Ядерні процеси за участю атомної оболонки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут ядерних досліджень НАН України

УДК 539.163

Ядерні процеси за участю атомної оболонки

01.04.16 - фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Федоткін Сергій Миколайович

Київ 2010

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті ядерних досліджень НАН України, м. Київ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Плюйко Володимир Андрійович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри ядерної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор Кобушкін Олександр Петрович, Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, провідний науковий співробітник відділу фізики високих густин енергії;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Симулик Володимир Михайлович, Інститут електронної фізики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії елементарних взаємодій.

Захист відбудеться „ 30 ” вересня 2010 р. о 14.15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.167.01 Інституту ядерних досліджень НАН України за адресою: 03680, м. Київ, пр. Науки, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту ядерних досліджень НАН України за адресою: 03680, м. Київ, пр. Науки, 47.

Автореферат розісланий „ 27 ” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д26.167.01 В.В.Улещенко

ядро анігіляція атом

Анотації

Федоткін С.М. Ядерні процеси за участю атомної оболонки. - Рукопис Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.16 - фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій. - Інститут ядерних досліджень НАН України, Київ, 2010.

Дисертація присвячена ядерним процесам, які відбуваються за участю електронів атомної оболонки. Зокрема, уперше досліджено процес збудження ядра при анігіляції позитрона з атомним електроном та розсіюванні на іншому електроні. Отримано вираз для перерізу цього процесу для розсіювання на електронах внутрішніх та зовнішніх оболонок. Показано, що цей процес значно менш ймовірний, ніж резонансне збудження ядра при анігіляції позитронів.

Вивчено процес, в якому ядро, збуджене у проміжний стан при анігіляціїї позитрона з атомним електроном, розряджається у кінцевий стан завдяки внутрішньої конверсії. Показано, що ймовірність цього процесу менше, ніж ймовірність резонансного збудження ядра.

Досліджено збудження дочірнього ядра при анігіляції позитрона, випущеного при -розпаді з атомним електроном. Для випадку дозволених фермієвських переходів знайдено відношення ймовірності цього процесу до ймовірності -розпаду.

Вперше досліджено новий механізм дезбудження ядра, пов'язаний з народженням позитроніїв у електричних або магнітних ядерних переходах довільної мультипольності . Вивчена поведінка ймовірності народження позитроніїв у залежності від енергії ядерного перехода.

Досліджені процеси внутрішньої та парної конверсії при квадрупольних коливаннях форми "нагрітих" ядер. Показано, що спектральні розподіли для електронів і позитронів та повні ймовірності цих процесів істотним чином визначаються транспортними коефіцієнтами, зокрема, коефіцієнтом ядерного тертя та масовим параметром.

У рамках узагальненої квазікласичної теорії Гуцвілера обчислені макроскопічно усереднені транспортні коефіцієнти, які входять у рівняння Ланжевена, такі як масовий параметр та тертя. Ці коефіцієнти можуть бути використовані для дослідження спектральних розподілів електронів та позитронів, а також гамма- квантів, які випромінюються з нагрітих ядер.

Ключові слова: позитрон, атомна оболонка, анігіляція, збудження ядра, - розпад, позитроній, нагріті ядра, транспортні коефіцієнти, теорія периодичних орбіт.

Федоткин С.Н. Ядерные процессы с участием атомной оболочки. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.16 - физика ядра, элементарных частиц и высоких энергий. - Институт ядерных исследований НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена исследованию ядерных процессов, которые происходят участием электронов атомной оболочки. В частности, впервые изучен процесс возбуждения ядра при аннигиляции позитрона с атомным электроном и рассеянии на другом электроне. Получено выражение для сечения этого процесса при рассеянии на электронах внутренних и внешних атомных оболочек и показано, что сечение возбуждения ядра при рассеянии на внешних оболочках приблизительно на порядок меньше сечения возбуждения при рассеянии на К-оболочке. Показано, что этот процесс значительно менее вероятный, чем резонансное возбуждение ядра при аннигиляции позитронов.

Изучен процесс, в котором ядро, возбужденное в промежуточное состояние при аннигиляции позитрона с атомным электроном, разряжается в конечное состояние посредством внутренней конверсии. Вероятность этого процесса меньше, чем вероятность резонансного возбуждения ядра. Показано, что в случае, когда промежуточное состояние распадается с большой вероятностью посредством внутренней конверсии, вероятность процесса значительно увеличивается.

Исследовано возбуждения дочернего ядра при аннигиляции позитрона, испущенного при - распаде с атомным электроном. Для случая разрешенных фермиевских переходов получено отношение вероятности этого процесса к вероятности - распада.

Впервые исследован новый механизм девозбуждения ядра, связанный с рождением позитрониев в электрических или магнитных ядерных переходах произвольной мультипольности . Изучено поведение вероятности рождения позитрониев в зависимости от энергии ядерного перехода. Получены коэффициенты внутреннего образования позитрония.

Рассмотрены новые каналы аннигиляции ортопозитрония, которая сопровождается возбуждением ядра или передачей энергии в атомную оболочку. Получено выражение для сечений этих процессов и показано, что они существенно не влияют на время жизни ортопозитрония.

Исследованы процессы внутренней и парной конверсии при девозбуждении ядер с конечной температурой. Впервые аналитически рассчитаны коэффициенты внутренней и парной конверсии для нагретых ядер в случае электрических дипольных переходов. Получены спектральные распределения позитронов и электронов при различных температурах ядра и исследована зависимость от температуры коэффициентов внутренней и парной конверсии. Исследованы процессы внутренней и парной конверсии при квадрупольных колебаниях формы "нагретых" ядер. Малые колебания формы ядер около положения равновесия описываются уравнениями Ланжевена. Спектральные распределения для электронов и позитронов и полные вероятности этих процессов существенным образом определяются транспортными коэффициентами, в частности, коэффициентом ядерного трения и массовым параметром. Показано, что наряду с экспериментами, в которых измеряется множественность предразрывных частиц (нейтронов, протонов, - квантов), исследование процессов парной и внутренней конверсии при распаде возбужденных ядер является источником полезной информации о коэффициентах затухания для делительной моды.

