Узагальнення методу граничних елементів до розрахунку стрижнів, пластин та оболонок

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛУЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Спеціальність 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

УЗАГАЛЬНЕННЯ МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

ДО РОЗРАХУНКУ СТРИЖНІВ, ПЛАСТИН ТА ОБОЛОНОК

Сур'янінов Микола Георгійович

Луцьк -- 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант Ї доктор технічних наук, професор

Оробей Віктор Федорович,

Одеський національний політехнічний університет МОН України,

професор кафедри автомобільного транспорту.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Чибіряков Валерій Кузьміч,

Київський національний університет будівництва і архітектури,

завідувач кафедри вищої математики, м. Київ;

доктор технічних наук, професор

Сяський Андрій Олексійович,

Рівненський державний гуманітарний університет МОН України,

завідувач кафедри інформатики та прикладної

математики, м. Рівне;

доктор технічних наук, професор

Горик Олексій Володимирович,

Полтавська державна аграрна академія МОН України,

завідувач кафедри загально технічних дисциплін, м. Полтава.

Захист дисертації відбудеться 29.09.2010 р. о 13годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 32.075.01 у Луцькому національному технічному університеті за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75, головний корпус, ауд.401.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Луцького національного технічного університету за адресою: 43018, м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Автореферат розісланий ___ ____ 2010 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат технічних наук Бондарський О.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Більшість задач механіки деформівного твердого тіла, зв'язаних з дослідженням напружено-деформованого стану конструкцій і їх елементів, зводиться, як правило, до одного або кількох диференційних рівнянь.

Точний розв'язок цих рівнянь, або розв'язок в замкнутому виді, вдається одержати далеко не завжди. В інших випадках точні розв'язки або принципово неможливі (коли граничні умови або умови на контурі не можна виразити в аналітичній формі), або приходиться зіштовхуватися з таким обсягом обчислень, що одержання аналітичних розв'язків стає недоцільним. У зв'язку з цим при рішенні багатьох практичних задач давно використовуються наближені методи дослідження.

Ці методи можна розбити на дві основні групи. До першої групи відносяться варіаційні методи, застосування яких дозволяє одержати чисельні алгоритми і наближені аналітичні вираження шуканих функцій (напружень, переміщень, внутрішніх зусиль і ін.). Другу групу складають чисельні методи, при використанні яких визначаються значення шуканих функцій при тих або інших значеннях аргументів.

Історично першими з'явилися варіаційні методи розв'язків -- методи Релея, Рітца, Бубнова-Гальоркіна, Власова-Канторовича й ін. Ці методи найчастіше приводять до розв'язку систем двох, трьох, рідше чотирьох рівнянь, однак їхнє застосування обмежене наявністю складних контурів і (або) складних законів розподілу зовнішніх навантажень, тому що необхідно задавати, хоча й у наближеній формі, аналітичні вирази зовнішніх навантажень, деформованої пружної поверхні елементів і інших умов задачі.

Цих недоліків позбавлені чисельні методи, з яких відзначимо лише основні, найбільше часто використовувані. Одним з перших таких методів, очевидно, варто вважати метод скінчених різниць (МСР), що є часткою случаємо більш загального методу зважених нев'язань.

Другим, і в даний час найбільш розробленим чисельним методом, є метод скінчених елементів (МСЕ). Цей метод є могутнім засобом розв'язку задач не тільки механіки деформівного твердого тіла, але і цілої низки інших дисциплін Ї гідрогазодинаміки, теплотехніки, електротехніки і т.д. Основні концепції МСЕ були розроблені досить давно, однак по-справжньому реалізувати всі його можливості вдалося з появою останніх поколінь комп'ютерної техніки, що має великі обсяги пам'яті для виконання і збереження значної кількості обчислень, а також гарну швидкодію.

Кількість комп'ютерних програм, що реалізують метод скінчених елементів, обчислюється десятками, якщо не сотнями. Серед них відзначимо таких гігантів, як ANSYS (про можливості якого мова йтиме нижче), NASTRAN, Mechanical Desktop, SCAD Structure.

Найбільш серйозною проблемою МСЕ, мабуть, варто вважати проблему збіжності отриманого розв'язку, оцінку погрішності, зв'язаної з дискретизацією вихідної геометричної моделі. Крім цього, у методу існує ще ціла низка істотних недоліків Ї штучне обмеження області розрахунку, дискретизація навколишнього простору, виконання нової дискретизації при зміні положення елементів. Аналіз літературних джерел показує, що до поточного часу ресурси удосконалювання МСЕ практично вичерпані. Це підкреслює актуальність розробки нових, більш ефективних, чим МСЕ, чисельних методів, а також реалізуючих їх програмних комплексів, що дозволяють більш економічно використовувати обчислювальні ресурси і гарантувати ефективні розв'язки різноманітних задач аналізу і проектування.

Пошук альтернативних підходів привів до появи нового методу, а точніше, методів граничних елементів (МГЕ). Тут дискретизації піддається не вся розглянута область, як у методі скінчених елементів, а тільки її границя. Хоча ця концепція і є загальною для всіх МГЕ, прийнято розрізняти прямі варіанти МГЕ, напівпрямі варіанти і непрямі.

У прямому варіанті МГЕ невідомі функції, що входять в інтегральні рівняння, що описують поводження об'єкта на його границі, є реальними, що мають фізичний зміст, змінними задачі. У напівпрямих варіантах МГЕ складаються і вирішуються інтегральні рівняння для невідомих функцій, аналогічних функціям напружень у теорії пружності або функціям струму при потенційному плині. Диференціювання отриманих розв'язків дозволяє визначити реальні фізичні величини, наприклад, напруження в теорії пружності. У непрямому варіанті МГЕ інтегральні рівняння цілком виражаються через фундаментальні розв'язки вихідних диференційних рівнянь, наприклад, через функцію Гріна для необмеженої області. Після числового розв'язку інтегральних рівнянь значення параметрів усередині розглянутої області визначаються звичайним інтегруванням.

