Проводник в электрическом токе

Рис. 1.27 Эквипотенциальные поверхности в системе двух одинаковых зарядов противоположного знака

Электрическое поле не изменится, если любую эквипотенциальную поверхность сделать проводящей. Электрическое в верхнем полупространстве не изменится, если нижнее полупространство заполнить проводником.

Строгая математическая формулировка задачи состоит в следующем. Необходимо найти электрическое поле в полупространстве z > 0 с выколотой точкой. Границами области определения V задачи являются плоскость z = 0 и сфера S? малого радиуса с центром в точке x = 0, y = 0, z = h, где расположен заряд q. Искомое поле удовлетворяет уравнению Лапласа Д? = 0 и граничным условиям

? ?z=0 = 0,limS>0 ? S(E>,dS>) = 4рq.

Первое их них эквивалентно отсутствию тангенциальной проекции электрического поля, Et = 0, на поверхность проводника. Конкретное значение потенциала на эквипотенциальной поверхности задают вместо условия Et = 0, если хотят избавиться от неопределенности выбора аддитивной константы в скалярном потенциале. Второе граничное условие обеспечивает необходимую особенность поля в точке расположения точечного заряда. Ещё одно граничное условие

En ?z=0 = 4ру

бесполезно при определении электрического поля, но после того как оно будет найдено, позволит вычислить у.

Решение поставленной задачи нетрудно угадать, если рассмотреть другую задачу, где нет проводников, но есть 2 заряда, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Если любую эквипотенциальную поверхность в такой системе сделать проводящей, то электрическое поле во всем пространстве не претерпит никаких изменений. Однако поля по противоположные стороны от проводящей поверхности сделаются совершенно независимыми друг от друга. Если убрать один из зарядов, то в окружавшей его части пространства поле исчезнет, но по противоположную сторону от проводящей поверхности оно не измениться. Это следует из теоремы единственности, поскольку ни потенциал границы противоположной области, ни заряд внутри неё не изменились. Теперь осталось найти подходящую эквипотенциальную поверхность. Плоская эквипотенциаль расположена на равном расстояния от обоих зарядов, посередине между ними.

Возвращаясь к исходной задаче, приходим к выводу, что поле в полупространстве над проводником суперпозиции полей точечного заряда q и его зеркального изображения q? = ?q, расположенного симметрично относительно поверхности проводника:

? = q r + q? r?.

Заряд-изображение является фиктивным, реальные заряды располагаются на поверхности проводника.

Очевидно, что функция ? = q?r + q??r? удовлетворяет уравнению в полупространстве z > 0 с выколотой точкой в месте, где расположен заряд q. На границе проводника ? = 0, так как r = r? при z = 0. Выполнено также второе граничное условие, limS>0? S(E>,dS>) = 4рq. Задача решена. Использованный метод её решения называется методом изображений.

Обратимся ещё к одной задаче, где эвристические соображения позволяют быстро прийти к ответу. Рассмотрим возмущение однородного электрического поля проводящим шаром. Это типичная задача электростатики, где нужно решить уравнение Лапласа с граничным условием

? ?r=R = const

на поверхности шара r = R. Ещё одно условие нужно поставить на «бесконечно удаленной границе» r >?. Там электрическое поле однородно, т.е.

? = ?(E>0,r>) = ?E0 rcosи при r >?.

Строгая математическая формулировка второго граничного условия записывается так: limr>0[??r + E0 cosи] = 0. Иными словами, поправка к потенциалу однородного поля не возрастает при удалении от шара. Будет искать эту поправку в виде ряда, каждый член которого, во-первых, является решением уравнения Лапласа и, во-вторых убывает при r >?. Одно решение уравнения Лапласа, убывающее на бесконечности, нам уже известно: это ? = A?r, где A есть константа. Заметим, что если ? -- какое-то решение уравнение Лапласа, то функции ????x, ????y, ????z также являются его решениями. Однако они не являются скалярами, вместе составляя 3 декартовы компоненты вектора ????xj. Скалярном является функция (A>,??) = Aj ?? ?xj, где A -- произвольный постоянный вектор, индекс j пробегает значения x, y или z, причем по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Рассуждая в том же духе, заключаем, что Ajk ?2? ?xjxk, где Ajk -- произвольный тензор второго ранга с постоянными коэффициента, также есть решение уравнения Лапласа. Коллекцию таких функций можно расширять до бесконечности, но мы увидим, что в этом нет необходимости. Все такие функции убывают на бесконечности.

