Ідентифікація та оптимізація геометричних параметрів об'єктів енергетики і радіоелектроніки шляхом розв'язання обернених задач теплопровідності

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного

УДК 536.24

ІДЕНТИФІКАЦІЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ОБ'ЄКТІВ ЕНЕРГЕТИКИ І РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ ШЛЯХОМ РОЗВ'ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

05.14.06 - технічна теплофізика та промислова теплоенергетика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Костіков Андрій Олегович

Харків 2011

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України (ІПМаш НАН України).

Науковий консультант

академік НАН України, доктор технічних наук, професор Мацевитий Юрій Михайлович, ІПМаш НАН України, директор

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Сімбірський Дмитро Федорович, Національний аерокосмічний університет ім. М. Є. Жуковського «ХАІ», професор кафедри;

доктор технічних наук, професор Круковський Павло Григорович, Інститут технічної теплофізики НАН України, завідувач відділу;

доктор технічних наук, професор Кошельник Вадим Михайлович, Національний технічний університет «ХПІ», завідувач кафедри

Захист відбудеться 16 червня 2011 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.02 в ІПМаш НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ІПМаш НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий 12 травня 2011 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук О. Е. Ковальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогодні обернені задачі (ОЗ) впевнено зайняли свою нішу при дослідженні фізичних процесів різної природи, зокрема й процесів тепломасообміну. Після виходу робіт А. М. Тихонова та його учнів, що започаткували основи теорії некоректних задач і, тим самим, дали теоретичне обґрунтування можливості розв'язання ОЗ, пройшло кілька десятиліть. За цей час були розроблені, теоретично обґрунтовані та пройшли апробацію при вирішенні практичних задач різні методи розв'язання ОЗ теплопровідності (ОЗТ), а також сформувалися кілька шкіл фахівців-теплофізиків, дослідження яких присвячені розв'язанню цих задач. Разом з тим інтерес до ОЗТ не згасає, а, навпаки, неухильно зростає. Про це свідчать численні публікації та доповіді на міжнародних наукових форумах, які присвячені вирішенню ОЗ. Це викликано, по-перше, потребами практики, що визначає постановки ОЗ, а по-друге - бурхливим розвитком сучасних методів розв'язання ОЗ і програмних та апаратних засобів для їх реалізації.

Однак поза систематичним розглядом обернених задач фактично лишився такий клас, як геометричні ОЗТ. Незважаючи на те, що протягом усіх тих років, за які розвивалася й формувалася теорія розв'язання ОЗТ, зустрічалися й успішно вирішувалися окремі практичні задачі, пов'язані з відшукуванням геометричних характеристик об'єктів, єдиного методологічного підходу до вирішення геометричних ОЗТ розроблено не було.

Разом з тим, вирішення геометричних ОЗТ є дуже корисним, а подекуди й необхідним інструментом при моделюванні багатьох теплових явищ. Так, досить часто потрібно визначити розміри або форму об'єкта за відомою температурою усередині нього або на його границі. До задач останнього типу належать, наприклад, задачі з визначення товщини стінки або термозахисного покриття, що забезпечує задану температуру об'єкта. Дуже важливими є задачі моделювання теплових процесів, пов'язаних із зміною агрегатного стану речовини. У цьому випадку необхідно знати границю розділу фаз. При проектуванні радіоелектронної апаратури завжди виникають задачі визначення припустимих областей розташування і знаходження оптимальних координат розміщення джерел і стоків теплоти. Аналогічні задачі виникають і при проектуванні інших пристроїв із внутрішніми джерелами тепла. Геометричні ОЗТ зустрічаються при дослідженні ряду технологічних процесів, таких, як індукційне нагрівання деталей (необхідно визначати глибину нагрівання), активаційне відпалювання напівпровідникових пластин (визначення товщини активованого шару) тощо. За допомогою геометричних ОЗТ можна проводити неруйнівну діагностику, наприклад, визначати розміри тріщин або інших дефектів в об'єкті, що досліджується.

Крім того, слід зазначити низку проблем, що постають при вирішенні геометричних ОЗТ, які, на наш погляд, не до кінця розв'язані. Насамперед, це проблема, яка пов'язана з багатоекстремальністю цільового функціонала, що відбувається в переважній більшості геометричних ОЗТ. При цьому зі збільшенням числа шуканих геометричних параметрів кількість локальних мінімумів цільового функціонала різко зростає. Все це потребує застосування ефективних методів пошуку глобального мінімуму, які, з однієї сторони, можуть знайти досить хороший наближений розв'язок, а з іншої - дозволяли б знаходити це наближення за прийнятний час. Існуючі методи пошуку глобального мінімуму (насамперед, генетичні алгоритми), які застосовуються для вирішення геометричних ОЗТ, мають той недолік, що вони істотно уступають за швидкодією детермінованим методам пошуку локального мінімуму, особливо при наближенні до точки екстремуму. Крім того є проблема одержання стійкого розв'язку геометричної ОЗТ. У зв'язку з тим, що геометричні ОЗТ, як і ОЗТ інших типів, є некоректно поставленими, необхідно проводити регуляризацію їхнього розв'язку, що найчастіше також виливається в збільшення витрат комп'ютерного часу на розв'язання задачі. Також одним із ключових аспектів, якому необхідно приділяти увагу при вирішенні деяких типів геометричних ОЗТ (визначення форми об'єкта, знаходження положення границі розподілу його частин і т. і.), є проблема автоматичної зміни положення границі з наступним розв'язанням прямої задачі для кожного чергового наближення розв'язку. Підходи до вирішення таких задач, що застосовуються в цей час, не є універсальними, і при переході від однієї конфігурації об'єкта до іншої доводиться заново розробляти методику вирішення задачі.

