Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство высшего и среднего специального образования республики Узбекистан

Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека

Учебное пособие

Поляризация диэлектриков

П.Б. Парчинский

Ташкент - 2004



В данном учебном пособие рассмотрены основные вопросы, касающиеся процессов поляризации диэлектриков. Подробно изложены вопросы, касающиеся механизмов поляризации диэлектриков, а также связи между строением и структурой диэлектриков и механизмами поляризации. Рассмотрены уравнения, описывающие локальное и среднее макроскопическое электрическое поле в диэлектриках.

Данное учебное пособие написано на основе курса лекций «Физика диэлектриков», читаемого на кафедре физики полупроводников и диэлектриков Национального Университета Узбекистана, и может быть рекомендована для студентов бакалавриата и магистратуры, обучающихся по специальностям физика полупроводников и диэлектриков, физика твёрдого тела, микроэлектроника и родственным им дисциплинам.

Автор: П.Б. Парчинский.

Технический редактор: А.А. Насиров

Рецензенты:

д.ф.-м.н, проф. Власов С.И.

д.ф.-м.н. Атабаев И.Г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Физика диэлектриков - это дисциплина, изучающая широкий ряд веществ, различных как по своей структуре и строению (кристаллические и аморфные твердые диэлектрики, органические полимеры и компаунды) так и по своему агрегатному состоянию (твердые жидкие и газообразные диэлектрики). Широкое применение диэлектриков в различных областях физики и техники, особенно в областях, связанных с развитием современных технологий, таких как полупроводниковая микроэлектроника и оптоэлектроника, обуславливает необходимость изучения данной дисциплины студентами и магистрантами, обучающимися по специальностям физика полупроводников и диэлектриков, физика полупроводниковых приборов, физическая микроэлектроника, а также ряду родственных специальностей. Целью данного учебного пособия является ознакомление студентов обучающихся как в бакалавриате, так и в магистратуре с основными закономерностями физических явлений, протекающих в диэлектриках при их поляризации во внешнем электрическом поле, а также с физическими моделями, описывающими процессы поляризации диэлектриков. При этом основной упор делается на изучение процессов поляризации твердых диэлектриков, в свете их применения в полупроводниковой электронике и микроэлектронике.

Данное учебное пособие написано автором на основе курса лекций по физике диэлектриков, читаемого автором для студентов бакалавриата и магистратуры кафедры физики полупроводников и диэлектриков физического факультета Национального Университета Узбекистана. Для успешного усвоения данного курса магистрант должен обладать знаниями по курсам теории электричества ряда разделов квантовой механики и статистической физики, а также курсам высшей математике в объёме, не превышающем учебных программ бакалавриата, изучаемых по указанным дисциплинам.

1. Механизмы поляризации диэлектриков

Известно, что при помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле (например, при помещении его между обкладками плоского конденсатора) напряжённость поля изменяется. Это объясняется тем, что на поверхностях первоначально незаряженных диэлектриков под действием внешнего электрического поля возникают электрические заряды, ориентированные таким образом, чтобы уменьшить внешнее электрическое поле и препятствовать его проникновению в диэлектрик. При этом, в большинстве случаев, невозможно разделяя диэлектрик в электрическом поле, отделить заряды друг от друга, после прекращения действия электрического поля каждая часть диэлектрика будет электрически нейтральной. В тоже время известно, что при разделении в электрическом поле металлов или других проводников на разделённых частях буду наблюдаться электрический заряд и после прекращения действия электрического поля. В силу невозможности их разделения заряды на поверхности диэлектрика называют связанными зарядами. Отметим, что в данном случае мы рассматриваем диэлектрики с макроскопической точки зрения. При микроскопическом рассмотрении можно провести мысленный эксперимент по выделению даже в идеальном диэлектрике микроскопического объёма, который имел бы электрический заряд.

Рассмотрим причины возникновения связанных зарядов на поверхности диэлектрика. Как известно в диэлектриках отсутствуют (или присутствуют в очень малых количествах) свободные носители заряда. Поэтому, при наличии внешнего электрического поля в диэлектрике всегда существует отличное от нуля внутреннее электрическое поле. Это поле, действуя на заряженные частицы, находящиеся в твердом теле в связанном состоянии, смещает их относительно положения, в котором они находились в отсутствии электрического поля. Напомним, что под действием поля положительные заряды будут смещаться по направлению электрического поля, отрицательные в противоположном направлении.

При смещении зарядов в электрическом поле каждый элемент объёма диэлектрика, в пределах которого произошло смещение, приобретает дипольный момент, направленный вдоль направления действия электрического поля. При этом диэлектрик во внешнем электрическом поле можно рассматривать как состоящий из элементарных областей - диполей или квазидиполей, ориентированных в одном направлении. Возникновение дипольных моментов в объёме диэлектрика под действием внешнего электрического поля называется поляризацией диэлектрика. Если же диэлектрик содержит полярные молекулы, то есть такие молекулы, которые обладают собственным дипольным моментом, то они могут быть переориентированы полем, что также приведет к возникновению дипольного момента в объёме диэлектрика.

Дипольный момент элементарного диполя определяется выражением

(1),

где вектор смещения заряда, направленный от «-» к «+». При этом значения будут определяться как значением внешнего электрического поля, так и типом заряженных частиц и механизмами их взаимодействия между собой. Так смещение электронных оболочек атомов под действием поля существенно отличается от смещения ионов в узлах кристаллической решетки под действием поля такой же величины. Поэтому степень поляризации диэлектрика определяется механизмом поляризации, который зависит от типа заряженных частиц, их взаимного расположения, типа химической связи и ряда других факторов, определяющих способность заряженных частиц смещаться под действием электрического поля. С учетом вышесказанного величину дипольного момента можно определить как

(2),

где б - поляризуемость диэлектрика, определяемая механизмом поляризации,

- величина поля, действующего на заряженную частицу в диэлектрике,

е₀ - диэлектрическая постоянная.

