Процессы распространения мощного ли в дисперсных средах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Процессы распространения мощного ЛИ в дисперсных средах



Содержание

1. Самофокусировка луча оптического лазера

2. Формирование и удержание плазмы

Литература



1. Самофокусировка луча оптического лазера

Анализ процессов самофокусировки можно начать с первых работ по определению условий, при которых электромагнитный луч создает себе диэлектрический волновод и распространяется, не дифрагируя. Это может иметь место в материалах, диэлектрическая проницаемость которых возрастает с увеличением ЭП, но в отсутствие ЭМВ эти материалы должны быть совершенно однородными. Такое самозахватывание колебаний в диэлектрическом волноводе может возникнуть в интенсивном световом поле ЛИ и привести к наблюдаемым оптическим и физическим эффектам [157, 158].

В первом приближении описание подобного процесса можно получить, рассматривая дифракцию цилиндрического светового луча, однородного по интенсивности, в материалах, зависимость коэффициента преломления которых от поля запишется в виде

n = n₀ + n₂E² + …. (1)

Если диаметр луча D, то можно ожидать, что из-за дифракции луч будет обладать расходимостью . Однако если вносимый членом n₂E² вклад в диэлектрическую проницаемость внутри луча настолько велик, что угол полного внутреннего отражения на границе луча превышает , то расширение луча вследствие дифракции не должно наблюдаться. Тогда при выполняется соотношение

, (2)

где Р полная мощность луча. Это простое приближение показывает, что если мощность луча превосходит определенный критический уровень, то луч любого произвольного диаметра может захватываться и не будет расширяться, а критический уровень при этом уменьшается с ². В обычных диэлектрических материалах постоянные n₂ таковы, что критическая мощность захвата будет порядка 1 10 МВт для видимого света это уровень мощности, достижимый в обычных лазерных лучах. На радиочастотах из-за большей длины волны критическая мощность в подобных веществах в настоящее время недоступна.

Нелинейный коэффициент n₂ может быть связан с высокочас-тотным эффектом Керра, т.е. с ориентацией молекул, с электрострикцией, или с нелинейностями, обусловленными электронной поляризуемостью того типа, который отвечает за генерацию волн третьей гармоники в оптических материалах. В случае жидкостей первые два эффекта дают одинаковый вклад, а третий много меньше, как видно из табл. 1.

Таблица 1

Материал	n21013 (керр-эффект)	n21013 (электрострик-ция)	P (электрострик-ция), МВт
	А	Б
Сероуглерод	180	18	18	0,2
Бензол	49		13	0,25
Вода		0,13	2	1
Воздух (1 атм)			0,041	80
Воздух (100 атм)			4,1	0,8
Стекло (тяжелый силикатный флинт)			0,9	4
Кальцит			0,8	4
Сапфир			0,2	20

Здесь (n = n₀ + n₂E²), где E в электростатических единицах

В твердых телах, где молекулярные вращения заморожены, преобладающее значение имеет электрострикция.

Каждый эффект обладает присущими ему релаксационными свойствами, но здесь будем рассматривать преимущественно установившиеся условия, где эти свойства не важны (подобная аппроксимация годится для многих реальных случаев).

Следует отметить, что с точки зрения геометрической оптики нелинейные диэлектрические свойства вещества позволяют фокусировать свет не в точку, а скорее в линию. Рассмотрим прохождение плоской волны через линзу, которая должна была бы свести ее в точку. Луч из пучка, первоначально распространявшегося под углом к оси, будет в предположении, что

n = n₀ + n₂E²,

идти не по прямой линии, а по гиперболе:

, (3)

где Р мощность, r расстояние луча от оси, a z измеряется вдоль оси линзы от точки обычного фокуса, где r = 0. При выводе этого выражения предполагалось, что на траекторию луча не влияют члены более высокого, чем первый, порядка по Р.

Таким образом, фокусирующийся луч никогда не достигнет фокуса, но асимптотически приближается к оси. Однако, если диаметр луча составит величину порядка нескольких длин волн, приближение геометрической оптики не будет более справедливым, что потребует учесть волновые свойства.

Волновое уравнение, учитывающее нелинейность среды, имеет вид

(4)

Где

= ₀ + ₂E².

Рассмотрим его решение в виде

= _t(x, y)cos(k_zz t).

Это выражение будем называть стационарным решением, поскольку в любой точке поле постоянно, если не считать регулярных колебаний с оптической частотой .

Теперь предположим, что изменение нелинейных диэлектрических свойств происходит много медленнее, чем изменение поля с оптической частотой; это может быть справедливым для электрострикции и некоторых видов эффекта Керра, но не для электронной поляризации, ответственной за генерацию оптических гармоник. В таких допущениях Е² можно усреднить по времени, и выражение (4) перепишется в виде

, (5)

Где

и .

Если зависит только от у и поляризация линейная, то

. (6)

Представив лазерный луч плоским при нулевой толщине по оси у, можем принять граничными условиями при и при y = 0, тогда исключаются периодические решения и Г²> 0. Механическим аналогом этой системы (6) является частица в потенциальном ящике с двумя стенками. Из рассмотрения этой аналогии следует, что существует единственное неосциллирующее решение, а именно , где Г должно равняться . Отметим, что при заданном размере луча (~ 1/Г) необходимое для самозахвата поле внутри луча должно достигать величины E_t(0). Более интересным, хотя несколько более сложным, является случай цилиндрического луча. В этом случае (предполагая круговую поляризацию) выражение (4) принимает вид

, (7)

где

, , .

Отсюда видно, что стационарное решение, умноженное на , отвечает лучу с любой произвольной величиной поперечного сечения. Уравнение (7) не имеет простого аналитического решения, а полученное численным интегрированием показано на рис. 1.

Рис. 1. Численное интегрирование уравнения (7)

Критическая мощность захвата в случае цилиндрического луча выражается следующим образом:

, (8)

Где

.

