Розвиток та реалізація змішаного методу скінченних елементів у задачах міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій

Розглянемо основні положення змішаної схеми методу скінченних елементів для розв'язання задач деформаційної теорії пластичності.

Відомо, що узагальнену крайову задачу теорії малих пружно-пластичних деформацій можна сформулювати у вигляді нелінійного рівняння щодо переміщень

де - нелінійний оператор теорії пластичності, що визначається відображанням:

Застосування рівняння (24) для побудови сіткових схем призводить до класичного формулювання МСЕ у формі методу переміщень. За такого підходу деформації обчислюють диференціюванням наближених переміщень, визначених із розв'язку задачі у переміщеннях, що є основною причиною погіршення збіжності апроксимації для деформацій і напружень порівняно з такою для переміщень.

Альтернативний підхід полягає у зміненні узагальненого представлення крайової задачі таким чином, щоб деформації і напруження були її безпосередніми аргументами, а не визначались на основі розв'язання задачі у переміщеннях.

Якщо подати крайову задачу системою рівнянь

то одержимо узагальнене представлення крайової задачі деформаційної теорії пластичності щодо переміщень, деформацій та напружень.

Побудова проекційно-сіткової схеми базується на дискретизації континуальної задачі, що описується системою нелінійних рівнянь (25). Простір можливих переміщень-деформацій-напружень апроксимується послідовністю скінченновимірних підпросторів.

Тоді за аналогією із рівняннями (25) сформулюємо скінченновимірну задачу наступним чином. Знайти трійку, таку що

Система нелінійних рівнянь (26) визначає змішане проекційно-сіткове представлення крайової задачі теорії пластичності щодо переміщень-деформацій-напружень.

Із використанням оператора ортогонального проектування, систему розв'язувальних рівнянь змішаного методу (26) можна записати в еквівалентному вигляді

звідки випливає нелінійне операторне рівняння щодо переміщень:

де - нелінійний оператор, що визначається за допомогою відображення

Доведено, що у разі виконання умови

нелінійний оператор має властивості сильної монотонності та ліпшиць-неперервності, звідки безпосередньо випливає, що розв'язок рівнянь змішаного методу (26) існує та єдиний, а також безперервно залежить від навантаження.

Більше того, якщо виконується умова стійкості (27), то існують такі незалежні від кроку сітки сталі, за яких справедливі нерівності

Одержані апріорні оцінки похибок змішаної апроксимації для деформацій і напружень (28) дозволяють встановити не тільки факт збіжності змішаного методу в задачах теорії пластичності, але також вказують на можливість одержання покращеної апроксимації для деформацій-напружень порівняно зі звичайною апроксимацією МСЕ.

У наведених нижче модельних задачах використано безрозмірні значення. Наприклад, модуль пружності матеріалу дорівнював одиниці. Для діаграми розтягування визначено модель ідеально пружно-пластичного матеріалу. Результати розрахунків співставлено із відомими аналітичними розв'язками для нестисненного матеріалу і чисельними розв'язками, які отримані на підставі класичного МСЕ (КМСЕ). Нижче наведено два приклади, що ілюструють збіжність і точність чисельних розв'язків, які одержано на підставі ЗМСЕ із застосуванням функції-дзвона і кусково-лінійної інтерполяції деформацій і напружень відповідно для плоскої та осесиметричної задачі. Для порівняння результатів, які одержано за допомогою КМСЕ, застосовано наступні позначення: КМСЕ-1 - лінійний трикутний елемент, КМСЕ-2 - білінійний чотирикутний елемент, КМСЕ-3 - квадратичний шестивузловий трикутний елемент, КМСЕ-4 - квадратичний восьмивузловий чотирикутний елемент.

Товстостінний порожній циліндр під впливом внутрішнього тиску. Розглядався порожній циліндр з відношенням радіусів Ѕ під впливом внутрішнього тиску q = 1. Розрахунки виконувались для чверті поперечного перерізу циліндра за умови плоского деформівного стану. Межа текучості матеріалу за одноосного розтягу становила 1,5. Коефіцієнт Пуассона дорівнював 0,492. Оцінювали точність визначення колового і осьового напруження на внутрішній поверхні циліндра. Результати розрахунків представлено у табл. 6-9, де наведено розбиття уздовж кута і радіуса циліндра. Порівняння чисельних розв'язків, які одержано із застосуванням класичного і змішаного підходів МСЕ, однозначно свідчать про переваги змішаного методу.

Товстостінна сферична оболонка під впливом внутрішнього тиску. Задачу розв'язано в осесиметричному представленні з відношенням радіусів Ѕ і внутрішнім тиском q = 1. Зважаючи на симетрію задачі, розглянуто чверть меридіонального перерізу сфери. Межа текучості матеріалу за одноосного розтягу становила 0,8. Коефіцієнт Пуассона дорівнював 0,494. Оцінювали точність обчислення колового напруження на внутрішній поверхні сфери. Порівняльні результати розрахунків представлено у табл. 10, 11. Там же наведено розбиття уздовж кута і товщини оболонки. Із даних таблиць випливає, що для усіх розбиттів змішаний метод дає точніші апроксимації як напружень, так і переміщень порівняно із класичним МСЕ.

