Визначення та оптимізація термонапруженого стану тіл на основі обернених задач термомеханіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

НаціональнА академіЯ наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

УДК 539.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ВИЗНАЧЕННЯ ТА ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕРМОНАПРУЖЕНОГО СТАНУ ТІЛ НА ОСНОВІ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ТЕРМОМЕХАНІКИ

Ясінський Анатолій

Васильович

Львів - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Наукові консультанти - доктор фізико-математичних наук, професор Вігак Василь Михайлович;

доктор фізико-математичних наук, професор Кушнір Роман Михайлович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, директор Інституту.

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор Гудрамович Вадим Сергійович, Інститут технічної механіки НАН України та Національного космічного агентства України, завідувач відділу міцності, динаміки та технологій виготовлення конструкцій;

доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу термопружності;

доктор фізико-математичних наук, професор Осадчук Василь Антонович, Національний університет «Львівська політехніка», завідувач кафедри «Зварювальне виробництво, діагностика та відновлення металоконструкцій».

Захист відбудеться « 31 » жовтня 2008 року о « 15 » годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розісланий « 29 » вересня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор Максимук О. В.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Забезпечення міцності, надійності та довговічності елементів конструкцій, які в процесі виготовлення та експлуатації зазнають різноманітних теплових і силових навантажень, зумовлює потребу усестороннього вивчення їх теплового і термонапруженого станів. Зазвичай розрахунок цих станів здійснюється за умови, що усі причинні параметри математичної моделі відповідної задачі термомеханіки відомі. Однак дослідження термомеханічної поведінки багатьох елементів та вузлів сучасного енергетичного обладнання (трубопроводів теплових і атомних електростанцій), авіаційних та ракетних двигунів, технологічного обладнання, різних трибосистем за реальних умов їх роботи та натурних випробовувань суттєво ускладнюється внаслідок відсутності повної інформації про їх теплове навантаження через неможливість безпосереднього доступу до частини граничної поверхні. Оснащення елементів та вузлів додатковими давачами, розташованими усередині, є, як правило, неможливим або небажаним з огляду на технологічні, конструктивні чи методичні причини (порушення цілісності та міцністних властивостей матеріалу, спотворення реальних полів температур і напружень, труднощі забезпечення задовільного їх контакту усередині матеріалу).

У багатьох випадках єдино можливим підходом до розв'язання таких задач є використання моделей і методів обернених задач або некласичних крайових задач, які можна сформулювати на основі додаткової інформації про поведінку деяких параметрів процесу на доступній для проведення експериментальних вимірювань частині граничної поверхні. Безпосереднє застосування до таких задач, які є недоозначені на одній частині граничної поверхні і переозначені на іншій, класичного математичного апарату є неможливим і їх розв'язання вимагає розроблення нових математичних підходів. Порушення причинно-наслідкових зв'язків, яке має місце у постановці цих задач, зумовлює також їх некоректність. Тому розроблення моделей і методів визначення температурних полів та напружено-деформованого стану конструкцій чи їх елементів за таких умов є актуальною і важливою науково-технічною проблемою.

Визначення невідомого теплового навантаження за таких умов здійснюється, зазвичай, за допомогою моделей і методів оберненої задачі теплопровідності на основі додаткової інформації про поведінку параметрів теплового процесу. Однак експериментальні методи визначення невідомого теплового навантаження, які ґрунтуються на такому підході, у переважній більшості є руйнівними, оскільки передбачають наявність додаткової інформації у внутрішніх точках тіла. Крім цього, існують реальні ситуації, коли визначення усіх параметрів невідомого теплового навантаження в межах такого підходу є неможливим.

У зв'язку з цим останнім часом набувають розвитку дослідження, які ґрунтуються на іншому підході до розв'язання задач визначення теплового і термонапруженого станів тіла за неповної інформації про його теплове навантаження. А саме, якщо врахувати зв'язаність полів температури та деформацій і розширити вихідну математичну модель до некласичної задачі термопружності шляхом доозначення її додатковою інформацією про поведінку параметрів механічного процесу (переміщень, деформацій чи напружень) на доступній для вимірювань частині граничної поверхні, то задачу визначення температурних полів і термонапруженого стану тіла за вказаних вище умов можна звести до оберненої задачі термопружності. Такий підхід, як показують експериментальні дослідження, дозволяє суттєво підвищити ефективність розв'язання сформульованих задач. Водночас він повинен враховувати специфіку розв'язків обернених задач термопружності. З цього погляду важливим є розроблення методик зведення задач термопружності за неповної інформації про теплове навантаження до обернених задач термопружності, побудова та дослідження їх розв'язків.

Актуальною, як з точки зору застосувань, так і в теоретичному плані є також проблема розроблення методів побудови розв'язків суміжного класу обернених задач термомеханіки - оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами деформівного твердого тіла за обмежень на керування (температуру гріючого середовища, тепловий потік) та параметри теплового і термонапруженого станів. Розв'язки таких задач є важливими щодо мінімізації енергетичних затрат технологічних процесів, пов'язаних з термічною обробкою елементів конструкцій, зокрема у металургійній та машинобудівній галузях промисловості, та оптимізації перехідних режимів експлуатації відповідальних деталей і вузлів теплоенергообладнання. Оскільки більшість таких процесів відбувається за умов інтенсивного теплового навантаження тіла, то актуальною є потреба врахування температурної залежності фізико-механічних властивостей матеріалу та його пружно-пластичного деформування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались за науково-дослідними темами Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України: «Оптимізація керування термопружнопластичним напруженим станом та температурними режимами в неоднорідних тілах на основі методу оберненої задачі термомеханіки» (1992-1997рр., № держреєстрації 0193U009588), «Розробка методів і алгоритмів побудови розв'язків прямих і обернених задач термопружності та гідропружності стосовно оптимізації та відтворення напруженого стану в неоднорідних тілах» (1997-2002рр., № держреєстрації 0197U017671), «Математичне моделювання, розвиток методів розрахунку та оптимізація фізико-механічних процесів у неоднорідних деформівних структурах та тілах з багатошаровими покриттями при комплексній зовнішній дії» (2002-2005рр., № держреєстрації 0102U000453), «Моделі та методи прямих і обернених задач для дослідження фізико-механічних процесів у неоднорідних шаруватих структурах із залишковими деформаціями та дефектами» (2006-2008рр., № держреєстрації 01060U000592), дисертант - відповідальний виконавець тем; за проектом Державного фонду фундаментальних досліджень «Відтворення реального напружено-деформованого стану деталей і вузлів діючого енергоустаткування та прогнозування його подальшого ресурсу служби» (1994-1995рр., № держреєстрації 0195U022140), дисертант - співавтор проекту і відповідальний виконавець; за проектом «Дослідження і оптимізація процесів тепломасопереносу та деформування в шаруватих і багатокомпонентних тонкостінних елементах конструкцій» (2006-2008рр., № держреєстрації 0106U006380) спільних наукових проектів НАН України і Сибірського відділення Російської академії наук, дисертант - відповідальний виконавець проекту.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розроблення моделей і методів визначення нестаціонарних одно- та двовимірних температурних полів і термонапружень в однорідних, кусково-однорідних, неоднорідних і термочутливих елементах конструкцій канонічної форми за неповної інформації про теплове навантаження та оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами у термочутливих тілах при обмеженнях на керування і параметри термонапруженого стану за умов пружнопластичного деформування матеріалу. Для її досягнення необхідно вирішити низку задач, а саме:

