, применявшемуся Робертом В. Полем (1884-1976). На стеклянную пластинку наклеиваются электроды из станиоля, между которыми создается электрическое напряжение. Затем на пластинку насыпают, слегка постукивая по ней, продолговатые частички, например, кристаллики гипса. Они располагаются по ней вдоль силовых линий.

10. Уравнение Пуассона

Произвольное векторное поле E>(r>) характеризуется тремя скалярными функциями Ej(r>), где j пробегает значения x, y, z (если говорить о декартовой системе координат). Поэтому одного уравнения (6.2), вообще говоря, недостаточно, чтобы найти электрическое поле. Однако электростатическое поле потенциально. Это накладывает столь сильное ограничение, что все три компоненты E> можно выразить через одну скалярную функцию -- электрические потенциал ?. Подставляя

E> = ?grad?.

в уравнение

divE> = 4рс

получаем уравнение Пуассона

Д? = ?4рс. (10.1)

где дифференциальный оператор Д = divgrad называется оператором Лапласа, или лапласианом. Уравнение Пауссона играет столь важную роль в электростатике, что его часто называют основным уравнением электростатики. В декартовой системе координат оно записывается следующим образом:

?2? ?x2 + ?2? ?y2 + ?2? ?z2 = ?4рс. (10.2)

В произвольной криволинейной системе координат для вычисления оператора Д необходимо исходить из инвариантных определений дивергенции и градиента (см. 6 и 8).

Уравнение Пуассона относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных. Иногда специальным выбором системы координат его удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Это случается, если в такой специальной системе координат плотность заряда и потенциал зависят от одной координаты.

11. Общее решение уравнения Пуассона

Если система зарядов сосредоточена в ограниченном объёме можно указать общее решение уравнения Пуассона (10.1). В соответствии с принципом суперпозиции скалярный потенциал системы точечных зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых полем каждого заряда в отдельности:

?(r>) = ? j q ?r> ?r>j?. (11.1)

Рис. 1.23

Переходя к непрерывному распределению зарядов этот результат можно представить в виде интеграла

?(r>) = ? V с(r?>)dV ? ?r> ?r?>?, (11.2)

где r>, r?> -- радиусы-векторы точки наблюдения и элементарного объёма dV ?, соответственно (рис. 1.23). Интеграл распространяется на весь объём, где плотность зарядов с не равна нулю. Формулу (11.2) называют общим решением уравнения Пуассона. В теории она играет очень важную роль, но в практических вычислениях используется редко. Часто бывает удобнее использовать приближенные формулы, полученные на её основе.

Покажем теперь, как совершить обратный переход и из общего решения уравнения Пауссона (11.2) получить потенциал точечного заряда. Для этого необходимо признать необычные свойства функции плотности заряда с(r>): она равна нулю всюду, кроме точки, где расположен заряд, однако, будучи проинтегрированной по объему, даёт конечное значение заряда «точки». Таким свойствами обладает дельта-функция, введённая английским физиком Дираком. Математики относят её к классу обобщенных функций. Для одного заряда q, расположенного в точке r>j, положим

с(r>) = q д(r> ?r>j). (11.3)

Трехмерная д-функция д(r> ? с(r>j) обладает следующими свойствами:

д(r> ?r>j) всюду, кроме точки r> = с(r>j);

? f(r>)д(r> ?r>j)dV = f(r>j),

где f(r>) -- любая непрерывная функция; в частности, если f ? 1, то ? д(r> ?r>j)dV = 1.

Подставляя (11.3) в общее решение (11.2), получаем

?(r>) = ? qд(r>? ?r>j)dV ? ?r> ?r>?? = q ?r> ?r>j?.

Следовательно, для системы точечных зарядов из интеграла (11.2) получается сумма (11.1).

Сравнивая потенциал точечного заряда ? = q?r (расположенного в точке r>j = 0) с уравнением для этого потенциала Д? = ?4р q д(r>), получаем важное для теории математическое представление д-функции:

Д1 r = ?4рд(r>). (11.4)

Рис. 1.24 График функции exp(?x?a2) рa при последовательно уменьшающихся значениях параметра a: 0,4, 0,2 и 0,1

С физической точки зрения, распределение заряда в виде д-функции есть объект предельно малых размеров, которыми можно пренебречь по сравнению с другими размерами задачи. При этом не исключено, что в другой задаче тот же объект нельзя будет считать малым. Существует множество представлений д-функции, получаемых из гладких функций при предельных переходах. Например:

д(r>) = lima>0 exp(?r2?a2) (рa2)3?2.