У сьомому розділі розглянено теорію і змішану схему МСЕ розв'язку крайової задачі термопластичності у квазістатичному представленні, коли процес неізотермічного пружно-пластичного деформування тіла є послідовністю рівноважних станів. У цьому випадку напружено-деформовний стан залежить від історії навантажування, і процес непружного деформування повинен простежуватися на всьому досліджуваному інтервалі часу.

Основні положення феноменологічної моделі базуються на рівняннях пластичного плину Прандля-Рейса і умові текучості Мізеса. Представлено результати аналізу крайової задачі термопластичності, що описує неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування. У такому випадку узагальнену крайову задачу можна представити системою нелінійних рівнянь:

де - лінійний диференційний оператор обчислення малих деформацій за визначеними переміщеннями; - нелінійний оператор, що зв'язує напруження з деформаційною та тепловою історією; - лінійний функціонал, що асоціюється з роботою поверхневих навантажень і масових сил на можливих переміщеннях.

На основі рівнянь (29) отримаємо нелінійне рівняння термопластичності щодо переміщень

де - нелінійний оператор, що визначається відображенням:

У роботі доведено, що якщо миттєва термомеханічна поверхня випукла, то нелінійний оператор термопластичності (30) має властивості сильної монотонності і ліпшиць-неперервності, звідки випливає, що розв'язок крайової задачі (29) існує і єдиний.

За аналогією із континуальною задачею (29) сформулюємо скінченновимірну задачу наступним чином. Знайти трійку таку, що

Система нелінійних рівнянь (31) визначає змішане проекційно-сіткове представлення крайової задачі термопластичності щодо переміщень-деформацій-напружень.

Сформулюємо основні результати аналізу стійкості та збіжності змішаного методу в задачах термопластичності. Із використанням оператора проектування, систему розв'язувальних рівнянь змішаного методу (29) представимо у вигляді нелінійного операторного рівняння щодо переміщень:

де - нелінійний оператор, що визначається відображенням

Доведено, що у разі виконання умови стійкості (27) нелінійний оператор (32) має властивості сильної монотонності і ліпшиць-неперервності, звідки випливає, що розв'язок рівнянь змішаного методу (31) існує і єдиний, а також безперервно залежить від навантаження і початкових деформацій.

Більше того, якщо виконується умова стійкості (27), то існують такі незалежні від кроку сітки сталі, за яких справедливі нерівності

Одержані апріорні оцінки похибок змішаної апроксимації для деформацій і напружень (33) дозволяють встановити не тільки факт збіжності змішаного методу в задачах термопластичності, а також вказують на можливість одержання покращеної апроксимації для деформацій і напружень порівняно зі звичайною апроксимацією МСЕ.

Якщо початкові пластичні деформації для поточного етапу навантажування визначити на основі розв'язування пружно-пластичної задачі для попередніх етапів навантажування, отримуємо оцінки сумарної похибки для деформацій і напружень наприкінці етапу навантажування. Одержані нерівності дозволяють встановити збіжність змішаного методу для квазістатичних задач термопластичності, що описують неізотермічні процеси пружно-пластичного деформування з урахуванням початкових деформацій, які залежать від історії деформування і нагрівання. Згідно з отриманими оцінками точність розв'язування скінченновимірної задачі (29) для початкових станів навантажування повинна бути достатньою, щоб не допустити впливу зростання перших коефіцієнтів у розкладі сумарної похибки на точність розв'язування пружно-пластичної задачі на наступних етапах навантажування.

У восьмому розділі розроблено модифіковані ітераційні алгоритми методу спряжених градієнтів для розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що виникають під час чисельної реалізації класичних і змішаних схем МСЕ. Для розв'язання лінійних систем рівнянь МСЕ високого порядку із симетричною та додатно визначеною матрицею запропоновано модифікований ітераційний алгоритм методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, яку побудовано за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість дворазового прискорення обчислювального алгоритму. Наведено чисельні результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу під час розв'язання двовимірних модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої релаксації. Для розв'язання систем лінійних рівнянь, породжуваних МСЕ у задачі про згин пластини, розроблено комбінований ітераційний алгоритм на основі методів облямування та спряжених градієнтів. Представлені результати розрахунків свідчать про ефективність і переваги запропонованих ітераційних алгоритмів порівняно з класичним методом спряжених градієнтів. Суттєве прискорення ітераційних процесів виявляється у випадку збільшення згущення сітки у задачах на згин і концентрацію напружень.

Дев'ятий розділ присвячений застосуванню розроблених методів розрахунку і програмного забезпечення для розв'язування важливих практичних задач, пов'язаних із моделюванням процесів формування і перерозподілу напружень у відповідальних елементах реакторних установок ВВЕР АЕС. Представлено результати аналізу кінетики напружено-деформованого стану (НДС) корпусу реактора ВВЕР-1000 і вузла з'єднання колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000, які зазнають впливу нестаціонарних режимів термомеханічного навантажування. Чисельний аналіз базується на результатах розв'язання крайових задач неізотермічної термопружно-пластичності в осесиметричному представленні на основі змішаної схеми МСЕ.