· побудувати математичні моделі для визначення нестаціонарних температурних полів і термонапружень у тілах канонічної форми за неповної інформації про теплове навантаження і додатково відомої поведінки параметрів напружено-деформованого стану у деяких точках тіла;

· розробити методику розв'язання сформульованих на основі цих моделей некласичних квазістатичних задач термопружності;

· за умов пружнопластичного деформування матеріалу розробити методику побудови оптимального за швидкодією керування нестаціонарними одно- та двовимірними температурними режимами у термочутливих тілах канонічної форми за обмежень на керування (температуру гріючого середовища, тепловий потік на поверхні тіла) та інтенсивність дотичних термонапружень або накопиченої пластичної деформації зсуву;

· побудувати та дослідити розв'язки низки нових задач термопружності і термопластичності, до яких зводяться практично важливі задачі визначення термонапруженого стану тіл за неповної інформації про їх теплове навантаження та оптимізації режимів нагрівання термочутливих тіл за обмежень на керування та параметри напружено-деформованого стану.

Об'єктом дослідження є однорідні, неоднорідні та термочутливі тіла канонічної форми, які перебувають під дією теплових і силових навантажень.

Предметом досліджень є прямі та обернені задачі термопружності і термопластичності, що є математичними моделями для визначення та оптимізації температурних полів і термонапружень в однорідних, неоднорідних та термочутливих тілах канонічної форми та методи побудови їх аналітичних, аналітико-числових та числових розв'язків.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети у роботі використано ряд методів. Зокрема, для розв'язання прямих задач термопружності для неперервних за радіальною координатою або термочутливих циліндричних і сферичних тіл використано метод зведення їх до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду та метод послідових наближень для розв'язання цих рівнянь. Розв'язки задач термопластичності для термочутливих тіл отримано за допомогою методів скінченних елементів та додаткових деформацій. Для побудови аналітичних та аналітико-числових розв'язків обернених задач термопружності використано методи інтегральних перетворень (Лапласа, Ганкеля), спайн-апроксимації, послідовних наближень та регуляризації некоректних задач. Числове розв'язання обернених задач термопружності для неоднорідних і термочутливих тіл здійснено за допомогою методу скінченних різниць.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

- побудовано математичні моделі для визначення одно- та двовимірних температурних полів і квазістатичних термонапружень в однорідних, кусково-однорідних, неоднорідних і термочутливих тілах канонічної форми за температурою та додатково відомими переміщеннями (деформаціями) однієї з граничних поверхонь і відсутності інформації про теплове навантаження на іншій;

- побудовано математичні моделі для визначення асимптотичного температурного режиму і відповідних термонапружень у двошарових та двошарових з фрикційним теплоутворенням різнорідних тілах за додатково відомими переміщеннями однієї з граничних поверхонь і відсутності інформації про параметри неідеального теплового контакту їх складових (сумарний тепловий потік, термічний опір);

- розроблено методику зведення сформульованих задач до обернених крайових задач термопружності;

- досліджено коректність отриманих обернених задач та розроблено методи побудови їх аналітичних, аналітико-числових та, з використанням методу скінченних різниць, числових розв'язків, стійких до малих змін вхідних даних;

- розроблено методику розв'язання задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними одно- та двовимірними температурними режимами у термочутливих тілах за обмежень на керування (температуру гріючого середовища, тепловий потік на поверхні тіла) та інтенсивність дотичних термонапружень або накопиченої пластичної деформації зсуву, яка передбачає зведення вихідних задач до розв'язання послідовності прямих та обернених задач термопластичності;

- в межах теорії неізотермічних пружнопластичних процесів деформування елементів тіла за траєкторіями малої кривини з використанням методу скінченних елементів побудовано числові алгоритми розв'язання сформульованих задач оптимізації;

- на основі запропонованих методик та алгоритмів побудовано та досліджено розв'язки низки нових обернених задач термопружності і термопластичності, до яких зводяться практично важливі задачі визначення термонапруженого стану тіл за неповної інформації про їх теплове навантаження та оптимізації режимів нагрівання термочутливих тіл за обмежень на напруження або пластичні деформації.

Вірогідність основних наукових положень та отриманих результатів забезпечується: використанням добре апробованих математичних моделей фізико-механічних процесів у деформівних тілах; строгістю математичної постановки задач і використання відомих математичних методів для отримання основних рівнянь; дослідженням коректності отриманих обернених задач, та застосуванням до їх розв'язання апробованих аналітичних і числових методів; дослідженням збіжності побудованих числових алгоритмів; співставленням деяких часткових результатів з відомими у літературі; відповідністю висновків та результатів фізичній суті досліджуваних явищ.

