Розвиток та реалізація змішаного методу скінченних елементів у задачах міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МІЦНОСТІ ім. Г.С.ПИСАРЕНКА

НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

УДК 539.3

Спеціальність 01.02.04 -

Механіка деформованого твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

РОЗВИТОК ТА РЕАЛІЗАЦІЯ ЗМІШАНОГО МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ У ЗАДАЧАХ МІЦНОСТІ, КОЛИВАНЬ ТА СТІЙКОСТІ ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ

Чирков Олександр Юрійович

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті проблем міцності ім. Г.С.Писаренка Національної академії наук України

Науковий консультант: доктор технічних наук Харченко Валерій Володимирович Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренка НАН України, заступник директора інституту, завідувач відділу чисельних і експериментальних методів дослідження конструкційної міцності

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Сахаров Олександр Сергійович Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут» Міністерства освіти і науки України, професор кафедри хімічного, полімерного та силікатного машинобудування

доктор технічних наук, професор Гуляр Олександр Іванович Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України, професор кафедри будівельної механіки

доктор технічних наук, професор Степанов Геннадій Володимирович Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, завідувач відділу міцності та руйнування за умов ударного і імпульсного навантаження

Захист відбудеться « 4 » грудня 2008 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.241.01 при Інституті проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України за адресою: 01014, м. Київ, вул.Тимірязєвська, 2

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України (01014, м. Київ, вул.Тимірязєвська, 2)

Автореферат розісланий « 29 » жовтня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д26.241.01доктор технічних наук, професор Карпінос Б.С.



Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Відповідальні елементи і вузли сучасних агрегатів енергетичної, криогенної, космічної, транспортної та іншої техніки під час експлуатації зазнають термосилових та динамічних впливів. Удосконалення обладнання, машин і конструкцій неможливо без прогнозування параметрів напружено-деформованого стану на базі розрахунків на міцність. Такі розрахунки необхідні під час конструювання нової техніки як перевіркові для оцінення міцності, доведення конструкції у процесі випробувань з метою подовження ресурсу або зниження матеріаломісткості та на етапі експлуатації конструкції у разі виявлення дефектів для оцінення залишкової міцності.

Оптимізація технологічних процесів у багатьох випадках зумовлена регулюванням рівнів напружень і деформацій, що виникають у конструкції протягом технологічного процесу і частково залишаються після його завершення. Достовірне оцінення кінетики напружено-деформованого стану є основою для вибору раціональних режимів термічного оброблення, що забезпечують цілісність конструкції, як за нормальних умов експлуатації, так і за екстремальних ситуацій. Велике значення має також проблема керування залишковими напруженнями, які часто суттєво впливають на тримальну здатність елементів конструкцій.

У багатьох випадках для адекватного описання реальних умов експлуатації конструкції необхідно враховувати такі чинники: історія навантажування, неоднорідність нагрівання і охолодження, контактна взаємодія, неоднорідність фізико-механічних властивостей матеріалу, пластичне деформування та ін. Таким чином, під час математичного моделювання процесів формування і перерозподіляння напружень у конструкції доводиться розв'язувати досить складні нелінійні термомеханічні та, у багатьох випадках, нестаціонарні крайові задачі.

У разі оцінення міцності елементів конструкцій, що зазнають впливу вібраційних навантажень, а також під час дослідження процесів стійкості конструкцій задача зводиться до узагальненої проблеми власних значень. Суть задачі полягає у знаходженні власних частот і форм вільних коливань, критичних рівнів навантажень і форм втрати стійкості.

Загальновідомо, що прикладні задачі механіки деформівного твердого тіла належать до найбільш складних у математичній фізиці, розв'язання яких, як правило, досягається за допомогою наближених методів. У той же час відомі чисельні методи механіки деформівного тіла можуть виявитися недостатньо точними і ефективними, тому що велика розмірність та раптова змінність коефіцієнтів задачі можуть призвести до втрати стійкості або порушення збіжності обчислювальних процесів. Через це виникає необхідність розроблення більш досконалого апарату проведення розрахункових досліджень, що містить нові методи та ефективні алгоритми розв'язання задач міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій. Основна мета дисертаційної роботи полягає у створенні універсальних наближених методів і алгоритмів, що забезпечують одержання стійких та достатньо точних розв'язків задач вказаного типу з мінімальними обчислювальними затратами.

У даний час найбільш універсальним методом розв'язання крайових задач механіки деформівного тіла є метод скінченних елементів (МСЕ). Ефективність МСЕ мало залежить від конфігурації тіла, характеру межових умов, закону змінення властивостей середовища і зовнішнього впливу на тіло.

Найбільш дослідженими і поширеними в даний час є класичні схеми МСЕ у переміщеннях, що відображено у великій кількості публікацій закордонних і вітчизняних авторів.

Вказуючи на переваги класичного МСЕ, необхідно враховувати також його недоліки. До найбільш суттєвих з них відносяться розривна апроксимація напружень і деформацій, а також більш низький порядок збіжності апроксимації для напружень і деформацій порівняно з таким для переміщень. У той же час напруження зазвичай є основними шуканими функціями у задачах механіки деформівного тіла і, відповідно, повинні визначатись із достатньо високим ступенем точності. Традиційні підходи щодо підвищення точності шляхом збільшення згущення скінченноелементного розбиття або переходу до більш складних скінченних елементів не завжди ефективні навіть для лінійних задач. Для нестаціонарних і нелінійних тривимірних задач термомеханіки вони практично не прийнятні, тому що збільшення порядку розв'язуваної системи алгебраїчних рівнянь і велика кількість часових кроків та ітерацій призводять до значного зростання обчислювальних затрат.

Тому перспективним у чисельному аналізі задач механіки деформівного тіла є застосування змішаних формулювань МСЕ, в яких напруження і деформації входять у розв'язувальні рівняння поряд із переміщеннями як рівноправні невідомі. Саме такі алгоритми МСЕ розглянено у дисертаційній роботі.

У задачах теорії пружності і пластичності основна перевага використання змішаних і змішано-гібридних формулювань МСЕ щодо класичного МСЕ у формі методу переміщень полягає у зменшенні похибки апроксимації для напружень і деформацій, а також можливості побудови розв'язків для напружень з врахуванням точного задоволення статичним межовим умовам на поверхні тіла. Ще одна важлива перевага полягає у тому, що змішані схеми МСЕ дозволяють забезпечити неперервність апроксимації не тільки для переміщень, але й для напружень та деформацій, тоді як класичні схеми МСЕ призводять до розривної апроксимації напружень і деформацій.

