Об’єднаний аналіз задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями та руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин

академік НАН України, доктор технічних наук, професор,

Гузь Олександр Миколайович,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,

директор інституту.

Офіційні опоненти:

Уманський державний педагогічний університет ім. П.Г.Тичини,

завідувач кафедри.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Механіка руйнування в останні десятиріччя є одним з тих розділів механіки деформівного твердого тіла, які розвиваються найбільш інтенсивно. Це зумовлено, з одного боку, складністю явища руйнування, що потребує розробки різноманітних підходів до його дослідження на мікро- та макрорівнях, формулювання адекватних критеріїв руйнування та методів визначення полів напружень в околі тріщин, а з іншого - великою практичною значимістю результатів, які отримуються в рамках механіки руйнування, для оцінки та прогнозування міцності, довговічності і залишкового ресурсу відповідальних конструкцій, споруд, машин та механізмів.

Незважаючи на активний розвиток класичної механіки руйнування, існує цілий ряд теоретичних та практичних проблем, які не можуть бути адекватно описані в рамках її підходів. До них, зокрема, належать питання дослідження впливу на напружено-деформований стан тіл з тріщинами початкових (або залишкових) напружень, які виникають на практиці як наслідок неоднорідності лінійних чи об'ємних деформацій у суміжних областях матеріалу. Особливий інтерес при цьому становлять задачі, в яких початкові напруження діють вздовж поверхонь тріщин, що містяться в тілі, оскільки в рамках класичної механіки руйнування неможливо врахувати вплив таких початкових напружень на параметри руйнування, зокрема, на коефіцієнти інтенсивності напружень та величини розкриття тріщин, і, отже, вони не враховуються критеріями руйнування типу Гриффітса-Ірвіна або критичного розкриття тріщин. Для дослідження таких проблем застосовується підхід, запропонований в роботах О.М.Гузя, відповідно до якого напружено-деформований стан попередньо напруженого матеріалу з тріщинами визначається в рамках тривимірної лінеаризованої теорії пружності. З використанням такого підходу до цього часу досліджено задачі для нескінченних тіл з початковими напруженнями, ослаблених ізольованими тріщинами. Разом з тим залишаються не вивченими питання впливу на параметри їх руйнування взаємодії тріщин між собою та з границями тіл.

Іншою важливою проблемою, що не може бути вирішена в рамках класичної механіки руйнування, є руйнування при стисканні тіл вздовж тріщин. Виникаючий в матеріалі в цьому випадку напружено-деформований стан є однорідним, що зумовлює відсутність у відповідних розв'язках рівнянь лінійної теорії пружності сингулярних частин, а отже, рівність нулю коефіцієнтів інтенсивності напружень. Процес руйнування при цьому ініціюється локальною втратою стійкості матеріалу в околі тріщин, а критичні параметри стиску визначаються з розв'язку відповідних задач на власні значення в рамках тривимірної лінеаризованої теорії стійкості деформівних тіл. Слід зазначити, що кількість наукових праць, спрямованих на дослідження руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин, є суттєво меншою порівняно з дослідженням процесів руйнування при розтягу та зсуві, причому більшість з них присвячена дослідженню руйнування при стисканні вздовж поодиноких тріщин та систем тріщин, розташованих в одній площині.

Актуальність подальшого дослідження проблем руйнування матеріалів з тріщинами при дії спрямованих вздовж них зусиль зумовлена практичними потребами в цілій низці галузей. Так, початкові (залишкові) напруження та деформації практично завжди існують в реальних конструкційних матеріалах та елементах конструкцій внаслідок технологічних процесів їх виготовлення (що особливо характерно для композитів) та з'єднання (зокрема, із застосуванням зварювальних технологій) і суттєво впливають на процеси руйнування тіл з тріщинами. В галузі механіки композитів та механіки матеріалів з покриттям (зокрема, теплоізоляційним, антикорозійним) розповсюджені та описані явища приповерхневого відшарування при дії початкових напружень, спрямованих вздовж розшарувань. Такі проблеми є достатньо типовими і в геомеханіці (модель тріщинувато-шаруватого масиву), будівництві (при розрахунках різноманітних опор), біомеханіці (при моделюванні кровоносних судин живих організмів) тощо.

В той же час зараз практично недослідженими залишаються проблеми механіки руйнування матеріалів із взаємодіючими тріщинами при навантаженні спрямованими вздовж них зусиллями, хоча взаємний вплив тріщин між собою та з границями тіла може суттєво змінювати параметри руйнування. Тому розробка об'єднаного підходу до дослідження задач механіки руйнування тіл з початковими напруженнями та задач руйнування матеріалів з тріщинами при стисканні вздовж тріщин в рамках тривимірної лінеаризованої теорії пружності, а також розв'язування з його використанням нових класів задач для взаємодіючих тріщин, чому присвячена дана робота, є актуальною науковою проблемою сучасної механіки деформівного твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких викладено в дисертаційній роботі, відповідають основним напрямкам наукових досліджень відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки НАН України. Результати увійшли до звітів з науково-дослідних робіт «Тривимірні лінеаризовані задачі механіки суцільних середовищ» (2002-2006 рр., № д.р. 0102U007023); «Стійкість, руйнування та напружено-деформований стан шаруватих матеріалів та елементів конструкцій при статичних навантаженнях різного типу» (2003-2006 рр., № д.р. 0102U007019); «Напружено-деформований стан, стійкість та руйнування композитних матеріалів та елементів конструкцій при неодноосних навантаженнях» (2007-2011 рр., № д.р. 0107U000432).

Метою дисертації є розробка об'єднаного підходу до розв'язання задач механіки руйнування тіл з початковими напруженнями та задач руйнування матеріалів з тріщинами при стисканні вздовж тріщин у рамках тривимірної лінеаризованої теорії пружності; побудова розв'язків та дослідження в рамках зазначеного підходу нових класів просторових неосесиметричних та осесиметричних задач про руйнування тіл, що містять взаємодіючі тріщини, в умовах дії спрямованих вздовж тріщин зусиль; аналіз отриманих результатів і формулювання виявлених закономірностей.

