Актуальність теми. Динамічні системи є предметом давнього і інтенсивного вивчення багатьох розділів фізики, таких як класична механіка, електродинаміка, статистична та квантова механіка. Теорія динамічних систем, виникнувши одночасно з теоретичною механікою, виділилася потім в окрему математичну дисципліну, яка знаходить застосування і в інших областях: в хімії, біології, соціології, економіці та інших науках. Стохастичний опис динамічної системи вводиться, коли її детермінований розгляд або не є необхідним, або здається невиправдано складним. Тоді на зміну детермінованому опису систем приходить імовірнісний опис. Невід'ємним елементом динаміки складних динамічних систем є наявність дальніх просторових і/або часових кореляцій - наявність довгострокової пам'яті у динаміці станів системи. З деякими застереженнями можна сказати, що при переході до імовірнісного опису системи з далекими взаємодіями стають системами з далекими кореляціями. У дисертації вивчаються дискретні стохастичні динамічні системи. Особлива увага приділяється системам з далекими просторовими і/або часовими кореляціями. Ця область інтенсивно досліджується сучасною фізикою, теорією динамічних систем і теорією ймовірності.

Можна виділити декілька областей фізики, в яких наявність далеких кореляцій в динаміці системи проявляється найбільш чітко. Це, перш за все, власне динамічні системи з певними правилами еволюції, які визначені їх внутрішньою структурою (хаотична динаміка дисипативних і гамільтонових нелінійних систем, зокрема). Прикладами таких систем можуть слугувати системи електрично-заряджених частинок, гравітаційні системи, магнетики з дипольною взаємодією і мезоскопічні системи з розмірами порядку дальності взаємодії між частинками. Це також низьковимірні системи, які або природно виникли в ході біологічної еволюції (ДНК, РНК, протеїни і т.д.), або штучно створені (вирощені) в лабораторних умовах. Штучні структури та природні сполучення такого роду демонструють ряд дуже специфічних властивостей.

Разом з тим, розуміння фізики процесів, що мають місце в низьковимірних системах, в даний час є далеко не повним, що, безсумнівно, є перешкодою на шляху подальшого технологічного прогресу. Тому розвиток нових методів аналізу та побудова на їх основі більш адекватних теорій невпорядкованих низьковимірних систем є досить важливим.

Актуальність дисертаційної роботи визначається тим, що в ній розроблені методи побудови кореляційно складних систем з наперед заданими спектральними властивостями; проведена характеризація та класифікація випадкових послідовностей; запропоновано нові методи вивчення динамічних систем з далекими кореляціями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано у відділі теоретичної фізики Інституту радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова НАН України. Вона є складовою частиною наступних проектів, затверджених Президією НАН України:

· науково-дослідна робота "Електромагнітні й акустичні явища НВЧ-діапазону у твердотільних структурах", номер держреєстрації 0196U006109, термін виконання 1996 р. - 2000 р., шифр: "Кентавр-1";

· науково-дослідна робота "Електромагнітні й акустичні явища НВЧ-діапазону у твердотільних структурах", номер держреєстрації 0100U006335, термін виконання 2001 р. - 2003 р., шифр: "Кентавр-2";

· науково-дослідна робота "Дослідження регулярних і стохастичних явищ, обумовлених взаємодією електромагнітних хвиль і потоків заряджених часток з речовиною", номер держреєстрації 0103U002260, термін виконання 2004 р. - 2006 р., шифр: "Кентавр-3";

· науково-дослідна робота "Дослідження взаємодії електромагнітних та акустичних полів, а також електронних пучків з біологічними та твердотільними структурами", номер держреєстрації 0102U003139, термін виконання 2002 р. - 2006 р., шифр: "Структура";

· науково-дослідна робота "Дослідження лінійних і нелінійних властивостей твердотільних структур з використанням електромагнітних хвиль НВЧ діапазону і заряджених частинок", номер держреєстрації 0106U011978, термін виконання 2007 р. - 2011 р., шифр: "Кентавр-4".

Мета і завдання досліджень. Метою дисертаційної роботи є дослідження випадкових дискретних динамічних систем з далекими кореляціями, а також розробка математичного апарату, використання якого дає можливість встановити загальні закономірності, які проявляються при поширенні (розсіянні) класичних і квантових хвиль різної природи в (на) одновимірних лінійних дискретних випадкових корельованих структурах, і розробка методів розрахунку статистичних величин одновимірних систем, заснованих на порівнянні їх з випадковими багатокроковими адитивними ланцюгами. Для досягнення поставленої мети вирішуються такі завдання:

§ проведення детального аналітичного дослідження адитивного дихотомічного марківського ланцюга зі ступінчастою функцією пам'яті і отримання виразів для її основних статистичних характеристик: функції розподілу фрагментів ланцюга та дисперсії числа символів у фрагментах ланцюга;

§ розробка теорії адитивних багатокрокових дихотомічних ланцюгів і виведення рівняння, що зв'язує кореляційну функцію та функцію пам'яті, яке дозволяє ефективно знаходити функцію умовної ймовірності і дає можливість будувати числову послідовність із заданою кореляційною функцією;

