Моделі і методи аналітичної теорії нетонких пластин та пологих оболонок при статичному навантаженні

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

УДК 539.3

01. 02. 04 - механіка деформованого твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

МОДЕЛІ І МЕТОДИ АНАЛІТИЧНОЇ ТЕОРІЇ НЕТОНКИХ ПЛАСТИН ТА ПОЛОГИХ ОБОЛОНОК ПРИ СТАТИЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

Зеленський Анатолій Григорович

Дніпропетровськ - 2009



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Прусаков Олександр Павлович.

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор Гудрамович Вадим Сергійович, Інститут технічної механіки НАН України та Національного космічного агентства України (м. Дніпропетровськ), завідувач відділу міцності, динаміки та технології виготовлення конструкцій;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Хома Іван Юрійович, Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ), провідний науковий співробітник відділу реології;

доктор технічних наук, професор Гоцуляк Євген Олександрович, Київський національний університет будівництва та архітектури (м. Київ), професор кафедри будівельної механіки, завідувач відділу Науково-дослідного інституту будівельної механіки.

Захист відбудеться « 18 » вересня 2009 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: 49027, м. Дніпропетровськ, проспект К. Маркса, 35, корп. 5, ауд. 85.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова,8).

Відзив на автореферат надсилати за адресою: 49010, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 72, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розісланий «26.» червня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор А. П. Дзюба

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однорідні та шаруваті пластини і оболонки застосовуються в об'єктах ядерної енергетики, аерокосмічної техніки, у промисловому і цивільному будівництві та в інших галузях сучасної техніки.

Забезпечення надійної роботи таких конструкцій потребує залучення для їх розрахунку високоточних теорій та адекватних їм методик реалізації, які враховують усі компоненти напружено-деформованого стану (НДС) та крайові ефекти (КЕ) типу пограничного шару.

Розрахунки на основі класичних теорій пластин та оболонок, які зазнають дії локальних навантажень, мають отвори, різке змінювання механіко-геометричних параметрів (МГП), а також при немалій товщині та в інших випадках, що призводять до великого градієнта змінювання НДС, дають незадовільні результати.

Некласичні уточнені теорії пластин та оболонок, які основані на різних гіпотезах, для широкого класу граничних задач також не можуть з високою точністю описувати НДС пластин та оболонок, оскільки знаходження компонент НДС з довільною точністю в принципі неможливо, що обумовлено зображенням компонент НДС у вигляді малої кількості доданків, які приймаються на основі певних фізичних міркувань. Отримувані при цьому системи диференціальних рівнянь (СДР), як правило, мають невисокий порядок

Розв'язування граничних задач для лінійно пружних пластин та оболонок в тривимірній постановці пов'язано з великими математичним труднощами. Тільки в обмежених випадках, коли є можливість розділити змінні у СДР (крайові умови типу Нав'є та деякі інші), тривимірна задача теорії пружності для пластин і оболонок допускає можливість знаходження аналітичного розв'язку. Складність розв'язування у точній тривимірній постановці в значній мірі підвищується, якщо розглядаються непрості крайові умови або ж фізично нелінійні задачі.

Таким чином, розв'язування граничних задач для фізично лінійних і нелінійних пластин та оболонок, як однорідних (одношарових) так і шаруватих (багатошарових), в рамках класичної теорії та уточнених теорій, що базуються на основі гіпотез, не дає високоточних результатів, а з іншого боку - розв'язування їх на основі тривимірної теорії пружності є занадто складною задачею математичної фізики, в якій невідомі функції залежать від трьох змінних. Звідси і випливає актуальність теми дослідження, яка полягає у необхідності розвинення і побудови нових варіантів аналітичної теорії (АТ) та їх моделей і розробки ефективних методів, які б давали можливість з високою точністю визначати всі компоненти НДС пластин і оболонок з урахуванням КЕ і щоб розв'язування задач було простішим від розв'язку відповідних тривимірних задач теорії пружності. Високоточні розрахунки пластин та оболонок дають можливість створювати конструкції, які мають високу питому міцність, жорсткість, економічність та надійність, що сприяє забезпеченню матеріальних та ресурсних збережень в різних галузях сучасної техніки і будівництві.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у Придніпровській державній академії будівництва та архітектури (ПДАБА) на кафедрі будівельної механіки та опору матеріалів за планами наукових досліджень держбюджетної науково-дослідної тематики: “Розробка математичних моделей ітераційних теорій, точних та асимптотичних методів розрахунку тонкостінних конструкцій” (№ держреєстрації 0197U001652, 1997-1999 р.), “Розроблення математичних моделей та ітераційних теорій розрахунку однорідних та шаруватих оболонок і пластин із фізично лінійних та нелінійних матеріалів (№ держреєстрації 0100U003689, 2000-2001 р.), “Розроблення математичних моделей і уточнених теорій розрахунку пружних основ та фізично нелінійних пологих оболонок” (№ держреєстрації 0102U005582, 2002-2003 р.), “Розробка методик розрахунку фізично лінійних та нелінійних оболонок, пластин і балок на основі уточнених теорій” (№ держреєстрації 0104U000230, 2004-2006 р.) та за планом досліджень теми докторської дисертації.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є розвинення варіанта АТ однорідних лінійно пружних пластин та пологих оболонок і побудова нових варіантів АТ та їх моделей нетонких однорідних та шаруватих фізично лінійних і нелінійних пластин та пологих оболонок з використанням варіаційного принципу Рейснера (ВПР) і взаємозв'язаних рівнянь та розробка на їх основі методів розв'язування граничних задач статики для вказаних елементів з урахуванням всіх компонент НДС і КЕ. Досягнення поставленої мети передбачає:

1) нову постановку задач статики з позицій тривимірної теорії пружності і зведення їх до розв'язування двовимірних крайових задач;

2) розвинення варіанта АТ, побудову моделей високого наближення розрахунку однорідних транстропних пластин та пологих оболонок, згідно з якими тривимірні задачі теорії пружності для вказаних елементів зводяться до двовимірних на основі розкладання компонент НДС у ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра;

3) побудову нового варіанта АТ та моделей розрахунку (визначаються кількістю доданків у частинних сумах рядів розкладання компонент НДС за поліномами Лежандра) нетонких однорідних ізотропних фізично нелінійних і ортотропних пластин та пологих оболонок, основаних на комбінованому методі зведення тривимірних задач теорії пружності до двовимірних, який базується на поєднанні методу розкладання компонент НДС у ряди за товщинною координатою при допомозі поліномів Лежандра з методом збурень пружних властивостей матеріалу;