Для досягнення мети вирішувались наступні задачі:

формулювання строгої математичної постановки просторових задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями, що містять взаємодіючі тріщини, в умовах дії спрямованих вздовж тріщин зусиль;

розвиток аналітично-числової методики розв'язання просторових лінеаризованих задач теорії пружності;

розробка ефективного підходу до визначення критичних параметрів руйнування тіл з тріщинами при стисканні вздовж площин тріщин;

побудова розв'язків нових просторових задач для необмежених тіл з паралельними тріщинами та півпростору з приповерхневою тріщиною;

розробка та апробація алгоритму чисельного дослідження впливу початкових (залишкових) напружень на коефіцієнти інтенсивності напружень;

виявлення та дослідження загальних закономірностей впливу початкових напружень, геометричних параметрів задач та фізико-механічних характеристик матеріалів на параметри руйнування.

Об'єктом дослідження є явище впливу початкових (залишкових) напружень на коефіцієнти інтенсивності напружень в околі взаємодіючих тріщин в ізотропних та трасверсально-ізотропних тілах, а також локальна втрата стійкості матеріалу біля тріщин при стисканні тіл вздовж площин тріщин.

Предмет дослідження - напружено-деформований стан попередньо напружених тіл з взаємодіючими тріщинами; гранична рівновага тіл з взаємодіючими тріщинами при стисканні вздовж площин тріщин.

Методи досліджень. У дисертаційній роботі використано основні співвідношення тривимірної лінеаризованої теорії пружності та представлення загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь рівноваги через гармонічні потенціальні функції. З використанням апарату інтегральних перетворень Фур'є-Ганкеля сформульовані задачі зведено до систем парних інтегральних рівнянь відносно зазначених потенціальних функцій, а потім методом підстановки до систем неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Для їх чисельного розв'язання використано метод Бубнова-Гальоркіна, чисельне інтегрування проведено за допомогою квадратурних формул Гаусса. Критичні параметри стиску, що відповідають локальній втраті стійкості матеріалу в околі тріщини, визначено чисельно як значення початкових стискаючих напружень, при досягненні яких відбувається різка «резонансоподібна» зміна коефіцієнтів інтенсивності напружень.

Наукова новизна результатів роботи полягає в наступному:

розроблено об'єднаний підхід до розв'язання задач механіки руйнування тіл з тріщинами за наявності початкових (залишкових) напружень та задач руйнування при стисканні вздовж тріщин у рамках лінеаризованої теорії пружності;

запропоновано нову методику визначення критичних параметрів руйнування тіл з тріщинами при стисканні вздовж площин тріщин;

розвинуто методику розв'язання просторових лінеаризованих неосесиметричних та осесиметричних задач механіки руйнування тіл, що містять взаємодіючі тріщини;

побудовано та апробовано алгоритми чисельного дослідження розв'язувальних систем неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду;

розв'язано нові класи просторових неосесиметричних та осесиметричних задач механіки руйнування тіл при дії зусиль, спрямованих вздовж площин тріщин;

вивчено основні закономірності впливу початкових (залишкових) напружень на коефіцієнти інтенсивності напружень та виявлено нові механічні ефекти і закономірності;

досліджено особливості впливу на параметри руйнування ефекту взаємодії тріщин між собою та взаємного впливу тріщини і вільної поверхні попередньо напружених тіл.

Обґрунтованість та достовірність наукових результатів забезпечується коректністю та строгістю математичних постановок задач у рамках тривимірної лінеаризованої теорії пружності та методів їх розв'язання; контрольованістю за точністю та збіжністю використаних чисельних методів розв'язання отриманих рівнянь; узгодженістю деяких часткових результатів, отриманих в роботі, з результатами досліджень, наведеними у літературі; відповідністю висновків та результатів фізичній суті досліджуваних явищ.

Практичне значення отриманих результатів полягає в:

розвитку підходів до розв'язання конкретних задач механіки руйнування тіл з взаємодіючими тріщинами за наявності початкових (залишкових) напружень та при стисканні тіл вздовж тріщин;

застосуванні запропонованого підходу до визначення критичних параметрів руйнування тіл з дефектами типу тріщин з урахуванням початкових (залишкових) напружень та в умовах стискання вздовж площин тріщин в інженерній практиці при проектуванні та оцінці міцності відповідальних елементів конструкцій різноманітного цільового призначення;

використанні результатів числового аналізу розв'язків конкретних задач при оцінці характеристик міцності елементів конструкцій та реальних конструкційних матеріалів (зокрема, композиційних);

використанні запропонованих в дисертації конкретних результатів як базових при розв'язанні більш складних задач, а також при тестуванні результатів розрахунків, отриманих за допомогою інших методів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наукових конференціях, симпозіумах і семінарах, зокрема на: VII Українській конференції «Моделювання і дослідження стійкості систем» (Київ, 1996 р.); International Conference “Dynamic System Modeling and Stability Investigation” (Київ, 2003 р.), 3-ій Міжнародній конференції «Механіка руйнування і міцність конструкцій» (Львів, 2004 р.); Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (Львів, 2006 р.); 8^th International Fracture Conference (Стамбул, Туреччина, 2007 р.); конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ, 2007 р.), Міжнародній науковій конференції „Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008 р.).