§ отримання інтегрального рівняння для спектру функції пам'яті та аналітичне дослідження властивостей адитивного марківського ланцюга у випадку малої глибини пам'яті, при експоненційній та експоненційно-осцилюючій кореляційних функціях, а також у разі ступінчастого спектра корелятора;

дискретна динамічна система кореляційна властивість

§ вивчення статистичних властивостей багатокрокових дихотомічних ланцюгів, зокрема, знаходження їх кореляційних функцій різних порядків;

§ розробка методів побудови одновимірних випадкових дискретних послідовностей із заданою бінарною кореляційною функцією;

§ побудова ланцюжків джозефсонівських контактів бінарного типу, які мають задану межу рухливості;

§ розробка методів побудови дифракційних ґраток (антен) з далекими кореляціями, яки формують заданий розподіл інтенсивності розсіяних (випроменених) хвиль;

§ встановлення статистичної відповідності двох стохастичних об'єктів - спінових ланцюгів в моделі Ізінга і марківських ланцюгів, а також відповідності між багатокроковими двосторонніми випадковими послідовностями і багатокроковими марківськими ланцюгами.

Об'єктом дослідження є одновимірні дискретні випадкові корельовани системи, такі як дифракційні ґратці, шаруваті системи, квантові дроти, ланцюжки джозефсонівських контактів та шаруватих надпровідникових систем, а також фізичні процеси, що відбуваються в цих системах. Крім того, в дисертації досліджуються одновимірні статистичні ланцюжки з великим, але кінцевим радіусом взаємодії між його частинками і неадитивні статистичні величини для фрагментів таких ланцюгів в стані термодинамічної рівноваги.

Метод дослідження базується на розробленому в дисертації математичному апараті і полягає в побудові математичного об'єкта (багатокрокового адитивного ланцюга), який має необхідні кореляційні властивості.

Предметом дослідження є вплив мікроскопічної структури одновимірної системи з далекими кореляціями на характер і властивості лінійних збуджень, а також на розсіювання хвиль у середовищах, які мають кореляційно-складну структуру.

Наукова новизна отриманих результатів визначається тим, що в ній вперше:

1. Побудовано математичний апарат для вивчення випадкових дихотомічних адитивних багатокрокових ланцюгів зі ступінчастою функцією пам'яті. Виявлено властивість самоподібності випадкового ланцюга, знайдена група перетворення самоподібності і виведено рівняння Фокера-Планка для функції розподілу цього процесу. Доведено, що в разі сильних кореляцій, обвідна для рангового розподілу підпорядковується степеневому закону з показником порядку одиниці, тобто розподіл описується законом Ципфа.

2. Розроблено теорію багатокрокових дихотомічних ланцюгів з адитивною функцією пам'яті. Виведено рівняння, яке зв'язує кореляційну функцію та функцію пам'яті, що дозволяє ефективно знаходити функцію умовної ймовірності і дає можливість будувати числову послідовність із заданою кореляційною функцією.

3. Отримано інтегральне рівняння для спектру функції пам'яті. Аналітично досліджено властивості адитивного марківського ланцюга у випадку малої довжини пам'яті при експоненційній і експоненційно-осцилюючій кореляційній функції і в разі ступінчастого спектру корелятора.

4. Введено два нових класи випадкових багатокрокових двосторонніх і переставних ланцюгів і досліджено їх зв'язок з ланцюгами Маркова. Знайдено загальний метод їх побудови та вивчено їх статистичні властивості.

5. Правило відповідності марківських і двосторонніх ланцюгів дозволило проаналізувати таку важливу властивість марківських ланцюгів, як їх оборотність. Для трьох класів випадкових послідовностей доведена оборотність марківських ланцюгів.

6. Запропоновано методи побудови багатокрокових дихотомічних ланцюгів із заданою парною кореляційною функцією і наведено приклади застосування чисельних методів, які підтверджують аналітичні результати.

7. Розроблено метод створення керованої дифракції в системі з далекими кореляціями. У наближенні Фраунгофера розподіл інтенсивності дифрагованого поля на екрані виражено через кореляційну функцію нерегулярної випадкової ґратці. Для ілюстрації ефективності методів синтезовано дві нерегулярні ґратці: "змішана" з періодичної, квазіперіодичної і чисто випадкової ґраток, а також ґратці, для яких розсіяне поле формує на екрані заданий розподіл інтенсивності.

8. Досліджено поведінку джозефсонівських плазмових хвиль у випадковій послідовності джозефсонівських контактів. Показана можливість керування локалізаційними властивостями терагерцевих і суб-терагерцевих електромагнітних хвиль і прозорістю джозефсонівських ланцюгів, контролюючи кореляції в них.

9. Доведена статистична еквівалентність двох стохастичних об'єктів - спінових ланцюгів в моделі Ізінга, що знаходяться в стані термодинамічної рівноваги, і марківських ланцюгів. Кожній фізичній системі при цьому ставиться в однозначну відповідність марківський ланцюг. Запропоновано загальний алгоритм знаходження статистичних характеристик фрагментів спінових ланцюгів в моделі Ізінга з далекою взаємодією між елементами послідовності.

