Теоретические основы электротехники

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курс лекций

Теоретические основы электротехники



Содержание

Лекция N 21. Вращающееся магнитное поле

Лекция N 22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Лекция N 23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока

Лекция N 24. Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Лекция N 25. Способы составления характеристического уравнения

Лекция N 26. Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов

Лекция N 27. Операторный метод расчета переходных процессов

Лекция N 28. Некоторые важные замечания к формуле разложения

Лекция N 29. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля

Лекция N 30. Нелинейные цепи

Лекция N 31. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора

Лекция N 32. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках. Основные понятия и законы магнитных цепей

Лекция N 33. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей

Лекция N 34. Нелинейные цепи переменного тока в стационарных режимах

Лекция N 35. Графический метод с использованием характеристик по первым гармоникам

Лекция N 36. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Лекция N 37. Метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям)

Лекция N 38. Переходные процессы в нелинейных цепях

Лекция N 39. Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях

Лекция N 40. Цепи с распределенными параметрами

Лекция N 41. Линия без искажений

Лекция N 42. Входное сопротивление длинной линии

Лекция N 43. Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям



Лекция N 21. Вращающееся магнитное поле

Как было показано ранее, одним из важнейших преимуществ многофазных систем является получение вращающегося магнитного поля с помощью неподвижных катушек, на чем основана работа двигателей переменного тока. Рассмотрение этого вопроса начнем с анализа магнитного поля катушки с синусоидальным током.

Магнитное поле катушки с синусоидальным током

При пропускании по обмотке катушки синусоидального тока она создает магнитное поле, вектор индукции которого изменяется (пульсирует) вдоль этой катушки также по синусоидальному закону.

Мгновенная ориентация вектора магнитной индукции в пространстве зависит от намотки катушки и мгновенного направления тока в ней и определяется по правилу правого буравчика. Так для случая, показанного на рис. 1, вектор магнитной индукции направлен по оси катушки вверх. Через полпериода, когда при том же модуле ток изменит свой знак на противоположный, вектор магнитной индукции при той же абсолютной величине поменяет свою ориентацию в пространстве на 1800. С учетом вышесказанного магнитное поле катушки с синусоидальным током называют пульсирующим. магнитный резистор электрический цепь

Круговое вращающееся магнитное поле двух- и трехфазной обмоток

Круговым вращающимся магнитным полем называется поле, вектор магнитной индукции которого, не изменяясь по модулю, вращается в пространстве с постоянной угловой частотой.

Для создания кругового вращающегося поля необходимо выполнение двух условий:

Оси катушек должны быть сдвинуты в пространстве друг относительно друга на определенный угол (для двухфазной системы - на 900, для трехфазной - на 1200).

Токи, питающие катушки, должны быть сдвинуты по фазе соответственно пространственному смещению катушек.

Рассмотрим получение кругового вращающегося магнитного поля в случае двухфазной системы Тесла (рис. 2,а).

При пропускании через катушки гармонических токов каждая из них в соответствии с вышесказанным будет создавать пульсирующее магнитное поле. Векторы и , характеризующие эти поля, направлены вдоль осей соответствующих катушек, а их амплитуды изменяются также по гармоническому закону.

Если ток в катушке В отстает от тока в катушке А на 900 (см. рис. 2,б), то

.

Найдем проекции результирующего вектора магнитной индукции на оси x и y декартовой системы координат, связанной с осями катушек:

Модуль результирующего вектора магнитной индукции в соответствии с рис. 2,в равен

(1)

при этом для тангенса угла a, образованного этим вектором с осью абсцисс, можно записать

,

Откуда

(2)

Полученные соотношения (1) и (2) показывают, что вектор результирующего магнитного поля неизменен по модулю и вращается в пространстве с постоянной угловой частотой , описывая окружность, что соответствует круговому вращающемуся полю.

Покажем, что симметричная трехфазная система катушек (см. рис. 3,а) также позволяет получить круговое вращающееся магнитное поле.

