Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

01.04.03 - радіофізика

УДК 621.371

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ЯВИЩА В РЕЗОНАНСНИХ СКЛАДНИХ ПРОСТОРОВИХ СИСТЕМАХ МАЛИХ МАГНІТОДІЕЛЕКТРИЧНИХ СФЕР

КОЗАРЬ АНАТОЛІЙ

ІВАНОВИЧ

Харків - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

Горобець Микола Миколайович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри прикладної електродинаміки;

доктор технічних наук, професор, заслужений діяч науки і техніки України Сухаревський Олег Ілліч,

Харківський університет Повітряних сил ім. Івана Кожедуба, провідний науковий співробітник наукового центру Повітряних сил;

доктор фізико-математичних наук, доцент Грицунов Олександр Валентинович, Харківська академія міського господарства, професор кафедри прикладної математики та інформаційних технологій

Захист відбудеться «31»березня 2010 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий «25» лютого 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої радиВ.М. Безрук

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розробці аналітичної теорії електромагнітних явищ у резонансних складних просторових системах малих резонансних однорідних ізотропних магнітодіелектричних сфер з топологічною структурою, яка задається різними структурами цілих чисел, тобто в системах з просторово-упорядкованим розміщенням сфер, і які знаходяться у вільному просторі, біля металевих екранів, у прямокутних металевих хвилеводах та об'ємних резонаторах.

Сфера мала та резонансна, за умови, коли ; упорядкована просторова система резонансних сфер резонансна, якщо де - радіус сфер, - довжини розсіюваної електромагнітної хвилі поза та всередині сфер, - характерна відстань між центрами сфер системи.

Актуальність теми. В останні роки зростає інтерес до створення нових видів штучних матеріалів - метаматеріалів. Метаматеріали можуть мати унікальні фізичні властивості, які відсутні у природних матеріалів, та новизну у використанні. Їх застосовують як штучний діелектрик, структурні елементи антен, лінзи, поглиначі, відбиваючі поверхні, компоненти оптичних та мікрохвильових пристроїв, різні складні матеріали. Особливий інтерес викликають кристалічні метаматеріали з резонансними властивостями - резонансні середовища. Їх можна створювати на основі просторових систем резонансних розсіювачів, якими можуть бути просторові системи магнітодіелектричних розсіювачів. У таких системах можливе виникнення структурних резонансів електромагнітної взаємодії між розсіювачами, а також внутрішніх резонансів розсіювачів. У цих системах електромагнітне поле виділеного розсіювача залежить від впливу полів інших розсіювачів системи, а поле виділеного розсіювача само впливає на поля решти розсіювачів, тому спільне поле системи розсіювачів треба розглядати як взаємоузгоджене. Ці просторові системи розсіювачів відносяться до анізотропних середовищ і їх можливо створити, наприклад, за допомогою композиції ізотропного магнітодіелектрика і системи резонансних магнітодіелектричних розсіювачів. Із цієї многостатності можливих варіантів таких систем найбільш прості та технологічні у виготовленні є просторові системи малих магнітодіелектричних сфер. У цих системах можна створити резонансні умови, коли довжина розсіюваної хвилі значно більша геометричних розмірів сфер і може бути порівняна з характерними відстанями між сферами, а всередині сфер порівняна з геометричними розмірами цих сфер. Діапазон фізичних характеристик та можливостей застосування таких систем дуже широкий. Проте електромагнітні явища, які виникають в таких системах, складні та недостатньо вивчені, що не дає можливості використовувати ці системи в радіоелектроніці. Розрахункові методи, які зараз застосовують, не дозволяють вирішити цю проблему, а це потребує створення нової адекватної аналітичної теорії. У дисертаційній роботі запропоновано вирішення цієї проблеми, яка має як фундаментальне, так і прикладне значення для сучасної радіофізики. Відомо, що електродинамічно просторово-упорядковану систему магнітодіелектричних розсіювачів можна розглядати як континуальну або дискретну. У першому випадку середовище характеризується ефективними діелектричною і магнітною проникностями, а в другому ці поняття уже не в повній мірі відповідають електродинамічному змісту. У дисертаційній роботі вивчаються резонансні системи розсіювачів, які електродинамічно носять принципово дискретний характер, а існуючі теорії, в основному, розглядають системи розсіювачів як континуальні. Наприклад, така теорія з обчислення ефективних проникностей кубічної решітки магнітодіелектричних сфер запропонована Л. Левіним, але вона носить частковий характер. Найбільш фундаментальною та послідовною є теорія штучних анізотропних діелектриків, яка створена М.А. Хижняком, де використана модель неперервного середовища. У цій теорії досліджуються ефективні проникності штучного діелектрика, який утворено правильною решіткою малих розсіюючих центрів довільної геометричної форми. Основні ідеї цієї теорії і метод інтегральних рівнянь макроскопічної електродинаміки, у формулюванні М.А. Хижняка, можна покласти в основу при створенні теорії резонансних просторових систем малих магнітодіелектричних розсіювачів, які з точки зору макроскопічної електродинаміки розглядаються як дискретні. Ці положення використані в дисертаційній роботі при побудові нової аналітичної теорії, коли і може виконуватися умова , для вивчення електромагнітних явищ в резонансних складних просторових системах, які складаються з малих резонансних магнітодіелектричних сфер і знаходяться у вільному просторі, біля металевих екранів, у прямокутних металевих хвилеводах та об'ємних резонаторах. Принципова макроскопічна електродинамічна дискретність систем, що вивчаються в роботі, визначає характер законів, які задають зовнішню форму і внутрішній розподіл сфер у кінцевій просторовій системі. В якості таких законів в цій теорії використовують структури цілих чисел, які також мають дискретний характер. Створення нової теорії дасть можливість досліджувати і аналізувати електромагнітні явища в діелектричних, магнітних, магнітодіелектричних резонансних просторових системах резонансних розсіювачів і відкриває шлях до створення нових видів кристалічних метаматеріалів з незвичними електроди-намічними властивостями, застосування яких може допомогти розширити функціональні можливості різного роду радіоелектронних пристроїв.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Матеріали, що складають зміст дисертації, одержані в Харківському національному університеті радіоелектроніки (ХНУРЕ) на кафедрі фізики і пов'язана з виконанням договірної науково-дослідної роботи, науковим керівником якої був здобувач. Угода про цю роботу була укладена ХНУРЕ з інститутом Плазмової електроніки та нових методів прискорення Національного наукового центру „Харківський фізико-технічний інститут” (ННЦ ХФТІ) в межах виконання базової науково-дослідної роботи (номер держреєстрації 0197U013844, державний обліковий номер 0201U005659) „Інтегральний метод аналізу електродинамічних процесів у сильно навантажених хвилеводних структурах” згідно з проектом 2.4/799 Державного Фонду фундаментальних досліджень України.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є створення аналітичної теорії взаємодії електромагнітного поля з резонансними складними просторовими системами малих резонансних магнітодіелектричних сфер, що містяться у вільному просторі, біля металевих екранів, у металевих прямокутних хвилеводах та об'ємних резонаторах.