10. Вивчено магнітні властивості спінового ланцюга з довільним скінченним радіусом взаємодії. Знайдена залежність намагніченості та її середнього квадрату від величини зовнішнього магнітного поля, що переходить у відомі результати для випадку взаємодії лише найближчих сусідів.

Крім того, отримані в дисертації результати дозволили зробити нові важливі висновки про кореляційні властивості інших систем, що зустрічаються в суміжних науках.

У біофізиці: показано, що провідність екзонів, частин ДНК, відповідних за зберігання генетичної інформації про устрій білків, істотно перевищує провідність інтронів, тобто провідність областей, які не мають чітко вираженого інформаційно-біологічного сенсу. Показана можливість використання функції пам'яті як інструменту для генетичного аналізу різних форм життя.

У лінгвістиці: показано наявність двох механізмів кореляцій у текстах природних мов; наявність ближніх антіперсистентних кореляцій є свідченням прояву граматичних правил мови і далеких глобальних персистентних - прояв смислових, семантичних кореляцій.

Практичне значення отриманих результатів. У дисертації розроблено ряд нових математичних і теорфізичних методів, які, крім їх застосування безпосередньо в розглянутих задачах, можуть бути використані для вирішення цілого ряду інших проблем, подібних за своєю математичною постановкою. Це, наприклад, проблеми, які виникають в суміжних науках, таких як геофізика, біологія, економіка, соціологія, лінгвістика та інші. Отримані в дисертації результати являють собою якісний та кількісний опис нових незвичайних ефектів, що виникають у дискретних випадкових корельованих системах. Вони дозволили, зокрема, описати ефекти локалізації і межі рухливості у випадкових дискретних системах з далекими кореляціями а також описати статистичні властивості мезоскопічних систем. Отримані результати поглиблюють розуміння ролі далеких кореляцій в системі та їх вплив на її статистичні властивості, а також розуміння фізики процесів, що протікають у таких системах. Вони можуть бути використані при розробці хвилеводів і різних електронних пристроїв, таких, як віконні фільтри, детектори, сенсори, а також при створенні нових матеріалів з унікальними кінетичними характеристиками.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, викладені в дисертації, отримані дисертантом самостійно. В дослідженнях, що виконувалися зі співавторами, здобувачеві належить визначальна роль у постановці задач, в одержанні результатів та в їх інтерпретації.

У монографії [1] йому належить загальний план викладу матеріалу, оглядові частини монографії та її редакційна правка. У роботах [2 - 4] здобувач сформулював основну ідею дисертації про можливість введення спеціального класу адитивних багатокрокових марківських ланцюгів, які суттєво спрощують побудову теорії марківських ланцюгів і адекватно описують реальні випадкові системи. Йому належить трактування закону Ципфа на основі аналізу рангових розподілів багатокрокових дихотомічних марківських ланцюгів зі ступінчастою функцією пам'яті [5]. У роботі [6] здобувачем розвинена ідея знаходження кореляторів випадкових послідовностей із ступінчастою функцією пам'яті. Дисертантом були введені такі нові концепції, як функція пам'яті адитивного ланцюга [4,7], двостороннього ланцюга [8], оборотного ланцюга [9] та ланцюга з перестановною функцією пам'яті [10]. Здобувач висунув [11,12] також ідею еквівалентності ізінгових ланцюжків з далекою взаємодією і багатокрокових адитивних марківських ланцюгів, що дозволило описати термодинамічні властивості одновимірних магнетиків. В роботах [2,3,13] їм обґрунтовано властивість самоподібності випадкових дихотомічних послідовностей із ступінчастою функцією пам'яті (а в роботі [10] - для переставних ланцюгів) щодо процедури проріджування. У роботах [14,15,16] дисертантом запропоновано і розроблено оригінальний метод синтезу систем з корельованим безладом, що дозволяє будувати дихотомічні дифракційні ґратці і шаруваті системи з заданими кореляційними властивостями. Дисертантом запропоновано [17] ряд методів розв'язання рівняння, яке зв'язує функції пам'яті та кореляційну функцію адитивного дихотомічного ланцюга Маркова. Здобувачем висунута ідея опису корельованої броунівської дифузії і отримано рівняння Фокера-Планка на основі врівноваженого [3] і неврівноваженого (дифузія з урахуванням зносу частинок у зовнішньому полі) [13] багатокрокового адитивного ланцюга зі ступінчастою функцією пам'яті. Дисертанту належать ідеї генерації корельованих ланцюгів: фільтраційний метод [18], сігнум-метод [19] та метод багатокрокової фільтрації [20]. Їм запропоновано методи вивчення провідності та кореляційних властивостей інтронних та екзонних послідовностей нуклеотидів ДНК [3,21].