Практичне значення отриманих результатів. Запропонована в роботі методика визначення температурних полів і термонапруженого стану тіл за неповної інформації про теплове навантаження може служити підґрунтям для планування, проведення та підвищення ефективності експериментальних досліджень реальних температурних режимів і термомеханічної поведінки деталей працюючого технологічного та енергетичного обладнання за умов обмеження доступу до частини їх граничної поверхні. Розроблена методика визначення оптимальних температурних режимів може бути використана для оптимізації та автоматизації процесів нагрівання або охолодження елементів конструкцій під час їх виготовлення чи експлуатації з метою підвищення продуктивності відповідних технологічних процесів. Отримані у дисертації результати можуть застосовуватися як базові під час розв'язання більш складних задач, а також бути корисними при тестуванні результатів розрахунків, отриманих за допомогою інших методів. Вони можуть знайти застосування у атомній та тепловій енергетиці, машинобудуванні, трибології тощо.

Окремі теоретичні і прикладні результати, викладені в дисертації, були використані під час виконання низки госпдоговорів практичного спрямування.

Апробація результатів роботи. Основні результати досліджень доповідались і обговорювались на 3-ій Всесоюзній науковій конференції з механіки неоднорідних структур (Львів, 1991); 7-ому Всесоюзному з'їзді з теоретичної і прикладної механіки (Москва, 1991); Науково-технічній конференції «Термовяз-коупругопластические процессы деформирования в элементах конструкций» (Канів, 1992); 8-ій Науково-технічній конференції «Теплофизика технологических процессов» (Рибінськ, 1992); Міжнародній науковій конференції «Теорія наближення та задачі обчислювальної математики» (Дніпропетровськ, 1993); Міжнародній конференції AMSE «Applied Modeling & Simulation» (Львів, 1993); 1-ій Українській конференції з автоматичного керування (Київ, 1994); 2-ій Європейській конференції з механіки деформівного твердого тіла (EUROMECH, Генуя, Італія, 1994); Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті Г. Гана (Чернівці, 1994); 4,6,7-ій Міжнародних наукових конференціях з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995; Львів, 2003, 2006); Всеукраїнській науковій конференції «Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях» (Львів, 1995); Всеукраїнській науковій конференції «Крайові задачі термомеханіки» (Львів, 1996); 2-ому Міжнародному конгресі «Structural and Multidisciplinary Optimization» (Закопане, Польща, 1997); 2 та 7-ому Міжнародних конгресах з температурних напружень (TS-1997, Рочестер, США, 1997; TS-2007, Тайпей, Тайвань, 2007); 4-ому Міжнародному симпозіумі з трибофатики (Тернопіль, 2002); 21-ому Міжнародному конгресі з теоретичної і прикладної механіки (ICTAM-04, Варшава, Польща); 16-ій Міжнародній науковій конференції з числових методів у механіці (Ченстохова, Польща, 2005); 17-ій науковій сесії наукового товариства ім. Т.Г. Шевченка (Львів, 2006); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 2007); Міжнародній науково-технічній конференції «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (Дніпропетровськ, 2007); Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 2008); об'єднаному 8-ому Міжнародному конгресі з обчислювальної механіки (WCCM 8) та 5-ому Європейському конгресі з обчислювальних методів в прикладних науках та інженерії (ECCOMAS 2008), (Венеція, Італія, 2008).

У повному обсязі робота доповідалася на наукових семінарах відділу механіки деформівного твердого тіла під керівництвом д.ф.-м.н., професора М.М. Николишина та за напрямком «Механіка взаємозв'язаних полів» під керівництвом д.ф.-м.н., професора О.Р. Гачкевича Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на науковому семінарі відділу термопружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., професора В.Г. Карнаухова; на об'єднаному науковому семінарі кафедри обчислювальної механіки і міцності конструкцій Дніпропетровського національного університету та відділу міцності, динаміки і технологій виготовлення конструкцій Інституту технічної механіки НАН України та Національного космічного агентства України під керівництвом члена-кореспондента НАН України, професора В.С. Гудрамовича; на науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка МОН України під керівництвом д.ф.-м.н., професора Г.Т. Сулима.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані у 35 наукових роботах [1-35], з них 26 - статей у наукових журналах і збірниках праць, в тому числі 23 статті [1-23] у фахових виданнях. Всього за темою дисертації опубліковано 52 наукові праці.

Результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. У працях, опублікованих у співавторстві, дисертанту належать постановка або участь в постановці задач, розвиток і реалізація підходу, який ґрунтується на зведені вихідних задач до обернених задач термомеханіки, розроблення методики розв'язання обернених задач, інтерпретація результатів. Зокрема, у публікаціях [1, 2, 24-26] автору належить участь в постановці задач оптимального за швидкодією керування температурними режимами за умов пружнопластичного деформування матеріалу, розвиток і реалізація підходів та розроблення числових алгоритмів їх розв'язання, аналіз отриманих результатів та формулювання висновків; у статтях [5, 7] - постановка задач оптимізації, розроблення методики та числових алгоритмів розв'язання обернених задач термопластичності, проведення аналітичних викладок, інтерпретація результатів; у статті [8] - участь в розробленні методики зведення плоскої задачі термопружності для прямокутної області до інтегро-диференціального рівняння, участь в розробленні методики його розв'язання та інтерпретації отриманих результатів; у статтях [6, 9] - постановка задач відтворення та оптимізації термонапруженого стану тонкої круглої пластинки, розроблення методики їх розв'язання, участь у проведенні аналітичних викладок, інтерпретація результатів та формулювання висновків; у працях [27, 28, 30] - постановки задач оптимізації, розроблення методики та участь у розробленні числових алгоритмів їх розв'язання, інтерпретація результатів; у публікаціях [20, 21, 33, 35] - участь в постановці задач, розробленні методики та числових алгоритмів їх розв'язання, участь у аналізі отриманих результатів; у працях [29, 32] - постановка задач, методика їх розв'язання, участь у формулюванні висновків.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, восьми розділів, які містять 44 рисунки, висновків, а також списку літератури, що містить 375 найменувань. Загальний обсяг роботи становить 358 сторінок (обсяг основного тексту - 289 сторінок).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: розкрито сутність і стан вивчення наукової проблеми; обґрунтовано доцільність проведення досліджень та актуальність теми дисертації, відзначено її зв'язок з науковими програмами; сформульовано мету і задачі досліджень; висвітлено новизну отриманих результатів та їх практичне значення; наведено дані про апробацію результатів роботи і публікації, що відображають основний зміст роботи, а також особистий внесок дисертанта в публікаціях у співавторстві; зроблено короткий опис структури дисертації.