4) побудову нових варіантів АТ та моделей нетонких шаруватих лінійно і нелінійно пружних пластин та пологих оболонок симетричної і несиметричної структур, які базуються на методі зведення тривимірних задач теорії пружності для вказаних елементів до двовимірних, основаному на розкладанні компонент НДС в межах кожного шару у ряди за комбінаціями поліномів Лежандра в поєднанні (для фізично нелінійних елементів) з методом послідовних наближень;

5) аналіз і дослідження отриманих крайових умов та СДР рівноваги з частинними похідними для різних моделей варіантів АТ, які описують внутрішній НДС (ВНДС); вихровий та потенціальний КЕ (ВКЕ, ПКЕ);

6) побудову єдиної методики перетворень отриманих СДР високого порядку (вище 10-го) до зручних СДР нижчого порядку;

7) розробку методів розв'язування одержаних СДР, розвинення операторного методу отримання форм загальних розв'язків;

8) побудову нового наближеного методу розв'язування отриманих СДР в т. ч. і СДР високого порядку;

9) розробку алгоритмів визначення НДС;

10) побудову розв'язків крайових задач для вказаних нетонких пластин та оболонок у вигляді одинарних та подвійних тригонометричних рядів;

11) розвинення методу спеціальних функцій (при розв'язуванні граничних задач для круглих пластин);

12) дослідження НДС і КЕ в залежності від МГП, типу навантаження та моделі варіанта АТ і аналіз збіжності методу розкладання компонент НДС у ряди. рейснер шаруватий пластина лінійний

Об'єктом дослідження є аналітичні і чисельні залежності НДС фізично лінійних та нелінійних однорідних та шаруватих пластин і пологих оболонок довільної сталої товщини від МГП, типу навантаження та моделей варіантів АТ в граничних задачах статики.

Предметом дослідження є розвинені і побудовані нові ефективні варіанти і математичні моделі АТ нетонких фізично лінійних і нелінійних однорідних та шаруватих пластин і пологих оболонок та методи розв'язування отриманих на їх основі СДР з частинними похідними високого порядку.

Методи дослідження. Дослідження здійснювалися з використанням методу розкладання компонент НДС, як функцій трьох змінних, у ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра (для однорідних пластин та пологих оболонок) та нового розробленого методу для шаруватих елементів, основаного на розкладанні компонент НДС у ряди за комбінаціями поліномів Лежандра в межах кожного шару; методу збурень лінійно пружних та ізотропних властивостей матеріалу (для фізично нелінійних і ортотропних пластин та оболонок); нового розробленого наближеного методу; операторного методу (при перетворенні СДР з частинними похідними та одержанні форм їх загальних розв'язків); методів одинарних та подвійних тригонометричних рядів (апроксимація функцій двох змінних, зображення розв'язків крайових задач); методу осереднення; прямих методів інтегрування звичайних ДР; методів математичної фізики та теорії функцій комплексної змінної (метод зниження порядку ДР з частинними похідними, метод спеціальних функцій).

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

- розвинено математичний підхід до розрахунку нетонких пластин та пологих оболонок, оснований на зведенні тривимірної задачі теорії пружності до двовимірної методом розкладання функцій трьох змінних у ряди по третій координаті за поліномами Лежандра з використанням ВПР і взаємозв'язаних рівнянь, який використовувався недостатньо;

- уперше розроблена з урахуванням вищих наближень і взаємозв'язаних рівнянь модель варіанта АТ транстропних однорідних пластин і пологих оболонок, яка зводиться до СДР високого порядку, що дає можливість визначати НДС з великою точністю;

- побудовані з урахуванням всіх компонент НДС нові варіанти і моделі АТ пластин та пологих оболонок довільної сталої товщини: однорідних (одношарових) анізотропних, однорідних фізично нелінійних, шаруватих (багатошарових) транстропних, шаруватих нелінійно пружних;

- уперше тривимірна задача статики для нетонких анізотропних і ізотропних фізично нелінійних пластин та пологих оболонок на основі нових варіантів АТ зведена до нескінченної рекурентної послідовності двовимірних лінійних крайових задач, що дає реальну можливість розв'язувати прикладні задачі з високою точністю;

- одержані за розвиненими і побудованими варіантами АТ та їх моделями основні рівняння для розв'язування граничних задач статики нетонких пластин та оболонок, проведені їх математичні перетворення за розробленою методикою, що дало можливість отримати зручні для дослідження і розв'язування СДР нижчого порядку і побудувати форми їх загальних розв'язків операторним методом;

- розроблені математичні методи розв'язування СДР високого порядку, до яких зводяться граничні задачі статики для указаних елементів;

- запропоновано новий наближений метод розв'язування отриманих СДР, згідно з яким взаємозв'язана СДР порядку 4 зводиться до послідовного розв'язування ДР 4-го порядку;

- уперше розв'язано клас задач для нетонких однорідних транстропних пластин та пологих оболонок у високих наближеннях із застосуванням ВПР і взаємозв'язаних рівнянь в т. ч при швидкозмінюваних (для пластин і оболонок) і квазілокальних (для пластин) навантаженнях; установлено якісний вплив КЕ на НДС пластин; визначені межі застосування наближених теорій та моделей варіанта АТ пластин і пологих оболонок в залежності від МГП та типу навантаження і отримані нові якісні ефекти та важливі висновки.

- у новій постановці на основі одержаних СДР високого порядку розв'язані тривимірні граничні задачі по визначенню ВНДС нетонких однорідних фізично лінійних і нелінійних пластин та пологих оболонок, шаруватих транстропних пластин.

Обґрунтованість і вірогідність наукових результатів забезпечуються: математичною та фізичною коректністю формулювання граничних задач; строгим математичним підходом до їх розв'язку; дослідженням збіжності і точності розв'язків; аналітичними граничними переходами, які приводять до відомих теорій пластин і оболонок; перевіркою на тестових задачах; порівняннями з деякими точними результатами та для окремих частинних випадків порівняннями з відомими в літературі результатами, які одержані з використанням інших теорій.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів.