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах кафедри теоретичної фізики ім.І.М. Ліфшиця Харківського національного університету ім.В.Н. Каразіна; відділу теоретичної фізики Інституту радіофізики та електроніки ім.О.Я. Усикова НАН України; на семінарі відділу теоретичної фізики Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України; семінарі відділу теоретичної фізики Інституту монокристалів НАН України; Інституті теоретичної фізики ім.М. М. Боголюбова, Київ; Інституті фізики конденсованого стану Мадрида, Іспанія; Технічному університеті Лінчепінга, Швеція; Політехнічному інституті Стокгольма, Швеція; Автономному Університеті Пуебли, Мексика, а також на таких наукових конференціях: The Emanuil Kaner Symposium "Modern Problems of the Solid State Physics" (Kharkov, Ukraine, 2001); П'ята конференція "Застосування персональних комп'ютерів у наукових дослідженнях і навчальному процесі" (Харків, Україна, 2002); 4th international conference "Physical phenomena in the solid state" (Kharkov, Ukraine, 2003); 2-nd Kharkov PolyTecnical University Scientific Conference "Physics and Chemistry of our Days" (Kharkov, Ukraine, 2003); 4th international workshop on disordered systems (Madrid, Spain, 2004); Conference on Theory and Modelling "Physics and Biology: bringing the gap" (Vadstena, Sweden, 2004); Сьома міжнародна конференція фізичного факультету "Фізичні явища в твердих тілах" (Харків, Україіна, 2005); International Conference "XXV Dynamics Days Europe 2005" (Berlin, Germany, 2005); 7-ма Міжнародна конференція "Фізічні явища в твердих тілах" (Харків, Україна, 2005); the Conference "Statistical Physics 2006, Condensed Matter: Theory & Applications" (Kharkоv, Ukraine, 2006); International conference "Modern stochastics: theory and applications" (Kyiv, Ukraine, 2006); Міжнародний Юбілейн Семінар "Сучасні проблеми фізики твердого тіла", присвячений пам'яті проф. Е.А. Канера (Харків, Україна, 2006); 2-а міжнародна конференція "Теорія конденсованого стану" (Kharkov, Україна, 2007); International Conference on the occasion of the 150 Birthday of A. M. Lyapunov (Kharkov, Україна, 2007); The sixth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and sub-millimeter waves, MSMW'07, (Kharkov, Ukraine, 2007); International Workshop, "Physical and Chemical Foundations of Bioinformatics Methods" (Dresden, Germany, 2007); International workshop "Physics of Fluctuations far from Equilibrium" (Dresden, Germany 2007); Mini-Colloquium & International Workshop "Modern Challenges in Microwave Superconductivity, Photonics and Electronics" (Kharkov, Ukraine, 2009); 9-та Міжнародна конференція "Фізічні явища в твердих тілах" (Харків, Україна, 2009).

Публікації. Результати по темі дисертації опубліковані у монографії [1],20 статтях у спеціалізованих національних і міжнародних наукових журналах [2 - 21], у 16 електронних препринтах бібліотеки Лос-Аламоса, а також у вигляді 22 тез наукових конференцій [22 - 43] та науково-популярної статті [2*].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається з Вступу, основної частини, що включає шість тематичних розділів, розділу "Висновки", списку використаних літературних джерел з 191 найменувань на 21 сторінці і 4 додатків. Робота викладена на 294 сторінках машинописного тексту і містить 47 ілюстрацій, які не займають окремих сторінок. Дисертація передує списком умовних позначень і абревіатур.

Основний зміст дисертації

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету й основні задачі досліджень, можливі напрямки їхніх практичних застосувань. Наведено також дані про апробацію результатів дисертаційної роботи й відзначено особистий внесок здобувача.

У першому розділі основної частини дисертації подано огляд літератури, обговорюються найбільш фундаментальні роботи інших авторів, тісно пов'язані з питаннями, що вивчаються в дисертації, висвітлено стан розглянутих проблем на момент написання дисертації та встановлено роль і місце досліджень, проведених дисертантом, в ряді вже вирішених задач теорії випадкових дискретних динамічних систем. Даються визначення основних понять, що використовуються в дисертації. Обговорюється метод огрублення Еренфеста [1*], що полягає в декомпозиції фазового простору на кінцеве число областей, певним чином пронумерованих, і відображення траєкторії системи в послідовність номерів-символів. Найбільш часто використовуваним методом огрублення є декомпозиція фазового простору на дві частини, тобто відображення динаміки на дихотомічну (бінарну) послідовність, див. Рис.1. Огрублення динаміки системи не спотворює її статистичні властивості на великих масштабах. Метод може бути використаний як для безперервних систем, так і для дискретних, за допомогою переходу від одного дрібнозернистого опису до іншого, більш грубого, грубозернистого.

Рис. 1. Огрублення траєкторії динамічної системи.

Вводиться поняття адитивності функції умовної ймовірності і побудованого з її допомогою багатокрокового ланцюга і наводиться короткий опис робіт, присвячених системам з далекими кореляціями, методам побудови корельованих послідовностей і транспортним властивостям таких систем. Описуються існуючі підходи до систем з далекою взаємодією і до неекстенсивних термодинамічних систем.

У другому розділі вивчається одна з ефективних моделей випадкових корельованих систем - адитивних дихотомічних багатокрокових марківських ланцюгів. Вводяться визначення цієї моделі, функції умовної ймовірності та основних статистичних характеристик послідовностей такого виду.