Основні задачі дослідження:

1. Розробка єдиного підходу до розв'язання задач про розсіяння електромагнітних хвиль резонансними складними просторовими системами, які побудовані з малих резонансних магнітодіелектричних сфер і знаходяться у вільному просторі, металевих прямокутних хвилеводах і об'ємних резонаторах та біля металевих екранів. Ці системи можуть мати щілини, отвори та розтини, канали, порожнини, резонансні дефекти.

2. Розробка способу побудови структурних функцій електромагнітної взаємодії для систем сфер у вільному просторі, металевих прямокутних хвилеводах та об'ємних резонаторах.

3. Застосування створеної теорії для аналізу електромагнітних явищ у одно-, дво- та тривимірних резонансних системах магнітодіелектричних сфер, які знаходяться у вільному просторі, металевих прямокутних хвилеводах та об'ємних резонаторах.

Об'єкт дослідження - електромагнітні явища в резонансних складних просторових системах резонансних магнітодіелектричних сфер.

Предмет дослідження - математичні моделі структури електромагнітного поля, яка виникає при взаємодії електромагнітного поля з резонансними складними просторовими системами малих однорідних ізотропних резонансних магнітодіелектричних сфер, які знаходяться у вільному просторі, біля металевих екранів, в металевих прямокутних хвилеводах і об'ємних резонаторах.

Методи досліджень - при розв'язанні поставлених задач було використано: апарат математичної фізики, зокрема, метод інтегральних рівнянь макроскопічної електродинаміки, макроскопічну теорію електромагнітного поля; теорію матриць; теорію антених решіток; методи чисельного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у тому, що в результаті теоретичних досліджень вирішено актуальну наукову проблему побудови нової теорії електромагнітних явищ у резонансних складних просторових системах малих резонансних магнітодіелектричних сфер, які знаходяться у вільному просторі, металевих хвилеводах і об'ємних резонаторах та біля металевих екранів, котра на відміну від існуючих теорій, які не можуть у повній мірі вивчати електромагнітні явища в резонансних системах, дозволяє ефективно досліджувати і аналізувати ці явища у таких системах з урахуванням їх макроскопічної електродинамічної дискретності. У цілому це забезпечено такими новими науковими результатами:

1. Побудовано нові математичні моделі резонансних складних одно-, дво- та тривимірних систем малих резонансних магнітодіелектричних сфер з дискретною просторовою структурою, яка задається такими структурами цілих чисел: натуральним рядом чисел, арифметичною та геометричною прогресіями, числами Ферма (Тартальї), пірамідальними числами, полігональними числами, трикутником чисел Паскаля, числовим рядом Фібоначчі, біномінальними коефіцієнтами. Двовимірні системи сфер можуть мати щілини і отвори, тривимірні - розтини, канали, порожнини, а також дефекти. На відміну від відомих, ці математичні моделі дозволяють дослідити розсіяне поле для довільних відстаней від системи сфер до точки спостереження, а також вплив щілин, отворів та розтинів, каналів, порожнин, резонансних дефектів просторових систем сфер на розсіяне поле усередині та поза системами сфер в зоні Френеля і Фраунгофера.

2. Побудовано нові математичні моделі резонансних систем малих резонансних магнітодіелектричних сфер, які знаходяться у металевих прямокутних хвилеводах та об'ємних резонаторах. На відміну від відомих ці моделі дозволяють дослідити резонансну взаємодію резонансної системи сфер з хвилеводом та резонатором, структуру розсіяних при цьому полів та резонансні умови для резонансів системи сфер.

3. Уперше розроблено спосіб побудови тензорних структурних функцій електромагнітної взаємодії електричного та магнітного типів, які описують електромагнітну взаємодію в резонансних системах малих резонансних магнітодіелектричних сфер у вільному просторі, металевих прямокутних хвилеводах та об'ємних резонаторах. Ці функції необхідні для дослідження умов, при яких виникають структурні резонанси просторових систем сфер.

4. Уперше виявлено, що резонансне розсіяння виникає, коли в системі сфер збуджені: внутрішні резонанси сфер електричного або магнітного типів; структурні резонанси системи сфер електричного і магнітного типів; внутрішні резонанси сфер електричного або магнітного типів, які суміщені, відповідно, з структурними резонансами електричного чи магнітного типів; вироджені внутрішні резонанси сфер; вироджені внутрішні резонанси сфер, які суміщені з структурними резонансами системи сфер; вироджений резонанс складної системи сфер, який виникає при суміщенні систем сфер з резонансами протилежних типів - магнітного і електричного. Зроблено висновок, що кінцеві резонансні системи сфер можуть поводитись як резонатори.

Досліджено ряд нових фізичних ефектів резонансного впливу на внутрішнє та розсіяне електромагнітне поле просторових систем діелектричних, магнітних, магнітодіелектричних сфер, які виникають при суміщенні внутрішніх та структурних резонансів системи сфер.

5. Показано можливість впливу на характер розсіяння поля усередині кінцевих резонансних просторових систем сфер та поза ними, змінюючи зовнішню форму і внутрішній розподіл сфер у цих системах, матеріальні параметри розсіювачів, поляризацію та довжину розсіюваної хвилі, використовуючи щілини, отвори, розтини, канали, порожнини різної геометрії та резонансні дефекти в системах сфер.