Корпус реактора ВВЕР-1000. Виконано розрахункове моделювання процесів формування і перерозподіляння залишкових напружень у корпусі реактора для технологічного циклу - антикорозійне наплавлення, нагрівання під термооброблення, витримування за температури відпуску, охолодження до нормальної температури і гідравлічні випробовування (ГВ) на заводі-виробнику.

Моделюючи історію навантаження, робили наступні припущення:

початкові напруження у корпусі реактора за температури 20єС дорівнюють нулю;

залишкові напруження і деформації після наплавлення визначаються у результаті розв'язування наступної задачі:

початкова температура наплавини і основного металу корпусу реактора становлять 1000єС і 20єС відповідно;

розв'язування нестаціонарної неізотермічної термопружно-пластичної задачі про охолодження корпусу реактора здійснюється до нормальної температури 20єС;

процес відпускання моделюється за допомогою розв'язування трьох ізотермічних термопружно-пластичних задач з урахуванням залишкових пластичних деформацій, що виникають у корпусі реактора після процесу наплавлення:

рівномірне нагрівання корпусу до температури високого відпуску 670єС;

витримування тривалістю 100 г за температури відпуску 670єС та врахування релаксації напружень;

охолодження корпусу реактора від температури 670єС до нормальної температури 20єС;

моделювання режиму гідравлічних випробовувань, виконаних на заводі-виробнику, з урахуванням залишкових пластичних деформацій після відпуску:

рівномірне нагрівання корпусу реактора до температури 80єС;

внутрішній тиск у камері p = 25 МПа;

моделювання режиму нормальних умов експлуатації (НУЕ) з урахуванням залишкових пластичних деформацій після гідравлічних випробувань:

рівномірне нагрівання корпусу до температури 290єС;

внутрішній тиск у камері p = 16 МПа;

моделювання режиму аварійного охолодження активної зони реактора з урахуванням історії навантажування і залишкових пластичних деформацій після режиму НУЕ.

Під час моделювання режиму охолоджування активної зони реактора розв'язано задачу неізотермічної термопластичності з врахуванням поетапного простежування процесу охолоджування. Весь процес режиму охолоджування розподілявся на часові етапи, що визначались моментами часу 80, 250, 600, 800, 1000, 1200, 1400, 2000, 2500, 3000, 3500 и 4000 с. Встановлено, що збільшення кількості часових етапів у два рази не призводе до суттєвої зміни чисельних результатів.

Розрахунок НДС на кожному наступному етапі навантаження проведено з урахуванням НДС на попередньому етапі. Як початкову інформацію для розв'язання неізотермічної пружно-пластичної задачі використано поля температур, тиск у відпускній камері та залишкові пластичні деформації, що одержані в результаті розв'язання пружно-пластичної задачі на попередньому часовому етапі.

Для оцінення міцності та обґрунтування опору руйнуванню корпусу реактора ВВЕР-1000 одержано розрахункові значення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) для піднаплавочних кільцевих тріщин глибиною 11, 15 і 18 мм, розташованих в основному металі в межах активної зони на рівні 4-го зварового шва під час моделювання режиму аварійного охолодження реактора.

Розглянуто три варіанти розв'язання задачі:

пружний розрахунок корпусу з піднаплавочною кільцевою тріщиною;

пружно-пластичний розрахунок з урахуванням історії навантажування;

пружно-пластичний розрахунок з урахуванням технологічного циклу формування залишкових напружень, ГВ, НУЕ та історії навантажування на етапах режиму аварійного охолоджування.

Для визначення розрахункових значень КІН застосовано чисельну методику, що базується на обчисленні потоку енергії G у вершину тріщини під час її просування на величину. Потік енергії G у вершину тріщини під час її просування може бути обчислений як робота, що необхідна для «закриття» тріщини:

де - осьове напруження в елементі матеріалу перед вершиною тріщини; - відносне переміщення берегів; - розкриття у вершині тріщини.

Для обчислення інтегралу G застосовано модель пропорційного зменшення напружень від величини до нуля під час просування тріщини на величину. Кінцевий результат обчислення G залежить від окремих деталей процесу просування тріщини, але у даній моделі їх не враховано. На підставі вищезгаданих міркувань одержуємо

Зазначимо, що у розрахунках МСЕ напруження визначається у «подвійному» вузлі сітки перед вершиною тріщини; розкриття обчислюється в найбільш наближеному до вершини вузлі сітки, розташованому на березі тріщини.

У розрахунках було використано рівномірну трикутну сітка типу «хрест» в околі вершини піднаплавочної тріщини. Для одержання надійних і стійких чисельних значень і розрахунки виконувались на послідовності згущених сіток. Розмір кроку сітки в околі вершини тріщини приймали 160, 80, 40, 20, 10, 5, 2, 1 мкм. Встановлено, що для сіток з розміром кроку 1 і 2 мкм розрахункові значення параметрів , , і виявляються достатньо близькими. Виходячи з цього, усі наступні розрахунки виконано для сіток, в яких розмір кроку в околі вершини тріщини дорівнював 1 мкм.