У першій частині розділу досліджується адитивний багатокроковий ланцюг із ступеневою функцією пам'яті. Функція умовної ймовірності появи на i-тому місці ланцюга символу рівного 0 після фрагмента ланцюга , що містить k одиниць, визначається виразом,

. (1)

Функція умовної ймовірності залежить від трьох параметрів - глибини пам'яті N, сили кореляції і параметра , що характеризує величину перевищення середньої концентрації символів 0 над символами 1. Такий багатокроковий ланцюг (на відміну від випадку функції умовної ймовірності довільного виду) дозволяє отримати аналітичні результати для основних статистичних характеристик ланцюга.

У цьому розділі знайдена функція розподілу фрагментів послідовності з довжиною, меншою або рівною глибині пам'яті N:

, . (2)

Тут - гамма-функція, і - ефективні параметри кореляції,

, , (3)

- константа нормування розподілу. Знайдена дисперсія суми значень символів 1, , у фрагменті довжини L,

(4)

величина, яка характеризує дисперсію координати частинки, що дифундує, після здійснення нею L стрибків (при L<N). Її залежність від L зображена на Рис.2 суцільною лінією (перекривається точками, значення яких буде пояснено нижче, в 4-му розділі) для значень параметрів N = 180, =0,44 і = 0. Важливою особливістю цієї величини є наявність точки перегину при значенні L, що дорівнює глибині пам'яті N. Пряма тонка лінія D=L/4 відповідає некорельованій дифузії.

Кореляційні властивості марківських ланцюгів на відстанях більших, ніж глибина пам'яті, досліджуються спочатку в наближенні середнього поля, а потім наводиться точне рішення, яке підтверджує наближення середнього поля на великих відстанях між елементами ланцюга.

Рис. 2. Дисперсія D (L) багатокрокового ланцюга зі ступінчастою функцією пам'яті.

Виведено рівняння дифузії випадкового процесу із ступінчастою функцією пам'яті, що описує дифузію броунівської частинки.

Виявлено властивість самоподібності випадкового процесу щодо проріджування ланцюга, тобто регулярного або випадкового видалення частини елементів з послідовності. Знайдено перетворення параметрів N, і , що утворює напівгрупу і залишає інваріантними функцію умовної ймовірності (1) і дисперсію (4) числа символів 1 в L-фрагментах послідовностей з L <N після проріджування:

, , . (5)

Рис.3. Інваріантність дисперсії D (L) багатокрокового ланцюга щодо проріджування.

Тут - відносна доля символів ланцюга, що видаляється при проріджуванні.

Властивість самоподібності випадкового ланцюга з параметрами N = 100, =0,4 і =0,08 проілюстрована на Рис.3, де пряма лінія відповідає некорельованій дифузії, пунктирна лінія - дисперсії ланцюга до проріджування, точки і квадрати - дисперсії ланцюга після випадкового і детермінованого проріджування з =0,5.

У другому розділі дисертації досліджені також важливі граничні випадки слабкої і сильної персистентностей. При малих значеннях параметра вона наближається до розподілу Гауса. При сильних кореляціях функція розподілу має мінімум і огинаюча для рангового розподілу слів - фрагментів послідовності довжини L, підпорядковується степеневому закону з показником порядку одиниці, тобто розподіл описується законом Ципфа [5,2*],

, , . (6)

Введене тут визначення рангу R для L-фрагментів випадкового бінарного ланцюга, що містять k одиниць,

, (7)

пов'язано з виродженням - незалежністю ймовірності реалізації L-фрагментів від порядку символів у ньому. Така незалежність пов'язана з властивістю моделі ланцюга (1) - незалежністю функції умовної ймовірності від порядку розташування символів у фрагменті ланцюга, що передує символу, який генерується. Властивість виродження проілюстрована на Рис.4 для випадку ланцюга з глибиною пам'яті N = 8 і параметрами = 0,4 і . Вираз (6) випливає після виключення змінної k з (2) і (7) і нехтування логарифмічними доданками, що повільно змінюються.

Рис. 4. Ймовірності реалізації фрагментів довжини 8 в послідовності в залежності від їх бінарного коду z.

Таким чином, дослідження, проведене в роботі, вперше дозволило виявити зв'язок між ранговими розподілами та кореляціями, що існують в системі.

У другому підрозділі викладається один з основних результатів дисертації - отримання системи рівнянь, що однозначно пов'язують функцію пам'яті адитивного багатокрокової ланцюга і її бінарну кореляційну функцію, або дисперсію D (L). Функція пам'яті виникає в результаті представлення функції умовної ймовірності багатокрокового ланцюга у вигляді лінійної комбінації випадкових змінних, - символів, що передують величині , яка генерується,

. (8)

З властивості лінійності функції умовної ймовірності (8) випливає, що парна кореляційна функція, визначена стандартним чином, , задовольняє співвідношенню,

, (9)

яке не містить кореляційних функцій більш високих порядків. Рівняння (9) повинно вирішуватися з початковими умовами, . Співвідношенню, аналогічному (9), задовольняє дисперсія,

,

. (10)

Можливість такого представлення пов'язана з наявністю простого зв'язку між дисперсією і кореляційною функцією,

. (11)

На основі систем рівнянь (9) та (10) пропонується метод побудови випадкових дихотомічних послідовностей с заданою кореляційною функцією. Ефективність використання запропонованого методу ілюструється у розділі 4 прикладами побудованих за його допомогою чисельних послідовностей з корелятором заданого виду.