6. Запропоновано новий спосіб експериментальної оцінки значень структурних функцій електромагнітної взаємодії та ґратових знакозмінних сум Евальда з нескінченними границями підсумування для систем сфер у вільному просторі, хвилеводах та резонаторах, який може бути корисним для динамічної теорії кристалічних ґрат.

7. Зроблено висновок про можливість заміни деяких експериментальних вимірювань для вільного простору хвилеводними чи резонаторними вимірюваннями, що може зменшити витрати на проведення експерименту.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблена аналітична теорія електромагнітних явищ в резонансних системах магнітодіелектричних сфер становить нову розрахунково-аналітичну базу, яка дозволяє з єдиних позицій створити програмне забезпечення для проведення обчислювального дослідження особливостей взаємодії електромагнітного випромінювання з різноманітними резонансними структурами сфер, які знаходяться у вільному просторі, металевих хвилеводах і об'ємних резонаторах та біля металевих екранів. Ця теорія може бути теоретичною основою при створенні нових видів метаматеріалів і технічних пристроїв, в яких використовуються електромагнітні явища, що виникають в резонансних системах сфер при розсіянні електромагнітних хвиль.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідалися та обговорювалися на наукових форумах фахівців: PIERS 1999 “Progress in Electromagnetic. Research Symposium” (Taipei, Taiwan. March 22-26, 1999); IEEE 8th International Crimean conference “Microwave and telecommunication technology” (Sevastopol State Technical University, Crimea, Ukraine. 14-17 September. 1998); IEEE Proceedings IVth International Conference on “Antenna theory and techniques (ICATT-03)” (Sevastopol. Ukraine. September 9-12, 2003); IEEE Proceedings 5th International Conference on “Antenna theory and techniques” (Kyiv. Ukraine. May 24-27, 2005); Друга науково-технічна конференція з міжнародною участю „Матеріали електронної техніки та сучасні інформаційні технології” (Кременчук, Україна, 17-19 травня, 2006); Первая международная научная конференция „Глобальные информационные системы. Проблемы и тенденции развития” (Туапсе - Харьков. 3-6 октября, 2006); XI International scientific Kravchuk conference (Kyiv, Ukraine, 18-20 May, 2006); IEEE 16th International Crimean Conference “Microwave and Telecommunication Technology” (Sevastopol, Crimea, Ukraine, September 11-15, 2006); VIII Международная конференция “Опто-, наноэлектроника, нанотехно-логии и микросистемы” (Ульяновск, УлГУ, Россия, 26-30 июня, 2006); IEEE International Conference on “Antenna theory and techniques (ICATT-07)“ (Sevastopol. Ukraine. September 17-21, 2007); IX Международная конференция „Опто-, нано-электроника, нанотехнологии и микросистемы” (Ульяновск, УлГУ, Россия, 24-30 сентября, 2007); ІІІ-й Международный Радиоэлектронный Форум „Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития” (МРФ-2008) (Харьков, Украина, 22-24 октября, 2008); XII International scientific Kravchuk conference (Kyiv, Ukraine, 15-16 May, 2008); IEEE 18th International Crimean Conference “Microwave and Telecommunication Technology” (Sevastopol, Crimea, Ukraine, September 8-12, 2008); X Международная конференція “Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы” (Ульяновск, УлГУ, Россия, 25-28 августа, 2008); базовий для Північно-Східного українського відділення міжнародного інституту IEEE семінар „Методи інтегральних рівнянь макроскопічної електродинаміки” під керівництвом проф. М.А. Хижняка (ННЦ ХФТІ) - (Харків - 1996, 1998, 2001); семінар „Конденсовані середовища” (ФТІНТ НАНУ) - (Харків - 2004); семінар „Фізика лінійних прискорювачів іонів” (ННЦ ХФТІ) - (Харків - 2009); семінар (РІ НАНУ) - (Харків - 2009).

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано у 28 статтях наукових журналів і збірників наукових праць, які входять до переліку ВАК України, та у 15 доповідях на міжнародних наукових конференціях, серед них 39 наукових робіт без співавторів.

Особистий внесок здобувача. У сумісних публікаціях [1, 27, 28] внесок здобувача полягає у формулюванні задач та проведенні розрахунків, у публікації [30] - у проведенні експерименту та комп'ютерних розрахунків.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційне дослідження викладено на 268 сторінках основного тексту. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 228 найменувань та 4 додатків. Всього в дисертації 56 рисунків, у додатках дисертації 60 рисунків.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, викладено зв'язок з науковими програмами, сформульовано ціль та задачу дослідження, розглянуто питання про наукову новизну, практичну цінність одержаних результатів.

Перший розділ „Резонансне розсіяння електромагнітних хвиль на малих тілах (огляд літератури)” присвячено огляду літератури з резонансного розсіяння електромагнітних хвиль на малих магнітодіелектричних тілах, які містяться у вільному просторі, хвилеводах та резонаторах. Показано, що дослідження резонансного випадку, коли <<1, , , практично відсутні. Новою є область досліджень просторово-упорядкованих систем магнітоді-електричних розсіювачів, топологічна структура яких підлягає законам, що відрізняються від періодичного.

Другий розділ „Рівняння дифракції та урахування електромагнітної взаємодії для резонансних просторових систем малих резонансних магнітодіелектричних сфер” присвячено побудові рівнянь дифракції для опису електромагнітних явищ у резонансних просторових системах резонансних сфер. Ці рівняння використовуються для знаходження аналітичних розв'язків задач про взаємодію електромагнітних хвиль з просторовими системами сфер, що мають різну топологічну структуру. В основу побудови рівнянь дифракції покладено інтегральні рівняння макроскопічної електродинаміки Фредгольма 2-го роду. Ці рівняння є рівняннями електромагнітного поля з нелокальними межовими умовами.

У підрозділі 2.1 сформульовано задачу дифракції електромагнітних хвиль у резонансних системах малих резонансних магнітодіелектричних сфер.