Аналіз одержаних результатів свідчить, що максимальні значення КІН відповідають варіанту розрахунку, в якому враховано технологічний цикл формування залишкових напружень та історію пружно-пластичного деформування під час аварійного охолодження реактора. Пружно-пластичний розрахунок призводить до зростання значень КІН на 25-30% порівняно з пружним розрахунком, тобто лінійна механіка руйнування дає оцінку можливого навантаження не у запас міцності. Розв'язок задачі у пружно-пластичному представленні з урахуванням залишкових напружень, обумовлених наплавленням, відпусканням і ГВ, призводить до додаткового зростання значень КІН на 10-15%. Таким чином, ігнорування у розрахунках КІН полів залишкових напружень може призвести у разі оцінення міцності та ресурса служби корпусу до помилок у небезпечний бік.

Парогенератор ПГВ-1000. Для зниження рівня залишкових напружень, обумовлених зварюванням під час виконання ремонтно-відновлювальних робіт вузла з'єднання колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000, застосовують операцію термооброблення, яка полягає в локальному нагріванні, витримуванні за підвищеної температури та наступному охолодженні. Процес формування залишкових напружень відбувається у широкому температурному інтервалі та супроводжується розвитком непружних деформацій, в результаті чого спостерігається неоднорідність властивостей матеріалу. Таким чином, моделювання кінетики формування залишкових напружень пов'язане з розв'язанням термомеханічних задач, характерною особливістю яких є суттєва нелінійність, нестаціонарність та неоднорідність властивостей матеріалу. У роботі наведено результати розрахункових досліджень кінетики НДС вузла з'єднання «гарячого» колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000 під час моделювання термооброблення за режимом високого відпуску. Одержано результати щодо оцінення рівня залишкових напружень у випадку аналізу процесу термічного оброблення вузла з'єднання «гарячого» колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000. Моделювався режим термооброблення, що застосовувався під час проведення ремонтно-відновлювальних робіт на Південно-Українській АЕС: нагрівання зовнішньої поверхні патрубка ПГ до температури 650єС і внутрішньої поверхні колектора до 550єС у місцях встановлення нагрівальних елементів за час 32400 с, витримування за максимальних температур протягом 28800 с, зниження температур на поверхні патрубка до 200єC і колектора до 100єC за час 32400 с, з наступним охолодженням на «спокійному повітрі» до температури 20єС.

Одержано розподіл напружень уздовж товщини стінки патрубка ПГ на рівні зварового шва, розташованого на відстані 20 мм від дна «кишені», а також на поверхні «кишені» у зоні галтельного переходу. Наприкінці режиму нагрівання (32400 с) осьові та колові напруження на внутрішній поверхні патрубка є стисковими і досягають значень 276 і 203 МПа відповідно. На зовнішній поверхні осьові напруження розтягувальні та дорівнюють 170 МПа, колові напруження стискові і досягають величини 117 МПа. Наприкінці режиму витримування (61200 с) відбувається перерозподіл і вирівнювання напружень уздовж товщини стінки патрубка, але характер їх розподілу залишається незмінним. Осьові та колові напруження на внутрішній поверхні патрубка стискові і перебувають на рівні 127 і 93 МПа відповідно. На зовнішній поверхні осьові напруження розтягувальні і досягають значень 96 МПа, колові напруження стискові і дорівнюють 27 МПа. В результаті повного охолодження (180000 с) має місце суттєвий перерозподіл напружень. Залишкові осьові та колові напруження на внутрішній поверхні патрубка розтягувальні і перебувають на рівні 200 і 130 МПа відповідно. На зовнішній поверхні осьові напруження стискові і дорівнюють 110 МПа, колові напруження розтягувальні і дорівнюють 108 МПа. Аналіз одержаних результатів розрахунків свідчить, що залишкові напруження призводять до значного зростання напруженості вузла з'єднання колектора з корпусом ПГ.

Основні результати та висновки

1. Розвинуто загальну теорію змішаних схем МСЕ у задачах міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій. Із застосуванням апарату функціонального аналізу досліджено коректність змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість та збіжність змішаних апроксимацій МСЕ для напружень, деформацій і переміщень. Одержано ряд важливих доведень і оцінок збіжності змішаних схем МСЕ для задач теорії пружності і пластичності. Встановлено, що змішаний метод призводить до більш точних розподілів напружень і деформацій порівняно із класичним формулюванням МСЕ. Математичне обґрунтування збіжності і точності змішаних апроксимацій МСЕ доповнено чисельним аналізом, результати якого підтверджують ефективність розроблених алгоритмів.