Дисертаційна робота в повному обсязі доповідалась та обговорювалась на наукових семінарах відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ (керівник - академік НАН України, д.т.н., професор О.М.Гузь, 2008 р.) та за напрямом «Механіка композитних і неоднорідних середовищ» Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник - член-кореспондент НАН України, д.ф.-м.н., професор Л.П.Хорошун, 2008 р.); на міжкафедральному науковому семінарі «Міцність та динаміка конструкцій» Національного транспортного університету України (керівник - д.т.н., професор О.О.Рассказов, 2008 р.); на науковому семінарі відділів методів дискретної оптимізації, математичного моделювання та аналізу складних систем; оптимізації чисельних методів; математичних систем моделювання проблем екології та енергетики; чисельних методів комп'ютерного моделювання Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (керівник - академік НАН України, д.ф.-м.н., професор В.С.Дейнека, 2008 р.); на об'єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, прикладної механіки та комп'ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних проблем механіки гірничих порід ІПММ НАН України (керівники - академік НАН України, д.ф.-м.н., професор В.П.Шевченко та д.ф.-м.н., професор С.О.Калоєров, 2008 р.); на загальноінститутському науковому семінарі з механіки Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник - академік НАН України, д.ф.-м.н., професор О.М.Гузь, 2008 р.) і отримала позитивні оцінки.

Публікації та особистий внесок здобувача. Матеріали дисертації опубліковано в 29 наукових працях, з яких 21, а саме [1-21], відповідає вимогам ВАК України до публікації результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях. Усі подані в дисертації теоретичні та практичні результати належать здобувачу особисто, що відображено у 21 самостійній праці [7-13,15-23,25-29], з яких 14 надруковано у фахових виданнях [7-13,15-21].

У спільних публікаціях [1-3,6,24] дисертантом виконано математичну постановку задач, отримано розв'язуючі системи рівнянь, розроблено алгоритми їх чисельного дослідження, виконано числові розрахунки для конкретних моделей матеріалів та проаналізовано залежність параметрів руйнування від геометричних параметрів задач та механічних характеристик досліджуваних матеріалів. У роботі [4] автором запропоновано методику побудови для загального однорідного початкового стану нової ефективної для практичних застосувань форми представлень розв'язків лінеаризованих рівнянь рівноваги для високоеластичних матеріалів неогуківського типу через потенціальні функції та отримано вирази цих представлень в декартових і циліндричних системах координат. У роботі [5] автором сформульовано мету і задачу дослідження, запропоновано підхід до побудови лінеаризованих рівнянь рівноваги та граничних умов задачі, виконано аналіз отриманих числових результатів. В статті [14] автором виконано огляд робіт по механіці руйнування матеріалів з початковими напруженнями для взаємодіючих тріщин, виконано математичну постановку задачі для попередньо напруженого півпростору, що містить приповерхневу кругову тріщину, здійснено зведення задачі до розв'язуючої системи інтегральних рівнянь Фредгольма, розроблено алгоритм чисельного дослідження задачі, отримано і проаналізовано залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень від початкових напружень для окремих пружних матеріалів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, шести розділів, які містять 108 рисунків і 11 таблиць, висновків та списку використаних джерел з 324 найменувань. Обсяг основного тексту становить 296 сторінки. Загальний обсяг дисертації становить 327 сторінок.

Автор висловлює глибоку вдячність академіку НАН України Олександру Миколайовичу Гузю та доктору технічних наук, професору Володимиру Михайловичу Назаренку за постійні консультації, увагу до роботи та допомогу при її виконанні.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, висвітлено новизну отриманих результатів та їх практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, що відображають основний зміст роботи, виокремлено особистий внесок дисертанта в публікаціях, підготовлених за участю співавторів, наведено відомості про структуру та об'єм роботи.

В першому розділі на підставі аналізу літературних джерел висвітлено передумови виникнення та сучасний стан розглянутих в дисертації проблем, які з одного боку є теоретичним відображенням потреб практики, а з іншого постають як закономірний етап розвитку некласичної механіки руйнування.

Зародження механіки руйнування як самостійної галузі науки про міцність матеріалів справедливо пов'язують з основоположними роботами А.Гриффітса, Дж.Ірвіна та Е.Орована, в яких досліджено питання розповсюдження існуючих тріщин в крихких (квазікрихких) матеріалах. Значний внесок в подальший розвиток механіки руйнування до сучасного рівня зробили такі вчені, як В.М.Александров, О.Є.Андрейків, Г.І.Баренблатт, В.В.Болотін, М.М.Бородачов, В.Г.Борисковський, Р.В.Гольдштейн, О.М.Гузь, В.М.Єнтов, Д.Д.Івлєв, С.О.Калоєров, А.О.Камінський, Г.С.Кіт, Л.А.Кіпніс, А.Я.Красовський, М.Я.Леонов, Є.М.Морозов, М.Ф.Морозов, В.І.Моссаковський, З.Т.Назарчук, В.В.Новожилов, В.А.Осадчук, В.В.Панасюк, В.З.Партон, Г.Я.Попов, Ю.М.Работнов, М.П.Саврук, Л.І.Сєдов, Л.І.Слепян, В.О.Стрижало, Я.С.Уфлянд, М.В.Хай, Л.П.Хорошун, Г.П.Черепанов, В.П.Шевченко, С.Я.Ярема, S.N.Atluri, W.D.Collins, D.S.Dugdale, A.H.England, F.Erdogan, I.D.Eshelby, A.E.Green, D.Gross, M.S.Kassir, L.M.Keer, H.Liebowits, M.Lowengrub, J.R.Rice, R.A.Sack, G.C.Sih, A.A.Wells, M.L.Williams, T.Yokobori, A.R.Zak й інші вітчизняні та закордонні вчені.

На даний час в механіці руйнування склалися такі основні концепції та підходи: теорія крихкого руйнування, розроблена А.Гриффітсом; концепція квазікрихкого руйнування (Е.Орована та Дж.Ірвіна), яка дала можливість узагальнити теорію крихкого руйнування на непружні конструкційні матеріали; енергетичний критерій А.Гриффітса та еквівалентний йому силовий критерій Дж.Ірвіна; концепція інваріантного (незалежного від контуру інтегрування) інтегралу І.Ешелбі, Г.П.Черепанова та Дж.Райса; критерій критичного розкриття тріщин М.Я.Леонова, В.В.Панасюка та А.Уеллса.