Каждая из катушек А, В и С при пропускании по ним гармонических токов создает пульсирующее магнитное поле. Векторная диаграмма в пространстве для этих полей представлена на рис. 3,б. Для проекций результирующего вектора магнитной индукции на

оси декартовой системы координат, ось y у которой совмещена с магнитной осью фазы А, можно записать

(3)

(4)

Приведенные соотношения учитывают пространственное расположение катушек, но они также питаются трехфазной системой токов с временным сдвигом по фазе на 1200. Поэтому для мгновенных значений индукций катушек имеют место соотношения

;

.



Подставив эти выражения в (3) и (4), получим:

(5)

(6)

В соответствии с (5) и (6) и рис. 2,в для модуля вектора магнитной индукции результирующего поля трех катушек с током можно записать:

,

а сам вектор составляет с осью х угол a, для которого

,

Откуда

.

Таким образом, и в данном случае имеет место неизменный по модулю вектор магнитной индукции, вращающийся в пространстве с постоянной угловой частотой , что соответствует круговому полю.

Магнитное поле в электрической машине

С целью усиления и концентрации магнитного поля в электрической машине для него создается магнитная цепь.

Электрическая машина состоит из двух основных частей (см. рис. 4): неподвижного статора и вращающегося ротора, выполненных соответственно в виде полого и сплошного цилиндров.

На статоре расположены три одинаковые обмотки, магнитные оси которых сдвинуты по расточке магнитопровода на 2/3 полюсного деления , величина которого определяется выражением

,

где - радиус расточки магнитопровода, а р - число пар полюсов (число эквивалентных вращающихся постоянных магнитов, создающих магнитное поле, - в представленном на рис. 4 случае р=1).

На рис. 4 сплошными линиями (А, В и С) отмечены положительные направления пульсирующих магнитных полей вдоль осей обмоток А, В и С.

Приняв магнитную проницаемость стали бесконечно большой, построим кривую распределения магнитной индукции в воздушном зазоре машины, создаваемой обмоткой фазы А, для некоторого момента времени t (рис. 5). При построении учтем, что кривая изменяется скачком в местах расположения катушечных сторон, а на участках, лишенных тока, имеют место горизонтальные участки.

Заменим данную кривую синусоидой (следует указать, что у реальных машин за счет соответствующего исполнения фазных обмоток для результирующего поля такая замена связана с весьма малыми погрешностями).

Приняв амплитуду этой синусоиды для выбранного момента времени t равной ВА, запишем

(7)

и аналогично

(8)

(9)

С учетом гармонически изменяющихся фазных токов для мгновенных значений этих величин при сделанном ранее допущении о линейности зависимости индукции от тока можно записать

.

Подставив последние соотношения в (7)…(9), получим

(10)

(11)

(12)

Просуммировав соотношения (10)…(12), с учетом того, что сумма последних членов в их правых частях тождественно равна нулю, получим для результирующего поля вдоль воздушного зазора машины выражение

,

представляющее собой уравнение бегущей волны.

Магнитная индукция постоянна, если

.

Таким образом, если мысленно выбрать в воздушном зазоре некоторую точку и перемещать ее вдоль расточки магнитопровода со скоростью

,

то магнитная индукция для этой точки будет оставаться неизменной. Это означает, что с течением времени кривая распределения магнитной индукции, не меняя своей формы, перемещается вдоль окружности статора. Следовательно, результирующее магнитное поле вращается с постоянной скоростью.

Эту скорость принято определять в оборотах в минуту:

.

Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей

Устройство асинхронного двигателя соответствует изображению на рис. 4. Вращающееся магнитное поле, создаваемое расположенными на статоре обмотками с током, взаимодействует с токами ротора, приводя его во вращение. Наибольшее распространение в настоящее время получил асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором ввиду своей простоты и надежности. В пазах ротора такой машины размещены токонесущие медные или алюминиевые стержни.

Концы всех стержней с обоих торцов ротора соединены медными или алюминиевыми же кольцами, которые замыкают стержни накоротко. Отсюда и произошло такое название ротора.

В короткозамкнутой обмотке ротора под действием ЭДС, вызываемой вращающимся полем статора, возникают вихревые токи.

Взаимодействуя с полем, они вовлекают ротор во вращение со скоростью , принципиально меньшей скорости вращения поля 0. Отсюда название двигателя - асинхронный.