У першому розділі на основі літературних джерел проаналізовано і висвітлено передумови виникнення та сучасний стан розглянутих у дисертації проблем, а також обґрунтовано необхідність подальшого їх вивчення. Наведений огляд робіт показує, що розглянуті проблеми з одного боку є відображенням безпосередніх потреб інженерної практики, а з іншого - закономірним етапом розвитку теорії і методів обернених задач термомеханіки.

Підходи до побудови термомеханічних моделей суцільного середовища висвітлені у працях В.В. Болотіна, Я.Й. Бурака, В.Т. Грінченка, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, О.А. Ільюшина, В.Г. Карнаухова, А.Д. Коваленка, Ю.М. Коляна, І.О. Мотовиловця, Ю.В. Немировського, Ю.М. Новичкова, Я.С. Підстригача, Б.Є. Победрі, Л.І. Сєдова, А.Ф. Улітка, Ю.М. Шевченка, М.О.Шульги, B. Boley, A.C. Eringen, E. Melan, W. Nowacki, H. Parcus, J. Weiner та інших вчених. Побудувані математичні моделі процесу деформування тіла під дією теплового та силового навантажень за відомих причинних характеристик (коефіцієнтів та функцій, що входять у рівняння та крайові умови) дають можливість формулювання прямих задач термомеханіки та проведення на їх основі відповідних досліджень.

Розробці конкретних моделей та методів визначення і дослідження термомеханічної поведінки однорідних, неоднорідних, термочутливих, контактно взаємодіючих тіл за умов пружного та в'язкопружнопластичного деформування матеріалу присвячені роботи О.Є. Андрейківа, М.О. Бабешко, І.А. Біргера, М.І. Бобира, Я.Й. Бурака, А.Т. Василенка, В.М. Вігака, О.Р. Гачкевича, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, О.Я. Григоренка, Д.В. Гриліцького, В.Т. Грінченка, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, О.О. Євтушенка, Я.О. Жука, В.С. Зарубіна, С.О. Калоєрова, В.Г. Карнаухова, Г.С. Кіта, І.Ф. Киричка, А.Д. Коваленка, В.І. Козлова, Ю.М. Коляна, В.Ф. Кондрата, В.Д. Кубенка, Л.В.Курпи, Р.М. Кушніра, О.С. Космодаміанского, В.В. Лободи, О.В. Максимука, Р.М. Мартиняка, М.В. Марчука, В.І. Махненка, В.В. Мелешка, В.А. Мерзлякова, В.В.Михаськіва, М.С. Можаровського, Л.В. Мольченка, В.І. Моссаковського, І.О. Мотовиловця, Ю.М. Неміша, Ю.В. Немировського, М.М. Николишина, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.П. Плевака, Ю.З. Повстенка, В.С. Поповича, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, Ю.С. Постольника, І.О. Прусова, В.Л. Рвачова, К.М. Русинка, Я.Я. Рущицького, М.П. Саврука, Я.Г. Савули, В.Г. Савченка, І.Т. Селєзова, І.К. Сенченкова, П.О. Стеблянка, В.І. Сторожева, Г.Т. Сулима, Д.В. Тарлаковського, Р.Г. Терехова, Р.Ф. Терлецького, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, М.В.Хая, Л.П. Хорошуна, Є.Я. Чаплі, В.Ф. Чекуріна, Ю.М. Швайка, Р.М. Швеця, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, П.Р. Шевчука, Г.А. Шинкаренка, B. Boley, E. Melan, S.Kaliski, W. Nowacki, H. Parcus, J. Weiner та інших вчених.

Якщо в межах побудованої моделі за додатковою інформацією про розв'язок прямої задачі потрібно визначити деякі причинні характеристики, то приходимо до необхідності формулювання обернених задач. До такого виду задач відносяться, зокрема, задачі оптимального проектування технічних об'єктів та керування об'єктами і процесами. Розроблення теорії обернених задач та методів їх розв'язання стосовно визначення механічних характеристик середовища, механічних та геометричних характеристик включень (дефектів), розподілу залишкових технологічних деформацій викладено у працях О.С. Алєксєєва, О.Є. Андрейківа, Ю.Є. Аніконова, В.Я. Арсєніна, І.В. Баранова, О.В. Бєлоконя, А.С. Благовєщенського, О.О. Ватульяна, Н.Д. Векслера, В.Б.Гласко, В.Ф. Ємця, В.К. Іванова, Д. Колтона, Р. Кресса, Я.І. Кунця, Р.М. Кушніра, М.М. Лаврентєва, Г.І. Марчука, Ю.Л. Меньшікова, З.Т. Назарчука, Ю.В. Немировського, М.М. Николишина, В.А. Осадчука, Я.С. Підстригача, В.Г. Романова, А.М. Соловйова, А.М. Тихонова, А.А. Тимонова, В.Ф. Чекуріна, Г.П. Черепанова, С.П. Шишатського, Є.Г. Янютіна, В.Г. Яхна, R. Bellman, R. Lattes, J.L. Lions та інших вчених.

