Рух систем тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 531.38

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Рух систем тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною

01.02.01 - теоретична механіка

Судаков Сергій Микитович

Донецьк 2009

Загальна характеристика роботи

Дисертаційна робота присвячена розвитку динаміки руху тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими нестисливою рідиною. Досліджування проводились у таких напрямках:

1. розвиток методів лагранжевої та гамільтонової механіки, спрямованих на дослідження руху тіл з еліпсоїдальними порожнинами, цілком заповненими нестисливою ідеальною рідиною, яка здійснює однорідний вихровий рух (ОВР);

2. динаміка твердих тіл з еліпсоїдальними порожнинами, які містять пористий демпфер та в`язку нестисливу рідину;

3. пошук закономірностей руху тіл з еліпсоїдальними порожнинами, цілком заповненими нестисливою рідиною, в`язкість якої стратифікована так, що рідина може здійснювати однорідний вихровий рух; створення на основі цих закономірностей малопараметричних моделей обертання Землі, полюс яких здійснює коливання з періодом Чандлера.

Актуальність теми. Задача про обертання абсолютно твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, цілком заповненною ідеальною нестисливою рідиною, яка здійснює ОВР, виникла у галузі небесної механіки у кінці XIX сторіччя з метою дати адекватний засіб опису руху полюсів Землі. Дослідженням цієї задачи займалось багато відомих вчених: В.А. Стеклов, А. Пуанкаре, Ф.О. Слудський, С.С. Хок, М.Є. Жуковський, В.В. Рум'янцев, В.О. Самсонов, В.М. Рубановський, М.Д. Копачевський, О.Я. Савченко, О.О. Ігнатьєв, Ю.М. Кононов та багато інших. Вони отримали значну кількість наукових результатів. У цих дослідженнях рух системи тіло-рідина описувався компонентами кутової швидкості тіла та вектора вихору швидкості рідини, що не дозволяло використовувати для дослідження потужні методи лагранжевої та гамільтонової механіки. Використання цих методів для дослідження задачі є актуальною проблемою, тому що властивості рівнянь Гамільтона досліджено досить повно і існує багато аналітичних методів для пошуку їх розв'язків.

Великий вплив на рух обертового твердого тіла з рідиною здійснює в'язкість рідини. Для вивчення цього впливу М.О. Лаврентьєвим була запропована модель, яка складалася з твердого тіла зі сферичною порожниною, в яку було вкладено масивну кулю. Між поверхнями порожнини та кулі діють сили в'язкого тертя. Дослідженням руху цієї моделі займались Ф.Л. Черноусько, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Ю.Г. Марков.

В.О. Самсоновим та В.В. Філіповим запропоновано більш загальну та складну модель, в яку було введено “феноменологичну в'язкість”. Тобто в рівняння руху твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, цілком заповнену ідеальною нестисливою рідиною, що здійснює ОВР, було введено дисипативні члени, які не руйнують ОВР рідини. У випадку сферичної порожнини ця модель має такі ж самі рівняння руху що і модель М.О. Лаврентьєва. Для моделі з “феноменологичною в'язкістю” виникає питання про схему її фізичної реалізації.

Один зі шляхів до фізичної реалізації моделі полягає у внесенні в еліпсоїдальну порожнину пористого демпферу, який буде створювати лінійний по відносній швидкості опір руху рідини.

Ще одна важлива обставина, що робить задачу про внесення пористого демпферу в еліпсоїдальну порожнину актуальною, полягає в тому, що змінюючи пористість демпферу і в'язкість рідини, можна отримувати заповнення з довільним коефіцієнтом дисипації. Ця обставина є важливою тому, що відомі розв'язки задачі про рух обертових тіл з в'язкою рідиною отримані для випадків достатньо малої, або дуже великої в'язкості. Для технічних же застосувань у багатьох випадках потрібно знати рух тіла з рідиною при проміжних значеннях в'язкості.

У теорії обертання Землі в'язкість рідини ядра традиційно не враховувалась. Але нові дослідження поведінки розплаву заліза при наявності високого тиску вказують на міцне зростання в'язкості при зростанні тиску. Якщо рідке ядро Землі дійсно має своєю основою розплав заліза, його в'язкість на межі з мантією буде близько 100 Па • с, а на межі з внутрішнім ядром вона буде близько Па • с. Таким чином, у моделях обертання Землі є актуальним враховувати не тільки в'язкість, а й її зростання у напрямку до центру. Актуально вияснити, яким чином впливає в'язкість ядра на рух полюсів Землі.

Добре відомо, що у руху полюсу Землі повинно бути присутнім власне коливання з періодом близько 427 діб (період Чандлера). Щоб модель обертання Землі мала таке коливання, необхідно у рівняннях руху враховувати пружність Землі. Для цього користуються рівняннями динамічної теорії пружності, що робить дослідження складним. Особливо складним воно стає, коли є необхідність урахування впливу Сонця, Місяцю та планет. Тому стає актуальним питання про побудову моделей обертання Землі, які мають мінімальну кількість узагальнених координат. Полюси цих моделей мають здійснювати коливання з періодом Чандлера.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, представлені в дисертації, проводились у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 1996 - 2000 роки з бюджетної теми "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл" (номер держ. реєстрації 0196U002837); на 2001 - 2005 роки - з бюджетної теми "Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем і їхнє використання в динаміці системи твердих тіл" (номер держ. реєстрації 0101U0001094), які виконувалися відповідно до постанов Президії НАН України; а також у 1997 - 1998 роках у рамках проекту 1.4/155 "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем динаміки систем зв'язаних твердих тіл " Держ. фонду фундаментальних досліджень Міністерства України в справах науки і технологій.

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження - створення на базі методів аналітичної механіки, механіки суцільного середовища і теорії диференціальних рівнянь ефективних методів розв'язку задач руху тіл з еліпсоїдальними порожнинами, цілком заповненими ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною, що здійснює ОВР; використання отриманих результатів до побудови і дослідження математичних моделей обертання небесних тел.

Об'єкт дослідження - задачі про рух тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною.

Предмет дослідження - нові форми рівнянь руху тіл з еліпсо-їдальними порожнинами, заповненими ідеальною або в'язкою рідиною, що здійснює ОВР. Дослідження на їхній основі стійкості ОВР рідини в цих порожнинах. Знаходження нових класів стаціонарних рухів тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною, і вивчення рухів тіл у їх малому околі. Побудова математичних моделей для опису обертання Землі, знаходження для них рівномірних обертань і дослідження рухів моделей в околі цих обертань.