Аналізується аналітичне рішення рівняння зв'язку функції пам'яті і кореляційної функції (9). Розглядається його перетворення Фур'є. У результаті отримуємо інтегральне рівняння для спектру функції пам'яті. Для демонстрації того, яким чином це рівняння може бути вирішено аналітично, проводиться загальний аналіз рівняння і розглядаються його рішення в наступних окремих випадках: марківського ланцюга з експоненційно-осцилюючим корелятором, корелятором, який має ступінчастий і узагальнено-ступінчастий спектр потужності, а також ланцюга з ближніми кореляціями. В останньому випадку функція пам'яті виражається через кореляційну функцію як

, . (12)

Тут - Фур'є образ нормованої кореляційної функції, .

Четвертий підрозділ присвячений вивченню кореляційних властивостей марківських ланцюгів на відстанях, більших ніж глибина пам'яті. Розглядаються два методи. Перший з них заснований на зв'язку кореляційних функцій з ймовірностями реалізації N-фрагментів. Відповідно до цього підходу, спочатку необхідно вирішити систему алгебраїчних рівнянь, що визначають ймовірності реалізації всіх можливих наборів з N символів. Далі всі інші властивості ланцюга, зокрема, розподіл L-фрагментів, дисперсія суми символів в L-фрагменті, а також кореляційна функція при довільних значеннях аргументів, виражаються через суми кінцевого числа таких ймовірностей. Другий метод ґрунтується на виведенні та вирішенні рекурентних співвідношень для кореляційних функцій. Перший метод виявляється більш зручним для опису властивостей "переставних" ланцюгів, для яких кожен елемент ланцюга "взаємодіє" однаковим чином з усіма попередніми символами на відстанях, менших N. У рамках цього підходу вдається описати властивість самоподібності багатокрокових ланцюгів. Другий метод, що дозволяє безпосередньо обчислити кореляційні функції, виявляється більш зручним для їх чисельного та аналітичного дослідження. Зокрема, знайдено точний вираз для кореляційної функції ланцюга зі ступінчастою функцією умовної ймовірності (1). Показано, що інтервал зміни r розбивається на зони, нумеровані індексом s, з довжиною, рівній глибині пам'яті N. У кожній із зон рішення має вигляд,

. (13а)

, . (13б)

Рішення має особливості на межі зон, що пов'язано з неаналітичністю функції умовної ймовірності (1), зважаючи на відсутність вкладу доданків, що знаходяться на відстанях, більших за глибину пам'яті N, від символу, який генерується. У точці r=N (s=0) кореляційна функція має стрибок. З ростом номера зони s особливості K (r) поступово згладжуються, переходячи в особливості похідних все більш високого порядку. При великих r вираз (13) переходить в експоненційне рішення, знайдене методом самоузгодженого поля.

У третьому розділі вводяться і розглядаються дві нові математичні конструкції, а саме, двосторонні та переставні ланцюги, а також вводиться поняття оборотності випадкової послідовності і аналізуються умови оборотності ланцюгів.

У різних фізичних задачах зустрічаються послідовності випадкових величин, які визначаються ймовірністю реалізації деякого їх значення з умовою певних значень не тільки попередніх, але й наступних символів ланцюга. Всі одновимірні фізичні системи мають цю властивість завдяки симетрії фізичних взаємодій. Якщо умовна ймовірність реалізації деякого символу у випадковому ланцюзі залежить не від усіх значень символів, а тільки від символів, що знаходяться на відстанях, менших, ніж N, тобто величиною, , то такий ланцюг ми будемо називати N-кроковим двостороннім. Адитивним дихотомічним N-кроковим двостороннім будемо називати ланцюг з умовною ймовірністю, заданою співвідношенням

. (14)

Тут - N-фрагмент ланцюга, сукупність N символів, наступних за символом . Аналіз двосторонніх ланцюгів показав, що вони статистично еквівалентні марківським ланцюгам з тією ж глибиною пам'яті, а умовні ймовірності двостороннього і марківського (одностороннього) ланцюгів, в загальному випадку, зв'язані співвідношенням,

. (15)

Таким чином, одна і та ж випадкова послідовність може бути охарактеризована різними функціями умовної ймовірності. Це і дозволяє ввести для марківського ланцюга, поряд з поняттям звичайної односторонньої умовної ймовірності, ще й двосторонню. Остання характеристика важлива при досліджені спінових ланцюгів, для яких вдається знайти саме двосторонню умовну ймовірність. Отримане співвідношення між функціями умовної ймовірності дозволяє будувати чисельно марківський ланцюг, що має ті ж статистичні характеристики, що і вихідна двостороння.

Розроблені в дисертації методи дослідження кореляційних властивостей марківських ланцюгів дозволили проаналізувати статистичні властивості переставних ланцюгів. У таких ланцюгах, за визначенням, ймовірність генерації символу залежить тільки від набору символів у попередньому N-фрагменті ланцюга, але не залежить від порядку розташування символів всередині цього фрагмента. Прикладом таких ланцюгів є адитивні ланцюги зі ступінчастою функцією умовної ймовірності, розглянуті в попередньому розділі.