Степень поляризации диэлектрика определяют вектором поляризации или поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объёма диэлектрика.

(3),

где - электрический момент единицы объёма V.

Отметим, что при макроскопическом рассмотрении элемент объёма V выбирают малым настолько, что в диэлектрик в его приделах можно считать однородным, в тоже время атомной или молекулярной структурой диэлектрика внутри данного объёма можно пренебречь.

С другой стороны, очевидно, что дипольный момент единицы объёма можно определить как сумму моментов всех элементарных диполей, заключённых в данном объёме

(4)

Исходя из вышесказанного, поляризацию диэлектриков можно определить как состояние вещества, характеризующееся наличием дипольного момента у любого элемента его объёма. Если значение вектора поляризации одинаково для любого элемента объёма диэлектрика говорят об однородной поляризованности диэлектрика, если значение зависит от того, в какой точке диэлектрика выбран рассматриваемый элемент объёма, то говорят, что диэлектрик поляризован неоднородно.

Если диэлектрик состоит из одного типа частиц, поляризуемость которых определяется одним механизмом тогда значение вектора поляризации можно определить как

(5),

где n - число частиц в единице объёма диэлектрика.

Если диэлектрик состоит из нескольких типов частиц, поляризуемость которых определяется несколькими механизмами, тогда

(6)

где i число механизмов поляризации, наблюдаемых в диэлектрике.

Рассмотрим теперь механизмы поляризации, наблюдаемые в твердых диэлектриках. Как уже говорилось выше, механизм поляризации зависит от типа заряженных частиц и их взаимодействия с другими заряженными частицами. Все частицы диэлектрика, способные смещаться или переориентироваться под действием электрического поля можно разделить на два типа - упруго или сильно связанные и неупруго или слабосвязанные частицы. Соответственно и механизмы поляризации можно разделить на два основных типа - упругие и неупругие. Упруго связанная частица имеет одно положение равновесия, возле которого совершает упругие колебания. Под действием электрического поля частица смещается из положения равновесия, что приводит к возникновению электрического момента и поляризации диэлектрика. После прекращения действия электрического поля упругие (точнее квазиупругие) силы возвращают частицу в положение равновесия. Упруго связанные частицы можно рассматривать как частицы, находящиеся в потенциальной яме с одним энергетическим минимумом (рис. 1). Тепловые колебания или электрическое поле могут переводить частицу на различные энергетические уровни в пределах данной ямы, но не выводят частицу за её пределы.

Рис. 1

Упруго связанную заряженную частицу можно рассматривать как частицу, помещённую в потенциальную яму с одни минимумом (а). Электрическое поле переводит её на другой энергетический уровень, однако, при этом частица не выходит за пределы потенциальной ямы (б)

В отличие от упруго связанных частиц неупруго связанные частицы имеют несколько положений равновесия, в которых могут находиться с определенной вероятностью. Переход из одного положения равновесия в другое осуществляется посредством флуктуаций теплового движения. Такую частицу можно рассматривать как помещенную в потенциальную яму с несколькими локальными минимумами энергии, каждому из которых соответствует положение равновесия (рис 2). Время, которое частица проводит в каком-либо из локальных минимумов, зависит от высоты потенциального барьера между локальными минимумами и энергии частицы в равновесных состояниях, а так же от температуры диэлектрика, определяющей интенсивность тепловых колебаний. Под действием электрического поля энергия частицы в равновесных состояниях изменяется и частица занимает их с другой вероятностью, чем в отсутствии поля. Появляется асимметрия в распределении заряженных частиц. Тогда, при статистическом рассмотрении ансамбля заряженных частиц во внешнем поле будет наблюдаться смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Это приводит к возникновению дипольного момента в каждом элементарном объёме диэлектрика, содержащем такие частицы, то есть поляризации диэлектрика.

Основную роль в процессе возникновения вектора поляризации при неупругих механизмах поляризуемости играет тепловое движение частиц, перебрасывающее частицы из одного положения в другое. При этом оно способствует установлению асимметрии в распределении заряженных частиц и при включении электрического поля и возвращает частицы к хаотическому распределению после прекращения действия поля. В тоже время чересчур интенсивное тепловое движение частиц будет препятствовать поляризации диэлектрика, стремясь установить хаотическое распределение заряженных частиц даже при воздействии на них электрического поля.

Из вышесказанного следует, что процесс установления поляризации при неупругих механизмах поляризуемости связан с установлением равновесного состояния в системе, состоящей из множества частиц, находящихся в тепловом движении. Такой процесс, в статистической физике, называют релаксационным процессом, поэтому поляризацию, определяемую неупругими механизмами поляризуемости, часто называют релаксационной поляризацией.

Рис. 2

Неупруго связанную заряженную частицу можно рассматривать как находящуюся в потенциальной яме с двумя минимумами. В отсутствии электрического поля заряженная частица может находиться в каждом энергетическом минимуме с равной вероятностью (а). Электрическое поле изменяет вероятность нахождения частицы в потенциальном минимуме (б)

Поскольку релаксационная поляризация определяется тепловым движением частиц, то время установления равновесного значения релаксационной поляризации должно зависеть от температуры. Время же установления равновесного значения поляризации, определяемой упругими механизмами, не зависит или слабо зависит от температуры, в силу слабой температурной зависимости упругих сил, действующих на заряженные частицы в диэлектрике от температуры. При этом, смещение заряженных частиц, при упругих механизмах поляризации, существенно меньше, чем при неупругих.

