Синхронізація в задачах динаміки зв'язаних нескінченновимірних нелінійних систем
Доведення існування та єдиності розв'язку початково-крайової задачі для системи зв'язаних рівнянь Бергера. Доведення напівнеперервності зверху атрактора в метриці Хаусдорфа за параметром інтенсивності зв'язку в системі, коли параметр змінюється.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.07.2015 |
| Размер файла | 315,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна
УДК 517.94
Синхронізація в задачах динаміки зв'язаних нескінченновимірних нелінійних систем
01.01.03 - математична фізика
АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Набока Олена Олексіївна
Харків 2010
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, завідувач кафедри математичної фізики та обчислювальної математики.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор Базалій Борис Васильович, Інститут прикладної математики і механіки НАНУ, головний науковий співробітник відділу рівнянь математичної фізики;
кандидат фізико-математичних наук Рибалко Володимир Олександрович, Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, науковий співробітник математичного відділення.
Захист відбудеться 14 травня 2010 року о 15.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6.52.
З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.
Автореферат розісланий 29 березня 2010 р.
Вчений секретар
cпеціалізованої вченої ради Скорик В. О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. У дисертаційній роботі вивчається динаміка складеної системи декількох пружно зв'язаних пластин. Відповідною математичною моделлю, що заснована на гіпотезі Бергера, є система диференціальних рівнянь з частинними похідними і нелокальними нелінійними членами. Якісну поведінку розв'язку рівняння, що описує динаміку однієї пластини Бергера, було детально вивчено в роботах Н. Ф. Морозова, Ж. Н. Дмитриєвої та І. Д. Чуєшова. У випадку складеної системи декількох пластин цікавим є питання про залежність її режимів від характеру зв'язку в системі, зокрема, виникнення в системі синхронних режимів коливань.
Синхронізація - глобальне явище, що є властивим для різноманітних складених систем у природі та техніці. У класичному контексті термін "синхронізація" застосовується до систем періодичних осциляторів, частоти чи амплітуди яких стають узгодженими завдяки слабкому зв'язку в системі. Вважають, що явище синхронізації вперше описав у XVII столітті Гюйгенс в експерименті з двома маятниками, що були закріплені на спільній балці. Перше систематичне дослідження синхронізації пов'язують з іменами Е. Апплтона та Б. Ван дер Поля. У середині XX століття вивчення синхронізації систем періодичних осциляторів було стимульоване потребами промисловості в прогнозуванні поведінки різноманітних вібраційних машин.
У середині 80-х років XX століття Х. Фуджисака і Т. Ямада та окремо від них колектив авторів В. С. Афраймович, М. М. Верічев, М. І. Рабінович спостерігали та математично обґрунтували явища синхронізації в системах зв'язаних хаотичних осциляторів. Дослідження синхронізації хаотичних систем продовжили А. Піковський, Л. Пекора, М. Хаслер, Ю. Л. Майстренко та інші. Сучасна концепція синхронізації охоплює як періодичні, так і хаотичні системи. Відокремлюють такі види синхронізації: узагальнена синхронізація, тотожна синхронізація, фазова, лег-синхронізація, "master-slave" синхронізація складених систем. Актуальним є питання про асимптотичну (за довгий час) синхронізацію систем зв'язаних компонент. Асимптотична синхронізація вивчалась методами теорії динамічних систем на основі поняття глобального атрактора В. С. Афраймовичем, Г. М. Родрігесом, Дж. Хейлом у випадку скінченновимірного фазового простору, А. Карвалхо й Г. М. Родрігесом, І. Д. Чуєшовим й А. М. Рекалом, П. Клойденом для нескінченновимірних динамічних систем, що породжені параболічними рівняннями, І. Д. Чуєшовим у випадку нескінченновимірної системи, що породжена рівнянням із ліпшицевою нелінійністю. Результати про синхронізацію нескінченновимірної динаміки, що задається нелінійними рівняннями з частинними похідними гіперболічного типу, раніше в літературі представлені не були. Тому дослідження синхронізації на рівні атрактора на прикладі системи зв'язаних пластин Бергера, що породжує динаміку саме такого типу, є актуальним.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи проводились на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Напрямок досліджень передбачено тематичним планом науково-дослідної роботи за темою "Асимптотична та якісна поведінка розв'язків еволюційних рівнянь з частинними похідними" (номер держреєстрації 0106U001535).
Мета та задачі дослідження. Об'єкт дослідження - початково-крайова задача для системи зв'язаних рівнянь Бергера. Предмет дослідження - асимптотична поведінка розв'язків системи рівнянь Бергера, залежність цієї асимптотичної поведінки від характеру та інтенсивності зв'язку в системі, явища синхронізації системи.
Мета роботи - вивчення явища синхронізації в задачі про нелінійні коливання зв'язаних пластин Бергера на основі поняття глобального атрактора відповідної динамічної системи.
Дослідження проведено із застосуванням методів теорії динамічних систем. У межах цього підходу були розв'язані наступні задачі:
- довести існування та єдиність розв'язку початково-крайової задачі для системи зв'язаних рівнянь Бергера та встановити, що ця задача породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор;
- дослідити властивості та структуру глобального атрактора в залежності від характеру та інтенсивності зв'язку в системі, зокрема, довести напівнеперервність зверху атрактора в метриці Хаусдорфа за параметром інтенсивності зв'язку в системі, коли параметр змінюється на скінченних інтервалах додатної напівосі та коли він прямує до нескінченності.