Задачі дослідження наступні:

1. Для твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою ідеальною рідиною, що здійснює ОВР, розв'язати задачі: а) у випадку, коли система тіло-рідина рухається по інерції навколо центра мас, за допомогою інтеграла моменту кількості руху максимально знизити порядок гамільтонових рівнянь руху; знайти стаціонарні розв'язки, що описують рівномірні обертання тіла навколо головної осі інерції, і отримати умови їх стійкості; б) отримати умови стійкості рівномірних обертань системи тіло-рідина на струнному підвісі у випадку, коли кутова швидкість тіла не дорівнює кутовій швидкості рідини.

2. Скласти рівняння Гамільтона, які описують рух еліпсоїда зі змінними довжинами головних осей, заповненого ідеальною рідиною, що робить ОВР. За допомогою відомих перших інтегралів максимально знизити порядок рівнянь руху і знайти для них аналітичні розв'язки.

3. Розробити рівняння руху в'язкої рідини в рухомій еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером.

4. Знайти умови, при яких рух рідини в порожнині з пористим демпфером стає однорідним вихровим або близьким до нього. Вивчити вплив недосконалостей демпфера на близькість течі рідини до ОВР. Вивчити гідродинамічну стійкість течій рідини.

5. Скласти рівняння руху твердого тіла, що перебуває в кардановому підвісі та має еліпсоїдальну порожнину, яка містить пористий демпфер і в'язку рідину. Знайти розв'язки, що описують рівномірні обертання і регулярні прецесії, та вивчити їх стійкість.

6. Скласти рівняння руху рідини зі стратифікованою в'язкістю в еліпсоїдальній порожнині. Знайти закон стратифікації, при якому рідина може звершувати ОВР. Вивчити випадки як змінних, так і постійних довжин головних осей еліпсоїда.

7. Скласти рівняння руху навколо центра мас твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, що заповнена рідиною, яка стратифікована по в'язкості і здійснює ОВР. Знайти розв'язок, що описує рівномірні обертання тіла навколо головної осі інерції і вивчити поведінку рішень в околі цих обертань. Застосувати отримані результати до дослідження системи тіло-рідина, що моделює обертання Землі і з'ясувати вплив в'язкості рідини на тривалість майже добового періоду і періоду Ейлера.

8. Урахувати в задачі про коливання еліпсоїдів Діріхле вплив стратифікованої в'язкості рідини, що допускає ОВР.

9. На основі отриманих результатів розробити математичну модель для опису обертання Землі. Рух полюса моделі має містити коливання з майже добовим періодом і періодом Чандлера.

Наукова новизна отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи є новими і полягають у наступному:

Вперше для задачі про рух по інерції навколо центра мас твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою ідеальною нестисливою рідиною, що здійснює ОВР, розроблено метод зниження порядку гамільтонових рівнянь руху за допомогою інтеграла моменту кількості руху. Цим методом рівняння руху системи тіло-рідина зведено до системи Гамільтона четвертого порядку. Знайдено стаціонарні розв'язки, що описують рівномірні обертання тіла навколо головної осі симетрії і досліджено їх стійкість.

Вперше складено гамільтонові рівняння руху еліпсоїду зі змінними довжинами головних осей, заповненого ідеальною нестисливою рідиною, що здійснює ОВР. Шляхом використання перших інтегралів Гельмгольця і моменту кількості руху виконано зниження порядку гамільтонових рівнянь руху. Розв'язано дві модельні задачі про коливання пружних еліпсоїдів з рідиною, що здійснює ОВР.

Вперше розв'язана задача про течію нестисливої ньютонівської рідини у рухомій еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером. Вважалось, що на межі порожнини виконано умову прослизання. Опір пористого демпфера вважався лінійним по відносної швидкості рідини. Показано, що у еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером може існувати однорідний вихровий рух нестисливої ньютонівської рідини. Отримано умови монотонної глобальної гідродинамічної стійкості однорідних вихрових рухів. Дано оцінки відхилення полю швидкостей течії від однорідного вихрового під дією малої нелінійності, малої неоднорідності та малої анізотропії опору демпферу. На основі цих результатів досліджено рух гіроскопу з еліпсоїдальною порожниною, яка містить пористий демпфер і рідину. Вважається, що гіроскоп знаходиться у кардановому підвісі.

Вперше розв'язана задача про рух в еліпсоїдальній порожнині в'язкої нестисливої рідини зі змінною (стратифікованою) в'язкістю. В'язкість стратифіковано таким чином, що вона дорівнює нулю на межі порожнини і зростає у напрямку до її центру. Знайдено закон стратифікації в'язкості, при якому в порожнині може здійснюватись ОВР. Отримано рівняння руху навколо центра мас твердого тіла з еліпсоідальною порожниною, заповненою рідиною змінної в'язкості, яка здійснює ОВР. Використовуючи ці рівняння, досліджено вплив в'язкісті рідини на тривалість коливань, що здійснює полюс тіла-носія з масово-геометричними параметрами Землі.

Побудовано математичні моделі для опису обертання Землі, полюс яких здійснює коливання з майже добовим періодом і періодом Чандлера. Моделі мають мінімальну кількість узагальнених координат.

Змінну в'язкість було враховано у класичній задачі про коливання обертових гравітуючих рідких еліпсоїдів Діріхле. Складено рівняння руху і у лінійній постановці досліджено вплив змінної в'язкості на коливання еліпсоїду Діріхле і перехід його у еліпсоїд Маклорена.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати мають наступне практичне значення.

1. Дають можливість пояснювати і прогнозувати механічні ефекти, які виникають при експериментах з рухом тіл, що мають рідке наповнення: вплив в'язкості рідини на рух тіла-носія, вплив оточуючого повітря.

2. Дозволяють пояснювати и прогнозувати механічні ефекти, що виникають під час руху артилерійських снарядів і обертових ракет з рідиною.

3. Можуть бути використані у дослідженнях з обертання Землі і планет.

4. Можуть бути використані для подальшого розвитку динаміки руху тіл з рідиною.

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. У роботі [1] здобувачем дана постановка задачі і вказано метод її розв'язку.

У роботі [2] здобувачем отримано рівняння руху і знайдено стаціонарні розв'зки, які описують рівномірні обертання підвішеної на струні дзиги з рідиною.