Численное интегрирование выражения (8) дает для критической мощности величину , которая как раз равна величине, полученной из простого уравнения (2) для больших мощностей луча. Это интегрирование позволяет также оценить b в зависимости от E(0) и, следовательно, дает

.

Мощность зависит от диаметра луча только через n_эфф, однако эта зависимость важна лишь для лучей, диаметры которых порядка нескольких длин волн. Это обстоятельство вместе с другими нелинейностями в диэлектрических материалах, не учитывавшимися в принятом приближении, приведет к тому, что на практике диаметр захваченного луча будет зависеть от мощности.

Динамика луча и ее вариации в диэлектрических материалах еще недостаточно понятны. Здесь появляются вопросы формирования захвата, проблемы возмущений, по отношению к которым захваченный цилиндрический луч устойчив, и проблемы поведения луча при мощности, существенно превышающей критическую. Для того чтобы произошло захватывание, продолжительность интенсивного лазерного импульса (10⁸ с) должна обеспечить изменение диэлектрической постоянной. Для электрострикционных эффектов требуется время, соизмеримое с прохождением звуком расстояния порядка диаметра луча, или 10⁹ с (для нити диаметром в несколько длин волн). Время действия для эффектов Керра (связанны с молекулярным вращением) порядка 10¹¹ с, и оно явно не зависит от диаметра луча.

За время реакции диэлектрического материала его релаксационные свойства будут оказывать важное влияние на динамику поведения светового луча. Для инициирования очень небольшого "захваченного" луча очевидным процессом оказывается самофокусировка лазерного луча в прозрачном веществе, так как в геометрическом приближении стационарным решением оказывается не фокальная точка, как показано выше, а тонкий аксиальный луч. Если налицо широкий луч, мощность которого значительно выше пороговой, то он, вероятно, разбивается на несколько лучей пороговой мощности; однако в случае плоского луча постоянной частоты оказывается, что это решение не всегда имеет место, а в случае более сложных форм луча ситуация не ясна.

Видимо, может существовать слабая модуляция рассмотренных выше стационарных лучей, если она быстра по сравнению со временем реакции нелинейности среды. Так как луч, будучи захваченным, образует волновод с характеристиками, стимулирующими его собственное распространение, то, как можно показать, будет распространяться любая слабая волна более высокой, но не более низкой частоты. Диэлектрические свойства волновода в первом приближении не возмущаются слабым полем, пока частота биений между этим полем и первоначальной волной слишком высока и реакция среды не успевает за ней. Если она достаточно мала, то волновод обладает модулированной диэлектрической постоянной и решение для двух одновременно распространяющихся волн гораздо более сложно.

Очевидно, что две волны со слишком высокой (по сравнению с реакцией диэлектрических свойств) разностью частот захватываются более устойчиво, чем волна постоянной частоты. Причина заключается в том, что возрастание диэлектрической постоянной волновода (вызванное одной из волн, участвующей в его создании), относительно мало подвергается влиянию со стороны второй волны, и наоборот.

В табл. 1 приведены величины n₂, для эффекта Керра и электрострикции, а также рассчитанная критическая мощность для одной только электрострикции. Для керр-эффекта n₂ = 2J/3, где J высокочастотная постоянная Керра, обусловленная молекулярным вращением. Для электрострикции n₂ = ²/(16n₀B), где = d/d, плотность и В модуль объемного сжатия. Критическая мощность захвата рассчитана только для процесса электрострикции. Отчасти это происходит потому, что приведенная выше теория строго справедлива лишь для круговой поляризации луча, при которой молекулярное вращение могло бы внести только частичный вклад. Однако в случае плоскополяризованного луча керр-эффект полностью участвовал бы в создании n₂, как и электрострикция; тогда пороговые мощности для обоих эффектов были бы сравнимы.

Наиболее удивительным в настоящее время свидетельством наличия захваченного оптического луча являются крайне тонкие, длинные структуры точек ионизации или разрушений, которые иногда появляются в оптических материалах при фокусировке в них интенсивных световых лучей. Впервые о них сообщил Хершер [159] как о тонких нитях разрушения в стекле и других материалах; их легко продемонстрировать, сфокусировав луч рубинового лазера мощностью больше нескольких МВт в стекле хорошего оптического качества. Обычно (хотя и не всегда) вблизи фокальной точки возникает разрушение, а позади нее длинная прямая нить из небольших пузырьков и разрушений вдоль оси линзы, сопровождаемая ионизацией. Эта нить может быть длиной в несколько сантиметров и в то же время диаметром всего в несколько длин волн. Ее диаметр в некоторых случаях на два порядка меньше, чем диаметр фокуса, в приближении линейной оптики [159].

Без захвата и возрастания показателя преломления очень трудно объяснить наличие такого длинного прямого пути прохождения концентрированной световой энергии, поскольку его диаметр, не превосходя всего лишь нескольких длин волн, предполагает быстрое дифракционное расширение. Если в качестве источника разрушения принять какую-либо акустическую или ударную волну, то за время лазерного импульса она прошла бы расстояние 10³ см и должна была бы обладать такой высокой частотой, что сильно затухала бы.

Если лазерный луч захватывается в нить наблюдаемого малого диаметра, то напряженность поля должна быть порядка 10⁸ В/см, а обусловленное нелинейностями изменение показателя преломления порядка единицы. Легко, следовательно, видеть, что в нити могут иметь место важные оптические, механические и связанные с электрическим полем эффекты. Низкие уровни мощности, при которых теоретически может возникнуть самофокусировка в жидкостях, указывают на связь с этим явлением некоторых необычных характеристик вынужденного комбинационного рассеяния в жидкостях.

Самозахват оптических ЭМВ, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, рассмотренный выше [157, 160, 161], не учитывал случая, когда эффект самофокусировки, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, не компенсируется дифракцией. При этом интенсивность некоторой части луча возрастает с расстоянием в направлении распространения световой волны. Определим длину самофокусировки путем численного решения нелинейного волнового уравнения [162] и покажем, что такое определение достаточно корректно.