Проблемі оптимального проектування та керування напружено-деформованим станом елементів конструкцій з метою зниження їх матеріаломісткості, покращення міцнісних та експлуатаційних характеристик присвячені роботи Н.В. Банічука, В.Є. Бербюка, С.І. Богомолова, С.Б. Вігдергауза, Ю.С. Воробйова, В.Б. Гриньова, В.С. Гудрамовича, А.П. Дзюби, Ю.Д. Зозуляка, В.С. Кирилюка, В.І. Кир'яна, Я.А. Леллепа, Ю. Лєпика, В.Г. Литвинова, Л.М.Лобанова, К.А.Лур'є, В.П. Малкова, Н.Г. Медведєва, В.І. Моссаковського, Ю.В. Немировського, Ю.І. Няшина, І.Ф. Образцова, Л.В.Петухова, А.А. Поздєєва, В.П. Путятіна, В.Л. Рвачова, Ю.І. Рубежанського, Я.Г. Савули, Ю.Г. Стояна, Г.А. Тетерса, А.Г. Угодчикова, А.П. Філліпова, Н.П. Флейшмана, В.А. Троїцького, Ф.Л. Черноуська, А.А. Чираса, J.S. Arora, B.H. Eidiwany, E.J.Haug, Z. Mruz, J.Oda, N. Olhoff, W. Prager, G.I. Rozvany, L.T.Wheeler, K.Yamazaki та інших вчених.

Важливі результати з оптимізації температурних режимів тіл за обмежень на функцію керування (температуру нагріваючого середовища, тепловий потік на поверхні, внутрішні джерела тепла) та параметри напружено-деформованого стану, а також оптимального керування термонапруженим станом, зокрема рівнем залишкових напружень, однорідних та неоднорідних елементів конструкцій отримані у працях Ю.М. Андрєєва, Ю.А.Афанасьєва, Л.П. Бесєдіної, Б.М. Бублика, С.Ф.Будза, Я.Й. Бурака, А.Г. Бутковського, Л.Д. Величка, А.Х. Вирка, В.М. Вігака, М.Б.Вітра, М.Г.Гачкевича, О.Р.Гачкевича, Т.О. Горової, Е.І. Григолюка, В.Я. Данілова, Б.Д. Дробенка, Х.О. Засадної, Ю.Д. Зозуляка, Л.А. Єгорова, Є.М. Ірзи, В.С. Колєсова, А.В. Костенка, В.А. Ломазова, В.М. Максимовича, В.В. Мелюкова, М.С. Михалишина, Ю.В. Немировського, Ю.І. Няшина, І.В.Огірка, Я.С. Підстригача, Ю.С. Постольника, Е.Я. Рапопорта, Н.Г.Тамурова, Р.Ф. Терлецького, В.Т. Томашевського, А.А. Углова, І.І. Федика, Л.А.Фільштинського, Є.П. Чубарова, О.М. Шаблія, G. Duvaut, E. Eyman, J.L. Lions, U. Mackenroth, N. Noda, F. Ziegler та інших вчених. Переважна більшість задач керування термонапруженим станом розглянута за умов пружного деформування матеріалу та без урахування залежності фізико-механічних характеристик від температури.

Значно менше досліджені обернені задачі термопружності, до яких зводяться задачі визначення температурного поля та напруженого-деформованого стану тіла за неповної інформації про теплове навантаження. З одного боку це зумовлено складністю отриманих задач, а з іншого тим, що, доозначивши вихідну задачу додатковою інформацією про поведінку параметрів теплового процесу (температури, теплового потоку) в деяких точках тіла, відшукання невідомого теплового навантаження можна звести до розв'язання обернених задач теплопровідності. Дослідження, які ґрунтуються на такому підході, систематизовані у монографіях О.М. Аліфанова; О.М. Аліфанова, Е.А. Артюхіна, С.В. Румянцева; Л.А. Коздоби; Л.А. Коздоби, П.Г. Круковського; Ю.М. Мацевитого; Ю.М. Мацевитого, А.В. Мултановського; J.V. Beck, B. Blackwell, C.R. Clair; H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer; K. Kurpisz, A.J. Novak. Переважна більшість алгоритмів побудови регуляризованих розв'язків обернених задач теплопровідності у цьому підході передбачає наявність додаткової інформації у внутрішніх точках тіла, що обмежує можливість їх практичного використання, оскільки порушення цілісності деталі з метою проведення відповідних вимірювань не завжди виправдане. Крім того, не завжди ідентифікація всіх параметрів теплового навантаження в межах оберненої задачі теплопровідності є можлива.

Дослідження, які ґрунтуються на зведенні задач термопружності за неповної інформації про теплове навантаження до обернених задач термопружності шляхом доозначення їх додатковою інформацією про поведінку параметрів механічного процесу (переміщень, деформацій чи напружень) в деяких точках тіла, містяться у працях C.Blanc, W.J.Chang, H.T.Chen, U.C.Chen M.Cialkowski, K.C. Deshmukh, A.Fomin, K. Grysa, M.R. Hematiyan, Y.S. Hsiao, H. Kaminski, M. Khandaei, N.L. Khobragade, V. Kozlov, Z. Kozlowski, V.S. Kulkarni, H.L. Lee, V. Mazya, M. Raynaud, X.Y. Wu, Y.C. Yang, Y.D. Yang. У них відзначено ефективність такого підходу та його потенційну перевагу над попереднім. При цьому відповідні обернені задачі термопружності розглянуті за сталих теплових і механічних характеристик.

З огляду літератури видно, що розроблення методів визначення температурного поля та термонапруженого стану тіл за неповної інформації про теплове навантаження на основі моделей оберненої задачі термомеханіки, зокрема, з врахуванням залежності теплових і механічних характеристик матеріалу від координат або температури перебуває, практично, на початковому етапі. Потребує додаткового вивчення також проблема оптимального за швидкодією керування нагріванням тіла за обмежень на керування та параметри напружено-деформованого стану з метою врахування пружнопластичного деформування матеріалу та залежності його теплових і механічних характеристик від температури. Вирішенню цих проблем присвячена дисертаційна робота.

У другому розділі побудовано математичні моделі для визначення одно- та двовимірних температурних полів і квазістатичних термонапружень в ізотропних однорідних, неоднорідних і термочутливих тілах канонічної форми (довгий порожнистий циліндр, порожниста куля, безмежний шар, півпростір, тонка кругла пластинка) за неповної інформації про теплове навантаження. Вони мають вигляд некласичних квазістатичних задач термопружності з недоозначеними на одній і переозначеними на іншій частині граничної поверхні крайовими умовами.