Наряду с трехмерной д-функцией вводят также д-функции других размерностей. Например, одномерная д-функция используется для описания поверхностного распределения заряда:

с(x) = у д(x). (11.5)

Её также можно представить в виде предельного перехода; например:

д(x>) = lima>0 exp(?x?a2) рa.

Одномерная д-функция обладает свойствами, аналогичными свойствам трехмерной д-функции:

д(x) = 0 всюду, кроме x = 0;

? f(x)д(x)dx = f(0).

Однако аналога представления (11.4) для неё не существует. Заметим также, что

д(r>) = д(x)д(y)д(z).

Для полноты картины осталось проверить, что интеграл (11.2) действительно удовлетворяет уравнению Пуассона, т.е.

Д ? V с(r>?)dV ? ?r> ?r>?? = ?4рс(r>).

Для этого заметим, что оператор Д можно внести под знак интеграла, поскольку Д подразумевает дифференцирование по координатам r>, а интегрирование производится по r>?. Далее воспользуемся соотношением (11.4) и свойствами д-функции:

Д? = ? с(r>?)Д 1 ?r> ?r>?? dV ? = ? с(r>?)[ ? 4р д(r> ?r>?)]dV ? = ?4рс(r>).

12. Проводник в электрическом поле

Вещество или материальное тело, в котором имеются заряды, способные переносить электрический ток, называется проводником. В металлах переносчиками тока служат свободные (т.е. не привязанные к атомам) электроны, в электролитах -- ионы, в плазме -- и электроны, и ионы. Для электростатических явлений поле внутри проводника равно нулю:

E>in ? 0.

Механизм исчезновения электрического поля в проводниках связан со смещением свободных зарядов ровно настолько, чтобы как раз компенсировать внешнее электрическое поле, если таковое имеется. При изменении внешнего поля свободные заряды в проводнике перераспределяются, а в момент перераспределения в проводнике течет ток. Пример такой компенсации внутри проводящей пластины изображен на рис. 1.25.

Рис. 1.25 Проводящая пластина в однородном электрическом поле и распределение плотности заряда в объёме проводника. В плазме толщина заряженного слоя на поверхности составляет несколько радиусов Дебая, в металле -- несколько длин Ферми

Поскольку E>in = 0, то и плотность заряда внутри проводника также равна нулю:

сin = 1 4р divE>in ? 0.

Заряды, компенсирующие внешнее поле, могут размещаться только на поверхности проводника. В связи с этим говорят, что проводник квазинейтрален. По аналогии с объёмной плотностью заряда с = limДV >0Дq?ДV, поверхностную плотность определяют, как предел отношения заряда на физически малом участке поверхности Дq к площади этого участка ДS:

у = limДS>0Дq?ДS.

Все точки проводника имеют одинаковый потенциал, так как grad?in = ?E>in = 0. Поверхность проводника также эквипотенциальна. Следовательно, электрическое поле перпендикулярно к ней. Этот факт иногда формулируют в виде равенства нулю тангенциальной (касательной к поверхности проводника) проекции внешнего электрического поля E>t = [[n>,E>],n>]:

E>t = 0.

Здесь и далее n> обозначает внешнюю нормаль к поверхности проводника.

Рис. 1.26 Поток через верхнюю грань параллелепипеда, натянутого на элемент поверхности S, равен En S; поток через остальные грани равен нулю. Сравнивая En S с полным зарядом 4р у S внутри параллелепипеда, получаем граничное условие En = 4ру

Нормальная компонента электрического поля на поверхности проводника En = (n>,E>) однозначно связана с поверхностной плотностью зарядов. Применяя теорему Гаусса к параллелепипеду, натянутому на элемент поверхности проводника (рис. 1.26), получаем:

E>n = 4ру.

Обычно распределение зарядов у по поверхности проводника неизвестно. Если нужно, его находят в результате решения задачи (см. след. параграф). Однако одну существенную закономерность можно указать из качественных соображений (Б.Франклин, 1747 г.). Так как одноименные заряды (заряды одного знака) отталкиваются, они стремятся разойтись в проводнике как можно дальше. Это приводит к накоплению зарядов на наиболее удаленных участках проводников, например на остриях. Поле вблизи острия можно приближенно представить, как поле заряженной сферы того же радиуса кривизны r. Отсюда можно оценить напряженность электрического поля и поверхностную плотность заряда 4ру ? E ? ??r, где ? -- потенциал проводника относительно соседних тел. При этом полезно отметить, что полный заряд острия q ? рr2у ? ?r все-таки составляет малую долю заряда всего проводящего тела Q ? ?R, где R -- его характерный размер.