Теоретична цінність роботи полягає в можливості безпосередньої реалізації розвинених і розроблених нових варіантів АТ, моделей та математичних методів розв'язування граничних задач в теорії нетонких однорідних, шаруватих, фізично лінійних та нелінійних пластин і пологих оболонок для дослідження їх НДС та КЕ з високою точністю, що особливо є важливим при наявності локальних навантажень, отворів, а також у випадках немалої товщини указаних елементів. Одержані в роботі теоретичні результати впроваджені в навчальному процесі з курсу теорії пружності для студентів факультету промислового та цивільного будівництва ПДАБА (є акт впровадження), можуть бути також використані в курсах теорії оболонок і пластин, спецкурсах, як матеріал навчального посібника та у науковій роботі аспірантів, магістрів і студентів.

Практична цінність роботи, ураховуючи ефективність і високий ступінь точності розроблених варіантів АТ, полягає у можливості використання розвинених і побудованих нових варіантів АТ, моделей і методів розрахунку в НДІ, проектних організаціях та в інших дослідних установах, пов'язаних із уточненими розрахунками і проектуванням будівельних конструкцій, конструкцій машин, літальних апаратів та інших конструкцій сучасної промисловості і техніки. Це дає змогу створювати надійні та довговічні споруди і конструкції з високою питомою міцністю і жорсткістю, що сприятиме економії ресурсів та матеріалів.

Особистий внесок здобувача. У наукових публікаціях із співавторами [1 - 3, 35, 37 - 41] особистий внесок здобувача полягає в розвиненні варіанта АТ для однорідних транстропних пластин та оболонок, побудові основних рівнянь, їх аналізі, розробці методів розв'язування одержаних СДР та чисельних алгоритмів, отриманні розв'язків і участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що наведені в дисертації, доповідались та отримали схвалення на II-му Інтернаціональному симпозіумі “Механічні і фізичні руйнування будівельних матеріалів і конструкцій” (Львів, 1996); Польсько-Українських міжнародних наукових семінарах “Теоретичні основи будівництва” (Варшава: 1996, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006; 2007; Дніпропетровськ: 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2008); 3, 4-й Всеукраїнських наукових конференціях “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2003, 2004); Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2005); Х-й - ХІІI-й Міжнародних науково-практичних конференціях “Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я” (Харків, 2002 - 2005); Міжнародних наукових конференціях “Проблемы современного материаловедения, машиностроения” (Дніпропетровськ, 2001), “Строительство, материаловедение, машиностроение” (Дніпропетровськ, 2002, 2003); Х-й Міжнародній конференції “Математика, экономика, образование” (Ростов-на-Дону, 2002); Міжнародній конференції “Актуальные проблемы механики сплошных сред” (Донецк, 2002); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2003); Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008); 10 - 12-й міжнародних наукових конференціях ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004, 2006, 2008).

У повному обсязі робота доповідалась на міжвузівському науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара при Придніпровському науковому центрі та науковій раді з механіки деформівного твердого тіла НАН України (наукові керівники семінару: чл.- кор. НАН України, д. т. н., проф. В. С. Гудрамович; д. т. н., проф. А. П. Дзюба, 2009); на міжвузівському науковому семінарі “Проблеми нелінійної механіки” (Дніпропетровськ, кафедра будівельної механіки та опору матеріалів ПДАБА; наукові керівники семінару: д. т. н., проф. А. І. Маневич; д. т. н., проф. Е. М. Кваша, 2009); на об'єднаному науковому семінарі кафедр динаміки і міцності машин, теоретичної механіки, опору матеріалів і прикладної математики у Харківському національному технічному університеті (ХПІ) (головуючий семінару д. ф.-м. наук, проф. Ю. В. Міхлін, 2009) і здобула позитивну оцінку.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 54 наукових працях в. т. ч. у 40 наукових статтях, із них 36 - у фахових наукових виданнях.

32 наукові статті у фахових виданнях написані автором одноосібно.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації становить 442 стор., обсяг основного тексту дисертації - 288 стор. Вона містить також 76 рисунків, 89 таблиць, список використаних джерел із 382 найменувань на 36 стор. та додатки на 94 стор.

Автор вшановує пам'ять свого наукового консультанта д. т. н., професора О. П. Прусакова, який допоміг визначити напрям наукових досліджень та підтримував їх на початковому етапі виконання даної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику дисертаційної роботи: обгрунтовано актуальність теми, зазначено зв'язок з науковими програмами, планами і темами, сформульовано мету і задачу дослідження, відзначено наукову новизну одержаних результатів, їх вірогідність та наукове і практичне значення, наведено відомості про публікації за темою дисертації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі проведено огляд наукових досліджень, виконаних вітчизняними та зарубіжними авторами в області теорії і методів розрахунку пластин та оболонок. Фундаментальний вклад у розвиток цього напрямку механіки внесли А. Я. Александров, С. А. Амбарцумян, Й. Я. Аміро, В. А. Баженов, Й. А. Біргер, В. В. Болотін, М. Г. Бондарь, Я. Й. Бурак, Д. В. Вайнберг, П. М. Варвак, І. Н. Векуа, В. З. Власов, А. С. Вольмір, Й. І. Ворович, Б. Г. Гальоркін, К. З. Галімов, А. Л. Гольденвейзер, Е. І. Григолюк, Я. М. Григоренко, В. Т. Грінченко, В. С. Гудрамович, О. М. Гузь, В. І. Гуляєв, Б. Я. Кантор, А. В. Кармішин, М. О. Кільчевський, Г. С. Кіт, А. Д. Коваленко, М. А. Колтунов, М. С. Корнішин, О. С. Космодаміанський, В. Д. Кубенко, С. Г. Лехницький, А. І. Лур'є, В. І. Моссаковський, Х. М. Муштарі, В. В. Новожилов, І. Ф. Образцов, П. М. Огібалов, Я. С. Підстригач, О. П. Прусаков, В. Л. Рвачов, Г. М. Савін, С. П. Тимошенко, К. Ф. Черних, Р. М. Швець, Ю. А. Шевляков, В. П. Шевченко, Ю. М. Шевченко, М. О. Шульга, R. М. Нагді [Р. Naghdi], Е. Рейснер [E. Reissner], К. Штам [K. Stamm] та інші.

