Рух систем тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною

27. Судаков С.Н. О движении по инерции эллипсоида с вязкоупругим и жидким заполнениями / С.Н. Судаков // Классические задачи динамики твердого тела. Юбилейная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения П.В. Харламова. (Донецк, 23 - 25 июня 2004 г.). - Тезисы докладов.- С. 55.

28. Судаков С.Н. О колебаниях упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // 9 Международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецк, 1 - 6 сентября 2005 г.). - Тезисы докладов. - С. 115.

29. Судаков С.Н. О влиянии вязкой жидкости, заполняющей эллипсоидальную полость, на движение полюсов тела-носителя / С.Н. Судаков // Классические задачи динамики твердого тела. Конференция, посвященная 300-летию со дня рождения Л. Эйлера (Донецк, 9 - 13 июня, 2007 г.). - Тезисы докладов. - С. 72 - 73.

30. Судаков С.Н. Колебания гравитирующих эллипсоидальных масс жидкости переменной вязкости / С.Н. Судаков // 10 Международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецк, 5 - 10 сентября 2008 г.). - Тезисы докладов. - С. 88.

Анотація

Судаков С.М. Рух систем тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

Робота присвячена дослідженню однорідних вихрових рухів (ОВР) нестисливої рідини в еліпсоїдальних порожнинах та їх використанню в динаміці систем тіл з еліпсоїдальними порожнинами, заповненими рідиною.

У випадку ідеальної рідини рівняння руху системи тіло-рідина записано у гамільтоновій формі. Шляхом використання перших интегралів (Гельмгольця і моменту кількості руху) порядок гамільтонових рівнянь знижено на чотири одиниці. У ряді випадків це дало можливість проінтегрувати задачу, або отримати необхідні і достатні умови стійкості відомих стаціонарних розв'язків.

Розглянуто задачу про течію в'язкої нестислої рідини у рухомій еліпсоїдальній порожнині з пористим демпфером. Знайдено умови, за яких рух рідини наближається до ОВР. Досліджено гідродинамічну стійкість течії. Використовуючи ці результати, досліджено стійкість рівномірних обертань та регулярних прецесій розташованої у кардановому підвісі дзиги з еліпсоїдальною порожниною.

Розглянуто задачу про течію нестисливої рідини в еліпсоїдальній порожнині у випадку, коли в'язкість стратифікована таким чином, що рідина може здійснювати ОВР. Задачу використано для оцінки впливу в'язкості рідкого ядра на тривалість майже добового периоду коливань полюсу Землі.

Стратифіковану в'язкість враховано в класичній проблемі про коливання рідких еліпсоїдів Діріхле.

На підставі ОВР, побудовано малопараметричні моделі для опису обертання Землі, полюс яких здійснює коливання з майже добовим періодом і періодом Чандлера.

Ключові слова: тверде тіло, еліпсоїдальна порожнина, рідина, однорідний вихровий рух, рівняння Гамільтона, гідродинамічна стійкість.

Аннотация

Cудаков С.Н. Движение систем тел с эллипсоидальными полостями, заполненными жидкостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

Работа посвящена исследованию однородных вихревых течений несжимаемой жидкости в эллипсоидальных полостях и их приложению к динамике систем твердых тел с эллипсоидальными полостями, заполненными жидкостью. Работа состоит из введения, семи разделов, выводов, списка литературы и приложений. В разделе 1 дан обзор литературы. В разделе 2 сделан обзор рассматриваемых в работе проблем и методов их исследования.

Раздел 3 посвящен движению твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (ОВД). Рассмотрена задача о движении твердого тела с эллипсоидальной полостью по инерции вокруг центра масс. Движение описано системой уравнений Гамильтона. Используя интеграл момента количества движения, порядок системы уравнений Гамильтона понижен на две единицы. В результате задача свелась к системе Гамильтона четвертого порядка. Найдены стационарные решения, описывающие равномерные вращения тела и жидкости вокруг главной оси инерции и исследована их устойчивость.

Второй подраздел посвящен движению подвешенного на струне волчка с эллипсоидальной полостью. Уравнения движения получены как уравнения Лагранжа 2-го рода и от них сделан переход к уравнениям в неголономных переменных. Найдены стационарные решения, описывающие равномерные вращения волчка вокруг вертикали в случае, когда скорость вращения оболочки отлична от скорости вращения жидкости. Исследована устойчивость этих решений.