Таким чином, тема цієї дисертаційної роботи, яка присвячена постановці геометричних ОЗТ, вибору найбільш ефективних методів їхнього вирішення, розробці методик і алгоритмів для їх розв'язання, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами

Матеріали дисертації є узагальненням наукових результатів, що отримані автором у період з 1996 по 2010 роки при виконанні 10 науково-дослідних робіт згідно з програмами НАН України і тематичними планами Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України. Це - бюджетні теми: № 209 «Моделювання та ідентифікація процесів тепломасообміну в об'єктах енергетики та електроніки» (№ держреєстрації 0197U012287); № 10 «Моделювання та ідентифікація процесів тепломасообміну в об'єктах промислового призначення та енергетики з метою енергозбереження, підвищення надійності та подовження ресурсу» (№ держреєстрації 0100U004810), № 39 «Ідентифікація границі двовимірної області за допомогою розв'язання геометричних обернених задач теплопровідності» (№ держреєстрації 0103U004889); № III-11-05 «Розробка наукових основ енергозберігаючих технологій в енергетиці, машинобудуванні та приладобудуванні на основі моделювання, ідентифікації та оптимізації теплових процесів» (№ держреєстрації 0105U002642); гранти президента України для молодих вчених Ф8/353-2004 «Розробка та дослідження спеціалізованих теплонасосних установок» та Ф-13/32-2007 «Розробка систем комплексного теплохладопостачання на базі теплонасосних установок» (№№ держреєстрації 0105U004784, 0107U007616); госпдоговір № 199-22 «Розробка та створення апаратно-програмного комплексу збирання й оброблення технологічної інформації (АПК ЗОТІ) для випробного стенда виробу 99В» (№ держреєстрації 0103U001846); а також бюджетні теми № II-18-06-2006 і № II-18-07-2007, що виконувалися в рамках наукового проекту «Розробка науково-технічних основ енергозберігаючих технологій шліфування» за програмою «Науково-технічні основи вирішення проблем енергозбереження», (№№ держреєстрації 0106U008604, 0107U008042) та бюджетна тема № 20-10/ІІ-53-10 «Дослідження теплових процесів при сухому зберіганні відпрацьованого ядерного палива», що виконувалася за Цільовою комплексною міждисциплінарною програмою наукових досліджень НАН України з проблем сталого розвитку, раціонального природокористування та збереження навколишнього середовища (№ держреєстрації 0110U004474).

В чотирьох із зазначених робіт автор був відповідальним виконавцем, в одній - науковим керівником, в інших - виконавцем окремих розділів.

Мета і задачі дослідження

Метою роботи є розробка загального методологічного підходу до вирішення геометричних ОЗТ, які застосовуються як для діагностики технічного стану теплонавантаженного обладнання, тобто для ідентифікації геометричних характеристик за результатами теплофізичних вимірювань, так і для проектування нового устаткування. Цей підхід має бути універсальним, тобто він не повинен залежати від виду конкретної задачі або шуканих геометричних характеристик, але водночас дозволяти вирішувати геометричні ОЗТ в автоматичному або автоматизованому режимі.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі основні задачі:

– сформулювати загальний підхід до постановки геометричних ОЗТ;

– вибрати методи розв'язання ОЗТ, найбільш придатні для вирішення геометричних ОЗТ, і в разі потреби доопрацювати їх;

– розробити єдину методику й алгоритми розв'язання геометричних ОЗТ;

– розробити основні принципи побудови програмного забезпечення для вирішення геометричних ОЗТ;

– провести тестування запропонованої методології на методологічних задачах;

– вирішити практичні задачі щодо ідентифікації та оптимізації геометричних характеристик об'єктів.

Об'єктом дослідження є теплофізичні процеси в об'єктах енергетики та радіоелектроніки (машини, прилади, пристрої, апарати, їх складові частини), їхній вплив на експлуатаційні характеристики та геометричні параметри цих систем.

Предметом дослідження є математичне моделювання явищ тепломасообміну, ідентифікація й оптимізація геометричних параметрів технічних об'єктів.

Методами вирішення сформульованої наукової проблеми є методи: теорії тепломасообміну, математичної фізики (зокрема розв'язання некоректних задач), математичного моделювання, вирішення обернених задач, оптимізації, комп'ютерного моделювання і програмування, а також математичної статистики.

Наукова новизна одержаних результатів

1. Вперше розроблено загальний, універсальний методологічний підхід до вирішення геометричних ОЗТ. Цей підхід дозволяє успішно вирішувати ОЗ як у лінійній, так і нелінійній постановках, що виникають при ідентифікації геометричних характеристик об'єктів за результатами теплофізичного експерименту та теплофізичному проектуванні об'єктів.

2. Вперше запропоновано класифікацію геометричних ОЗТ, яка ґрунтується на типі геометричної інформації, що ідентифікується.

3. Для регуляризації розв'язку геометричних ОЗТ, в яких шукана геометрична інформація незмінна у часі, вперше запропоновано звужувати множину можливих розв'язків до компакту завдяки застосовуванню такої параметризації, при якій параметри мають вигляд геометричних величин, а область їх можливих значень обмежена.

4. Розроблено нову методику визначення невідомої границі об'єкта шляхом вирішення геометричної ОЗТ, яка ґрунтується на спільному використанні варіаційних методів, методу R-функцій і сплайн-інтерполяції.

5. Розроблено нову методику для вирішення задачі параметричної ідентифікації джерела тепла, в якій використовується апріорна інформація про його геометрію та потужність тепловиділення. При цьому одночасно знаходяться місцеположення та потужність джерела тепла.

6. За рахунок використання різницевих сіток, що поступово згущуються, удосконалена схема розв'язання нелінійних задач розміщення й ідентифікації джерел тепла, що дозволило скоротити час їх вирішення без втрати точності. обернений задача теплопровідність геометричний

7. Запропоновано новий гібридний метод пошуку глобального мінімуму багатоекстремального функціонала, який спільно використовує можливість генетичних алгоритмів ефективно виходити з околу знайденого локального мінімуму і можливість традиційних методів оптимізації швидко досягати мінімуму з будь-якої точки його околу.