Апробація результатів досліджень. Основні результати дисертаційної роботи було повідомлено та обговорено на:

Ш Всесоюзній конференції по стійкості руху, коливанням механічних систем і аеродинаміці (Москва. 2 - 4 лютого, 1988);

Ш IV Всесоюзній науковій школі "Гідродинаміка великих швидкостей" (Чебоксари, 25 червня - 1 липня, 1989);

Ш III Кримській осінній математичній школі-симпозиумі (Симферополь, 20 вересня - 2 жовтня, 1992);

Ш VII Міжнароднії конференції “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла”, (Донецьк, 7 - 9 вересня, 1999);

Ш VIII Міжнародній конференції “Стійкість, керування і динаміка твердого тіла”, (Донецьк, 3 - 7 вересня, 2002);

Ш Міжнародній конференції “Класичні задачи динаміки твердого тіла”, (Донецьк, 23 - 25 червня, 2004);

Ш IX Міжнародній конференції "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" ( Донецьк, 1 - 6 вересня, 2005);

Ш Міжнародній конференції “Класичні задачі динаміки твердого тіла”, (Донецьк, 9 - 13 червня, 2007);

Ш наукових семінарах кафедри математики Воронежського лісотехнічного інституту (керівник - професор С.Г. Крейн) ;

Ш наукових cемінарах відділів прикладної механіки і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1990 - 2008 р.р. (керівники - член-кор. НАН України П.В. Харламов, член-кор. НАН України О.М. Ковальов);

Ш На науковому семінарі кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету (керівник - професор М.Д. Копачевський).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в наукових статтях [1 - 21], надрукованих у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 314 сторінках і складається з вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел, додатку, 22 рисунків.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач, визначені мета та задачі досліджень, вказано наукову новизну і практичне значення роботи.

У розділі 1 зроблено огляд праць за тематикою дисертаційної роботи. Вказано можливі напрямки майбутніх досліджень.

У розділі 2 дано обсяг проблем, які досліджуються у дисертації. Вказано методи і розділи механіки, які застосовано для їх дослідження. Виведено рівняння руху в'язкої рідини у випадку, коли її в'язкість є заданою функцією координат. Викладено метод зниження порядку системи рівнянь Гамільтона за допомогою перших інтегралів.

Отримано рівняння Гамільтона, які описують вільний рух навколо центра мас твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою ідеальною нестисливою рідиною, що здійснює ОВР. Вважається, що головні осі порожнини є головними центральними осями інерції твердого тіла. Узагальненими координатами є кути Ейлера , , , які описують розташування тіла відносно нерухомих осей координат 123, і кути Ейлера , , , які описують поворот маси рідини відносно тіла. Узагальнені координати , - циклічні. Таким чином, дослідження руху тіла зводиться до системи Гамільтона 8-го порядку. Ця система має три перших інтеграли: енергії, Гельмгольця, моменту кількості руху. Вибором початкових значень узагальнених координат , , , інтеграл Гельмгольця зведено до інваріантних співвідношень

(1)

де p , p , p - узагальнені імпульси. За допомогою інваріантних співвідношень (1) порядок рівнянь Гамільтона знижено на дві одиниці. Таким чином, рух тіла з рідиною описано системою рівнянь Гамільтона шостого порядку.

У розділі 3 методи лагранжевої і гамільтонової механіки застосовано до задач динаміки твердих тіл з еліпсоїдальними порожнинами, цілком заповненими ідеальною нестисливою рідиною, яка здійснює ОВР. Розв'язано дві задачи. Перша - задача про обертання по інерції навколо центра мас твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною. Для її розв'язку використано рівняння Гамільтона, які було отримано у розділі 2.

У випадку, коли момент кількості руху спрямовано по третій осі нерухомої системи координат, його дві перші компоненти мають вигляд

(2)

де p , p , p _- узагальнені імпульси. Інваріантні співвідношення (2) дозволяють виключити змінні і p з рівнянь руху. Таким чином, задачу зведено до системи Гамільтона з двома позиційними координатами , . Для отриманої системи знайдено стаціонарний розв'язок, який описує рівномірні обертання тіла з рідиною навколо його головної центральної осі інерції. У лінійній постановці досліджено стійкість цього розв'язку.

Друга задача, розв'язана у третьому розділі, присвячена стійкості рівномірних обертань підвішеної на струні дзиги з еліпсоїдальною порожниною, заповненою рідиною. Вважається, що швидкість обертання рідини не обов'язково дорівнює швидкості обертання тіла. Рівняння руху були отримані як рівняння Лагранжа 2-го роду і від них зроблено перехід до рівнянь у неголономних змінних. Знайдено стаціонарний розв'язок, що описує рівномірні обертання дзиги навколо її осі симетрії. В околі цього розв'язку рівняння руху було лінеаризовано і знайдено характеристичне рівняння лінеаризованої системи. Для розв'язку характеристичного рівняння було застосовано програму “Matlab”.

У розділі 4 методами гамільтонової механіки розвязано модельні задачі про рух пружної еліпсоїдальної оболонки, цілком заповненої ідеальною нестисливою рідиною, що здійснює ОВР. Слово модельна означає, що на оболонку накладено геометричні в'язі, які залишають при деформаціях оболонки її еліпсоїдальну форму і об'єм. Така постановка належить А. Пуанкаре, який використовував її у дослідженнях коливань обертових гравітуючих рідких еліпсоїдів.

Головна мета дослідження - виявити працездатність методів гамільтонової механіки при розв'язанні таких задач. Крім того, дослідження таких задач дає уяву про процеси взаємодії пружної оболонки з рідиною, що здійснює ОВР. Важливо, що отримані результати може бути використано для дослідження руху обертових гравітуючих рідких еліпсоїдів.

Дослідження починається з завдання узагальнених координат, які описують поворот маси рідини у еліпсоїді зі змінними довжинами головних осей. Доведено, що поворот маси рідини, як і у випадку твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, можна задавати кутами Ейлера . , . Розташування еліпсоїдальної оболонки відносно нерухомих осей O123 задається кутами Ейлера , , . Узагальнені координати, які описують довжини півосей еліпсоїда задано формулами

i=1,2,3,

Для них повинна виконуватись умова яка означає незмінність об'єму еліпсоїду. Таким чином, за узагальнені координати сприймаються Координати - циклічні. Маса оболонки не враховується. Рівняння Гамільтона мають шість позиційних координат. Крім того вони мають три перших інтеграли: енергії, Гельмгольця, моменту кількості руху. Інтеграли дають інваріантні співвідношення (1), (2). Використовуючи інваріантні співвідношення (1), (2), змінні було виключено з рівнянь руху. Тим самим, задачу зведено до системи рівнянь Гамільтона з чотирма позиційними координатами.