У подальшому було запропоновано цілий ряд узагальнень зазначених концепцій на випадки складних напружених станів, нестаціонарних та циклічних навантажень, умов дії теплових та електромагнітних полів тощо. Проте в цілому, вищенаведені концепції та підходи передбачають виконання низки загальних умов, основними з яких є такі: припускається, що в околі тріщин виникають зусилля розтягу або зсуву, при цьому виключається дія стискаючих зусиль; передбачається, що в процесі деформування тіл з тріщинами не відбувається різких змін конфігурації тіла та характеру деформування до руйнування. Слід зазначити, що на даний час переважна більшість досліджень та результатів з проблем механіки руйнування виконано в рамках вищевказаних основних концепцій та підходів при виконанні зазначених умов, в зв'язку з чим їх можна умовно визначити як класичні проблеми механіки руйнування.

Разом з тим, існує цілий ряд проблем та механізмів руйнування, які не можна дослідити в рамках класичних підходів. Такі проблеми і дослідження в науковій літературі трактуються останнім часом як некласичні проблеми механіки руйнування. Кількість результатів, отриманих в рамках таких досліджень, значно менша числа результатів, отриманих із застосуванням класичних підходів, причому досить характерним для таких досліджень є застосування суто наближених розрахункових схем і моделей, що вносить в результати суттєві похибки кількісного та якісного характеру.

Тому суттєве значення в механіці руйнування мають дослідження некласичних проблем і механізмів руйнування, які виконано з використанням достатньо строгих постановок, моделей та методів дослідження. Слід зазначити, що саме такі вельми численні дослідження було здійснено в останні роки в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України в роботах О.М.Гузя та його учнів: С.Д.Акбарова, І.Ю.Бабича, І.О.Гузя, М.Ш.Дишеля, В.В.Зозулі, Ю.В.Коханенка, Ю.М.Лапусти, О.В.Меньшикова, В.М.Назаренка, В.М.Чехова, а також у роботах А.О.Камінського та його учнів. Зазначені дослідження проводились із залученням найбільш строгих і точних постановок в рамках механіки деформівного твердого тіла.

Однією з таких некласичних проблем є дослідження руйнування тіл з урахуванням дії початкових (залишкових) напружень. Такі напруження виникають в матеріалах та елементах конструкцій під час їх виготовлення, збирання, в геологічних породах, кровоносних судинах живих організмів тощо та суттєво впливають на процес руйнування. У випадку, коли початкові напруження діють вздовж тріщин, класичні підходи механіки руйнування виявляються непридатними, оскільки при використанні співвідношень лінійної теорії пружності компоненти зусиль, що діють вздовж тріщин, не входять до виразів для коефіцієнтів інтенсивності напружень та величин розкриття тріщин, а тому не враховуються класичними критеріями руйнування Гриффітса-Ірвіна або критичного розкриття тріщини.

В роботах О.М.Гузя для дослідження вказаних задач було запропоновано підхід, відповідно до якого напружено-деформований стан тіла з початковими напруженнями визначається в рамках тривимірної лінеаризованої механіки деформівних тіл. Ключовим в обґрунтуванні цього підходу є той факт, що використання лінеаризованих співвідношень для дослідження вказаного класу задач механіки руйнування, на відміну від підходів лінійної теорії пружності, дозволяє описати головне явище, пов'язане з впливом компонент зусиль, що діють вздовж поверхонь тріщин, на параметри руйнування матеріалів. Запропоновані в цих роботах критерії руйнування є аналогами енергетичного критерію руйнування Гриффітса та силового критерію руйнування Ірвіна, при цьому припускається, що питома щільність поверхневої енергії та коефіцієнти в'язкості руйнування в загальному випадку залежать від початкових напружень.

В роботах О.М.Гузя та його учнів з використанням вказаного підходу було розглянуто окремі статичні та динамічні задачі механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями для ізольованих тріщин в необмежених тілах, а також окремі задачі розклинювання. Крім цих систематичних досліджень, які виконувались в єдиній формі для різних моделей матеріалів, окремі задачі про ізольовані тріщини в попередньо напружених нескінченних пружних матеріалах для конкретних часткових видів пружних потенціалів було розв'язано в роботах В.М.Александрова, Д.Гаугтона, М.Курашіге, С.Немат-Нассера, Б.В.Соболя, Л.М.Філіпової. Також окремі підходи до дослідження впливу на процес руйнування складової зовнішнього навантаження, що спрямована вздовж площини розташування тріщин, було запропоновано Л.Джонсом, Дж.Ефтісом, А.Дж.Калссоном, С.Г.Ларссоном, Х.Лібовіцем на основі врахування несингулярних частин в розподілі напружень в околі тріщин та А.О.Камінським, Г.В.Галатенком, О.С.Дегтярьовою на основі узагальнення моделі тріщини Дагдейла.

Іншою важливою проблемою механіки руйнування, яка не може бути досліджена в рамках класичної механіки руйнування, є руйнування тіл при їх стисканні вздовж площин розташування тріщин, поверхні яких вільні від напружень. У цьому випадку напружено-деформований стан, що виникає в матеріалі, є однорідним, що обумовлює відсутність у відповідних розв'язках рівнянь лінійної теорії пружності сингулярних частин та рівність нулю коефіцієнтів інтенсивності напружень і величин розкриття тріщин. Дослідження проблем руйнування при стисканні вздовж тріщин можна класифікувати наступним чином. Перший напрямок пов'язаний з використанням різних прикладних розрахункових схем та наближених теорій, другий - з використанням точної постановки. В рамках першого напрямку найбільший розвиток отримало так зване «балкове наближення», коли частину матеріалу між паралельними тріщинами чи між тріщиною та граничною поверхнею замінюють балкою чи пластиною і досліджують їх в рамках прикладних теорій стійкості тонкостінних систем. Другий напрямок, запропонований в роботах О.М.Гузя, базується на використанні співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії стійкості, коли початок руйнування пов'язується з локальною втратою стійкості матеріалу в околі тріщини. З використанням цього підходу в роботах О.М.Гузя, В.М.Назаренка та їх учнів отримано розв'язки плоских та просторових задач для однієї тріщини та довільної кількості тріщин, що розташовані в одній площині, а також досліджено окремі задачі для тіл, що містять взаємодіючі тріщини.