Незважаючи на те, що змішані формулювання МСЕ виявляються більш гнучкими і універсальними, а відповідні їм схеми МСЕ мають переваги у точності, вони не знайшли на практиці широкого поширення і їх застосування для розв'язання прикладних задач теорії пружності, пластичності, коливань і стійкості досить обмежене. Сучасні комерційні програмні продукти орієнтовані в основному на класичний варіант МСЕ і не містять у своїх бібліотеках скінченних елементів змішаного типу, за допомогою яких вдається одержати відчутні переваги у точності та ефективності розв'язання дво- і тривимірних задач теорії пружності та пластичності. Це пояснюється труднощами практичного конструювання змішаних апроксимацій, що задовольняють умовам стійкості та збіжності методу. До цього часу не існує придатної для всіх класів задач механіки загальної методики побудови найкращих апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. У кожному конкретному випадку необхідно ретельно перевіряти правильність побудови апроксимувальних функцій та детально аналізувати збіжність у разі їх використання. До того ж залишається важлива для практики задача фактичного знаходження дискретного розв'язку, що пов'язано з розробленням і реалізацією ефективних методів та обчислювальних алгоритмів розв'язку матричних рівнянь змішаного методу. Актуальність вирішення цих проблем і визначила мету та зміст дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано у рамках державних бюджетних тем та наукових проектів: «Розробити інформаційно-технологічну систему сучасних ПЕОМ визначення термонапруженого стану елементів машинобудівних конструкцій при квазістатичних впливах» (ДР № 0193U018813, 1991-1993 р.); «Побудова і чисельне дослідження на ПЕОМ змішаних дискретних моделей методу скінченних елементів пружно-пластичного деформування тривимірних тіл з концентраторами напружень при циклічному термомеханічному навантаженні» (ДР № 0194U016811, 1994-1998 р.); «Дослідження і чисельне моделювання поведінки тіл з тріщинами для обґрунтування узагальненої методології руйнування великогабаритних елементів відповідальних конструкцій» (ДР № 0118U004648, 1998-2002 р.); «Чисельне моделювання напружено-деформованого стану конструкційних елементів обладнання різних галузей техніки з урахуванням тріщин та розробка критеріїв граничного стану» (ДР № 0104U003376, 2004-2006 р.); «Розрахунково-експериментальне визначення граничного стану конструкційних елементів з дефектами при термосиловому навантаженні» (ДР № 0107U000723, 2007-2008 р.); «Дослідження кінетики напружено-деформованого стану та коефіцієнтів інтенсивності напружень корпусу реактора ВВЕР АЕС в умовах нестаціонарного термосилового навантаження» (ДР № 0105U003620, 2005 р.); «Розробка методичних вказівок і рекомендацій по визначенню термонапруженого стану та опору крихкому руйнуванню стосовно оцінки конструкційної міцності та визначення ресурсу корпусів реакторів ВВЕР АЕС» (ДР № 0106U006711, 2006 р.); «Удосконалення розрахунків напружень та параметрів механіки руйнування корпусів реакторів ВВЕР АЕС з врахуванням дефектів різного типу» (ДР № 0107U004919, 2007 р.).

Мета і задачі дослідження. Основна мета дисертаційної роботи полягає у створенні ефективного апарату чисельних досліджень на основі нових і удосконалених змішаних схем методу скінченних елементів для вирішення важливих практичних задач сучасного машинобудування та атомної енергетики. Запропоновані методи і алгоритми МСЕ повинні підвищити точність і ефективність розв'язання прикладних задач міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій, забезпечити одержання стійких і надійних розв'язків задач вказаного типу з мінімальними обчислювальними затратами.

Для досягнення поставленої мети у роботі було визначено наступні задачі дослідження: машинобудування енергетика скінченний елемент

Розробити і реалізувати стійкі та ефективні змішані проекційно-сіткові алгоритми МСЕ для розв'язування прикладних задач теорії пружності, пластичності, коливань, в основу яких покладено неперервну апроксимацію полів переміщень, деформацій і напружень за допомогою різного набору базисних функцій.

Виконати математичне обґрунтування коректності змішаних проекційно-сіткових апроксимацій МСЕ, яке містить формулювання простих та зручних для практичного застосування умов, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних схем МСЕ у задачах теорії пружності, пластичності та власних коливань.

Розробити і реалізувати спеціальні ітераційні процедури і обчислювальні алгоритми розв'язання матричних рівнянь змішаного методу, що застосовуються у задачах теорії пружності, пластичності та вільних коливань.

Розробити на основі змішаного методу конкретний алгоритм розв'язання двовимірних і осесиметричних задач за спеціального вибору апроксимувальних функцій, що задовольняють умовам стійкості та збіжності змішаних апроксимацій МСЕ для напружень, деформацій, переміщень.

Розробити і реалізувати програмне забезпечення для розрахунку температурних полів і експлуатаційних напружень у тілах складної конструкційної форми з врахуванням непружності та неоднорідності властивостей матеріалу за різних умов теплового і механічного навантажування, а також для розв'язання широкого спектру прикладних задач, що розглядаються під час математичного моделювання технологічних процесів, пов'язаних із термічним обробленням.

Об'єкт дослідження - узагальнені крайові задачі теорії пружності і пластичності, неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування, узагальнені спектральні задачі про власні коливання та стійкість елементів конструкцій.

Предмет дослідження - розв'язання задач міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій на основі змішаного методу скінченних елементів.

Методи досліджень - теорія узагальнених крайових задач механіки деформівного твердого тіла, методи функціонального аналізу, теорія лінійних і нелінійних операторних рівнянь у гільбертовому просторі, спектральна теорія компактних операторів, проекційно-сіткові методи, обчислювальні методи математики.