В отриманій системі Гамільтона виникає особливість при Це не дозволяє застосувати її для дослідження руху осесиметричних еліпсоїдів. Для цього випадку отримано інші рівняння руху. При цьому вважалось а за узагалені координати сприймались де Узагальнені коорддинати - циклічні. Таким чином, задача зведена до системи Гамільтона з чотирма позиційними координатами. Ця система також має інваріантні співвідношення (1) і

(3)

Доведено, що розв'язки системи рівнянь Гамільтона, які розташовані на інваріантному многовиді (1), (3), описують всі можливі рухи пружної оболонки з рідиною. Використовуючи інваріантні співвідношення (1), (3), змінні було виключено з рівнянь руху і тим самим задачу зведено до системи рівнянь Гамільтона з двома позиційними координатами.

Далі, використовуючи наведені методи отримання рівнянь руху і зниження їх порядку, було досліджено дві модельні задачі про коливання еліпсоїдальної оболонки, заповненої ідеальною нестисливою рідиною, яка здійснює ОВР. У першій з них вважалось, що оболонка має форму осесиметричного еліпсоїду, вісь симетрії якого не змінює свого напрямку відносно нерухомих осей координат.Для такої оболонки у кожний момент руху , де - функція часу . За узагальнені координати було сприйнято угли Ейлера , які описують рух рідини, і . Координата - циклічна. Рівняння Гамільтона мають три позиційних координати . Вони мають також три перших інтеграли: енергії, Гельмгольца, моменту кількості руху. Останній виражає незмінність проекції моменту кількості руху на вісь симетрії оболонки. Інтеграли Гельмгольця і моменту кількості руху дозволяють знизити кількість позиційних координат у системі Гамільтона до однієї. Спочатку, використовуючи інтеграл Гельмгольця, було виключено з рівнянь руху координату . Для отриманої системи Гамільтона з позиційними координатами знайдено стаціонарний розв'язок і досліджено його стійкість. Далі, використовуючи інтеграл моменту кількості руху, задачу зведено до системи Гамільтона з однією позиційною координатою .

У другій модельній задачі про рух еліпсоїдальної оболонки, заповненої ідеальною нестисливою рідиною, яка здійснює ОВР, припускається, що форма оболонки у нерухомих осях координат задана рівнянням

,

де , а - функції часу , для яких виконується умова =const. За узагальнені координати сприйнято кути Ейлера , які описують рух рідини, і

.

Координата - циклічна. Рівняння Гамільтона мають три позиційних координати . Використовуючи перший інтеграл Гельмгольця, узагальнену координату і імпульс було виключено з рівнянь руху і тим самим задачу зведено до системи Гамільтона з двома позиційними координатами. Знайдено стаціонарний розв'язок рівнянь руху і досліджено його стійкість.

На прикладі простої механічної системи показано, що метод зниження порядку рівнянь Гамільтона за допомогою інтегралу моменту кількості руху може бути також застосовано у випадку руху за інерцією навколо центра мас системи з'язаних твердих тіл. У прикладі розглянуто тверде тіло, з яким з'єднано дві рівних точкових маси, розташованих на відрізку прямої . Відрізок жорстко з'єднано з тілом і він проходить крізь його центр мас . Точкові маси розташовано по різні боки від центру мас і вони можуть рухатись по відрізку . На точкові маси накладено геометричні в'язи, які тримають їх на рівних відстанях від центру мас . Між тілом і точковими масами діють сили пружності. Рух системи було описано рівняннями Гамільтона, які мали три позиційних координати. За допомогою інтегралу моменту кількості руху кількість позиційних координат було знижено до двох.

Розділ 5 присвячено руху рідини у рухомій еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером. Рух рідини у порожнині описано рівняннями Навьє - Стокса, в які введено додаткові члени для урахування опору демпфера згідно закону Дарсі. Ці рівняння мають вигляд

, (4)

, , (5)

де

- відносна швидкість рідини,

- кутова швидкість тіла з порожниною,

- координатний вектор,

- густина рідини,

- кінематична в'язкість,

- коефіцієнт опору демпферу,

- межа порожнини.

Крім системи (4), (5), введено скорочену систему рівнянь руху рідини, що випливає з (4), (5) при після заміни крайової умови прилипання умовою неперетікання. Скорочена система має вигляд

, (6)

, , (7)

де - одиничний вектор нормалі до межі .

Доведено, що скорочена система (6), (7) має розв'язки, які описують однорідний вихровий рух рідини.

Нехай - відомий розв'язок скороченої системи (6), (7). Тоді усякий інший її розв'язок може бути зображено у вигляді

, (8)

, . (9)

Введемо позначення

, , ,

де - область, яку займає порожнина.

Означення. Розв'язок скороченої системи (6), (7) зветься монотонно глобально стійким, якщо для кожного початкового значення функції , яке задовольняє умовам (9), значення величини монотонно наближується до нуля.

Нехай - множина усіх визначених в області неперервних векторних функцій , які мають потрібну кількість часткових похідних і задовольняють умовам (9).

Використовуючи енергетичні методи теорії гідродинамічної стійкості, доведена

Теорема 5.1. Якщо для відомого розв'язку скороченої системи (6), (7) виконується нерівність

,

де - мале додатне число, то розв'язок буде монотонно глобально стійким і

.

У випадку ОВР рідини в еліпсоїдальній порожнині, компоненти тензора швидкості деформацій , не залежать від координат . Власні значення тензору знаходяться з рівняння

. (10)

Використовуючи теорему 5.1 для ОВР рідини, отримана

Теорема 5.2. Якщо для однорідного вихрового розв'язка скороченої системи (6), (7) в кожний момент часу виконується умова

,

то розв'язок буде монотонно глобально стійким і для енергії його збурень справедлива оцінка

,

де , - корені рівняння (10).

В системі рівнянь (4), (5) умови прилипання було змінено на умови проковзування

, , , , (11)

де , , ; - тензор швидкості деформацій рідини. Остання умова (11) означає відсутність дотичних напружень на межі рідини. Така зміна крайових умов дає можливість отримати оцінку різниці між розв'зками системи (4), (11) та скороченої системи (6), (7).