Отметим также, что процесс установления как упругой, так и релаксационной поляризации есть инерционный процесс и от начала действия электрического поля до установления равновесного значения поляризации должно пройти некоторое время. Время, необходимое для установления равновесного значения, определяемого упругими механизмами поляризации, не превышает, обычно 10^-11 ч 10^-12 сек. Время же необходимое для установления равновесных значений релаксационной поляризации обычно не менее чем 10^-9 секунд, а в ряде случаев может измеряться минутами или даже часами. Поэтому можно считать, что упругая поляризация устанавливается практически мгновенно, по сравнению с релаксационной поляризацией, поэтому упругую поляризацию называют также и безинерционной поляризацией.

Рассмотрим подробнее упругие и неупругие механизмы поляризации диэлектриков. Среди упругих механизмов поляризации основными являются следующие:

Упруго-электронный механизм поляризации, обусловленный смещением электронных оболочек атомов относительно их ядер под действием электрического поля. Упруго-электронная поляризация наблюдается во всех диэлектриках в любом агрегатном состоянии. Время установления его равновесного значения составляет 10^-14 ч10^-15 секунд.

Упруго-ионный механизм поляризации, наблюдается в веществах с преобладанием ионного типа связи, в которых под действием электрического поля ионы смещаются из положения равновесия на расстояния меньшие, чем расстояния между ними. Время установления равновесного значения упруго-ионной поляризации составляет 10^-11 ч10^-14 секунд.

Упруго-дипольная поляризация, наблюдаемая в молекулярных кристаллах, состоящих из дипольных молекул. Если дипольные молекулы не могут изменять свои первоначальные равновесные ориентации под действием флуктуаций теплового движения, то в электрическом поле на них будет действовать пара сил, упруго поворачивающая её и изменяющая её ориентацию на небольшие углы. Время установления равновесного значения упруго-дипольной поляризации 10^-11ч10^-13 секунд.

Поляризация ядерного смещения наблюдается в органических диэлектриках и молекулярных кристаллах. Если молекула диэлектрика состоит из нескольких атомов, то под действием электрического поля ядра этих атомов могут отклоняться от равновесного положения в молекуле, хотя молекула в целом не отклоняется от положения равновесия. Время установления равновесного значения поляризации ядерного смещения составляет 10^-12ч10^-13 секунд.

Релаксационная поляризация также подразделяется на несколько типов, определяемых тем, какие частицы релаксируют и на какие расстояния. Можно выделить следующие основные механизмы релаксационной поляризации:

Ионно-релаксационная поляризация, обусловленная переходом слабо связанных ионов в диэлектрике из одного равновесного состояния в другое в результате флуктуаций теплового движения. Появление слабосвязанных ионов обычно связано с наличием дефектов в структуре диэлектрика.

Электронно-релаксационная поляризация, которая наблюдается в том случае, если в диэлектрике имеются дефекты, способные захватывать электроны. Захваченный электрон при этом находится в глубокой потенциальной яме, создаваемой полем дефекта. Под действие электрического поля электроны способны переходить из одного устойчивого минимума в другой, не выходя за пределы потенциальной ямы, однако перемещаясь при этом на расстояния порядка межатомных расстояний.

Дипольно-релаксационная поляризация, связанная с переориентацией дипольных моментов молекул диэлектрика во внешнем поле. Наблюдается, в основном, в жидких и газообразных диэлектриках, но может наблюдаться и в твердых диэлектриках, атомы или молекулы которых обладают собственным дипольным моментом в отсутствии электрического поля.

Как уже указывалось выше, время установления равновесного значения релаксационной поляризации зависит температуры. Кроме того, оно зависит от типа дефектов и характера их взаимодействия с заряженными частицами в диэлектрике

Какой из вышеперечисленных механизмов будет преобладать в тех или иных диэлектриках зависит от типа связи между атомами строением диэлектриков. Так в неполярных диэлектриках с гомеополярными связями преобладают процессы упруго-электронной поляризации. В веществах с преобладанием ионного типа связи наряду с упруго-электронной будет наблюдаться и упруго-ионная поляризация. В полярных веществах, молекулы которых обладают собственным дипольным моментом, преобладающими могут оказаться упруго-дипольный и дипольно-релаксационный механизмы поляризации. Кроме того, наличие различного рода дефектов и неоднородностей структуры диэлектриков приводит к появлению релаксационной поляризации.

В заключении отметим, что в ряде диэлектриков наблюдается еще один вид релаксационной поляризации, тесно связанный с электропроводностью - это так называемая миграционная или объёмная поляризация, которая связана с образованием в диэлектрике объёмных зарядов. Сущность данного механизма поляризации состоит в перемещении заряженных частиц в диэлектрике под действием электрического поля на макроскопические расстояния. При этом заряженные частицы могут скапливаться у границ диэлектрика или захватываться различными неоднородностями, связанными с наличием структурных несовершенств в объёме диэлектрика. Накопление заряженных частиц у границ диэлектриков и в их объёме ведёт к возникновению объёмных зарядов в диэлектрике. Это единственный вид поляризации, который допускает механическое разделение зарядов в диэлектриках, и который особенно часто наблюдается в сильно неоднородных диэлектриках, содержащих большое количество подвижных заряженных дефектов, а также центров способных захватывать подвижные носители заряда.

2. Уравнения электрического поля в присутствии диэлектрика. Среднее макроскопическое поле

Возникновение связанных зарядов на поверхности диэлектриков ведут к возникновению деполяризующего электрического поля и изменению потенциала. Поэтому, уравнения описывающие распределение электрического поля и потенциала, создаваемых системой зарядов в вакууме отличаются от уравнений, описывающих распределение электрического поля и потенциала, создаваемых такой же системой зарядов в присутствии диэлектрика. Влияние, оказываемое поляризацией диэлектрика на решение уравнений электростатики (и электрического поля вообще) удобно характеризовать величиной среднего электрического или макроскопического поля в диэлектрике Е_м Макроскопическое поле это поле, характеризуемое напряженностью в объёме превышающем размеры молекул, но малом настолько, чтобы напряженность поля в этом объёме можно было считать постоянной. Отметим, что величина Е_м отличается от величины локального поля Е_л, действующего на заряженную частицу и определяющего величину её индуцированного дипольного момента.