Крім назви “метод граничних елементів” у літературі зустрічаються й інші -- метод граничних інтегральних рівнянь (МГІР), метод потенціалу (МП-а).

Привабливість МГЕ обумовлена рядом причин. Дискретизація тільки границі області, займаної об'єктом, різко зменшує порядок системи розв'язуючих рівнянь; є можливість зниження мірності розв'язуваної задачі. Крім того, метод граничних елементів строго обґрунтований математично, тому що використовує фундаментальні розв'язки диференційних рівнянь, а, виходить, у рамках прийнятих гіпотез дозволяє одержати точні значення параметрів задачі (зусиль, переміщень, напружень, струмів, частот власних коливань, критичних сил втрати стійкості і т.д.) усередині області. Відзначимо також простоту логіки алгоритму, гарну збіжність розв'язку, високу стійкість і мале нагромадження погрішностей при чисельних операціях.

У світлі вищесказаного розвиток методів граничних елементів представляється досить актуальним. Цьому напрямкові присвячене значне число робіт. Однак багато проблем залишаються невирішеними. Назвемо деякі з них, що нам уявляються важливими в практичному відношенні:

*плоска задача теорії пружності для прямокутних і круглих пластин;

*задачі статики, стійкості і динаміки тонкостінного стрижня відкритого профілю з несиметричним перерізом;

*задачі стійкості арок;

*задачі динаміки арки у своїй площині (плоский випадок) і зі своєї площини (просторовий випадок);

*плоска і просторова задачі статики кругового стрижня на пружній основі з одним і двома коефіцієнтами постелі;

*статика циліндричних складчастих систем із замкнутим і комбінованим контуром;

*стійкість циліндричних складчастих систем із замкнутим і комбінованим контуром з урахуванням координат точок додатка стискаючих навантажень;

*статика, стійкість і динаміка циліндричних панелей; оболонок і їхніх систем; комбіновані конструкції з пластин і циліндричних панелей;

*задачі нелінійного аналізу.

Розв'язок цих проблем дозволить побудувати цілісну теорію методу граничних елементів і створить усі необхідні передумови для розробки програмних комплексів рівня таких гігантів як ANSYS, NASTRAN і ін., які вже базуються на методі граничних елементів.

Усі розглянуті нижче задачі вирішені в постановці методу граничних елементів. Реалізація розроблених алгоритмів здійснена в середовищі МАТLAB. Для оцінки точності отриманих результатів досліджувані проблеми змодельовані і вирішені в програмному комплексі ANSYS Ї ведучому на сьогоднішній день скінчено-елементному пакеті.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася на базі тематичних планів науково-дослідних робіт № 424-24; реєстраційний №0102U002522, «Оптимізація силового режиму операції витяжки сталевих канатів»; № 605-25; реєстраційний №0105U002182, «Розвиток методу граничних елементів для вирішення задач механіки деформованого твердого тіла і скінчено-елементний аналіз конструкцій», виконаних на кафедрі «Динаміка, міцність машин і опір матеріалів» Одеського національного політехнічного університету, а також ініціативних НДР, виконаних за планом робіт лабораторії обчислювальної механіки ОНПУ в співдружності з заводами ВАТ «Стальканат», ВАТ «Автоскладальний завод», ВАТ «Завод радіально-свердлильних верстатів», НВО «Мікрон».

Метою роботи є подальший розвиток методу граничних елементів стосовно до розв'язку низки основних задач механіки деформівного твердого тіла і теорії пружності, де відсутні зовсім або частково аналітичні розв'язки.

Здійснення цієї мети досягається шляхом розв'язку наступних задач:

-розробка математичної моделі об'єктів, що працюють в умовах плоскої деформації або плоского напруженого стану (плоска задача теорії пружності), і методики її аналізу на базі методу граничних елементів;

-побудова математичної моделі тонкостінних стрижневих систем відкритого, замкнутого і комбінованого профілю при статичних навантаженнях і визначення фундаментальних розв'язків диференційних рівнянь, що її описують;

-дослідження і розробка методики розв'язку задачі про вільні і вимушені коливання тонкостінних стрижнів і стрижневих систем;

-дослідження особливостей динамічного поводження аркових конструкцій при вільних і вимушених коливаннях у своїй площині; побудова повної системи фундаментальних ортонормованих функцій і функції Гріна при всіх можливих геометричних і навантажувальних параметрах;

-розробка математичної моделі конструкцій у формі підкріплених пластин при будь-якому числі ребер жорсткості в двох напрямках і методики її аналізу на базі методу граничних елементів;

? додаток методу граничних елементів до розв'язку задач механіки деформівного твердого тіла, математичним резюме яких є диференційні рівняння зі змінними коефіцієнтами;

? вивчення особливостей застосування методу граничних елементів до розрахунку оболонкових конструкцій при осесиметричному навантаженні.

Об'єкт дослідження Ї тонкостінні стрижневі системи, пластини гладкі і з ребрами жорсткості в двох напрямках, аркові і комбіновані системи, циліндричні оболонки.

Предмет дослідження Ї концепції, математичні моделі і методи числово-аналітичного аналізу конструкцій методом граничних елементів.

Методи дослідження. Для розв'язку встановлених задач використані методи лінійної алгебри, теорії диференційних рівнянь, теорії імпульсних функцій, механіки деформівного твердого тіла, скінчено-елементний і гранично-елементний аналіз, варіаційні методи, методи комп'ютерного моделювання, методи обчислювальної математики, методи програмування.

Наукова новизна отриманих результатів. Розроблено метод аналізу і синтезу широкого спектра конструкцій на основі гранично-елементних алгоритмів, що дозволяють створювати принципово нові системи автоматизації конструкторських розрахунків.