Будем искать решение в виде суммы

? = ?E0 rcosи + A r + Aj ?? ?xj + Ajk ?2? ?xjxk + ….

Попытаемся угадать, чему равны коэффициенты A, Aj, Ajk и т.д.

Коэффициент A отвечает за кулоновское поле. Будем считать, что A = 0, т.е. шар не заряжен.

Коэффициенты Aj составляют вектор, поэтому они могут выражаться только через компоненты другого вектора. Вследствие полной симметрии шара в задаче есть только одно выделенное направление -- направление внешнего поля E>0. Поэтому вектор A> пропорционален E>0, т.е. Aj = бEj.

Тензор 2-го ранга Ajk также может быть составлен только2 из компонентов вектора E>0, т.е. Ajk = вE0jE0k. Однако задача линейна, поэтому возмущение не может содержать слагаемых, пропорциональных квадрату невозмущенного поля. Поэтому следует признать, что в = 0. По той же причине отсутствуют все последующие члены ряда, содержащие высшие производные. Таким образом, ряд сокращается до двух слагаемых:

? = ?E0 rcosи + б(E>0,?1 r).

Неизвестный коэффициент б находим из граничного условия при r = R. Равенство ?E0 Rcosи ? бE0 cosи?R2 = const может быть выполнено при всех и, если только const = 0, т.е. б = ?R3. Таким образом,

? = E0 [R3?r2 ? r]cosи

при r ? R и ? = 0 при r ? R.

15. Энергия взаимодействия электрических зарядов

Пробный электрический заряд q во внешнем электрическом поле с потенциалом ? обладает потенциальной энергией (см. ??)

U(r>) = q ?(r>).

Предположим, что имеются два точечных заряда q1 и q2 на расстоянии r12 = r21 один от другого. Тогда второй заряд в поле первого обладает потенциальной энергией U12 = q1q2?r12. Точно так же первый заряд в поле второго обладает потенциальной энергией U21 = q2q1?r21. Очевидно, что U12 = U21. Очевидно также, что вопрос, какому заряду принадлежит потенциальная энергия здесь не уместен. Если позволить зарядам двигаться под действием силы кулоновского взаимодействия, то потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию зарядов в пропорции, зависящей от их масс и начальных скоростей, но не от соотношения зарядов. Потенциальная энергия является «общей», поэтому её называют энергией взаимодействия системы зарядов.

Энергию взаимодействия двух зарядов можно записать в симметричном виде

W = 1 2[q1q2 r12 + q2q1 r21 ],

подчеркивающем равноправие зарядов. После этого обобщение на случай произвольного числа зарядов становится очевидным:

W = 1 2 ? j ? k?jqjqk rjk = 1 2 ? j ? k?jqj?jk. (15.1)

где ?ij = qk?rjk -- потенциал заряда qk в точке, где расположен заряд qj. Поскольку энергия взаимодействия каждой пары зарядов суммируется дважды, перед суммой поставлен коэффициент 1?2. В отличие от потенциальной энергии U, которую в определенных ситуациях рассматривают как функцию координат, энергия взаимодействия W есть характеристика всей системы в целом; ей нельзя приписать координаты.