Якщо однорідний вихровий розв'язок скороченої системи (5), (6), то усякий розв'язок системи (4), (11) може бути записано у вигляді

,

де - різниця між розв'язками. Будемо вважати, що тіло з порожниною здійснює один і той же рух для обох систем рівнянь. Позначимо - вектор вихру відносної швидкості рідини для розв'язку .

, , (12)

де - додатні константи, які залежать від довжин головних осей еліпсоїда, - компоненти вектора .

Теорема 5.3. Якщо тіло з еліпсоїдальною порожниною, яка містить пористий демпфер і цілком заповнена в'язкою нестисливою рідиною, рухається так, що для усіх , де , і при цьому , де будь-яка мала додатна константа, то для

буде справедлива оцінка

.

Більш грубу, але зручнішу для використання оцінку дає

Теорема 5.4. Якщо тіло з еліпсоїдальною порожниною, яка містить пористий демпфер і цілком заповнена в'язкою нестислою рідиною, рухається так,що виконуються умови

, ,

де будь-яка мала додатна константа, то для

буде справедлива оцінка

.

З теореми 5.4 випливає, що при буде виконуватись нерівність

.

Оскільки і не залежать від , то вибираючи кінематичну в'язкість досить малою, можно зробити, що розв'язок системи (4), (11) при буде достатньо близьким до розв'язку скороченої системи (6), (7) у нормі простору .

Далі досліджується вплив малої нелінійності опору пористого демпфера на рух рідини у еліпсоїдальній порожнині. Вважається, що опір демпфера задано формулою

, (13)

де і - додатні константи. Зміною в рівняннях руху рідини (4) члена на і використанням формули (13), отримано

. (14)

рух тіло еліпсоїдальний порожнина

Система (11), (14) при , збігається з системою (6), (7), розв'язок якої описує ОВР. Кожний розв'язок системи (11), (14) можна записати у вигляді . Було доведено наступний результат.

Теорема 5.5. При русі твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною з пористим демпфером, який створює опір руху рідини згідно з формулою (13), для буде справедлива оцінка

,

,

а і визначені формулами (12).

Далі дано більш грубу, але зручнішу для використання оцінку. Для цього позначено

, , ,

де - менший корінь рівняння (10).

Теорема 5.6. Якщо при русі тіла з еліпсоїдальною порожниною, яка містить пористий демпфер, що здійснює нелійний опір руху рідини згідно формулі (13), виконується умова , , то для буде справедлива оцінка

.

Оцінки, аналогічні теоремам 5.5 і 5.6 були отримани для випадків:

1. неоднорідний ізотропний демпфер, опір якого задано формулою

,

де - додатні константи, остання з яких вважається малою; - деяка функція координат , яка задана на області порожнини і задовольняє умовам

, , ;

2. неоднорідний анізотропний демпфер, опір якого задано формулою

,

де - додатні константи, остання з яких вважається малою; - тензор з компонентами , , які в загальному випадку є функціями координат . Усі власні значення тензору вважаються дійсними додатними числами.

В кінці розділу знайдено розв'язок системи рівнянь (6), (7), який описує ОВР рідини в еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером у випадку, коли тіло-носій здійснює регулярну прецесію. Використовуючи теорему 5.2, досліджено монотонну глобальну стійкість руху рідини при регулярній прецесії тіла-носія.

У розділі 6 результати розділу 5 використано для дослідження руху систем твердих тіл з порожнинами, заповненими рідиною. У підрозділі 6.1 дано засіб отримання рівнянь руху навколо нерухомої точки твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, яка містить пористий демпфер і цілком заповнена нестислою рідиною. У головних осях інерції , початок яких знаходиться у нерухомій точці, межа порожнини задана рівняннєм

,

де - дійсні додатні константи, - дійсні константи.

Припускається, що рух рідини в порожнині описується рівняннями (6), (7) і він є однорідний вихровий. Рівняння руху системи тіло-рідина було отримано як рівняння Лагранжа 2-го роду. За узагальнені координати прийнято кути Ейлера , які описують розташування частинок рідини у порожнині, і кути Ейлера , які описують розташування тіла-носія. Кінетична енергія тіла з рідиною має вигляд

, (15)

, ,

, , (16)

, ,

усі інші символи є константи, які виражені через масово-геометричні параметри системи тіло-рідина. Потенціальна енергія залежить від . Функція Лагранжа має вигляд

,

де - маса рідини в порожнині. Дисипативна функція Релея така:

,

(123).

Далі отримано рівняння руху Лагранжа 2-го роду

.

Символ означає, що інші рівняння системи отримуються циклічним переставленням розташованих у скобках літер.

Від рівнянь Лагранжа зроблено перехід до рівнянь у неголономних змінних ,,, які мають вигляд

,

(17)

,

де - проекції вектора ротації швидкості рідини на головні осі інерції тіла, - проекції кутової швидкості тіла на головні осі, - проекції момента зовнішніх сил на головні осі,

, , ,

. До рівнянь (17) слід додати праву групу кінематичних рівнянь (16). У випадку отримані рівняння переходять у відомі рівняння руху тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою ідеальною нестислою рідиною, яка здійснює ОВР.

У підрозділі 6.2 досліджено рух осесиметричної дзиги з еліпсоїдальною порожниною, яка знаходиться у підвісі. Як і в попередньому розділу вважається , а рідина здійснює ОВР. У шарнірах підвісу діє в'язке тертя і сили пружності розташованих у них пружинок. На внутрішній рамці підвісу знаходиться електричний двигун, який здійснює підкрутку дзизі навколо її осі симетрії. На дзигу також діють сили гравітації і сили, які моделюють дію аеродинамічних сил (сила Магнуса, сила демпферування). Для отримання рівнянь руху застосовано підхід, викладений у підрозділі 6.1. Рівняння руху було записано у півзв'язаній системі координат , ось якої проходить крізь шарніри наружної рамки, ось - крізь шарніри внутрішньої рамки, ось - по осі симетрії дзигі. Рівняння руху мають вигляд

,

,

,

(18)

,

,

,

, ,

де

- компоненти вектора ротації швидкості рідини,

- компоненти кутової швидкості дзиги,

- кут повороту наружної рамки від площини горизонту,

- кут між площинами внутрішньої і наружної рамок,

- кут повороту вала двигуна відносно внутрішньої рамки;