Рассмотрим диэлектрик, помещённый во внешнее однородное электрическое поле с напряжённостью Е₀. Такое поле может быть создано между обкладками плоского конденсатора, если пренебречь искажением поля у краев обкладок. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его обкладках появляются связанные заряды с поверхностной плотностью у_св. При этом диэлектрик можно рассматривать как макродиполь с дипольным моментом, определяемым формулой.

(7),

где S площадь обкладок диэлектрика, L толщина (рис. 3). С другой стороны, значение p можно определить через дипольный момент единицы объёма .

(8),

где б - угол между направлением вектора напряжённости электрического поля и нормалью к поверхности диэлектрика. Приравняв (7) и (8) получим

(9),

где P_n - проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика (нормальная составляющая вектора поляризации). Таким образом, поверхностная плотность связанных зарядов численно равна нормальной составляющей вектора поляризации.

Если диэлектрик поляризован неоднородно, в его объёме возникают ещё и связанные заряды с объёмной плотностью с_св , определяемой условием

(10)

В однородно поляризованном диэлектрике с_св = 0

Появление связанных зарядов в диэлектрике приводит к возникновению деполяризующего поля , направление которого противоположно направлению вектора поляризации. Установлено, что гомогенные образцы при помещении в однородное поле будут однородно поляризоваться только в том случае, если он имеет форму эллипса или форму, являющуюся предельную форму эллипсоида вращения. Если одна из главных осей этого эллипсоида параллельна вектору напряжённости внешнего электрического поля вектор поляризации и вектор напряженности деполяризующего поля также будут параллельны . Величина деполяризующего поля определяется выражением

(11),

где N - деполяризующий фактор, значение N определяется соотношением осей эллипсоида. Так, для тонкой плоской пластины, когда вектор напряженности поля перпендикулярно плоскости пластины N = 1/₀ в системе СИ, и 4 в системе СГСЭ когда параллельно плоскости пластины N = 0 в обеих системах.



Рис. 3. К определению вектора поляризации и поверхностной плотности заряда в диэлектрике

Отметим, что понятие деполяризующего фактора имеет смысл только для однородного диэлектрического эллипсоида, помещённого в однородное внешнее электрическое поле. Однако, в большинстве практически важных случаев диэлектрик даже произвольной формы можно рассматривать как предельный случай эллипсоида вращения или как совокупность частей, каждая из которых является предельной формой эллипсоида вращения.

Определим теперь величину макроскопического поля в однородном диэлектрике. Согласно классической теории электричества это сила, действующая на единичный (пробный) заряд. Чтобы внести такой заряд в диэлектрик необходимо сделать в нем полость. При этом на поверхности полости будут возникать связанные заряды, поэтому сила, действующая на пробный заряд, будет равна сумме сил, действующих на него со стороны внешнего поля, поля создаваемого связанными зарядами на внешней поверхности диэлектрика и на внутренней поверхности полости и будет зависеть от формы полости.

Рис. 4. К определению величины среднего (макроскопического) поля внутри диэлектрике при помощи пробного заряда

Рассмотрим пробный заряд, помещённый в длинную узкую полость, прорезанную внутри диэлектрика параллельно направлению вектора поляризации (рис. 4). Будем считать, что пробный заряд не касается стенок данной полости. В этом случае связанные заряды будут возникать только на торцах полости и, если диаметр полости много меньше её длинны, то поле, создаваемое этими зарядами будет пренебрежимо мало. Тогда на заряд будут действовать только внешнее и деполяризующее поле. Таким образом, напряженность среднего поля в диэлектрике можно определить как

(12)

Абсолютная величина этого поля с учётом (9) будет равна

(13),

где у_св плотность связанных зарядов на внешних поверхностях диэлектрика. Ограничимся рассмотрением тонкой плоской диэлектрической пластины, ориентированной перпендикулярно вектору напряженности электрического поля. В этом случае деполяризующий фактор равен единице и выражение (13) примет вид

(14),

Известно, что поле, создаваемое системой зарядов в диэлектрике меньше, чем поле, создаваемое теми же зарядами в вакууме.



(15),

где е - диэлектрическая проницаемость, определяющая во сколько раз напряженность поля в диэлектрике меньше, чем напряжённость поля в вакууме. Подставив это соотношение в формулу (14) получим

(16)

Отсюда получим выражение, определяющее связь между вектором поляризации и напряжённостью внешнего и среднего макроскопического поля.

(17)

С другой стороны из курса электростатики известно, что

(18),

где ч - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Уравнение (18) называется линейным приближением, что указывает на линейную зависимость вектора поляризации от напряжённости диэлектрического поля в диэлектрике. Отметим, однако, что в сильных электрических полях ч зависит от напряжённости электрического поля и вид зависимости вектора поляризации от напряжённости поля усложняется. В линейном приближении из уравнений (19) и (20) можно получить



(19)

Введём понятие вектора электрической индукции определяемого как

(20)

в системе СИ и

(20а)

в системе СГСЭ. Подставив (17) в выражение (20)

(21)

С другой стороны, используя (16) можно получить

(22)

Таким образом, величина вектора электрического смещения внутри однородного диэлектрика совпадает с величиной вектора индукции в вакууме ,

(23)



(23a)

Рассмотрим идеальный плоский конденсатор с плотностью заряда на обкладках у₀. Величина напряженности поля в идеальном конденсаторе определяется формулой

(24)

После помещения диэлектрика между его обкладками абсолютная величина напряжённости поля в диэлектрике будет определяться выражением (14). Если обкладки диэлектрика разомкнуты, то с учётом формулы (24) выражение (14) можно записать как

(25)

Таким образом, напряжённость поля в диэлектрике совпадает с напряжённостью поля в вакууме, создаваемой конденсатором с поверхностной плотностью заряда на обкладках у_{1 =} у₀ - у_св. Отсюда можно определить величину поверхностной плотности связанного заряда как

(26).