За відомим внутрішнім полем розсіювача визначають розсіяне поле через електричний та магнітний потенціали Герца:

Внутрішнє поле виділеної сфери, яка входить до системи з сфер, за умови, коли усередині сфери можливо , а зовні сфер <<1, де - радіус сфер, і може виконуватися умова , визначають із розв'язку системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду квазістаціонарного наближення для сфер, зведеної до алгебраїчної системи рівнянь. Рівняння, що входять до цієї алгебраїчної системи, для довільної сфери мають вигляд:



де і

- поле падаючої хвилі та індуковане внутрішнє поле сфери. Величини , - подаються як

тут - відстань між центрами сфер ; , , і - відносні комплексні діелектрична та магнітна проникності сфер та середовища поза сферами; - позначають зовнішні та внутрішні точки відносно сфер.

Другі доданки у рівняннях (1) враховують електромагнітний вплив на виділену сферу всіх інших сфер просторової системи.

Алгебраїчна система рівнянь, яка складається з рівнянь (1), є взаємоузгодженою, в ній врахована електромагнітна взаємодія сфер системи між собою.

Для функції (2), яка входить у рівняння (1), на рис.1 представлено особливості поведінки Re (суцільна крива) та (пунктирна крива) у залежності від Re за різних значень тангенса кута діелектричних втрат tg (1 крива - tg =0; 2 крива - tg =0,05; 3 крива - tg = 0,1) та тут .

Для індукованого внутрішнього поля конкретної сфери розв'язок системи рівнянь (1) за формулами Крамера має вигляд:

де - ад'юнкти детермінанта основної матриці системи рівнянь (1), які відповідають елементам цього детермінанта.

Якщо знехтувати взаємодією між сферами, то вирази (3) для внутрішнього поля конкретної сфери набудуть вигляду:

На рис. 2 представлено типовий вигляд кривих для модуля та аргумента , а також реальної Re та уявної Im частин виразу для внутрішнього магнітного поля сфери (4) в залежності від зміни довжини хвилі для внутрішніх резонансів магнітного типу відповідних ТЕ10n коливанням вільної малої сфери для випадку, коли см, , тангенс кута діелектричних втрат , , - резонансне значення довжини хвилі.

В основній матриці алгебраїчної системи рівнянь (1) містяться відомості про особливості електромагнітної взаємодії між сферами просторової системи сфер, що розглядається.

Потенціали Герца розсіяного системою сфер поля, коли відоме внутрішнє поле окремих розсіювачів, подамо у вигляді суперпозиції потенціалів Герца окремих сфер:

Ці вирази описують розсіяне поле для довільної відстані від центрів сфер до точки спостереження поля поза сферами.

Розсіяне системою сфер поле знайдемо у вигляді:

(5)

де і - функціональні матриці вигляду:

,

елемент матриці має вигляд

,

- тут - координати точки спостере-ження, - координати центра сфер.

Поле у довільній точці простору, яка міститься поза сферами, визначимо у вигляді:

,

де - незбурене поле падаючої хвилі.

Із детермінанта системи рівнянь (1) визначаються резонансні умови для випадку, коли усередині сфер.

Викладений підхід (1)-(6) дозволяє розв'язувати задачі з вивчення електро-магнітних явищ у резонансних просторових системах малих резонансних однорідних ізотропних магнітодіелектричних сфер, в яких довжина хвилі, що розсіюється, поза сферами значно більша геометричних розмірів сфер <<1 і може бути сумірною з характерними відстанями між сферами просторової системи , а усередині сфер сумірною з геометричними розмірами сфер . Цей підхід дає можливість дослідити розсіяні системами сфер поля для довільних відстаней між розсіювачами і точкою спостереження поля поза сферами.

Для розробки єдиного підходу до розв'язання задач про розсіяння електромагнітних хвиль резонансними системами сфер, що знаходяться у вільному просторі, біля металевих екранів та у металевих хвилеводах і об'ємних резонаторах, у підрозділах 2.2-2.3 розроблено способи урахування електромагнітної взаємодії між окремими сферами і сфер з металевими поверхнями, які були використані для розв'язку задач цієї роботи.

У цій роботі розсіюючі елементи ґрат передбачаються ізотропними і анізо-тропія ґрат визначається лише типом топологічної структури ґрат. Задаючи топологічну структуру систем сфер, можна мати ґрати з різноманітними характеристиками.

У підрозділі 2.4 викладено спосіб задавання дискретної топологічної структури систем сфер за допомогою підпорядкування її структурам цілих чисел. Топологічну структуру періодичних систем сфер для випадків, що вивчаються, розглядають як задану натуральним рядом чисел. У кінцевих ґрат корисно відрізняти топологічну структуру, віднесену до внутрішніх і зовнішніх областей грат. У них внутрішня топологічна структура задається натуральним рядом чисел, а їх зовнішня форма - іншими структурами цілих чисел.

У дисертаційній роботі кожній просторовій структурі сфер, що розглядається, співставлено своє координатне подання. Воно породжує просторовий розподіл вузлів відповідних ґрат. У це координатне подання вбудовано деякі структури чисел, які задають конкретну топологічну структуру системи сфер. Для усіх випадків, що вивчаються, конкретні координатні подання будуються на основі вихідного єдиного базового координатного подання. У нього вбудована структура чисел, яка відповідна натуральному ряду чисел і яка описує періодичні структури сфер.

Топологічна структура складних ґрат може задаватися кількома структурами цілих чисел.

У третьому розділі „Взаємодія з електромагнітним полем резонансних складних систем двовимірних ґрат малих резонансних магнітодіелектричних сфер, топологічна структура яких задається структурами цілих чисел” наведено аналітичний розв'язок задач про розсіяння електромагнітних хвиль різноманітними системами (набором) плоских ґрат сфер у вільному просторі.

У підрозділі 3.1 описано топологічну структуру системи складних двовимірних ґрат, які складаються із підґрат, що породжуються в декартовій системі координат координатним поданням вигляду:

де величини визначаються умовами а - координати вузлів, що породжують ґрати і які містяться всередині області



Координати визначають положення вузлів поза границею області (8) та є функціями значень координат . Координатне подання (7) пов'язане з натуральним рядом чисел.

Значення індекса р визначає номер простих плоских ґрат. На рис. 3а зображено систему простих плоских ґрат, коли . Необхідний тип елементарної комірки складних плоских одношарових ґрат формують із р породжуючих прості плоскі ґрати вузлів усередині області (8), яку повторить за межами області (8) координатне подання (7) у вигляді певних складних плоских одношарових ґрат.