- функція, прямопропорційна крутильному моменту двигуна;

, , ,

,

, - довжини півосей еліпсоїдальної порожнини,

, - координати центру мас порожнини,

- маса рідини у порожнині,

, - головні моменти інерції тіла і ротора,

,

- компоненти тензору інерції статора двигуна і внутрішньої рамки підвісу,

,

,

- момент інерції наружної рамки підвісу,

,

- маса внутрішньої рамки зі статором,

- маса ротора і дзиги з рідиною,

- координата центру мас статору двигуна на осі ,

- координата центру мас ротора і дзигі з рідиною в осях ,

- коефіцієнт в'язкого тертя у шарнірах наружної рамки,

- коефіцієнт в'язкого тертя у шарнірах внутрішньої рамки,

- коефіцієнт в'язкого тертя у підшипниках двигуна,

- коефіцієнт пружності пружинок у шарнірах рамок,

- коефіцієнт демпфірування повітря,

, , , , .

Система рівнянь (18) має стаціонарній розв'язок

, (19)

де - розв'язок рівняння . Розв'язок (19) описує рівномірні обертання дзиги при вертикальному розташуванні її осі симетрії. Рівняння руху (18) було лінеаризовано в околі розв'язку (19). За допомогою комп'ютера знайдено власні значення матриці лінеаризованої системи рівнянь і за знаком їх дійсних частин зроблено висновки про стійкість стаціонарних рухів.

У підрозділі 6.3, по аналогії з підрозділом 6.2, досліджено рух дзиги з рідиною у підвісі другого типу. Було отримано рівняння руху. Знайдено стаціонарний розв'язок, який описує регулярні прецесії дзигі. У лінійній постановці досліджено стійкість отриманих регулярних прецесій.

У підрозділі 6.4 отримано формули для сил Магнуса, які діють з боку повітря на обертову циліндричну дзигу. Формули для сил Магнуса було отримано у випадку, коли циліндрична дзига обертається навколо своєї осі симетрії, а сама вісь здійснює плоско-паралельний рух з постійною швидкістю по колу. Формули для моменту сил Магнуса отримано для випадку регулярної прецесії дзиги навколо нерухомої точки при малих кутах нутації. Для отримання формул було застосовано теорію плоских рухів ідеальної нестисливої рідини.

Спочатку було розв'язано плоску задачу гідродинаміки про обтікання кола радіуса , центр якого рухається по колу з радіусом з постійною кутовою швидкістю . Течія рідини вважається потенціальною. Циркуляція швидкості рідини по контуру навколо дзиги вважалась рівною , де - кутова швидкість обертання дзиги навколо її осі симетрії. Було знайдено комплексний потенціал течії рідини і її швидкість. Із інтеграла Лагранжа-Коші було знайдено тиск. Далі отримано формулу для сили Магнуса

,

де - густина рідини, - висота циліндру. При , , сила спрямована до центру кола з радіусом .

Використовуючи формули плоскої гідродинаміки у випадку дзиги, яка здійснює регулярний прецесійний рух з малим кутом нутації , знайдено наближену формулу для моменту сил Магнуса

,

де - швидкість власного обертання дзиги, - швидкість прецесії, - висота дзиги. При , , момент сил спрямовано так, що він наближає вісь дзигі до осі прецесії.

Наведено чисельні приклади, які ілюструють отримані формули.

У розділі 7 ОВР використано для дослідження задач, тісно пов'язаних з обертанням небесних тіл. У підрозділі 7.1 в рівняння руху рідини введено в'язкість, яка є функцією координат. Якщо в осях , зв'язаних з тілом, край порожнини задає рівняння

, (20)

де - константи, то динамічна в'язкість задається функцією

, (21)

де - в'язкість у центрі порожнини. Доведено, що в'язкість, (21), не руйнує ОВР рідини в порожнині з краєм (20). Отримано рівняння руху навколо центру мас тіла з порожниною, для якого головними центральними осями є вісі

, (22)

, (23)

де і - відповідно проекції вектора ротації швидкості рідини і вектора кутової швидкості тіла на осі . Коефіцієнти - константи, які залежать від масово-геометричних параметрів системи тіло-рідина. Параметри (123) прямо пропорційні . Отже рівняння (22), (23) при переходять у рівняння руху тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою ідеальною нестисливою рідиною, яка здійснює ОВР. Рівняння (22), (23) мають стаціонарний розв'язок

, , (24)

де - константа. Розв'язок (24) описує рівномірні обертання тіла і рідини навколо осі . Систему рівнянь (22), (23) було лінеаризовано в околі розв'язку (24). Використовуючи отриману систему лінійних рівнянь, досліджено вплив в'язкості на рух полюсу системи тіло-рідина у випадку, коли вона має масово-геометричні параметри Землі. Було виявлено, що при малих у русі полюсу є коливання з майже добовим періодом і коливання з періодом, де кілько меншим ніж період Ейлера для твердого тіла (283 доби при ). При зростанні від 0 до ( Па с при ), близько добовий період зростає і наближається до нескінченності. При це коливання перестає існувати. Період другого коливання при зростанні де кілько зростає і при наближається до періоду Ейлера для твердого тіла.

У підрозділі 7.2 побудовано просту малопараметричну модель в'язкопружного тіла, у руху полюсу якого є коливання з періодом Чандлера. Модель уявляє собою еліпсоїд, цілком заповнений в'язкопружним середовищем Кельвіна-Фойгта. Припускається, що на в'язкопружне середовище накладено геометричні в'язи, які дозволяють йому здійснювати тільки однорідні деформації. Рівняння руху були отримані як рівняння Лагранжа 2-го роду і від них зроблено перехід до рівнянь у неголономних змінних

+, (123),

(25)

,

,

,

де і - відповідно проекції вектору вихру швидкості в'язкопружного середовища і кутової швидкості оболонки на її головні осі ; - кути Крилова, які задають розташування в'язкопружного середовища відносно осей ;

, ,

,

- потенціальна енергія деформацій в'язкопружного середовища,

, , ,

, - модуль Юнга в'язкопружного середовища, - коефіцієнт Пуасона, - об'єм оболонки, - довжини головних осей оболонки; коефіцієнти - константи, які залежать від масово-геометричних параметрів системи тіло-рідина. Параметри (123) прямо пропорційні динамічній в'язкості в'язкопружного середовища.