Вагомі результати в розвиненні і побудові уточнених теорій лінійно пружних однорідних та шаруватих елементів конструкцій, які базувались на використанні гіпотез, отримані у наукових працях С. А. Амбарцумяна, П. П. Баєва, В. В. Болотіна, Л. Е. Брюккера, А. Т. Василенка, В. В. Васильєва, Ш. К. Галімова, Е. І. Григолюка, Я. М. Григоренка, С. Н. Кана, Л. М. Куршина, В. М. Москаленка, Х. М. Муштарі, Ю. В. Немировського, Ю. М. Новічкова, В. М. Паймушина, Б. Л. Пелеха, В. Г. Піскунова, О. О. Рассказова, Ю. К. Рудавського, О. Ф. Рябова, А. С. Сахарова, А. В. Саченкова, М. А. Сухорольського, М. Г. Тамурова, Л. П. Хорошуна, П. П. Чулкова, М. П. Шереметьєва, К. І. Шнеренка, Кромма [A. Kromm], Нагді [R. M. Naghdi], Рейснера [E. Reissner], Ціммера [K. Zimmer] і інших вчених.

Важливе значення в розвинені асимптотичних методів та методів малого параметра в теорії фізично лінійних елементів конструкцій мають дослідження Л. А. Аголовяна, О. К. Аксентяна, І. В. Андріанова, Й. І. Воровича, А. Л. Гольденвейзера, Я. Ф. Каюка, В. Г. Карнаухова, Л. І. Маневича, Ю. В. Міхліна, Ю. О. Митропольського, А. Х. Найфе, А. В. Павленка, М. А. Шленьова і інших.

Недостатня точність визначення НДС пластин та оболонок на основі класичних теорій та деяких уточнених теорій, особливо при дії локальних навантажень, наявності отворів, різкого змінення механіко-геометричних параметрів, немалої товщини та в інших випадках, що призводять до великого градієнта змінювання НДС, призвели до необхідності розробки математичних методів розв'язування задач для вказаних елементів в тривимірній постановці. Значний вклад у розробку методів розв'язування граничних лінійно пружних задач на основі тривимірних рівнянь теорії пружності, який мав важливий вплив на розвиток теорії пластин та оболонок, внесли А. Т. Василенко, Б. Ф. Власов, Б. Г. Гальоркін, В. А. Галіч, В. Т. Грінченко, Я. М. Григоренко, О. М. Гузь, І. Ю. Бабіч, А. Д. Коваленко, О. С. Космодаміанський, А. А. Мукоєд, Ю. М. Неміш, Н. Д. Панкратова, В. Г. Піскунов, Ю. М. Подільчук, С. П. Тимошенко, А. Ф. Улітко, В. О. Шалдирван, Г. Єміліта [G. Jemielita], Н. Пагано [N. I. Pagano], К. Штам [K. Stamm], C. Стрініваз [S. Strinivas].

У зв'язку із великими математичними труднощами використання тривимірних рівнянь теорії пружності знайшли своє розвинення аналітичні (математичні) теорії, згідно з якими компоненти НДС розкладалися у ряди за поперечною координатою при допомозі степеневих функцій або поліномів Лежандра. Суттєвий вклад у розвиток аналітичних теорій розрахунку лінійно пружних пластин та пологих оболонок і методів розв'язування прикладних задач з використанням поліномів Лежандра внесли І. Н. Векуа, Н. К. Галімов, В. І. Гуляєв, М. О. Кільчевський, Л. І. Лібреску, А. В. Плеханов, В. В. Понятовський, О. П. Прусаков, І. Г. Терегулов, І. Ю. Хома, В. Є. Чепіга, Р. Чікала [R. Cikala], А. Солер [A. Soler]. При цьому тривимірна задача теорії пружності зводилась до двовимірної із застосуванням варіаційних принципів або ж проекційних методів.

Важливе значення в розробці методів розв'язування нелінійних задач для тонких пластин та оболонок мають наукові праці К. З. Галімова, В. С. Гудрамовича, О. М. Гузя, Б. Я. Кантора, Г. Каудерера, Р. М. Кушніра, Х. М. Муштарі, М. М. Николишина, В. А. Осадчука, Г. М. Савіна, В. Г. Піскунова, М. Г. Тамурова, І. А. Цурпала, І. С. Чернишенка, М. О. Шульги та інших, причому, у деяких із них в задачах згину враховувались деформації поперечного зсуву.

Значний вклад у розробку методу збурень в механіці деформівного твердого тіла внесли О. М. Гузь, Л. В. Єршов, Д. Д. Івлєв, А. А. Ільюшин, О. С. Космодаміанський, В. А. Ломакін, Ю. М. Неміш, П. М. Огібалов, Г. М. Савін, І. А. Цурпал і інші.

Вагомі результати в розробці та розвиненні чисельних методів при розв'язуванні задач для пластинкових та оболонкових конструкцій отримані у роботах В. А. Баженова, П. М. Варвака, В. Є. Веріженка, Г. Г. Влайкова, Л. І. Голуба, Є. А. Гоцуляка, В. І. Гуляєва, А. І. Гуляра, Я. М. Григоренка, А. Я. Григоренка, А. В. Кармішина, В. І. Мяченкова, Е. М. Кваші, П. П. Лізунова, В. А. Максимюка, А. П. Мукоєда, А. С. Сахарова, І. С. Чернишенка та інших.

На основі аналізу наукових праць, поданих в огляді, сформульовано ідейну спрямованість та обґрунтування теми дисертаційного дослідження, які полягають у подальшому розвиненні варіанта АТ однорідних лінійно пружних пластин та оболонок з урахуванням вищих наближень, побудові нових варіантів АТ і їх моделей для фізично нелінійних і шаруватих елементів та розробці на їх основі ефективних та нових методів ров'язування граничних задач з метою визначення усіх компонент НДС з будь-якою точністю. В даній роботі з позицій тривимірної теорії пружності розглядаються нетонкі фізично лінійні і нелінійні однорідні та шаруваті пластини і пологі оболонки, які знаходяться під дією довільного статичного поперечного навантаження, прикладеного до лицевих площин (поверхонь). Крайові умови (статичне навантаження) можуть бути довільними. Для цих варіантів АТ та їх моделей характерна важлива особливість: граничні умови на лицевих площинах (поверхнях) та умови жорсткого спряження між шарами задовольняються точно, що значним чином підвищує їх точність. Тривимірна задача теорії пружності зводиться до двовимірної на основі ВПР, методу розкладання компонент НДС у ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра, методики одержання взаємозв'язаних рівнянь (згідно з якою основні рівняння залежать від усіх складових компонент переміщень, що входять у відповідні частинні суми рядів), розробленого методу збурень пружних властивостей матеріалу (для однорідних анізотропних і ізотропних фізично нелінійних елементів) та методу послідовних наближень (для шаруватих нелінійно пружних елементів). Одержані СДР високого порядку, які є основою високої точності, відповідними математичними перетвореннями та методами зводяться до ДР невисокого порядку, для яких в подальшому можуть бути застосовані методи математичної фізики з метою побудови загальних розв'язків, аналітичного дослідження збіжності та єдиності розв'язків.