Формулу (15.1) можно представить в эквивалентной форме

W = 1 2 ? j=1Nq j?j, (15.2)

где ?j = ? k?j?jk -- потенциал всех зарядов, кроме заряда qj, в том месте, где тот расположен. Отсюда уже нетрудно перейти к непрерывному распределению зарядов:

W = 1 2 ? V с(r>)?(r>)dV. (15.3)

Формула (15.3) имеет смысл, совершенно отличный от формул (15.1) и (15.2), так как помимо энергии взаимодействия зарядов включает ещё и собственную энергию каждого заряда. В этом можно убедится, если подставить в (15.3) плотность заряда

с(r>) = ? jqjд(r> ?r>j)

и потенциал

?(r>) = ? k qk ?r> ?r>k?

системы дискретных зарядов. Образовавшаяся двойная сумма

? j? k qjqk ?r> ?r>k?

содержит слагаемые с j = k, которые для точечных зарядов обращаются в бесконечность.

16. Плотность энергии электрического поля

Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью с(r>). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд

dq = с(r>)dV,

а формула (39?) приобретает такой вид

W = 1 2 ? с(r>)?(r>)dV. (16.1)

Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода (39?)>(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать

с(r>)??(r>),

понимая под ??(r>) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда сdV. Мысленно представим заряд сdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса д с центром в точке r> и с плотностью заряда с(r>). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q д = 3 2 1 д ?4 3рд3с = 2рд2 ? с(r>), и следовательно,

??(r>) = ?(r>) ? 2рс(r>)д2.

Отсюда видно, что при д > 0 ??> ?(r>) и замена ??(r>) на ?(r>), таким образом, действительно допустима.

Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем с, согласно уравнению Пуассона (13), на ?1 4рД? и используя формулу векторного анализа

div(?grad?) = ?Д? + grad?)2;

в результате получим

W = ? 1 8р ? div(?grad?)?grad?)2]dV = 1 8р ? S?EndS+ 1 8р ? V E2dV,

где S -- поверхность, ограничивающая объем V. Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R >? интеграл по поверхности

? SR > 0,

так как на больших расстояниях ? и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.

Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу

W = ? E2 8рdV (16.2)

в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве

W = E2 8р. (16.3)

В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i?j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) - только часть этой энергии.

Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».

Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно - силы, действующие на заряды поверхности проводника.

Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E> действует сила

F> = qE>,

где E> - напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E> по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью у (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной д, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.

Итак, рассмотрим выделенный на рис. 34 участок поверхности dS проводника. Имея ввиду, что толщина слоя очень мала, кривизной поверхности можно пренебречь и считать поверхность проводника и рассматриваемый слой плоскими.

По внешней нормали к поверхности проводника проведем ось x и пусть слой, где распределены заряды, занимает область [0,д] (рис. 35). Можно считать, что поле E> внутри и вблизи слоя не зависит от координат y,z и имеет только x-компоненту Ex(x), а объемная плотность заряда характеризуется функцией с(x). Левее этого слоя электрическое поле равно нулю (поле внутри проводника). Следовательно, Ex(x) внутри слоя удовлетворяет уравнению

dEx dx = 4рс(x),(?)

граничному условию E(0) = 0 и имеет решение

Ex(x) = 4р ? 0xс(о)dо.

Теперь нетрудно найти силу, действующую на слой,

f> = fxe>x,fx = ? 0дс(x)E x(x)dx,

приходящуюся на единицу поверхности проводника. Подставив сюда вместо с(x) выражение из (*), получаем

fx = 1 4р ? 0дE x(x)dEx dx dx = 1 8р ? 0д d dx[Ex(x)]2dx,

т.е.

fx = 1 8рE02,

где E0 = Ex(д) = 4р ? 0дс(x)dx = 4ру - напряженность поля на внешней поверхности проводника.

Таким образом,сила, действующая на поверхность проводника, определяется суммарным зарядом у = ? 0дс(x)dx, приходящимся на единицу площади поверхности, и не зависит от распределения с(x). Обратим внимание, что при любом знаке заряда у, т.е. при любом направлении поля E>0, сила f> направлена вдоль внешней нормали, т.е. f> = E02 8р n>. (16.4)

Заметим, что результат (45) справедлив для любой заряженной поверхности, если только по одну сторону от поверхности напряженность поля равна нулю.