Величина

называется относительным скольжением. Для двигателей нормального исполнения S=0,02…0,07. Неравенство скоростей магнитного поля и ротора становится очевидным, если учесть, что при вращающееся магнитное поле не будет пересекать токопроводящих стержней ротора и, следовательно, в них не будут наводиться токи, участвующие в создании вращающегося момента.

Принципиальное отличие синхронного двигателя от асинхронного заключается в исполнении ротора. Последний у синхронного двигателя представляет собой магнит, выполненный (при относительно небольших мощностях) на базе постоянного магнита или на основе электромагнита. Поскольку разноименные полюсы магнитов притягиваются, то вращающееся магнитное поле статора, которое можно интерпретировать как вращающийся магнит, увлекает за собой магнитный ротор, причем их скорости равны. Это объясняет название двигателя - синхронный.

В заключение отметим, что в отличие от асинхронного двигателя, у которого обычно не превышает 0,8…0,85, у синхронного двигателя можно добиться большего значения и сделать даже так, что ток будет опережать напряжение по фазе. В этом случае, подобно конденсаторным батареям, синхронная машина используется для повышения коэффициента мощности.



Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.



Контрольные вопросы

Какое поле называется пульсирующим?

Какое поле называется вращающимся круговым?

Какие условия необходимы для создания кругового вращающегося магнитного поля?

Какой принцип действия у асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором?

Какой принцип действия у синхронного двигателя?

На какие синхронные скорости выпускаются в нашей стране двигатели переменного тока общепромышленного исполнения?

Лекция N 22. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо "всеми силами" поддержание синусоидальных режимов;

в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

Максимальное значение - .

Действующее значение -

.

Среднее по модулю значение -

.

Среднее за период значение (постоянная составляющая) -



.

Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) -

.

Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) -

.

Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) -

.

Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) -

.

Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция

,

где Т - период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

(1)

Здесь

- постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т - период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1)

,

где коэффициенты и определяются по формулам

;

.

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник.

Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству

(см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство

(см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству

(см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

.

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно.

Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть

.

Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть



.

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично.

Для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т - мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники.

Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Здесь

.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

,

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

;

.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.

Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.

Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.



Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.



Контрольные вопросы

Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?

Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?

Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?

Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?

Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?

Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Ответ: .

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Ответ: I=5,5 A.

Лекция N 23. Резонансные явления в цепях несинусоидального тока

В цепях несинусоидального тока резонансные режимы возможны для различных гармонических составляющих. Как и при синусоидальных токах, резонанс на к-й гармонике соответствует режиму работы, при котором к-е гармоники напряжения и тока на входе цепи совпадают по фазе, иначе говоря входное сопротивление (входная проводимость) цепи для к-й гармоники вещественно.

Пусть имеет место цепь на рис. 1,а, питающаяся от источника несинусоидальной ЭДС, в которой емкость конденсатора может плавно изменяться от нуля до бесконечности.

Для к-й гармоники тока можно записать

,

где - действующее значение к-й гармоники ЭДС.

Таким образом, при изменении С величина к-й гармоники тока будет изменяться от нуля при С=0 до

при , достигая максимума при резонансе (см. рис. 1,б), определяемом величиной емкости

.

Следует отметить, что, несмотря на то, что обычно с ростом порядка гармонической ЭДС ее амплитуда уменьшается, в режиме резонанса для к-й гармонической ее значение может превышать величину первой гармоники тока.

Резонансные явления используются для выделения гармоник одних частот и подавления других. Пусть, например, в цепи на рис. 2 необходимо усилить q-ю гармонику тока на нагрузке и подавить р-ю.

Для подавления р-й гармоники в режим резонанса токов настраивается контур :

.

Для выделения q-й гармоники вся цепь для нее настраивается в режим резонанса напряжений:

,

откуда при известных и

.

Отметим, что рассмотренные явления лежат в основе работы L-C -фильтров.

Особенности протекания несинусоидальных токов через пассивные элементы цепи

1. Резистор.

При

ток через резистор (см. рис. 3)

,

где

.

Таким образом, на резистивном элементе несинусоидальные напряжение и ток совпадают по форме и подобны друг другу. Это позволяет на практике осциллографировать форму тока с помощью регистрации напряжения на шунте.

2. Конденсатор.

Пусть напряжение на конденсаторе (рис. 4) описывается гармоническим рядом

.