Другий розділ присвячено розвиненню з позицій тривимірної теорії пружності варіанта АТ, його моделей та розробці методів розрахунку нетонких однорідних транстропних пластин (). Вважається тут і надалі (розділи 2, 4, 6), що площина ізотропії паралельна серединній площині (поверхні).

Уперше розроблена модель високого наближення варіанта АТ, яка зведена до СДР високого порядку.

Компоненти переміщень, поперечні напруження, які точно задовольняють граничним умовам, і тангенціальні напруження апроксимуються по товщині пластини у вигляді рядів за поліномами Лежандра:

Сталі множники при функціях тут і надалі залежать від МГП пластини; - натуральне число, яке залежить від кількості доданків у частинних сумах рядів (1).

Зображення компонент НДС у вигляді рядів (1), (2) на відміну від теорій, що основані на методі гіпотез, дає можливість визначати НДС з будь-якою точністю, ураховуючи в указаних рядах відповідну кількість складових компонент (моделі варіанта АТ). Якщо у рядах (1) урахувати складові компонент переміщень з індексами (для тангенціальних компонент переміщень) і (для поперечних переміщень), то у функціях (3) потрібно приймати до уваги тільки ці складові.

Аналітично показано, що НДС розглядуваних пластин при поперечному навантаженні визначається розв'язками двох незалежних лінійних крайових задач: одна описує НДС при кососиметричному, а інша - при симетричному навантаженні. На основі аналізу СДР та узагальненням їх якісної математичної структури установлено, що з урахуванням перших -го (при - натуральному непарному числі) доданків (наближення) у рядах (1) для компонент переміщень СДР для кососиметричного навантаження має -ий порядок, а для симетричного --й.

СДР, що описує симетричне деформування

СДР, що описує кососиметричне деформування

де, - оператори 2-го та 1-го порядків;- функції симетричного і кососиметричного навантаження відповідно.

Крайові умови в інтегральній формі також отримуються із ВПР.

На основі (1) - (5) і крайових умов виведені основні рівняння, що визначаються різною кількістю наближень у рядах (1) (моделі варіанта АТ), а саме: при (М01); (М13, М02) і (високе наближення, М0-5).

Розробленою методикою математичних перетворень отримані СДР для кожної моделі варіанта АТ операторним методом зведені до зручних для розв'язування систем, що дало можливість розділити їх на окремі СДР нижчого порядку та для деяких із них уперше отримати форми їх загальних розв'язків. Уперше із СДР високого порядку виділені ДР, які описують ВНДС, ВКЕ та ПКЕ; побудовані форми загальних розв'язків для М135, М02, М024.

Уперше для моделі високого наближення М0-5 виведена в явному вигляді СДР з частинними похідними 34-го порядку. яка розділена на СДР симетричного і кососиметричного деформування. Симетричне деформування (М024) визначається СДР 16-го порядку, причому, ВКЕ описується однорідною СДР 4-го порядку, ПКЕ - однорідним ДР 8-го порядку, а ВНДС - бігармонічним рівнянням і частинними розв'язками чотирьох неоднорідних ДР 12-го порядку. Кососиметричне деформування (М135) визначається СДР 18-го порядку. При цьому ВКЕ описується однорідною СДР 6-го порядку відносно вихрових функцій

яка операторним методом зведена до ДР 6-го порядку відносно функції

де,- ад'юнкти диференціального визначника системи (6). ВНДС із ПКЕ описується неоднорідною СДР 12-го порядку відносно

Уперше СДР ВНДС і ПКЕ для високого наближення (7) зведена до зручних неоднорідних ДР 12-го порядку

Виведені загальні розв'язки СДР (8):

де - частинні розв'язки неоднорідних ДР (8); - загальний розв'язок бігармонічного рівняння який разом з частинними розв'язками трьох неоднорідних ДР (8) описує ВНДС пластини; - загальний розв'язок ДР ПКЕ (8-го порядку):.

Одержано складові переміщень через загальні розв'язки СДР (6) і (8):

Побудовані розв'язки в одинарних та подвійних тригонометричних рядах для розглядуваних моделей. Розроблено новий наближений метод розв'язування отриманих СДР високого порядку, згідно з яким розв'язування СДР 8-го (12-го) порядку зведено до послідовного наближеного розв'язування двох (трьох) ДР 4-го порядку. Метод може бути узагальнений для СДР більш високих порядків.

Одержано точний аналітичний розв'язок тривимірної задачі теорії пружності для транстропних пластин при крайових умовах Нав'є. На основі розроблених алгоритмів досліджено НДС квадратних транстропних пластин довільної сталої товщини при повільно і швидкозмінюваних та квазілокальних поперечних навантаженнях. У роботі наведено достатню кількість ілюстрацій компонент НДС (36 рис. і 30 табл.), що дало можливість провести глибокий аналіз впливу МГП та типу навантаження на НДС, а також збіжності результатів і їх точності в залежності від моделі варіанта АТ. Отримані в широких межах змінювання МГП чисельні результати (табл. 1 - 4, рис. 1 - 4) указують на більш високу точність М0-3 варіанта АТ в порівнянні з іншими теоріями, які основані на використанні різних фізичних гіпотез в т. ч. і з теорією типу Тимошенка-Рейснера (М1, М01). На рис. 1, 2 (;), рис. 3, 4 (;)наведені графіки змінювання компонент НДС по товщині, які характеризують нелінійність НДС і розходження між результатами моделей варіанта АТ. Тут і надалі;;;. НДС при кососиметричному навантаженні характеризується параметром, а при навантаження на верхній лицевій площині - параметром (- амплітудні значення інтенсивності зовнішнього навантаження); моногармонічне навантаження визначається параметрами (кількість півхвиль), а полігармонічне - параметрами ; з нижніми індексами означає відповідне розходження у відсотках. Лінії на графіках відповідають: - точному розв'язку (ТР) за тривимірною теорією пружності;- М0-5 (або М135); - М0-3 (або М13); - М01 (або М1); - класичній теорії (КТ). Графіки і таблиці наведені для;.