Знайдене правило відповідності марківських і двосторонніх ланцюгів дозволяє проаналізувати таку важливу властивість марківських ланцюгів, як їх оборотність. Визначимо оборотний ланцюг як послідовність символів, для якого ймовірність реалізації довільного L-фрагмента не залежить від напрямку його "прочитання". Наприклад, для оборотного ланцюга ймовірність спостереження фрагмента "01100" повинна дорівнювати ймовірності реалізації зворотного фрагмента "00110".

Для багатокрокових ланцюгів визначення оборотності можна сформулювати в термінах умовної ймовірності, а саме, оборотним ланцюгом є такий багатокроковий ланцюг, двостороння умовна імовірність якого є симетричною функцією,

. (16)

Тут і - попередній і наступний за a-символом N-фрагменти, прочитані в звичайному порядку. Стрілка в індексі означає, що фрагмент T записано у напрямку стрілки. Наприклад, якщо дихотомічний трьохкроковий двосторонній ланцюг оборотний, то повинна виконуватись, зокрема, рівність .

Для трьох класів випадкових послідовностей доведена оборотність марківських ланцюгів. Перший клас складають багатокрокові ланцюги, еквівалентні двостороннім ланцюгам, умовна ймовірність яких є симетричною функцією своїх аргументів. До другого класу відносяться переставні багатокрокові ланцюги. Найбільш природними є зворотні марківські ланцюги, для яких двостороння умовна ймовірність симетрична.

Четвертий розділ присвячений розробці методів генерації дихотомічних випадкових послідовностей з заданою парною кореляційною функцією. Запропоновано три різних методи, а саме, метод марківської побудови ланцюгів, фільтрації (в тому числі, нескінченно-крокової) і сігнум-генерації.

Формулюються і вирішуються пряма і зворотна задачі генерації: знаходження кореляційної функції K (r) адитивного багатокрокового марківського ланцюга з відомою функцією пам'яті F (r) (пряма задача) та знаходження функції пам'яті F (r) ланцюга, для якого відома кореляційна функція K (r) (зворотна задача). Кожен з методів ілюструється чисельною побудовою випадкових послідовностей на прикладах найбільш часто використовуваних кореляційних функцій.

Рис. 5. Кореляційна функція K (r) марківського ланцюга, побудованого за допомогою модельної функцією пам'яті F (r).

Обговорюються переваги і недоліки, а також обмеження, які накладаються на використання кожного з методів. Зокрема показано, що існують такі дихотомічні ланцюги, середнє значення і парна кореляційна функція яких не може бути виражена у термінах дихотомічного адитивного багатокрокового ланцюга. Незважаючи на те, що основна увага приділяється побудові дихотомічних ланцюгів, пропонуються алгоритми, які узагальнюються на недихотомічні ланцюги.

На Рис.5 проілюстровано метод (адитивних багатокрокових ланцюгів) побудови випадкової дихотомічної послідовності із заданою (модельною) функцією пам'яті F (r),

(17)

яка показана суцільною лінією на вставці і визначає функцію умовної ймовірності (8). За допомогою цієї функції будується випадкова послідовність. Потім обчислюється кореляційна функція K (r) ланцюга. Вона показана на головній панелі. Точки на вставці відповідають функції пам'яті, знайденій шляхом рішення рівняння (9) з кореляційною функцією K (r), яка представлена на головній панелі. Чисельне рішення рівняння (9) визначає функцію пам'яті побудованого ланцюга. Вона показана на вставці точками і збігається з вихідною функцією (17). Як і раніше в моделі зі ступінчастою функцією пам'яті, неаналітичність функції пам'яті в точці r = 10 призвела до наявності добре помітної на Рис. 5 особливості "похідної" кореляційної функції при r = 10. Таким чином, проілюстрована ефективність методу побудови ланцюга за функцією пам'яті випадкового адитивного дихотомічного багатокрокового ланцюга.

Другий з розглянутих методів побудови випадкових корельованих послідовностей - метод фільтрації - є модифікацією конволюційного методу Райса [3*]. А саме, ми хочемо побудувати перетворення випадкової некорельованої дихотомічної послідовності символів a (n) (білого шуму) в корельовану послідовність символів b (n), які можуть приймати два значення: 0 і 1. Для завдання такого перетворення вводимо одноточкову фільтруючу функцію умовної ймовірності появи символу 1 в ланцюзі {b} на n-му місці за умови, що випадковий ланцюг {a} заданий,

. (18)

Тут і - середні значення випадкових змінних a і b в кожному з ланцюгів, - фільтруюча функція. Вона відповідає за вплив символу a (n') на ймовірність появи 1 на n-му місці.

Зауважимо, що якщо у методі Райса перетворення виду (18) визначає випадкову змінну, яка може приймати, взагалі кажучи, довільне значення, то визначає ймовірність, по якій будується випадковий символ b.

Вираз (18) визначає як метод побудови, так і всі статистичні характеристики "профільтрованого" ланцюга. Зокрема, рівняння зв'язку фільтруючої функції і кореляційної функції "профільтрованого" ланцюга визначається співвідношеннями:

, . (19)

Рис. 6. Кореляційні функції K (n) випадкових ланцюгів, побудованих фільтраційним методом, a=0,2.