2. Для розв'язання двовимірних і осесиметричних задач теорії пружності і пластичності побудовано спеціальний трикутний скінченний елемент, що забезпечує стійкість та збіжність змішаної апроксимації для напружень, деформацій і переміщень. Отримано розв'язувальні рівняння змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичним межовим умовам на поверхні тіла, для розв'язання яких запропоновано економічні та стійкі ітераційні алгоритми: модифікований ітераційний алгоритм методу спряжених градієнтів для розв'язання задач теорії пружності; тришаровий ітераційний алгоритм розв'язання нелінійних рівнянь теорії пластичності.

3. Розроблено і реалізовано обчислювальні алгоритми змішаного методу для розв'язання задач механіки про власні коливання пружних тіл. Сформульовано альтернативні варіаційні представлення задачі про вільні коливання, в яких напруження і деформації входять у розв'язувальні рівняння поряд з переміщеннями як рівноправні невідомі. Для розв'язання узагальненої спектральної задачі про власні коливання запропоновано три форми змішаних варіаційних формулювань МСЕ. Досліджено коректність узагальнених представлень скінченновимірних задач про спектр у змішаній формі і сформульовано умови, що забезпечують стійкість змішаних апроксимацій для переміщень, деформацій і напружень. Побудовано матричні рівняння змішаного методу, для розв'язання яких запропоновано і реалізовано модифікований ітераційний алгоритм методу найшвидшого спуску.

4. Побудовано новий гібридний трикутний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича для розв'язання задач про згин, коливання і стійкість пластинчасто-оболонкових конструкцій. Запропоновано змішану апроксимацію для прогину та кутів повороту пластини. Встановлено, що зі зменшенням розмірів трикутників змішана апроксимація забезпечує збіжність, як прогину пластини, так і згинальних моментів, точність обчислення яких практично не залежить від способу розбиття пластини на трикутні елементи. У задачах про власні коливання і стійкість пластин змішана апроксимація дає точніші значення власних частот та рівнів критичного навантаження порівняно із класичним трикутником Зенкевича.

5. Розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ для розв'язування крайових задач механіки непружного деформівного тіла в квазістатичному представленні. Сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність кроково-ітераційних процедур змішаного методу стосовно нелінійних задач термомеханіки. Запропоновано і реалізовано тришаровий ітераційний алгоритм розв'язання нелінійних рівнянь змішаного методу в задачах неізотермічної термопластичності.

6. Розроблено і реалізовано модифіковані ітераційні алгоритми методу спряжених градієнтів для розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що виникають під час чисельної реалізації класичних і змішаних схем МСЕ. Для розв'язування лінійних систем рівнянь МСЕ високого порядку із розрідженою симетричною та додатно визначеною матрицею запропоновано модифікований ітераційний алгоритм методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Доведено можливість дворазового прискорення обчислювального алгоритму. Результати розв'язання модельних і прикладних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування дозволяють зробити висновок про переваги модифікованого алгоритму порівняно з класичним методом спряжених градієнтів.

7. Запропоновано і реалізовано комбінований ітераційний алгоритм на основі методів облямування та спряжених градієнтів для розв'язання систем лінійних рівнянь, що випливають із МСЕ у задачі про згин пластини. Результати чисельного аналізу свідчать про ефективність розробленого алгоритму порівняно з класичним методом спряжених градієнтів. Суттєва ефективність комбінованого ітераційного процесу виявляється під час розв'язання задач на згин пластин, витягнутої конфігурації, а також при збільшенні згущення сітки скінченних елементів.

8. Розроблено і реалізовано ефективні обчислювальні алгоритми для дослідження напружено-деформованого стану елементів конструкцій, які зазнають впливу нестаціонарних режимів термосилового навантаження. Запропоновані методи і алгоритми МСЕ дозволили створити ефективний обчислювальний алгоритм, реалізований у вигляді програмного продукту RELAX для розрахунків міцності, коливань і стійкості елементів конструкцій. Розроблено і реалізовано ефективний комплекс наближених методів розрахунку температурних полів, напружень і деформацій у тілах складної конструкційної форми з врахуванням непружності та неоднорідності властивостей матеріалу за різних умов теплового і механічного навантажування, а також для розв'язання широкого кола прикладних задач, що розглядаються під час математичного моделювання технологічних процесів, пов'язаних з термічним обробленням. Розроблене програмне забезпечення функціонує на сучасних персональних комп'ютерах IBM PC у середовищі WINDOWS і застосовується в Інституті проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України під час виконання держбюджетних тем та науково-дослідних робіт.