В рамках квазиклассической теории Гуцвиллера вычислены макроскопически усредненные транспортные коэффициенты, входящие в уравнение Ланжевена, такие как массовый параметр и трение, которые могут быть использованы для исследования спектральных распределений электронов и позитронов, а также гамма- квантов, испускаемых из нагретых ядер.

Ключевые слова: позитрон, атомная оболочка, аннигиляция, возбуждение ядра, - распад, позитроний, нагретые ядра, транспортные коэффициенты, теория периодических орбит.

Fedotkin S.N. Nuclear processes with accounting for the atomic shell. - Manuscript.

Thesis for the Doctor of Science Degree (Physics and Mathematics) by speciality 01.04.16 - Physics of Nucleus, Elementary Particles and High Energies. - Institute for Nuclear Researches of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to the study of nuclear processes with accounting for electrons of the atomic shell. The process of the excitation of nucleus was investigated for the case of annihilation of the positron with an atomic electron and scattering on another electron. The expression for the cross section of this process for the scattering on electrons of internal and external shells was obtained. It is shown that the probability of this process is much less significant than that for the resonance excitation of the nucleus for annihilation of positrons.

The process in which the nucleus is excited into the intermediate state at annihilation of the positron with the atomic electron and then, it is discharged into the final state through the internal conversion was studied. It was shown that the probability of this process is smaller than that of the resonance excitation of the nucleus.

The excitation of the daughter nucleus at annihilation of the positron, emitted owing to the - decay, with the atomic electron was investigated. For the case of the allowed Fermi- transition the ratio of the probability of this process to that for the -decay was obtained.

The new mechanism of the nuclear deexcitation related to the positronium creation in the electric or magnetic transitions of arbitrary multipolarities in nuclei was suggested. A behavior of the probability of the positronium creation as function of the nuclear-energy transition was studied.

The processes of the internal and pair conversion for the quadrupole shape vibrations of the “heated” nuclei was investigated. It was shown that the spectral distributions of electrons and positrons in these processes are determined essentially by the transport coefficients, such as the coefficients of the nuclear friction and inertia parameters.

Within the generalized semiclassical Gutzwiller theory the averaged macroscopically transport coefficients of the Langevin equation, namely the inertia and friction parameters which can be used for the investigation of the spectral distributions of electrons and positrons as well as the gamma-quanta emitted from the heated nuclei were calculated.

The key words: positron, atomic shell, annihilation, nuclear excitation, -decay, positronium, heated nuclei, transport coefficients, the theory of periodic orbits.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Представлені в дисертації дослідження пов'язані з актуальною проблемою - вивченням процесів взаємодії ядра та атомної оболонки. Як відомо, час життя деяких ядерних станів може відрізнятися на кілька порядків в залежності від стану атомних електронів, тому присутність (чи відсутність) атомної оболонки в окремих випадках має велике значення. Яскравий приклад такого взаимозв'язку - внутрішня конверсія гамма-променів, коли у випадку Е3- переходу у ядрі з энергією 76 эВ внутрішня конверсія на електронах приводить до прискорення розпаду на 19 порядків.

Один з процесів, що мають місце завдяки атомній оболонці - це збудження ядер при анігіляції позитронів з атомними електронами. Такий спосіб збудження ядер схожий на процес збудження при захваті гамма-квантів, що мають, як правило, дискретний спектр. Проте енергія позитронів в експерименті може змінюватися неперервно, що дає додаткові можливості дослідження властивостей ядер. Зокрема, за допомогою вузького позитронного пучка можна сканувати ядерні спектри, змінюючи енергію позитронів, які налітають на ядро. Викликає великий інтерес також підбар'єрний поділ ядер при анігіляції позитронів з атомними електронами, який може проходити, зокрема, через ізомерний стан, а також дослідження емісії нейтронів з орієнтованих ядер та емісії альфа-частинок з легких ядер.

Актуальність цього дослідження пов'язана також з тим, що немає повної ясності відносно механізму збудження ядер при анігіляції позитронів з атомними електронами - є цей процес резонансним чи непружним, а також в зв'язку з великою розбіжністю між експериментальним значенням та теоретичною оцінкою величини перерізу цього процесу.

Значний інтерес мають також дослідження збудження ядер при анігіляції позитронів, випущених в процесі - розпаду з електронами дочірнього атома як нові канали заселення ядерних станів.

Актуальними є також дослідження електронної та парної конверсії в нагрітих ядрах, оскільки спектральні розподіли заряджених частинок - електронів та позитронів - являються ефективним інструментом вивчення дисипативних ядерних процесів. Отримані в дисертаційній роботі спектральні розподіли електронів конверсії, які суттєво залежать від коефіцієнта тертя, можуть, зокрема, бути використані для визначення його величини.

Великий інтерес викликають процеси утворення позитроніїв, як новий канал розрядки ядра шляхом емісії легкої нейтральної частинки. Ці процеси також можна використати для створення та дослідження позитроніїв з заданою енергією.

Таким чином, дослідження цих процесів взаємодії ядра та атомної оболонки являються важливими та актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності з тематичними планами досліджень відділу структури ядра Інституту ядерних досліджень НАН України "Дослідження властивостей збуджених станів нейтронодефіцитних ядер з ”, 1985-1988 рр., № ДР 01.85.0.04 6649, відділу теорії ядра "Динаміка процесів взаємодії та макроскопичні властивості складних ядер ", 1989-1992 рр., № ДР 0189V087357, "Колективний макроскопичний рух та процеси релаксації в атомних ядрах", 1993-1997 рр., № ДР 0193V028271, " Колективний рух, процеси релаксації та стабільність збуджених ядер", 1998-2002 рр., № ДР 0198V003592, " Макроскопичний колективний рух у збуджених ядрах", 2003-2005 рр., № ДР 0103U003634 та "Ядерні процеси при значних збудженнях рівноважного стану", 2006-2010 рр., № ДР 0106U005590.

Мета і завдання дослідження. Оснівною метою досліджень, представлених в дисертаційній роботі є вивчення непружних та резонансних процесів збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки, а також процесів електронної та парної конверсії в нагрітих ядрах.

Для досягнення цієї мети необхідно було вирішити наступні завдання:

Провести аналітичні розрахунки процесів збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки з передачою частини енергії позитрона іншим електронам атома.

