Гідропружна нестійкість в еластичній трубці з рідиною при поширенні імпульсної хвилі тиску

Лінеаризований по малих збуреннях тиск (2) набуде вигляду:

В даній моделі вважається, що нескінченна циліндрична оболонка з рідиною знаходиться в попередньо напруженому стані під впливом стаціонарного однорідного (трансмурального) тиску з боку рідини. При проходженні в такій оболонці імпульсної хвилі тиску виникнуть збурення вектора деформації , отже сумарне поле зміщень стане рівним , де - статична компонента зміщення. Аналогічно до та , компоненти вектора піддаються розвиненню в ряд Фур'є з тими ж значеннями та :

, , (13)

де та - довільні константи.

Компоненти (13) задовольняють рівнянням типу Кармана (4), де радіальний тиск визначено формулою (12), а завдяки відсутності в'язкості.

Якщо збурення швидкостей рідини та деформацій оболонки вважати малими, то гранична умова (9) в циліндричних координатах набуде вигляду:

на незбуреній поверхні . (14)

Розвинення (11) та (13) дозволяють будь-яку гармоніку (окрім статичної) потенціала або вектора представити у вигляді плоскої хвилі:

. (15)

Якщо в рівняннях (4) знехтувати нелінійними доданками, відкидаючи геометричну нелінійність, то підстановка (15) в рівняння (4) та граничну умову (14) приведе до системи трьох лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, що має нетривіальний розв'язок за умови рівності детермінанта нулю. Це дає можливість визначити закон дисперсії для певної динамічної системи.

Аналізу відомих частинних випадків коливальних систем, що випливають з рівнянь (4), присвячено підрозділ 2.3. Зокрема, розглянуто дисперсійні співвідношення для нескінченної пружної пластини без рідини та з рідиною, а також для тонкої порожньої циліндричної оболонки, що підтвердило адекватність обраних рівнянь (4).

В підрозділі 2.4 проводиться пошук закону дисперсії системи “рідина-оболонка” в рамках моделі, описаної в підрозділі 2.1, з урахуванням геометричної нелінійності. Для цього необхідно підставити , та з (12) у систему рівнянь (4) і лінеаризувати квадратичні члени по малих збуреннях , та , тобто знехтувати доданками типу , та як другого порядку малості, залишаючи вклад від нелінійності у вигляді лише перехресних доданків типу . В результаті вийдуть рівняння руху оболонки, що в безрозмірних величинах мають вигляд:

(16)

де та - радіальне та поздовжне збурення оболонки,

, .

При обезрозмірюванні характерним розміром виступає радіус трубки , а характерною швидкістю - швидкість поширення довгих хвиль в тонкій оболонці товщиною , заповненій рідиною з густиною (Моенса-Кортевега)

.

Рівність визначника нулю при підстановці (15) в рівняння (16) та граничну умову (14) приведе до біквадратного рівняння відносно циклічної частоти , тобто закон дисперсії матиме дві гілки, що відповідають поздовжнім та вигинним коливанням оболонки з рідиною. Залежність дійсної частини за різних значень трансмурального тиску при відсутності течії наведено на рис. 2. Видно, що високочастотна гілка (близька до вісі ординат), відповідна поздовжнім коливанням, залишається практично незмінною, проте гілка, відповідна вигинним коливанням, при перевищенні трансмуральним тиском певного порогу містить такі області , в яких (рис. 3).

Виконання умови приводить до того, що починається необмежене зростання величин (15), представлених у вигляді плоскої хвилі, а саме , та , оскільки експонента в них набуває вигляду , тобто з часом прямує до нескінченності. Це означає, що виникає нестійкість циліндричної форми оболонки з рідиною (необмежене зростання вектора деформації , що ) при проходженні імпульсної хвилі тиску за умови .

Характерною особливістю наведених на рис. 3 графіків є те, що для будь-якого значення трансмурального тиску, що перевищує поріг , серед всіх значень k з області нестійкості знайдеться таке , при якому значення буде максимальним. Це означає, що оскільки зростання збурень (15) має експоненційний характер вигляду , то вони наростатимуть найшвидше саме при , оскільки в цьому випадку інкремент такого наростання буде максимальним. Отже, довжина хвилі за певного значення стане домінуючою серед всіх довжин хвиль, при яких з'являється нестійкість форми циліндричної трубки з рідиною, і саме ця довжина хвилі стане характерною довжиною такої нестійкості.