Система рівнянь (25) має стаціонарний розв'язок

, , (26)

який описує рівномірні обертання системи навколо осі . Рівняння руху (25) лінеарізовано в околі розв'язку (26). З розв'язку лінеарізованих рівнянь випливає, що у випадку, коли модель має массово-геометричні параметри Землі і наступні в'язкопружні характеристики:

- модуль Юнга в'язкопружного середовища;

- коефіцієнт Пуасона;

- в'язкість в'язкопружного середовища,

то у русі полюсу моделі існує три коливання з періодами:

доби;

доби;

доби - період Чандлера.

У підрозділі 7.3 побудовано модель, яка узагальнює моделі підрозділів 7.1 і 7.2. Модель являє собою два подібних концентричних співвісних еліпсоїди, жорстко з'єднаних між собою. Простір між ними цілком заповнено нестисливим в'язкопружним середовищем Кельвіна-Фойгта. На в'язкопружне середовище накладено геометричні в'язи, які дозволяють йому здійснювати тільки однорідні деформації. Простір всередині внутрішнього еліпсоїда заповнено рідиною змінної в'язкості (як у підрозділі 7.1). Рух системи навколо її центру мас за умовою, що рух рідини у внутрішньому еліпсоїді однорідний вихровий, описано дванадцятью звичайними диференціальними рівняннями. Змінними у диференціальних рівняннях з'являються: компоненти вектору ротації швидкості рідини ; компоненти вектора ротації швидкості в'язкопружного середовища ; компоненти кутової швидкості оболонки ; кути Крилова , які описують розташування в'язкопружного середовища відносно оболонки. Рівняння руху мають стаціонарний розв'язок, який описує рівномірні обертання системи навколо її головной центральної осі інерції. Рівняння руху було лінеарізовано в околі стаціонарного розв'язку. З розв'язку лінеарізованих рівнянь випливає, що у випадку, коли модель має массово-геометричні параметри Землі і для характеристик пружності і в'язкості обрано наступні значення:

- модуль Юнга в'язкопружного середовища;

- коефіцієнт Пуасона;

- в'язкість в'язкопружного середовища і рідини,

то у русі полюсу моделі існує чотири коливання з періодами:

доби;

доби;

доби - майже добовий період;

доби - період Чандлера.

У підрозділі 7.4 змінну в'язкість було введено в задачу про коливання осесиметричних еліпсоїдів Дирихлє. Якщо межа рідини у зв'язаній системі координат має вигляд

,

де - функції часу, які відповідають умові

то кінематична в'язкість задається виразом

, (27)

де - константа. Доведено, що в'язкість (27) не руйнує однорідного вихрового руху самогравітуючої еліпсоїдальної маси рідини. Докладно досліджено випадок малих осесиметричних коливань поблизу еліпсоїду Маклорена. Було виявлено, що при досить малих осесиметричний еліпсоїд Діріхле наближається до еліпсоїду Маклорена, здійснюючи малі затухаючі коливання. При досить великих еліпсоїд Діріхле наближається до еліпсоїду Маклорена без коливань.

У підрозділі 7.5 досліджено питання про існування коливань пружного еліпсоїда у класі однорідних деформацій. Було доведено, що пружне тіло, межа якого має вигляд

,

де - константи, може здійснювати коливання у класі однорідних деформацій у випадку, коли модуль Юнга задано функцією координат

,

де - константа.

Висновки

1. Уперше, використовуючи інтеграл моменту кількості руху, виконана редукція канонічних рівнянь обертання вільного твердого тіла з однорідним вихровим заповненням (ОВЗ) до рівнянь Гамільтона четвертого порядку. Отримано необхідні і достатні умови стійкості рівномірних обертань твердого тіла з ОВЗ навколо головної осі інерції.

2. Отримано рівняння Лагранжа 2-го роду, що описують рух тіла з ОВЗ на струнному підвісі. На підставі переходу до рівнянь у неголономних змінних, знайдені рівномірні обертання системи тіло-рідина у випадку різних кутових швидкостей тіла та рідини, отримані необхідні умови їхньої стійкості.

3. Уперше отримано систему рівнянь Гамільтона 8-го порядку, що описують запропоновану Пуанкаре задачу про рух навколо центра мас еліпсоїда зі змінними довжинами головних осей, цілком заповненого ідеальною рідиною, яка здійснює однорідний вихровий рух (ОВР). Отримано розв'язок модельної задачі про коливання осесиметричного еліпсоїда з обертовою рідиною при фіксованих напрямках головних осей еліпсоїда. Знайдено стаціонарний розв'язок модельної задачі про коливання пружної еліпсоїдальної оболонки, заповненої обертовою рідиною, і отримано необхідні і достатні умови його стійкості.

4. Отримано рівняння, що описують рух в'язкої рідини в еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером. Виконано спрощення рівнянь руху. Спрощені рівняння мають розв'язки, що описують ОВР. Знайдено умови монотонної глобальної гідродинамічної стійкості ОВР і умови, при яких рухи рідини, описувані розв'язками повних рівнянь, стають близькими до ОВР. Досліджено вплив малих конструктивних недосконалостей демпфера на близькість течії рідини до ОВР.

5. Розроблено спосіб отримання рівнянь руху навколо нерухомої точки твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, що містить пористий демпфер і в'язку рідину, яка здійснює ОВР. Отримано рівняння руху гіроскопів, підвішених у карданових підвісах, з урахуванням сил в'язкого тертя, моменту сил електричного двигуна і моменту аеродинамічних сил. Знайдено стаціонарні розв'язки, що описують рівномірні обертання і регулярні прецесії, та досліджено їх стійкість.

6. Одержано наближені формули для сил і моментів Магнуса, що діють на витягнутий круговий циліндр, який здійснює планетарний рух або регулярну прецесію.

7. Знайдено закон стратифікації по в'язкості, при якому можливий ОВР рідини в еліпсоїдальній порожнині. Це дає можливість моделювати зростання в'язкості рідинного ядра Землі у напрямку до її центра. Складено рівняння руху твердого тіла з еліпсоїдальною порожниною, заповненою рідиною, стратифікованої за в'язкістю. Застосування отриманого результату до моделі обертання Землі, дозволило досліджувати вплив в'язкості рідкого ядра на тривалість майже добового періоду руху полюса. Знайдено, що при зростанні в'язкості від нуля до критичного значення, майже добовий період зростає до нескінченності, а після перевищення в'язкістю критичного значення, ця вітка коливань зникає.