9. За допомогою розроблених методів розрахунку і програмного забезпечення RELAX розв'язано важливе коло прикладних задач, пов'язаних із моделюванням процесів формування і перерозподіляння напружень у відповідальних елементах реакторних установок ВВЕР АЕС. Представлено результати аналізу кінетики напружено-деформованого стану корпусу реактора ВВЕР-1000 і вузла з'єднання колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000. Виконано розрахункове моделювання процесів формування і перерозподіляння залишкових напружень у корпусі реактора ВВЕР-1000 для технологічного циклу - антикорозійне наплавлення, нагрівання під термооброблення, витримування за температури високого відпуску, охолодження до нормальної температури і гідравлічні випробовування на заводі-виробнику. Наведено результати розрахункових досліджень кінетики напружено-деформованого стану і коефіцієнтів інтенсивності напружень для піднаплавочних кільцевих тріщин різної глибини, розташованих в основному металі корпусу в межах активної зони на рівні 4-го зварового шва під час моделювання режиму аварійного охолодження реактора. Одержано результати щодо оцінення рівня залишкових напружень під час аналізу процесу термічного оброблення вузла з'єднання «гарячого» колектора з корпусом парогенератора ПГВ-1000. Моделювався режим термооброблення, що застосовувався під час проведення ремонтно-відновлювальних робіт на Південно-Українській АЕС.

Список основних робіт за темою дисертації

1. Чирков А.Ю. Смешанная схема метода конечных элементов для решения краевых задач теории упругости и малых упругопластических деформаций / А.Ю.Чирков. - К.: Изд-во Ин-та пробл. прочности, 2003. - 250 с.

2. Чирков А.Ю. О разрешимости краевых задач деформационной теории пластичности, учитывающей вид девиатора напряжений / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 1988. - № 9. - С. 97 - 107.

3. Чирков А.Ю. Учёт гидростатического напряжения в задачах деформационной теории пластичности / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 1990. - № 7. - С. 65 - 70.

4. Чирков А.Ю. Смешанная проекционно-сеточная схема метода конечных элементов для решения задач теории упругости / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2003. - № 3. - С. 70 - 100.

5. Чирков А.Ю. Построение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2003. - № 6. - С. 93 - 126.

6. Применение программного обеспечения МКЭ решения краевых задач термопластичности для оценки напряжённого состояния ответственных элементов оборудования АЭС / П.П.Ворошко, С.В.Кобельский, В.И.Кравченко, А.Ю.Чирков // Надёжность и долговечность машин и сооружений. - 2004. - № 1. - С. 118 - 123.

7. Точность и эффективность конечноэлементных схем в задачах концентрации напряжений / А.Ю.Чирков, С.В.Кобельский, В.И.Кравченко [и др.] // Надёжность и долговечность машин и сооружений. - 2004. - № 2. - С. 112 - 120.

8. Чирков А.Ю. Построение смешанной аппроксимации МКЭ для решения задачи об изгибе пластины на основе треугольника Зенкевича / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2004. - № 4. - С. 125 - 144.

9. Чирков А.Ю. Смешанная проекционно-сеточная схема метода конечных элементов для решения краевых задач теории малых упругопластических деформаций / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2004. - № 6. - С. 59 - 86.

10. Чирков А.Ю. Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2005. - № 2. - С. 107 - 135.

11. Чирков А.Ю. Итерационные алгоритмы решения краевых задач теории малых упругопластических деформаций на основе смешанного метода конечных элементов / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2005. - № 3. - С. 111 - 127.

12. Чирков А.Ю. Применение в конечноэлементных расчётах модифицированного алгоритма метода сопряжённых градиентов / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2005. - № 6. - С. 89 - 102.

13. Чирков А.Ю. Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учётом истории нагружения / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2006. - № 1. - С. 69 - 99.

14. Чирков А.Ю. Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории малых упругопластических деформаций методом конечных элементов / А.Ю.Чирков, А.А.Во-рончук // Пробл. прочности. - 2006. - № 2. - С. 124 - 136.

15. Чирков А.Ю. Применение смешанной аппроксимации МКЭ для решения задачи об изгибе пластины на основе треугольника Зенкевича / А.Ю.Чирков // Вестник НТУУ «КПИ», Машиностроение. - 2006. - № 48. - С. 12 - 19.

16. Чирков А.Ю. Применение смешанной схемы метода конечных элементов к решению задач линейной механики разрушения / А.Ю.Чирков // Вестник НТУУ «КПИ», Машиностроение. - 2007. - № 50. - С. 91 - 101.

17. Определение коэффициента интенсивности напряжений для поверхностных полуэллиптических трещин в корпусе реактора ВВЭР-1000 по результатам решения краевых задач термоупругости на основе смешанной схемы МКЭ / В.В.Харченко, С.В.Кобельский, В.И.Кравченко, А.Ю.Чирков [и др.] // Пробл. прочности. - 2007. - № 2. - С. 45 - 51.

18. Чирков А.Ю. Смешанная проекционно-сеточная схема метода конечных элементов для решения краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2007. - № 3. - С. 87 - 117.

19. Чирков А.Ю. Метод окаймления для решения линейных систем уравнений, порождаемых методом конечных элементов в задаче об изгибе пластины / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2007. - № 4. - С. 69 - 98.

20. Чирков А.Ю. Применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2008. - № 2. - С. 121 - 140.

21. Чирков А.Ю. Построение смешанно-гибридной схемы метода конечных элементов для решения задач об изгибе, свободных колебаниях и устойчивости пластин на основе треугольного элемента Зенкевича / А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. - 2008. - № 5. - С. 108 - 122.