Модель М0-3 з високою точністю описує НДС тонких пластин та пластин середньої товщини в широких межах змінювання МГП (табл. 1, 2). Табл. 2 дає можливість оцінити точність М0-3 від МГП. При швидкозмінюваних навантаженнях розрахунок за М01, М0-3 може давати незадовільні результати не тільки для пластин середньої товщини, але і для тонких пластин (табл. 3), що вказує на необхідність використання вищих наближень. Високоточні результати для НДС при кососиметричному навантаженні ізотропних пластин М0-3 дає при, а при згинально-обтискуючому - при (розходження з точними менше 3%).

Уперше на основі різних моделей з використанням взаємозв'язаних рівнянь розв'язані граничні задачі при квазілокальних навантаженнях (рис. 5, 6; табл. 4) (- кількість доданків у тригонометричних рядах для поперечного навантаження з параметрами - амплітудне значення доданків). М135 дає високоточні, а М1 (теорія Тимошенка-Рейснера) - суттєво неточні результати навіть для тонких пластин.

Установлено, що ВНДС пластин найбільш суттєво залежить від товщини, податливості на поперечний зсув, змінюваності та локальності поперечного навантаження. Точність моделей варіанта АТ зростає при зменшенні товщини, податливості на поперечний зсув і змінюваності поперечного навантаження.

Компоненти НДС квадратної транстропної пластини при;

Уперше на основі М0-3 для транстропних пластин установлено якісний вплив КЕ на НС, який характеризується показниками змінюваності (ПЗ) пограншарів (ПШ) (табл. 5, 6). В табл. 5 при в нижньому рядку наведені точні значення ПЗ (по А. Лур'є). ПЗ 1-го ПШ за М13 добре узгоджуються з точними, а 2-го ПШ відрізняються (для ВКЕ різниця складає 7,29%), що вказує на необхідність використання високих наближень при визначенні НС в області дії крайових ефектів. При кососиметричному (симетричному) деформуванні ПКЕ при () має експоненціальний характер згасання (ПЗ і), а при () - осцилюючий (ПЗ і). ВКЕ має експоненціальний характер згасання (ПЗ і).

При кососиметричному навантаженні із збільшенням податливості на поперечний зсув глибина проникнення першого вихрового і потенціального ПШ (характеризуються ПЗ і) збільшується, другого вихрового () збільшується, а потенціального () - зменшується. Для ізотропних і податливих на поперечний зсув пластин глибина проникнення вихрового ПШ більша, ніж потенціального, крім цього, для останніх другий потенціальний ПШ має невелику область проникання.

Розробленим у роботі новим наближеним методом в поєднанні з методом зниження порядку ДР розв'язані задачі в спеціальних функціях про вісесиметричний згин вільно обіпертих і жорстко защемлених на краю круглих пластин при кососиметричному сталому і зосередженому в центрі навантаженнях (табл. 7). Установлено, що зона впливу локальності навантаження на прогини для трастропної пластини (при) складає близько.

У третьому розділі уперше побудовано новий варіант АТ нетонких однорідних ортотропних і ізотропних фізично нелінійних пластин (ФНП) (по Каудереру) і розроблені на його основі методи їх розрахунку. Варіант АТ базується на ВПР і комбінованому методі, основаному на поєднанні методу розкладання усіх компонент НДС у ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра та методу збурень пружних властивостей матеріалу.

Розкладаючи для ФНП у степеневі ряди за малим фізичним параметром- безрозмірна стала матеріалу порядку) компоненти НДС, поверхневі сили та зовнішнє навантаження, одержуються наступні залежності:

Тут і надалі функції з індексом угорі - функції, які залежать від -го наближення, а з індексом - функції, що залежать суттєво нелінійно від усіх компонент НДС до -го наближення, причому, функції інтегрально залежать від трьох координат. Наявність функцій з індексом угорі у всіх співвідношеннях значним чином ускладнює розв'язування прикладних задач.

Уперше у роботі в новій постановці отримані в явному вигляді для довільного наближення за малим параметром основні рівняння для указаних елементів за М0-3, які безпосередньо можуть використовуватися для розв'язування задач.

Тут функції - залежать від зовнішнього навантаження -го наближення, - диференціальні оператори відповідної лінійно пружної задачі.

(- направляючі косинуси; - складові інтенсивності поверхневого навантаження). Отримано також аналогічної структури основні рівняння для ортотропних пластин на основі методу збурень ізотропних пружних властивостей.

1. СДР (11), як і у випадку лінійної задачі, розділена на систему симетричного та кососиметричного деформування.

2. Уперше на основі нового розробленого варіанта АТ тривимірна задача теорії пружності для нетонких ортотропних (для фізично нелінійних) пластин зведена до рекурентної нескінченної послідовності лінійних двовимірних крайових задач для пластин із осередненими ізотропними властивостями (для пластин лінійно пружних ізотропних). Праві частини отриманих СДР з частинними похідними (11) і крайові умови (12) в довільному наближенні за параметром лінійно (нелінійно) залежать від компонент НДС попередніх наближень.

3. Розроблений в роботі метод збурень ізотропних пружних властивостей може бути узагальнений для розвинення методу збурень транстропних властивостей анізотропних пластин, що дасть можливість окремо досліджувати КЕ і ВНДС, оскільки для суттєво анізотропних пластин в прямій постановці це зробити неможливо.

4. Виділена СДР кососиметричного деформування (12-го порядку) в кожному наближенні за малим параметром розділена на дві незалежні системи неоднорідних ДР: одна (4-го порядку) описує ВКЕ і уточнює ВНДС, а інша - (8-го порядку) описує ВНДС (визначається загальними розв'язками бігармонічного рівняння і частинними розв'язками двох суттєво неоднорідних ДР 8-го порядку) та ПКЕ (визначається загальним розв'язком однорідного ДР 4-го порядку).

5. Виділена СДР симетричного деформування (10-го порядку) в довільному наближенні за параметром розділена на дві групи рівнянь: одне неоднорідне ДР 2-го порядку описує ВКЕ і уточнює ВНДС, а система ДР 8-го порядку описує ВНДС (визначається загальним розв'язком бігармонічного рівняння і частинними розв'язками трьох суттєво неоднорідних ДР 8-го порядку) та ПКЕ (визначається загальним розв'язком однорідного ДР 4-го порядку).

6. Побудовані форми загальних розв'язків одержаних у новій постановці СДР.