Из формул (22) и (24) вытекает простой способ практического измерения величины электрической индукции. Подставив (22) в (24) получим D = . Следовательно, чтобы определить величину электрического смещения достаточно измерить величину заряда на обкладках, ограничивающих диэлектрик.

Формулы (23) и (25) полученные для границы диэлектрик - вакуум можно обобщить для границы раздела двух диэлектриков с различной диэлектрической проницаемостью. В этом случае можно записать

(27)

(28),

где и - значения макроскопического поля, у_св1 и у_св2 - значения поверхностной плотности связанных зарядов, P_n1 и P_n2 - нормальные составляющие вектора поляризации в первом и втором диэлектриках соответственно.

Напряжённость электрического поля и вектора электрической индукции можно охарактеризовать плотностью силовых линий. Из формул (27) и (28) следует, что силовые линии вектора электрической индукции непрерывны при переходе из одной диэлектрической среды в другую, а силовые линии электрического поля терпят разрыв на границе различных диэлектрических сред (рис. 5).

а б

Рис. 5. Линии электрического смещения и силовые линии электрического поля в пластине диэлектрика



Более того, линии электрического смещения остаются непрерывными и в случае неоднородной поляризации, когда в диэлектрике возникают объёмные поляризационные заряды. По этой причине, для описания электрического поля в неоднородных диэлектриках, удобнее пользоваться электрическим смещением, чем напряжённостью электрического поля.

Если силовые линии не перпендикулярны границе раздела диэлектрических сред, то вместо (27) и (28), следует записать следующие граничные условия:

D_n1 = D_n2 (29),

E_t1 = E_t2 (30),

где D_n - нормальная составляющая вектора электрической индукции, а E_t - тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля (рис. 6). Из рис. 6 следует, что тангенс угла между линиями напряженности вектора электрической индукции и нормалью к границе раздела диэлектрических сред можно определить как:

(31)

С учётом того, что D_t = ее₀E_t можно получить следующее выражение

(32)

Выражение (34) определяет изменение направления вектора электрической индукции на границе раздела диэлектрических сред, и называется законом преломления линий смещения.



Рис. 6 Преломление линий вектора электрического смещения на границе раздела двух диэлектриков

Отметим, что условие (29) выполняется только в том случае, если на границе раздела отсутствуют свободные (внесенные извне сторонние) заряды. В случае наличия на границе раздела диэлектрических сред свободных зарядов должно выполняться условие

D_n1 - D_n2 = у ^/ (33),

где у ^/ - плотность сторонних зарядов.

Одной из важнейших характеристик электрического поля является потенциал - Ш. Рассмотрим, как изменяются уравнения описывающие распределение потенциала, создаваемого системой зарядов при внесении диэлектрика. Как известно распределение потенциала и электрического поля в вакууме определяется при помощи уравнения Пуассона

(34),

или в интегральной форме

(34а),

где с₀ и у₀ плотность распределения зарядов в вакууме, r расстояние до выбранного элемента объёма или поверхности, интегрирование производится по всему объёму. Напряжённость электрического поля связана с потенциалом выражением

= - gradШ₀ (35)

Эффекты, связанные с поляризацией введённого в электрическое поле диэлектрика ведет к изменению электрического поля. Обозначим изменение потенциала электрического поля, связанное с поляризацией внесенного в это поле диэлектрика Ш*. Тогда уравнения (24) и (34а) можно переписать как

(36),

(36а),

где Ш = Ш₀ + Ш*, с_св и у_св величины, характеризующие пространственное распределение связанных зарядов, возникающих в процессе поляризации диэлектрика. Известно, что ДШ = divgradШ.

Тогда с учётом (35) формула (36) примет вид

(37).

Заменив с_св из формулы (10) преобразуем (37) к виду

(38),

(39)

C учётом (20) и (21) можно получить

(40)

или в окончательном виде

(41)

Уравнение Пуассона, записанное в виде (41) описывает распределение потенциала электрического поля в присутствии диэлектрика.

Таким образом, в линейном приближении, диэлектрик в электрическом поле можно охарактеризовать следующими величинами: Поляризованностью или вектором поляризации ; плотностью связанных зарядов с_св и у_св; напряжённостью макроскопического поля ; вектором электрической индукции ; потенциалом Ш. Система уравнений (19), (21), (33), (41) позволяет полностью определить параметры электрического поля, создаваемого системой зарядов в присутствии диэлектрика. Отметим, что эти уравнения справедливы только в изотропных диэлектриках. В анизотропных диэлектриках е и ч зависят от выбранного направления, и соотношения между ; и уравнениями

(42),

(43),

где ч_ij и е_ij тензоры второго ранга, P_i, D_i, E_мi - компоненты векторов поляризации, электрического смещения и макроскопического поля по заданным направлениям.

3. Локальное поле (Поле Лоренца)

При определении поляризованности диэлектрика при помощи формул (5), (6) необходимо знать значение действующего на частицу локального электрического поля Е_л. При этом надо иметь в виду, что величина локального поля отличается от величины макроскопического поля. Определим величину напряжённости локального поля для идеального кристаллического диэлектрика. Поле, действующее на частицу внутри диэлектрика можно представить в виде суммы

(44)

где Е₀ - напряжённость внешнего поля, величина Е_д, - напряжённость поля, действующего на рассматриваемую частицу со стороны дипольных моментов других частиц диэлектрика,

(45),

где - радиус вектор от рассматриваемой частицы до i- го диполя.