У підрозділах 3.2-3.5 викладено спосіб утворення систем спеціальних плоских ґрат, зовнішня топологічна структура яких задається геометричною і арифметичною прогресіями, біномінальними коефіцієнтами та числовим рядом Фібоначчі, а внутрішня - натуральним рядом чисел. У цих підрозділах у координатному поданні (7) параметри є деякими функціями, пов'язаними з відповідними структурами чисел. У випадку топологічної структури (рис. 3 b), заданої числовим рядом Фібоначчі, параметр є функцією і в (7) набуває значень

де ,.

На рис. 3.b зображено систему простих плоских ґрат - „клин” Фібоначчі, коли; , а розподіл вузлів уздовж вісі для напрямку по вісі підлягає числам Фібоначчі 1,1,2,3,5,8. На рис. 4 зображено розподіл поля по вісі х кінцевого резонансного діелектричного „клину” Фібоначчі (рис. 3b), під час збудження в ньому суміщених структурного (ґратового) резонансу і внутрішнього магнітного резонансу сфер, який відповідний коливанню ТЕ101 вільної малої сфери ( см; 95; 1; см). Тут обвідна поверхня „клину” підпорядкована „золотій пропорції”.

У підрозділі 3.6 подано постановку і розв'язок задачі про розсіяння електромагнітних хвиль системою складних плоских ґрат, які складаються із підґрат, що породжуються в декартовій системі координат різними координатними поданнями вигляду (7), у яких параметри можуть залежати один від одного і бути пов'язаними з різними структурами цілих чисел.

У цьому підрозділі подано рівняння, що входять до алгебраїчної системи рівнянь для знаходження внутрішніх полів сфер ґрат, які враховують електромагнітну взаємодію сфер ґрат. Проведено аналіз умов, які дозволяють знизити число рівнянь, що входять до системи рівнянь. Із детермінанта алгебраїчної системи рівнянь для внутрішніх полів сфер ґрат визначаються резонансні умови для сфер. Якщо сфери ґрат однакові і проникності сфер дійсні, то резонансні умови для сфер визначають з виразу

,

розв'язуючи його відносно функції (2), де - основна матриця алгебраїчної системи рівнянь (1) для визначення внутрішнього поля сфер ґрат.

Для ортогональних ґрат (7) алгебраїчну систему рівнянь (1) подано через просторові гармоніки. Отримано вирази для розсіяних ґратами полів, які також подано через просторові гармоніки, що дозволяє дослідити вплив згасаючих і незгасаючих просторових гармонік на структуру цих полів.

У випадку, коли електромагнітну взаємодією однакових сфер плоских ґрат (7) можна вважати малою, компонента розсіяного плоскими ґратами поля для ближньої зони має вигляд:

а для дальної зони подамо її так:

,

де - відстань між вузлом і точкою спостереження розсіяного поля.

У підрозділах 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11 подано розв'язки задач і чисельний аналіз розсіяння хвиль лінійними ґратами, одношаровими та двошаровими плоскими ґратами, досліджено резонансні умови для сфер ґрат.

Виявлено, що коли довжина розсіяної хвилі сумірна із сталими ґрат , то виникають ґратові структурні резонанси електромагнітної взаємодії сфер ґрат, при цьому зростає випромінення розсіяної хвилі переважно назад.

При суміщенні структурних резонансів з внутрішніми резонансами сфер ґрат виникає резонанс середовища ґрат електричного та магнітного типів, при якому різко зростає випромінення розсіяної хвилі, а якщо внутрішні резонанси сфер електричного та магнітного типів збігаються і вони суміщені з структурними, то виникає вироджений резонанс середовища ґрат, при якому розсіяне поле усередині і зовні ґрат сильно зростає і випромінюється переважно вперед (рис. 5).

На зображено поле плоских ґрат для виродженого резонансу середовища ґрат у напрямку руху розсіюваної плоскої хвилі з напівпростору , коли електричний вектор плоскої хвилі перпендикулярний площині ґрат.

Для діелектричної сфери плоскої ґрати (7) з дійсними проникностями () для нижчого внутрішнього резонансу компоненти , коли , та -го резонансу компоненти резонансні умови знайдено у вигляді:

де =1,2,3… порядок резонансів магнітного типу; - відстань між вузлами та . Величини , враховують електромагнітний вплив сфер ґрат на виділену сферу .

Аналіз показує, що компоненти внутрішнього поля сфер ґрат по вісях системи координат (7) мають різні резонансні умови , що призводить до розщеплення резонансних кривих, яке пов'язане з виникненням тонкої резонансної структури внутрішнього поля сфер.

У четвертому розділі „Взаємодія з електромагнітним полем резонансних складних тривимірних систем малих резонансних магнітодіелектричних сфер, топологічна структура яких задається структурами цілих чисел” розглядаються розв'язки задач про розсіяння електромагнітних хвиль складними тривимірними системами сфер у вільному просторі. Ці системи можна розглядати як цілісні тривимірні утворення (середовища) з топологічною структурою, яка визначається періодичним та неперіодичним законами.

У підрозділі 4.1 розглядається топологічна структура складних тривимірних ґрат, які складаються з С підґрат с . У декартовій системі координат ці підґрати с породжуються координатним поданням вигляду:

, (10)

,

де величини d, h, l визначаються умовами x=0, x=d; y=0, y=h; z=0, z=l, а , , - координати вузла, який породжує підґрату с і міститься усередині області

, , .

Координати , , визначають положення вузлів підґрати с поза границями області (11) і є функціями координат , , . Координатне подання (10) пов'язане з натуральним рядом чисел.

На рис. 6 а показано систему вузлів для (10), коли і породжуючий просторові ґрати вузол зсунений від центру області (11).

Необхідний тип елементарної комірки ґрат (примітивний, об'ємноцентрований, гранецентрований чи інший) формують з С вузлів в області (11). Цю елементарну комірку за межами області (11) повторить координатне подання (10) у вигляді просторових ґрат певного виду.

Для кінцевого діелектричного кристала з кубічними ґратами сфер показано дисперсійну залежність від довжини розсіюваної плоскої хвилі для випадків:

a) збуджені несуміщені внутрішні резонанси сфер, які відповідні коливанням ТЕ10n, ТM10n вільної малої сфери і структурні (ґратові) резонанси (ст) ( см; 95; 1; см),

b) збуджені тільки структурні (ґратові) резонанси (ст) ( см; 5; 1; см).

Точка спостереження розсіяного поля для цього випадку знаходиться у середині кристалу.

Суміщення внутрішніх резонансів сфер з структурними (ґратовими) резонансами призводить до різкої зміни розсіюючих особливостей кристалу.

У підрозділах 4.2-4.7 розглядається топологічна структура спеціальних складних тривимірних ґрат, породжуваних координатним поданням для підґрат (10), у якому параметри є деякими функціями, пов'язаними з різноманітними структурами цілих чисел. Тут внутрішня топологічна структура задається натуральним рядом чисел, а зовнішня форма - іншими структурами цілих чисел.

У підрозділі 4.2 просторовий розподіл вузлів ґрат підлягає структурам чисел, визначеним геометричною прогресією. У цьому випадку у координатному поданні (10) параметр є функцією та в (10) набуває значень



У підрозділі 4.3 просторовий розподіл вузлів ґрат підпорядкований структурі чисел, визначений арифметичною прогресією і параметр є функцією та в (10) набуває значень

У підрозділі 4.4 просторовий розподіл вузлів підлягає структурі чисел Ферма (Тартальї) і параметр є функцією та в (10) набуває значень

У підрозділі 4.5 просторовий розподіл вузлів підлягає структурі пірамідальних чисел (фігурні числа) і параметр є функцією та в (10) набуває значення

На рис. 6 b,с показано систему вузлів, зовнішня форма яких задається структурою чисел Ферма (Тартальї) (b) (двопорожнинна структура) і арифметичною прогресією (с) („октаедр”). На рис. 8 зображено розподіл поля в напрямку руху розсіюваної плоскої хвилі по вісі z для структур сфер - рис. 6 b, 8 a і рис. 6 с, 8 b, коли в них збуджено суміщені ґратовий резонанс і внутрішній електричний резонанс сфер ( см; 95; 1; см).

У підрозділі 4.6 просторовий розподіл вузлів підлягає структурі полігональних чисел (фігурні числа) і параметр є функцією та в (10) набуває значень

У підрозділі 4.7 просторовий розподіл вузлів підлягає трикутнику чисел Паскаля і параметри є функціями, , і в (10) набувають значень

,

де - номер рядка трикутника чисел Паскаля.

Для визначення внутрішніх полів сфер ґрат у підрозділі 4.8 подано алгебраїчну систему рівнянь та проведено аналіз розв'язку цієї системи. Одержано аналітичні вирази, які описують розсіяні спеціальними складними тривимірними ґратами сфер поля і рівняння для визначення резонансних умов для сфер ґрат.

Для ортогональних складних ґрат (10) розсіяні поля виражено через просторові гармоніки у вигляді:



де - індуковані внутрішні поля сфер; - функціональні матриці вигляду:

,

,

.

Числа , які пов'язані з затухаючими хвилями та хвилями, що розповсюджуються, визначаються відповідно умовами:

.

У підрозділі 4.9 проведено обчислювальне дослідження розсіяння плоскої хвилі на штучному резонансному кристалі кубічної системи (10) з магнітодіелектричних сфер, який мав також розтини, канали, внутрішні порожнини та резонансні дефекти. Виявлено, що в штучному кристалі зі сфер може виникати резонансне розсіяння при збудженні: внутрішніх резонансів сфер магнітного і електричного типів - розсіяння відбувається переважно вперед; структурних (ґратових) резонансів - розсіяння відбувається переважно назад; суміщених внутрішніх резонансів сфер магнітного і електричного типів та структурних (ґратових) резонансів - розсіяння відбувається переважно у взаємно перпендикулярних площинах, в яких лежить напрямок руху розсіюваної хвилі; вироджених внутрішніх резонансів сфер - розсіяння відбувається переважно вперед; суміщених вироджених внутрішніх резонансів сфер з структурними (ґратовими) резонансами - розсіяння відбувається переважно вперед; виродженого резонансу складних (об'ємноцентрованих) ґрат - розсіяння відбувається переважно вперед. Для кристалів з діелектричних і магнітних сфер магнітні і електричні розподіли полів можуть мінятися місцями. У кристалі з магнітодіелектричних сфер, де проникності сфер , резонансні особливості можна якісно розглядати як суміщення резонансних особливостей кристалів з діелектричних і магнітних сфер.

Коли у кристалі (10) зі структурним резонансом на поверхнях граней кристала сформувати вузли внутрішнього поля кристала, то розсіяння хвилі може відбуватися в площині перпендикулярній напрямку її розповсюдження, можливий також випадок, коли розсіяне зовнішнє поле практично відсутнє при існуванні внутрішнього поля кристала і кристал поводиться як резонатор (рис. 9 b). Якщо в районі резонансів змінювати сталі ґрат або величини матеріальних параметрів сфер, то можна змінювати розсіюючі особливості кристала. Розтини, канали, порожнини і резонансні дефекти в кристалі сильно впливають на структуру поля в зоні Френеля, а в зоні Фраунгофера вплив носить, в основному, кількісний характер. На внутрішнє і зовнішнє поле кристала можна впливати, змінюючі зовнішню форму кристала. Ці особливості розсіяння хвиль штучним резонансним кристалом можна використати для створення пристроїв з керованими розсіюючими властивостями. електромагнітний сфера хвилевід резонатор

На рис. 9 а, b подано розподіл поля :

а) при багатомодовому розсіянні усередині та поза кубічного кристалу в зоні Френеля для випадку, коли резонансна довжина розсіюваної хвилі в два рази менша постійних грат кристалу ( см; см; см). Тут в зоні Френеля присутня затухаюча складова розсіяного поля;

b) стоячої хвилі у кубічному кристалі зі структурним резонансом ( см; ; см; см).

Результати чисельних розрахунків було зіставлено, де це можливо, з експериментальними результатами, одержаними іншими авторами. Зокрема, результати розрахунку дисперсійних залежностей розсіяного електричного поля для тривимірної системи резонансних діелектричних сфер (10) цілком збігаються з експериментальними результатами (рис.10), опублікованими у статті
Г.О. Бризгалова «Искусственный диэлектрик, образованный сферическими диэлектрическими рассеивателями» (Вопросы атомной науки и техники. Сер. Плазменная электроника и новые методы ускорения (4). - 2004. - №4. - С.86-88).

У п'ятому розділі „Електромагнітні явища у хвилеводах та резонаторах з малими резонансними магнітодіелектричними сферами” у підрозділах 5.1, 5.2 і 5.3, 5.4 розглянуто, відповідно, розсіяння електромагнітних хвиль у прямокутному хвилеводі та прямокутному електромагнітному резонаторі навантажених системами резонансних магнітодіелектричних сфер.

У підрозділах 5.1, 5.2 на основі інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду та методу дзеркальних зображень розв'язана задача про розсіяння електромагнітних хвиль у металевому прямокутному хвилеводі на системі малих резонансних однорідних магнітодіелектричних сфер. У цій задачі хвилевід зі сферами розглядається як просторові ґрати (7), які складаються із сфер та їх дзеркальних зображень у стінках хвилеводу.

Ця модель використовувалася при обчисленні внутрішніх та розсіяних полів. Одержано вирази для внутрішніх і розсіяних полів, які подаються через просторові гармоніки. Розсіяне поле у цій задачі одержано також з використанням тензорних функцій Гріна рівняння Гельмгольца для прямокутного хвилеводу. Здобуто вираз для коефіцієнта відбиття основної хвилі для системи сфер у хвилеводі. Він має вигляд:

(12)

де - детермінант алгебраїчної системи рівнянь для обчислення внутрішніх полів сфер.

На основі виразу (12) проаналізовано особливості коефіцієнта відбиття для резонансів відбиття магнітного та електричного типів.

Показано, що з резонансами відбиття пов'язані резонанси проходження та стрибки фази коефіцієнта відбиття на , які відповідають точкам мінімумів та максимумів , що у малих резонансних сфер існують резонансні зони 1, 2, 3... порядків. У кожну зону входять два резонанси одного порядку, але різних типів - магнітний та електричний. Зони обмежені з двох боків резонансами проходження магнітного та електричного типів та пов'язаними з ними стрибками фази . При зміні параметрів сфер або зовнішніх умов в такій резонансній зоні відбувається перебудова резонансної структури внутрішнього поля сфери, в результаті якої виникають резонансні явища електричного або магнітного типу. Виявлено, що для резонансної сфери добротність резонансів магнітного типу більша за добротність резонансів електричного типу. Це пояснюється різним впливом тангенса діелектричних втрат на резонанси різних типів у резонансних зонах.

Чисельний аналіз виразу (12) показує, що в області резонансів магнітного та електричного типів за малих значень криві для коефіцієнта відбиття зазнають розщеплення на кілька вузьких ліній. Динаміка розщеплення резонансів залежить від положення сфер у хвилеводі. Цю тонку резонансну структуру коефіцієнта відбиття можна використовувати для вивчення особливостей електромагнітної взаємодії сфер та хвилеводу.

Для підтвердження адекватності використаного в дисертаційній роботі квазістаціонарного наближення проведено пряме порівняння експериментальних і теоретичних залежностей (рис.11), яке підтверджує задовільність цього наближення.

На рис. 11 наведено експериментальну (І крива) та теоретичну (ІІ крива) залежності модуля коефіцієнта відбиття (12) діелектричної сфери, яка знаходиться в центрі перетину хвилеводу в залежності від зміни радіуса сфери при см для 159, 0,0052 (І крива) і 159, 0 (ІІ крива), тут , і , - резонанси відбиття сфери магнітного і електричного типів. Сфери виготовлялися з керамічного параелектрика на основі , точність вимірювання %, а %.

У підрозділі 5.3 подано розв'язок задачі про розсіяння електромагнітних хвиль на скінченному числі малих однорідних резонансних магнітодіелектричних сфер у порожнистому металевому прямокутному резонаторі. У цій задачі резонатор зі сферами розглядається як просторові ґрати (10), які складаються із сфер та їх дзеркальних зображень у стінках резонатора (рис.6 а).

Потенціали Герца розсіяного сферами в резонаторі поля подано у вигляді суперпозиції потенціалів Герца окремих сфер та їх зображень:

Одержано вирази, які описують внутрішні та розсіяні поля. У підрозділі 5.4 досліджено розсіяння поля на сферах у резонаторі з коливаннями типу ТЕ101.

На основі співставлення розв'язків хвилеводної та резонаторної задач з розв'язками, одержаними у підрозділах 3.6 та 4.8, зроблено висновок про можливість заміни деяких експериментальних вимірювань для вільного простору хвилеводними та резонаторними вимірюваннями.

Шостий розділ „Структурні функції електромагнітної взаємодії резонансних складних систем малих резонансних магнітодіелектричних сфер для вільного простору, хвилеводів та резонаторів” присвячено викладенню постановки та розв'язку задач з розробки способу побудови структурних функцій електромагнітної взаємодії магнітного та електричного типів, які описують електромагнітну взаємодію в резонансних системах резонансних магніто-діелектричних сфер у вільному просторі (підрозділи 6.1, 6.2), металевих прямокутних хвилеводах (підрозділи 6.3, 6.4) та резонаторах (підрозділи 6.5, 6.6). У підрозділі 6.7 викладено обґрунтування можливості експериментальної оцінки значень структурних функцій електромагнітної взаємодії.

У підрозділі 6.1 досліджено резонансні властивості електромагнітної взаємодії у системах сфер у вільному просторі. У цих просторових системах сфер структурні резонанси електромагнітної взаємодії між сферами можуть здійснювати вплив на внутрішні резонанси сфер та їх тонку структуру. Це дає можливість розробити теоретичні та експериментальні способи вивчення електромагнітної взаємодії у системах сфер. Особливості електромагнітної взаємодії у системах сфер зручно описати, увівши поняття про структурні функції електромагнітної взаємодії. Ці функції необхідні для дослідження умов, при яких виникають структурні резонанси у просторових системах сфер та знаходження їх спектру.

Для побудови структурних функцій використовувалися резонансні умови для внутрішніх полів сфер просторових систем і структурні функції електромагнітної взаємодії магнітного та електричного типів для виділеної сфери системи побудовано як тензорні функції у вигляді:

У разі нескінченних кристалічних ґрат до функцій (13) входять потрійні ґратні суми Евальда з нескінченними границями підсумовування.

Резонансний спектр дисперсійних залежностей структурних функцій електромагнітної взаємодії систем сфер з різною топологічною структурою є характерним для конкретних структур.

У підрозділі 6.2 розглянуто структурні функції електромагнітної взаємодії лінійних, плоских та кубічних ґрат магнітодіелектричних сфер. Для лінійних ґрат компонента тензорної функції (13) має вигляд:



де

,

На рис. 12 подано залежність компоненти тензорної функції (13) кінцевого кубічного кристала від довжини розсіюваної хвилі для випадку, коли радіус сфер см, стала кубічних ґрат см, см,

З аналізу рис. 12 витікає, що коли довжина розсіюваної хвилі сумірна зі сталою ґрат , у ґратах виникають структурні резонанси електромагнітної взаємодії сфер магнітного та електричного типів. Ці резонанси мають дискретний спектр і одночасно співіснують у ґратах, маючі практично однакові резонансні значення довжин хвиль, які залежать від організації просторової структури ґрат та радіусу сфер ґрат. Кожен тип структурних резонансів здійснює вплив лише на аналогічний за типом внутрішній резонанс магнітодіелектричної сфери ґрат. Зроблено висновок про існування фізичного ефекту резонансного впливу на внутрішнє і розсіяне поле системи сфер при суміщенні ґратних структурних резонансів із внутрішніми резонансами сфер, результатом якого буде підсилення їх впливу на тонку резонансну структуру внутрішнього поля сфер, що, зокрема, викликає резонансну перебудову внутрішнього розсіяного поля системи сфер і зовнішнього розсіяного поля в зоні Френеля і Фраунгофера.

У підрозділі 6.3 будуються структурні функції електромагнітної взаємодії для металевих прямокутних хвилеводів, які містять резонансні магніто-діелектричні сфери. Хвилевід зі сферами уявляється як просторові ґрати зі сфер та їх дзеркальних зображень у стінках хвилеводу. Знайдено тензорні хвилеводні структурні функції електричного та магнітного типів.

До цих функцій входять ґратні знакозмінні потрійні суми, пов'язані зі сферами та їх зображеннями, з нескінченними границями підсумовування. Ці ґратні суми можна співставити з аналогічними ґратними потрійними сумами Евальда для нескінченних кристалічних ґрат.

У підрозділі 6.4 вивчаються структурні функції електромагнітної взаємодії прямокутного хвилеводу з магнітодіелектричною сферою. Наближений вираз компоненти тензорної функції у цьому випадку має вигляд:

.

З аналізу хвилеводних структурних функцій витікає, що у хвилеводі зі сферою можуть виникати структурні резонанси електромагнітної взаємодії магнітного та електричного типів. Зроблено висновок про існування фізичного ефекту резонансного впливу на внутрішнє і розсіяне поле системи сфер в хвилеводі при суміщенні хвилеводних структурних резонансів з внутрішніми резонансами системи сфер, що, зокрема, призводить до підсилення їх впливу на тонку структуру останніх.

У підрозділі 6.5 побудовано структурні функції електромагнітної взаємодії для металевого прямокутного резонатора з резонансними магнітодіелектричними сферами. Резонатор зі сферами уявляється як просторові ґрати зі сфер та їх дзер-кальних зображень у стінках резонатора (рис. 6, а). Із резонансних умов для внут-рішніх полів сфер в резонаторі визначаються структурні функції електромагнітної взаємодії. Одержано тензорні резонаторні структурні функції електричного та магнітного типів.

У підрозділі 6.6 вивчено структурні функції електромагнітної взаємодії металевого прямокутного резонатора з магнітодіелектричною сферою. Зроблено висновок про існування фізичного ефекту резонансного впливу на внутрішнє і розсіяне поле системи сфер в резонаторі при суміщенні резонаторних структурних резонансів електромагнітної взаємодії з внутрішніми резонансами системи сфер.

У підрозділі 6.7 викладено обґрунтування можливості експериментальної оцінки значень структурних функцій для систем сфер у вільному просторі, хвилеводах та резонаторах.

У хвилеводах резонансні умови для внутрішніх магнітних і електричних полів виділеної сфери можна виразити через хвилеводні структурні функції у такому вигляді :

де ,

- функція (2), (рис.1), яка набуває значення при резонансі компонент внутрішнього магнітного і електричного полів сфер.

Із резонансних умов (15) витікає, що внутрішні поля сфер у хвилеводі мають різні резонансні умови. Це пов'язано з виникненням тонкої резонансної структури внутрішнього поля сфер та призводить до розщеплення резонансних кривих, які характеризують це поле.

Аналізуючи результати, одержані в цій роботі, можна дійти висновку, що якщо експериментально знайти резонансні значення функцій (15), використовуючи тонку структуру внутрішнього поля сфер у хвилеводі, то можна визначити значення функцій (15), до яких входять ґратні суми, і використати їх при розрахунках характеристик систем сфер у хвилеводі. Це також дає можливість експериментально оцінити невідому величину помилки, яка виникає при теоретичних розрахунках, коли ґратні знакозмінні суми з нескінченними границями підсумовування заміняють інтегралами.

Експериментальні оцінки значень структурних функцій для систем сфер у вільному просторі та прямокутних резонаторах пропонується здійснювати таким же способом. Зроблено висновок про те, що такі оцінки для систем сфер у вільному просторі можна у деяких випадках замінювати хвилеводними та резонаторними вимірюваннями.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено актуальну наукову проблему побудови аналітичної теорії для дослідження електромагнітних явищ у резонансних складних просторових системах, які складаються з малих резонансних однорідних ізотропних магнітодіелектричних сфер і можуть міститися у вільному просторі, прямокутних металевих хвилеводах, об'ємних резонаторах та поряд з металевими екранами.

...