Методи дослідження. Для дослідження асимптотичної поведінки розв'язків системи зв'язаних рівнянь Бергера використовуються фундаментальні методи функціонального аналізу та теорії динамічних систем. Існування та єдиність розв'язку початково-крайової задачі для системи зв'язаних рівнянь Бергера, існування атрактора і такі його властивості, як скінченновимірність та гладкість розв'язків, які належать йому, є наслідками результатів, отриманих І. Д. Чуєшовим та І. Лашецькою для абстрактного рівняння другого порядку за часом. Напівнеперервність зверху атрактора для значень параметра зв'язку із скінченних інтервалів додатної напівосі доведено з використанням критерію, що був запропонований Л. В. Капітанським та І. Н. Костіним. У випадку, коли параметр інтенсивності зв'язку прямує до нескінченності, доведення напівнеперервності зверху атрактора ґрунтується на різноманітних оцінках стабілізаційного типу, що отримано для різниці двох розв'язків системи або для комбінацій координат одного розв'язку. Синхронізація для скінченних значень параметра інтенсивності зв'язку і спеціального вибору зв'язку в системі встановлена методом функцій Ляпунова.
Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вивчається асимптотична динаміка та явища синхронізації для системи зв'язаних рівнянь Бергера у випадку: а) системи з лінійно демпфованих рівнянь зі зв'язком глобального характеру вигляду "симетричний зв'язок великої інтенсивності плюс малий довільний додаток"; б) системи двох нелінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком глобального характеру; в) системи двох лінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком, що є локалізованим за просторовою змінною.
Отримано результати про синхронізацію на рівні атрактора в кожному з цих випадків: бергер хаусдорф атрактор інтенсивність
1. Доведено напівнеперервність зверху атрактора системи в метриці Хаусдорфа за параметром інтенсивності зв'язку в системі. Зокрема, встановлено, що атрактор є напівнеперервним зверху за параметром інтенсивності зв'язку в нескінченності. У кожному випадку досліджено структуру множини, до якої наближається атрактор, коли параметр інтенсивності зв'язку прямує до нескінченності, та явища асимптотичної синхронізації, що витікають із структури цієї граничної множини.
2. У випадку а), коли зв'язок в системі має спеціальний вигляд, а також у випадку б), коли демпінг є невиродженим в нулі, встановлена синхронізація на рівні атрактора для скінченних значень параметра інтенсивності зв'язку в системі.
Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер. Вона містить якісне дослідження асимптотичної динаміки системи зв'язаних рівнянь Бергера, а також математично обґрунтовані умови, що призводять до синхронізації цієї системи. Отримані результати можуть знайти застосування при прогнозуванні довгочасної поведінки різноманітних вібраційних машин. Розвинуті в роботі методи можуть бути використані для дослідження інших систем зв'язаних рівнянь другого порядку за часом.
Особистий внесок здобувача. Усі результати, що представлені до захисту, отримані автором особисто.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на Міжнародній конференції "Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем" (м. Київ, 2007 та 2009 рр.), на Міжнародній конференції, присвяченій 150-річчю О. М. Ляпунова (м. Харків, 2007 р.), на ХІІ Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2008 р.), на Всеукраїнському математичному конгресі (м. Київ, 2009 р.), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (керівник семінару - член-кореспондент НАН України Чуєшов І. Д.), на семінарі відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівник семінару - доктор фізико-математичних наук Тедеєв А. Ф.), на засіданні Харківського математичного товариства (2007 р.).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 9 роботах, у тому числі в 4-х статтях в міжнародних журналах та 5-ти тезах доповідей конференцій. Усі роботи виконано без співавторів.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та переліку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 140 сторінок, перелік використаних джерел займає 7 сторінок та складається з 71 найменування. Результати роботи, що подані до захисту, сформульовано та доведено в розділах 2 - 5.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, наукову новизну роботи, визначено мету та задачі, а також об'єкт та предмет дослідження, методологічну базу, проаналізовано сучасний стан проблеми.
Перший розділ роботи містить огляд літератури за темою дисертації. У ньому наведено основні визначення та факти, що використовуються в наступних розділах роботи. Результати дисертації викладено в другому, третьому, четвертому та п'ятому розділах.
У другому розділі дисертації обговорюється коректна розв'язність, існування та властивості атрактора задачі Коші для рівняння другого порядку за часом:
(1)
(2)
де - векторна функція просторової змінної з обмеженої області площини , і змінної часу . Оператор є діагональним і має на діагоналі оператор з умовами защемлення () або шарнірного закріплення () пластин по кромці. Невід'ємна скалярна функція належить до класу , а права частина із . Оператори зв'язку та породжуються в просторі дійсними квадратними матрицями , до того ж припускаємо, що матриця ненульова і невід'ємна. Нелінійний оператор і матрична функція задовольняють наступні умови:
Припущення 1. (B) , де
1.
2.
3.
4.