Длиной самофокусировки называют расстояние, на котором интенсивность в самосфокусированной области луча стремится стать аномально большой. Другие нелинейные оптические эффекты будут, вероятно, ограничивать процесс фокусировки в мощных лучах и могут формировать участки луча с большой интенсивностью в нити.

Самофокусировка должна играть значительную роль в процессах вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) и других нелинейных эффектах [157]. В самосфокусированном луче ВКР-усиление должно быть аномально большим. Аномальное ВКР-усиление рассматривалось в литературе [163 - 165], где отмечалась одна важная особенность для возникновения аномального усиления необходимо, чтобы луч в жидкости прошел некоторое расстояние. Предположим, что это расстояние и есть та самая длина самофокусировки, о которой говорилось выше, и проведем расчеты, позволяющие несколько прояснить проблему аномального усиления. Результаты экспериментов подтверждают это предположение [166, 167].

За основу примем волновое уравнение (4) из работы [157]

, (9)

где ₀ и ₂ действительные величины и ₂Е² << 1. Предположим, что вдоль оси z распространяется линейно поляризованная волна частоты , так что

, (10)

где

k = ₀^0,5/c,

экспонента exp(ikz i?t) характеризует распространение волны, а Е медленно меняющаяся амплитуда. Подставляя это выражение в уравнение (9) и пренебрегая членами, содержащими третью гармонику, получаем

, (11)

где ₂ = 3₂/4. Заметим, что

n = n₂E² = 0,5₂E²/n₀

(изменение показателя преломления, обусловленное отсутствием осцилляции, как определили это выражение Мэйкер и Терхьюн [168]).

Пренебрегая членом, содержащим вторую производную от Е по z, ввиду его малости, можем записать:

. (12)

Отметим, что если в луче поперечных градиентов нет, то уравнение (12) имеет простое решение

; (13)

другими словами, нелинейность вносит фазовые искажения, пропор-циональные интенсивности, а фазовая скорость уменьшается с увеличением интенсивности.

Таким образом, поверхность постоянной фазы обращена вогнутостью в направлении распространения луча. Поэтому по принципу Гюйгенса световые лучи должны стремиться к области наибольшей интенсивности, и интенсивность центральной зоны должна возрастать.

Используем это решение для отыскания характерной длины самофокусировки. Предположим, что поперечные вторые производные от Е' в уравнении (12) зависят от расстояния по оси z через поперечное изменение интенсивности в показателе экспоненты выражения (13). Это, в свою очередь, приводит к заметному изменению поля вдоль оси, когда

, (14)

где а характеристический поперечный радиус кривизны входного луча и Е_m пиковая величина поля. Длина самофокусировки отыскивается в предположении, что во входном сечении луча фаза везде постоянна. Поскольку в уравнении (12) вторая производная по z не учтена, следует ожидать, что полученное решение будет справедливым, пока диаметр канала не уменьшится до нескольких длин волн.

Воспользовавшись данными работы [168], получаем, что для CS₂ n₂ (0,2 - 1,5)10¹¹ ед. СГСЕ. Для луча мощностью 1 МВт и диаметром 2 мм длина фокусировки в CS₂ будет составлять 40 100 см. Весьма вероятно, что на частоте рубинового лазера нелинейность n₂ во многих жидкостях обусловлена близостью к двухфотонному резонансу с учетом колебательных состояний молекул.

Приравнивая z_фокус дифракционной длине, мы получаем приближенное значение пороговой мощности для самозахвата цилиндрического луча (считая а равным радиусу луча):

P_кр = (1,22)²c/512n₂. (15)

Поскольку n₂ = 0,5n₂, эта мощность равна 0,25 величины пороговой мощности, определенной в работе [157]. После поправки на дифракцию получаем чистую длину самофокусировки

, (16)

где E_кр = 1,22/[8a(n₀n₂)^0,5].

Чтобы подтвердить эти соображения, уравнение (12) решалось численно для цилиндрического луча, при этом для удобства расчетов уравнение (12) записывалось в следующей безразмерной форме:

, (17)

где r* = r/a, z* = 0,5z/ka² и E* = kaE(₂/₀)^0,5, а звездочкой отмечены безразмерные величины. При этом в безразмерной форме

и .

Решаем уравнение (17) методом конечных разностей, или сеток, описанным Хармусом [169], видоизменяя его для учета нелинейности, предполагая, что на входе луча фаза постоянна, а профиль интенсивности описывается гауссовой кривой. Результаты численных решений приведены на рис. 2 (теоретическое распределение интенсивности луча I* по радиусу r* для z* = 0,353/E^*_m

(для сравнения пунктиром показан профиль первоначальной интенсивности (z*= 0), имеющий, по предположению, гауссову форму)) и 3 (теоретическая зависимость интенсивности центральной области луча I* от расстояния в направлении распространения z* (в единицах 1/E^*_m)).

Величина Е_m выбрана достаточно большой для того, чтобы длина фокусировки была невелика.

Обнаружилось, что мощность луча с точностью, по крайней мере, до пятого десятичного знака не зависит от z*, а ширина луча на уровне половины максимальной интенсивности изменяется (в первом приближении) обратно пропорционально центральной интенсивности.

Отметим, что приведенная на рис. 3 кривая с большой точностью описывается формулой

, (18)

Где

.

Находим, что z₀^* = 0,366/E_m^*(0), в то время как из выражений (14) и (16) z*_фокус= 0,353/E_m^*(0) и z*_чист= 0,368/E_m^*(0) соответственно.

Рис. 2. Теоретическое распреде- Рис. 3. Теоретическая зависиление интенсивности луча I* по мость интенсивности центральной радиусу r* области луча I* от расстояния в направлении распространения z*

В работе [170] получено уравнение, эквивалентное выражению (12), в форме

(19)

и ,

где , а знак перпендикуляра в индексе обозначает поперечные производные. Воспользуемся этими равенствами для получения уравнения, описывающего возрастания интенсивности в центре луча (r = =0). Пренебрегая изменением фазы из-за дифракции (т.е. z_чист z_фокус), можно уравнение для центральной области луча записать в виде

, . (20)

Принимая приближенно

и

(т.е. считая, что квадрат радиуса кривизны обратно пропорционален интенсивности, что разумно основывается на сохранении мощности), получаем уравнение

, (21)

которое в безразмерной форме имеет (18) своим решением, если

.