При цьому вперше:

-розроблена математична модель об'єктів, що працюють в умовах плоскої деформації або плоского напруженого стану, і методика її аналізу на базі методу граничних елементів;

-побудовано математичні моделі тонкостінних стрижневих систем відкритого, замкнутого і комбінованого профілю при статичних навантаженнях і визначені фундаментальні розв'язки диференційних рівнянь, що їх описують;

-розроблено методику розв'язування задач про вільні і вимушені коливання тонкостінних стрижнів і стрижневих систем;

-досліджено особливості динамічного поводження аркових конструкцій при вільних і вимушених коливаннях у своїй площині; побудовані системи фундаментальних ортонормованих функцій і функції Гріна при всіх можливих геометричних і навантажувальних параметрах;

-розроблено математичну модель конструкцій у формі підкріплених пластин при будь-якому числі ребер жорсткості в двох напрямках і методика її аналізу на базі методу граничних елементів;

-розроблено методику застосування методу граничних елементів до розрахунку конструкцій, поводження яких описується диференційними рівняннями зі змінними коефіцієнтами;

-вивчено особливості застосування методу граничних елементів до розрахунку оболонкових конструкцій при осесиметричному навантаженні;

? отримано аналітичні вираження більш 700 фундаментальних ортонормованих функцій і функцій Гріна для різних типів диференційних рівнянь.

Застосування МГЕ підвищує точність розрахунків, тому що метод ґрунтується на фундаментальних розв'язках диференційних рівнянь.

Обґрунтованість наукових положень, висновків і рекомендацій. Обґрунтованість наукових положень підтверджується строгим математичним доказом тверджень і розрахункових формул, застосуванням відомих методів математики і механіки деформівного твердого тіла, комп'ютерним моделюванням на типових прикладах і порівнянням отриманих результатів з відомими розв'язками інших методів, впровадженням у розрахункову практику алгоритмів і програм.

Практичне значення отриманих результатів. Методики побудови аналітичних виразів фундаментальних ортонормованих функцій і функцій Гріна є загальними для розглянутих типів диференційних рівнянь і можуть використовуватися при розв'язуванні аналогічних рівнянь, що описують процеси в інших областях знання. Побудовані моделі й алгоритми дозволяють вирішувати ряд важливих задач механіки деформівного твердого тіла і теорії пружності; при цьому істотно зменшується порядок систем розв'язуючих рівнянь у порівнянні з іншими методами. Побудовані алгоритми і програми розрахунку ряду конструкцій методом граничних елементів у середовищі MATLAB і методом скінчених елементів у програмі ANSYS впроваджені в навчальний процес в Одеському національному політехнічному університеті та в Одеській державній академії будівництва та архітектури, а також у розрахункову практику на таких підприємствах, як ВАТ «Стальканат», ВАТ «Автоскладальний завод», ВАТ «Завод радіально-свердлильних верстатів», НВО «Мікрон».

Особистий внесок здобувача. Дисертація є результатом тривалих досліджень автора по розвитку методу граничних елементів і його застосуванню до моделювання і розрахунків конструкцій. Всі основні результати, приведені в дисертації (постановка задач, математичні моделі, методи, алгоритми і програми розрахунків у MATLAB), отримані автором особисто й опубліковані в [25-29, 35, 36, 38-41].

У роботах, опублікованих у співавторстві [1-24, 30-34, 37, 42-43] дисертантові належать постановка задач, основні алгоритми розрахунку, розробка програм, участь в аналізі отриманих результатів і формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Основні результати і дисертаційна робота в цілому апробовані на 9 міжнародних і всеукраїнських конференціях: Міжнародна науково-технічна конференція «Нові процеси і їхні моделі в ресурсо- і енергозберігаючих технологіях» (Одеса, 2004); Міжнародна науково-технічна конференція «Технічні й економічні перспективи розвитку автотранспортного комплексу і дорожнього будівництва» (Харків, 2005); III Міжнародна науково-практична конференція «Науковий потенціал світу-2006» (Дніпропетровськ, 2006); I Міжнародна науково-практична конференція «Передові наукові розробки-2006» (Дніпропетровськ, 2006); II Міжнародна науково-дослідна конференція «Актуальні проблеми сучасних наук: теорія та практика-2006» (Дніпропетровськ, 2006); II Міжнародна науково-практична конференція «Сучасні наукові дослідження-2006» (Дніпропетровськ, 2006); I Міжнародна науково-практична конференція «Європейська наука ХХI сторіччя: стратегія і перспективи розвитку-2006» (Дніпропетровськ, 2006); I Міжнародна науково-практична конференція «Перспективні розробки науки і техніки-2006» (Дніпропетровськ, 2006); I Міжнародна науково-практична конференція «Наукова індустрія європейського континенту-2006» (Дніпропетровськ, 2006). Також на наукових семінарах кафедри динаміки, міцності машин і опору матеріалів (Інститут машинознавства, ОНПУ), кафедр будівельної механіки КНАБА (Київ) та ДНАБА (Дніпропетровськ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 45 наукових працях. З них у 23 статтях у спеціальних наукових журналах відповідно до переліку ВАК України (у тому числі 11 без співавторів) і в 6-и монографіях. Також результати представлені в 6 матеріалах і тезах доповідей на конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Загальний обсяг дисертаційної роботи має 409 сторінок. Основна частина має 304 сторінок, ілюстрована 112 рисунками і 28 таблицями, розташованими по тексту. Робота складається з вступу, семи розділів, висновку, списку літератури, що складається з 228 найменувань, розташованого на 20 сторінках, і шести додатків на 105 сторінках, ілюстрованих 74 рисунками.

Автор висловлює глибоку подяку професорові Оробею В.Ф. за коштовні рекомендації і практичну допомогу при роботі над дисертацією.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мети і задачі досліджень, наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі -- «Основні положення методу граничних елементів» -- викладена ідея методу, його переваги і недоліки. Представлено огляд існуючих напрямків у розвитку методу й основних робіт з кожного з них.

Основна увага приділена напрямкові, що розвивається в дисертаційній роботі, -- числово-аналітичному варіантові МГЕ.

При використанні існуючих числових методів розрізняють два підходи: у першому випадку диференційні оператори апроксимуються більш простими алгебраїчними операторами, що діють на деякій безлічі точок області (наприклад, метод скінчених різниць); у другому сама область уявляється у виді сукупності елементів різної форми (метод скінчених елементів).