8. На підставі урахування стратифікованої в'язкості в класичній задачі про рух рідинних гравітуючих еліпсоїдів досліджено загасання малих коливань осесимметричного еліпсоїда Діріхле і його перехід в еліпсоїд Маклорена.

9. На основі використання ОВР суцільного середовища побудована математична модель обертання Землі з мінімальним числом узагальнених координат і отримано звичайні диференціальні рівняння обертання навколо центра мас. Знайдено рівномірні обертання моделі і у лінійній постановці досліджено рухи полюсів в околі цих обертань. Доведено, що у випадку, коли на модель не діють зовнішні моменти сил, рух її полюса складається з двох високочастотних коливань і коливань з майже добовим періодом і періодом Чандлера.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Савченко А.Я. Движение подвешенного на струне тяжелого твердого тела с вихревым заполнением / А.Я. Савченко, С.Н. Судаков, Е.В. Позднякович // Механика твердого тела.- 1992. - Вып. 22. - С. 61 - 68.

2. Нестеров О.Ю. Об устойчивости равномерных вращений волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкостью / О.Ю. Нестеров, С.Н. Судаков // Мат. физика и нелинейн. механика.- Киев.: 1992. - Вып. 17(51). - С. 28 - 33.

3. Судаков С.Н. К задаче о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкостью / С.Н. Судаков // Мат. физика и нелинейн. механика. - 1991. - Вып. 15(49). - С. 84 - 88.

4. Судаков С.Н. Об уравнениях Гамильтона, описывающих движение системы связанных твердых тел вокруг центра масс / С.Н. Судаков // Мат. физика и нелинейн. механика. - 1991. - Вып. 16(50). - С. 74 - 78.

5. Судаков С.Н. Об оценках решений уравнений движения вязкой жидкости в подвижной полости с пористым демпфером / С.Н. Судаков // Укр. мат. журнал. - 1993. - 45. - № 7. - С. 1039 - 1044.

6. Судаков С.Н. О регулярных прецессиях осесимметричного волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и целиком заполненной вязкой жидкостью / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 1994. - Вып. 26. - С. 54 - 57.

7. Судаков С.Н. Исследование устойчивости регулярных прецессий волчка с эллипсоидальной полостью в кардановом подвесе / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 1999. - Вып. 28. - С. 91 - 97.

8. Судаков С.Н. Редукция уравнений движения вокруг центра масс твердого тела с вихревым заполнением к системе Гамильтона четвертого порядка / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 1997. - Вып. 29. - С. 44 - 47.

9. Судаков С.Н. О силах, способствующих развитию планетарных движений волчка, подвешенного к валу двигателя посредством карданного вала / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. - С. 131 - 140.

10. Судаков С.Н. Об уравнениях движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной жидкостью переменной вязкости / С.Н. Судаков // Труды ИПММ НАН Украины. - 2000. - 5. - С. 141 - 144.

11. Судаков С.Н. Движение тела с жидкостью переменной вязкости в поле неподвижного притягивающего центра / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2001. - Вып. 31. - С. 111 - 118.

12. Судаков С.Н. О вычислении аэродинамических сил и моментов, действующих на подвешенный на струне цилиндрический волчок / С.Н. Судаков // Труды ИПММ НАН Украины. - 2001. - 6. - С. 139 -143.

13. Судаков С.Н. Переменные Депри в задаче о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной жидкостью переменной вязкости / С.Н. Судаков // Труды ИПММ НАН Украины. - 2002. - 7. - С. 181 - 191.

14. Судаков С.Н. О движении вязкой жидкости в регулярно прецессирующей эллипсоидальной полости с пористым демпфером / С.Н. Судаков // Труды ИПММ- 2002. - 8. - С. 176 - 180.

15. Судаков С.Н. Модельная задача о движении вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим заполнением / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2003. - Вып. 33. - С. 119 - 126.

16. Судаков С.Н. О колебаниях вращающихся гравитирующих жидких эллипсоидов переменной вязкости / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 217 - 226.

17. Судаков С.Н. О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязкоупругим и жидким заполнениями / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2004. - Вып. 34. - С. 170 - 179.

18. Судаков С.Н. О влиянии вязкости жидкости, заполняющей эллипсоидальную полость, на движение полюсов тела-носителя по его поверхности / С.Н. Судаков // Труды ИПММ НАН Украины. - 2005. 10. - C. 209 - 213.

19. Судаков С.Н. О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2005. - Вып. 35. - С. 199 - 203.

20. Судаков С.Н. О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела. - 2006. - Вып. 36.- С. 123 - 126.

21. Судаков С.Н. О Канонические уравнения колебаний упругого эллипсоидального тела / С.Н. Судаков // Труды ИПММ НАН Украины. - 2006. 13. - C. 193 - 197.

22. Судаков С.Н. О вычислении моментов сил, действующих со стороны воздуха на прецессирующий цилиндр / С.Н. Судаков // Гидродинамика больших скоростей. Тезисы докладов IV научной школы (Чебоксары, 25 июня - 1 июля1998 г.). - С. 58.

23. Судаков С.Н. Про рівняння руху в'язкої рідини у рухомій порожнині з пористим демпфером / С.Н. Судаков // Спектральне и эволюционные задачи.--- Вып. 3 (тезисы лекцій и докладов III Крымской осеней математической школы - симпозиума, 20 сентября - 2октября 1992 г., г. Севастополь, пос. Ласпи). - Б.и.: Симферополь, 1993. - С. 94 - 95.

24. Судаков С.Н. Об устойчивости регулярных прецессий волчка с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и заполненной вязкой жидкостью / С.Н. Судаков // Украинская конференция “Моделирование и исследование устойчивости систем” (Киев, 16 - 20 мая 1993 г.). - Тезисы докладов. - С. 129.

25. Судаков С.Н. О силах, способствующих развитию планетарных движений волчка, подвешенного посредством карданного вала к ротору двигателя / С.Н. Судаков // VII Международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецк, 7 - 9 сентября 1999 г.) - Тезисы докладов. - С. 10.

26. Судаков С.Н. О движении тела с эллипсоидальной полостью, заполненной жидкостью переменной вязкости / С.Н. Судаков // 8 Международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецк, 3 - 7 сентября 2002 г.). - Тезисы докладов. - С. 108 - 109.

...