Полученные выражения справедливы для однородного луча (т.е. луча, поперечный радиус кривизны которого вблизи максимума порядка поперечного радиуса), при этом длина самофокусировки лучей, кривизна которых больше кривизны этого луча, будет меньше, чем длина фокусировки луча такого радиуса.

Можно показать, что влияние других мод [161 165] также будет уменьшать длину самофокусировки.

Определим коэффициенты электрострикции и постоянные эффекта Керра из данных по показателям преломления, диэлектрических постоянных, изотермических сжимаемостей и эффекту Керра в постоянном поле и оценим их относительную роль в самофокусировке излучения лазера с модулированной добротностью.

Изменение показателя преломления через колебания плотности и поляризуемости и p зададим соотношением КлаузиусаМозотти

. (22)

В присутствии светового поля величина подчиняется волновому уравнению акустики с учетом внешней силы

. (23)

Здесь s = (1/₀)^0,5 скорость звука, изотермическая сжимаемость, Г затухание звука и

.

Так как при оптических частотах не может следовать за внешней силой, рассмотрим только низкочастотные компоненты . Для монохроматического поля находим, что

(n) = 0,5KI_?², (24)

где K = ²/8n₀ коэффициент электрострикции.

Вычисленные коэффициенты электрострикции К_р, константы высокочастотного эффекта Керра К_а и эффекта Керра в постоянном поле, (К₁)_пост для различных жидкостей на длине волны D-линии Na приведены в табл. 2.

Таблица 2

Жидкости	Кp 107	Ка 108	(K1)пост 108
Четыреххлористый углерод	1,21	0,67	0,74
Сероуглерод	2,53	32,6	32,26
Гексан	1,06	0,45	0,45
Циклогексан	1,06	0,78	0,74
m-Ксилен	1,20	7,59	8,58
Бензол	1,33	5,73	5,93
Толуол	1,25	6,55	7,53
Хлорбензол	1,20	9,93	91
Бромбензол	1,50	14,35	91
Нитробензол	0,92	26,4	2560
Анилин	1,00	3,22	12,3
Хлороформ	1,03	1,70	33,2
Ацетон	0,75	1,03	163
Метиловый спирт	0,58	0,17	9,7
Этиловый спирт	0,66	0,21	7,68
Бутиловый спирт	0,64	0,41	36,5

Предположим, что изменение поляризуемости связано всецело с изменением ориентации анизотропных молекул. Пусть f(, , ) функция распределения ориентации, где углы , и определяют ориентацию отдельной молекулы. Изменение поляризуемости можно рассчитать по теории Ланжевена [171].

Имеем

. (25)

Здесь р_н наведенный дипольный момент, а f = f - f₀ подчиняется уравнению

, ,

где 4a³/kT время релаксации, а размер молекул, коэффициент вязкости, С константа нормировки и U потенциальная энергия анизотропной молекулы в поле Е.

Опять-таки, поскольку f не успевает изменяться с оптической частотой, нужно принимать во внимание только его низкочастотную часть. В первом приближении для линейно-поляризованного монохроматического поля находим

, (26)

а для круговой поляризации

, (27)

Где

высокочастотная постоянная Керра, ? диэлектрическая постоянная, а ?_? задается соотношением Дебая:

,

причем постоянный дипольный момент молекулы. Величина (K₁)_пост есть часть константы эффекта Керра в постоянном поле, связанная только с наведенным дипольным моментом и всегда положительная. Для неполярных молекул

К_a (К₁)_пост.

При вычислении этих постоянных n₀ взято из International Critical Tables, а ? и из Handbook of Chemistry and Physics. Значения физических констант брались по возможности при температуре 20 °С.

Для полярных молекул с большим постоянная высокочастотного эффекта Керра может быть по абсолютной величине значительно меньшей, чем в постоянном поле. В таблице приведены высокочастотные постоянные Керра для различных жидкостей, полученные при использовании величин (K₁)_пост, рассчитанных Раманом и Кришнаном [171]. Для сравнения даны также константы эффекта Керра в постоянном поле.

Можно показать, что для импульса длительностью _i, полученного от лазера с модулированной добротностью, при ? << _и? соотношение (27) справедливо, но (n)_p теперь пропорционально величине I₁(r, t)², которая зависит от времени. Для большинства жидкостей это справедливо, так как ? << 10¹⁰ с. Изменение плотности не может, однако, следовать за гигантским импульсом. Предположив, что распределение интенсивности ЛИ по сечению пучка и во времени имеет вид

t для t _i,

I₁(r, t)² = A exp(p²r²) (28)

t + 2L для t _i,

можно, пренебрегая членом ²() в уравнении (23), получить грубую оценку изменения плотности. Это хорошее приближение для случая p < 100 и r < 1/p. В результате получаем общее (с учетом высокочастотного эффекта Керра) изменение показателя преломления

для t _i?,? (29)?

(30)

для t _i .

Соотношение (30) показывает, что при t = _i? отношение (n)/(n)_p составляет около 10² К/К_a, для s = 1,510⁵ см/с, _i = 210⁸с и p = 30 см¹. В дальнейшем это отношение становится больше.