Для определения величины воспользуемся следующим приёмом: Вырежем в рассматриваемом диэлектрике сферу радиусом R, центром которой является рассматриваемая частица. Радиус этой сферы выберем достаточно большим, чтобы за пределами этой сферы диэлектрик можно было считать однородным.



Рис. 7. К расчету локального поля, действующего на заряженную частицу в диэлектрике

В этом случае его свойства можно характеризовать диэлектрической проницаемостью е, а поле, действующее на молекулы внутри сферы можно выразить через величину поляризации . В тоже время в сфере должно содержаться ограниченное число частиц. Теперь поле, действующее на частицу, находящуюся в центре сферы можно записать как

(46)

где - это напряжённость поля, обусловленная связанными зарядами на внешних поверхностях диэлектрика, - это напряжённость поля, создаваемого зарядами в диэлектрике, расположенными за пределами выбранной сферы, - напряженность поля, действующего на частицу со стороны диполей, расположенных внутри сферы. Идея введения такой воображаемой сферы состоит в том, что после её введения только поле , создаваемое диполями внутри сферы, определяется с микроскопических позиций при помощи формулы (45), а вся остальная часть поля определяется макроскопически, с помощью интегралов по эффективным поверхностным зарядам.

Легко заметить, что поле - это деполяризующее поле, напряженность которого уже определялась в предыдущем параграфе. При этом, согласно формуле (12) сумма напряжённости внешнего поля и поля представляет собой среднее макроскопическое поле . Определим теперь величину напряжённости поля , создаваемого всеми заряженными частицами в диэлектрике, расположенными за пределами выбранной сферы, за исключением связанных зарядов, локализованных у внешней поверхности диэлектрика, действие которых уже учтено при определении деполяризующего поля. Это поле можно представить как поле связанных зарядов, локализованных на внутренней поверхности сферы. Рассмотрим элемент сферы dS, несущий заряд dQ = у_свdS (рис. 7). Поле, создаваемое этим элементом сферы определяется как

(47)

где у_св плотность связанных зарядов на поверхности сферы. Тогда величина поля будет определяться интегрированием полей, создаваемых всеми элементами внутренней поверхности сферы. В силу сферической симметрии системы интегрирование будем проводить в сферической системе координат. Элемент площади в сферической системе координат определяется как

dS = R²sinбdбdц (48),

где ц - полярный угол, характеризующий направление вектора поляризации, изменяющийся в пределах от 0 до 2р, б - угол, между радиусом, проведённым к элементу поверхности dS и направлением действия внешнего электрического поля. Пусть поле Е₀ направлено вдоль оси z. В этом случае можно заметить, что из соображений сферической симметрии проекции dE₂ на оси x и y равны нулю, существует только проекция dE₂ на ось z.

dE_2z = dE₂cosб (49)

Подставляя (47) и (48) в выражение (49) и с учётом того, что величина у_св равна нормальной составляющей вектора поляризации - у_св = Рcosб получим

(50)

Проинтегрировав выражение (50) по всей поверхности сферы определим поле Е₂.

(51)

Проинтегрировав и подставляя пределы интегрирования получим

(52)

Поле называют полем Лоренца. Заметим, что вид формулы (52) зависит от системы, в которой проводились вычисления, в системе СГСЭ получим



(53)

Можно показать, что для диэлектриков, кристаллическая решетка которых обладает высокой степенью симметрии, например для диэлектриков с кубической гранецентрированной и кубической объёмоцентрированной кристаллической решеткой, а также для аморфных диэлектриков величина напряжённости поля Е₃ равна нулю. С учётом вышесказанного локальное поле, действующее на заряженную частицу в диэлектрике, будет определяться выражением

(54)

Подставляя в (54) значение Р из формулы (17) получим

(55)

Данная формула справедлива, в отличии от формулы (52), справедлива в любой системе отсчёта. Из формулы (55) следует, что поскольку , локальное поле всегда будет больше или равно среднего макроскопического поля, причем это отличие будет особенно существенно для диэлектриков с высокой диэлектрической проницаемостью. В заключении отметим, что приведённый выше расчет локального поля справедлив для диэлектриков, обладающих высокой степенью симметрии кристаллической решётки, не содержащих структурных неоднородностей.

поляризация диэлектрический ионный переходный



4. Поляризация диэлектриков с преобладающим упруго электронным механизмом поляризации. Уравнение Клаузиуса - Мосотти

Как уже упоминалось выше, упруго-электронная поляризация диэлектриков обусловлена смещением электронных оболочек атомов под действием электрического поля. Опишем процесс смещения электронных оболочек, воспользовавшись квазиклассической моделью атомов. Согласно такой модели электрон в поле атомного ядра можно рассматривать как гармонический асоцилятор, совершающий колебания с собственной частотой, определяемой выражением

(56),

где в - коэффициент упругой связи электрона в атоме, m - масса электрона. Среднее смещение электрона , вызванное действием электрического поля Е_л можно определить из условия

(57)

Определим из выражения (56) и подставим его в (57)

(58)

Для упрощения все расчеты в данном параграфе будем проводить в системе СГСЭ. В этой системе дипольный момент атома запишется как

(59),

где б_э - поляризуемость диэлектрика, определяемая упруго электронным механизмом поляризации. Тогда поляризуемость атома будет определяться выражением

(60)

Определив Е_л из выражения (58) и подставив его в (60) получим

(61)

Как известно, в квазиклассическом приближении щ₀ определяется формулой

(62)

где z - заряд ядра, ћ - постоянная Планка, n - главное квантовое число. Подставив это выражение в (61) получим

(63)

Хотя приведённый выше анализ применяется, в основном, для определения поляризуемости отдельных атомов и молекул, он позволяет получить качественное представление и о упруго-электронной поляризации твёрдых тел.