Наукова новизна одержаних результатів:

Розвинуто загальну теорію змішаних схем МСЕ у задачах міцності, коливань і стійкості елементів конструкцій. Із застосуванням апарату функціонального аналізу досліджено коректність змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Одержано ряд важливих доведень і оцінок збіжності змішаних схем МСЕ для задач теорії пружності і пластичності. Встановлено, що змішаний метод призводить до більш точних розподілів напружень і деформацій порівняно із класичним формулюванням МСЕ.

Запропоновано спеціальний трикутний скінченний елемент для розв'язування двовимірних і осесиметричних задач теорії пружності, пластичності, коливань, який задовольняє умовам стійкості та збіжності змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Побудовано систему розв'язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичним межовим умовам на поверхні тіла, для розв'язання яких розроблено стійкі та економічні ітераційні алгоритми: модифікований ітераційний алгоритм методу спряжених градієнтів для розв'язання задач теорії пружності; тришаровий ітераційний алгоритм розв'язку нелінійних рівнянь теорії пластичності.

Сформульовано альтернативні варіаційні представлення задачі про власні коливання пружних тіл, в яких напруження і деформації входять у розв'язувальні рівняння поряд із переміщеннями як рівноправні невідомі. Для розв'язання узагальненої спектральної задачі про власні коливання запропоновано три форми змішаних варіаційних формулювань МСЕ. Досліджено коректність узагальнених засад скінченновимірних задач про спектр у змішаній формі та сформульовано умови, що забезпечують стійкість змішаних апроксимацій для переміщень, деформацій і напружень. Побудовано матричні рівняння змішаного методу, для розв'язання яких запропоновано модифікований ітераційний алгоритм методу найшвидшого спуску.

Побудовано новий гібридний трикутний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича для розв'язання задач про вигин, коливання і стійкість пластинчасто-оболонкових конструкцій. Запропоновано змішану апроксимацію для прогину та кутів повороту пластини. Встановлено, що із зменшенням розмірів трикутників змішана апроксимація забезпечує збіжність, як прогину пластини, так і згинальних моментів, точність обчислення яких практично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи.

Запропоновано модифіковані ітераційні алгоритми методу спряжених градієнтів для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що виникають під час чисельної реалізації класичних і змішаних схем МСЕ. Розроблено модифікований ітераційний алгоритм методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації, для розв'язання систем лінійних рівнянь МСЕ. Показано можливість дворазового прискорення обчислювального алгоритму. Запропоновано комбінований ітераційний алгоритм на основі методів облямування та спряжених градієнтів для розв'язання систем лінійних рівнянь, що випливають із МСЕ у задачі про згин пластини. Результати чисельного аналізу свідчать про ефективність та переваги розроблених алгоритмів порівняно з класичним методом спряжених градієнтів.

Практичне значення одержаних результатів:

Розроблено і реалізовано ефективний комплекс наближених методів розрахунку температурних полів, напружень і деформацій у тілах складної конструкційної форми із врахуванням непружності та неоднорідності властивостей матеріалу за різних умов теплового і механічного навантажування, а також для розв'язання широкого кола прикладних задач, що розглядаються під час математичного моделювання технологічних процесів, пов'язаних з термічним обробленням.

Запропоновані обчислювальні методи та алгоритми реалізовано у вигляді програмного продукту RELAX для розрахунків міцності, коливань і стійкості елементів конструкцій. Розроблене програмне забезпечення функціонує на сучасних персональних комп'ютерах IBM PC у середовищі WINDOWS і застосовується в Інституті проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України під час виконання держбюджетних тем та наукових проектів.

За допомогою розроблених методів розрахунку і програмного забезпечення розв'язано важливе коло прикладних задач моделювання процесів формування і перерозподіляння напружень у відповідальних елементах реакторних установок ВВЕР АЕС. Одержано результати аналізу кінетики напружено-деформованого стану корпусу реактора ВВЕР-1000 і вузла з'єднання колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000, що має важливе практичне значення для обґрунтування міцності та ресурсу безпечної експлуатації обладнання АЕС.

Виконано розрахункове моделювання процесів формування і перерозподіляння залишкових напружень у корпусі реактора для технологічного циклу - антикорозійне наплавлення, нагрівання під термооброблення, відпускання, охолодження до нормальної температури і гідравлічні випробовування на заводі-виробнику.

Для оцінення міцності та обґрунтування опору руйнуванню корпусу реактора ВВЕР-1000 одержано розрахункові значення коефіцієнтів інтенсивності напружень для піднаплавочних кільцевих тріщин різної глибини, розташованих в основному металі в межах активної зони на рівні 4-го зварового шва для випадку моделювання режиму аварійного охолодження реактора.

Одержано результати щодо оцінення рівня залишкових напружень під час аналізу процесу термічного оброблення вузла з'єднання «гарячого» колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000. Моделювався режим термооброблення, що застосовувався під час проведення ремонтно-відновлювальних робіт на Південно-Українській АЕС.