Метод, що розвивається в роботі, є альтернативним у тім змісті, що перед апроксимацією здійснюється аналітичне інтегрування диференційних рівнянь, тобто перехід до інтегральних рівнянь. Дискретизації підлягає не вся область, а тільки її границя; внутрішня частина області розглядається як один «елемент» (модуль). У результаті зменшується число дискретних елементів і порядок розв'язуваної системи алгебраїчних рівнянь. Для опису навантажень на модуль виявляється зручним використовувати імпульсні функції; зокрема, функції Дірака, Хевисайда і сплайни дозволяють задавати як розподілені, так і зосереджені навантаження. При реалізації алгоритмів МГЕ приходиться диференціювати й інтегрувати імпульсні функції, тому їхні властивості відбиті досить докладно. Приводяться вирази усіх видів навантаження стосовно до стрижневих і пластинчастих систем з використанням теорії імпульсних функцій. Уводиться співвідношення між граничними параметрами модуля при різних видах опору і правила знаків. Заключна частина розділу присвячена викладові алгоритму МГЕ при рішенні задач механіки.

В другому розділі представлена методика розв'язування бігармонійного рівняння плоскої задачі теорії пружності (1) варіаційним методом Канторовича-Власова.

(1)

Розв'язок охоплює всі крайові умови; побудовані системи фундаментальних функцій, функція Гріна, сформований вектор навантаження в загальному виді і для часткових, практично важливих випадків.

Так, у випадку вільних подовжніх крайок пластини фундаментальні функції мають вигляд

Функція Гріна:

Компоненти вектора навантаження виражаються через функцію Гріна і її похідні і представляються досить громіздкими вираженнями, що, утім, легко програмуються в середовищі MATLAB. Аналогічні вираження отримані ще для трьох варіантів крайових умов.

Розглянуто числовий приклад, що реалізує алгоритм МГЕ для квадратної пластини з вільними подовжніми крайками.

Розв'язок рівняння (1) зводиться до розв'язку рівняння МГЕ виду

	=							+		(2)

Цей же приклад вирішений методом скінчених елементів у програмному комплексі ANSYS.

Результати, отримані обома методами, порівнюються з розрахунками О.В. Олександрова (табл.1).

Таблиця 1. Напруги і переміщення в квадратній пластині

Напруги, МПа
	МГЕ	МСЕ	Розв'язок Олександрова
х	у = 0.4	у = 0.8	у = 1.2	у = 0.4	у = 0.8	у = 1.2	у= 0.4	у= 0.8	у= 1.2
0.0	1.370	-25.767	-41.532	1.7067	-26.622	-42.066	1.09	-27.22	-41.78
0.2	-22.580	-37.596	-47.590	-24.298	-38.444	-47.698	-20.33	-37.58	-47.53
0.4	-52.136	-51.374	-50.347	-53.202	-52.259	-50.375	-50.67	-51.64	-50.34
0.6	-78.647	-61.778	-53.556	-79.089	-62.700	-53.501	-77.48	-61.77	-53.68
0.8	-88.433	-66.290	-54.578	-88.529	-66.570	-54.787	-88.32	-66.31	-55.32
1.0	-78.647	-61.778	-53.556	-79.089	-62.700	-53.501	-77.48	-61.77	-53.68
1.2	-52.136	-51.374	-50.347	-53.202	-52.259	-50.375	-50.67	-51.64	-50.34
1.4	-22.580	-37.596	-47.590	-24.298	-38.444	-47.698	-20.33	-37.58	-47.53
1.6	1.370	-25.767	-41.532	1.7067	-26.622	-42.066	1.09	-27.22	-41.78
Переміщення, м• 106
0.0	-0.2025	-0.177	-0.1045	-0.204	-0.178	-0.106	-0.203	-0.175	-0.104
0.2	-0.245	-0.180	-0.093	-0.248	-0.182	-0.094	-0.2449	-0.1806	-0.0942
0.4	-0.304	-0.198	-0.092	-0.307	-0.198	-0.093	-0.3057	-0.1981	-0.0939
0.6	-0.357	-0.214	-0.097	-0.357	-0.214	-0.096	-0.3591	-0.2152	-0.0970
0.8	-0.379	-0.221	-0.098	-0.378	-0.220	-0.097	-0.3789	-0.2222	-0.0986
1.0	-0.357	-0.214	-0.097	-0.357	-0.214	-0.096	-0.3591	-0.2152	-0.0970
1.2	-0.304	-0.198	-0.092	-0.307	-0.198	-0.093	-0.3057	-0.1981	-0.0939
1.4	-0.245	-0.180	-0.093	-0.248	-0.182	-0.094	-0.2449	-0.1806	-0.0942
1.6	-0.2025	-0.177	-0.1045	-0.204	-0.178	-0.106	-0.2028	-0.1752	-0.1041

У третьому розділі розглядаються згин, кручення і крутильні коливання тонкостінних стрижнів і стрижневих систем.

Представлено систему рівнянь просторового випадку статики, що описує згин у двох площинах і кручення:

(3)

де

Матриця фундаментальних функцій тут буде квадратною блочно-діагональною матрицею розміром 12х12.

Побудовано функцію Гріна

(4)

Визначено вектор навантажень.

Розглянуто числовий приклад -- тонкостінний стрижень, що має переріз у формі двотавру, під дією вертикальних і крутильних навантажень (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Навантаження на тонкостінний стрижень

При зазначеному навантаженні мають місце поперечний згин у вертикальній площині і кручення; із трьох рівнянь (3) залишаються тільки два, і блочно-діагональна матриця фундаментальних ортонормованих функцій буде мати восьмий порядок, а не дванадцятий, як у загальному випадку. Матричне рівняння МГЕ для даної схеми приймає форму

	=	1								x		+		(5)
			1
				1
					1
						1
							1

У результаті перетворень (5) приводиться до вигляду

								x		=		(6)
-1		1
	-1		1
				-1
					-1

Вираження фундаментальних функцій і вектора навантаження в (6):

Розв'язок (6) визначає невідомі початкові параметри , , , , за якими обчислюються компоненти напружено-деформованого стану стрижня.