Приведём данные о поляризуемости атома водорода, находящегося в основном состоянии (n=1). Согласно приведённой модели её поляризуемость можно определить формулой

(64),

где а₀ - Боровский радиус. В системе СИ Боровский радиус определяется выражением

(65.

Более строгий расчет, проведенный при помощи методов квантовой механики, дает результат

(66)

Таким образом, наблюдается качественное совпадение результатов, полученные при помощи квазиклассического приближения и результатов, полученных методами квантовой механики. Величина поляризуемости имеет размерность длины. Согласно теоретическим оценкам поляризуемость атома водорода составляет 0,633? . Это хорошо согласуется с экспериментальными данными, что свидетельствует о справедливости приведенного выше анализа.

Экспериментальную оценку упруго электронной поляризуемости диэлектриков удобно проводить, воспользовавшись следующим методом: подставив выражение (55) определяющее величину локального поля в формулу (5) получим

(67)

С другой стороны величина вектора поляризации определяется выражением (17). Приравняв (17) и (67) получим

(68),

где Р_уд - величина, называемая удельной поляризацией. Формулу (68) называют уравнением Клаузиуса - Мосотти.

Умножим правую и левую части (68) на молярный объём г = М/с , где М - молекулярный вес вещества, с - его плотность

(69)

Учитывая, что с/n = m , где m - масса молекулы, M/m = N_A,

где N_A - число Авагадро получим

(70).

Из формул (68) - (70) следует, что диэлектрическая проницаемость вещества определяется поляризуемостью его атомов.

Как известно, диэлектрическая проницаемость вещества связана с коэффициентом преломления соотношением , где м - относительная магнитная проницаемость вещества. Для немагнитных веществ (к которым относятся диэлектрики) м ? 1, тогда е = н². С учётом вышесказанного выражение (68) можно записать в виде

(71).

Выражение (71) называется формулой Лоренц-Лоренца. Из (70) и (71) следует, что величину упруго электронной поляризуемости вещества можно определить, измеряя его макроскопические характеристики, такие как плотность, коэффициент преломления или диэлектрическую постоянную. В тоже время нужно иметь ввиду, что когда в веществе могут одновременно наблюдаться несколько механизмов поляризуемости условие е =н² может не выполняться. В этом случае только формула (71) может быть использована для определении величины б_э .

5. Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости

Для описания температурной зависимости диэлектрической проницаемости вводят понятие температурного коэффициента диэлектрической проницаемости - ТКе - определяемого как

(72).

Величину можно определить дифференцируя уравнение Клаузиса-Моссоти. Поскольку величина квазиупругих сил, определяющих движение электрона в атоме, практически не зависит от температуры, величина электронной поляризуемости не будет зависеть от температуры. Тогда

(73)

В результате дифференцирования получим выражение

(74)

Умножив и разделив правую часть выражения (74) на n получим

(75)

Заменим первую дробь правой части выражения (75) воспользовавшись уравнением Клаузиса-Мосотти.

(76)

Сократив подобные члены выражение (76) можно привести к виду

(77).

Поделив обе части выражения (77) на е и введя коэффициент объёмного расширения (знак « - » в данном случае является следствием того, что концентрация частиц в единице объёма уменьшается с повышением температуры) получим окончательное выражение для ТКе

(78)

Знак « - » в правой части полученного выражения соответствует уменьшению диэлектрической проницаемости с ростом температуры (рис. 8).

Однако, такой вид ТКе характерен только для диэлектриков с преобладающим упруго-электронным механизмом поляризации. Характерные значения ТКе для таких диэлектриков имеют величину порядка 10^-3 град^-1. В ионных кристаллах и полярных диэлектриках зависимость диэлектрической проницаемости от температуры определяется другими механизмами и вид зависимости ТКе носит другой характер.

Рис. 8. Температурная зависимость диэлектрической проницаемости 1 - в случае упруго-электронной поляризуемости; 2 - в случае упруго-ионного механизма поляризации

6. Поляризация ионных кристаллов с небольшой диэлектрической проницаемостью. Формула Борна

В большинстве сложных диэлектриков химическая связь между входящими в их состав атомами носит ионный характер. В таких диэлектриках помимо упруго-электронного присутствует так же и упруго-ионный механизм поляризации. Оценим вклад, вносимый упруго-ионным механизмом поляризации в диэлектрическую проницаемость ионных кристаллов. Будем рассматривать бинарные ионные кристаллы, то есть кристаллы, состоящие из ионов двух типов, в которых на один положительный приходится один отрицательный ион. (Типичным представителем таких диэлектриков являются кристаллы поваренной соли - NaCL). Полагая, что на ионы действует электрическое поле, равное среднему макроскопическому полю, для поляризации бинарного кристалла получим следующее выражение



(79),

где б₁ и б₂ - упруго-электронные поляризуемости ионов первого и второго типа соответственно, б_i - ионная поляризуемость пары разноимённых ионов, n - число пар ионов в единице объёма.

Известно, что ионы, находясь в узлах кристаллической решётки, совершают малые колебания относительно положения равновесия. Квант колебаний кристаллической решётки называется фононом. Если, совершая колебания, ионы движутся в одном направлении, такие колебания называются акустическими, если колебания положительных и отрицательных ионов происходят в противофазе, то такие колебания называются оптическими. Каждый кристалл характеризуется определённым интервалом частот собственных колебаний (так называемый фононный спектр). При этом пару разноимённых заряженных ионов можно рассматривать как гармонический осциллятор, колеблющийся вокруг положения равновесия, совпадающего с центром масс пары ионов. Частота собственных колебаний такого осциллятора - щ определяется формулой

(80),

где k - коэффициент упругой связи ионов в кристаллической решётке,

М - приведённая масса центра масс, определяемая как

1/М = 1/m₁ +1/m₂,

где m₁ - масса положительного иона, m₂ - масса отрицательного иона.