8. Уперше розглянуто клас геометричних обернених спряжених задач теплопереносу і розроблено підхід до вирішення таких задач із використанням CFD-пакетів (готового програмного забезпечення вирішення задач тепломасообміну).

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що методологічний підхід, який розробив автор, є інваріантним по відношенню до об'єкта, що досліджується, та математичної моделі процесу теплообміну. Ця обставина дозволяє застосовувати його для вирішення широкого кола важливих науково-технічних та прикладних задач, які пов'язані з ідентифікацією та оптимізацією геометричних характеристик. Розроблений підхід орієнтований на широке застосування при проектуванні теплонавантажених виробів. Його використання дозволяє істотно скоротити час проектування та доробки.

Запропонована автором методика визначення границі об'єкта за допомогою вирішення геометричної ОЗТ може бути легко впроваджена у виробництво, оскільки вона дозволяє отримати результат у вигляді інтерполяційного сплайну, який широко застосовується в системах автоматизованого проектування та в станках з числовим програмним керуванням.

Застосування методології вирішення геометричних ОЗТ при дослідженні реальних фізичних об'єктів дозволило сформулювати рекомендації стосовно зберігання відпрацьованого ядерного палива та використання нетрадиційних джерел тепла.

Результати, що отримані при виконанні дисертаційного дослідження, використовуються в:

- Науково-дослідному технологічному інституті приладобудування (м. Харків) при виготовленні виробів з металізованої кераміки;

- ДП Міноборони України «Луцький ремонтний завод «Мотор» і ЗАТ «Констар» (м. Харків) при діагностуванні виробів спеціального призначення;

- ВАТ Харківський науково-дослідний та проектно-конструкторський інститут «Енергопроект» при забезпеченні безпеки зберігання відпрацьованого ядерного палива на Запорізький АЕС;

- Харківській ТЕЦ-5 при оцінці впливу фактичних режимів роботи на термонапружений стан роторів турбін та оцінці спрацювання їхнього ресурсу;

- в ЗАТ «Донецьксталь» - металургійний завод» при організації породних відвалів горнозбагачувальної фабрики;

- Національному аерокосмічному університеті «ХАІ» (м. Харків) и Національному технічному університеті «ХПІ» (м. Харків) при проведенні учбових процесів;

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати роботи, які виносяться на захист, отримані здобувачем особисто. При підготовці монографії [1] до друку дисертантом було написано окремі параграфи трьох розділів, які присвячені методологічному підходу до вирішення ОЗ, моделюванню та ідентифікації теплообміну в енергетичних об'єктах, оптимальному керуванню роботою енергетичного обладнання.

У статті [2] наведено розроблену здобувачем методику розв'язання одновимірних геометричних ОЗТ. В роботі [4] відображено запропоноване автором використання різницевих сіток, що поступово згущуються, для вирішення задач розміщення джерел тепла. Під час роботи над задачами, про які йдеться в статтях [5, 6], дисертант розробив методичне та програмне забезпечення вирішення задач розміщення джерел теплоти. В роботі [11] дисертантом сформульована задача спряженого теплопереносу у контейнерах з відпрацьованим ядерним паливом. В статті [12] наведено розроблену ним методику ідентифікації шуканих параметрів за допомогою інтерполяції результатів вирішення прямих задач. В роботах [13, 14] дисертантом запропоновано класифікацію геометричних ОЗТ, систематизовано існуючі підходи до вирішення таких задач і розглянуто основні математичні особливості, які виникають під час їх вирішення. В статті [15] дисертант приділяв увагу загальній постановці обернених спряжених задач теплопереносу та запропонованій ним методології вирішення цих задач за допомогою CFD-пакетів. Під час написання роботи [16] він сформував математичну модель процесів теплообміну та методику оцінки ефективності утилізації тепла териконів за допомогою природної тяги і реалізував їх у вигляді програмного забезпечення. В роботах [17, 18] ним обґрунтована необхідність використання моделювання та ідентифікації теплових процесів при забезпеченні екологічної безпеки сухого зберігання відпрацьованого ядерного палива. В статтях [19, 20] наведено сформовану математичну модель спряженого теплопереносу у відпрацьованих тепловиділяючих збірках та методику їх розміщення в кошику сухого зберігання. Під час написання робіт [21, 23] дисертант сформував математичну модель процесів теплообміну в ґрунтовому теплообміннику та розробив алгоритми та програмне забезпечення для розрахунку його режимних параметрів. В статті [21] також наведені отримані автором результати розрахунку режимних параметрів ґрунтового теплообмінника для системи опалення житлового будинку котеджного типу. В роботі [24] подано розроблену дисертантом методику визначення еквівалентної теплопровідності кошика сухого зберігання відпрацьованих тепловиділяючих збірок за допомогою розв'язання оберненої спряженої задачі теплопереносу. В статті [25] описана запропонована автором методика визначення невідомої границі об'єкта шляхом вирішення геометричної ОЗТ. Дисертант брав участь в використанні CFD-пакетів для вирішення задач, які розглядалися в статтях [11, 19, 20, 24]. Крім того, всі розрахункові дослідження, результати яких наведено в статтях [2, 4, 5, 6, 12, 15, 16, 23], було виконано особисто автором дисертації. Статті [3, 7, 8, 9, 10, 22] були написані ним самостійно.

При підготовці заявки на патент [26] здобувач запропонував окремі аспекти способу прокладки трубопроводу в териконі, які дозволили використовувати його як теплообмінник. При підготовці заявки на патент [27] дисертант розробив математичну модель свердловинного теплообмінника, методичне і програмне забезпечення, за допомогою яких провів розрахунки, що дозволили зробити висновок про доцільність запропонованого способу утилізації геотермальної енергії.