Увеличение показателя преломления с увеличением интенсивности ЛИ в жидкости приводит к самофокусировке луча. Эксперименты [172 174] показывают, что сильнее всего самофокусировка проявляется в CS₂, затем (по мере уменьшения эффекта) в нитробензоле, бромбензоле, толуоле, бензоле, хлороформе, CCl₄, гексане и метиловом спирте. Как показывает таблица, величины высокочастотных постоянных Керра этих жидкостей расположены точно в том же порядке. Мы видели также, что эффект самофокусировки в этих жидкостях сильно уменьшается при использовании поляризованного по кругу излучения. Это заставляет нас предположить, что самофокусировка обусловлена высокочастотным эффектом Керра. Однако в жидкостях с небольшими постоянными Керра электрострикция может оказаться существенной. Используя соотношения (30), можно вычислить, что в CCl₄ при t = _i отношение (n)/(n)_p 0,4. Коэффициенты электрострикции обладают сильной положительной температурной зависимостью, в то время как высокочастотные постоянные Керра обладают слабой отрицательной температурной зависимостью. Действительно, температурные измерения показывают, что во всех жидкостях с большими высокочастотными постоянными Керра с увеличением температуры эффект самофокусировки уменьшается, а в CCl₄ и гексане увеличивается. Высокочастотным эффектом Керра объясняется также спектральное расширение в вынужденном комбинационном рассеянии, когда ЛИ имеет две или более мод, разделенных промежутком 1 см¹. Однако электрострикция должна слабо влиять на спектральное расширение, так как составляющие Ар на частотах биений лазерных мод крайне малы [175].



2. Формирование и удержание плазмы

Создание плазмы гигантским лазерным импульсом

Вычисления показывают, что лазерный импульс, передающий мощность порядка 10¹⁰ Вт жидкой или твердой частичке с размерами порядка 10² см, будет создавать горячую плазму с температурой порядка нескольких сотен эВ. В значительной степени температура плазмы падает за счет ее быстрого расширения и охлаждения, что превращает большую часть подводимой энергии в энергию направленного расширения; она может доходить до нескольких кэВ на ион. Если расширяющаяся плазма захватывается магнитным полем и ее упорядоченное движение превращается в случайное, то процесс можно использовать как способ заполнения термоядерных устройств горячей плазмой.

Одна из основных проблем управляемого термоядерного синтеза заполнение различных устройств высокотемпературной плазмой с низкой плотностью.

В одном из методов предлагается испарять маленькую частичку вещества сильным лазерным импульсом малой длительности. В работе [176, 177] проведены вычисления, которые указывают, что такой подход возможен. Рассмотрим дальнейшие вычисления в связи с этой возможностью, которые были проведены в работе [177].

Типичная плазма, образованная таким способом, будет содержать от 10¹⁰ до 10¹⁹ электронов и ядер с энергиями от сотен эВ до нескольких кэВ на частицу. Чтобы получить такую плазму, требуется лазерный импульс мощностью порядка 10⁹ 10¹² Вт в течение нескольких наносекунд, что достижимо в настоящее время.

Требования к общей энергии и необходимой мощности

Если временно пренебречь излучением, то энергия, требуемая для получения N_i ионов и N_e электронов каждый с энергией _е, равна

W = _е(N_i + N_e) , (31)

или если измерять W в джоулях, а _е в электронвольтах, то

W = 1,610-¹⁹_е(N_i + N_e).

Таким образом, для _е = 1 кэВ и

N_i + N_e 10¹⁷

требуется 16 Дж. Потребуем, таким образом, энергию в диапазоне от 1 до 10³ Дж. Если материал первоначально находился в жидкой или твердой форме (типичная с плотностями порядка 510²² атом/см³), а частичка имела объем от 210⁷ до 210⁴ см³ (это будет соответствовать линейным размерам частички от 610³ до 610² см) и предположить, что ядра являются протонами и имеют энергию 1 кэВ, то их скорость равна 410⁷ см/с. Отметим, что меньшая частичка удваивает свои размеры примерно за 10¹⁰ с, в то время как для большей требуется 10⁹ с. Как было показано выше, плазма, расширяясь, быстро становится прозрачной, и поэтому для эффективной передачи энергии она должна возникать примерно в течение этого времени. Маленькая частичка, для которой нужен 1 Дж, чтобы достичь желаемой энергии, потребует мощность 10¹⁰ Вт, в то время как для большей частички, требующей 10³ Дж, необходимо 10¹² Вт. Меньшие энергии, конечно, требуют и меньших мощностей еще и потому, что газ расширяется более медленно.

Проникновение

Чтобы импульс света проник в плазменный сгусток, плазменная частота должна быть ниже частоты света. Частота, испускаемая рубиновым лазером, равна 4,3510¹⁴ Гц. Плазменная частота определяется [178, 179] выражением

_p = 8,910³n_e^0,5, (32)

где n_e - плотность электронов.

Приравняв эти частоты, получим n_e = 2,410²¹ электронсм³. Это несколько меньше, чем плотность электронов в твердом теле или жидкости (электронная плотность в жидком водороде 410²² см³). Таким образом, если вблизи 10 эВ достигается высокая степень ионизации, плазма будет отражать свет. Но как только объем увеличится в 10 раз или около того (это потребует около 10⁸ с для водорода при 10 эВ), свет будет опять проникать в сгусток. Стоит плазменной частоте упасть ниже частоты света, и часть света, проникающая в сгусток, быстро возрастает. Если предположить, что сгусток имеет резкую границу и луч падает нормально к ней, то часть, проникающая в сгусток, дается выражением

, (33)

где ?_p и ? частоты плазмы и света. Для ? = l,05??_p эта формула дает f = =0,7. Если граница сгустка диффузна в масштабе длины волны света (?=6,910⁵ см), проникновение даже более эффективно. Если же свет ударяет по сгустку косо, проникновение затруднено. Оно возможно, если только

(34)

где k_|| параллельная поверхности составляющая волнового вектора. Если падение происходит под углом 45°, критическая плотность уменьшается в 2 раза.