Теперь обратимся к примеру, призванному служить иллюстрацией к выражению

W = 1 8р ? E2dV.

Пример 1. Пусть сферическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с суммарным зарядом q. Рассмотрев процесс расширения сферы до радиуса R + dR найти выражение для плотности энергии электрического поля.

Имеем

в начальном состоянииEr = q r2 приr > R 0приr < R

в конечном состоянииEr = q r2 приr > R + dR 0приr < R + dR

Поля изображены на рисунке 36.

Со стороны электрического поля на сферу действуют силы с плотностью

fr = 1 8рE02,E 0 = q R2.

Эти силы совершают работу

дA = fr ? 4рR2dR = 1 8рE02 ? 4рR2dR.(а)

В процессе расширения сферы электрическое поле в пространстве r > R + dR осталось без изменения, а в сферическом слое ( R,R + dR) исчезло полностью, т.е. энергия электрического поля изменилась на величину

dW = ?W ? 4рR2dR,(б)

где W - искомая объемная плотность энергии.

Согласно закону сохранения энергии

дA = ?dW,

т.е. работа дA электрических сил совершена за счет убыли энергии электрического поля. Подставляя сюда выражения (а) и (б), после сокращения на объем слоя 4рR2dR получаем W = 1 8рE02 - то, что мы хотели увидеть.

Замечание. Этой сферой можно воспользоваться для решения обратной задачи: считая, что плотность энергии W нам известна, найти поверхностную силу fr, отнесенную к единице поверхности заряженной сферы со стороны электрического поля. Решение очевидно.

В качестве второго примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса a

Er = q r2 при r ? R q a3 r при r < a

W = 1 8р ? 0aq2 a6r2 ? 4рr2dr + 1 8р ? a?q2 r44рr2dr = 3 5 q2 a.

Воспользуемся полученным результатом для введения понятия «классический радиус частицы».

По теории относительности поле с энергией W обладает массой m = W?c2. Следовательно, любая частица с массой m и зарядом q не может иметь размер, меньший

rq = q2 mc2,

т.к. масса частицы не может быть меньше массы ее поля (при выписывании этой формулы константа 3/5 не принимается во внимание).

Например, для электрона

re = e2 mc2 ? 2,8 ? 10?13см.

17. Мультипольное разложение

1. Мы знаем, что если распределение зарядов в пространстве известно, то распределение потенциала в принципе, также известно и задается в виде интеграла (15) (или суммы, в случае точечных зарядов)

?(r>) = ? с(r>? dV ?) ?r> ?r>??, ?(r>) = ? б qб r> ?r>б?. (17.15)

Для практических расчетов эти выражения обычно малополезны. Однако, имеется важный случай - исследование поля на больших расстояниях от системы зарядов, занимающих ограниченную область пространства - когда из решения (15) получаются простые формулы мультипольного разложения потенциала, справедливые при произвольном распределении зарядов.

Итак, пусть некоторая система зарядов занимает ограниченную область пространства с характерным размером a и начало координат находится где-то внутри этой области, как показано на рис. 27. Тогда для радиусов-векторов r>? зарядов системы и радиуса-вектора r> далекой точки наблюдения, входящих в (15), справедливы оценки r?? a,r ? a, которые как раз и позволяют получить искомое разложение. Для этого рассмотрим дробь 1??r> ?r>?? из (15). Знаменатель дроби представим как расстояние от начала координат до точки с координатами x ? x?,y ? y?,z ? z?, немного отличающимся от координат точки наблюдения x,y,z. (На рис. 27 это расстояние показано пунктирной прямой). По известному правилу разложения функции трех переменных в ряд Тейлора отсюда имеем

1 ?r> ?r>?? = 1 r(x ? x?,y ? y?,z ? z?) =

= 1 r(x,y,z) + ? ?xi 1 r ? (?xi?) + 1 2 ?2 ?xi?xj 1 r ? xi?x j? +... (17.26)

Здесь использовано тензорное правило суммирования по повторяющемуся индексу с использованием вместо x?,y?,z? и x,y,z обозначений xi?, xi(i = 1,2,3).