При підготовці доповідей на наукових форумах здобувач особисто опрацьовував такі аспекти, як: розробка методик, алгоритмів та програмного забезпечення розміщення джерел тепла [30, 31, 34], використання CFD-пакетів для вирішення геометричних ОЗТ [28, 34], формалізація загальної постановки задачі теплового проектування радіоелектронної апаратури [31, 32], загальна постановка обернених спряжених задач теплопереносу та методологія їх вирішення за допомогою CFD-пакетів [36], розробка математичної моделі спряженого теплопереносу при дослідженні теплового стану контейнерів з відпрацьованим ядерним паливом та вирішення цих задач за допомогою CFD-пакетів [35, 37, 38, 39], а також розробка математичної моделі ґрунтового теплообмінника та розрахункове визначення його режимних параметрів [40]. Крім того, всі розрахункові дослідження при підготовці доповідей [29, 30, 31, 34, 36] було виконано особисто автором дисертації. Доповідь [33] була підготовлена ним самостійно.

Апробація результатів роботи. Основні матеріали й результати роботи доповідалися на таких наукових форумах, як 4-й українсько-російсько-китайський симпозіум по космічній науці й технології (Київ, 1996), 4th International colloquium on process simulation (Espoo, Finland, 1997), 3rd international conference on inverse problems "Inverse Problems in Engineering. Theory and Practice" (Port Ludlow, Washington, USA, 1999), 5th Sino-Russian-Ukrainian Simposium on Space Science and Technology (Harbin, China, 2000), 6th International Conference "CADSM-2001" (Lviv-Slavsko, 2001), International summer school "IMMC2: Iterative methods and matrix computations" (Rostov-on-Don, Russia, 2002), 7th International Conference "CADSM-2003" (Lviv-Slavsko, Ukraine, 2003), VI Минский международный форум по тепло- и массообмену (Минск, Белорусия, 2008), International Symposium on Inverse Problems, Design and Optimization “IPDO-2007” (Miami, Florida, U.S.A., 2007), ХVII Міжнародна науково-практична конференція «Інформаційні технології: Наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я» (Харків, 2009), 5th and 6th International Conferences «Inverse Problems: Identification, Design and Control» (Russia, 2007, 2010).

Публікації. Основний зміст роботи відображено у 40 публікаціях, з яких одна монографія, 24 статті (з них 23 - у журналах і збірниках, внесених до переліку спеціалізованих видань України, де можуть публікуватися результати дисертаційних робіт), два патенти, 9 повних текстів доповідей та 4 тези доповідей на наукових форумах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, загальних висновків по роботі, переліку з 312 використаних джерел, одного додатку, 62 рисунків та 25 таблиць. Загальний обсяг становить 352 сторінки, з них: 270 сторінок основного тексту, 39 - з рисунками та таблицями, 35 сторінки списку використаних джерел та 8 сторінок додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ. В ньому наведено загальну характеристику роботи. Зокрема, обґрунтована актуальність обраної теми дисертації, сформульовані мета і задачі дисертації, зазначені об'єкт, предмет та методи дослідження. Визначено наукову новизну та практичну цінність результатів, що отримав здобувач. Наведено інформацію про оприлюднення результатів у відкритій пресі, апробацію на наукових форумах, зв'язок роботи з бюджетними темами.

В першому розділі розглянуто прямі (ПЗТ) і обернені задачі теплопровідності та їх місце у дослідженнях теплових процесів при розробці, експлуатації та вдосконаленні технічних об'єктів. Серед ОЗТ виділено геометричні обернені задачі теплопровідності як предмет дослідження. Зазначено їх суттєву роль як при ідентифікації, так і при оптимізації теплових процесів.

Для узагальнення сучасних тенденцій в галузі розв'язання геометричних ОЗТ введено їх класифікацію. За ознаку, за якою проведено класифікацію, обрано вид шуканої геометричної інформації, в результаті чого усі геометричні ОЗТ розподілені на чотири групи:

– визначення розмірів тіла, якщо його форма відома (сюди також віднесені одновимірні задачі щодо ідентифікації або оптимізації геометрії об'єкта);

– знаходження форми і положення границі об'єкта, що досліджується;

– знаходження усередині об'єкта, що досліджується, форми і положення границі розділу підобластей з різними теплофізичними властивостями, різним агрегатним станом (визначення фронту фазового переходу), різними особливостями теплофізичного процесу (наявність/відсутність джерел тепла) тощо;

– розміщення або ідентифікація місцеположення джерел тепла.

У межах кожної групи проведено огляд задач, які вирішувалися донедавна.

Одновимірні геометричні задачі теплопровідності та багатовимірні задачі визначення розмірів тіла при відомій його формі (при цьому форма, як правило, задавалася координатними лініями або поверхнями) розглядалися одними з перших. Вони сягають до робіт Стефана кінця XIX століття. В такій постановці вирішувалися, наприклад, задачі визначення глибини промерзання ґрунту, уносу теплозахисного покриття літальних апаратів, утворення металургійного злитку та теплового контролю при неруйнівній діагностиці. Результати цих досліджень знайшли відбиття в роботах таких вчених, як О. М. Аліфанов, Л. С. Лейбензон, Г. А. Мартинов, Ю. М. Мацевитий, М. І. Никитенко, Я. Ф. Рутнер, Д. Ф. Сімбірський, А. М. Тихонов, C. K. Hsieh та ін. Відносна простота математичної постановки таких задач дозволяє застосовувати або неекстремальні методи для їх вирішення (метод обернення розв'язку й метод обернення математичної моделі), або екстремальні із застосуванням методу скінчених різниць для вирішення серії ПЗТ, що розглядаються у процесі мінімізації цільового функціонала. Досить тривалий час вирішувалися геометричні ОЗТ тільки такого типу. Під час спроб поширити методи їх вирішення на ідентифікацію й оптимізацію форми об'єкта, що досліджується, або його складових частин виникали труднощі, які пов'язані з автоматичною перебудовою сітки при зміні форми розрахункової області в процесі мінімізації цільового функціонала. Лише поява математичного апарата для рішення ПЗ, який здатний ефективно реагувати на зміну розрахункової області в автоматичному режимі (зокрема, методу граничних елементів), дозволила розробляти методики вирішення таких задач.