Треба відзначити, що раніше вказані дві некласичні проблеми - проблеми руйнування матеріалів з початковими напруженнями та проблеми руйнування тіл з тріщинами при стисканні вздовж тріщин - розглядалися окремо. Це було зумовлено як логікою розвитку цих наукових напрямків, так і достатньою складністю математичних методів, що застосовуються при дослідженні відповідних задач. Разом з тим, ще в перших роботах з механіки крихкого руйнування тіл з початковими напруженнями при дослідженні руйнування необмежених матеріалів з ізольованими тріщинами О.М.Гузем було виявлено новий механічний ефект, який полягає в різкій «резонансоподібній» зміні величин напружень та переміщень в матеріалі при досягненні початковими стискаючими напруженнями значень, що відповідають поверхневій втраті стійкості півпростору при його стисканні. Також спільним моментом при дослідженні зазначених двох некласичних проблем механіки руйнування є використання споріднених математичних апаратів в рамках лінеаризованої теорії.

Враховуючи вищевикладене, в дисертації запропоновано об'єднаний підхід до дослідження задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями та задач про руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин в рамках тривимірної лінеаризованої теорії пружності. При такому підході розроблено новий, більш простий та ефективний для практичних застосувань метод визначення критичних параметрів стиску, що відповідають локальній втраті стійкості матеріалу в околі тріщин, відповідно до якого ці параметри вираховуються при розв'язуванні відповідних неоднорідних задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями як значення стискаючих початкових напружень, при досягненні яких відбувається різка «резонансоподібна» зміна основних величин напружено-деформованого стану, зокрема, коефіцієнтів інтенсивності напружень, і, відповідно, відпадає необхідність проводити додаткові дослідження задач на власні значення в рамках тривимірної лінеаризованої теорії стійкості. Крім того, з наведеного огляду робіт випливає, що досі практично не дослідженими залишаються задачі механіки руйнування матеріалів з початковими (залишковими) напруженнями для взаємодіючих тріщин. На розробку такого об'єднаного підходу та строгу постановку і дослідження в його рамках окремих нових класів просторових неосесиметричних та осесиметричних задач механіки руйнування матеріалів, що містять взаємодіючі тріщинами, спрямовано дану дисертаційну роботу.

Другий розділ присвячено вибору розрахункових схем, що дозволяють адекватно описати проблеми руйнування матеріалів, які розглядалися у попередньому розділі; викладенню основних рівнянь і співвідношень тривимірної лінеаризованої теорії пружності для стисливих та нестисливих середовищ при скінченних та малих початкових деформаціях; вибору моделей для опису фізико-механічних характеристик пружних високоеластичних та композиційних матеріалів; математичній постановці відповідних просторових задач для тіл з тріщинами при різних силових схемах та викладенню основних положень об`єднаного підходу до дослідження задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями та руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин; формулюванню критеріїв руйнування матеріалів з врахуванням дії початкових напружень вздовж тріщин та при стисканні вздовж тріщин.

Зокрема, розглянуто два класи задач: про визначення і дослідження напружено-деформованого стану попередньо напруженого тіла з тріщинами, коли початкові напруження діють паралельно площинам розташування тріщин (рис. 2.1); про визначення критичних параметрів руйнування матеріалу з паралельними тріщинами в умовах стискання зусиллями, спрямованими вздовж тріщин (рис. 2.2). Формулювання задач проведено в координатах початкового напружено-деформованого стану, які зв'язані з лагранжевими декартовими координатами недеформованого стану співвідношеннями, де - коефіцієнти подовження (або скорочення) вздовж координатних осей, зумовлені дією розтягуючих (або стискаючих) початкових напружень, компоненти яких віднесено до одиничних площадок в недеформованому стані.

Загальна постановка задач зведена до наступної. Розглянемо пружні ізотропні матеріали з довільною формою пружного потенціалу або композиційні матеріали з пружними компонентами, що містять систему тріщин, розташованих в паралельних площинах. У випадку композиційного матеріалу припустимо, що розміри тріщин суттєво більші ніж розміри структурних елементів композиту, і досліджуватимемо лише процеси руйнування, при яких не проявляються властивості композиту як кусково-однорідного середовища. За таких припущень застосовуємо відому континуальну модель композиту з приведеними характеристиками трансверсально-ізотропного тіла, площини ізотропії якого паралельні площинами розташування тріщин.

При прикладенні до тіла додаткових (по відношенню до початкового напружено-деформованого стану) зусиль (на рис. 2.1 для прикладу наведено додаткове поле нормальних напружень) збурення напружено-деформованого стану, викликані їх дією, вважаються значно меншими ніж відповідні величини початкового напружено-деформованого стану, що дозволяє застосовувати для розв'язку поставлених задач співвідношення лінеаризованої теорії пружності.

Таким чином, у точній постановці необхідно розв'язувати лінеаризовані рівняння рівноваги у переміщеннях, які у випадку реалізації однорідного початкового напружено-деформованого стану (2.1), (2.2) є рівняннями із сталими коефіцієнтами і мають (для стисливих тіл) такий вигляд

При цьому компоненти несиметричного тензора напружень, віднесені до одиничних площадок в початковому стані, пов'язані з компонентами вектора переміщень лінеаризованими співвідношеннями пружності

Для нестисливих матеріалів постановка задач є аналогічною наведеній рівняннями і співвідношеннями (2.3)-(2.5). Загальна, приведена вище постановка лінеаризованих задач уточнюється у кожному конкретному випадку відповідно до схем силового навантаження та геометричного розташування тріщин у матеріалі; зазначені уточнення подаються в наступних розділах роботи.