Коэффициент искажения кривой напряжения

(1)

Ток через конденсатор

.

Тогда соответствующий кривой тока коэффициент искажения

(2)

Сравнение (1) и (2) показывает, что , т.е. конденсатор искажает форму кривой тока по сравнению с напряжением, являясь сглаживающим элементом для последнего.

Отмеченное наглядно иллюстрирует рис. 5, на котором форма кривой напряжения ближе к синусоиде, чем форма кривой тока.

3. Катушка индуктивности.

Принимая во внимание соотношение между напряжением и током для катушки индуктивности (рис. 6)

совершенно аналогично можно показать, что в случае индуктивного элемента , т.е. кривая напряжения искажена больше, чем кривая тока. Этому случаю будет соответствовать рис. 5 при взаимной замене на нем кривых напряжения и тока. Таким образом, катушка индуктивности является сглаживающим элементом для тока.

С учетом вышесказанного на практике, например, в силовой полупроводниковой технике, для сглаживания выпрямленного напряжения применяют конденсаторные фильтры, а для тока - дроссели.

Высшие гармоники в трехфазных цепях

Напряжения трехфазных источников энергии часто бывают существенно несинусоидальными (строго говоря, они несинусоидальны всегда). При этом напряжения на фазах В и С повторяют несинусоидальную кривую напряжения на фазе А со сдвигом на треть периода Т основной гармоники:

.

Пусть для фазы А к-я гармоника напряжения

.

Тогда с учетом, что , для к-х гармонических напряжений фаз В и С соответственно можно записать:

Всю совокупность гармоник к от 0 до можно распределить по трем группам:

1.

- гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений, последовательность которых соответствует последовательности фаз первой гармоники, т.е. они образуют симметричные системы напряжений прямой последовательности.

Действительно,

.

2.

.

Для этих гармоник имеют место соотношения:

т.е. гармоники данной группы образуют симметричные системы напряжений обратной последовательности.

3.

.

Для этих гармоник справедливо

Таким образом, векторы напряжений данной группы во всех фазах в любой момент времени имеют одинаковые модули и направления, т.е. эти гармоники образуют системы нулевой последовательности.

Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, обусловленные наличием гармоник, кратных трем.

1. Если фазы генератора соединены в треугольник, то при несинусоидальных фазных ЭДС сумма ЭДС, действующих в контуре (см. рис. 7) не равна нулю, а определяется гармониками, кратными трем.

Эти гармоники вызывают в замкнутом треугольнике генератора ток, даже когда его внешняя цепь разомкнута:

,

Где

,

а - сопротивление фазы генератора для i-й гармоники, кратной трем.

2. Если фазы генератора соединить в открытый треугольник (см. рис. 8), то на зажимах 1-2 будет иметь место напряжение, определяемое суммой ЭДС гармоник, кратных трем:

.

Таким образом, показание вольтметра в цепи на рис. 8

.

3. Независимо от способа соединения - в звезду или в треугольник - линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем.

При соединении в звезду это объясняется тем, что гармоники, кратные трем, как указывалось, образуют нулевую последовательность, ввиду чего исчезают из линейных напряжений, равных разности фазных.

При соединении в треугольник составляющие фазных ЭДС, кратные трем, не выявляются в линейных (фазных) напряжениях, так как компенсируются падениями напряжений на собственных сопротивлениях фаз генератора.

Таким образом, при соединении в треугольник напряжение генератора

и ток

.

В свою очередь при соединении в звезду

.

4. При симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе определяется гармоническими, кратными трем, поскольку они образуют нулевую последовательность:

.

5. При соединении в звезду и отсутствии нейтрального провода фазные токи нагрузки не содержат гармоник, кратных трем (в соответствии с первым законом Кирхгофа сумма токов равна нулю, что невозможно при наличии этих гармоник). Соответственно нет этих гармоник и в фазных напряжениях нагрузки, связанных с токами законом Ома. Таким образом, при наличии гармоник, кратных трем, в фазных напряжениях генератора напряжение смещения нейтрали в симметричном режиме определяется этими гармониками

.



Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.



Контрольные вопросы

Какой характер: монотонный или колебательный - будет иметь зависимость действующего значения тока от величины индуктивности в цепи на рис. 1 при ее изменении от нуля до бесконечности?