Достовірність результатів базується на використанні основних положень механіки деформівного тіла, коректним застосуванням змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ та багаторазовою перевіркою чисельних процедур, алгоритмів і програмного забезпечення, дослідженнями збіжності чисельних розв'язків у разі варіювання ступеню дискретизації розрахункових зон, узгодженням під час порівняння чисельних розв'язків, які отримані за допомогою розроблених методів розрахунку та програмного забезпечення, з відомими аналітичними та чисельними даними.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень доповідалися на: Республіканському семінарі «Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии динамических физико-механических полей», ІПМ АН України (Київ, 1990); Міжнародній конференції Ресурс-2000 «Оценка и обоснование продления ресурса элементов конструкций», ІПМ НАН України (Київ, 2000); науковому семінарі кафедри механіки Технічного Університету (Брно, Чехія, 2002); науковому семінарі науково-технічного центру Університету Західної Богемії (Плзень, Чехія, 2002); Міжнародній конференції «Vэvoj a aplikace MKP systйmщ pro analэzu stavebnнch konstrukcн», Технічний Університет (Брно, Чехія, 2003); Міжнародних конференціях «Конструкционная прочность материалов и ресурс оборудования АЭС», ІПМ НАН України (Київ, 2003, 2006); Міжнародній конференції «Продление срока эксплуатации энергоблоков АЭС. Оценка технического состояния и управление старением оборудования и кабельных изделий», ІПМ НАН України (Київ, 2007); Українсько-Угорській конференції «Safety-Reliability and Risk of Engineering Plants and Components» (Київ, 2007); VII Міжнародній конференції «Прогресивна техніка і технологія-2006» (Севастополь, 2006); IХ Міжнародній науково-практичній конференції «Прогресивна техніка і технологія-2008» (Київ, 2008). У повному обсязі робота обговорювалась на науковому семінарі відділу чисельних та експериментальних методів дослідження конструкційної міцності Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України (Київ, 2008), на об'єднаному тематичному семінарі «Статична міцність» і «Коливання, хвильові процеси і імпульсне навантаження» Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України (Київ, 2008, керівник семінару - академік НАН України В.В.Матвєєв), на науковому семінарі кафедри Динаміки і міцності машин та опору матеріалів Національного технічного університету України «КПІ» (Київ, 2008, керівник семінару - директор Механіко-машинобудівного Інституту, д.т.н., проф. М.І.Бобир), на засіданні міжкафедрального наукового семінару «Механіка деформівного твердого тіла», кафедри теоретичної та прикладної механіки, опору матеріалів, вищої математики Національного транспортного університету України «НТУ» (Київ, 2008, керівник семінару - д.т.н., проф. О.О.Рассказов), на науковому семінарі відділів методів дискретної оптимізації, математичного моделювання, аналізу складних систем і чисельних методів комп'ютерного моделювання Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Київ, 2008, керівник семінару - академік НАН України В.С.Дейнека), на науковому семінарі Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України (Київ, 2008, керівник семінару - академік НАН України В.Т.Трощенко). Робота отримала позитивну оцінку.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 24 наукових праці. Всі теоретичні та практичні результати дисертації, які виносяться на захист, отримано автором особисто. Матеріали дисертації не містять ідей і розробок авторів, з якими були надруковані спільні наукові праці.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, дев'яти розділів, загальних висновків, списку використаних джерел та додатка. Загальний обсяг роботи - 312 стор., обсяг рисунків, таблиць, списку використаних джерел та додатка - 75 стор. Дисертація містить 56 рисунків, 79 таблиць та 175 найменувань використаних джерел.



Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність і мету роботи, викладено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, наведено відомості про зміст та обсяг роботи.

У першому розділі проаналізовано сучасні методи і моделі, що застосовуються у розрахунках термомеханічного стану елементів конструкцій за термосилового навантажування. Викладено переваги і недоліки класичних схем МСЕ у задачах механіки деформівного тіла і відзначено перспективність використання змішаних формулювань МСЕ.

Результати аналізу узагальнених крайових задач механіки деформівного твердого тіла наведено у роботах Д.Л.Бикова, В.С.Дейнеки, Г.Дюво і Ж-Л.Ліонса, М.А.Колтунова, О.С.Кравчука і В.П.Майбороди, О.І.Кошелєва, О.А.Ладиженської і Н.Н.Уральцевої, В.Г.Літвінова, С.Г.Міхліна, П.П.Мосолова і В.П.Мяснікова, С.Л.Соболєва, Г.Фікери та ін. Ефективні методи розв'язання нелінійних термомеханічних задач запропоновано і вивчено І.А.Біргером, Г.Л.Бровком і В.С.Ленсь-ким, Д.Л.Биковим і В.А.Шачньовим, І.І.Воровичем і Ю.П.Красовським, Б.Є.Победрею, Ю.М.Те-мисом, А.А.Іл'юшиним, С.Е.Уманським та ін.

У даний час найбільш універсальним методом розв'язання крайових задач механіки деформівного тіла є МСЕ. Найбільш дослідженими і широко застосовуваними є класичні схеми МСЕ у переміщеннях, що відображено у великій кількості публікацій закордонних та вітчизняних авторів. Наприклад, роботи Дж.Аргіріса, М.Р.Айронса, І.Бабушкі, К.Бате і Е.Вільсона, Р.Варгі, Р.Галлагера, Ж.Деклу, О.Зенкевича і Р.Тейлора, М.Зламала, Р.Куранта, Ж.-П.Обена, Дж.Одена, Г.Стренга і Дж.Фікса, Ф.Сьярле, А.Є.Бабенко і О.О.Боронко, Д.В.Вайнберга, П.П.Ворошко, П.П.Гонтаровського, О.С.Городецького, О.І.Гуляра, Ю.К.Дем'яновича, Е.Г.Дьяконова, О.Л.Кві-тки, В.Г.Корнєєва, Г.І.Марчука і В.І.Агошкова, І.М.Молчанова, Е.М.Морозова і Г.П.Нікішкова, С.Г.Міхліна, Л.А.Оганесяна і Л.А.Руховца, А.В.Перельмутера і В.І.Слівкера, В.А.Постнова і І.Я.Хархурима, В.Г.Піскунова, О.О.Рассказова, Л.О.Розіна, К.М.Рудакова, О.С.Сахарова, С.Е.Уманського, О.С.Цибенко і М.Г.Крищука, Н.Н.Шаброва, В.В.Шайдурова, Ю.М.Шевченко і В.Г.Савченко та інших.

Початкові передумови для побудови змішаних формулювань МСЕ можуть бути різними. Насьогодні можна виділити загалом три підходи, що мають загальні характерні особливості.

Перший - ґрунтується на використанні варіаційних принципів механіки, згідно яких розв'язання крайової задачі зводиться до знаходження стаціонарного значення деякого функціоналу за відповідними аргументами. Тут насамперед слід відзначити роботи К.Вашицу, Е.Рейснера, Е.Хелінгера, П.П.Ворошко, Л.О.Розіна та ін.

Другий підхід базується на подвійно-основному (змішаному) формулюванню крайової задачі виходячи із принципу подвійності. Застосування техніки теорії подвійності для розв'язування задач теорії пружності відображено у роботах К.Вашицу, Р.Гловинскі, Ж.-Л.Ліонса, Р.Тремольєра, Дж.Одена, Дж.Реді, Ф.Сьярле та ін.

Третій підхід ґрунтується на узагальненому формулюванні крайової задачі та результатах теорії, розробленої Ф.Брезі. За такого підходу розглядається змішане формулювання крайової задачі незалежно від того, одержано воно із задачі про сідлову точку або ні.