Для просторових задач при двовісному рівномірному початковому навантаженні ( ) загальні розв'язки лінеаризованих рівнянь рівноваги (2.6) в круговій циліндричній системі координат ( ), що отримується з декартової , представляються через гармонічні потенціальні функції наступним чином

Як бачимо, загальні розв'язки лінеаризованих рівнянь при однорідних початкових станах представлено в єдиній формі для різних моделей матеріалів (стисливих і нестисливих високоеластичних (гіперпружних) з довільним видом пружного потенціалу, композиційних), що дозволило проводити дослідження задач у загальній формі для різних моделей матеріалів в рамках теорії скінченних та двох варіантів теорії малих початкових деформацій лінеаризованої теорії пружності. Конкретизацію моделі матеріалу здійснювали лише на заключній стадії розв'язку - при чисельному дослідженні розв'язуючих рівнянь. Зазначимо при цьому, що дослідження для високоеластичних матеріалів, які здатні зазнавати достатньо великих деформацій, здійснювались в рамках теорії скінченних початкових деформацій. У той же час для композитів, які не витримують великих деформацій, застосовувався другий варіант теорії малих початкових деформацій, відповідно до якого початковий стан визначався за геометрично лінійною теорією.

У цілому, запропонована методика дослідження просторових лінеаризованих задач, які розглядаються в цій роботі, зведена до наступного. Граничні умови задач, сформульовані спочатку в напруженнях та переміщеннях, за допомогою представлень загальних розв'язків у вигляді (2.7), (2.8) переформульовуються до задач для невідомих потенціальних гармонічних функцій. З використанням апарату інтегральних перетворень Ганкеля ці задачі зводяться спочатку до систем парних інтегральних рівнянь, а потім до розв'язуючих систем неоднорідних рівнянь Фредгольма другого роду. Розв'язуючи ці рівняння, отримуємо розподіл напружень у матеріалі. Значення коефіцієнтів інтенсивності напружень, як і в класичній механіці руйнування без початкових напружень, визначаємо величинами коефіцієнтів при сингулярностях у розподілі компонент напружень в околі контуру тріщини.

В роботі розглянуто такі основні геометричні схеми розташування тріщин в попередньо напруженому матеріалі: приповерхнева дископодібна тріщина, паралельна границі півпростору; періодична система співвісних паралельних кругових тріщин в нескінченному тілі; дві паралельні співвісні кругові тріщини в просторі. Ці схеми дозволяють в «чистому» вигляді виділити та дослідити основні закономірності взаємної дії тріщин між собою та з границями тіл в умовах наявності в матеріалі початкових напружень. Для кожної із зазначених геометричних схем розташування тріщин досліджено окремо випадки дії на їх берегах нормальних, зсувних та скручувальних навантажень.

У розділі наведено інформацію про критерії крихкого руйнування матеріалів з початковими напруженнями, які враховують специфіку впливу початкових (залишкових) напружень і є узагальненнями енергетичного критерію Гриффітса та силового критерію Ірвіна. Показано, що за відсутності початкових напружень ці критерії переходять у критерії руйнування класичної механіки руйнування. Початок руйнування тіл при стисканні вздовж тріщин, як зазначено вище, пов'язується з локальною втратою стійкості матеріалу біля тріщин. При цьому критичні параметри стиску, які є кількісним виразом критерію руйнування при стисканні тіл вздовж тріщин і відповідають зазначеній локальній втраті стійкості стану рівноваги біля тріщин, визначаються чисельно для кожної конкретної силової схеми задачі та геометричної схеми розташування тріщин із розв'язку відповідної неоднорідної задачі механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями як значення початкових стискаючих напружень, при досягненні яких відбувається «резонансоподібна» зміна значень коефіцієнтів інтенсивності напружень. пружність тріщина напруження

В третьому розділі дисертаційної роботи вперше досліджено просторову неосесиметричну задачу про напружено-деформований стан попередньо напруженого напівобмеженого тіла з приповерхневою дископодібною тріщиною, отримано вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі вершини тріщин та проаналізовано їх залежність від початкових напружень, для окремих матеріалів визначено критичні параметри стиску, що відповідають неосесиметричним формам локальної втрати стійкості матеріалу при стисканні вздовж приповерхневої тріщини. Така постановка задачі виникає на практиці, зокрема, при дослідженнях процесів руйнування біля гірничих виробок, виробів з різноманітними покриттями, шаруватих композиційних матеріалів тощо.

Розглянемо верхній півпростір з початковими напруженнями, що діють вздовж кругової тріщини радіуса, розташованій в площині з центром на осі. На берегах тріщини задано довільні нормальні розтягуючі та зсувні зусилля, границя півпростору вільна від напружень:

Граничні умови доповнюються умовами затухання напружень та переміщень при.

Півпростір було умовно поділено на дві підобласті: «1» - півпростір та «2» - шар і задано умову неперервності напружень та переміщень на границі цих підобластей поза тріщиною. З урахуванням цього та розкладаючи інтенсивності зовнішніх навантажень на берегах тріщини в ряди Фур'є за кутовою координатою а також представляючи гармонічні функції, що входять у загальні розв'язки (2.8), в кожній з підобластей рядами Фур'є за координатою з коефіцієнтами у вигляді інтегральних перетворень Ганкеля за координатою поставлену задачу звели окремо для кожної гармоніки за координатою до систем парних інтегральних рівнянь виду: де параметри залежать від початкових напружень і визначаються вибором моделі матеріалу.