(M) , де
Найпростішим прикладом для задачі (1)-(2) є наступна початково-крайова задача для системи декількох рівнянь з частинними похідними:
(3)
(4)
де - додатні константи, - дійсні числа, - невід'ємний параметр.
У підрозділі 2.1 обговорюється коректна розв'язність задачі (1)-(2). Задача має єдиний слабкий (у сенсі теорії напівтруп) розв'язок для будь-яких початкових даних із простору . Розв'язок є неперервною за функцією зі значеннями в , а похідна є неперервною за зі значеннями в .
У підрозділі 2.2 побудовано динамічну систему , яку породжує абстрактна задача (1)-(2) в просторі . Еволюційний оператор визначено за формулою
(5)
де - слабкий розв'язок (1) для початкових даних в точці .
У підрозділі 2.3 наведено результати про існування та властивості компактного глобального атрактора динамічної системи . Їх отримано за додаткових умов на оператори в рівнянні (1). Припускаємо, що або
(A1) оператор демпінгу є лінійним за , тобто і ; або
(A2) оператор породжується симетричною матрицею.
Тоді, як свідчать результати підрозділу 2.3.1, динамічна система має компактний глобальний атрактор для кожного невід'ємного значення параметра . За умов (A2) атрактор збігається із нестійкою множиною, що виходить із множини стаціонарних точок системи. Окрім цього, атрактори є обмеженими у фазовому просторі рівномірно за .
У підрозділі 2.3.2 обговорюються властивості додаткової гладкості та скінченновимірності атрактора у тому випадку, коли функції є невиродженими в нулі, тобто
(A3) .
Теорема 1. Нехай рівняння (1) задовольняє припущення 1, умову (A1) або
одночасно умови (A2) і (А3). Тоді
· атрактор є компактною множиною в просторі скінченної фрактальної вимірності для кожного невід'ємного ;
· атрактор є обмеженою множиною в просторі для кожного невід'ємного , тобто існує така додатна константа , що атрактор належить шару радіуса в просторі . Окрім цього, якщо функція в рівнянні (1) тотожна константі, то число може бути вибрано незалежним від .
Підрозділ 2.3.3 містить результати про напівнеперервність зверху атрактора за параметром зв'язку , коли змінюється на скінченних інтервалах невід'ємної напівосі:
Твердження 1. Якщо оператори рівняння (1) задовольняють припущення 1 і (А1) або (А2), то атрактор динамічної системи , яку породжує абстрактна задача (1)-(2), є напівнеперервним зверху за параметром в тому сенсі, що
Результати другого розділу роботи про коректну розв'язність задачі (1)-(2), про існування гладкого скінченновимірного глобального атрактора є наслідками результатів, що були отримані І. Д. Чуєшовим та І. Лашецькою для абстрактного рівняння другого порядку за часом із нелінійною функцією внутрішнього демпінгу. Однак, у випадку рівняння (1) важливо отримати деякі оцінки (наприклад, оцінку радіуса дисипативності системи чи стабілізаційні оцінки, що є ключовими при доведенні існування та гладкості атрактора) з константами, що не залежать від параметра . Результат твердження 1 є новим для задачі, що вивчається. Доведення твердження базується на критерії Л. В. Капітанського та І. Н. Костіна, згідно з яким достатніми умовами напівнеперервності атракторів параметричної сім'ї динамічних систем є рівномірна обмеженість атракторів за параметром у загальному фазовому просторі систем та неперервність еволюційних операторів за параметром сім'ї.
Загальні результати другого розділу дисертації використано для вивчення синхронізації на рівні атрактора на прикладі системи зв'язаних рівнянь Бергера в третьому, четвертому та п'ятому розділах.
У третьому розділі роботи вивчається система, що складається з декількох () лінійно демпфованих, шарнірно закріплених по краю, пружно зв'язаних пластин. Припускаємо, що в незбудженому стані пластини займають обмежені області в різних паралельних площинах. Динаміку такої складеної системи описано початково-крайовою задачею для системи диференціальних рівнянь з частинними похідними (3)-(4), де функції мають значення вертикального (відносно незбудженого стану) відхилення -ї пластини в точці у час ; додатні коефіцієнти є пропорційними силі внутрішнього демпінгу в системі, а члени відповідають за механізм дисипації енергії в системі; функції просторової змінної із описують поперечні навантаження; константи є пропорційними стискаючим зусиллям, що діють у площинах пластин; нелокальні нелінійні члени враховують можливі великі відхилення пластин згідно з гіпотезою Бергера; константи та невід'ємний параметр характеризують спосіб і характер скріплення пластин, до того ж припускаємо, що матриця є ненульовою, невід'ємною і виродженою. Основним прикладом матриці , що задовольняє ці умови, є матриця вигляду
(6)
із невід'ємними . Система (3) з невиродженою матрицею не становить інтересу, бо в цьому випадку всі розв'язки задачі (3)-(4) стабілізуються до єдиної стаціонарної точки для достатньо великих .
Очевидно, задача (3)-(4) є окремим випадком абстрактної задачі (1)-(2). Тому для неї мають місце твердження другого розділу роботи. Зокрема, задача (3)-(4) є коректно розв'язною в просторі для кожного невід'ємного і породжує динамічну систему , еволюційний оператор котрої визначається слабким розв'язком задачі (3)-(4) за формулою (5). Динамічна система має компактний глобальний атрактор , який є рівномірно за параметром обмеженою множиною в просторі .