Застосування змішаних та гібридних формулювань МСЕ для розв'язування задач теорії пружності і пластичності, алгоритми чисельної реалізації висвітлено у роботах Д.Арнольда, С.Атлурі, Р.Галагера, О.Зенкевича, Т.Піана, Р.Тейлора, П.П.Ворошко, О.І.Гуляра, О.С.Сахарова, В.І.Слів-кера, С.Е.Уманського та ін.

Отже, у результаті аналізу методів розрахунку термомеханічного стану елементів конструкцій, що зазнають впливу термосилового навантаження, можна зробити висновок про актуальність наступних досліджень.

Розроблення і реалізація ефективних наближених методів розв'язування нелінійних термомеханічних задач, що описують неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування у разі моделювання нестаціонарних режимів термосилового навантажування.

Розвиток і реалізація змішаних схем методу скінченних елементів для розв'язування прикладних задач механіки деформівного тіла, в основу яких покладено неперервну апроксимацію полів переміщень, деформацій і напружень за допомогою різного набору базисних функцій.

Побудова змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ для розв'язування крайових задач механіки непружного деформівного тіла у квазістатичному розумінні, а також формулювання простих та зручних для практичного застосування умов, що забезпечують стійкість і збіжність кроково-ітераційних процедур змішаного методу стосовно нелінійних термомеханічних задач.

Розроблення і реалізація програмного забезпечення для розв'язування широкого спектру наукових і прикладних задач, що розглядаються за математичного моделювання технологічних процесів, пов'язаних з термічним обробленням, розрахунку температурних полів і експлуатаційних напружень у тілах складної конструкційної форми з врахуванням непружності та неоднорідності властивостей матеріалу за різних умов теплового і механічного навантажування.

У другому розділі сформульовано змішану проекційно-сіткову схему МСЕ розв'язування крайових задач теорії пружності. Досліджено коректність і збіжність змішаних апроксимацій для деформацій і переміщень. Докладно вивчено властивості проектувальних операторів і на цій основі сформульовано умову, яка забезпечує існування, єдиність і стійкість розв'язання скінченновимірної задачі. Математичне обґрунтування стійкості та збіжності змішаних схем МСЕ базується на результатах теорії узагальнених крайових задач і методах функціонального аналізу.

Розглянемо основні положення змішаної схеми методу скінченних елементів для розв'язування крайових задач теорії пружності.

Відомо, що задача теорії пружності визначається наступною системою рівнянь:

співвідношення Коші:

узагальнений закон Гука:

рівняння рівноваги і статичні межові умови на поверхні тіла у формі варіаційного рівняння Лагранжа:

де - лінійний диференційний оператор, тобто оператор обчислення малих деформацій за визначеними переміщеннями; - лінійний симетричний додатновизначений обмежений оператор, що відповідає матриці модулів пружності матеріалу і встановлює взаємозв'язок між напруженнями, повними та початковими деформаціями; - лінійний функціонал, що асоціюється з роботою поверхневих навантажень і масових сил на можливих переміщеннях.

Рівняння (1)-(3) дозволяють сформулювати узагальнену крайову задачу теорії пружності у переміщеннях:

Застосування рівняння (4) для побудови сіткових схем призводить до класичного формулювання МСЕ у формі методу переміщень. У такому випадку деформації обчислюються диференціюванням наближених переміщень, одержаних із розв'язку задачі в переміщеннях, що є основною причиною погіршення збіжності апроксимації для деформацій і напружень порівняно із обчисленням самих переміщень.

Альтернативний підхід полягає у зміненні узагальненого представлення крайової задачі, за якого деформації є її безпосередніми аргументами, а не визначаються на основі розв'язання задачі у переміщеннях.

Якщо подати крайову задачу системою рівнянь

то одержимо узагальнене представлення крайової задачі теорії пружності відносно переміщень та деформацій. Зазначимо, що рівняння (5) можна одержати на підставі варіаційного принципу стаціонарності функціоналу Хелінгера-Рейснера.

Для формулювання скінченновимірної задачі простори можливих переміщень та деформацій апроксимуємо послідовністю скінченновимірних підпросторів і. Побудова скінченновимірних просторів базується на окремій апроксимації переміщень і деформацій за допомогою різного набору кусково-поліноміальних базисних функцій.

Тоді за аналогією із континуальною задачею (5) сформулюємо скінченновимірну задачу наступним чином. Знайти пару таку, що

Система рівнянь (6) визначає змішане проекційно-сіткове представлення крайової задачі теорії пружності у переміщеннях та деформаціях.

Слід зазначити, що у разі дослідження умов існування, єдності, стійкості та збіжності наближених розв'язків, які одержані на основі змішаного методу, класичні результати аналізу схем МСЕ у переміщеннях непридатні.

У дисертаційній роботі розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових апроксимацій МСЕ стосовно задач теорії пружності та пластичності.

Основні положення розробленої теорії зводяться до наступного:

Необхідно встановити відповідність між полями деформацій та для класичного і змішаного підходів МСЕ;

З цією метою введено лінійний ортогональний проектувальний оператор, за допомогою якого встановлюється взаємно однозначна відповідність. Оператор ставить у відповідність кожному елементу з простору його ортогональну проекцію в.

Для змішаного методу оператор проектування породжує розкладання простору деформацій у пряму суму підпросторів:.

Відзначимо, що визначений таким чином оператор ортогонального проектування відіграє вирішальну роль в аналізі стійкості та збіжності змішаного методу.

Дійсно, з використанням оператора проектування, рівняння змішаного методу (6) можна записати в еквівалентному вигляді

звідки випливає рівняння щодо переміщень:

Тоді за теоремою Лакса-Мільграма одержимо необхідну і достатню умову коректного представлення скінченновимірної задачі (6). Таку умову сформульовано в формі нерівності

Для практичного застосування умову (7) зручно подати у наступному вигляді

Отже, якщо виконується умова (7), тоді розв'язок рівнянь змішаного методу (6) існує і єдиний, а також стійкий щодо вільних варіацій навантаження і початкових деформацій.

Більше того, якщо виконується умова (7), тоді існують такі незалежні від кроку сітки сталі і, за яких справедливі нерівності

оцінки похибок змішаної апроксимації для деформацій і переміщень (9) дозволяють встановити не тільки факт збіжності змішаного методу в задачах теорії пружності, але також вказують на можливість одержання покращеної апроксимації для деформацій порівняно зі звичайною апроксимацією МСЕ.

Таким чином, сформульована умова стійкості, що записана у формі нерівності (7) або (8), відіграє фундаментальну роль в аналізі стійкості та збіжності змішаного методу стосовно задач теорії пружності.

Принципова відмінність змішаних схем МСЕ від традиційних полягає у необхідності побудови таких апроксимувальних функцій, для яких забезпечується виконання умови (7), що гарантує розв'язуваність, збіжність та одержання стійкого розв'язку скінченновимірної задачі за будь-якого кроку сітки. Чисельний аналіз показав, що спроби ігнорування умови стійкості (7) у разі конструювання змішаних апроксимацій призводять до погано обумовлених скінченновимірних задач, розв'язки яких мають нестійкий осцилювальний характер.

Третій розділ присвячений застосуванню змішаних апроксимацій МСЕ до розв'язання двовимірних і осесиметричних задач теорії пружності. Запропоновано спеціальний трикутний скінченний елемент, що забезпечує стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Побудовано систему розв'язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичним межовим умовам на поверхні тіла. Розроблено модифіковані ітераційні алгоритми методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею для розв'язання матричних рівнянь змішаного методу і показано можливість їх ефективної реалізації. Представлено результати числового аналізу збіжності та точності розв'язання модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування. Порівнюються результати, що отримані на основі класичного і змішаного підходів МСЕ.

Для побудови апроксимувальних функцій використаємо трикутні елементи, сукупність яких описує триангуляцію області. Позначимо «1», «2», «3» - локальну нумерацію вершин трикутника, яка утворена проти часової стрілки. Тоді переміщення у межах кожного трикутника визначимо у вигляді лінійних функцій від координат:

де - вузлові значення переміщень у вершинах; - лінійні інтерполяційні функції трикутника.

Позначимо - координати центру ваги трикутника і визначимо таку «внутрішню» функцію, яка дорівнює нулю на всіх сторонах трикутника і задовольняє умові. Таке визначення функції не є однозначним. Однак, деформації та напруження у межах трикутника формально запишемо у вигляді

де і - вузлові значення у вершинах і центрі ваги трикутника. Відзначимо, що функцію можна побудувати за допомогою лінійної комбінації кусково-поліноміальних відтворень і так званої «функції-дзвона», тобто функції виду. Функція-дзвін набирає нульових значень на сторонах трикутника і нагадує форму дзвона усередині трикутника.

Для визначеності, будемо розглядати тільки два типи функцій. Для побудови першого типу використаємо кусково-лінійну інтерполяцію у межах трикутника. Для цього розподілимо трикутник на три трикутники із спільною вершиною у центрі ваги. Тоді у межах кожного з цих трикутників визначимо як лінійну функцію, яка дорівнює нулю на зовнішній стороні трикутника і одиниці у точці. Для побудови другого типу функцій використаємо нормовану функцію-дзвін, тобто. Таким чином, обидва типи функцій визначено коректно.

Розглянемо інтерполяційні властивості апроксимацій (10), (11). Насамперед, переміщення, деформації і напруження неперервні на всій множині, оскільки неперервність лінійних інтерполяційних функцій на будь-якій стороні, яка є спільною для будь-яких трикутників, забезпечено однозначним визначенням цих функцій у вузлах, що розташовані на цій стороні, а функцію визначено таким чином, що вона дорівнює нулю на всіх сторонах трикутника. Крім того, апроксимація (11) задовольняє умовам сталості напружень і деформацій на всій множині і гарантує одержання стійкого розв'язку скінченновимірної задачі для двох типів функцій.

Дійсно, оскільки переміщення лінійні на кожному з трикутників, їх похідні визначаються за допомогою кусково-сталих функцій. Звуження на позначимо як. Якщо покласти, тоді одержимо

де - площина трикутника. Значення які мінімізують кожний доданок у сумі внесків по трикутниках, визначається за формулою

Підставляючи (13) у (12), знаходимо

На підставі (8) і (14) одержимо такі оцінки: - для кусково-лінійного відтворення; - якщо застосовано функцію-дзвін. Такі ж оцінки можна отримати і для осесиметричної задачі. Таким чином, стала однозначно більше нуля, а її оцінка знизу не залежить від кроку сітки. Отже, застосування для апроксимації деформацій і напружень, визначених вище, двох типів функцій забезпечує одержання стійкого і єдиного розв'язку скінченновимірної задачі (6).

Нижче наведено два приклади, які ілюструють збіжність і точність чисельних розв'язків, що одержано на підставі змішаного МСЕ (ЗМСЕ) із застосуванням функції-дзвона. Для побудови трикутної сітки використано рівномірне розбиття типу «хрест». Модуль пружності матеріалу дорівнював одиниці. Результати розрахунків, які одержано на підставі ЗМСЕ, порівняно із відомими аналітичними розв'язками і отриманими із застосуванням класичного МСЕ (КМСЕ). Порівнюючи результати, які одержано за допомогою КМСЕ, використано позначення: КМСЕ-1 - лінійний трикутний елемент, КМСЕ-2 - білінійний чотирикутний елемент, КМСЕ-3 - квадратичний шестивузловий трикутний елемент.

Згин бруса рівномірним навантаженням. Розглядався брус довжиною L = 10 і висотою H = 2 прямокутного поперечного перерізу. Коефіцієнт Пуассона приймали рівним нулю. Бокові торці закріплювались від вертикальних переміщень. Уздовж бруса задавали рівномірно розподілене навантаження q = 1. Під час розв'язання задачі оцінювали точність визначення максимального поздовжнього напруження і прогину в центральному перерізі бруса. Результати розрахунків представлено у табл. 1. Там же наведено дані щодо розбиття уздовж довжини і висоти бруса. Порівняння чисельних розв'язків, які отримано із застосуванням класичного і змішаного підходів МСЕ, свідчать про переваги змішаного методу. Для порівняння результатів, які одержано за допомогою КМСЕ, використано лінійний трикутний елемент. Із даних таблиці випливає, що розв'язок на підставі змішаного методу має суттєво меншу похибку порівняно із класичним методом переміщень. Дійсно, у разі застосування двох елементів уздовж висоти бруса похибка визначення напруження на підставі КМСЕ-1 становить 42%, в той час як змішаний метод дає 2,6%. Похибка визначення прогину на тій самій сітці для класичного методу становить 21%, для змішаного - 1%. У разі збільшення згущення розбиття у два рази змішаний метод дає практично точний розв'язок задачі, в той час як КМСЕ-1 має похибку 18,6% - для напруження і 6% - для прогину.

Триточковий згин бруса із крайовою тріщиною. Розглядалася задача про поперечний згин бруса довжиною L = 4 і висотою H = 1 із симетрично розташованою вертикальною тріщиною a = 0,4, яка виходить на поверхню. Вважали, що брус опирається торцями на дві вертикальні опори, а у центральному перерізі діє поперечна сила P = 1. Зважаючи на симетрію задачі, розглядалась половина бруса. Коефіцієнт Пуассона приймали 0,25. Розрахунки виконували за умови плоского напруженого стану. Оцінювали точність визначення коефіцієнта інтенсивності напружень, для обчислення якого використано асимптотичне розкладення переміщень в околі вершини тріщини. Результати розрахунків представлено у табл. 2. Там же наведено дані про розбиття уздовж висоти бруса і довжини тріщини. Із таблиці випливає, що зі збільшенням згущення розбиття КМСЕ не забезпечує одержання коефіцієнта інтенсивності напружень з потрібною точністю. Похибка КМКЕ-1 перебуває на рівні 12% для усіх розбиттів, тобто із згущенням сітки похибка практично не зменшується. Змішаний метод збігається зі збільшенням згущення розбиття і дає близькі до аналітичних формул результати на достатньо рідких сітках.

У четвертому розділі розглянено варіаційні представлення і застосування змішаних апроксимацій МСЕ до розв'язку задач механіки про власні коливання пружних тіл. Для розв'язання узагальненої спектральної задачі запропоновано три форми змішаних варіаційних формулювань МСЕ. Досліджено коректність узагальнених представлень скінченновимірних задач про спектр у змішаній формі і сформульовано умови, що забезпечують стійкість змішаних апроксимацій для переміщень, деформацій і напружень. Побудовано матричні рівняння змішаного методу, для розв'язання яких запропоновано модифікований ітераційний алгоритм методу найшвидшого спуску із переобумовлюваною матрицею. Представлено результати розрахунку власних частот коливань прямого та кругового бруса, що отримані після розв'язання задачі в двовимірному представленні на основі класичного і змішаного підходів МСЕ.

Відомо, що задачу визначення власних частот и форм вільних коливань можна подати у вигляді

Рівняння (15) визначає узагальнене представлення задачі про власні коливання пружних тіл, сформульоване у переміщеннях.

Використання рівняння (15) для побудови сіткових схем призводить до класичного формулювання МСЕ у формі методу переміщень. Альтернативний підхід полягає у зміненні узагальненого представлення спектральної задачі (15) таким чином, щоб деформації та напруження були її безпосередніми аргументами.

У дисертаційній роботі запропоновано альтернативні варіаційні представлення задачі про власні коливання, в яких напруження і деформації входять у розв'язувальні рівняння поряд з переміщеннями як рівноправні невідомі.

Якщо подати спектральну задачу системою рівнянь

отримаємо узагальнене представлення задачі про власні коливання пружних тіл відносно переміщень, деформацій та напружень.

Якщо позбутися першого рівняння системи (16) для деформацій, приходимо до узагальненого представлення спектральної задачі про власні коливання відносно перемещень та напружень:

Якщо позбутися другого рівняння (16) для напружень, то одержимо узагальнене представлення задачі про власні коливання відносно перемещень та деформацій:

Відзначимо, що рівняння (16)-(18) можна одержати на основі варіаційних принципів стаціонарності відповідних функціоналів. Такі варіаційні функціонали побудовано у роботі. У теорії вільних коливань вони відіграють таку ж роль, як варіаційні функціонали Ху-Вашицу та Хелінгера-Рейснера у теорії пружності, але на відміну від останніх варіаційні функціонали у теорії коливань мають складнішу структуру.

На підставі рівнянь (16)-(18) отримуємо три форми змішаних варіаційних формулювань МСЕ для задачі про власні коливання пружних тіл.

Форма переміщення-деформації-напруження. Простір можливих переміщень-деформацій-напружень апроксимується скінченновимірним підпростором.

Тоді за аналогією із континуальною задачею (16) сформулюємо скінченновимірну задачу наступним чином.

Знайти четвірки такі, що

Форма переміщення-напруження. Якщо сімь'я апроксимуючих просторів переміщень-напружень задовольняє включенню, то за аналогією із рівняннями (17) визначимо скінченновимірну задачу наступним чином.

Знайти трійки такі, що

Форма переміщення-деформації. Простір можливих переміщень-деформацій апроксимується скінченновимірним підпростором. Тоді за аналогією із рівняннями (18) сформулюємо скінченновимірну задачу наступним чином.

Знайти трійки такі, що

Досліджено коректність узагальнених представлень скінченновимірних задач про спектр у змішаній формі (19)-(21) і сформульовано умови, що забезпечують розв'язуванність рівнянь і стійкість розв'язків змішаного методу.

Щодо точності визначення власних значень, які отримано на підставі змішаного методу, то згідно з принципом мінімакса Куранта-Фішера вони не перевищують власних значень, які отримано із розв'язку задачі у переміщеннях з використанням класичного МСЕ. Інакше кажучи, якщо та - є n-і в порядку збільшення додатні власні значення спектральних задач, які сформульовано за допомогою класичного та змішаного підходів МСЕ, то із застосуванням мінімаксного принципу Куранта-Фишера отримуємо для всіх n.

Щоб продемонструвати ефективність змішаного методу наведемо результати розв'язання задачі про вільні коливання брусу із защемленим торцем. Визначено перші чотири власні частоти поперечних коливань брусу прямокутного перерізу із співвідношенням висоти до довжини H / L = 2 / 20. Співставляючи результати, використано формулу

де - модуль Юнга, - густина одиниці довжини; - момент інерції перерізу бруса. Коефіцієнт Пуассона дорівнював нулю. У побудові трикутної сітки використано рівномірне розбиття типу «хрест». Під час співставлення результатів, що отримані за допомогою класичного МСЕ (КМСЕ), застосовано лінійний трикутний елемент. Результати розрахунків співставлено розв'язком, який отримано за допомогою КМСЕ на густій сітці, для якої розв'язки СМСЕ та КМСЕ співпадали або були близькими. Результати розрахунків представлено у табл. 3, 4. Там же наведено дані про розбиття вздовж довжини та висоти бруса. З таблиці 4 випливає, що за допомогою СМСЕ отримано точніші значення частот, ніж за допомогою КМСЕ для всіх розбиттів. Дійсно, у разі використання одного елемента уздовж висоти бруса похибка визначення основної частоти методом переміщень становить 41%, для змішаного методу вона перебуває на рівні 10%. Після згущення сітки вдвічі класичний метод дає похибку 12%, в той час як змішаний метод - менш 1%.

У п'ятому розділі для розв'язку задач про згин, коливання і стійкість пластинчастих конструкцій побудовано новий гібридний трикутний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. Задачі розглянуто у рамках відомих положень класичної теорії про згин тонких пластин.

Найбільш придатним для практичного застосування є використання простих трикутних елементів, але побудова апроксимувальних функцій у такому випадку призводить до суттєвих труднощів математичного і обчислювального характеру.

Для практичного застосування одним із можливих і поширених розв'язків задачі про згин є неузгоджений трикутник Зенкевича. У такому випадку для апроксимації прогину в межах трикутника використовують неповний кубічний поліном

На підставі (22) одержимо вирази для кутів поворотів пластини

Апроксимація (22) забезпечує неперервність прогину для всієї пластини і неперервність кутів поворотів тільки у вузлах сітки. На сторонах трикутників функції, що апроксимують кути поворотів, змінюються за квадратичним законом, і, як наслідок, порушуються умови неперервності кута нахилу на межах між трикутниками. У загальному випадку апроксимація (22) дозволяє одержати розв'язок, який збігається не до точного, а до іншого, що відрізняється від нього у межах деякої похибки. Розмір похибки залежить від способу розбиття пластини на трикутники і у випадку застосуванні розбиття типу «хрест» та нерівномірних сіток суттєво впливає на обчислення кривизни пластини та згинальних моментів.

У дисертаційній роботі для розв'язання задач про згин, коливання і стійкість пластин побудовано гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. Запропоновано змішану апроксимацію для прогину та кутів повороту пластини. Для апроксимації прогину використано співвідношення (22), а вирази для кутів поворотів (23) модифіковано наступним чином

Додаткові коефіцієнти и визначено так, щоб забезпечити лінійний закон змінення нормальної похідної на сторонах трикутників і разом із тим забезпечити неперервність кута нахилу на межах між трикутниками.

Встановлено, що зі зменшенням розмірів трикутників наближений розв'язок, який одержано на підставі змішаної апроксимації (22) і (23), збігається до точного розв'язку задачі.

Представлено результати чисельного аналізу збіжності та точності розв'язання модельних задач про згин, вільні коливання і стійкість квадратної пластини. Застосовано два варіанти розбиття пластини на трикутники: перший - відповідає розподілу квадрата на два рівних трикутника (рівномірна трикутна сітка); другий - на чотири (сітка типу «хрест»).

Результати розрахунків вільно опертої квадратної пластини, яка перебуває під впливом рівномірно розподіленого навантаження, у випадку застосування сітки типу «хрест» наведено у табл. 5. Оцінювали точність визначення згинальних моментів і прогину в центрі пластини. Коефіцієнт Пуассона приймали рівним 0,3. Дані розрахунків співставляли із відомим аналітичним розв'язком, а також результатами, що одержані на основі класичного методу скінченних елементів (КМСЕ) із застосуванням трикутника Зенкевича і змішаного методу (ЗМСЕ). Порівняння чисельних результатів з аналітичним розв'язком здійснювалось згідно з формулами:

Основний висновок розділу полягає у наступному. У випадку застосування рівномірної сітки трикутник Зенкевича та змішана апроксимація призводять до близьких результатів, які зі збільшенням згущення розбиття збігаються до точного розв'язку задачі. В той же час для нерівномірних сіток і розбиттів типу «хрест» трикутник Зенкевича дає прийнятні результати тільки для прогину і не гарантує збіжність чисельних розв'язків для згинальних моментів. Розв'язки для згинальних моментів, які одержано на підставі трикутника Зенкевича, мають осцилювальний характер. Змішана апроксимація зі зменшенням розмірів трикутників забезпечує збіжність, як прогину пластини, так і згинальних моментів, точність обчислення яких практично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи. У задачах про власні коливання і стійкість пластини змішана апроксимація дає точніші значення власних частот та рівнів критичного навантаження порівняно із трикутником Зенкевича.

Шостий розділ присвячено аналізу крайових задач теорії малих пружно-пластичних деформацій та наближеним методам їх розв'язку. Розглянуто варіанти деформаційної теорії пластичності, що враховує вплив гідростатичного напруження і виду девіатора напружень на механічні властивості середовища для випадку пропорційного навантаження. Слід зазначити, що розроблення наближених методів розв'язання пружно-пластичних задач потребує достатньо чіткої інформації про умови існування і властивості точних розв'язків розгляненої проблеми. Загальновідомо, що крайову задачу поставлено коректно, якщо доведено існування та єдиність її розв'язку у визначеному класі функцій, встановлена стійкість розв'язку щодо малих збурень початкових даних і його безперервна залежність від зовнішніх впливів. Тому особливу увагу в розділі зосереджено на узагальненому представленню та математичному дослідженню умов розв'язуваності нелінійної крайової задачі, що відповідає застосованій моделі деформування. Визначено умови, що забезпечують існування, єдиність та безперервну залежність узагальненого розв'язку від навантаження. Одержані результати покладено в основу побудови наближених розв'язків. Сформульовано змішану проекційно-сіткову схему МСЕ розв'язання нелінійних крайових задач теорії малих пружно-пластичних деформацій. Доведено збіжність і стійкість змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Запропоновано і реалізовано тришаровий ітераційний алгоритм розв'язання нелінійних рівнянь змішаного методу. Математичне обґрунтування збіжності і точності змішаних апроксимацій МСЕ доповнено чисельним аналізом, результати якого підтверджують ефективність розроблених алгоритмів.

...