Для начала ограничимся первыми двумя членами разложения (26)

1 ?r> ?r>?? = 1 r + (?r>?) ? grad 1 r = 1 r + r>??r> r3

и из (15) получим

?(r>) ? Q r + d> ?r> r3,

где

Q = ? с(r>?)dV ?Q = ? бqб,

d> = ? ? ? r>?с(r>?)dV ?d> = ? бqб. (17.27)

Здесь Q - суммарный заряд и d> - дипольный момент системы; в скобках соотвествующие выражения даны для случая точечных зарядов.

Таким образом, на большом расстоянии от системы зарядов главный член разложения

?(0) = Q r

определяется суммарным зарядом. Следовательно, на таких расстояниях поле E> совпадает с полем точечного заряда Q, находящегося в начале координат.

Следующий, дипольный член разложения

?(1) = d> ?r> r3, (17.28)

определяемый дипольным моментом системы, является малой поправкой к кулоновскому. Дипольный потенциал становится главным, если суммарный заряд системы равен нулю. Обратим внимание, что дипольный потенциал осесимметричен относительно направления вектора d> и может быть представлен в виде

?(1) = d ? cosи r2, (17.29)

где и - угол между направлениями векторов d> и R>. Напомним, что выражение (29) уже фигурировало раньше как одно из решений (25) уравнения Лапласа в сферических координатах.

2. О влиянии выбора начала координат на вектор d>. Из самого определения (27) видно, что дипольный момент в общем случае зависит от выбора начала координат. При переносе его из точки O в точку O? с вектором переноса OO?> = b> радиусы-векторы зарядов r>б? заменяются на b> + r>б? и, следовательно, дипольные моменты d>,d>? связаны соотношением d> = ? бqбr>б = Qb> + d>?. Отсюда видно, что при Q = 0 дипольный момент не зависит от выбора начала координат и однозначно описывает пространственное распределение разноименных зарядов. При Q?0всегда можно выбрать такое b> = d>?Q, чтобы получить d>? = 0.Следовательно, дипольный момент системы характеризует смещение «центра» этой системы зарядов.

Пример. Дипольный момент системы двух зарядов ?e,e. По определению d> = e(r>+??r>??) = ea>, т.е.дипольный момент рассматриваемой системы определяется пространственным вектором, соединяющим два заряда (см. рис. 28).

3. Поле диполя. Здесь имеется в виду найти поле системы зарядов с суммарным зарядом Q = 0, характеризующейся дипольным моментом d>, на больших расстояних от зарядов. Из (28) имеем

E>(r>) = grad d> ?r> r3 = (d>?r>)grad 1 r3 + 1 r3 grad(d> ?r>) = 3(d> ?r>)r> ? r2d> r5. (17.30)

С использованием единичного вектора n> = r> r, направленного вдоль радиуса-вектора точки наблюдения (рис. 29), полученную формулу часто представляют в виде

E>(r>) = 3(n> ?d>)n> ?d> r3.(30?)

4.Сила и момент сил, действующие на диполь со стороны внешнего электрического поля. Пусть рассматриваемая система зарядов Q = 0 и d>?0 находится в некотором внешнем электрическом поле E>(r>). Чтобы система могла рассматриваться как диполь, необходимо, естественно, чтобы размер системы a был существенно меньше характерного радиуса ?, на котором внешнее поле заметно меняется. В этом случае напряженность поля в точке r>, входящая в выражения

F> = ? V с(r>)E>(r>)dV,N> = ? V [с(r>)r> ЧE>(r>)]dV

для суммарной силы и суммарного момента сил, может быть вычислена через поле и производные поля в фиксированной точке O (в «центре» диполя)

E>(r>) = E(0) + (r> ??)E>;