На Рис. 6. наведені результати обчислень кореляційних функцій послідовностей, побудованих методом фільтрації. На головній панелі точками представлені теоретичні значення степеневої кореляційної функції,

(20)

з верхнім знаком у "", кола - обчислені значення корелятора побудованого ланцюга. На вставці - те ж саме для осцилюючого корелятора (формула (20) з нижнім знаком у ""). При побудові ланцюга були використані наступні вирази для фільтруючої функції, отримані з (19) і (20),

(21)

(22)

Метод фільтрації може бути істотно посилений, інакше кажучи, клас кореляційних функцій генерованих послідовностей може бути розширений, якщо застосувати його багато разів до побудованої послідовності. У цьому випадку вираз (19) для зв'язку кореляційної і фільтруючої функцій має бути замінений на наступне,

. (23)

Рішення прямої задачі знаходження кореляційної функції послідовності, побудованої нескінченнократною фільтрацією з фільтруючою функцією має вигляд:

. (24)

Рис. 7. Кореляційні функції послідовностей побудованих методом бесконечнократной фільтрації.

На Рис. 7 наведено результати обчислення кореляторів ланцюгів, отриманих після 1,20 і 100 процедур фільтрації з фільтруючою функцією (21), а також чисельне рішення рівняння зв'язку (24), яке представлене суцільною лінією. Довжина ланцюгів становила , параметр a = 0,2. З порівняння (20) з асимптотичним виразом для кореляційної функції ланцюга, побудованого нескінченнократною фільтрацією з фільтруючою функцією (21),

,

обчисленою з використанням (24) і справедливою при n >> 1, випливає, що багаторазова фільтрація може істотно підсилити кореляції в ланцюзі. Цей висновок наочно ілюструється Рис. 7.

У третьому підрозділі описано та досліджено з використанням аналітичного підходу метод побудови дихотомічної послідовності за допомогою огрублення проміжного корельованого гауссова безладу, який може бути побудований за допомогою методу Райса як згортка некорельованого гауссова шуму і модуляційної функції. Метод сігнум-генерації, як і викладені вище методи, має свої певні обмеження. Однак, в сукупності з методами марківських ланцюгів і методом фільтрації, всі три методи представляють міцну базу для синтезу систем з заданими кореляційними характеристиками.

У п'ятому розділі дисертації розглядаються два нерозривно пов'язаних питання аналізу та синтезу: аналізу корельованих послідовностей, що лежать в основі досліджуваних систем (до яких відносяться, наприклад, послідовності нуклеотидів ДНК і тексти природних мов) і синтезу, тобто, конструювання пристроїв, основними елементами яких є корельовані дихотомічні послідовності блоків, підсистем, які використовуються для побудови системи.

У першому підрозділі показується, яким чином розуміння кореляційних властивостей багатокрокових марківських ланцюгів призводить до ряду парадоксальних, на перший погляд, висновків про устрій текстів природних мов і ДНК послідовностей. Не дивлячись на те, що спочатку передбачалося дослідити "прості" і "інтуїтивно зрозумілі" системи, виявилося, що ці системи зовсім не прості і результатом аналізу є ряд цікавих та інтригуючих властивостей цих систем. Спочатку ці властивості аналізуються з використанням найпростішого адитивного багатокрокового ланцюга зі ступінчастою функцією пам'яті, а потім поглиблюються шляхом аналізу відновленої функції пам'яті.

Серед систем, які досліджувались, найпростішою є послідовність 15462 найбільш уживаних слів англійської мови, розташованих в алфавітному порядку та огрублених до бінарних. Огрублення проводилося шляхом заміни букв тексту на символи 0 і 1 за правилом . Дисперсія величини k - кількості одиниць в L-фрагменті, представлена точками на Рис.2. Пунктирними лініями зображені лінії, за якими визначалися підгінні параметри функції умовної ймовірності (1) - моделі теорії адитивного багатокрокового ланцюга зі ступінчастою функцією пам'яті. Несподіваною виявилася дивовижна згода теорії і "експерименту" - реального корельовано об'єкта - огрубленого словника.

Сформулюємо коротко ряд інших важливих лінгвістичних висновків про кореляційні властивості огрублених літературних текстів:

На малих відстанях характер кореляцій текстів природних мов є антіперсистентним, що свідчить про наявність граматичних правил мови.

На великих відстанях кореляції персистентні, що є свідченням прояви смислових, глобальних семантичних кореляцій.

Кореляційні властивості на великих відстанях мало чутливі до способу огрублення - тобто до розбиття алфавіту на дві підмножини.

Дисперсія величини k - кількості одиниць в L-фрагменті, а разом з нею і текст, є самоподібними щодо проріджування аж до порядку 1/250, дивись (5). Виявлена властивість самоподібності літературних текстів трактується як додаткове свідчення адекватності моделі адитивних багатокрокових марківських ланцюгів для опису складних динамічних систем.

На великих відстанях функція пам'яті зменшується за степеневим законом з характерними значеннями b від ("Війна і мир" Л.М. Толстого) до (Коран).