Загальні методики моделювання та зведення отриманих задач до обернених задач термопружності проілюстровано на прикладі ізотропного двошарового порожнистого циліндра, на внутрішній та зовнішній поверхнях якого задано радіальні напруження стиску, де - радіальна координата і час. Термомеханічний контакт складових циліндрів приймається неідеальним внаслідок шорсткості контактуючих поверхонь і вважається, що крім пружних переміщень, на поверхні контакту виникають локальні переміщення, які є пропорційні до контактних напружень. Фізико-механічні характеристики кожного із шарів приймаються постійними і позначаються відповідно індексами 1 і 2. Вважається також, що циліндр перебуває за умов плоскої деформації, де - осьові переміщення -го шару циліндра. Нехай теплове навантаження на одній із граничних поверхонь циліндра, наприклад, внутрішній невідоме. Розглядається задача визначення теплового і термонапруженого станів циліндра, якщо відомо температуру граничної поверхні та додатково зміну в часі радіальних переміщень цієї поверхні. На основі зроблених припущень осесиметричну квазістатичну задачу термопружності можна описати наступною системою диференціальних рівнянь:

Постановка задачі (1)-(5) відрізняється від класичної тим, що у ній відсутня умова на температуру на поверхні, проте додатково відома поведінка в часі переміщень іншої граничної поверхні. Зазначимо, що в умові (3) на поверхні незалежно заданими є напруження, а переміщення є наслідком дії силового навантаження і температурного поля та визначенні, наприклад, експериментально.

У роботі запропоновано методику зведення задач типу (1)-(5) до обернених задач термопружності на відшукання невідомої температури однієї із граничних поверхонь тіла. Для цього, використавши відомі методи інтегрування диференціальних рівнянь задачі термопружності (1) за умов (3), радіальні переміщення тіла подано у вигляді інтегральних залежностей від неявно заданого температурного поля у вигляді

Якщо вираз для контактного тиску (7) підставити у співвідношення (6) і скористатися поданням розв'язку задачі теплопровідності (2), (4), (5) у вигляді

Поклавши у рівнянні (9), отримуємо умову погодження заданих переміщень однієї з граничних поверхонь тіла у початковий момент часу і початкової температури, виконання якої забезпечує неперервність розв'язку інтегрального рівняння.

Знайшовши розв'язок інтегрального рівняння (9), за формулами (8), (6), (7) та основними співвідношеннями термопружності знаходимо температурне поле та відповідний термонапружений стан тіла.

Аналогічним чином до обернених задач термопружності, які описуються інтегральними рівняннями першого роду, зведено розв'язання низки інших задач щодо визначення теплового і термонапруженого станів тіл канонічної форми за неповної інформації про теплове навантаження. Розв'язання інтегральних рівнянь першого роду є у, загальному випадку, некоректною задачею і тому побудову розв'язків отриманих інтегральних рівнянь для одновимірних і двовимірних нестаціонарних температурних полів проведено з використанням методів розв'язання некоректних задач на основі аналізу їх ядер. При цьому показано, що неперервні стійкі (до малих змін вхідних даних) розв'язки цих рівнянь існують за відповідних вимог до гладкості функцій, що описують поведінку додатково заданих на одній із граничних поверхонь параметрів механічного процесу, та умов погодження значень цих функцій у початковий момент часу з початковим розподілом температури.

Як випливає зі сказаного, для побудови ключових інтегральних рівнянь обернених задач термопружності потрібно мати розв'язки відповідних прямих задач термопружності у вигляді інтегральних залежностей від неявно заданого температурного поля. Тому у цьому розділі для розглядуваних ізотропних однорідних, кусково-однорідних, неоднорідних і термочутливих тіл канонічної форми для одновимірних і двовимірних температурних полів у випадку квазістатичної задачі термопружності наведено такі розв'язки.

У третьому розділі результати другого розділу поширено на задачі визначення теплового і термонапруженого станів ізотропних однорідних довгого порожнистого циліндра, порожнистої кулі та безмежного шару у випадку, коли теплове навантаження на одній із граничних поверхонь тіла невідоме. Розв'язання таких задач, на основі запропонованої методики, зведено до обернених задач термопружності, які описуються інтегральними рівняннями Вольтерра першого роду типу згортки, і у яких за температурою та переміщеннями однієї з граничних поверхонь визначається закон зміни в часі температури іншої поверхні.

Для порожнистих циліндра і кулі та товстого шару при, де - коефіцієнт, який характеризує рівень закріплення країв шару від кутового повороту, показано, що ядра відповідних інтегральних рівнянь оберненої задачі на інтервалі є додатно визначеними, монотонно зростаючими і при мають кореневу особливість. Інтегральні рівняння Вольтерра першого роду з такими ядрами є інтегральними рівняннями типу Абеля. Наявність інтегровної особливості у ядрі при означає відсутність часового запізнення максимального відгуку температурних переміщень на зміну температури в момент часу. Зазначимо, що така властивість відсутня у ядрах інтегральних рівнянь крайових обернених задач теплопровідності, що зумовлює їх некоректність (див. наприклад монографії О.М.Аліфанова та Ю.М.Мацевитого).

За допомогою інтегрального перетворення Лапласа побудовано аналітичні розв'язки відповідних інтегральних рівнянь у вигляді

Проведено числову апробацію запропонованої методики побудови розв'язків сформульованих задач.

При ядро інтегрального рівняння відповідної оберненої задачі термопружності для шару на інтервалі змінює свій знак, тобто існують точки, у яких, а відповідне характеристичне рівняння і за допомогою інтегрального перетворення Лапласа побудовано його розв'язок. Параметр регуляризації вибрано мінімальним серед тих, при яких регуляризований розв'язок буде стійкий до малих змін вхідних функцій. На рис. 2 зображено поведінку величин , відповідно дійсних додатних, дійсних від'ємних та комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння, що відповідає регуляризованому інтегральному рівнянню (12), при і. У цьому випадку, як видно рисунка, за можна вибрати значення, де .