т.е. слагаемое (r> ??)E> (в векторном анализе называется градиентом вектора E> по направлению вектора r>) в данном случае вычисляется в фиксированной точке O. Вследствие этого при интегрировании по объему V эти производные выносятся из под знака интеграла и результат для E> приобретает вид

F> = (d> ??)E> = dx?E> ?x + dy?E> ?y + dz?E> ?z (17.31)

(поле E>(0) при интегрировании пропадает из-за Q = 0 ). Для суммарного момента сил при интегрировании достаточно ограничиться значением E>(0) и в результате получаем

N> = [d> ЧE>]. (17.32)

Таким образом, сила (31), действующая на диполь со стороны внешнего электрического поля, зависит от быстроты изменения этого поля в направлении вектора d>. Естественно, в однородном поле эта сила равна нулю. Момент сил (32), действующий на диполь, стремится повернуть диполь так, чтобы его дипольный момент стал параллелен полю E> в месте расположения диполя (рис. 30).

Заметим для дальнейшего, что при выводе формул (31), (32) никаких предположений относительно внешнего поля не делалось. Если же рассматривается электростатическое поле E> = grad?, которое удовлетворяет уравнению

rotE> = 0, (17.33)

формулу для силы, действующей на диполь, можно привести к виду

F> = gradU,

связав силу с потенциальной энергией U диполя во внешнем электрическом поле. Рассмотрим два разных варианта диполей.

Случай так называемого твердого диполя, когда его дипольный момент d> не зависит от положения диполя в пространстве, занятом полем. Тогда из формулы векторного анализа

grad(a> ?b>) = (a> ??)b> + (b> ??)a> + [a> Ч rotb>] + [b> Ч rota>]

с учетом уравнения (33) и условия d> = const получается

grad(d> ?E>) = (d ??)E>

и, следовательно, формула (31) приобретает искомый вид

E>grad(d> ?E>), (17.34)

т.е.

U = ?(d> ?E>), если d> = const.

Случай упругого диполя. Существуют системы зарядов, дипольный момент которых пропорционален полю E>, в котором находится система (например, система зарядов нейтральной молекулы). Для них

d> = бE>,б = const.

При этом с помощью приведенной формулы векторного анализа получаем

grad(d> ?E>) = бgrad(E> ?E>) = б ? 2(E> ??)E> = 2(d> ??)E>,

т.е.

(d> ??)E> = 1 2grad(d> ?E>).

Отсюда формула (31) приобретает вид

F> = 1 2grad(d> ?E>); (17.35)

следовательно,

U = ?1 2(d> ?E>),еслиd> = бE>.

5. Перейдем к следующему, квадрупольному, члену разложения ?(2), получающемуся как результат постановки последнего слагаемого (26) в выражение (15):

?(2) = 1 2 ? xi?x j?с(r>?)dV ?? ?2 ?xixj 1 r.

С введениеv обозначения

Qij = ? xi?x j?с(r>)dV ?

результат можно представить в виде

?(2) = 1 2Qij ?2 ?xixj 1 r.

Симметричный тензор Qij = Qji иногда принимается за тензор квадрупольных моментов. Часто, однако, несколько отличный тензор, а именно

Dij = ? (3xi?x j?? r?2д ij)с(r?>)dV ?, (17.36)

тоже симметричный, принимают в качестве тензора квадрупольных моментов. Удобство нового тензора связано с тем, что его след равен нулю, т.е.

дijDij = Dii = 0. (17.37)

С учетом того, что функция 1?r(x,y,z) удовлетворяет уравнению Лапласа

Д 1 r = ?2 ?xi 1 r = дij ?2 ?xi2?xj 1 r = 0,

легко заметить, что

1 2Qij ?2 ?xi?xj 1 r = 1 6Dij ?2 ?xi2?xj 1 r.

Последовательно вычисляя приоизводные функции 1?r, нетрудно убедиться, что

?2 ?xi?xj 1 r = 3xixj ? r2дij r5

и, следовательно,

?(2) = 1 6Dij3xixj ? r2дij r5.