Визначенню форми й положення границі об'єкта присвячено цілу низку робіт. Серед теоретичних досліджень у цій галузі превалюють задачі, де ідентифікація невідомої частини границі області, у якій розглядається рівняння Лапласа, здійснюється за умовами Коші, що задаються на відомій частині границі (стосовно теплофізики це є одночасне задання температури й теплового потоку). У ході таких фундаментальних досліджень, які виконували, зокрема, D. D. Ang, R. Chapko, L. Elliott, D. B. Ingham, R. Kress, D. Lesnic, N. S. Mera, L. K. Vy, J.-R. Yoon та ін., визначаються умови існування, єдиності та стійкості розв'язків. Прикладні задачі в цій галузі орієнтуються на ідентифікацію невідомої частини границі за результатами термометрирування в скінченному числі реперних точок, які розташовуються, як правило, на відомій частині границі. Такі задачі формулюються в екстремальній постановці, і їм присвячені роботи C. H. Huang, A. J. Nowak, I. Nowak, H. M. Park, H. J. Shin, L. C. Wrobel та ін. В них для мінімізації функціонала відхилу розрахункових температур в реперних точках від тих, що вимірюються, використовують методи спряжених градієнтів, коефіцієнтів чутливості й метод Левенберга-Маркуардта (L-MM), а для вирішення ПЗТ під час розрахунку поточного значення цільового функціонала - метод граничних елементів і варіаційні методи. Найбільш часто подібні задачі розв'язуються під час ідентифікації положення фронту фазового переходу, коли теплофізичні явища в рідкій фазі не розглядаються, а розрахункова область являє собою тільки ту частину простору, що зайнята твердою фазою.

У задачах знаходження форми й положення границі, яка розділяє підобласті усередині об'єкта, що досліджується, треба визначити або положення фронту фазового переходу, або ідентифікувати границю розподілу підобластей з різними теплофізичними властивостями. Практичні задачі такого типу виникають при зварюванні, вирощуванні кристалів, у металургії, кріобіології та в інших прикладних галузях. Такі задачі розглядалися в роботах А. В. Бородіна, А. В. Жданова, Ю. А. Самойловича, В. І. Тимошпольського, І. А. Трусової, М. В. Юдіна, J. P. Bardon, N. Desai, C. H. Huang, J. P. Humeau, Y. Jarny, R. Keanini, W. S. Kim, D. S. Kwag, N. Ozisik, I. S. Park, S. Peneau, Y. Rabin, Y. Ruan, C. C. Shih, N. Zabaras та ін. Як і для задач попереднього типу, найпоширенішими методами мінімізації цільового функціонала тут є методи спряжених градієнтів і коефіцієнтів чутливості, а ПЗТ вирішуються методом граничних елементів.

Остання виділена нами група геометричних ОЗТ, а саме розміщення або ідентифікація місцеположення джерел теплоти, істотно відрізняється від розглянутих вище як за своєю фізичною природою, так і за математичною сутністю. У цих задачах форма й розміри області, що розглядаються, та її складових частин залишаються незмінними, а визначаються лише геометричні параметри зон, у яких виділяється або поглинається тепло. З математичної точки зору зміна місця розташування й форми джерела відбивається лише у вільному члені рівняння теплопровідності. Такі задачі тісно пов'язані із внутрішніми ОЗТ, у яких визначається потужність тепловиділення. Проте якщо джерело не займає всю розрахункову область, то вже не тільки з фізичної, але й з математичної точок зору ми одержуємо принципово іншу задачу, яка, відповідно до класифікації обернених задач, що запропонував Ю. М. Мацевитий, належать до геометричних ОЗТ.

Задачі розміщення джерел виникають при проектуванні теплонавантажених об'єктів із джерелами теплоти (найпоширеніша прикладна галузь - проектування радіоелектронної апаратури, систем термостабілізації). При цьому залежно від специфіки задачі для мінімізації цільового функціонала можуть застосовуватися як традиційні методи, так і методи дискретної оптимізації. Серед робіт у цій галузі можна виділити роботи А. Б. Бартмана, Б. В. Гера, В. П. Путятіна, А. П. Слесаренка, Ю. Г. Стояна. У ході мінімізації цільового функціонала в таких задачах, як правило, доводиться враховувати безліч додаткових обмежень, що пов'язані з умовами неперетинання областей розташування джерел і невиходу їх із зони припустимого розміщення. У цьому випадку застосовують або традиційні методи умовної оптимізації (наприклад, метод бар'єрних і штрафних функцій), або спеціальний математичний апарат, в основі якого лежить теорія Ф-функцій, яку запропонував Ю. Г. Стоян. Задачами ідентифікації місця розташування джерел теплоти займалися такі дослідники як Є. Артюхін, R. Abou Khachfe, J. Guo, Y. Jarny, F. Lefevre, T. Loulou, C. Le Nilliot, P. Le Masson та ін. В основному ці задачі пов'язані з дослідженням теплових процесів при електроннопроменевому або електродуговому зварюванні.

Слід зазначити, що в задачах розміщення й ідентифікації місця розташування джерел теплоти геометрія розрахункової області залишається незмінною. Тому для вирішення серії ПЗТ у процесі мінімізації цільового функціонала поряд з методами, що згадувалися вище при розгляді геометричних ОЗТ інших типів (метод граничних елементів, варіаційні методи), широко використовуються й методи скінченних різниць. Проте при використанні сіткових методів виникає проблема зміни положення джерела теплоти на відстань, що не є кратною кроку сітки.