Розрахувати переріз збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки з розрядкою проміжного ядерного стану шляхом внутрішньої конверсії.

Дослідити переріз процесу анігіляції ортопозитронію, при якому збуджується ядро або енергія передається в атомну оболонку.

Отримати аналітичні вирази для коефіцієнтів внутрішньої та парної конверсії при розрядці нагрітих ядер.

Розрахувати коефіцієнти внутрішньої та парної конверсії при розрядці ядер при скінченій температурі.

Дослідити процес розрядки ядра, пов'язаний з утворенням позитронію в електричних та магнітних ядерних переходах довільної мультипольності .

Розрахувати спектральні розподіли і повні ймовірності для електронів внутрішньої та парної конверсії при квадрупольних коливаннях форми нагрітих ядер.

Отримати вираз для ймовірності збудження дочернього ядра при анігіляції позитрона, утвореного в процесі -розпаду, з атомним електроном.

Методи досліджень. Об'єктом досліджень є збудження ядер при анігіляції позитронів, спектральні розподіли та повні ймовірності емісії конверсійних електронів та - пар з нагрітих ядер з метою вивчення взаємного впливу атомного ядра та електронної оболонки. Тому, методами досліджень є теорія збурень в квантовій електродинаміці, квантова теорія атомів, квантова статистична механіка та квазікласична теорія Гуцвілера.

Наукова новизна одержаних результатів. Більша частина представлених в дисертаційній роботі теоретичних результатів отримана вперше. Зокрема, в дисертаційній роботі вперше отримано:

Аналітичний вираз для перерізу збудження ядра при анігіляції позитрона з атомним електроном та розсіянні на іншому електроні атома.

Переріз збудження ядра при анігіляції позитрона з атомним електроном з розрядкою проміжного ядерного стану шляхом внутрішньої конверсії.

Вираз для ймовірності вибивання електрону з атомної оболонки при анігіляції випущеного в процесі - розпаду позитрона з іншим електроном дочірнього атома.

Передбачено новий механізм розрядки ядра, пов'язаний з утворенням позитроніїв в електричних і магнітних ядерних переходах довільної мультипольності .

Аналітичний вираз для коефіцієнтів внутрішньої і парної конверсії при розрядці нагрітих ядер.

Практичне значення отриманих результатів. Практичне значення отриманих в дисертації результатів полягає в тому, що вони узагальнюють та розвивають існуючі сучасні теорії, які описують взаємний вплив атомного ядра та оточуючої його електронної оболонки, зокрема, при анігіляційному збудженні ядер та в процесах внутрішньої конверсії нагрітих ядер.

Розроблений в дисертації підхід можна використовувати для подальшого дослідження процесів анігіляційного збудження ядра, при якому відбувається поділ ядра чи виліт з нього легких частинок. Крім того, досліджена в роботі залежність спектрального розподілу електронів конверсії від ядерного тертя може бути використана для визначення характерних рис ядерної динаміки в нагрітих ядрах. Передбачені процеси утворення позитроніїв можна використати для утворення цих частинок з заданою енергією та їх дослідження.

Результати, викладені в дисертації можна використовувати не тільки в ІЯД НАН України, а і в Інституті теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка і багатьох інших вітчизняних та закордонних наукових центрах з ядерної фізики.

Особистий внесок здобувача. Автором сформульована мета і задачі досліджень та запропоновано методи виконання поставлених задач. Автор дисертації брав безпосередню участь в усіх етапах проведення досліджень: в постановці задачі, розв'язку поставленої проблеми, в проведенні чисельних розрахунків, в аналізі отриманих даних і підготовці рукописів статей та доповідей до публікації. Вклад здобувача в більшість робіт, виконаних із співавторами, є визначальним.

Всі найбільш важливі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, викладених в дисертаційній роботі, доповідались на міжнародних та вітчизняних конференціях, симпозіумах, школах:

37-й (1987 р.), 39-й (1989 р.) та 41-й (1991 р.) Всесоюзних нарадах з ядерної спектроскопії та структури атомного ядра; 1 та 2 Міжнародних школах з ядерної фізики (м. Київ, 1990, 1992 рр.); 43-й (1993 р.), 44-й (1994 р.), 45-й (1995 р.), 46-й (1996 р.), 47-й (1997 р.), 49-й (1999 р.), 55-й (2005 р.) Міжнародних конференціях з ядерної спектроскопії та структури атомного ядра; 1-й та 2-й Міжнародних конференціях „Сучасні проблеми ядерної фізики та енергетики” (Київ, 2006, 2008 та 2010 рр.), Міжнародній школі з фізиці елементарних частинок (Шладмінг, Австрія, 1991), Міжнародній конференції “Ядерна структура та суміжні теми” (Дубна, 1997), Міжнародному симпозіуму “Атомні ядра та металеві кластери” (Прага, Чехія, 1997), 12 Міжнародному симпозіуму “Спектроскопія захвата гамма-променів та суміжні теми” (Прухоніце, Чехія, 2002 р.), “Symposium of honour of Matthias Brack” (Регенсбург, Німеччина, 2009р.), семінарах в Інституті теоретичної фізики університету м. Регенсбург (Регенсбург, Німеччина, 1998- 2009 рр.), на щорічних конференціях Інституту ядерних досліджень НАН України в 1989-2009 рр.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 54 наукові праці, з яких 26 у фахових наукових журналах [1 - 26] та 6 у матеріалах міжнародних конференцій [27- 32].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, переліку використаних джерел із 257 найменувань та двох додатків. Дисертація містить 40 рисунка та 1 таблицю. Повний обсяг роботи - 288 сторінка.

2. Основний зміст роботи

У вступі викладено стан наукової проблеми, що вирішувалась при виконанні роботи, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження, визначено зв'язок роботи з науковими програмами і темами ІЯД НАН України, розкрито наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, відображено особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та структуру і обсяг дисертаційної роботи. Стисло викладено зміст роботи за розділами.

У першому розділі міститься огляд досліджень взаємного впливу процесів, що проходять в ядрі і атомній оболонці і проаналізовано сучасний стан даної проблеми. Приведено основні положення теорії функції відгуку і квазікласичної теорії періодичних орбіт.