22. Чирков А.Ю. Развитие и реализация смешанной схемы метода конечных элементов к решению задач прочности, колебаний и устойчивости элементов конструкций / А.Ю.Чирков // Вестник НТУУ «КПИ», Машиностроение. - 2008. - № 53. - С. 112 - 122.

23. Развитие новых подходов к моделированию квазистатического термонапряжённого состояния элементов конструкций с эксплутационными дефектами / П.П.Ворошко, С.В.Кобельский, В.И.Кравченко, А.Ю.Чирков // Оцінка й обґрунтування продовження ресурсу елементів конструкцій: праці конф., 6-9 черв. 2000 р., Київ. Т. 1 / вiдп. Ред. В.Т.Трощенко - К.: НАН. України. Ін-т пробл. міцності, 2000. - С. 225 - 230.

24. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в корпусе реактора ВВЭР-1000 с полуэллиптической трещиной при термошоке с использованием численных и инженерных методов расчёта / В.В.Харченко, С.В.Кобельский, В.И.Кравченко, А.Ю.Чирков [и др.] // Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд та машин. - Київ: Ін-тут електрозварювання ім. Є.О.Патона НАН України. - 2006. - С. 177 - 180.

Анотація

Чирков О.Ю. Розвиток та реалізація змішаного методу скінченних елементів у задачах міцності, коливань та стійкості елементів конструкцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України, Київ, 2008.

Дисертація присвячена аналізу та застосуванню змішаного метода скінченних елементів до розв'язання прикладних задач механіки деформівного тіла. У роботі розвинуто загальну теорію змішаних проекційно-сіткових алгоритмів МСЕ, в основу яких покладено змішану апроксимацію полів переміщень, деформацій та напружень за допомогою різного набору базисних функцій. Із застосуванням апарату функціонального аналізу досліджено коректність змішаного методу у задачах теорії пружності, пластичності, коливань і на цій основі сформульовано умови, що забезпечують стійкість і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Розроблено і реалізовано стійкі та економічні ітераційні процедури і обчислювальні алгоритми розв'язання матричних рівнянь змішаного методу стосовно задач теорії пружності, пластичності, вільних коливань. Побудовано спеціальний трикутний скінченний елемент для розв'язування двовимірних і осесиметричних задач, який задовольняє умовам стійкості та збіжності змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень. Для розв'язання задач про згин, коливання та стійкість пластинчастих конструкцій побудовано новий гібридний скінченний елемент на основі трикутника Зенкевича. За допомогою розроблених методів розрахунку та програмного забезпечення розв'язано важливе коло прикладних задач, пов'язаних з моделюванням процесів формування та перерозподіляння напружень і деформацій у відповідальних елементах реакторних установок ВВЕР АЕС.

Ключові слова: теорія пружності, теорія пластичності, вільні коливання, згин пластин, крайова задача, метод скінченних елементів, змішана апроксимація, стійкість, збіжність, ітераційні методи.

Аннотация

Чирков А.Ю. Развитие и реализация смешанного метода конечных элементов в задачах прочности, колебаний и устойчивости элементов конструкций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформированного твердого тела. - Институт проблем прочности им. Г.С.Писаренко НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена анализу и применению смешанного метода конечных элементов (МКЭ) к решению прикладных задач механики деформируемого тела. В работе развита общая теория смешанных схем МКЭ в задачах прочности, колебаний и устойчивости элементов конструкций, в основу которых положена одновременная аппроксимация перемещений, деформаций и напряжений с помощью различного набора базисных функций. С привлечением аппарата функционального анализа исследована корректность смешанных проекционно-сеточных алгоритмов МКЭ в задачах теории упругости, пластичности, свободных колебаний и на этой основе сформулированы условия, обеспечивающие устойчивость и сходимость смешанных аппроксимаций для напряжений, деформаций и перемещений. Получен ряд практически важных доказательств и оценок сходимости смешанных схем МКЭ для задач теории упругости и пластичности. Установлено, что смешанный метод приводит к более точным распределениям напряжений и деформаций по сравнению с классическим подходом МКЭ в перемещениях.

Развита общая теория смешанных схем МКЭ решения краевых задач механики неупругого деформируемого тела в квазистатической постановке. Сформулированы условия устойчивости и сходимости шагово-итерационных процедур смешанного метода применительно к нелинейным термомеханическим задачам. Согласно полученным оценкам точность решения конечномерной задачи для начальных этапов нагружения должна быть достаточной, чтобы не допустить влияние роста первых коэффициентов в разложении суммарной погрешности на точность решения упругопластической задачи для последующих этапов нагружения.

Разработаны и реализованы специальные итерационные процедуры и вычислительные алгоритмы решения матричных уравнений смешанного метода: модифицированный итерационный алгоритм метода сопряжённых градиентов с переобусловливающей матрицей для решения задач теории упругости; трёхслойный итерационный алгоритм с переобусловливающей матрицей для решения нелинейных уравнений теории пластичности; модифицированный итерационный алгоритм метода наискорейшего спуска с переобусловливающей матрицей для решения спектральных задач о свободных колебаниях упругих тел. Показано, что сформулированное условие устойчивости смешанного метода обеспечивает сходимость и устойчивость итерационных процедур.