7. Уперше за розробленим варіантом АТ побудовані аналітичні розв'язки фізично нелінійних задач в одинарних та подвійних тригонометричних рядах.

8. З урахуванням перших двох наближень за параметром проведено тестування методу збурень ізотропних властивостей матеріалу в задачах для транстропних пластин, яке підтвердило його ефективність та вірогідність. Уперше в новій постановці аналітично розв'язана задача згину нетонкої ФНП, яка зводиться до СДР із складними правими частинами, які залежать від НДС попередніх наближень інтегрально по товщині (складність підвищується з кожним наближенням). Досліджено ВНДС нетонких ФНП за М13 для циліндричного згину при синусоїдальному навантаженні в широких межах змінення МГП. Фізична нелінійність може суттєво впливати на компоненти НДС (КНДС) (рис. 7; табл. 8, 9). Для порівняння наведені результати за фізично лінійною класичною теорією (ЛКТ) та фізично лінійними (ФЛ) моделями варіанта АТ. На рис. 7 (тут і у розд. 5) лінія відповідає фізично нелінійній теорії (- амплітуда зовнішнього навантаження).

9. На основі отриманих у роботі чисельних результатів і якісних ефектів сформульовані наступні рекомендації при знаходженні НДС фізично нелінійних

потрібно використовувати як метод розкладання НДС у ряди за товщинною координатою так і ураховувати нелінійно пружні властивості матеріалу; при швидкозмінюваних навантаженнях і в інших випадках, які, призводять до НДС з високим градієнтом змінювання, очевидно, також потрібно ураховувати фізичну нелінійність сумісно з розкладанням компонент НДС у ряди за поперечною координатою.

Четвертий розділ присвячено розвиненню варіанта АТ і методів розрахунку нетонких однорідних транстропних оболонок. Уперше виведені в явному вигляді взаємозв'язані основні рівняння за М0-3, М0-5, які придатні для практики. Компоненти НДС мають вигляд (1), (2). Справедливими є залежності (3) для, але сталі, що входять у (3), залежать ще й від кривин; функції, зображуються так:, , , де - кривини оболонки.

Уперше в одержаних СДР ураховані кривини у деформаціях поперечного зсуву. НДС указаних пологих оболонок для кожної моделі визначається розв'язками систем взаємозалежних ДР з частинними похідними.

Наприклад, зв'язана СДР на основі моделі М0-5 (СДР 34-го порядку) має вигляд:

де - диференціальні оператори другого, першого і нульового порядків, а - функції зовнішнього навантаження і їх похідних, які залежать від МГП оболонки.

Якщо у системах ДР для різних моделей не ураховувати кривини у деформаціях поперечного зсуву, то із них виділяються системи ДР, які визначають ВКЕ (співпадають із СДР для пластин) і системи ДР, що описують взаємозалежні ВНДС і ПКЕ. Так, із СДР (13) виділяється СДР (10-го порядку) відносно функцій (), яка визначає ВКЕ і СДР, що описує ВНДС із ПКЕ (24-го порядку).

За розробленою методикою після осереднення деяких коефіцієнтів і певних математичних перетворень системи ВНДС із ПКЕ зведені до зручних СДР відносно складових компонент переміщень , які операторним методом перетворені до СДР відносно нових введених функцій. Суттєва перевага останніх СДР полягає в тому, що ліві частини всіх рівнянь кожної системи однакові. Це дало можливість побудувати форми їх загальних розв'язків.

СДР згідно з моделлю М0-3 має 22-й порядок. ВКЕ визначається СДР 6-го порядку. СДР, яка описує ВНДС із ПКЕ (16-го порядку):

СДР (14) зведена до зручної:

де - диференціальний визначник СДР (14).

Побудовані форми загальних розв'язків:

(загальний розв'язок однорідного ДР (15)).

Аналіз виведених і перетворених СДР дав можливість установити якісну структуру СДР і розробити для різних наближень єдину методику їх перетворень до зручних СДР та розвинути операторний метод побудови форм загальних розв'язків СДР, одержаних на основі даного варіанта АТ. Зокрема, побудовані форми загальних розв'язків СДР на основі моделей М0-3, М013, М0135, які дають можливість методом зниження порядку ДР одержати загальні розв'язки. Установлено, що з урахуванням перших доданків у рядах (1) (наближення - непарне) система взаємозв'язаних ДР має порядок. При цьому СДР ВКЕ має порядок (система в кількості ДР порядку описує ВКЕ при кососиметричному навантаженні, а система ДР порядку - ВКЕ при симетричному навантаженні). ВНДС із ПКЕ визначається взаємозв'язаною СДР порядку.

Розроблено алгоритм визначення НДС, побудовані аналітичні розв'язки в одинарних і подвійних тригонометричних рядах на основі взаємозв'язаних рівнянь. Виконані чисельні дослідження ВНДС квадратних в плані пологих оболонок при синусоїдальному навантаженні в залежності від МГП та моделей варіанта АТ. На рис. 8 - 11 зображені графіки залежностей компонент НДС при;. Табл. 10 - 13 характеризують компоненти НДС в залежності від МГП, типу навантаження, урахування кривин () у деформаціях поперечного зсуву (у табл. 10, 11 характеризує вплив урахування кривин на НДС) і моделі варіанта АТ. Результати наведені при,. Виконано аналіз збіжності рядів розкладання компонент НДС. Отримано високу збіжність результатів при кососиметричному повільнозмінюваному навантаженні навіть для достатньо товстих ізотропних оболонок ().

Збіжність результатів у цілому покращується із зменшенням товщини, податливості матеріалу на поперечний зсув та із зростанням пологості серединної поверхні. При швидкозмінюваних навантаженнях для визначення НДС потрібно ураховувати вищі наближення. Для слабопологих товстих транстропних оболонок необхідно враховувати залежність деформацій поперечного зсуву від кривин, а при кососиметричному навантаженні - складові компонент переміщень з парними натуральними індексами у рядах розкладання НДС (табл. 12).

Поперечне обтискання може суттєво впливати на НДС не тільки для товстих, але і для оболонок середньої товщини (), особливо при швидкозмінюваних навантаженнях (табл. 13). Якісні висновки щодо впливу інших МГП на НДС пологих оболонок аналогічні висновкам для пластини.