У підрозділі 3.2 обговорюється наступна початково-крайова задача
(7)
(8)
де - оператор ортогонального проектування в просторі на ядро оператора . Задача (7)-(8) породжує в просторі динамічну систему, що має компактний глобальний атрактор .
Систему (7)-(8) виписано в явному вигляді у випадку, коли матриця має вигляд (6), а рівняння системи (3) тотожні, тобто для виконані наступні співвідношення:
(9)
У випадку трьохдіагональної матриці , коли усі є додатними, простір збігається з головною діагоналлю простору , тобто , і задача (7)-(8) набуває форми
(10)
(11)
Якщо хоч би один коефіцієнт дорівнює нулю, то матриця стає блочно-діагональною, із трьохдіагональними блоками вигляду (6) на діагоналі. Припустимо, що матриця складається із блоків вимірності . Тоді ядро зручно описати за допомогою оператора в просторі :
(12)
Ядро оператора має вигляд Позначимо структурування матриці , що породжує оператор , на блоків , що мають вимірність , відповідно блочної структури матриці. Елементи матриці , що потрапили до блоку , позначатимемо як . Враховуючи ці позначення, у випадку блочно-діагональної матриці і тотожних рівнянь системи (3) система (7) може бути представлена у вигляді наступної початково-крайової задачі для системи рівнянь з частинними похідними:
(13)
(14)
Основні результати третього розділу дисертаційної роботи наведено в підрозділі 3.3 і проілюстровано на прикладі системи двох зв'язаних рівнянь в підрозділі 3.4.
Теорема 2. Атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (3)-(4), наближається при до атрактора динамічної системи, що породжена в просторі задачею (7)-(8) у тому сенсі, що
(15)
Співвідношення (15) означає, що величини , , де , є асимптотично малими при . Таким чином, елементи є лінійно залежними при , тобто динаміка окремих пласти стає взаємозалежною з ростом інтенсивності зв'язку в системі.
Теорема 3. Нехай матриця зв'язку є блочно-діагональною з трьохдіагональними блоками вимірності на діагоналі і виконано умову (9). Тоді є справедливим твердження теореми 2, а саме, має місце границя (15) із , де - атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (13)-(14), а оператор визначено за формулою (12).
Окрім цього, якщо блоки , на які розпадається матриця згідно з блочною структурою матриці , задовольняють умову
, для усіх , (16)
то існує таке додатне число , що для усіх значень , що є більшими за .
Якщо дорівнює для і нулю у протилежному випадку, то для значень , що є більшими за , атрактор має структуру , де - атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (10)-(11).
Твердження теореми 3 означає, що кожна напівтраєкторія динамічної системи , яка породжена задачею (3)-(4) із блочно-діагональною ( блоків) матрицею , розпадається на кластерів сильно взаємодіючих (і синхронізованих) координат , коли . Ці кластери, тим не менш, слабко взаємодіють через зв'язок, що його визначає матриця . За додаткових умов на матрицю зв'язок між різними кластерами координат зникає і координати , що належать до одного кластера, синхронізуються в тому сенсі, що
(17)
Теорема 4. Нехай матриця зв'язку є трьохдіагональною і рівняння системи (3) задовольняють умову (9). Тоді є справедливим твердження теореми 2, а саме, має місце границя (15) із , де - атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (10)-(11). Окрім цього,
1) якщо матриця задовольняє умову для усіх , то існує таке додатне число , що для усіх значень параметра , що є більшими за ;
2) якщо стаціонарне рівняння
(18)
має невироджений розв'язок із нерівними координатами, то існує таке додатне число , що атрактор не лежить у просторі для , що задовольняють нерівностям .
Перше твердження теореми 4 означає, що у випадку, коли матриця є трьохдіагональною а рівняння системи (3) є тотожними, система синхронізується при достатньо великому параметрі , тобто для значень параметра , що є більшими, ніж відоме додатне число , для будь-яких двох координат довільного розв'язку задачі (3)-(4) має місце рівномірна за початковими умовами із обмежених множин простору границя (17). З іншого боку, із другого твердження теореми витікає, що за додаткових умов на множину стаціонарних точок системи (3) її динаміка не синхронізується, якщо параметр малий.
Щоб довести теореми 2, 3, 4 в підрозділі 3.5 роботи використовуємо рівномірну за параметром обмеженість атракторів у фазовому просторі і більш гладкому за просторі . Доведення другого твердження теореми 4 ґрунтується на теоремі про неявне відображення, що застосована до оператора , який діє з простору в . Твердження теореми 3 для скінченних значень параметра , а також перше твердження теореми 4 випливають із наступної леми, що означає експоненційну швидкість синхронізації траєкторій системи у випадку матриці вигляду (6):
Лема 1. Припустимо, що рівняння системи (3) задовольняють умову (9), матриця складається з трьохдіагональних блоків вигляду (6), що мають вимірність , і матриця задовольняє умову (16). Тоді траєкторії динамічної системи наближаються при до множини рівномірно відносно початкових умов із обмеженої множини для достатньо великих значень параметра . Тобто існують такі додатні числа і , що для значень , які є більшими за , і двох координат функції , які відповідають одному блоку матриці (тобто номери приймають значення в інтервалі , для від одного до ), є справедливою нерівність
(19)
Зокрема, якщо матриця є трьохдіагональною, то співвідношення (19) виконано для будь-якої пари індексів від одного до .