Алгоритм розв'язок реалізований у MATLAB, ця ж задача вирішена в програмі ANSYS. Отримані двома методами результати добре погодяться один з одним.

Розглянуто вільні і вимушені крутильні коливання тонкостінного стрижня. Проінтегроване рівняння В.З. Власова

де -- кут повороту навколо центра згину, що збігається в цьому випадку з центром ваги; -- момент, що крутить, від нерівномірного розподілу по товщині стінок дотичних напружень; Ї бімомент, викликаний нормальними напруженнями від депланації перерізу; Ї згинально-крутний момент від осьових сил зсуву, діючих по дотичній до дуги контуру перерізу; Ї повний крутний момент щодо центра згину.

Визначено систему фундаментальних ортонормованих функцій і функція Гріна, сформований вектор навантажень при вимушених коливаннях.

Для гармонійних вимушених коливань застосований метод Фур'є розділяння змінних:

;

де -- частота гармонійних коливань.

Визначено спектри частот власних крутильних коливань, побудовані частотні рівняння при шести варіантах граничних умов. Частоти крутильних коливань для двох варіантів граничних умов приведені в табл.2; ще для чотирьох варіантів частоти дані в дисертації.

Розроблений алгоритм МГЕ дозволяє вирішувати задачі динаміки пружних конструкцій будь-якої структури, включаючи нерозрізні балки і рами.

Таблиця 2. Частоти власних крутильних коливань

Номер тону	Умова закріплення і частотне рівняння
1	2,7835	1,9501
2	7,4035	6,0501
3	14,3335	12,4501
4	23,4685	21,1501
5	34,9135	31,8501
6	48,5635	44,9501
7	64,4275	60,2501
8	82,3825	77,6501
9	102,4175	97,1501
10	124,3624	118,6501

Як приклад розглянута задача динаміки нерозрізної балки (рис.2), що має поперечний переріз у формі двотавру.

Рис.2. Нерозрізна балка під дією динамічних навантажень

Обчислені 5 перших власних частот: , побудовані форми коливань.

Форми коливань, що відповідають першим двом частотам, показані на рис.3; ще три форми коливань приводяться в дисертації.

Рис.3. Перша і друга форми коливань

Визначено напружено-деформований стан нерозрізної балки (рис.2) при вимушених коливаннях. Значення внутрішніх силових факторів приведені в табл.3.

Таблиця 3. Внутрішні силові фактори при вимушених коливаннях

х, м	Кут закручування	Похідна (крутний момент)	Бімомент	Згинально-крутний момент	Повний крутний момент
0,0	0,0	0,0	6,33	-4,65	-4,65
1,0	-0,10	-0,17	2,28	-3,47	-3,64
2,0	-0,30	-0,20	-0,63	-2,36	-2,56
3,0	-0,47	-0,13	-2,44	-1,26	-1,40
4,0	-0,55	-0,02	-3,15	-0,16	-0,18
5,0	-0,50	0,11	-2,76	0,94	1,04
6,0	-0,35	0,19	-1,28	2,03	2,22
7,0	-0,15	0,20	1,30	3,13	3,33
8,0	0,0	0,07	5,0	-2,76	-2,69
9,0	-0,01	-0,08	2,32	-2,62	-2,69
10,0	-0,12	-0,12	-0,25	-2,55	-2,67
11,0	-0,22	-0,06	-2,79	0,66	0,60
12,0	-0,22	0,04	-2,13	0,66	0,70
13,0	-0,14	0,12	-1,47	0,66	0,78
14,0	0,0	0,16	-0,81	-0,01	0,15
15,0	0,18	0,2	-0,85	-0,08	0,12
16,0	0,39	0,23	-0,0	-0,23	-0,00

Виконано експериментальні дослідження напружено-деформованого стану тонкостінних стрижнів відкритого і замкнутого профілів.

У четвертому розділі розглянуті коливання кругових аркових систем.

Виведено систему диференційних рівнянь вільних коливань кругової арки у своїй площині в переміщеннях, що потім зведена до одного звичайного диференційного рівняння шостого порядку:

(7)

Для відповідного характеристичного рівняння

,

дано повний розв'язок, що охоплює 10 можливих комбінацій коренів:

1) 2) t₂ > 0; t₃ > 0; 3) t₂ < 0; t₃ < 0;

4) t₂ > 0; t₃ < 0; 5) t₂ = t₃ > 0; 6) t₂ = t₃ < 0; 7) t₁ > 0, 8) t₁ > 0, t₂ > 0; t₃ > 0; 9) t₁ > 0, t₂ = t₃ > 0; 10) t₁ > 0, t₂ = t₃ < 0.

Для кожного варіанта отримані системи фундаментальних ортонормованих функцій загальним числом 360; для першого варіанта коренів перші шість функцій мають вигляд

Інші 354 фундаментальні функції приведені в дисертації.

Розглянуто числовий приклад (рис.4).

Рис.4. Вільні коливання кругової арки

Виведено функцію Гріна:

Стосовно до розрахункової схеми (рис.4) розв'язок крайової задачі про власні коливання арки методом граничних елементів приймає вигляд

	1	2	3	4	5	6			?		= 0. (8)
1
2
3	-1
4		-1
5
6					-1

Оскільки при власних коливаннях вектор граничних параметрів то рівняння (8) має нетривіальне розв'язок за умови

(9)

Останнє рівняння і буде трансцендентним частотним рівнянням МГЕ для арки (рис.4). Корені цього рівняння є частотами власних коливань арки. Пошук коренів можна здійснити методом послідовних наближень, використовуючи яке-небудь середовище програмування, наприклад, MATLAB.