В разделе 4, следуя А. Пуанкаре, изучаются ОВД идеальной несжимаемой жидкости, заключенной в эллипсоидальную оболочку с переменными длинами главных осей. Движение системы тело-жидкость описывается уравнениями Гамильтона. Используя интеграл Гельмгольца и интеграл момента количества движения, порядок уравнений Гамильтона понижен на четыре единицы. Решены две модельные задачи о колебаниях эллипсоида с переменными длинами главных осей, который заполнен жидкостью, совершающей ОВД.

В разделе 5 рассмотрена задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в подвижной эллипсоидальной полости с пористым демпфером. Составлены уравнения движения, учитывающие сопротивление пористого демпфера. Найдены условия, при которых движение жидкости близко к ОВД. Исследована гидродинамическая устойчивость течений. Исследовано влияние малых конструктивных несовершенств пористого демпфера на близость течения жидкости к ОВД.

В разделе 6, используя результаты раздела 5, исследуется движение твердого тела с эллипсоидальной полостью, содержащей пористый демпфер и вязкую жидкость. Изложен метод вывода уравнений движения тела вокруг неподвижной точки в случае, когда движение жидкости близко к ОВД. Составлены уравнения движения осесимметричного волчка с эллипсоидальной полостью, находящегося в кардановом подвесе. Найдены стационарные решения, описывающие равномерные вращения и регулярные прецессии. Исследована устойчивость равномерных вращений и регулярных прецессий.

Раздел 7 посвящен приложениям ОВД к решению задач, связанных с вращением небесных тел.

Рассмотрена задача о течении несжимаемой жидкости с переменной (стратифицированной) вязкостью в эллипсоидальной полости. Причем, вязкость равна нулю на границе полости и возрастает к центру. Закон стратификации подобран так, что движение жидкости оказывается однородным вихревым. Задача использована для оценки влияния вязкости жидкого ядра на длительность почти суточного периода движения полюса Земли.

На основе ОВД построена математическая модель для описания вращения Земли, имеющая минимальное число обобщенных координат. Модель представляет собой два подобных концентрических эллипсоида, жестко связанных друг с другом. Пространство между эллипсоидами заполнено вязкоупругой средой Кельвина-Фойгта, на которую наложены связи, допускающие только однородные деформации среды. Внутренний эллипсоид заполнен жидкостью переменной вязкости, совершающей ОВД. Показано, что при свободном движении модели вокруг центра масс ее полюс совершает колебания с почти суточным периодом и периодом Чандлера.

Стратифицированная вязкость введена в классическую задачу о колебаниях эллипсоидов Дирихле. В линейной постановке исследован процесс затухания колебаний эллипсоида Діріхле и переход его в эллипсоид Маклорена.

Ключевые слова: твердое тело, эллипсоидальная полость, жидкость, однородное вихревое движение, уравнения Гамильтона, гидродинамическая устойчивость.

Summary

Sudakov S.N. Motions of sistems of bodis with ellipsoidal cavitis filled with liquid. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2006.

The homogeneous vortical motion of incompressible liquid in ellipsoidal cavities and application to dynamics of body with cavity containing liquid is investigated in this work.

In the case of ideal liquid the motion of system “body-liquid” is described by means of Hamilton equations. The order of the Hamilton equations is reduced by means of application of Helmgoltz integral and integral of angular momentum. In some cases it is possible to integrate the equations or investigate the problem by means of KAM-theory.

The problem of flow of viscous liquid in ellipsoidal cavity containing porous damper is investigated. The conditions, which guarantee that the flow is close to a homogeneous vortical flow, are obtained. The hydrodynamic stability of flow in ellipsoidal cavity is investigated. The motion of gyroscope with ellipsoidal cavity containing porous damper and liquid is investigated.

The motion of the system “body-liquid” is investigated in the case when viscosity of liquid is the function of the coordinates. This function is chosen in such a way that the flow of the liquid is homogeneous vortical. Such statement of the problem makes it possible to investigate the influence of viscosity of liquid on the motion of pole of the system “body-liquid” with mass-geometric parameters of the Earth.

The viscosity as the function of the coordinates is taken into account in the classical problem of motion of ellipsoidal self-gravitating mass of liquid.

The simple mathematical model of body with ellipsoidal cavity containing liquid is suggested. In the case, when model has the mass-geometric parameters of the Earth, the pole makes the oscillations with the almost daily period and period of Chandler.

Key words: rigid body, ellipsoidal cavity, liquid, homogeneous vortical flow, Hamilton equations, hydrodynamic stability.

Размещено на Allbest.ru