Рис. 2 Поява нестійкості у нижній частотній гілці при наростанні трансмурального тиску Ptr (G=10, =0.5)

Рис. 3 Розширення області нестійкості з ростом трансмурального тиску Ptr після перевищення порогу Pmin (G=10, =0.5)

В підрозділі 2.4 також показано, що при достатньо малих течіях (в розмірних величинах), де - швидкість Моенса-Кортевега, а саме такі течії притаманні живим організмам [6*], область нестійкості залишається практично незмінною, тобто течія майже не впливає на такі характеристики, як (рис. 2), (при якому максимальне) та поріг . Отже, швидкістю течії рідини в системі “рідина-циліндрична трубка” при проходженні імпульсної хвилі тиску можна знехтувати, приймаючи . Оскільки частоти поздовжніх коливань набагато перевищують частоти вигинних (рис. 2), то можна знехтувати вкладом поздовжньої інерції, що дає можливість знайти закон дисперсії вигинних коливань в явному вигляді (наведено в розмірних величинах):

, (17)

що в довгохвильовій асимптоти ці переходить у відомий закон

[8*].

Застосувавши умову нестійкості , з (17) аналітичними методами можна знайти її основні характеристики:

, , . (18)

Підстановка реальних гідропружних параметрів аорти собаки [6*], проведена в підрозділі 2.5, дає значення порогового тиску мм. рт. ст., що входить в діапазон реальних трансмуральних тисків, які спостерігаються в артеріях собак. Це підкреслює важливість дослідження явища нестійкості форми судини, оскільки таке явище може реально виникати в серцево-судинній системі живого організму і приводити до різних негативних наслідків.

На рис. 2 можна бачити, що одній частоті, позначеній пунктирною лінією, за певного значення трансмурального тиску відповідає декілька хвиль, в тому числі і хвиля з від'ємною груповою швидкістю, на що вказано в підрозділі 2.6 .

Проте моделювання за допомогою теорії оболонок стає менш точним для крупних артерій, в яких відношення товщини стінки до радіуса складає вище 0.1. Одним із проявів такої втрати точності можна назвати систематичну розбіжність (до 10%) теоретично вирахуваної на основі теорії оболонок Кірхгофа-Лява швидкості поширення довгих пульсових хвиль тиску (Моенса-Кортевега) в артеріях порівняно зі швидкістю, виміряною експериментально [6*]. Така розбіжність прямо пов'язана з впливом товщини судинної стінки.

Отже, при проходженні пульсової хвилі в крупних артеріях модель оболонки Кірхгофа-Лява має бути уточнена із врахуванням скінченної товщини циліндричної трубки. Для досягнення цієї мети в розділі 3 обрано більш загальну модель гіперпружного ізотропного тіла з рідиною, динаміка якої описується рівняннями (7) та граничними умовами (9), (10). Всі інші припущення даної моделі збігаються із сформульованими в підрозділі 2.1 для моделі оболонки з рідиною.

В підрозділі 3.2 виписано загальні нелінійні рівняння руху системи “рідина - гіперпружне ізотропне тіло”. В циліндричній системі координат з урахуванням осьової симетрії вони мають вигляд:

(19)

де - несиметричний тензор напружень (8), що виражається через компоненти вектора деформації пружного тіла . Динамічних граничних умов (10) для циліндричного тіла з нормаллю залишиться чотири:

- на зовнішній поверхні ,

, - на внутрішній поверхні , (20)

де - тиск з боку рідини, заданий формулою (12).

Першим етапом аналізу рівнянь руху (19) та граничних умов (20) логічно обрати найпростіший частинний випадок - повністю лінійну (і геометрично, і фізично) постановку задачі, чому присвячено підрозділ 3.3. Густина внутрішньої енергії в цьому випадку задається формулою (6).

Вважається, що товщина стінки пружної трубки хоча і може бути довільною (на відміну від теорії оболонок), але все ж є набагато меншою за внутрішній радіус, тоді в безрозмірних величинах . Це означає, що введена замість радіальної координати змінна величина , що лежить в інтервалі , є малою (). Оскільки вектор зміщення трубки залежить від , можна застосувати відомий метод асимптотичних розкладів в степеневі ряди по малому параметру . Тоді компоненти вектора , заданого у вигляді плоскої хвилі (15)

,

запишуться у вигляді степеневих розкладів:

, , (21)

де коефіцієнти будуть константами.

Підставляючи розклади (21) в динамічну систему рівнянь (19), можна отримати рекурентні формули для нарахування коефіцієнтів та , що врешті виражатимуться через чотири перших: , , та . П'ята константа міститься в гармоніці потенціалу швидкості (15). Тоді п'ять граничних умов (14) та (20) зведуться до системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь відносно цих п'яти констант, умова нетривіальності розв'язку якої дозволить знайти закон дисперсії для хвиль, що поширюються в трубці з рідиною. Якщо розкласти безрозмірну частоту в степеневий ряд по малій безрозмірній товщині трубки :

, (22)

то закон дисперсії можна знайти в аналітичному вигляді з довільною точністю.

У випадку та утримуванні доданків до включно закон дисперсії має відомий вигляд , де - швидкість Моенса-Кортевега.