Визначення спектра частот здійснюється шляхом побудови графіка залежності частотного визначника від частоти; крапки перетинання цього графіка з горизонтальною віссю і є власними частотами. Можливості MATLAB такі, що кожна частота може бути обчислена з будь-якою точністю. Процес обчислення перших п'яти частот приведений у дисертації, де показані різні області графіка залежності частотного визначника від частоти, діапазон зміни якої задається в програмі і визначається тим інтервалом, у якому лежить шукана частота. Для даної задачі були обчислені 10 власних частот. Потім ця ж схема розглянута в програмі ANSYS. Порівняння частот, визначених по алгоритму МГЕ, з обчисленими в програмі ANSYS дане в табл.4.

Таблиця 4. Порівняння власних частот, обчислених по МГЕ і МСЕ

Номер частоти / частоти	МГЕ, с-1	МСЕ, с-1	Розбіжність, %
1	65,625	65,069	0,85
2	106,080	120,618	12,05
3	206,819	220,119	6,04
4	271,575	304,559	10,83
5	341,290	402,714	15,25
6	422,951	463,774	8,80
7	539,415	627,816	14,08
8	711,213	793,189	10,33
9	846,467	999,152	15,28
10	946,632	1054,256	10,21

На рис.5 показані перші дві форми власних коливань арки, отримані в результаті розв'язку задачі в ANSYS. Ще вісім форм власних коливань приводяться в Додатку.

Рис.5. Перша і друга форми власних коливань

Розглянуті також коливання арки під дією вимушуючих нормальних і тангенціальних навантажень довільного виду.

Отримано диференційне рівняння вимушених коливань

(10)

Рівняння (10) відрізняється від аналогічного рівняння при вільних коливаннях тільки наявністю правої частини. А це означає, що, як і при вільних коливаннях, тут можливі 10 варіантів розв'язку, причому, отримані 360 фундаментальних функцій залишаються незмінними.

У п'ятому розділі розглядається згин пластинок, підкріплених ребрами жорсткості в двох напрямках. Диференційне рівняння згину пластинки в цьому випадку має вигляд

(11)

де -- прогин пластинки; -- вільний член рівняння, що враховує не тільки зовнішні навантаження, але і наявність підкріплювальних ребер у подовжньому напрямку, під яким будемо розуміти напрям, рівнобіжний осі y (рис.6).

Навантаження розглядається в найбільш загальному виді, коли ребра будуть як суцільного перерізу, так і тонкостінного:

(12)

де -- жорсткості ребер при вигині і крутінні; -- коефіцієнт форми перерізу; -- координата розташування i-го ребра.

Рис.6. Пластинка, підкріплена ребрами жорсткості

Рівняння (11) варіаційним методом Канторовича-Власова зведено до звичайного диференційного рівняння

(13)

при початкових умовах

; (14)

де

-- функція поперечного розподілу прогинів пластини.

Розв'язок задачі Коші (13)-(14) можна представити відповідно до алгоритму методу граничних елементів:

	=									(15)

Таким чином, при використанні методу Канторовича-Власова розв'язок диференційного рівняння задачі зводиться до визначення прогину , де функція задана, а визначається з (15) у виді граничний елемент арковий конструкція

(16)

Розглянуто шість варіантів розв'язку рівняння (13); для них побудовані шість систем фундаментальних ортонормованих функцій, вирази яких приведені в дисертації. Сформовано функцію Гріна і побудовані шість варіантів вектора навантаження. Відповідно до розробленого алгоритму МГЕ виконаний розрахунок квадратної пластини, що має по одному ребру жорсткості в кожнім напрямі (рис.7).



Рис.7. Квадратна пластина з двома ребрами жорсткості

Загальна концепція пропонованого підходу полягає в наступному. Будемо розглядати частини пластини, що мають ребра в поперечному напрямі (паралельно осі ох), як «гладкі» пластини товщиною , де Ї товщина власне пластини, Ї висота підкріплювального ребра. Для цих модулів справедлива теорія розрахунку «гладких» пластин з відповідними виразами фундаментальних функцій, функції Гріна, векторів навантажень і ін. Інші модулі являють собою пластини, підкріплені ребрами жорсткості в подовжньому напрямі (паралельно осі оу), і для них фундаментальні функцій, функції Гріна, вектори навантажень визначаються виразами, отриманими в дисертації.

Рис.8. Дискретизація пластини

Область пластини (рис.8) дискретизується на три підобласті зі східчастою жорсткістю. Області 0 - 1 і 2 - 3 Ї це області (з одним ребром у подовжньому напрямі) товщиною h, циліндрична жорсткість яких а область 1 - 2 Ї це теж пластина (без ребер), але товщиною з циліндричною жорсткістю де Ї усереднений коефіцієнт Пуассона пластини і ребра.

Матриці МГЕ приймають вид

	1						(17)
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12

Вирішено чотири числових приклади: при двох варіантах закріплень контуру пластини (жорстке і шарнірне) і двох варіантах навантаження (рівномірно розподіленому по всій поверхні і зосередженій силі в центрі пластини). Ці ж чотири приклади вирішені МСЕ в програмі ANSYS. Результати досить добре погодяться один з одним (табл.5).

Таблиця 5. Порівняння результатів розрахунку пластини по МГЕ і МСЕ

	Розподілене навантаження	Зосереджена сила в центрі
Шарн. закріпл.	МГЕ	МСЕ	?, %	МГЕ	МСЕ	?, %
Прогин, м	-0,4292e-05	-0,3966е-05	7,6	-0,3572e-04	-0,3329е-04	6,8
Згинальний момент, кН·м	3,6508e-02	3,8992е-02	6,4	67,507	69,327	2,6
Жорст. закріпл.	МГЕ	МСЕ	?, %	МГЕ	МСЕ	?, %
Прогин, м	-0,1406e-06	-0,1257е-06	10,6	-0,1677e-04	-0,1521е-04	9,3
Згинальний момент, кН·м	0,9218e-02	0,8512е-02	7,7	48,802	47,509	2,7