Поглощение

Чтобы свет нагрел сгусток, он должен быть поглощен прежде, чем пройдет насквозь. Основной процесс поглощения для полностью ионизованной плазмы связан с электрон-ионными столкновениями, т.е. сопротивлением индуцированным токам (этот процесс иначе называется "тормозным поглощением" и является обратным по отношению к тормозному излучению электронов при рассеянии ионами). Обратная величина длины поглощения за счет таких столкновений для волн частоты ? есть

, (35)

(kT - в эВ, = _Т/_рр_мин). Здесь Z и n_i заряд и плотность ионов; q₀, m_e, n_е заряд, масса и плотность электронов; с скорость света; ?_T тепловая скорость электронов; p_мин минимальный параметр столкновения для столкновения электрона с ионом (p_мин равен большей из величин Zq₀²/kT или h(m_ekT)^1/2). Если ? равна ?_p, то есть спитцеровская величина [178, 179].

Член (1 - _p²/)^0,5 важен только при ? ? ?_p, и поэтому полагаем его равным единице. В любом случае этот член только увеличивает К. Для водорода при 1 кэВ, n_e = 2,410²¹ см³, ? ?= 4,3510¹⁴ Гц и ln ?= 10 находим К = 40 см^-1. Таким образом, свет будет поглощен в сгустке размером 2,510² см.

Излучение

Излучение из плазмы есть излучение черного тела на тех частотах, для которых длина поглощения меньше радиуса плазмы, в то время как для частот, на которых длина поглощения велика по сравнению с радиусом, излучение является тормозным. Максимум распределения Планка получается для частоты

. (36)

Для kT = 1 кэВ ?_max = 7,210¹⁷ Гц, или в 2000 раз больше частоты лазера.

Таким образом, из выражения (35) следует, что плазма прозрачна для этих частот и его излучение в основном тормозное. Для тормозного излучения количество излученной энергии _ти из 1 см³ за 1 с определяется выражением [178]

_ти = 4,8610³¹Zn_e²T^0,5 Вт/см³, (37)

где Т выражено в кэВ.

Для водорода при 1 кэВ и плотности 2,410²¹ см³ эта формула дает

?_ти??= 2,810¹² Вт/см³. (38)

Объем в 10⁴ см³, содержащий 2,410¹⁷ протонов, излучает мощность 2,810⁸ Вт, которая мала по сравнению с оценочной требуемой мощностью ~ 10¹⁰ Вт. Для материалов с большим Z тормозное излучение значительнее. Вычисляя излучение на основе тормозного механизма, не принято во внимание излучение связанных электронов и рекомбинационное. Эти процессы становятся более важными с ростом Z, но остаются незначительными для Z, меньших или равных 3 4 при температурах плазмы в сотни эВ. Для температур ниже 100 эВ даже излучением черного тела можно пренебречь.

Время термализации для ионов и электронов определяется [178, 179] соотношением



, , (39)

где Т выражено в кэВ, А атомный вес. Для водорода при плотностях 2,410²¹ см³, при 1 кэВ и ln? = 10 находим

t_ie= 4,410¹⁰ с, (40)

т.е. время того же порядка, что и длительность нагрева. При более низкой температуре t_ie короче, так что оказывается, что вплоть до этой температуры (~ 1 кэВ) электроны и ионы остаются в тепловом равновесии. Если попытаться нагреть плазму до более высокой температуры, то электроны нагреются, а ионы нет. Если иметь лазер большей частоты, так чтобы можно было нагревать при более высоких плотностях, то равновесие может установиться при более высоких температурах.

Теплопроводность и перенос энергии

Основной процесс выравнивания температуры в плазме это электронная теплопроводность.

Так как сгусток прозрачен для испускаемого им излучения, то оно приводит к потерям энергии, но не к тепловой проводимости. Уравнение для диффузии тепла [178] можно написать в виде

, (41)

где k_е - коэффициент электронной теплопроводности, равный

эрг/(градсмс).

Здесь Т выражено в кэВ, а теплоемкость



эрг/(см³град).

Из этого уравнения, полагая ln? = 10, находим расстояние l, на которое тепло продиффундирует за время t:

. (42)

Для водорода с плотностью 2,410²¹ см³ при температуре 1 кэВ

l² = 3,0510⁵t. (43)

Для t = 10⁹ с l = 1,7510² см, т.е. того же порядка, что и радиус плазмы. Более низкие температуры и более высокие Z и плотности уменьшают l.

В начальных стадиях импульса на поверхности плазмы может получиться сильный локальный нагрев. Так как коэффициент поглощения сильно зависит от температуры, такие области быстро станут прозрачными и свет будет проникать глубже в плазму. Расширение поверхностного слоя также уменьшает коэффициент поглощения. К тому же в плазме благодаря высокой локальной температуре и давлению образуются ударные волны. Эти ударные волны весьма эффективно участвуют как в переносе энергии из горячих точек, так и в нагревании плазмы, через которую они проходят, обеспечивая таким образом другой способ выравнивания температуры. Составляющие этих процессов зависят от того, как сгусток освещен (однородно по всей поверхности или локально), и общий анализ их достаточно сложен. Поскольку наша цель состоит лишь в том, чтобы показать возможность использования этого метода для образования плазмы, мы не будем делать здесь такого анализа. Вместо этого мы просто предполагаем, что сгусток нагревается однородно. К концу времени поглощения это будет разумное приближение, так как в это время свет проникает во всю плазму и электронная теплопроводность довольно большая.

Очевидно, что требуется более детальный анализ температурного профиля внутри плазмы, однако здесь будем предполагать, что весь сгусток находится при одинаковой температуре.

Расширение и охлаждение плазмы

Для температур выше 100 эВ и плотностей порядка 10²¹ см³ от атомов любого материала с малыми Z (Z 5), по существу, полностью оторваны все электроны, так как тепловая энергия при этом порядка энергии связи даже для наиболее сильно связанных электронов. Вследствие этого плазма ведет себя как идеальный газ из электронов и ионов и, как уже указывалось, быстро расширяется. Аппроксимируя этот процесс, как это сделано в работе [176], предполагая однородными плотность и температуру и приравнивая работу, совершаемую давлением, увеличению кинетической энергии, связанной с радиальным расширением, получим

или , (44)

где Р давление, а некая эффективная средняя общая масса плазмы.