Одним з основних аспектів, що виникають при вирішенні геометричних ОЗТ, є питання формалізації опису шуканих геометричних характеристик. Якщо в задачах визначення розмірів тіла та в задачах розміщення теплових джерел відомої форми ця проблема не становить особливих труднощів (шукана геометрична інформація - скінчений набір розмірів об'єкта, координати точки прив'язки кожного джерела й т. і.), то в задачах визначення форми (як усього об'єкта, так і його підобластей або форми джерела) математичний опис границі, що допускає ефективну й досить довільну її варіацію під час вирішення, може являти собою певні труднощі. На жаль, у більшості робіт з геометричних ОЗТ автори залишають це питання за рамками викладання або використовують додаткову апріорну інформацію про форму границі, отриману, наприклад, з фізичних міркувань, що істотно знижує універсальність запропонованого ними підходу до вирішення таких задач. Крім того, не слід забувати, що при впровадженні результатів вирішення геометричних ОЗТ у виробництво (а це, насамперед, задачі оптимізації) перенесення отриманого розв'язку в системи комп'ютерної графіки, у верстати із числовим програмним керуванням або в інші формотворні пристрої можуть виникнути технологічні похибки реалізації геометрії, яку знайдено в результаті вирішення ОЗТ, і це призведе до зміни температурного поля об'єкта, що розробляється. Тому в задачах визначення границі області проблема параметризації її математичного опису є однією з ключових.

Ефективність вирішення геометричної ОЗТ, як і ОЗТ інших типів, залежить від того, який метод оптимізації обрано як інструмент для мінімізації цільового функціонала. При вирішенні ОЗТ (і геометричних - у тому числі) екстремальним методом цільовий функціонал, що мінімізується, має досить складну нелінійну залежність від шуканих параметрів, тобто допускає тільки чисельну мінімізацію. Однією з особливостей геометричних ОЗТ, яку відзначають багато дослідників, є їх багатоекстремальність. При цьому далеко не завжди при вирішенні таких задач вдається вибрати початкову точку в околі глобального мінімуму, пошук з якої приведе в цей глобальний мінімум, як, наприклад, при вирішенні ОЗТ з ідентифікації теплофізичних властивостей.

У розділі 2 викладено розроблений здобувачем єдиний методологічний підхід, який дозволяє однотипно формулювати й вирішувати геометричні ОЗТ широкого спектра.

Для того щоб можна було перейти до математичного формулювання задачі, шукані геометричні характеристики параметризуються, тобто виділяється одна або кілька геометричних величин, які будуть змінюватися відповідно до умов задачі й сукупність яких дозволяє однозначно відновити шукану геометричну інформацію. Такими величинами можуть бути геометричні розміри, координати деяких точок (наприклад, точок прив'язки джерел теплоти), параметри функціональної залежності, що описує шукану границю і т. і. Шукані геометричні параметри можна зобразити у вигляді вектора g = {g₁, g₂, …, g_n}, який складається зі скалярних величин (при незмінності у часі шуканих геометричних характеристик) або функцій, що залежать від часу (у протилежному випадку).

Для формалізації зв'язку між шуканими геометричними параметрами й вхідними даними задачі розглядаються такі операторні рівняння:

Ag = f, g G, f F, (1)

Bg = , g G, , (2)

C = f, , f F, (3)

де g і f - відповідно шукані й спостережувані характеристики об'єкта, що належать деяким метричним просторам G і F; А - оператор, який діє з G в F і формалізує сукупність операцій, що визначаються математичною моделлю явища й умовами однозначності (він встановлює причинно-наслідкові зв'язки між шуканими й вхідними (спостережуваними) величинами; - сукупність параметрів стану об'єкта, яка належить деякому метричному простору параметрів стану ; B - оператор, що відображає простір G на простір відповідно до причинно-наслідкових зв'язків між умовами однозначності та параметрами стану об'єкта, тобто відповідно до математичної моделі процесу теплообміну; C - оператор «спостереження», що ставить у відповідність сукупності параметрів стану спостережувані параметри. Зв'язок між операторами A, B і C встановлюється співвідношенням A = CB.

У задачах із зосередженими параметрами - це скінченний набір скалярних величин = {₁, ₂, …, _s} або функцій, що залежать від часу = {₁(), ₂(), …, _s()}, а в задачах з розподіленими параметрами - фізичне поле (поля) = (, x, y, z). Тут 0 , де - тривалість фізичного процесу, що розглядається, (x, y, z) , де - просторова область, яку займає об'єкт.

Стосовно геометричної ОЗТ величина g є сукупністю шуканих геометричних параметрів, параметром стану є температура, а спостережувані характеристики f - це вектор стану системи (деяка інформація про температурне поле об'єкта).

У задачах ідентифікації спостережуваною характеристикою є вектор, що складається з температур, які вимірювалися у скінченному числі точок області . При цьому виміри проводяться в скінченному числі моментів часу. Таким чином, оператор C визначається місцем розташування датчиків температури й моментами часу вимірів.

У задачах оптимального проектування під спостережуваними характеристиками f мають на увазі не обмірювані величини, а ті, які задані і які необхідно досягти при проектуванні об'єкта шляхом вибору найкращих значень геометричних параметрів. При цьому можуть використовуватися досить різноманітні зв'язки між параметрами стану й величинами f (максимальна температура об'єкта, середньоінтегральна температура, значення температури в деяких точках, заданий у часі температурний режим і т. і.).

У більшості геометричних ОЗТ на вектор шуканих параметрів накладаються обмеження, що обумовлені конструкторськими, технологічними, економічними або іншими причинами. Всі їх можна формалізувати за допомогою обмежень

_l(g₁, g₂, …, g_n) 0 (l = 1, …, m_g), (4)

які в просторі шуканих геометричних параметрів G визначають множину дозволених у зазначеному сенсі розв'язків G_g (тут _l - функції, вигляд яких визначається умовами конкретної задачі).

Теплові особливості задачі також можуть вносити обмеження на параметри стану . Ці обмеження в просторі параметрів стану формують множину дозволених температурних станів _д. У багатьох випадках, у тому числі й при заданні температурних обмежень зверху або знизу в деяких точках або регіонах об'єкта, що досить часто зустрічається в практичних задачах, множину _д можна описати за допомогою системи нерівностей

R_l 0 (l = 1, …, m), (5)

де R_l - деякі функціонали обмежень.