Наведені дані в табл. 14 за М0-5 дають можливість порівняння з точним розв'язком для відповідної пластини. На основі цього є можливість оцінювати наближений розрахунок пологих оболонок, замінюючи їх відповідними пластинами.

У п'ятому розділі уперше побудовано новий варіант АТ нетонких однорідних ортотропних і ізотропних фізично нелінійних (по Каудереру) пологих оболонок (ФНО) та розроблені на його основі методи розв'язування граничних задач. Варіант АТ, як і для пластин, оснований на ВПР і методі розкладання усіх компонент НДС у ряди за поперечною координатою при допомозі поліномів Лежандра в поєднанні з методом збурень пружних властивостей матеріалу. Вводяться ті самі малі параметри.

Уперше для указаних оболонок отримані в явному вигляді для довільного наближення за параметром основні рівняння для М0-3, які мають вигляд, аналогічний основним рівнянням для пластин (9) - (12) з відмінністю для деформацій і функцій, які в наближенні визначаються таким чином:, (). СДР і крайові умови мають структурний вигляд (11), (12). Основні рівняння безпосередньо можуть використовуватися для розв'язування прикладних задач.

1. Справедливі п. 2, 3, 6 розділу 3 (якісного характеру) стосовно оболонок.

2. При певних спрощеннях і перетвореннях, аналогічних лінійно пружній оболонці, в довільному наближенні за параметром на основі М0-3 одержана неоднорідна СДР, яка описує ВКЕ (система неоднорідних ДР 6-го порядку) і система, яка визначає взаємозалежні ВНДС і ПКЕ (система неоднорідних ДР 16-го порядку). Систему ВКЕ при кососиметричному і симетричному навантаженнях розділено на групи рівнянь (при кососиметричному навантаженні - це СДР 4-го порядку, а при симетричному - ДР 2-го порядку); загальний розв'язок указаної СДР визначає ВКЕ, а частинні розв'язки - уточнюють ВНДС відповідного наближення.

3. Уперше за новим побудованим варіантом АТ розв'язано граничну задачу для ізотропної нелінійно пружної оболонки (рис. 12, 13; табл.15) (циліндричний згин). Виконані з використанням методу збурень чисельні дослідження НДС квадратних в плані пологих транстропних оболонок (для порівняння результатів із прямим розв'язком) указують на ефективність підходу.

Як випливає із отриманих у роботі результатів, в залежності від МГП фізична нелінійність може суттєво впливати на компоненти НДС. Вплив фізичної нелінійності на НДС аналогічний п. 9 розд. 3 для пластин і мало залежить від змінювання кривини середньопологих та сильнопологих оболонок ().

Шостий розділ присвячено побудові нового варіанта АТ нетонких шаруватих (однорідних в межах кожного шару) транстропних і ізотропних фізично нелінійних пластин і пологих оболонок симетричної і несиметричної структури та розробці методів розв'язування граничних задач на його основі. Варіант АТ оснований на ВПР і методі розкладання усіх компонент НДС у ряди за поперечною координатою в межах кожного шару при допомозі комбінацій поліномів Лежандра з використанням взаємозв'язаних рівнянь в поєднанні (для фізично нелінійних елементів) з методом послідовних наближень.

У новій постановці з позицій тривимірної теорії пружності розглянуто шаруваті фізично нелінійні пологі оболонки довільної сталої товщини несиметричної структури з товщинами шарів (;- кількість шарів) і радіусами кривини серединних поверхонь кожного шару . Введена прямокутна система координат в межах кожного шару. Вісь початок якої належить серединній поверхні -го шару оболонки напрямлена вбік опуклості оболонки.

Залежності між деформаціями та напруженнями в - му шарі зображуються у вигляді суми лінійної і нелінійної складових.

Уперше на відміну від інших досліджень приймається нове зображення компонент НДС, яке основане на апроксимації компонент НДС у вигляді рядів у межах кожного шару. Переміщення подаються так:

Коефіцієнти для довільного і-го шару при довільній кількості шарів оболонки визначаються із наступних умов:

3) ортогональності функцій по всьому пакету шарів до всіх попередніх функцій:

4) найменшого середньоквадратичного відхилення функцій від відповідних їм «базових» функцій, де сталі визначаються із рівнянь, які випливають із першої та третьої умов (17).

Побудовані вирази для інших компонент НДС з використанням ДР рівноваги, ВПР і залежностей (16) з урахуванням (17). При цьому виконуються умови неперервності на границях шарів і умови жорсткого спряження між шарами. Граничний перехід до однорідної оболонки (пластини) відповідає апроксимації компонент переміщень при допомозі поліномів Лежандра і всі основні рівняння перетворюються у рівняння для відповідних однорідних елементів.

У новій постановці, основуючись на М0-3, отримані в явному вигляді основні рівняння для шаруватих пластин та пологих оболонок, які безпосередньо можуть бути використані для розв'язування прикладних задач. СДР для нелінійно пружної шаруватої оболонки має вигляд

де, - відповідно функції зовнішнього навантаження і функції, які суттєво нелінійно залежать від компонент НДС.

1. Тривимірна задача нелінійної теорії пружності зведена до двовимірної. Ліві частини СДР лінійно залежать від складових компонент переміщень, а праві - від зовнішнього навантаження і суттєво нелінійно від компонент НДС.

2. Уперше, вводячи припущення про рівність коефіцієнтів Пуассона в площині ізотропії для кожного шару та нехтуючи кривинами у деформаціях поперечного зсуву, СДР для нелінійно пружної оболонки несиметричної структури після деяких математичних перетворень розділена на дві окремі системи.

Неоднорідна СДР 6-го порядку описує взаємозалежні при кососиметричному і симетричному навантаженні ВКЕ і уточнює ВНДС (частинними розв'язками):

Інша система (16-го порядку) описує взаємозалежні ВНДС і ПКЕ:

У ДР (18), (19) функції з індексом унизу нелінійно залежать від НДС.

3. У новій постановці (як частинний випадок оболонок несиметричної структури) одержані основні рівняння для нетонких нелінійно пружних шаруватих пологих оболонок симетричної структури. Отримана СДР 22-го порядку, яка розділена на систему ВКЕ (6-го порядку) і систему ВНДС з ПКЕ (16-го порядку). Причому, із системи ВКЕ виділено СДР вихрового КЕ від кососиметричного навантаження (4-го порядку) і ДР 2-го порядку від симетричного навантаження. ВНДС і ПКЕ взаємозалежні і не визначаються окремими незалежними розв'язками.

...