Если предположить, что плотность плазмы однородна и скорость увеличивается линейно от центра к периферии, то , где M действительная масса.

Давление

, (45)



где N_i и N_e общее число ионов и электронов, содержащихся в сгустке. Окончательно температура определяется из уравнения сохранения энергии

(46)

где V_w скорость, с которой лазер подает энергию в вещество. Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения тепловой энергии плазмы, в то время как первый член в правой части есть скорость, с которой энергия идет на расширение. Здесь не учтено излучение, хотя его без особых трудностей можно вычислить из V_w.

Если предположить, что V_w = const и начальная скорость расширения равна нулю, то эти уравнения после интегрирования дают

, (47)

, (48)

где r₀ начальный радиус плазмы и m_i масса иона.

Для достаточно больших времен, таких, что V_wt^з/N_im_i >> r₀², можно аппроксимировать эти выражения следующим образом:

, (49)

. (50)

Для малых времен, когда расширение незначительно, имеем

. (51)



Сравнение уравнений (50) и (51) показывает, что для больших времен 0,75 энергии идет на расширение и 0,25 на нагревание плазмы.

Расширяясь, плазма быстро становится прозрачной для лазерного света, так как из уравнения (35) следует, что коэффициент К пропорционален . Определим время, за которое плазма становится прозрачной, приравнивая Kr единице. При этом найдем зависимость от входной мощности, начальной электронной плотности и радиуса сгустка, используя равенства (49), (50) и соотношения

, , , . (52)

Подстановка выражений в Kr = 1 дает

. (53)

Полагая ? = 4,3510¹⁴, m_i = 1,6610²⁴А, ln = 10, уравнение (53) можем переписать в виде

, (54)

где r₀ выражено в см, a V_w в Вт. Разрешая (54) относительно t, находим

, с. (55)

Энергия, передаваемая одной частице, равна

, (56)

где ?_e1 выражено в эВ, V_w в Вт.

Для дейтерия с начальным радиусом 1,510² см и V_w = 10¹⁰ Вт оказывается t = 910¹⁰ с, ?_e1 = 1,0 кэВ.

Результаты более точных вычислений для дейтериевого и литиевого сгустков показаны на рис. 4 8 (кривая 1 температура, кривая 2 энергия расширения на ион, кривая 3 радиус плазменного сгустка, а на этой кривой буквой П обозначен момент, когда плазма становится прозрачной).

Результаты в основном находятся в хорошем соответствии с приближенными формулами (49), (50), (55) и (56), хотя радиус этих сгустков увеличивается приблизительно в 2 раза, прежде чем они становятся прозрачными. Приближения, используемые при получении этих уравнений, теряют силу для сгустков, которые столь малы, что становятся прозрачными до заметного расширения.

В случае очень маленьких сгустков нельзя увеличить энергию на частицу, уменьшая размеры сгустка, что следует из (56).

Рис. 4. Нагревание и расширение сгустка водородной плазмы (начальный радиус сгустка 0,015 см, общее число атомов в сгустке 2,210¹¹, мощность лазерного импульса 10¹⁰ Bт)



Рис. 5 Нагревание и расширение Рис. 6. Нагревание и расширесгустка дейтериевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы (начальный радиус 0,01 см; число электронов в сгустке 10¹⁶)

Рис. 7. Нагревание и расширение Рис. 8. Нагревание и расширесгустка литиевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы (начальный радиус 0,02 см; число (начальный радиус 0,01 см, электронов в сгустке 810¹⁶) число электронов в сгустке 10¹⁶, ионов 3,3310¹⁵)

Если плазма нагревается столь быстро, что расширение несущественно, то можно оценить достижимую температуру, полагая Kr₀=1. Из уравнения (46) получаем

, (57)

где kT выражено в эВ. Для Z = l, n₀ = 2,410²¹, ??= 4,3510¹⁴ и r₀ = 10² см получаем температуру 525 эВ. Конечно, температуру можно несколько повысить по сравнению с этим значением, поскольку нагрев продолжается, но сильно превысить это значение температуры будет трудно, так как коэффициент поглощения быстро падает и скоро станет существенным расширением плазмы.

Расширение после нагревания и захват плазмы

После того как плазма становится прозрачной, она продолжает быстро расширяться и в результате охлаждается. Предположив, что поступление энергии прекращается после того, как достигнута прозрачность, находим, решая (44) (46), определяющие расширение величины:

, (58)

, (59)

где , и радиус, температура и радиальная скорость плазмы в момент, когда она становится прозрачной.

Откуда следует, что температура плазмы быстро падает с расширением и что за время увеличения радиуса в 10 раз температура падает до нескольких эВ, при этом вся энергия переходит в энергию радиального расширения.

Теперь следует проверить, не рекомбинирует ли плазма? При этих плотностях основной механизм рекомбинации это рекомбинация в тройных соударениях: двух электронов и одного иона. Теория такой рекомбинации для водорода была разработана Хинновом и Хиршбергом [180] и уточнена в [181, 182], где получено несколько большее значение численного коэффициента. Согласно первой из работ, скорость рекомбинации dn_e/dt определяется выражением (kT выражено в эВ)

. (60)

Характерное время рекомбинации (в секунду) равно



. (61)

Подставив (58) и (52) в (61), получим

, (62)

где индекс 1 относится к состоянию плазмы на тот момент, когда она становится прозрачной.

Это время должно быть сравнимо со временем, требующимся для удвоения радиуса плазмы:

, (63)

где _ех скорость расширения.

Приравнивая эти времена, получаем

. (64)

При kT₁ = 300 эВ, n_e1 = 510²⁰, r₁ = 2,510², _ех = 310⁷ (энергия расширения 1 кэВ для дейтронов, примерно соответствующая величине, даваемой рис. 5) уравнение (64) дает r = 0,4 см. Таким образом, радиус увеличился примерно в 20 раз, плотность уменьшилась в 8000 раз и температура упала до 0,75 эВ.