Беручи до уваги (2), систему нерівностей (5) можна подати у вигляді

R_l(Bg) 0 (l = 1, …, m), (6)

тобто обмеження на параметри стану в остаточному підсумку є додатковими обмеженнями на геометричні параметри й задають множину G геометричних параметрів, які дозволені з теплофізичної точки зору. Сукупність умов (4) і (6) формують область дозволених (як за тепловими, так і за іншими ознаками) розв'язків G_д = G_g G.

Неекстремальні методи вирішення ОЗТ (метод обернення розв'язку, метод обернення моделі) для відшукання геометричних параметрів вдається застосувати лише в деяких найпростіших випадках, коли можна побудувати оператор, що є оберненим до оператора A, тобто звести рівняння (1) до вигляду g = A^-1f. Для вирішення переважної більшості геометричних ОЗТ їх доводиться розглядати в екстремальній постановці, тобто зводити до задачі мінімізації функціонала, який діє в просторі шуканих геометричних параметрів G_.

В задачах ідентифікації такий функціонал можна побудувати у вигляді відхилу вимірюваних величин від розрахованих

J(g) = ||Ag - f ||_F. (7)

У випадку задач оптимального теплового проектування функціонал будується не у вигляді (7), а виходячи з обраного критерію оптимальності. Наприклад, в задачах проектування теплонавантаженого об'єкта досить часто таким функціоналом є скалярний спостережуваний параметр - максимальна температура в розрахунковій області

(8)

Оскільки цільовий функціонал J має досить складну залежність від шуканих геометричних параметрів g, безпосереднє застосування необхідної й достатньої умови мінімуму неможливо, і для його мінімізації треба залучати чисельні методи умовної (за наявності обмежень (4), (6)) або безумовної (за їхньої відсутності) мінімізації. При вирішенні ОЗТ інших типів найбільшого поширення набули методи прямого пошуку (наприклад метод Нелдера-Міда) і градієнтні методи (зокрема метод спряжених градієнтів). Разом з тим в силу багатоекстремальності цільового функціонала в геометричних ОЗТ їхнє застосування не завжди може дати позитивний результат, тому що вони дозволяють знайти лише локальний мінімум, в околі якого обране початкове наближення. Останнім часом набули поширення генетичні алгоритми - методи оптимізації, що ґрунтуються на застосуванні стохастичних підходів. Однак у цих методів є свої недоліки - незважаючи на те, що вони досить успішно виходять на окіл глобального мінімуму, процес вирішення при наближенні до нього істотно вповільнюється. Крім того, знайдений при використанні генетичних алгоритмів розв'язок може вийти менш точним, ніж у випадку застосування детермінованих методів оптимізації, які стартують з околу глобального мінімуму. Тому, на наш погляд, доцільно спільне використання позитивних якостей традиційних детермінованих методів оптимізації (швидкий спуск до локального мінімуму з деякої точки його околу) і генетичних алгоритмів (можливість ефективно виходити з околу знайденого локального мінімуму). Зокрема, пропонується використовувати гібридний метод, у якому на першому етапі за допомогою генетичного алгоритму здійснюється пошук декількох точок у просторі G, а на другому ці точки розглядаються як початкові наближення для мінімізації детермінованим методом. Модифікацією такого методу є циклічне повторення цих двох етапів.

Як і більшість ОЗ, геометричні ОЗТ через порушення причинно-наслідкових зв'язків є некоректними, і розв'язок їх, як правило, є нестійкими. Тому необхідно проводити регуляризацію розв'язків. Досить значна частина геометричних ОЗТ пов'язана з визначенням незмінних у часі геометричних характеристик, тобто в результаті параметризації розв'язку задача зводиться до пошуку скінченного набору скалярних величин g = {g₁, g₂, …, g_n}. Якщо кожний компонент вектора g має цілком певне геометричне значення (геометричні розміри, координати деяких точок і т. і.), то, проаналізувавши обмеження (4), досить легко зробити висновок, чи є множина G_g обмеженою у просторі G. Якщо це не так, то, виходячи з апріорної інформації конкретної задачі, як правило, можна накласти обмеження на діапазон зміни кожного геометричного параметра g_imin g_i g_imax і додати їх у систему (4). Як наслідок, одержимо звуження множини дозволених розв'язків до компакта й відповідно до відомої теореми задача стає коректною за Тихоновим. Таким чином, параметризація шуканої геометричної інформації, яка незмінна в часі, приводить до природної регуляризації розв'язку. Якщо з деяких причин такий підхід у випадку незмінної в часі геометрії неприйнятний або розглядається нестаціонарна задача, у якій шукана геометрія змінюється у часі, то необхідно застосовувати прийоми регуляризації вже в процесі самого розв'язання, наприклад, методи стабілізуючого функціонала (А. М. Тихонов), функціональної апроксимації (J. Beck), ітераційної регуляризації (О. М. Аліфанов), точністної регуляризації (Ю. М. Мацевитий) та ін.

У дисертації викладено загальний методологічний підхід до вирішення геометричних ОЗТ. Для його реалізації необхідно:

1. Провести параметризацію шуканих геометричних характеристик; сформувати простір G.

2. У просторі G описати множину G_g, задавши нерівності (4), і, якщо вона не є обмеженою, спробувати звести її до компактної множини.

3. Сформувати математичну модель теплофізичного процесу, у якій усі компоненти вектора g фігурують як умови однозначності; тобто сформувати простір параметрів стану і задати оператор B.

4. У просторі описати множину _д шляхом задання обмежень (5).

5. Вибрати спостережувані параметри системи та їхній зв'язок з температурним полем, тобто сформувати простір F (з вибором норми в цьому просторі) і задати оператор C.

6. Вибрати метод вирішення відповідної прямої задачі.