Результати третього розділу опубліковано в роботах [1], [2].
Четвертий розділ роботи присвячено вивченню синхронізації динаміки двох симетрично зв'язаних защемлених по краю пластин із нелінійним внутрішнім демпінгом. Припускаємо, що в незбудженому стані пластини займають однакові обмежені області в різних паралельних площинах. Динаміку такої зв'язаної системи описує наступна початково-крайова задача:
(20)
(21)
(22)
де невідомі функції , що залежать від просторової змінної , яка приймає значення в , і змінної часу , мають значення вертикального відхилення пластин від незбудженого положення, - невід'ємний параметр, із , - зовнішня нормаль до границі області . Фізичний зміст параметрів, що входять до системи (20), збігаєтьсь зі змістом параметрів системи (3) в третьому розділі роботи. На відміну від системи (3), за механізм дисипації в системі (20) відповідають оператори , що мають структуру добутку обмеженої додатної функції просторової змінної і монотонно зростаючої нелінійної функції класу . Задача (20)-(22) є окремим випадком абстрактної задачі (1)-(2). Тому, якщо оператори та константи системи (20) задовольняють припущенням 1, то задача (20)-(22) породжує в просторі динамічну систему , що має компактний глобальний атрактор .
Граничну задачу для системи (20) розглянуто в підрозділі 4.2. Вона має вигляд
(23)
(24)
Задача (23)-(24) породжує в просторі динамічну систему, що має компактний глобальний атрактор .
Результати о синхронізації системи (20) в підрозділі 4.3 сформульовано і доведено окремо: а) для випадку, коли функції демпінгу є невиродженими в нулі, тобто коли функції , задовольняють умову (A3); і б) для випадку, коли функції демпінгу можуть бути виродженими в нулі.
Теорема 5 (невироджений випадок, ). Нехай функції системи (20) задовольняють припущення 1 і (A3). Тоді
1. Атрактор динамічної системи , що породжена задачею (20)-(22), наближається до множини , коли прямує до нескінченності, де - атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (23)-(24). А саме, має місце співвідношення
(25)
2. Окрім того, якщо рівняння системи (20) є однаковими, тобто виконано наступне
(26)
то атрактор збігається із множиною для достатньо великих значень параметра .
Теорему 5 доведено в підрозділі 4.4. Доведення першого твердження теореми ґрунтується на тому факті, що атрактори є обмеженими в просторі рівномірно за параметром . Це твердження означає, що динаміка, яка породжується задачею (20)-(22), синхронізується асимптотично, коли :
(27)
Друге твердження теореми 5 випливає із наступного твердження, котре, зокрема, означає експоненційну швидкість синхронізації:
Твердження 2. Нехай функції системи (20) задовольняють припущення 1, а також (A3) і (26). Тоді траєкторії динамічної системи , що виходять із довільної обмеженої в множини , наближаються рівномірно з експоненційною швидкістю до діагоналі фазового простору , якщо параметр зв'язку системи (20) є достатньо великим, тобто існують такі додатні числа і , що виконано
(28)
для будь-якої траєкторії , із початковими даними із обмеженої множини .
Якщо функції демпінгу в (20) можуть бути виродженими в нулі, не вдається отримати рівномірні за параметром оцінки елементів атракторів в просторі та довести співвідношення (25). Тому в цьому випадку синхронізацію системи (20) встановлено за допомогою "верхньої границі" атрактора при - множини в просторі , що має вигляд
(29)
де дужками позначено операцію замикання в просторі . Верхня границя атрактора задачі (20)-(22) має наступні властивості:
Твердження 3. Нехай функції системи (20) задовольняють припущення 1 і (26) і існує така додатна константа, що
(30)
Тоді верхня границя атрактора є компактною в просторі та додатно інваріантною множиною оператора для будь-якого невід'ємного .
Головна проблема при доведенні твердження 3 в підрозділі 4.5 полягає у встановленні компактності множини в просторі . Доведення цього факту ґрунтується на різноманітних нерівностях типу стабілізаційних. Твердження 3 є головною складовою доведення наступного результату:
Терема 6 (випадок можливого виродження в нулі, ). Нехай функції системи (20) задовольняють припущення 1 і (26). Тоді верхня границя атрактора динамічної системи , що породжена задачею (20)-(22), належить до діагоналі фазового простору .
Окрім того, якщо має місце умова (30), то верхня границя збігається із множиною , де - атрактор динамічної системи, що породжена в просторі задачею (23)-(24).
Теорема 6 означає, що система (20) синхронізується асимптотично (коли ) у сенсі співвідношення (27).
Основні результати четвертого розділу роботи опубліковано в [3].
У п'ятому розділі роботи вивчається синхронізація у складеній системі двох лінійно демпфованих пластин, що защемлені по краю. Припускаємо, що в незбудженому стані пластини займають однакові області в двох різних паралельних площинах, але, на відміну від систем у попередніх розділах роботи, пластини зв'язані лише частково по строго внутрішній підобласті області , тоді як на множині зв'язок відсутній. Динаміку такої складеної структури описано наступною початково-крайовою задачею:
(31)
(32)
, (33)
де - зовнішня нормаль до границі області .
Результати п'ятого розділу отримано за наступних припущень щодо функцій та констант системи (31):
Припущення 2. 1.
2.
3.
Очевидно, задача (31)-(33) є окремим випадком задачі (1)-(2) і породжує в просторі динамічну систему , що має компактний глобальний атрактор для кожного невід'ємного .
У підрозділі 5.2 побудовано граничну систему для задачі (31)-(33). У просторі :
(34)
де - нормаль до , зовнішня відносно області , розглянуто розв'язки наступної абстрактної задачі:
(35)
де , оператор породжено в просторі матрицею , нелінійний оператор визначено за формулою
де , і -обмеження правої частини рівнянь (31) на області і відповідно. Додатний самоспряжений лінійний оператор породжено невиродженою білінійною симетричною обмеженою квадратичною формою :
(36)
, за формулою де - двоїстий простір до , а - відношення двоїстості, що є визначеним на добутку .
Задача (35) є коректно розв'язною в просторі і породжує в цьому просторі дисипативну динамічну систему, що має компактний глобальний атрактор .
Основні результати п'ятого розділу роботи містяться в підрозділі 5.3.
Теорема 7. Нехай виконано припущення 2. Тоді атрактор динамічної системи , що породжена задачею (31)-(33), наближається, коли , до множини
, де
належать атрактору динамічної системи, що породжена в просторі задачею (35), у сенсі співвідношення (15).
Твердження теореми 7 означає, що коливання частин пластин синхронізуються асимптотично, коли і прямують до нескінченності, тобто
(37)
а коливання частин пластин є довільними.
Основна проблема, що виникає при доведенні теореми 7, полягає в доведенні компактності множини у просторі . Цю проблему вирішено застосуванням різноманітних оцінок стабілізаційного типу для комбінацій координат траєкторій із атракторів динамічних систем .
Результати п'ятого розділу дисертації опубліковано в роботі [4].
ВИСНОВКИ
У роботі досліджено асимптотичну динаміку і явища синхронізації в системі зв'язаних рівнянь Бергера. Розглянуто випадки: а) система лінійно демпфованих рівнянь зі зв'язком глобального характеру вигляду "симетричний зв'язок великої інтенсивності (основна частина) плюс малий довільний додаток (побічна частина)"; б) система двох нелінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком глобального характеру; в) система двох лінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком, що є локалізованим за просторовою змінною.
Дослідження проведено в рамках теорії динамічних систем. Отримано результати про синхронізацію на рівні атрактора для системи зв'язаних рівнянь Бергера в кожному з випадків:
1. Доведено напівнеперервність зверху атрактора системи зв'язаних рівнянь Бергера в метриці Хаусдорфа за параметром інтенсивності зв'язку в системі.
2. Встановлено, що у випадку а) атрактор системи зв'язаних рівнянь Бергера наближається до атрактора проекції цієї зв'язаної системи на ядро оператора основної частини зв'язку, коли параметр зв'язку прямує до нескінченності.
3. У випадку б) атрактор системи зв'язаних рівнянь Бергера наближається до атрактора проекції цієї зв'язаної системи на головну діагональ її фазового простору, коли параметр зв'язку прямує до нескінченності.
4. У випадку в) атрактор системи зв'язаних рівнянь Бергера наближається до атрактора проекції цієї зв'язаної системи на підпростір її фазового простору, що складається із функцій рівних на області локалізації зв'язку в системі, коли параметр зв'язку наближається до нескінченності.
5. Для системи а) із трьохдіагональною або блочно-діагональною матрицею основного зв'язку та матрицею побічного зв'язку спеціального вигляду у випадку однакових рівнянь в системі, а також для системи б) у випадку невироджених функцій демпінгу і однакових рівнянь в системі встановлено, що атрактори цих систем збігаються із атракторами їх проекцій на ядро оператора зв'язку для достатньо великих значень параметра зв'язку.
ПУБЛІКАЦІЇ
1. Naboka O. Synchronization of nonlinear oscillations of two coupling Berger plates / O. Naboka // Nonlinear Analysis: TMA. 2007. No. 67. P. 1015-1026.
2. Naboka O. Synchronization Phenomena in the System Consisting of m Coupled Berger Plates / O. Naboka // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008. No. 341. P. 1107-1124.
3. Naboka O. On synchronization of oscillations of two coupled Berger plates with nonlinear interior damping / O. Naboka // Communications on Pure and Applied Analysis. 2009. Vol. 8, no. 6. P. 1933-1956.
4. Naboka O. On partial synchronization of nonlinear oscillations of two Berger plates coupled by internal subdomains / O. Naboka // Nonlinear Analysis: TMA. 2009. Vol. 72, no. 12. P. 6299-6311.
5. Naboka O. Synchronization phenomenon in the system consisting of m coupled Berger plates // Dynamical system modeling and stability investigation. Thesis of conference reports. Kyiv. 2007. P. 353.
6. Naboka O. Cluster synchronization of nonlinear oscillations of m coupled Berger plates // Lyapunov memorial conference. Book of abstracts. Kharkiv. 2007. P. 111.
7. Naboka O. On synchronization of nonlinear oscillations of two coupled Berger plates with nonlinear interior damping // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Київ. 2008. С. 285.
8. Naboka O. Upper limit of attractor for problem of nonlinear oscillations of two coupled Berger plates // Dynamical system modeling and stability investigation. Thesis of conference reports. Kyiv. 2009. P. 36.
9. Naboka O. On synchronization of nonlinear oscillations of two Berger plates coupled by internal subdomains // Ukrainian mathematical congress - Kyiv. 2009. Режим доступу до тез конференції: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Naboka.pdf.
АНОТАЦІЯ
Набока О. О. Синхронізація в задачах динаміки зв'язаних нескінченновимірних нелінійних систем. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2010.
У дисертаційній роботі досліджено синхронізацію на рівні атрактора на прикладі складеної системи зв'язаних рівнянь Бергера. Отримано результати для: а) системи лінійно демпфованих рівнянь зі зв'язком глобального характеру вигляду "симетричний зв'язок великої інтенсивності плюс малий довільний додаток"; б) системи двох нелінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком глобального характеру; в) системи двох лінійно демпфованих рівнянь із симетричним зв'язком, що є локалізованим за просторовою змінною. У кожному з випадків доведено напівнеперервність зверху атрактора в метриці Хаусдорфа за параметром , що характеризує інтенсивність зв'язку в системі. Встановлено, що атрактор наближається до атрактора проекції зв'язаної системи на ядро її оператора зв'язку, коли . Якщо рівняння в системі є однаковими, у випадку а) із трьохдіагональною матрицею основного зв'язку та матрицею побічного зв'язку спеціального вигляду, а також у випадку б), коли функції демпінгу є невиродженими, встановлено синхронізацію системи зв'язаних рівнянь Бергера на рівні атрактора для скінченних значень параметра .
Ключові слова: система зв'язаних рівнянь Бергера, синхронізація на рівні атрактора, напівнеперервність зверху атрактора за параметром.
АННОТАЦИЯ
Набока Е. А. Синхронизация в задачах динамики связанных бесконечномерных нелинейных систем. - Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, Харьков, 2010.
В диссертации представлено исследование синхронизации на уровне аттрактора на примере составной системы связанных уравнений Бергера. Изучаются: а) система нескольких () линейно демпфированных уравнений со связью глобального характера вида "симметричная связь большой интенсивности (основная часть) плюс малая произвольная добавка (побочная часть)"; б) система двух нелинейно демпфированных уравнений с симметричной связью глобального характера; в) система двух линейно демпфированных уравнений с симметричной связью, локализованной по пространственной переменной. В каждом из случаев а) - в) доказана полунепрерывность сверху в метрике Хаусдорфа компактного глобального аттрактора по параметру , характеризующему интенсивность связи в системе, на конечних интервалах положительной полу оси и в случае, когда стремится к бесконечности.
Установлено, что в случае а) аттрактор системы связанных уравнений Бергера стремится к аттрактору проекции этой системы на ядро оператора основной части связи, когда параметр интенсивности связи стремится к бесконечности, т.е. система синхронизируется на уровне аттрактора в обобщенном смысле в пределе при стремящемся к бесконечности. В частном случае трехдиагональной матрицы основной части связи, тождественных уравнений в системе и матрицы побочной связи определенного вида установлена тождественная синхронизация на уровне аттрактора для конечных значений параметра связи, а именно, доказано, что аттрактор системы связанных уравнений Бергера совпадает с аттрактором проекции этой системы на главную диагональ ее фазового пространства, корда параметр достаточно велик. При блочно-диагональной ( трехдиагональных блоков на диагонали) структуре матрицы основной части святи, тождественных уравнениях в системе и матрице побочной части святи определенного вида, согласованного с блочной структурой матрицы основной части святи, имеет место кластерная синхронизация системы при конечних значениях параметра . Каждое решение системы связанных уравнений Бергера распадается на кластеров сильно взаимодействующих (и синхронизированных) координат, которые, тем не менее, слабо взаимодействуют из-за побочной святи в системе. Получены математические условия, которым должна удовлетворять матрица побочной части святи, чтобы свіязь между кластерами координат пропадала.
...Подобные документы
Формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів, у формі балансу потужностей. Імовірність події перевищення активної потужності максимальної потужності. Дійсна максимальна потужність трансформаторної підстанції.
контрольная работа [1,5 M], добавлен 04.05.2014Елементи які служать для побудови хвилеводів. Звук і магнітне поле на службі інтегральної оптики. Терабітні системи зв’язку на основі спектрального ущільнення. Перспективи розвитку багатоканальних систем зв’язку. Елементи когерентної інтегральної оптики.
магистерская работа [1,2 M], добавлен 12.09.2012Вибір системи електроживлення будинку зв’язку за типом резервування, побудови і експлуатації. Розрахунок потужності та елементів схеми підтримання напруги на вході апаратури в заданих межах. Вибір схеми, типу резервного дизель-генераторного агрегату.
дипломная работа [129,9 K], добавлен 21.07.2015Аналіз стану та рівня енергоспоживання в теплогосподарствах України. Енергетичний бенчмаркінг як засіб комплексного розв’язку задач енергозбереження, його функції в системах теплопостачання. Опис структури показників енергоефективності котелень та котлів.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 13.07.2014Особливості складання системи диференціальних рівнянь, що описують наведену електромеханічну систему. Характеристика електричних машин, що застосовані в даній системі. Дослідження системи електроприводу, у якій припустимо застосовувати прямий пуск АД.
курсовая работа [909,0 K], добавлен 09.04.2010Дослідження тунельного ефекту в рамках квантової механіки та шляхів розв'язку рівняння Шредінгера, що описує можливість подолання частинкою енергетичного бар'єру. Визначення коефіцієнту прозорості та іонізації атома під дією зовнішнього електричного поля.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 05.09.2011Характеристика матеріалів, які використовуються для одержання оптичних волокон: властивості кварцу, очищення силікатного скла, полімерні волокна. Дослідження методів та технології виробництва оптичних волокон. Особливості волоконно-оптичних ліній зв'язку.
курсовая работа [123,3 K], добавлен 09.05.2010Суть методів аналізу перехідних процесів шляхом розв‘язку задач по визначенню реакції лінійного електричного кола при навантаженні. Поведінка кола при дії на вході періодичного прямокутного сигналу, його амплітудно-частотна і фазочастотна характеристика.
курсовая работа [461,9 K], добавлен 30.03.2011Методи наближеного розв’язання крайових задач математичної фізики, що виникають при моделюванні фізичних процесів. Використання засобів теорії наближень атомарними функціями. Способи розв’язання крайових задач в інтересах математичного моделювання.
презентация [8,0 M], добавлен 08.12.2014Розробка схеми частотних перетворень сигналу з частотою в аналогових системах передачі, визначення віртуальних несучих частот. Формування схеми розміщення регенераційних пунктів, що обслуговуються. Коректність вибору довжини регенераційної ділянки.
контрольная работа [488,4 K], добавлен 05.02.2015Особливості застосування систем координат при розв'язувані фізичних задач. Електричні заряди як фізичні джерела електричного поля. Способи обчислення довжин, площ та об'ємів. Аналіз та характеристика видів систем координат: циліндрична, сферична.
дипломная работа [679,2 K], добавлен 16.12.2012Варіанти виконання електропередачі й вибір найвигіднішого з них. Розрахунок робочих режимів електропередачі. Синхронізаційні режими передачі. Синхронізація на шинах проміжної та передавальної підстанцій. Техніко-економічні показники електропередачі.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 17.02.2011Розрахунок освітлення для різних типів ламп (накалювання, газорозрядні та світло-діодні), за умови, що використовуються стельові світильники. Підрахунок необхідного середньомісячнього споживання електроенергії для ламп та вартість електроенергії.
контрольная работа [2,5 M], добавлен 05.02.2015Розвиток асимптотичних методів в теорії диференціальних рівнянь. Асимптотичні методи розв’язання сингулярно збурених задач конвективної дифузії. Нелінійні моделі процесів типу "конвекція-дифузія-масообмін". Утворення речовини, що випадає в осад.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 23.04.2017Сутність позитивної люмінесценції. Основні поняття квантової механіки, яка базується на тому, що енергія в будь-якій системі змінюється не безперервно, а стрибком, і тому набуває лише певних значень. Збільшення амплітуди імпульсу негативної люмінесценції.
реферат [34,4 K], добавлен 21.01.2011Основні принципи термодинаміки. Стаціонарний стан відкритої системи. Метод прямої калориметрії. Перший закон термодинаміки живих організмів. Виробництво ентропії у відкритій системі. Внутрішня енергія, робота і тепло. Термодинаміка відкритих систем.
реферат [31,4 K], добавлен 23.12.2013Види систем електричного живлення, планування та основні вимоги до них. Джерела безперебійного й гарантованого електроживлення. Електромеханічні перетворювачі напруги. Вибір схеми інвертора, опис принципу дії. Собівартість виготовлення блоку живлення.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 21.02.2011Види систем електроживлення, вимоги до них. Огляд існуючих перетворювачів напруги. Опис структурної схеми інвертора. Вибір елементної бази: транзисторів, конденсаторів, резисторів та трансформаторів. Розрахунок собівартості виготовлення блоку живлення.
дипломная работа [3,8 M], добавлен 08.02.2011Паливно-енергетичний комплекс — сукупність взаємопов’язаних галузей і виробництв з видобування палива, генерування електроенергії, їх транспортування та використання. Галузева структура ПЕК України, динаміка розвитку підприємств; екологічні проблеми.
презентация [11,4 M], добавлен 02.11.2013Теорія вихрових рухів та закономірності динаміки точкових вихорів на необмеженій площині в ідеальній нев’язкій рідині. Вплив кількості точкових вихорів однакової інтенсивності на розташування і стійкість стаціонарних та рівномірно-обертових конфігурацій.
автореферат [50,5 K], добавлен 16.06.2009