Энергия ионизации при рекомбинации трех частиц возвращается плазме, что поддерживает температуру и предотвращает дальнейшую рекомбинацию [183]. Падение температуры должно было бы почти остановиться в этой точке. Предполагая, что температура остается постоянной, причем рекомбинация как раз обеспечивает работу расширения, получаем

, (65)

, (66)

где индекс 2 относится к состоянию в момент начала рекомбинации, a _A энергия ионизации атомов. Из (66) следует, что если kT₂ << _A, то даже при сравнительно большом отношении (r/r₂) отношение ?N/N мало, т.е. можно пренебречь рекомбинацией. Конечно, охлаждение за счет излучения будет увеличивать скорость рекомбинации. Непосредственной радиационной рекомбинацией можно пренебречь, так как ее поперечное сечение мало. Однако излучение из высоких возбужденных состояний, образованных рекомбинацией трех частиц, может оказаться значительным. С другой стороны, рекомбинация уменьшается, если лазер продолжает действовать в течение расширения, так как сгусток никогда не становится полностью прозрачным, и даже небольшое увеличение температуры по сравнению со значением, использованным выше, сильно снижает скорость рекомбинации. Наконец, если пытаться захватить плазму магнитным полем (см. ниже), то установившиеся в плазме токи будут поддерживать достаточно высокую температуру электронов, что может предотвратить рекомбинацию, однако последнее еще нуждается в дополнительном детальном исследовании.

Если направленное движение расширения превратить в хаотическое, то плазма опять приобретет высокую температуру. Один из методов получения этого позволить двум расширяющимся сгусткам плазмы столкнуться друг с другом. Так как ионы приобретут большую часть энергии, в результате получится плазма с высокой ионной и низкой электронной температурами.

Можно предложить ряд способов удержания плазмы в магнитном поле. Расширение плазмы в конечном счете прекращается за счет тормозящего действия внешнего МП. Создание полости объемом V в МП с магнитной индукцией В требует энергии



W = B²V/8 . (67)

Если В выражено в кГс, V в см³, W в Дж, то

. (68)

В поле B = 10 кГс для поглощения 1 Дж энергии требуется объем 2,5 см³. Максимальный объем, до которого плазма может расшириться, получается приравниванием W энергии плазмы. Очевидно, при В 10 кГс и W порядка нескольких Дж этот объем равен примерно 10 см³.

Когда плазма расширяется против МП, в ней устанавливаются поверхностные токи. Энергия, требующаяся для поддержания этих токов, затухающих за счет омических потерь, обеспечивается радиальным расширением. Таким образом, энергия направленного расширения может быть опять обращена в тепло. Дальнейшее расширение такой плазмы против МП подвержено сильным неустойчивостям РэлеяТейлора, которые могут вызвать турбулентность и эффективную термализацию плазмы. С другой стороны, турбулентность может привести к растеканию плазмы поперек силовых линий. Требуются эксперименты с различными конфигурациями поля, чтобы определить, насколько эффективно может быть захвачена плазма.

Таким образом, оказывается, что лазерные импульсы мощностью порядка 10¹⁰ Вт и длительностью несколько нс, испаряя маленькую частичку материала, создают плазму с энергиями частиц порядка кэВ, которая позволяет проводить уникальные исследования, такие как:

взаимодействие быстро расширяющейся плазмы с МП (для определения возможности захвата плазмы турбулентностью и движением ее поперек МП). Если плазма может быть захвачена, то этот способ годится для заполнения термоядерных устройств. Можно также промоделировать взаимодействие сверхновых звезд с межзвездным МП и, вероятно, солнечные вспышки и их взаимодействие с МП Земли;

поведение бесстолкновительных ударных волн. Если сталкиваются два расширяющихся сгустка плазмы, то легко удовлетворить условиям установления бесстолкновительной ударной волны. Другая возможность выпустить сгусток в плазму с низкой плотностью, которая расширяясь может действовать как источник интенсивной ударной волны в этой плазме;

рекомбинация в расширяющемся сгустке, что может дать определенную информацию об этом процессе в плотной плазме. Такая рекомбинация может также обеспечить способ получения энергичных нейтральных частиц;

процессы взаимодействия электромагнитного излучения с плотной плазмой (его поглощения, рассеяния, генерации гармоник).

Создание высокотемпературной плазмы

Рассмотрим возможность создания плотной высокотемпературной плазмы путем нагревания лазерным импульсом плазмы, удерживаемой МП. В течение времени нагревания должны поддерживаться высокие плотности ионов (> 10¹⁷ см³).

Чтобы получить условия, необходимые для термоядерного реактора с полезным выходом мощности, использующим изотоп водорода, требуются энергии лазера свыше 10⁴ Дж за одно прохождение излучения через плазму и магнитные поля более 10⁸ Гс при условии, что плазма образуется из водородного шарика в вакууме. Напряженность МП вычисляется в предположении, что бомовская диффузия будет самым сильным механизмом потерь в плазме. Если плазма образуется в газе, то требуется энергия свыше 10¹¹ Дж при мощности более 10¹⁸ Вт.

Создание ультрафиолетовых лазеров высокой мощности сделает ненужным использование сильных МП при условии, что будут получены достаточно короткие лазерные импульсы. В этом случае нет разницы между результатами, полученными для вакуумной модели и модели с газовым заполнением. В каждом случае требуется энергия лазера > 10⁶ Дж при мощности > 10¹⁵ Вт. Вакуумная модель с сильным МП отвечает этим требованиям уже при частотах рубинового лазера. В работах [184 - 187] показана возможность получения плотного ионизованного газа с помощью сфокусированных лазерных лучей. Опыты С. Рэмсдена и П. Сэвича [188] и С. Рэмсдена и В. Дэвиса [189] пояснили отдельные процессы образования такой плазмы. Н.Г. Басов и О.Н. Крохин [190] и Дж. Даусон [176] рассмотрели возможность образования горячей плотной плазмы из капельки жидкого дейтерия на основе использования лазера в условиях свободного расширения плазмы. диэлектрический волновод самофокусировка плазма

...