7. Якщо задача допускає неекстремальний підхід до вирішення, то знайти розв'язок як наслідок обернення оператора A у рівнянні (1). У протилежному випадку відповідно до умов задачі вибрати цільовий функціонал J і сформулювати критерій оптимальності.

8. Вибрати метод мінімізації функції декількох змінних, а у випадку, якщо G_g не є компактною множиною, - метод регуляризації.

9. Провести мінімізацію цільової функції.

Таким чином, запропонований підхід дозволяє однотипно формулювати й вирішувати геометричні ОЗТ широкого спектра. Для кожної конкретної задачі унікальними будуть лише розмірність простору G, вигляд операторів A, B, C і вигляд функціоналів, що фігурують у критерії оптимальності й обмеженнях. Вирішення геометричної ОЗТ зведено до пошуку мінімуму функції n змінних, для чого можна застосовувати відомі методи умовної мінімізації. У багатьох практичних випадках регуляризація буде здійснюватися природно. Все це дозволяє формалізувати процеси постановки й вирішення геометричних ОЗТ, що в остаточному підсумку дає можливість реалізувати даний підхід у вигляді програмних продуктів як спеціалізованих, тобто спрямованих на розв'язання якихось однотипних геометричних ОЗТ, так і універсальних, тобто придатних для вирішення широкого спектра задач. При цьому, залежно від обраного методу мінімізації цільового функціонала й методу вирішення прямої задачі, розроблені програмні продукти можуть давати розв'язок в автоматичному (без участі користувача) або автоматизованому (за участі користувача на деяких етапах) режимах.

У розділі 3 на прикладі одновимірних стаціонарних задач показано використання розробленого методологічного підходу для вирішення геометричних ОЗТ неекстремальними методами. Тут розглянуто задачу підбору товщини стінки , що розділяє два рухливі середовища з різними температурами T_с1 і T_с2 (при цьому тепловий потік, що передається через стінку, повинен мати наперед задану густину q). У випадку одношарової стінки за відсутності залежності її теплопровідності від температури розв'язок можна записати як результат обернення розв'язку ПЗТ на підставі добре відомої з літератури формули для термічного опору стінки

, (9)

де ₁ і ₂ - коефіцієнти тепловіддачі на поверхні стінки.

Якщо теплопровідність матеріалу, з якого виготовлена стінка, залежить від температури = (T), то для лінеаризації задачі можна скористатися перетворенням Кірхгофа . У випадку відповідної ПЗТ такий підхід не дає позитивного результату, тому що призводить до виникнення нелінійності в граничних умовах третього роду. Це не дозволяє одержати аналітичного виразу для залежності температури від координати. Однак у ОЗТ, що розглядається, додаткова інформація про тепловий потік дозволяє одержати значення температур на поверхнях стінки, тобто звести граничні умови третього роду до першого. У результаті цього математична модель повністю лінеаризується й допускає обернення, що дає такий вираз для товщини стінки:

. (10)

У випадку багатошарової стінки, коли шари мають різну теплопровідність _i, i = 1, 2, …, n, розглянуто задачу мінімізації сумарної товщини стінки за наявності обмежень на товщину кожного шару _{imin i imax}. У випадку, коли всі _i = const, задачу зведено до задачі лінійного програмування. Показано, що обмеження на товщину шарів разом із значенням величини q формують у просторі шуканих геометричних параметрів область можливих розв'язків G_д у вигляді перетинання гіперпаралелепіпеда й гіперплощини, що проходить через n його вершин (рис. 1). Оскільки задача мінімізації є задачею лінійного програмування, її розв'язком є одна із цих вершин. Координати цих вершин обчислюються за простими формулами, які одержано внаслідок обернення математичної моделі. Таким чином, розв'язок можна одержати простим перебором цих n вершин.

У випадку, коли теплопровідність шарів залежить від температури _i = _i(T), застосування перетворення Кірхгофа для кожного шару дозволило звести задачу, що розглядається, до задачі умовної мінімізації нелінійної функції n - 1-ї змінної, якими є температури на стику шарів. Її можна вирішити одним із чисельних методів оптимізації, після чого, знаючи ці температури, розрахувати товщину шарів.

Рис. 1 Область можливих розв'язків у задачі визначення товщини багатошарової стінки

Розділ 4 присвячено задачам оптимального проектування, де розміщуються джерела (стоки) теплоти з урахуванням екстремальних умов, які накладаються на температурне поле об'єкта, що проектується. Одним з найважливіших практичних застосувань таких задач є розробка радіоелектронної апаратури (РЕА).

Першою розглянуто задачу призначення теплових джерел на фіксовані місця, у якій n теплових джерел відомої теплової потужності треба розмістити в межах m відомих посадкових місць таким чином, щоб температурне поле задовольняло задані обмеження і мінімізувало цільовий функціонал. Тут шуканою геометричною інформацією є набір порядкових номерів джерел = (i₁, i₂, …, i_m), де i_k - номер джерела, який поміщається на k_е посадкове місце. Для мінімізації цільового функціонала використовуються методи дискретної оптимізації. Щоб скоротити витрати на обчислення значення цільового функціонала для конкретного набору (вирішення ПЗТ), запропоновано використовувати метод суперпозиції у випадку лінійної задачі або таку дискретизацію розрахункової області, при якій крок сітки послідовно зменшується під час вирішення ОЗТ. У першому випадку незалежно від числа значень цільового функціонала, що розраховуються, необхідно вирішити (m + 1) ПЗТ. У другому випадку ПЗТ вирішується при кожному обчисленні цільового функціонала, однак спочатку відбувається розрахунок на грубих сітках, що дозволяє істотно скоротити витрати часу. На другому етапі для забезпечення достатньої точності розв'язку здійснюється перерахунок декількох останніх варіантів розташування джерел на більш детальній сітці і з них обирається найкращий. Як варіант, на другому етапі можна робити мінімізацію цільового функціонала з використанням детальної сітки, обравши як початкове наближення той набір , що був отриманий як результат виконання першого етапу.