При та утримуванні доданків до включно (в розмірних величинах):

, (23)

де .

З (23) випливає, що швидкість Моенса-Кортевега дає з певною похибкою значення, завищене у порівнянні зі швидкістю поширення вигинних коливань

,

отриманою в роботі з поправкою на скінченну товщину трубки. Це означає, що отримана швидкість точніше описує експериментальні дані, ніж . Для оцінки похибки приймемо коефіцієнт Пуассона , а густини . Тоді для малих з виразу (23) маємо

.

Отже, відносна похибка обчислення швидкості Моенса-Кортевега прямо пропорційна товщині стінки і становить , тобто для реальних артерій близько 5-10 %.

Втім, поширення імпульсної хвилі тиску в системі “рідина-гіперпружне ізотропне тіло”, проаналізоване в підрозділі 3.3 в рамках фізично та геометрично лінійної постановки, не дає можливості розглянути нестійкість в даній системі, оскільки виникнення цього явища є наслідком врахування нелінійних членів в рівняннях руху. Таким чином, підрозділ 3.4 присвячено другому етапу розгляду задачі про поширення імпульсної хвилі тиску в системі “рідина-гіперпружне ізотропне тіло” в попередньо напруженому стані, де залишається фізична лінійність густини внутрішньої енергії (6), але враховано геометричну нелінійність тензора деформації (3). Така постановка є логічним продовженням розглянутої в розділі 2 задачі про виникнення нестійкості форми в системі “рідина-оболонка”, де також враховувалась геометрична нелінійність, але теорія оболонок Кірхгофа-Лява накладала обмеження на товщину пружної трубки.

В цьому випадку рівняння (19), що є квадратично нелінійними відносно вектора деформації попередньо напруженого тіла , можна лінеаризувати по малих збуреннях , , аналогічно до зробленого в підрозділі 2.4. При підстановці в отримані лінеаризовані рівняння асимптотичних розкладів (21) для збурень , можна знайти рекурентні формули для нарахування коефіцієнтів розкладу, аналогічно до виконаного в підрозділі 3.3. В результаті умова нетривіальності розв'язку п'яти лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, породжених граничними умовами (14), (20), дозволяє чисельно отримати закони дисперсії для різних значень трансмурального тиску .

Основними безрозмірними параметрами цього чисельного алгоритму є коефіцієнт Пуассона , безрозмірна товщина трубки та відношення густин рідини до матеріалу трубки . Подальший аналіз проведено на основі реальних гідропружних параметрів висхідної аорти собаки: , , , кг/м3, внутрішній радіус см, модуль Юнга Н/м2 .

Виявлено, що стійкий режим проходження імпульсної хвилі тиску спостерігається до порогового значення трансмурального тиску . При перевищенні цього порогу, як і в моделі “рідина-оболонка”, спостерігається поява таких областей хвильових чисел , для яких , тобто виникає нестійкість.

Залежність при перевищенні порогового значення наведено на рис. 5. Отже, в інтервалі трансмуральних тисків від 0.0053 до 0.0075 пульсові хвилі перестають бути довгими, стаючи все коротшими зі зростанням та поширюючись на фоні відхиленої від циліндричної (нестійкої) форми судини. Цей інтервал відповідає області “a” на графіку залежності швидкості поширення довгих хвиль тиску від трансмурального тиску (рис. 6), що показує відсутність довгих хвиль в даній області. Графіки залежності в межах області “a” подібні до зображених на рис. 3, що свідчить про наявність характерної довжини нестійкості.

При перевищенні другого порогу трансмурального тиску нестійкий режим зберігається, але знову з'являються довгі хвилі (рис. 5), що поширюються із суттєво більшою, ніж при стійкому режимі, швидкістю. Таку область “b” трансмуральних тисків зображено на рис. 6. Для цієї області також характерні коротші хвилі з від'ємною груповою швидкістю, оскільки при великих криві при спадають до нуля, як на рис. 2 при .

Варто відмітити, що при граничному переході до теорії оболонок, описаної в розділі 2, перша область нестійкості зникає, тобто менш загальна теорія оболонок здатна описати лише одну область, якій притаманна від'ємна групова швидкість.

Рис. 4 Закон дисперсії для при перевищенні порогу трансмурального тиску. Одній частоті, позначеній пунктирною лінією, відповідають різні при різних

Рис. 5 Залежність швидкості довгої пульсової хвилі від трансмурального тиску в розмірних величинах за значень гідропружних параметрів, притаманних висхідній аорті собаки

Наведені на горизонтальній осі (рис. 5) чисельні оцінки розмірних порогових значень нестійкості для областей “a” і “b” дають підстави стверджувати, що явище нестійкості форми судини не виникає при фізіологічно нормальних та понижених тисках , але загрожує живому організму при різного роду гіпертензіях.