В підрозділі 1.1 зроблено огляд і критичний аналіз експериментальних і теоретичних робіт, в яких розглядається процес збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки.

Існуючі теоретичні розрахунки перерізу анігіляційного збудження ядер, виконані в різних роботах, дають результати, які на кілька порядків менші експериментальних значень.

В розрахунках розглядалися два механізми анігіляційного збудження ядер: безфотонне і непружне збудження ядра. В безфотонному процесі в збудженні ядра беруть участь лише позитрони з повною енергією в інтервалі

де - резонансна енергія позитрона, при якій збуджується певний ядерний рівень, а - ширина К-дірки в атомній оболонці, яка утворилася внаслідок анігіляції позитрона з К- електроном. В непружному процесі в збудженні ядра беруть участь всі позитрони з енергією , так як надлишок енергії виноситься гальмівним фотоном. Як джерело позитронів в експериментах використовувалися -активні ядра. Тому в налітаючому пучку був широкий розкид позитронів по енергії, тобто енергія заключена у інтервалі , де -максимальна енергія позитронів при -розпаді, - маса електрона (тут і далі використовується система одиниць ). З цієї причини безпосередньо з експерименту визначався ефективний переріз для всього спектру позитронів . Внаслідок цього суттєву роль при співставленні експериментальних і теоретичних величин перерізі в має коректне визначення частини всіх налітаючих на мішень позитронів , які викликають збудження ядер. У випадку безфотонного процесу ця величина знаходиться приблизно як відношення ширини К-дірки в атомній оболонці до всього допустимого інтервалу енергій позитронів. Як відмічено вище, експериментально знаходився ефективний переріз для всього спектру позитронів, який можна записати в вигляді

 (1)

де - функція розподілу по енергії налітаючого пучка позитронів, - переріз анігіляційного збудження ядра при енергії позитрона для безфотонного чи непружного процесів, - максимальна енергія позитронів. Оскільки розподіл є плавною функцією енергії, а переріз має резонансний вигляд, то ефективний переріз (1) можна оцінити таким чином :

(2)

де - переріз безфотонного процесу при резонансний енергії позитрону , яка знаходиться з умови . Тут та енергії атомного електрона і збудження ядра, відповідно. Частка позитронів , які реально збуджують ядро при анігіляції, має вигляд

(3)

Як правило, величина виявляється дуже малою. Якщо процес є непружним, то переріз не має резонансного вигляду і в анігіляційне збудження ядра дають внесок всі позитрони з енергією . Очевидно, що . Проте, оскільки , то відносно внеску обох механізмів існують протилежні точки зору. В одних роботах підтверджується домінуюча роль безфотонного збудження ядра, в інших - непружних процесів.

Таким чином, опис процесу збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки стикається з кількома серйозними нерозв'язаними проблемами. По-перше, не дивлячись на багато теоретичних робіт і різноманіття підходів, не досягнуто задовільного опису перерізу процесу збудження ядра. По-друге, існують протилежні уявлення відносно механізму збудження ядер в цьому процесі і залишається нез'ясованим питання, чи є процес безфотонним або ж непружним.

В підрозділі 1.2 приведені основні положення теорії функції відгуку і квазікласичної теорії Гуцвілера, які в подальшому використовуються для розрахунку транспортних коефіцієнтів рівняння Ланжевена, а саме для визначення масового параметру колективного руху і коефіцієнту тертя.

Дано визначення силової функції за допомогою функції відгуку, а також транспортних коефіцієнтів в наближенні малих частот колективного руху порівняно з частотою руху нуклонів в потенціальній ямі. Описується розклад функції Гріна в ряд по класичних траєкторіях в квазікласичній теорії Гуцвілера і розрахунки в рамках цього методу масового параметра.

У другому розділі розглянуто непружні канали збудження ядер при анігіляції позитронів з електронами атомної оболонки, коли частина енергії не передається в ядро, а виноситься іншим електроном, що вилітає з атома .

В підрозділі 2.1 розглянуто збудження ядра при анігіляції позитрона з К-електроном атомної оболонки з передачею частини енергії позитрона іншому К- чи 5S-електрону. Це процес більш високого порядку малості по сталій електромагнітної взаємодії порівняно зі звичайним непружним анігіляційним збудженням ядра, в якому частина енергії виноситься гальмівним фотоном. Проте, добре відомо, що при проходженні заряджених частинок через речовину іонізаційні втрати при малій кінетичній енергії частинки можуть значно перевищувати гальмівні втрати. Тому розглянуто випадок малих енергій , переданих позитроном до аннігіляції електрону, який вилітає з атомної оболонки.

Переріз процесу збудження ядра шляхом анігіляції позитрона з К-електроном атомної оболонки з передачею частини енергії позитрона іншому К-електрону має вигляд

(4)

Тут - імпульс та - довжина хвилі де Бройля налітаючого позитрона, - заряд ядра, - стала тонкої структури, , - енергія збудження ядра, і - енергії кінцевого та початкового станів ядра, відповідно, - ймовірність електромагнітного дипольного переходу в ядрі,, - імпульс електрона, що вибивається з атомної оболонки, а і - енергії позитрона і К- електрона. Відмітимо, що вираз для перерізу (4) отримано в довгохвильовому наближенні та припускаючи малість величин , .

Переріз аналогічного процесу, в якому анігіляція позитрону проходить з К-електроном, а надлишок енергії позитрона передається слабо зв'язаному - електрону, має вигляд

Тут , а - імпульс вилітаючого в цьому процессі електрона .

Оцінимо величину для ядер в області срібла () з енергією збудження ядра МеВ. Використовуючи вираз (4) для та (2) для ефективного перерізу , отримуємо верхню оцінку перерізу збудження ядер :

(5)

Експериментальні значення ефективних перерізів збудження цих ядер дорівнюють

Для більш важких ядер і , які також збуджуються за допомогою - переходу, ефективні перерізи на порядок більше:

Експериментальні значення ефективних перерізів для цих ядер відповідно дорівнюють

Таким чином, ефективний переріз процесу, що розглядається, значно менше експериментальних значень ефективних перерізів.