Почему на практике сигнал, пропорциональный току, получают с использованием резистивных шунтов?

Какие гармоники и почему определяют характерные особенности режимов работы трехфазных цепей?

Какие гармоники отсутствуют в линейных напряжениях и токах?

Почему при несинусоидальных источниках питания, соединенных в треугольник, действующее значение фазной ЭДС может быть больше действующего значения фазного напряжения?

При соединении трехфазного генератора и симметричной нагрузки по схеме "звезда-звезда" без нейтрального провода фазная ЭДС источника определяется выражением

Определить действующие значения линейного напряжения, фазных напряжений генератора и приемника, а также напряжение смещения нейтрали.

Ответ: .

В предыдущей задаче нейтральные точки генератора и приемника соединены проводом с нулевым сопротивлением.

Определить ток в нейтральном проводе, если сопротивление фазы нагрузки R=10 Ом.

Ответ: .

При соединении трехфазного генератора и симметричной нагрузки по схеме "треугольник-треугольник" фазная ЭДС источника содержит первую и третью гармоники с амплитудами . Сопротивление нагрузки для первой гармоники

Определить действующее значение линейного тока.

Ответ: .

Лекция N 24. Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. - в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Резистор (идеальное активное сопротивление)	Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)	Конденсатор (идеальная емкость)
	; при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,	;

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

(2)

где х - искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

(3)

где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) - решение (2) с нулевой правой частью - соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь апосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов - принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые.

К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона	Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)	Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)	Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения

и

,

что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации - в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

.

второй закон коммутации - напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

.

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности - потокосцеплений, а для схем с конденсаторами - зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа

.

Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования.

Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример.

Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

И

.

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

Откуда

и

.

Для известных значений и из уравнения

Определяется

.

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).



Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения	Выражение свободной составляющей
Корни вещественные и различные
Корни вещественные и
Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс.

Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где

.

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р - корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

.



Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.



Контрольные вопросы

Чем обусловлены переходные процессы?

Как определяется порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс?

Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?

Доказать законы коммутации:

и

- с энергетических позиций.

В каких цепях и почему возможен колебательный процесс?

Определить величину токов и напряжений на конденсаторе и на катушке индуктивности в момент коммутации в цепи на рис. 4, если .

Ответ:

; .

Лекция N 25. Способы составления характеристического уравнения

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);

путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;

на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

jw заменяется на оператор р;

полученное выражение приравнивается к нулю.

Уравнение совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

.

Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

или



(1)

При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

.

Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом

В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

Запись выражения для искомой переменной в виде

(2)

Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.

Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t - см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.

Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).

Определение начальных условий и на их основе - постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении к источнику напряжения

Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

а)

б)

.

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

(3)

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

(4)

Характеристическое уравнение

,

Откуда

и постоянная времени

.

Таким образом,

(5)

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

.

В соответствии с первым законом коммутации .

Тогда

,

Откуда

.



Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

,

а напряжение на катушке индуктивности - выражением

.

Качественный вид кривых и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

,

Где

.

Отсюда

.



Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения.

Следовательно,

.

Поскольку , то

.

Таким образом, окончательно получаем

(6)

Анализ полученного выражения (6) показывает:

При начальной фазе напряжения постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.



При

свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается.

В этом случае максимальная величина тока переходного процесса может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где

,

максимум тока имеет место примерно через . В пределе при .

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: .

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: .

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности от источника питания

При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности . Характеристическое уравнение

,

Откуда

и .

В соответствии с первым законом коммутации

.

Таким образом, выражение для тока в переходном режиме



и напряжение на катушке индуктивности

(7)

Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: .

При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.

3. Заряд и разряд конденсатора

При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

.

Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе

.



Из характеристического уравнения

определяется корень

.

Отсюда постоянная времени

.

Таким образом,

.

При t=0 напряжение на конденсаторе равно (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда

и

.

Соответственно для зарядного тока можно записать



.

В зависимости от величины

: 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени

.

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

.



Соответственно разрядный ток

(8)

Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.



Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.

Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.1. К.М. Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.



Контрольные вопросы

Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором .

Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой - апериодический?

Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?

Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя - ветвь с индуктивным элементом?

Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?

...