Для апробації запропонованої методики побудови розв'язку сформульованої задачі для шару розглянуто пряму задачу термопружності при за наступних умов:, , де, , і знайдено поведінку в часі безрозмірних температурних переміщень граничної поверхні (крива 1 на рис. 3). Знайдені переміщення апроксимували кубічними сплайнами з відносною похибкою за нормою простору і використали як задані в оберненій задачі. Крива 2 на рис. 3 розрахована як розв'язок оберненої задачі при. Як показали обчислення і як видно із рисунка, відхилення регуляризованого розв'язку оберненої задачі від при за нормою простору складає приблизно %, що підтверджує стійкість знайденого розв'язку до малих змін вхідних функцій і свідчить про задовільну точність, з якою знайдено цей розв'язок. Коливний характер кривої 2 на рис. 3 зумовлений наявністю у розв'язку експоненціальної функції від комплексного аргументу.

В цьому ж розділі сформульовано та розв'язано задачі визначення теплового і термонапруженого станів вказаних вище тіл за відомими на одній із граничних поверхонь температурою і переміщеннями для випадку асимптотичного теплового режиму, коли температура тіла є лінійною функцією часу. Побудовано і проаналізовано розв'язки систем алгебричних рівнянь, до яких зводиться розв'язання обернених задач термопружності у цьому випадку.

У четвертому розділі розроблений у другому розділі підхід адаптовано до задач визначення нестаціонарного температурного поля і термонапруженого станів ізотропних двошарових порожнистих довгого циліндра та кулі за відсутності інформації про теплове навантаження на одній із граничних поверхонь.

За відомою поведінкою в часі температури та радіальних переміщень іншої граничної поверхні на основі запропонованої методики сформульовані задачі зведені до обернених задач термопружності, які описуються інтегральними рівняннями Вольтерра першого роду типу згортки (9). Дослідження ядер отриманих інтегральних рівнянь для розглядуваних тіл показали, що вони на інтервалі є додатно визначеними, монотонно зростаючими і при мають кореневу особливість, тобто є інтегральними рівняннями типу Абеля. На основі результатів, отриманих аналітично у попередньому розділі, можна зробити висновок, що за виконання умови погодження значень початкової температури, заданих радіальних переміщень і тисків усередині та ззовні системи у початковий момент часу яка апроксимує вихідне інтегральне рівняння. Тут -відомі коефіцієнти; - значення правої частини інтегрального рівняння (9) при.

Встановлено що матриця системи рівнянь (13) є нижньою трикутною з подіагонально рівними елементами , , і для її норма, де, якщо. Показано, що систему рівнянь (13) за допомогою алгебричних перетворень можна звести до еквівалентної системи лінійних рівнянь вигляду для якої при. Тому згідно з методом простих ітерацій процедура розв'язання системи рівнянь (14), а, отже, і (13) є коректна.

Для двошарового циліндра (із стальною внутрішньою та алюмінієвою зовнішньою складовими) проведено числову апробацію методики визначення температури його внутрішньої граничної поверхні за температурою і радіальними переміщеннями зовнішньої поверхні.

Для випадку асимптотичного теплового режиму, коли температура тіла є лінійною функцією часу, розв'язано задачі визначення теплового і термонапруженого станів двошарових порожнистого циліндра і кулі за відомих температур граничних поверхонь і невідомих параметрів теплового контакту - сумарного теплового потоку на поверхні контакту шарів або контактного термічного опору. На основі додаткової інформації про поведінку радіальних переміщень однієї з граничних поверхонь двошарового тіла задача визначення температурного поля тіла зведена до оберненої задачі термопружності. Якщо, наприклад, невідомо сумарний тепловий потік на поверхні контакту шарів порожнистого циліндра то для визначення температурного поля, яке матиме вигляд

- невідомі, розглядається задача теплопровідності (2), (4) за відомих температур граничних поверхонь. При цьому, умова (4) на сумарний тепловий потік заміняється додатковою умовою на радіальні переміщення однієї з граничних поверхонь, наприклад, зовнішньої, де - відомі величини. Підставивши у інтегральне подання радіальних переміщень циліндра через неявно задане температурне поле (6), (7) вираз (15), отримуємо інтегральні граничні умови

Аналогічним чином визначено тепловий і термонапружений стани двошарових порожнистих циліндра і кулі для випадку асимптотичного теплового режиму за невідомого контактного термічного опору. Проведено числову апробацію запропонованої методики.

П'ятий розділ стосується розв'язання, використовуючи методику запропоновану у другому розділі, задач визначення теплового і термонапруженого станів двошарових фрикційно взаємодіючих тіл у відомій постановці (Гриліцький Д.В. Термопружні контактні задачі в трибології. - Київ: Ін-т змісту і методів навчання, 1996. - 204 с.) за неповної інформації про теплове навантаження.

Спочатку розглядається одновимірна модель фрикційного термопружного контакту двох ізотропних різнорідних шарів (рис. 4). Вважається, що нижня основа двошарового пакета жорстко закріплена, а до верхньої прикладена притискна сила. Верхній шар завтовшки рухається зі сталою швидкістю у напрямі осі декартової прямокутної системи координат по верхній поверхні першого шару завтовшки. На поверхні контакту шарів внаслідок дії сил тертя, що підпорядковані закону Амонтона, утворюється тепло. Сумарний фрикційний тепловий потік, спрямований у шари, дорівнює питомій роботі сил тертя. Припускається, що нестаціонарне температурне поле двошарового пакета змінюється лише за його товщиною. Термомеханічний контакт шарів вважається неідеальним через шорсткість поверхонь контакту і приймається, що між переміщеннями поверхонь контакту шарів, зумовленими деформацією мікронерівностей, і контактним тиском існує лінійна залежність.