Учитывая свойство (37), квадрупольный потенциал можно привести к окончательному виду

?(2) = 1 2Dijxixj r5. (17.38)

Отсюда видно, что с увеличением расстояния r ?(2) спадает как 1?r3, в то время как дипольный потенциал ? 1?r2, а кулоновский, как 1?r.

Заметим, что существуют системы зарядов, у которых как суммарный заряд, так и дипольный момент равны нулю. Для таких систем именно квадрупольный потенциал является главным.

Пример. Поле линейного квадруполя, т.е. системы трех зарядов, показанных на рисунке. Соответствующие заряды расположены на оси z в точках с координатами ±a и z = 0. Видно, что у этой системы Q = 0 и d> = 0. Оси x,y,z являются главными осями для тензора Dij рассматриваемой системы зарядов, так как ось z - ось симметрии, отсюда с учетом (37) следует, что

D11 = D22 = ?1 2D,D33 = D,

т.е. тензор Dij полностью определяется значением одного диагонального элемента D33. Замечаем, что заряд ?2q с нулевыми координатами вклада в D33 не вносит и от оставшихся двух зарядов q имеем

D33 = 2q(3a2 ? a2) = 4qa2.

Таким образом, квадрупольный потенциал равен

?(2) = 1 2r5(D11x2 + D 22y2 + D 33z2) = D 2r5 ?1 2(x2 + y2) + z2

и после перехода с сферическим координатам (r,и,б) принимает вид

?(2) = D 2r3 cos2и ?1 2sin2и = D 2r3 3cos2и ? 1 2 = D 2r3P2(cosи),

т.е. совпадает с одним из решений (25) уравнения Лапласа, соответствующим номеру ? = 2.

18. Емкость системы проводников. Емкостные и потенциальные коэффициенты

Начнем с простейшего случая уединенного проводника, т.е. проводника, удаленного от других проводников на расстояние, много большее его максимального размера. Понятием емкость характеризуют свойство провдника накапливать на себе заряды. Если при сообщении проводнику заряда Дq потенциал повышается на Д?, то емкость такого проводника равна

C = Дq Д?.

19. Экспериментальная проверка закона Кулона

Закон установлен Кулоном в 1785 г. посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами, размеры которых много меньше расстояния между ними. При этом точность опытов была небольшая. Лишь из общих соображений, основанных на аналогии с силами тяготения, существовала уверенность в абсолютной правильности этого закона. Но закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых значительные усилия экспериментаторов направлялись вплоть до сегодняшних дней.

Метод Кавендиша. Интересно, что Кавендиш открыл «закон Кулона» за 15 лет до Кулона значительно более оригинальным методом, но свои результаты не опубликовал. Идея Кавендиша состояла в том, чтобы проверить, остается ли электрическое поле внутри заряженной проводящей сферы. Со времен Ньютона было известно, что если силы взаимодействия обратно пропорциональны квадрату расстояния, то внутри сферического слоя поле должно равняться нулю. Поэтому отсутствие поля внутри заряженной сферы означало бы, что электростатические силы, как и гравитационные, обратно пропорциональны квадрату расстояния.

Опыт ставился следующим образом. На заряженный проводящий шар накладывались две проводящие полусферы, плотно пригнанные друг к другу. Затем полусферы убирались и с помощью обычного электроскопа измерялся остаточный потенциал шара, который оказался равным нулю в пределах точки эксперимента.

Для лучшего понимания метода Кавендиша решим такую вспомогательную задачу. Считая, что электрическое поле точечного заряда q, находящегося в начале координат, задается выражением

E>(r>) = qf(r)r> r,

где r> - радиус-вектор точки наблюдения, выяснить, при какой функции f(r) электрическое поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю.

Пусть R0 - радиус сферы, у - поверхностная плотность зарядов. Через точку наблюдения P внутри сферы и центр сферы проведем ось z (рис. 26). Выделим на сфере кольцо, определяемое сферическим углом н с шириной R0dн. Заряд этого кольца

dq = 2рR02 sinнdн ? у.