Для розв'язання системи парних інтегральних рівнянь (3.3) використовувався метод підстановки, модифікований на випадок, коли до парних інтегральних рівнянь входять функції Бесселя різних порядків. Згідно з цим методом розв'язок системи (3.3) вибрано у вигляді, що дозволяє тотожно задовольнити ті рівняння, які відносяться до області :

Рівняння, що залишилися, зведено до рівнянь Шльомільха, з розв'язку яких окремо для кожної гармоніки за координатою отримано розв'язуючу систему неоднорідних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду, яка в безрозмірній формі має вигляд:

З розв'язку рівнянь (3.5) з урахуванням представлень (2.8) визначено розподіл напружень в матеріалі. Розглядаючи асимптотичний розподіл напружень у площині тріщини біля її контуру, отримано вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень:

З виразів (3.6) випливає, що, на відміну від випадку ізольованої тріщини в нескінченому тілі, взаємовплив тріщини та вільної поверхні призводить до ненульових значень коефіцієнтів інтенсивності напружень для тріщини нормального відриву та коефіцієнта для тріщин зсуву. Крім того, ці коефіцієнти інтенсивності напружень залежать від початкових напружень та переміщень, оскільки параметри матеріалу та функції, що входять в (3.6), залежать від параметрів початкового розтягу (або стиску). В цьому проявляється відмінність задачі про приповерхневу тріщину від розглянутих раніше в роботах інших авторів задач про ізольовані тріщини в тілі з початковими напруженнями, оскільки в останньому випадку коефіцієнти інтенсивності напружень не залежать від них.

У випадку, коли відстань між тріщиною та границею півпростору прямує до нескінченності (), з (3.6) для випадку дії на берегах тріщини лише нормального розтягуючого навантаження отримано значення коефіцієнтів інтенсивності напружень, що повністю збігаються з відповідними значеннями, отриманими для випадку ізольованої тріщини нормального відриву в матеріалі без початкових напружень

Для чисельного дослідження отриманих розв'язувальних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду (3.5) використано метод Бубнова-Гальоркіна, чисельне інтегрування проводилось за квадратурними формулами Гаусса. Було проведено стандартні дослідження стійкості та точності чисельних розрахунків. Чисельне дослідження неосесиметричної задачі про тріщину нормального відриву проведено для випадку нормального навантаження на берегах тріщини вигляду.

На рис. 3.1 для високоеластичного матеріалу з потенціалом гармонічного типу наведено залежності відношень коефіцієнтів інтенсивності напружень та (де - коефіцієнт інтенсивності напружень, який отримується в задачі про тріщину нормального відриву в нескінченному тіл і визначається з (3.7)) від параметру початкового розтягу (або стиску), зумовленого дією початкових напружень для різних значень відносної відстані між тріщиною та границею півпростору. При цьому значення відповідають початковому розтягу, значення - початковому стиску, при початкові напруження відсутні. Бачимо, що взаємодія тріщини та вільної поверхні призводить до зростання значень коефіцієнтів інтенсивності напружень порівняно з випадком тріщини в нескінченому тілі.

Також з рисунків видно, що коефіцієнти інтенсивності напружень суттєво залежать від початкових напружень, причому вплив стискаючих напружень вищий, ніж розтягуючих. Наведені залежності мають вертикальні асимптоти, які відповідають «резонансоподібному» ефекту, що має місце при досягненні початковими стискаючими напруженнями значень, які відповідають локальній втраті стійкості матеріалу в околі тріщини. Відповідно до викладеної у розділі 2 методики саме аналіз зазначених «резонансоподібних» ефектів дозволяє визначити критичні параметри стиску в задачі про стискання напівобмеженого тіла вздовж приповерхневої дископодібної тріщини, паралельної вільній поверхні матеріалу.

На рис. 3.2 та 3.3 відповідно для матеріалів з пружними потенціалами Бартенєва-Хазановича та гармонічного типу наведено залежності значень відносного критичного скорочення, які відповідають локальній втраті стійкості матеріалу по неосесиметричній формі (перша гармоніка по кутовій координаті) від відносної відстані між тріщиною та границею півпростору. З рисунків випливає, що взаємний вплив тріщини та границі півпростору призводить до суттєвого зменшення значень критичних параметрів скорочення і, відповідно, критичних напружень стиску. В той же час при зростанні відстані між тріщиною і границею півпростору цей вплив послаблюється, а відповідні критичні параметри прямують до значень, отриманих для випадку однієї тріщини в просторі. Також бачимо, що для пружного матеріалу з потенціалом гармонічного типу стисливість матеріалу (коефіцієнт Пуассона) суттєво впливає на значення критичних параметрів скорочення.

Четвертий розділ присвячено дослідженню в осесиметричній постановці задач про напружено-деформований стан пружного півпростору з початковими напруженнями, ослабленого приповерхневими круговими тріщинами нормального відриву, радіального зсуву та кручення, а також визначенню критичних параметрів, що відповідають осесиметричній формі локальної втрати стійкості матеріалу при його стисканні вздовж приповерхневої тріщини. Осесиметричні задачі є особливим випадком розглянутих у попередньому розділі неосесиметричних задач (оскільки для них число парних інтегральних рівнянь та розв'язувальних інтегральних рівнянь Фредгольма є меншим) і найбільш важливим в практичних застосуваннях.

За загальною методикою, викладеною у розділі 2, сформульовано строгу математичну постановку відповідних граничних задач в напруженнях та переміщеннях, за допомогою представлень загальних розв'язків через гармонічні потенціальні функції у вигляді (2.7), (2.8) (які для осесиметричних задач спрощуються - в них необхідно покласти;) отримано постановку задач для потенціальних функцій, які за допомогою інтегрального перетворення Ганкеля нульового порядку зведено до розв'язувальних систем інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду та отримано асимптотичний розподіл напружень в околі тріщини і вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень.

Так, для задачі про кругову тріщину нормального відриву отримано асимптотичний розподіл компонент напружень в околі контуру тріщини у вигляді де параметри залежать від початкових напружень і визначаються вибором моделі матеріалу, - інтенсивність зовнішнього нормального навантаження на берегах тріщини.