В області значень імпульсів позитронів , де ці перерізи великі, перерізи приблизно на порядки менше, ніж . Таким чином, процес збудження ядра з участю електрона з зовнішніх оболонок менш ймовірний, ніж процес з участю електронів з К-оболонок.

Ефективний переріз звичайного резонансного процесу для цих ядер значно більший, ніж для неупружнього процесу.

В підрозділі 2.2 розглядається інший непружний процес, в якому ядро в результаті анігіляції позитрона і електрона атомної оболонки переходить з початкового стану в деякий проміжний стан , а потім шляхом внутрішньої конверсії в кінцевий стан . Цей процес також є процесом більш високого порядку по сталій електромагнітної взаємодії порівняно зі звичайним безфотонним збудженням ядра. Проте, в деяких випадках, внаслідок певної структури хвильових функцій ядерних станів, двухступінчате збудження ядра може виявитися більш ймовірним процесом.

Зроблено оцінку перерізу процесу, в якому ядро переходить зі стану в стан двома послідовними - переходами і визначемо умови, при яких , де - переріз процесу збудження ядра при анігіляції позитронів за допомогою одного - переходу.

Амплітуда ймовірності переходу системи із начального стану в кінцевий має такий вигляд

(6)

де і - енергія початкового та проміжного станів ядра, - повна ширина ядерного стану N, і - енергія електрона К-оболонки і налітаючого позитрона, додавання виконується по всіх проміжних ядерних станах . і - оператори електромагнітної взаємодії, що описують ядерні переходи з енергіями і , відповідно. Матричний елемент описує процес анігіляції позитрона і електрона атомної оболонки та E1-збудження ядра з стану в проміжний стан . Матричний елемент описує процес внутрішньої конверсії, при якій електрон атомної оболонки переходить в стан неперервного спектру, а ядро - із стану в стан .

Припускаючи, що в суму (6) найбільший вклад вносить один ядерний стан , отримуємо для ймовірності процесу збудження ядра в одиницю часу при анігіляції позитронів з наступною конверсією такий вираз :

(7)

де - коефіцієнт внутрішньої конверсії для електрона на К-оболонці, - ймовірність дипольного збудження ядра із стану в стан при поглинанні фотону з енергією , - аналогічна ймовірність для випромінення - кванту з енергією при розрядці ядра із стану в стан . Матричний елемент описує процес анігіляції позитрона і електрона К-оболонки .

Якщо стан знаходиться високо над рівнем , тобто , а , то знаменник виразу (7) великий і ймовірність мала. Якщо же стан лежить досить близько до рівня , то ймовірність як функція енергії налітаючих позитронів буде носить резонансний характер і при енергії, яка відповідає резонансу, із-за малості знаменника, пропорційного , буде великою .

Відношення ефективних перерізів і , де останній переріз описує процес збудження ядра при анігіляції позитрону і атомного електрону шляхом прямого E2-переходу із стану в у випадку, коли енергії рівнів і близькі, дорівнює

 (8)

де - ймовірність - переходу ядра із стану в стан . Суми, що входять в вираз (8), визначають процеси анігіляції налітаючого позитрона і електрона К-оболонки за допомогою дипольного () чи квадрупольного () переходів.

В випадку збудження ядра початковий і кінцевий стани мають такі характеристики: МеВ. Тоді стан повинен мати квантові числа і відношення перерізів (8) в цьому випадку дорівнює

(9)

Якщо рівень з великою ймовірністю розпадається шляхом внутрішньої конверсії і при цьому МеВ, то відношення . Використовуючи для розрахунку ймовірності електромагнітних переходів одночастинкові оцінки, отримуємо для відношення перерізів , тобто процес анігіляційного збудження з наступною внутрішньою конверсією задовільно описував би експериментальні дані. На жаль, поблизу стану з і МеВ стан з не виявлено. Більш сприятлива ситуація має місце для ядер і , де існують такі стани, для яких коефіцієнт внутрішньої конверсії дуже великий, і, тому процеси, що розглядаються, можуть мати велику ймовірність.

В підрозділі 2.3 аналізується співвідношення вкладів пружного і непружного процесів в анігіляційне збудження ядра і розглядаються радіаційні поправки до перерізів. В випадку розрахунку перерізів безфотонного і непружного процесів в борнівському наближенні показано, що безфотонний процес дає домінуючий вклад в збудження ядра при анігіляції позитронів. Проте теоретична оцінка ефективного перерізу безфотонного процесу значно менше від експериментальних значень. Основна неточність розрахунку перерізу непружного процесу припадає на область дуже малих енергій гальмівних фотонів. Аналіз цієї ситуації приводить до перевизначення долі позитронів, які дають вклад в збудження ядра, що в свою чергу, дає змогу суттєво покращити узгодження між експериментальними та теоретичними значеннями ефективних перерізів.

Переріз нерезонансного процесу є величиною, яка розходиться при енергії позитрона , тому що вона пропорційна величині , де - енергія гальмівного фотону. Тому при інтегруванні виразу (1) по всьому спектру випромінених фотонів у випадку непружного процесу на нижній межі з'являється логарифмічна розбіжність при . Ця проблема була успішно усунута при детальному аналізі пружного і непружного процесів. Так як в любих процесах розсіяння електронів і позитронів детектори частинок мають скінчену роздільну здатність по енергії (або має місце розмитість по енергії пучка частинок ), то ніколи не вдається експериментально відділити внесок чисто пружного процесу від непружного процесу, в якому випромінюються фотони з енергією, менше ніж . Тому замість перерізу пружного процесу визначається переріз процесу, в якому в випромінювання не перейшло енергії, більше за . Повний переріз дорівнює сумі перерізів пружного процесу, розрахованого з урахуванням радіаційних поправок, і непружного процесу з емісією фотонів з енергією менше за .