Нетрудно увидеть, что в точке P кольцо создает электрическое поле, имеющее только z -- компоненту.

dEz = ?dq ? f(r)cosи,

где r = r(н) - расстояние от точек кольца до точки наблюдения P, и - угол, показанный на рисунке.

Поле от всей сферы находится интегрированием по всем кольцам

Ez = ?2рR02у ? 0рf(r)sinнcosиdн.

В интеграле перейдем к новой переменной интегрирования r, воспользовавшись геометрическими соотношениями

r2 = R 02 + r 02 ? 2R 0r0 cosн,(а)

r0 + rcosи = R0 cosн.(б)

Из (а) имеем

sinнdн = rdr R0r0,(в)

и

R0 cosн = R02 + r02 ? r2 2r0,

и из (б) получаем

cosи = R0 cosн ? r0 r,

что с учетом предыдущего выражения дает

cosи = R02 ? r02 ? r2 2r0r.(г)

С использованием соотношений (в), (г) выражение для Ez приобретает вид

Ez = ?рR0 r02 у ? R0?r0R0+r0 (R02 ? r 02 ? r2)f(r)dr.

Теперь вспомним - задача заключается в определении функции f(r), обеспечивающей выполнение условия Ez = 0. Следовательно, имеем интегральное уравнение

? R0?r0R0+r0 (R02 ? r 02 ? r2)f(r)dr = 0.

Пусть f(r) = Ц?(r). Тогда

? R0?r0R0+r0 = ? R0?r0R0+r0 (R02 ? r 02 ? r2)f(r)Ц?(r)dr

и интегрируя по частям, получим

? R0?r0R0+r0 = (R02?r 02?r2)Ц(r)? R0?r0R0+r0 +2? R0?r0R0+r0 Ц(r)rdr = [R02?r 02?(R 0+r0)2]Ц(R 0+r0)?[R02?r 02?(R 0?r0)2]Ц(R 0?r0)+2? R0?r0R0+r0 Ц(r)rdr = ?2r0(R0+r0)Ц(R0+r0)?2r0(R0?r0)Ц(R0?r0)+2? R0?r0R0+r0 Ц(r)rdr = 0.

Интегральное уравнение перепишем, вводя обозначения

R1 = R0 ? r0, R2 = R0 + r0, откуда r0 = R2?R1 2; получим

? R1R2 Ц(r) ? rdr = (R2 ? R1) ?R1Ц(R1) + R2Ц(R2) 2.(д)

Интеграл в левой части (д) можно заменить выражением [Ц(r) ? r]ср ? (R2 ? R1), где нижний индекс означает взятие среднего значения функции на интервале [R1,R2]. В результате имеем

[Ц(r) ? r]ср ? (R2 ? R1) = (R2 ? R1) ?R1Ц(R1) + R2Ц(R2) 2,т.е.

[Ц(r) ? r]ср = R1Ц(R1) + R2Ц(R2) 2.

При любых R1,R2 среднее значение функции на интервале [R1,R2] равно полусумме крайних значений на интервале только в том случае, если эта функция линейная, т.е.

Ц(r) ? r = к0 + к1r,Ц(r) = к0 r + к1.

Отсюда искомая функция

f(r) = Ц?(r) = ?к0 r2,к0 = const.

Только при f(r) ? 1 r2 поле внутри равномерно заряженной сферы тождественно равно нулю.

Итак, если в опыте Кавендиша после снятия двух полусфер заряд шара точно равняется нулю, то из этого следует, что закон Кулона абсолютно точен. К сожалению, экспериментатор никогда не сможет сказать, что заряд точно равен нулю. Он может указать только, что заряд меньше некоторой малой величины и отсюда делают вывод о величине малой добавки ? в показателе, если закон Кулона представить в виде

E = q r2+?.

Размещено на Allbest.ru

...