У випадку, коли відстань між тріщиною та границею півпростору прямує до нескінченності, з (4.2) отримано значення КІН, що повністю збігаються з відповідними значеннями, отриманими раніше в роботах О.М.Гузя для випадку ізольованої тріщини нормального відриву в матеріалі з початковими напруженнями.

Із (4.2) бачимо, що на відміну від випадку ізольованої тріщини в нескінченому попередньо напруженому тілі, взаємовплив тріщини та вільної поверхні призводить до ненульового коефіцієнту інтенсивності напружень для тріщини нормального відриву. Крім цього, КІН залежать від початкових напружень. Характер цієї залежності для у випадку рівномірного тиску на берегах тріщини вигляду наведено в таблиці 4.1 для пружного матеріалу з потенціалом Трелоара (неогуківське тіло) для різних значень безрозмірної відстані між тріщиною та границею півпростору (тобто відстані, нормованої на радіус тріщини). З таблиці бачимо, що відстань між тріщиною та границею півпростору суттєво впливає на КІН. Так, для відстані, що становить 1/10 від радіусу тріщини, значення для випадку майже на порядок більше, ніж для достатньо віддаленої від границі тіла тріщини. З іншого боку, взаємний вплив тріщини та границі півпростору зі збільшенням відстані між ними швидко слабшає і відповідні значення КІН прямують до значень КІН для тріщини в нескінченному тілі.

На рис. 4.1 та 4.2 наведено, відповідно, залежності для шаруватого композиту з ізотропними пружними шарами від співвідношення модулів пружності шарів та для шарів з однаковими коефіцієнтами Пуассона і модулями пружності - від коефіцієнта Пуассона; на рис. 4.3 дана залежність для шаруватого композиту (композиція шарів алюмоборосилікатного скла та епоксидномалеїнової смоли) від об'ємної концентрації скла. Як бачимо, фізико-механічні характеристики композитів суттєво впливають на значення коефіцієнтів інтенсивності напружень.

Для осесиметричної задачі про попередньо напружений півпростір з приповерхневою круговою тріщиною під дією радіального зсувного навантаження коефіцієнти інтенсивності напружень в околі вершини тріщини мають вигляд (4.2), де функції та визначаються з розв'язку системи інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду.

У випадку, коли відстань між тріщиною та границею півпростору прямує до нескінченності, отримано значення КІН, що повністю збігаються з відповідними значеннями, приведеними раніше в роботах О.М.Гузя для випадку ізольованої тріщини радіального зсуву в необмеженому тілі з початковими напруженнями. На рис. 4.4 для випадку рівномірного зсувного навантаження на берегах тріщини для матеріалу з потенціалом Бартенєва-Хазановича наведено залежності відношень КІН та (де - КІН, що отримується в задачі про тріщину радіального зсуву в нескінченному тілі) від параметру початкового розтягу (стиску).

При дослідженні задачі про скручування попередньо напруженого півпростору з при поверхневою круговою тріщиною отримано такі вирази для КІН:

Тут - інтенсивність зовнішнього скручувального навантаження на берегах тріщини.

На прикладі різних матеріалів показано вплив механічних характеристик матеріалу та геометричних параметрів задачі на коефіцієнт інтенсивності напружень. Так, на рис. 4.5 та 4.6 для матеріалу з потенціалом Бартенєва-Хазановича наведено залежності (де - КІН для тріщини кручення в необмеженому тілі) відповідно від параметра та від відносної відстані між тріщиною та границею півпростору.

Для всіх розглянутих у розділі схем навантаження встановлено, що при збільшенні відстані між тріщиною та вільною границею взаємний вплив тріщини та границі швидко послаблюється, а значення коефіцієнтів інтенсивності напружень прямують до відповідних значень для ізольованої тріщини в нескінченому матеріалі. При цьому з достатньою для практичних розрахунків точністю взаємним впливом тріщини та границі можна нехтувати при відстані між ними, що складає 4 і більше радіусів тріщини.

На прикладі матеріалів з різними видами пружних потенціалів та композитів в роботі показано, що у випадку осесиметричного навантаження приповерхневих тріщин нормального відриву та радіального зсуву спостерігається «резонансоподібна» зміна коефіцієнтів інтенсивності напружень, отриманих при розв'язуванні задач механіки руйнування матеріалів з початковими напруженнями. Це явище дозволяє визначати критичні значенням стискаючих зусиль, при яких відбувається локальна втрата стійкості матеріалу (по осесиметричній формі) в околі приповерхневої тріщини в умовах стискання вздовж тріщини. В той же час в задачі про кручення тіла з приповерхневою тріщиною зазначені «резонансоподібні» явища не спостерігались, що свідчить про відсутність на практиці форми втрати стійкості матеріалу при стисканні, яка б відповідала задачі про тріщину кручення.

На рис. 4.7 та 4.8 приведено залежності відносних критичних параметрів скорочення від відносної відстані між тріщиною та границею, відповідно, для матеріалів з потенціалами Бартенєва-Хазановича та гармонічного типу. На рис. 4.9 проілюстровано вплив об'ємної концентрації скла на критичне значення напруження стиску, віднесеного до приведеного модуля пружності для шаруватого композиту (композиція алюмоборосилікатного скла та епоксидномалеїнової смоли) для .

З аналізу отриманих результатів випливає, що для всіх розглянутих матеріалів, крім матеріалу з потенціалом гармонічного типу, реалізується осесиметрична форма втрати стійкості (). Для матеріалу з гармонічним потенціалом при реалізується неосесиметрична форма втрати стійкості (на рис. 4.8 приведено залежність для першої гармоніки по кутовій координаті,), що може бути пояснено тим, що, як відомо з літературних джерел, для цього потенціалу реалізується неосесиметрична форма поверхневій нестійкості, а при великих значеннях критичні параметри стиску в задачі про приповерхневу тріщину переходять в значення, що відповідають поверхневій втраті стійкості півпростору без тріщини. Також показано, що критичні параметри стиску залежать від механічних характеристик матеріалу та геометричних параметрів задачі.