Построен специальный треугольный конечный элемент для решения двухмерных и осесимметричных задач, обеспечивающий устойчивость и сходимость смешанных аппроксимаций для напряжений, деформаций и перемещений. На основе принятой аппроксимации построена система разрешающих матричных уравнений смешанного метода и предложена процедура учёта статических граничных условий на поверхности тела.

Для решения задач об изгибе, колебаниях и устойчивости пластинчатых конструкций построен новый гибридный конечный элемент на основе треугольника Зенкевича. Предложена смешанная аппроксимация для прогиба и углов поворотов срединной поверхности пластины. Построение смешанной аппроксимации основывается на модификации функций, аппроксимирующих углы поворотов пластины, таким образом, чтобы обеспечить линейный закон изменения нормальной производной на сторонах треугольников и тем самым обеспечить непрерывность угла наклона на границах между треугольниками. Установлено, что с уменьшением размеров треугольников приближённое решение, полученное на основе смешанной аппроксимации, обеспечивает сходимость при сгущении сетки, как прогиба пластины, так и изгибающих моментов, точность вычисления которых практически зависит от способа разбиения пластины на треугольные элементы.

Разработаны и реализованы модифицированные итерационные алгоритмы метода сопряжённых градиентов для решения систем линейных уравнений, возникающих при численной реализации классических, гибридных и смешанных схем МКЭ. Результаты расчётов свидетельствуют об эффективности предложенных алгоритмов по сравнению с классическим методом сопряжённых градиентов. Существенное ускорение итерационных процессов проявляется при сгущении сетки в задачах об изгибе и концентрации напряжений.

Математическое обоснование сходимости и точности смешанных аппроксимаций МКЭ дополнено численным анализом, результаты которого подтверждают эффективность разработанных алгоритмов. Приведенные тестовые примеры и опыт решения практических задач свидетельствуют об эффективности смешанного метода в задачах об изгибе, концентрации напряжений, при решении упругопластических задач с развитыми зонами пластических деформаций. Применение смешанной аппроксимации к решению задач механики разрушения позволяет получить более точные значения коэффициентов интенсивности напряжений по сравнению с классическим методом перемещений.

С помощью разработанных методов расчёта и программного обеспечения решён важный круг практических задач, связанных с моделированием процессов формирования и перераспределения напряжений в ответственных элементах реакторных установок АЭС. Выполнено расчётное моделирование процессов формирования остаточных напряжений в корпусе реактора ВВЭР-1000 для технологического цикла - нанесение антикоррозионной наплавки, нагрев под термообработку, выдержка при температуре отпуска, охлаждение до нормальной температуры и гидравлические испытания на заводе-изготовителе. Приведены результаты расчётных исследований кинетики напряжённо-деформированного состояния и коэффициентов интенсивности напряжений для поднаплавочных кольцевых трещин различной глубины, расположенных в области активной зоны, при моделировании режима аварийного охлаждения реактора с учётом истории термосилового нагружения. Получены результаты по оценке уровня остаточных напряжений при анализе процесса термообработки узла соединения «горячего» коллектора с корпусом парогенератора ПГВ-1000. Моделировался режим термообработки, применявшийся при проведении ремонтно-восстанови-тельных работ на Южно-Украинской АЭС.

Ключевые слова: теория упругости, теория пластичности, свободные колебания, изгиб пластин, краевая задача, метод конечных элементов, смешанная аппроксимация, устойчивость, сходимость, итерационные методы.

Abstract

Chirkov A.Yu. Development and realization of a mixed finite element method in the problems on strength, vibration, and stability of structural elements. Manuscript.

Thesis for the degree of a Doctor of Engineering Science in specialty 01.02.04 mechanics of a deformable solid body. G.S. Pisarenko Institute for Problems of Strength of the NAS of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to the analysis and use of the mixed finite element method (FEM) to solve application problems of solid mechanics. A general theory of the mixed projection-mesh algorithms of the FEM has been developed based on a simultaneous approximation of displacements, strains, and stresses using different sets of basis functions. Conditions that guarantee the stability and convergence of the mixed method for the problems of elasticity, plasticity, and vibrations have been formulated. Ad hoc iterative algorithms have been proposed and developed for solving matrix equations of the mixed method as applied to the problems of the theories of elasticity, plasticity and free vibrations. A special triangular finite element for the two-dimensional and axially-symmetric problems has been constructed, which guarantees stability and convergence of the mixed approximations for displacements, strains, and stresses. To solve problems on bending, vibration, and stability of plates, a new hybrid finite element based on Zienkiewicz's triangle has been proposed. The proposed methods and software have been used to solve a wide range of engineering problems related to modeling of the processes of stress generation and redistribution in critical components of NPP reactor facilities.

Keywords: elasticity theory, theory of plasticity, free vibrations, bending of a plate, boundary-value problem, finite element method, mixed approximation, stability, convergence, iterative methods.

Размещено на Allbest.ru