13. Уравнение Лапласа

При наличии проводников общее решение уравнения Пуассона (10.1) для электростатического потенциала можно представить в виде, явно учитывающем поверхностные заряды на их поверхности:

?(r>) = ? V с(r?>)dV ? ?r> ?r?>? + ? Sу(r?>)dS? ?r> ?r?>?. (13.1)

Формула (13.1) получается из (11.2), если объемную плотность зарядов в проводниках выразить через поверхностную плотность заряда у с помощью одномерной д-функции с(z) = у д(z), где координата z отсчитывается от поверхности проводника по нормали к ней, а также учесть, что

dV = dS dz.

Однако поверхностная плотность у обычно не известна, а сама зависит от электрического поля (от потенциалов всех проводников). Поэтому формальное решение уравнения Пуассона (13.1) по сути дела само является уравнением, но не дифференциальным, а интегральным, так как неизвестное поле входит под знаком интеграла через граничное условие у = En?4р.

Чтобы не заниматься решением интегрального уравнения, можно в уравнении Пуассона учитывать только плотность зарядов вне проводников (эти заряды обычно «закреплены» и поэтому известны), а вместо у задать потенциалы проводников. Иными словами, нужно решать уравнение Пуассона при дополнительных граничных условиях

?(r) ?Sj = ?j (13.2)

на поверхности Sj проводников. Иногда бывают фиксированы на потенциалы, а заряды проводников. В этом случае говорят, что потенциалы проводников ?j «плавают», но всё равно они постоянны на поверхности каждого проводника. Тогда решают задачу, задав некоторый набор констант ?j, а после того как поле найдено, подгоняют эти константы так, чтобы выполнялись дополнительные условия 1

4р ? Sj(E>,dS>) = qj. (13.3)

Встречаются также смешанные постановки задачи, когда для одних проводников заданы потенциалы, а для других -- заряды.

Простейшим, но практически очень важным является случай полного отсутствия внешних зарядов, так что с = 0. Тогда нужно решать уравнение Лапласа

Д? = 0 (13.4)

с граничными условиями (13.2) или (13.3). Уравнение Лапласа относится к классу уравнений в частных производных второго порядка. Только в редких ситуациях, когда потенциал зависит лишь от одной пространственной координаты, оно превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Разработаны изощренные методы решения уравнения Лапласа, которые изучают в курсе математической физики. На простейших примерах некоторые из них изложены в приложении к данному параграфу.

Математики прилагают немало усилий для доказательства единственности решения того или иного уравнения. Физики зачастую считают единственность решения тривиальным фактом. Между тем известно немало систем, которые при одинаковых условиях могут находится в разных состояниях.Уравнение Пуассона с нелинейной правой частью, когда с зависит от ?, также может иметь решения типа гистерезиса.1 Поэтому мы всё-таки потратим некоторое время, чтобы доказать единственность решения уравнения Лапласа.

Предположим обратное. Пусть ? и ?Ю -- два различных решения уравнения Лапласа или уравнения Пуассона с фиксированной правой частью тт.е. плотность зарядов с вне проводников не зависит от электрического поля). Разность этих решений

ч = ? -?Ю

удовлетворяет уравнению Лапласа

Дч = 0.

На поверхности проводников с фиксированным потенциалом

ч ?S = 0,

а на поверхности проводников с плавающим потенциалом

? S(?ч,dS>) = 0,ч ?S = const.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса

? V diva>dV = ? S(a>,dS>),

записав её для вектора a> = gradч2?2 = чgradч:

? V div(чgradч)dV = ? S(чgradч,dS>).

Интеграл в правой части по поверхности проводников равен нулю в силу граничных условий. Подынтегральное выражение в левой части преобразуем с помощью тождества

div(чgradч) = (gradч)2 + чdivgradч.

Так как divgradч = Дч = 0 из теоремы Остроградского-Гаусса получаем интегральное уравнение

? V (gradч)2 dV = 0.

Поскольку под знаком интеграла здесь стоит неотрицательная величина (gradч)2, равенство нулю всего интеграла возможно только при условии, что всюду gradч = 0. Таким образом, два решения ? и ?Ю если и различаются, то только на несущественную аддитивную константу. Впрочем, если потенциал хотя бы одного проводника фиксирован, то эта константа с необходимостью равна нулю. Тем самым единственность решения доказана.

Теорема единственности оправдывает использование эвристического подхода к решению задач электростатики. Если решение угадано, то не нужно искать другие решения. Мы воспользуемся этим фактом в следующем параграфе.

14. Стандартные задачи электростатики

Пусть точечный заряд q находится над плоской поверхностью проводника и требуется найти электрическое поле такой системы. Внутрь проводника электрическое поле не проникает, так как экранируется поверхностными зарядами, индуцированными зарядом q. Однако те же поверхностные заряда изменяют поле вне проводника, причем их распределение по поверхности проводника заранее неизвестно.

...