Цей же метод використовуємо при розгляді анігіляційного збудження ядра. В цьому випадку необхідно врахувати сумісний вклад від безфотонного процесу, розрахованого з урахуванням радіаційних поправок і непружного процесу , в якому випромінюються фотони з енергією . При цьому переріз процесу , в якому поряд з безфотонним збудженням ядра відбувається збудження з емісією фотонів з енергією в інтервалі , буде мати вигляд

(10)

де - деяка функція імпульсів частинок, а . Поправка до перерізу безфотонного збудження мала, так як другий доданок в круглих дужках набагато менше одиниці. Тому переріз по величині мало відрізняється від перерізу в резонансі , як і повинно бути в теорії збурень при врахуванні членів більш високого порядку малості по . Проте, якщо налітаючий пучок позитронів має деяку невизначеність по енергії, то вклад в збудження ядра, при якому можуть випромінюватися фотони з енергією, менше , будуть давати позитрони в діапазоні енергій , а не тільки ті, які мають енергію, що відрізняється від резонансної на величину ширини К-дірки. Тому частина позитронів, які збуджують ядро і при цьому можуть випроменити гальмівні фотони з енергією в раз більше, ніж в випадку чисто безфотонного процесу.

Відмітимо, що переріз (10) не можна розділити на два доданки, один з яких відповідає безфотонному, а другий - непружному процесу, так як другий член в круглих дужках містить сукупний вклад від радіаційних поправок до безфотонного і непружного процесів. Величина не є строго визначеною, проте при умові вираз (10), враховуючий спільний вклад двох процесів, завжди правильний. Таким чином, замість того, щоб враховувати або безфотонний, або непружний процеси, пропонується розглядати їх спільний вклад, який описується перерізом , і з цієї точки зору аналізувати експериментальні дані.

Як застосування викладеного вище підходу розглянуто експеримент [Cassidi D.B. et al., 2001] з дослідження анігіляційного збудження рівня з енергією і спіном = 1078 кеВ , в ядрі пучком моноенергетичних позитронів з кінетичною енергією = 89 кеВ на тонких мішенях. При визначенні експериментального значення перерізу вважалось, що процес збудження ядра є резонансним. Резонансна кінетична енергія позитронів в цьому випадку приблизно дорівнює = 84 кеВ, а ширина К-дірки = 7 еВ. Тому припускалося, що збуджувати ядра будуть позитрони, які мають енергію в дуже вузькому інтервалі поблизу резонансної енергії і в цей процес будуть давати вклад ядра мішені на ефективній товщині , що визначається як

де - дисипація енергії позитронів на одиниці шляху при резонансній енергії. У цьому випадку з експериментальних даних для перерізу отримана верхня оцінка . Ця верхня межа значно більше теоретичної оцінки для перерізу безфотонного процесу

(11)

Проте, якщо вважати, що збудження ядер визначається в даному випадку сукупним вкладом безфотонній анігіляції і непружного процесу, то його переріз буде описуватися виразом (10), а вклад в нього будуть давати позитрони, енергія яких знаходитися в інтервалі . Якщо визначити як 5 кеВ і врахувати, що , де , то для перерізу, отриманого з експериментальних даних, справедлива оцінка , що значно ближче до теоретичної величини (11). Таким чином, причина дуже великого розходження експериментальних перерізів анігіляційного збудження ядер і теоретичних оцінок може бути пов'язана з не досить коректною інтерпретацією експериментальних даних. Якщо припустити, що експериментально отримана інформація відноситься не до безфотонного або непружного процесу, як зазвичай вважається, а містить їх сукупний вклад, що описується перерізом , то вдається значно покращити узгодження експериментальних результатів та теоретичних розрахунків.

В третьому розділі розглядається збудження дочірнього ядра при анігіляції випроміненого в процесі - розпаду позитрона з одним із електронів атома. Для цих процесів немає необхідності враховувати деформацію спектру позитронів при їх переміщенню по мішені. Тому вони представляють інтерес і з точки зору кращого розуміння природи анігіляційного збудження ядер і як новий канал заселення збуджених станів.

В підрозділі 3.1 виконанано розрахунок ймовірності такого процесу у випадку анігіляції позитрона з К- електроном дочірнього атома і знайдено відношення ймовірності цього процесу до ймовірності звичайного - розпаду.

Такий процес може служить своєрідним анігіляційним містком для - розпаду в тих випадках, коли звичайний - розпад сильно загальмований, а це, в свою чергу, може змінити значення - силових функцій.

Амплітуда ймовірності процесу, записується у такому вигляді

(12)

де матричний елемент описує процес - розпаду материнського ядра із стану в стан з вильотом нейтрино , а відповідає безрадіаційному збудженню дочірнього ядра з стану в стан в результаті анігіляції віртуального позитрона з електроном К-оболонки дочірнього атома. В подальшому вважається, що стан є основним станом дочірнього ядра, в яке йде незаборонений - перехід, і - енергії початкового і проміжного стану всієї системи. Обмежимося врахуванням дозволених переходів фермівського типу. Позитрон описується в наближенні плоских хвиль. В даному випадку це виправдано тим, що в підсумку розраховується відношення ймовірності збудження ядра при анігіляції позитрона до ймовірності -розпаду, розрахованому в том ж наближенні, яке не дуже чутливе до кулонівських поправок в хвильовій функції позитрона.

Відношення ймовірності безрадіаційного збудження ядра при анігіляції позитрона з К-електроном дочірнього атома до ймовірності - розпаду має такий вигляд:

(13)

Тут - ймовірність електричного дипольного збудження ядра, - енергія збудження, -радиус ядра, а функції і мають вигляд

, ,

де а - сферична функція Ханкеля першого роду, - енергія позитрона, , . З ростом енергії - кванту величина збільшується. Оцінимо величину для - розпаду ядра зі збудженням рівня з енергією 1, 8 МеВ ядра . В цьому випадку ймовірність безрадіаційного збудження ядра при анігіляції позитрона, випроміненого при -розпаді, з К-електроном дочірнього атома на один акт - розпаду дорівнює

Відмітимо, що експериментальне значення цієї величини для - розпаду на рівень ядра дорівнює . Таким чином, теоретична оцінка ймовірності резонансного збудження ядра при анігіляції позитрона в процесі - розпаду приблизно на два порядки менше від експериментального значення. Аналогічна розбіжність існує також у випадку збудження ядер при анігіляції зовнішніх позитронів з атомними електронами. Можливо, треба більш уважно аналізувати неврахований вклад від прямого електронного захоплення на збуджений рівень дочірнього ядра .