На основі такої моделі досліджено задачу визначення теплового і термонапруженого стану трибосистеми, коли теплове навантаження на нижній граничній поверхні невідоме. За відомою поведінкою в часі температури та вертикальних переміщень верхньої граничної поверхні сформульована задача зведена до оберненої задачі термопружності, яка описуються інтегральним рівнянням Вольтерра першого роду типу згортки (9). тепловий навантаження квазістатичний термопружність

Як показали дослідження, ядро отриманого інтегрального рівняння інтервалі є додатно визначеними, монотонно зростаючими і при мають кореневу особливість, тобто є інтегральними рівняннями типу Абеля. За допомогою інтегрального перетворення Лапласа побудовано аналітичний цього розв'язок рівняння у вигляді (10). Аналіз коренів характеристичного рівняння, отриманого при відшуканні оригіналу розв'язку за його зображенням, для різних матеріалів показав, що їх є зліченна кількість і вони є дійсними від'ємними або комплексно-спряженими з від'ємними дійсними частинами. На основі цього, за виконання відповідної умови погодження початкової температури та заданих переміщень у початковий момент часу і умов доведено стійкість знайденого розв'язку до малих змін вхідних функцій. Якщо, то за допомогою знайденого розв'язку, як і у третьому розділі, можна побудувати регуляризований розв'язок відповідної оберненої задачі. Для випадку фрикційної взаємодії алюмінієвого та стального шарів проведено числову апробацію запропонованої методики побудови розв'язку сформульованої задачі, яка підтвердила стійкість знайденого розв'язку до малих змін вхідних функцій.

Далі для фрикційно взаємодіючих шарів розв'язано також задачу визначення теплового і термонапруженого станів у випадку, коли відомі температури граничних поверхонь, але невідомий закон зміни в часі сумарного фрикційного теплового потоку. За додатково відомою інформацією про поведінку вертикальних переміщень верхньої граничної поверхні вихідну задачу зведено до оберненої задачі термопружності на відшукання сумарного фрикційного теплового потоку. Знайдено умови погодження та функціональні простори для вхідних функцій, за яких обернена задача є коректна. Розв'язок інтегрального рівняння Вольтерра другого роду, до якого зведено розв'язання оберненої задачі, знайдено за допомогою методу усереднення функціональних поправок. Показано, що в межах розглядуваної моделі на основі побудованого розв'язку оберненої задачі за відомими переміщеннями граничної поверхні можна визначити також і коефіцієнт тертя шарів. Для випадку фрикційної взаємодії бронзового та стального шарів проведено числову апробацію запропонованої методики побудови розв'язку сформульованої задачі.

Для випадку асимптотичного теплового режиму розв'язано задачу визначення теплового і термонапруженого станів фрикційно взаємодіючих шарів за невідомого контактного термічного опору і відомих температурах граничних поверхонь. На основі додаткової інформації про поведінку вертикальних переміщень верхньої граничної поверхні задача визначення температурного поля тіла зведена до оберненої задачі термопружності, яка описується системою лінійних алгебричних рівнянь восьмого порядку. Враховуючи структуру матриці цієї системи, показано що на основі методу Гаусса можна знайти її аналітичний розв'язок. Проведено числовий аналіз розв'язку, який підтвердив його стійкість.

У цьому ж розділі досліджено одновимірну модель двошарового циліндра, яка враховує теплоутворення від тертя. Розглядається довгий круговий порожнистий циліндр, вставлений без натягу і прозору у другий циліндр такої ж форми. Припускається, що на внутрішній та зовнішній поверхнях розглядуваної двошарової системи задані змінні в часі радіальні напруження стиску. Термомеханічний контакт циліндрів вважається неідеальним. Приймається, що один з циліндрів, наприклад, внутрішній обертається відносно другого з деякою сталою кутовою швидкістю. За рахунок дії сил тертя, підпорядкованих закону Амонтона, на поверхні контакту циліндрів відбувається нестаціонарне теплоутворення. Сумарний фрикційний тепловий потік, скерований у співдотичні циліндри, дорівнює питомій роботі сил тертя, а нестаціонарне температурне поле двошарового циліндра змінюється лише за радіальною координатою.

У межах такої моделі досліджено задачу визначення нестаціонарного температурного поля і термонапруженого стану двошарового циліндра за відсутності інформації про теплове навантаження на одній із граничних поверхонь. За відомою поведінкою в часі температури та радіальних переміщень іншої граничної поверхні сформульована задача зведена до оберненої задачі термопружності, яка описуються інтегральним рівнянням Вольтерра першого роду типу згортки (9). Проведено аналіз ядра отриманого інтегрального рівняння і за допомогою лінійної сплайн-апрксимації, використовуючи методику розроблену у четвертому розділі, побудовано його наближений розв'язок. Для двошарового циліндра (із стальною внутрішньою та мідною зовнішньою складовими) проведено числову апробацію методики визначення температури його внутрішньої граничної поверхні за температурою і радіальними переміщеннями зовнішньої поверхні, яка підтвердила стійкість розв'язку до малих змін вхідних функцій.

У шостому розділі результати другого розділу поширено на задачі визначення теплового і термонапруженого станів неоднорідних або термочутливих порожнистих довгого циліндра та кулі.

Спочатку розглядається неоднорідне за радіальною координатою циліндричне тіло, на внутрішній і зовнішній граничних поверхнях якого задано радіальні осесиметричні напруження стиску і досліджується задача визначення його температурного поля і термонапруженого стану, коли теплове навантаження на одній із граничних поверхонь, наприклад, внутрішній невідоме, однак відомі температура і додатково деформації зовнішньої граничної поверхні. На основі наявної інформації записана наступна обернена задача:

Використавши запропонований В.М. Вігаком метод розв'язання прямих одновимірних задач термопружності для неоднорідних і термочутливих циліндричних та сферичних тіл, умову на деформації (18) переписано як інтегральну граничну умову на температуру

Запропоновано числовий алгоритм розв'язання задачі (16), (17), (19), (20), який ґрунтується на використанні методу скінченних різниць. Розв'язок отриманої системи лінійних алгебричних рівнянь, яка є дискретним аналогом вихідної задачі, знайдено методом прогонки для складних систем. Показано, що за виконання умови погодження між початковою температурою та значенням заданих деформацій у початковий момент часу побудований алгоритм є коректний і стійкий, тобто при його реалізації відсутнє ділення на нуль і накопичення похибок вхідних даних та поточних обчислень.