Шостий розділ присвячений числово-аналітичному розв'язуванню крайових задач для систем звичайних диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Дотепер МГЕ застосовувався тільки до задач, що описуються диференційними рівняннями з постійними коефіцієнтами. Методологія застосування МГЕ для таких задач розглянута на прикладах рішень про стійкість плоскої форми вигину тонкостінних стрижнів. Основні результати тут належать С.П. Тимошенку, що одержав розв'язки тільки для випадків, коли поперечне навантаження викликає один закон зміни згинаючого моменту по довжині стрижня. У пропонованій методології знімаються обмеження на крайові умови, можна врахувати довільне поперечне навантаження і структуру стрижневих систем, включаючи рами і нерозрізні балки. Основна ідея додатка МГЕ до розглянутого класу задач складається в заміні змінних коефіцієнтів східчастою залежністю Ї кусочно-постійними функціями. Показано, що розбивка стрижня на 20 ділянок забезпечує достатню точність результатів. Всього приводяться розв'язки 27 нових задач стійкості плоскої форми вигину тонкостінних балок і рам, які не можна вирішити за методикою С.П. Тимошенка; деякі розв'язок приведені в табл. 6.

Таблиця 6. Задачі, що не мають розв'язок за методикою С.П. Тимошенка

Розглянуто також стійкість арок і аркових систем. Аналіз робіт в цій галузі свідчить про те, що для кругових арок і аркових систем задачі стійкості вирішуються в замкнутому вигляді тільки при рівномірно розподіленому по всій довжині радіальному навантаженню, або зосередженій силі, прикладеної в площині симетрії арки. Якщо радіальне навантаження розташоване на частині арки, а зосереджені сили мають довільні координати, то в цьому випадку, а також для арок некругового обрису приходиться застосовувати числові методи, де необхідно доводити достовірність результатів. Від цього вільний числово-аналітичний метод граничних елементів, де можна врахувати різні граничні умови і закони зміни навантаження, жорсткості і радіуса кривизни.

Складено програми в MATLAB, що реалізують методику числово-аналітичного розв'язання крайових задач для систем звичайних диференційних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.

У сьомому розділі розглянутий розрахунок циліндричних оболонок. Використано додаток теорії вигину балки на пружній основі до розрахунку кругової циліндричної оболонки при осесиметричному навантаженні. Диференційне рівняння, що визначає пружну поверхню циліндричної оболонки, обмеженої торцевими діафрагмами (рис. 9) і навантаженої всебічним рівномірним зовнішнім тиском, має вигляд

(18)

а	б

Рис. 9. Кругова циліндрична оболонка

Рівняння (18) за своєю структурою збігається з рівнянням призматичної балки жорсткістю лежачої на суцільній пружній основі жорсткістю навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю і подовжньою силою

У таких позначеннях рівняння (18) записується у вигляді

(19)

Характеристичне рівняння для рівняння (18) Ї біквадратне. Можливі чотири варіанти коренів, для яких визначені фундаментальні функції і побудовані вектори зовнішнього навантаження.

Розглянуто два приклади. У першому випадку це жорстко затиснена по торцях циліндрична оболонка постійної жорсткості, що знаходиться під дією рівномірного зовнішнього тиску (рис. 10).

Рис. 10. Циліндрична оболонка постійної жорсткості

При зазначених параметрах оболонки (рис. 10) характеристичне рівняння має комплексні корені тобто при рішенні використовуються фундаментальні функції і вектор навантаження, отримані для варіанта 1.

Як другий приклад розглянута циліндрична оболонка змінної жорсткості (рис. 11).



Рис. 11. Циліндрична оболонка змінної жорсткості

Тут на всіх ділянках постійної жорсткості також використані фундаментальні функції і вектор навантаження варіанта 1.

Для обох задач обчислені значення прогинів, кутів повороту, згинальних моментів, поперечних сил і напружень (табл. 7,8).

З метою перевірки отриманих результатів обидві задачі вирішені методом скінчених елементів у програмному пакеті ANSYS (табл. 7,8).

Порівняння величин напруг і переміщень, обчислених двома методами (МГЕ і МСЕ), показує їхню гарну збіжність (розбіжність не перевищує 5%).

Таблиця 7. Напруження і переміщення в оболонці постійної жорсткості

Координата уздовж осі, м	МГЕ, MATLAB	МСЕ, ANSYS
	напруження, МПа

Подобные документы

• Осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях

  Коливання ребристих оболонок на пружній основі з використанням геометрично нелінійної теорії стержнів і оболонок типу Тимошенка. Взаємодія циліндричних та сферичних оболонок з ґрунтовим середовищем. Чисельні алгоритми розв'язування динамічних задач.
  
  автореферат [103,4 K], добавлен 10.04.2009
  

• Побудова дискретної моделі за методом Ейлера

  Алгоритм прямого методу Ейлера, побудова дискретної моделі за ним. Апроксимація кривої намагнічування методом вибраних точок. Аналіз перехідних процесів з розв’язанням диференціальних рівнянь явним методом Ейлера. Текст програми, написаний мовою Сі++.
  
  контрольная работа [199,5 K], добавлен 10.12.2011
  

• Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами

  Розрахунок статичної моделі і побудова статичної характеристики повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу. Значення ресивера в номінальному статичному режимі. Моделювання динамічного режиму. Розрахункова схема об’єкту моделювання.
  
  контрольная работа [200,0 K], добавлен 26.09.2010
  

• Структурна атомарна інтерполяція та апроксимація в задачах математичного моделювання

  Методи наближеного розв’язання крайових задач математичної фізики, що виникають при моделюванні фізичних процесів. Використання засобів теорії наближень атомарними функціями. Способи розв’язання крайових задач в інтересах математичного моделювання.
  
  презентация [8,0 M], добавлен 08.12.2014
  

• Дослідження динаміки гідравлічної п'яти ротора багатоступеневого відцентрового насоса

  Характеристика робочого процесу в гідравлічній п'яті ротора багатоступеневого відцентрового насоса. Теоретичний математичний опис, з подальшим створенням математичної моделі розрахунку динамічних характеристик з можливістю зміни вхідних параметрів.
  