В підрозділі 3.2 розглянуто процес збудження дочірнього ядра при анігіляції випроміненого в процесі - розпаду позитрона, в якому позитрон випромінює гальмівний фотон.

Хоча цей процес має більший порядок малості порівняно з резонансним, в цьому процесі розширюється спектр позитронів, які дають вклад в анігіляційне збудження ядра, що може збільшити інтегральну ймовірність збудження. Оцінки, як і в попередньому підрозділі зроблені для процесу - розпаду ядра і збудження . Отримано вираз для ймовірності такого процесу :

(14)

де і - константа векторної частини та ядерний матричний елемент слабкої взаємодії, - ймовірність поглинання ядром електричного дипольного - кванту, а має такий вигляд

Тут , а величини як функції енергії гальмівного фотону задаються співвідношенням

,

Відношення ймовірностей нерезонансного (14) і резонансного W (13) процесів збудження дочірнього ядра при - розпаді і анігіляції позитрона з К-електроном становить

При - розпаді ядра енергія = 1.8 МеВ, =1.3 МеВ, =0.26 МеВ. В цьому випадку отримаємо оцінку

.

Таким чином, при - розпаді і анігіляційному збудженні ядра вклад нерезонансного механізму суттєво менший резонансного.

В пункті 3.3.1 приведені оцінки для ймовірності однофотонної анігіляції випущеного в процесі - розпаду позитрона з атомним електроном.

В зв'язку з відхиленням між експериментальними значеннями і теоретичними оцінками ймовірності збудження ядра при анігіляції випроміненого при - розпаді позитрона становить інтерес дослідження іншого процесу, в якому випромінений при анігіляції - квант не поглинається ядром. Після усереднення по напрямках вильоту нейтрино і підсумування по всіх проекціях спінів отримаємо для ймовірності однофотонної анігіляції випущеного в процесі - розпаду позитрона з К- електроном атома в випадку дозволеного фермівського переходу такий вираз

 (15)

де - усереднений по напрямках вильоту нейтрино ядерний матричний елемент слабкої взаємодії. Координатна залежність хвильової функції К- електрону враховується точно, тому для інтегралу отримаємо такий вираз :

де - максимальна для даного процесу енергія фотону, - повна енергія -розпаду, . Для відношення ймовірностей розглянутого процесу та звичайного процесу -розпаду отримано наступний вираз :

Остання наближена рівність отримана для малих . В випадку - розпаду , для якого МеВ, отримаємо таку оцінку для числа випадків анігіляції позитрона з К- електроном на один акт -розпаду:

В пункті 3.3.2 приведені розрахунки для ймовірності іонізації атомної оболонки при анігіляції випущеного в процесі - розпаду позитрона з електроном дочірнього атома. У випадку анігіляції позитрона з К- електроном з передачею частини енергії позитрона іншому К- електрону отримано наступну оцінку для ймовірності цього процесу

, (16)

.

Тут , а інтегрування виконується по енергії е електрона , який був вибитий з атомної оболонки. Для відношення ймовірностей розглянутого процесу іонізації та звичайного процесу -розпаду отримано наступний вираз :

.

В випадку - розпаду для цього відношення отримано наступну оцінку

.

В четвертому розділі досліджуються процеси зворотні до процесів, розглянутих в попередніх главах, зокрема розглядається утворення електрон-позитронних пар, які виявляються в зв'язаному стані, тобто процеси утворення позитронію, а також різноманітні канали його розпаду.

В підрозділі 4.1 розглянуті конверсійні переходи в ядрах з утворенням нейтральної частинки - позитронію. Це відбувається в тих випадках, коли електрон-позитронна пара, утворена в процесі конверсії опиняється в зв'язаному стані. Враховані випадки, коли позитроній утворюється не тільки в основному, але й у любому збудженому стані. Проведені розрахунки ймовірності утворення позитронію в електричних чи магнітних переходах любої мультипольності .

Конверсія з утворенням електрон-позитронних пар можлива, якщо енергія збудження ядер , де - маса електрона. У деяких випадках ця пара може виявитися в зв'язаному стані. Це означає, що мають місце конверсійні переходи ядер з утворенням атомних систем - позитроніїв. Оскільки позитроній є слабо зв'язаною системою, тобто відносний імпульс пари малий () порівняно з масою атома, то амплітуду ймовірності ядерного конверсійного переходу з утворенням позитронію можна виразити через амплітуду утворення вільної електрон-позитронної пари з нульовим відносним імпульсом. Зарядова парність фотону від'ємна, то в наближенні, що розглядається, утворюється позитроній тільки в триплетному стані.

Ймовірність розпаду ядерного стану з емісією позитронію в випадку переходів з енергією магнітного та електричного типів має вигляд

, (17)

(18)

Тут - ймовірності відповідних електромагнитних ядерних переходів (= ,). Кутові розподіли випущених з ядра позитроніїв при великих схожі на кутові розподіли - квантів відповідної мультипольності. Зроблені оцінки ймовірності утворення позитронію для деяких ядерних переходів. Розглянуто - перехід з енергією = 3.088 МеВ в ядрі між станами і . Ймовірність утворення позитронію в цьому випадку дорівнює

.

Для - переходу з енергією = 6.13 МеВ в ядрі між станами і відповідна ймовірність дорівнює

.

Як видно з виразів (17) і (18), із-за фактору ймовірність конверсійних переходів ядер з утворенням позитроніїв завжди набагато менше за ймовірність відповідного електромагнітного переходу. По аналогії з процесами внутрішньої конверсії, або конверсії з утворенням пар можна ввести коефіцієнт внутрішнього утворення позитронію як відношення ймовірності утворення позитронію до ймовірності - випромінювання при одному і тому ж ядерному переході

. (19)

Для переходів магнітного і електричного типів ці коефіцієнти мають такий вигляд

, (20)

(21)

Рис. 1 Коефіцієнти внутрішнього утворення позитронію (ліворуч) і (праворуч) в випадку переходів електричного і магнітного типів різних мультипольностей як функції енергії переходу

Як видно з рис.1., з ростом енергії збудження коефіцієнти внутрішнього утворення позитронію спочатку ростуть до деякого максимуму, а потім зменшуються, причому вони тим більше, чим менше мультипольність переходу. Найбільшого значення ці коефіцієнти досягають при енергіях ядерних переходів поблизу енергії МеВ і малих мультипольностях . При більших енергіях коефіцієнти внутрішнього утворення позитронію незалежно від мультипольности переходу прямують до однієї і тієї ж межі, одначе при цих енергіях більш ймовірним процесом є не утворення зв'язаного стану пари в вигляді позитронію, а утворення взаємодіючих між собою електрона і позитрона .

Відношення ймовірності утворення позитронію до ймовірності внутрішньої конверсії на - оболонці для електричних і магнітних переходів має такий вигляд:

, (22)

. (23)



Рис. 2 Відношення ймовірності утворення позитронію до ймовірності внутрішньої конверсії на - оболонці для електричних (ліворуч) і магнітних (праворуч) переходів в залежності від енергії переходу

Як і в випадку конверсії з утворенням пар, ймовірність утворення позитронію в борнівському наближенні не залежить від заряду ядра . Тому, в випадку досить великих енергій збудження і малих зарядів ймовірності та для магнітних переходів відрізняються всього на один-два порядки. На рис.2. показано поведінку. відношення ймовірності утворення позитронію до ймовірності внутрішньої конверсії на - оболонці для електричних і магнітних переходів в залежності від енергії переходу . Якщо заряд Z не дуже малий, як, наприклад, для ядра , то відношення (22) для - переходу з енергією МеВ з стану в стан дорівнює

.

Таким чином, конверсійні переходи ядер з утворенням позитроніїв складають малу долю від ймовірності домінуючих для даних переходів процесів розрядки і не можуть скласти їм конкуренцію. Але вони викликають інтерес як новий механізм розрядки збуджених ядерних станів, а також як джерело позитроніїв з заданою енергією в інтервалі від кількох кеВ до кількох МеВ. Більш того, якщо йде розпад станів з великим часом життя ( наприклад, найнижчий стан ядра кисню ) , то збуджені в реакціях ядра випромінюють позитроній поза мішенню. В цьому випадку появляється можливість більш точно визначати енергетичні рівні і тривалість життя триплетних станів позитроніїв, що утворюються.

У підрозділі 4.2 розглянуто безфотонний розпад ортопозитронія, при якому збуджується ядро чи відбувається емісія електрона з атомної оболонки. Завдяки збереженню зарядової парності ортопозитроній може розпадатися тільки на непарне число фотонів (в основному на три фотона). Внаслідок цього, ймовірність розпаду вільного ортопозитронія сек. Однак, якщо позитроній рухається у деякому середовищі, то экспериментально спостережується значне зменшення (на порядок та більше) часу життя ортопозитронія. Як правило, цей ефект пов'язують з с процесом "" -анігіляції - двофотонної анігіляції позитрона з ортопозитронія та електрона оточуваючих атомів.

Запропоновані можливі альтернативні пояснення такого зменшення часу життя, коли електрон та позитрон ортопозитронія анігілюють, збуджуючи при цьому ядро чи передаючи энергію одному з електронів атома.

Амплітуду процеса збудження ядра при анігіляції позитронія можна представити у вигляді добутку амплитуди анігіляції вільної електрон-позитронної пари на амплитуду ймовірності того, що ця пара локалізована у позитронії. Оскільки цей процес носить резонансний характер, то для оцінки його ймовірності було знайдено відношення перерізів процесу збудження ядра при анігіляції налетаючого при цьому на атом позитрона з К -електроном та процесу збудження ядра при анігіляції позитронія у випадку - переходу:

(24)

Тут Q є імпульс позитронія, - енергія збуждення ядра, - імпульс позитрона, та - ширини ядерного рівня та К- дірки. При енергіях , незначно перевищуючих , відношення (24) приймає вигляд

Таким чином, переріз збудження ядра при анігіляції позитрона з К-електроном при істотно перевищує аналогічний переріз при анігіляції позитронія (для легких ядер переріз може бути одного й теж порядку). Така різниця пояснюється тим, що анігіляція позитрона з К-електроном відбувається поблизу ядра (та тим ближче, чим більше Z), а у випадку збудження ядра при анігіляції позитронія, електрон-позитронна пара, яка локализована в об'ємі см, розподілена по усьому простору з однаковою ймовірністю. Ймовірність розпаду ортопозитронія, рухаючого у середовищі, зв'язана з перерізом цього процесу на одному атомі наступним співвідношенням , де є швидкість руху позитронія у середовищі, - число атомів середовища на одиницю об'єму. Знайдено верхню границю цієї ймовірності, використовуючи для перерізів оцінку їх резонансних значень. Переріз збудження ядра при резонансній енергії дорівнює см. Ймовірність розпаду у цьому випадку дорівнює сек. Ця величина значно менше ймовірності розпаду вільного ортопозитронія на три - кванта. Таким чином, якщо позитроній розпадається завдяки анігіляції позитрона та електрона позитронія з наступним збудженням ядра чи атомної оболонки атомов середовища, то ймовірність таких процесів мала. Тому вони не можуть істотно змінити час життя ортопозитронія. У розділі 5 отримані загальні співвідношення для ймовірності іонізації атомної оболонки та народження електрон-позитронних пар нагрітими ядрами при відмінних від нуля температурах і різних мультипольностях переходів. Досліджені спектральні розподіли та середні ймовірності народження -пар та электронів внутрішньої конверсії при монопольних та квадрупольних переходах, обумовлених квадрупольними коливаннями поверхні нагрітого ядра. В підрозділі 5.1 отримано загальний вираз для ймовірності іонізації атомної оболонки та народження -пар нагрітими ядрами для довільної мультипольності ядерних переходів. Для випадку - переходів досліджено спектральний розподіл позитронів та конверсійних електронів при різних температурах ядра. Обчислені залежні від температури коефіцієнти конверсії для цих процесів. Використовується припущення, що ядро має досить високу енергію збудження, щоб можно було розглядати усереднені по множині станів ядерні переходи та ввести поняття температури. Тоді після усереднення по ансамблю початкових і підсумовування по всім кінцевим ядерним станам ймовірності народження електрон-позитронної пари при конверсійному переході мультипольності отримано вираз для середньої ймовірності народження -пар із нагрітого ядра:

...