При смещении рассматриваемого осциллятора относительно положения равновесия на расстояние Дх (в данном случае Дх является величиной относительного удаления или приближения двух разноимённых ионов) возникает возвращающая сила F = kx, стремящаяся вернуть осциллятор в положение равновесия. В кристалле диэлектрика такой силой является сила кулоновского притяжения . Тогда величину Дх можно определить как

(81)

Дипольный момент м, возникающий при смещении пары ионов из положения равновесия относительно друг-друга можно записать как

(82)

С другой стороны, следуя формуле (2) и исходя из сделанного нами в начале параграфа предположения, что поле, действующее на заряженные частицы в дипольном кристалле равно среднему макроскопическому полю дипольный момент пары ионов будет выражаться формулой

(83)

Сопоставив выражения (82) и (83) получим

(84)

Определив k из (80) и подставив в (84) получим

(85)

Умножим числитель и знаменатель правой части (85) на N_a²,

где N_a - число Авагадро получим

(86),

где А₁ = m₁N_a, A₂ = m₂N_a - атомные веса первого и второго ионов соответственно.

Тогда, соответствующий электрический момент элемента объёма диэлектрика, обусловленный упруго ионным механизмом поляризации - - будет определяться формулой

(87)

С учётом электронной поляризуемости составляющих диэлектрик атомов для полного дипольного момента единицы объёма диэлектрика можно записать

(88),

где б_э = б₁ + б₂. Сравнивая уравнение (88) с уравнением (17), также определяющим величину вектора поляризации и, приравняв их правые части, получим



(89)

Полученное выражение называется формулой Борна. Величина диэлектрической проницаемости ионных кристаллов в данной формуле определяется как электронной, так и ионной механизмом поляризуемости. Введем понятие об оптической диэлектрической проницаемости - е_?, определив её как диэлектрическую проницаемость, которую имеет диэлектрик в области электрических полей изменяющихся с частотой, близкой к частоте видимого света. Значения е_? определяются в большинстве диэлектриков только упруго-электронными механизмами поляризуемости а её величина близка к единице. Тогда е_? +2 ? 3 и уравнение Клаузиса - Мосотти можно записать в виде

(90).

Отсюда получим, что е_? -1 =nб_э или е_? = nб_э +1. С учётом вышесказанного формулу Борна можно записать в виде

(91)

Из курса электричества известно, что показатель преломления световой волны . В немагнитных веществах, которыми являются диэлектрики м ? 1 и, следовательно, . Тогда

(91а)

Число ионов в единице объёма кристалла можно выразить через его плотность с

(92).

Выразив из (92) n и подставив его в (91а) получим

(93).

Данная формула позволяет рассчитывать диэлектрическую проницаемость ионных кристаллов. Действительно, величины с , н , N_a , A₁ и A₂ обычно хорошо известны для большинства диэлектриков, величину коэффициента преломления легко определить из оптических измерений, величина щ также определяется экспериментально из следующих соображений. Когда на кристалл диэлектрика падает электромагнитная волна, то наиболее эффективное её отражение будет происходить в том случае, если частота падающей волны близка к частоте оптических колебаний пар ионов (существует вполне определённая связь между частотой оптических фононов и частотой, на которой наблюдается максимум отражения). Наблюдая несколько последовательных актов отражения падающих лучей от поверхностей диэлектрика можно легко определить частоту, на которой наблюдается максимум отражения. Эта частота и называется частотой остаточных лучей. Таким образом, можно экспериментально определить все необходимые для вычисления е параметры.

Отметим, однако, что значения диэлектрической проницаемости, определённые по формуле Борна для ряда диэлектриков могут существенно отличаться от полученных экспериментально. Так если для диэлектриков с малыми значениями е теоретически рассчитанные и экспериментально полученные значения близки между собой, то для диэлектриков с е > 1 наблюдается существенные расхождения между теоретическими и экспериментальными значениями диэлектрической постоянной. Это связанно с тем, что при выводе формулы Борна полагалось, что поле, действующее на заряженную частицу равно среднему макроскопическому полю. Однако, ранее было показано, что локальное, действующее на заряженные частицы в диэлектрике, поле превосходит среднее макроскопическое. Кроме того, в диэлектриках с кристаллической решёткой, не обладающей высоким порядком симметрии, например в сегнетоэлектриках, локальное поле будет связано со средним макроскопическим полем выражением

(94),

где b ? 1 - коэффициент, определяемый строением кристаллической решётки диэлектрика. Таким образом, в таких диэлектриках, локальное поле может еще больше превосходить среднее макроскопическое поле, что приводит к ещё более значительным отличиям между теоретическими и экспериментальными значениями диэлектрической проницаемости.

Формула Борна позволяет установить качественный вид ТКе в ионных кристаллах. Как уже указывалось ранее, повышение температуры ведет к уменьшению значения е_?. В тоже время из-за теплового расширения диэлектрика увеличивается расстояние между ионами и уменьшается коэффициент упругой связи и, следовательно, к уменьшению значений щ. При этом, согласно формуле (91) будет наблюдаться уменьшение значения диэлектрической проницаемости. В ионных кристаллах механизм изменения е , связанный с ионной поляризуемостью является преобладающим, поэтому ТКе имеет знак противоположный знаку ТКе в веществах с гомеополярными связями, в которых знак ТКе определяется преимущественно упруго-электронным механизмом поляризации. Таким образом, определение вида температурной зависимости диэлектрической проницаемости может дать информацию о преобладающем механизме поляризации в исследуемом диэлектрике.

...