  дипломная работа [2,3 M], добавлен 03.05.2014
  

• Спектральний аналіз електричного кола

  Поняття про електричні сигнали та їх спектри. Розрахунок і побудова спектральних діаграм, амплітуд та фаз періодичного сигналу. Операторний метод розрахунку електричних кіл. Порядок розрахунку пасивних фільтрів високої частоти. Проектування ARC фільтра.
  
  курсовая работа [1,2 M], добавлен 10.09.2012
  

• Високочастотний індукційний плазмотрон

  Типи конструкцій ВЧІ-плазмотронів: параметри плазми (температура, швидкість та теплові потоки струменів). Особливості розрахунку ВЧІ-плазмотронів: розрахунок електричних параметрів системи індуктор-плазма, вибір частоти та електричного ККД індуктора.
  
  контрольная работа [2,7 M], добавлен 24.07.2012
  

• Розрахунок та проектування освітлювальної установки

  Вибір джерела випромінювання для освітлювальної установки. Вирішення задачі розташування світильників. Методика техніко-економічного співставлення варіантів освітлення. Визначення коефіцієнту використання світлового потоку, вибір методу розрахунку.
  
  курсовая работа [160,1 K], добавлен 13.11.2013
  

• Характеристика експерементально-аналітичного методу ідентифікації

  Побудова експериментальної кривої розгону астатичного об'єкта. Використання методу Сімою. Ідентифікація динамічного об'єкта керування по імпульсній характеристиці. Ідентифікація об'єктів керування частотним методом. Апроксимація складних об'єктів.
  
  реферат [838,3 K], добавлен 18.07.2013
  

• Асимптотичний метод розв'язування сингулярно збурених крайових задач типу "конвекція-дифузія-масообмін"

  Розвиток асимптотичних методів в теорії диференціальних рівнянь. Асимптотичні методи розв’язання сингулярно збурених задач конвективної дифузії. Нелінійні моделі процесів типу "конвекція-дифузія-масообмін". Утворення речовини, що випадає в осад.
  
  курсовая работа [1,0 M], добавлен 23.04.2017
  

• Аналіз динамічних властивостей астатичних систем підпорядкованого регулювання швидкості

  Сучасний етап розвитку техніки керування електроприводами постійного струму. Уніфікація схем і конструкцій елементів, реалізація високих динамічних характеристик електроприводів, простота їх налагодження і експлуатації. Імітаційне моделювання схем.
  
  контрольная работа [1,5 M], добавлен 15.09.2014
  

• Виконання розрахунку лінійних електричних кіл змінного струму

  Розрахунок нерозгалуженого ланцюга за допомогою векторних діаграм. Використання схеми заміщення з послідовною сполукою елементів. Визначення фазних напруг на навантаженні. Розрахунок трифазного ланцюга при сполуці приймача в трикутник та в зірку.
  
  курсовая работа [110,1 K], добавлен 25.01.2011
  

• Розрахунок розгалуженого електричного кола

  Визначення струмів на всіх ділянках кола за допомогою рівнянь Кірхгофа і методу контурних струмів. Знаходження напруги на джерелі електрорушійної сили. Перевірка вірності розрахунку розгалуженого електричного кола шляхом використання балансу потужностей.
  
  контрольная работа [333,8 K], добавлен 10.12.2010
  

• Розрахунок струмів і напруг у складному електричному колі

  Системи рівнянь для розрахунку струмів і напруг в простому і складному електричних колах. Умови використання методу обігу матриці і формул Крамера. Оцінка вірогідності значення струмів згідно закону Кіргхофа. Знаходження комплексного коефіцієнта передачі.
  
  курсовая работа [255,3 K], добавлен 28.11.2010
  

• Фізико-технологічні основи одержання чутливих елементів для датчиків газів

  Загальні відомості про методи детекції газів. Поверхневі напівпровідникові датчики газів, принцип їх дії, основи їх побудови. Сучасні датчики газів, та методи їх отримання. Нові матеріали та наноструктури – перспективна база елементів для датчиків газів.
  
  курсовая работа [2,3 M], добавлен 09.05.2010
  

• Графоаналітичні методи розрахунку нелінійного ланцюга

  Графік вольт-амперної характеристики нелінійного елемента. Визначення режиму роботи елементів нелінійного ланцюга при заданій напрузі джерела живлення, параметрів нелінійного елементу в робочій точці. Лінеаризована схема для режиму малих сигналів.
  
  курсовая работа [4,5 M], добавлен 10.05.2013
  

• Дослідження перехідних процесів у системі Г-Д

  Поведінка системи ГД перехідних режимів. Експериментальне дослідження процесів при пуску, реверсі та гальмуванні електричних генераторів. Алгоритм побудування розрахункових графіків ПП при різних станах роботи машини. Методика проведення розрахунку ПП.
  
  лабораторная работа [88,2 K], добавлен 28.08.2015
  

• Дослідження роботи теплопостачальної сонячної установки з концентраторами сонячного випромінювання потужністю 15 кВт, для будинку розташованого у м. Одеса

  Огляд схем сонячного гарячого водопостачання та їх елементів. Розрахунок основних кліматичних характеристик, елементів геліосистеми та кількості сонячних колекторів, теплового акумулятора, розширювального бачка, відцентрового насоса, теплообмінників.
  
  дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.01.2012
  

• Розрахунок показників електричного кола

  Розрахунок символічним методом напруги і струму електричного кола в режимі синусоїдального струму, а також повну потужність електричного кола та коефіцієнт потужності. Використання методу комплексних амплітуд для розрахунку електричного кола (ЕК).
  
  контрольная работа [275,3 K], добавлен 23.06.2010
  

• Розрахунок електричного кола

  Зміст перетворень в електричних колах та їх розрахунку за допомогою рівнянь Кірхгофа. Метод контурних струмів і вузлових потенціалів. Баланс потужностей та топографічна векторна діаграма. Визначення діючих та миттєвих значень струмів у всіх вітках.
  
  контрольная работа [157,4 K], добавлен 19.08.2011
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам