Резонансні ефекти в плазмі з надтепловими іонами в токамаках та стелараторах

Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ В.Н. КАРАЗІНА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.04.08 -- фізика плазми

РЕЗОНАНСНІ ЕФЕКТИ В ПЛАЗМІ З НАДТЕПЛОВИМИ ІОНАМИ В ТОКАМАКАХ

Виконав Яковенко Юрій Володимирович

Харків -- 2008

АНОТАЦІЯ

Яковенко Ю.В. Резонансні ефекти в плазмі з надтепловими іонами в токамаках. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.08 - фізика плазми. -- Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

Вивчено стохастичну дифузію швидких (надтеплових) іонів у сферичних токамаках. Запропоновано альтернативну модель колапсу пилчастих коливань у токамаках, яка пояснює спостережену поведінку коефіцієнту запасу стійкості. Відкрито існування критичної енергії захоплених швидких іонів при їх перерозподілі пилчастими коливаннями; з надкритичними енергіями є нечутливими до колапсів, тоді як іони з підкритичними енергіями добре перерозподіляються. Отримано та застосовано до аналізу експериментів рівняння, що описують перерозподіл частинок колапсом. Розроблено числовий код COBRA для обрахунку альфвенівських континуумів у стелараторах, який застосовано аналізу експериментів. Відкрито явище анігіляції щілин континууму в точках їх перетину і явище захоплення альфвенівських хвиль через інтерференцію гармонік параметрів плазми. Відкрито аномальну електронну теплопровідність, що виникає через резонансну дію кінетичної альфвенівської хвилі на електрони, що дозволило пояснити експеримент на стелараторі Wendelstein 7-AS.

Ключові слова: стеларатор, токамак, надтеплові іони, резонанс, пилчасті коливання, стохастична дифузія, альфвенівський континуум, альфвенівські власні моди.

резонансний альфвенівський плазма іон

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наразі дослідження в галузі керованого термоядерного синтезу активно розвиваються і виходять на заключну стадію. Прийнято рішення про будівництво міжнародного термоядерного реактора ITER. Незаперечними лідерами в магнітному утриманні термоядерної плазми є тороїдальні термоядерні пристрої, тобто пристрої, в яких магнітна конфіґурація має топологію тороїда -- токамаки (звичайні та сферичні) і стеларатори.

Швидкі (надтеплові) іони є присутніми в плазмі майже в усіх сучасних експериментах на токамаках та стелараторах, оскільки вони є неодмінною ланкою передачі енергії до основної плазми в найбільш поширених методах її нагрівання -- інжекції струменів нейтральних атомів у плазму та нагріванні хвилями з іонно-циклотронними частотами. Крім того, швидкі іони з'являються в плазмі внаслідок термоядерних реакцій. Зокрема, термоядерне горіння в термоядерному реакторі, що використовує як пальне дейтерій-тритієву суміш, буде утворювати в плазмі значну популяцію надтеплових альфа-частинок з максимальною енергією біля 3.5 МеВ. Однією з задач реактора ITER є вивчення утримання та стійкості плазми, в якій ця популяція стане основним джерелом нагрівання.

Швидкі іони якісно відрізняється від основної плазми за характером їх перенесення. Резонансна взаємодія з гофровкою магнітного поля в токамаках може призводити до стохастичної дифузії швидких іонів. Така дифузія є дуже небезпечною і обов'язково враховується при виборі параметрів токамака-реактора. Стохастична дифузія може також викликатися змінами топології орбіт частинок, причому цей механізм є основним в оптимізованих стелараторах. На відміну від перерозподілу теплової плазми під впливом великомасштабних магнітогідродинамічних (МГД) нестійкостей, який носить переважно плинний характер, при перерозподілі швидких іонів на перший план виходять кінетичні резонансні ефекти. Прикладом може бути перерозподіл швидких іонів пилчастими коливаннями.

Наявність значної кількості надтеплових частинок є джерелом вільної енергії для різноманітних нестійкостей плазми. Швидкі іони можуть входити в резонанс із коливаннями плазми і передавати їм свою енергію. Прикладами таких нестійкостей є так звані “фішбон-коливання”, які виникають через збудження внутрішніх ґвинтових мод. Велика увага зараз приділяється альфвенівським нестійкостям, що збуджуються (в переважній більшості випадків) швидкими іонами. У деяких експериментах такі нестійкості викликали значні втрати швидких іонів. Проте навіть у тому разі, коли ці нестійкості не становлять небезпеки, розуміння їх властивостей є практично важливим. Річ у тому, що альфвенівські коливання є дуже чутливими до параметрів плазми та магнітної конфіґурації, що робить їх корисним знаряддям для діагностики (так звана “МГД-спектроскопія”).

Отже, актуальність теми дисертації обумовлена істотним впливом резонансних ефектів, пов'язаних з надтепловими іонами, на утримання плазми в термоядерних пристроях та важливою роллю фізики швидких іонів у проектуванні майбутніх термоядерних реакторів. Вона також обумовлена потребою в інтерпретації численних термоядерних експериментів, у котрих резонансна взаємодія швидких іонів зі збуреннями електромагнітного поля приводила до цікавих та практично важливих явищ, і необхідністю подальшого розвитку теорії плазми, що містить популяції швидких іонів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що ввійшли до дисертаційної роботи, виконувалися в рамках теми АН УРСР “Альфа-частинки та хвильові процеси в тороїдальних термоядерних реакторах”, тем Національної академії наук України № 0193U024790 “Процеси у плазмі тороїдальних термоядерних реакторів з високоенергійними іонами”, № 0197U004759 “Динаміка та кінетика тороїдальної термоядерної плазми” та № 0101U000416 “Фізичні процеси у плазмі тороїдальних термоядерних систем з високоенергійними іонами”, проекту ДКНТ України “Колективні процеси в тороїдальних плазмових системах з високоенергетичними іонами”, проекту ДКНТПП України № 0195U019502 “Кінетичні та магнітогідродинамічні явища в токамаках-реакторах”, проектів Фонду цивільних досліджень та розвитку США (CRDF) № UP2-290 “Поведінка високоенергетичних іонів у плазмi з пилчастими коливаннями”, № UP2-2114 “Енергійні іони в сферичних токамаках”, № UP2-2419-KV-02 “МГД-явища та надтеплові іони в компактних осесиметричних та квазі-осесиметричних плазмових торах” та № UKP2-2463-KV-05 “Колективні процеси в плазмі сферичних торів з іонами високих енергій”, Партнерського проекту Науково-технологічного центру в Україні (STCU), Інституту фізики плазми Макса Планка (Німеччина) та Інституту ядерних досліджень НАН України № P-034 “Високоенергетичні іони в тороїдальних термоядерних пристроях”.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка теорії резонансних ефектів при взаємодії швидких (надтеплових) іонів зі збуреннями плазми в тороїдальних термоядерних пристроях та їх впливу на поведінку швидких іонів, на динаміку збурень (альфвенівських хвиль та нестійкостей) та на перенесення в плазмі. У роботі вирішуються такі завдання, пов'язані з досягненням цієї мети:

l Побудувати формалізм для опису нелінійного резонансного руху частинки під впливом збурення в тороїдальній магнітній конфігурації;

l З'ясувати механізми резонансного впливу гофровки магнітного поля на рух швидких іонів та механізми стохастичної дифузії швидких іонів у сферичному токамаці;

l Пояснити вплив пилчастих коливань у токамаках (звичайних та сферичних) на швидкі іони та його залежність від енергії та пітч-кута іонів;

l Побудувати ефективні моделі для обрахунку перерозподілу швидких іонів з помірними (підкритичними) енергіями під час колапсу та пояснити експерименти, в яких спостерігався перерозподіл таких іонів та пов'язані з ним зміни нейтронного випромінювання з плазми;

l Знайти резонансні механізми, відповідальні за перерозподіл іонів з високими (надкритичними) енергіями під час колапсів;

l Вивести рівняння, що описує альфвенівські коливання в неоднорідній плазмі тривимірної тороїдальної магнітної конфіґурації;

l З'ясувати структуру локальних альфвенівських резонансів у стелараторах та побудувати комп'ютерний код для обрахунку альфвенівського континууму в реалістичних стелараторних магнітних конфіґураціях;

l Вивчити структуру альфвенівських власних коливань плазми стеларатора;

l Знайти механізми резонансної взаємодії альфвенівських власних мод у стелараторі з частинками плазми (швидкими іонами та тепловими електронами).

Методи дослідження. У дисертації застосовуються відомі аналітичні та числові методи: метод груп Лі теорії збурень лаґранжевих систем, методи усереднення, асимптотичні методи, метод ВКБ для рівняння Шредінґера, методи теорії нелінійного резонансу, числові методи лінійної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатів.

l Вперше запропоновано пояснити те, що при пилчастих коливаннях у токамаці коефіцієнт запасу стійкості на магнітній осі після колапсу залишається меншим одиниці, наявністю струмового шару, в якому перезамкнення магнітних силових ліній розщеплює магнітні поверхні.

l Вперше, ще до появи відповідних експериментальних даних, теоретично передбачено існування критичної енергії іонів при перерозподілі захоплених швидких іонів пилчастими коливаннями. Перші експериментальні спостереження того, що перерозподіл захоплених частинок слабшає зі зростанням енергії, було оприлюднено одночасно з оприлюдненням цього теоретичного передбачення.

l Вперше виведено рівняння, що описують перерозподіл плазми та швидких іонів під час колапсу пилчастих коливань. Вперше встановлено залежність впливу пилчастих коливань на нагрівання плазми швидкими іонами від параметрів плазми та швидких іонів.

l Вперше розроблено спеціалізований код (COBRA) для обрахунку альфвенівських континуумів у тривимірних тороїдальних магнітних конфіґураціях. Закладений у нього метод відбору розв'язків не має аналогів і дозволив розраховувати альфвенівські континууми в стелараторах з точністю, яка не досягається іншими кодами.

l Вперше знайдено, що поздовжнє електричне поле когерентної кінетичної альфвенівської хвилі може створювати аномальну електронну теплопровідність.

l Відкрито явище захоплення коливань альфвенівського континууму та альфвенівських власних мод у хвильоводах у тривимірних тороїдальних конфіґураціях.

l Узагальнено для стелараторної геометрії відомі аналітичні вирази для множинних альфвенівських власних мод, частоти яких лежать у щілинах континууму.

l Відкрито явище анігіляції щілин альфвенівського континууму при їх перетині між собою.

l Вперше вивчено механізми резонансного перерозподілу пилчастими коливаннями частинок з надкритичними енергіями та пояснено механізм зникнення “гарячої плями” під час колапсів пилчастих коливань у токамаці JET.

l Узагальнено відомий критерій стохастичності для дифузії Ґолдстона-Вайта-Бузера на дифузію, викликану циклотронним резонансом.

l Вперше досліджено механізми перерозподілу пилчастими коливаннями пролітних та захоплених швидких іонів у сферичних токамаках.

l Вперше виведено систему рівнянь для зачеплених звукових та альфвенівських коливань, яка є придатною для тривимірної геометрії плазми і водночас для великомасштабних збурень з малими модовими номерами.

Наукове та практичне значення отриманих результатів.

l Створений код COBRA для обрахунку альфвенівських континуумів застосовується в ІЯД НАН України та в Інституті фізики плазми Макса Планка (Німеччина) при інтерпретації спостережень альфвенівських нестійкостей у стелараторах. Він може також бути корисним для досліджень альфвенівського нагрівання плазми в стелараторах.

l Запропонована модель колапсу пилчастих коливань є істотним внеском у розуміння природи цього практично важливого явища, що суттєво впливає на енергобаланс центральної частини плазми. Вона також знайшла застосування для пояснення експериментів на токамаці JET.

l Відкриття критичної енергії захоплених швидких іонів при їх перерозподілі пилчастими коливаннями було використано в лабораторіях США та Японії при аналізі експериментальних даних. Воно також є важливим для розрахунків енергобалансу термоядерного реактора. Водночас, існування критичної енергії вказує на те, що перерозподіл плазми при колапсі здійснюється переважно основною гармонікою збурення, що дає важливу інформацію про механізм колапсу.

l Рівняння, що описують перерозподіл плазми та швидких іонів, прикріплених до магнітних поверхонь, знайшли застосування в деяких числових кодах балансу енергії та частинок у токамаках (зокрема, в коді PION, розробленому на JET) та при поясненні результатів експериментів.

l Знайдена залежність впливу пилчастих коливань на нагрівання плазми швидкими іонами від параметрів плазми та періоду пилчастих коливань може знайти застосування при прогнозуванні нагрівання плазми в майбутніх термоядерних пристроях.

l Відкриття аномальної електронної теплопровідності, викликаної кінетичною альфвенівською хвилею, дозволило пояснити теплові колапси, спостережені в експерименті на стелараторі W7-AS, і може виявитися корисним у дослідах космічної плазми.

l Знайдене явище захоплення альфвенівських коливань у хвильоводах має значення для інтерпретації експериментів, у яких спостерігаються альфвенівські нестійкості. Воно може вплинути також на просторовий розподіл поглинання енергії при альфвенівському нагріванні плазми.

l З'ясування механізмів резонансного перерозподілу пилчастими коливаннями частинок з надкритичними енергіями дозволило пояснити експеримент і може бути корисним для передбачення поведінки термоядерних альфа-частинок у реакторі.

l Отриманий критерій стохастичності руху швидких іонів може бути використаний при розробці наступного покоління сферичних токамаків та прогнозування експериментів на цих пристроях.

l Вивчення механізмів перерозподілу частинок пилчастими коливаннями в сферичних токамаках є корисним для передбачення поведінки альфа-частинок у майбутніх реакторах на базі сферичного токамака.

l Отримана система рівнянь для зачеплених звукових та альфвенівських коливань була використана в ІЯД НАН України для аналізу альфвенівських коливань у стелараторах.

Особистий внесок здобувача. У роботі [1] дисертанту належить ідея перезамкнення з розщепленням магнітних поверхонь та аналіз енергетичного балансу цього процесу, у роботах [2, 3] - виведення основних рівнянь та числові розрахунки; у роботах [4, 5] - аналітичні вирази для зміни ґлобальної нейтронної емісії під час колапсу, проведення числових розрахунків, написання програм для розрахунку перерозподілу частинок та енергії, оптимізаційна процедура; у роботах [6, 7] - виведення та аналіз основних рівнянь, напіваналітична модель еволюції магнітних поверхонь при колапсі і участь у написанні тексту; у роботах [8, 12] - виведення основних рівнянь і участь у постановці задачі та написанні тексту; у роботі [9] - участь у постановці задачі, виведення і аналіз основних рівнянь і написання тексту статті; у роботі [10] - виведення адіабатичного інваріанту та рівнянь для ширини резонансів, аналіз експерименту і участь у написанні тексту статті; робота [11] написана самостійно; у роботах [13, 19, 20] - участь у виведенні рівнянь та написанні тексту; у роботі [14] - ідея ефекту і участь у виведенні рівнянь та написанні тексту; у роботі [15] - аналіз рівноваги, виведення рівняння альфвенівського континууму, розробка континуумного коду, розрахунки континууму, участь у написанні тексту; у роботі [16] - постановка задачі, числові розрахунки альфвенівських континуумів та написання тексту статті; у роботі [17] - виведення рівняння альфвенівської хвилі, дослідження неперервного спектру рівнянь та написання тексту; у роботах [18, 23] - числові розрахунки альфвенівських континуумів та участь у виведенні рівнянь; у роботах [21, 22] - числові розрахунки альфвенівських континуумів; у роботі [24] - розрахунки кодом ORBIT, виведення адіабатичного інваріанту та критичної енергії пролітних частинок, напіваналітична модель руху приосьових частинок, участь у написанні тексту; у роботі [25] - участь у числових розрахунках та написання тексту; у роботі [26] - участь у виведенні рівнянь, аналізі експерименту та написанні тексту і числові розрахунки континуумів; у роботі [27] - числові розрахунки альфвенівських континуумів, аналітичні рівняння для локалізованих альфвенівських власних мод, участь у аналізі експерименту та написанні тексту; у роботі [28] - постановка задачі, виведення рівнянь, написання тексту і участь у числових розрахунках та аналізі експерименту; у роботі [29] - виведення рівнянь для полоїдально захоплених альфвенівських власних мод та участь у написанні тексту.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Міжнародній конференції з фізики плазми - 1992 і об'єднаних 9-ій Київській міжнародній конференції та 9-ій Міжнародній конференції з хвиль та нестійкостей у плазмі, сполучених із 19-ою Конференцією Європейського фізичного товариства (ЄФТ) з керованого синтезу та фізики плазми (Інсбрук, Австрія, 1992), 3-ій (Київ, 1994) та 7-ій (Київ, 1999) Українських конференціях з керованого термоядерного синтезу та фізики плазми, 5-му Зібранні Технічного комітету МАГАТЕ з альфа-частинок у термоядерних дослідженнях (Абінґдон, Велика Британія, 1997), Міжнародному конґресі з фізики плазми - 1998, сполученому з 25-ою Конференцією ЄФТ з керованого синтезу та фізики плазми (Прага, Чехія, 1998), 6-ій Українській конференції з фізики плазми та керованого термоядерного синтезу (Алушта, 1998), 8-ій Європейській конференції з теорії термоядерного синтезу (Комо, Італія, 1999), Міжнародній нараді “Новітні концепції та теорія стелараторів” (Київ, 2001), Технічних зібраннях МАГАТЕ з новітніх концепцій та теорії стелараторів (Ґрайфсвальд, Німеччина, 2003, та Мадрид, Іспанія, 2005), 27-ій (Будапешт, Угорщина, 2000) та 30-ій (Санкт-Петербург, Росія, 2003) Конференціях ЄФТ з керованого синтезу та фізики плазми, 18-ій (Сорренто, Італія, 2000), 19-ій (Ліон, Франція, 2002) та 20-ій (Віламоура, Португалія, 2004) Конференціях МАГАТЕ з термоядерної енергії, 2-му Зібранні МАГАТЕ з координації досліджень з порівняння компактних тороїдальних конфіґурацій (Відень, Австрія, 2000), 6-му (Нака, Японія, 1999) та 7-му (Ґетеборґ, Швеція, 2001) Зібраннях Технічного комітету МАГАТЕ зі швидких частинок у системах магнітного утримання, 29-ій Конференції ЄФТ з фізики плазми та керованого синтезу (Монтре, Швейцарія, 2002), 14-ій (Ґрайфсвальд, Німеччина, 2003) та 15-ій (Мадрид, Іспанія, 2005) Міжнародних стелараторних нарадах, 13-му Міжнародному конґресі з фізики плазми (Київ, 2006) і 33-й Конференції ЄФТ з фізики плазми (Рим, Італія, 2006).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується важливість та актуальність виконаних у дисертаційній роботі досліджень, обговорюється наукова новизна отриманих результатів та їхнє практичне значення.

Перший розділ присвячений оглядові літератури за темою дисертації.

У другому розділі розглядається стохастична дифузія швидких іонів у сферичних токамаках. У першому підрозділі вводиться лаґранжів формалізм, який застосовується для вивчення резонансного руху частинок в електромагнітному полі. Лаґранжіан руху частинки розбивається в суму лаґранжіану інтеґрованої системи (руху частинки в осесиметричному полі в дрейфовому наближенні) та двох збурень, перше з яких є різницею між точним лаґранжіаном руху в осесиметричному полі та лаґранжіаном руху в дрейфовому наближенні, а друге описує збурення електромагнітного поля. У другому підрозділі будуються інваріанти руху частинки біля резонансу зі збуренням. Відомо, що дуже ефективним методом для дослідження резонансної поведінки гамільтонових систем є використання груп перетворень Лі (McNamara B. Super-convergent adiabatic invariants with resonant denominators by Lie transforms // J. Math. Phys. - 1978. - Vol. 19, no. 10. - Pp. 2154-2164). При застосуванні цього метода до впливу електромагнітних збурень на рух заряджених частинок виникає технічна проблема: збурення магнітного поля змінюють не гамільтоніан, а симплектичну структуру фазового простору (тобто, канонічні змінні перестають бути такими). Таким чином, перш ніж скористатися стандартними методами теорії збурень гамільтонових систем, необхідно перевизначити канонічні змінні. Зручнішим у цій ситуації є метод нормалізації лаґранжевих систем у неканонічних змінних з використанням груп перетворень Лі, описаний у роботі (R. G. Littlejohn / Hamiltonian perturbation theory in noncanonical coordinates // J. Math. Phys. - 1982. - Vol. 23, no. 5. - Pp. 742-747). З застосуванням цього методу знаходяться вирази для інваріантів руху частинки в тороїдальній магнітній пастці поблизу резонансу з загальним електромагнітним збуренням. Для цього координати дія-кут незбуреної системи вибираються так, щоб один з кутів був повільною координатою біля резонансу («резонансна фаза»). Після цього розшукується неперервна група перетворень координат, параметром якої є амплітуда збурення, котра повертає лаґранжеву диференціальну форму до канонічного вигляду. Одна з дій при цьому залежить від резонансної фази і є бажаним інваріантом. Таким чином, пошук збурених канонічних змінних і пошук адіабатичного інваріанту виконується одночасно.

У наступних підрозділах цього розділу побудований формалізм застосовується до аналізу стохастичної дифузії швидких іонів у сферичних токамаках. Розглядаються три види стохастичної дифузії: дифузія Ґолдстона-Вайта-Бузера (ҐВБ-дифузія), дифузія, викликана циклотронним резонансом з гофровкою (ДВЦР), та дифузія через стрибки магнітного моменту на екваторі (уявний резонанс).

Дифузія перших двох типів викликається резонансами частинок з гофровкою магнітного поля, тобто слабкою тороїдальною варіацією його модуля, викликаною дискретністю котушок тороїдального поля. Для вивчення резонансного руху частинок зручно ввести на додаток до ґірофази (И) і полоїдального та тороїдального кутів (и та ) ввести відповідні канонічні кути , та (Kaufman A. N. Quasilinear diffusion of an axisymmetric toroidal plasma // Phys. Fluids. - 1972. - Vol. 15, no. 6. - Pp. 1063-1069), часові похідні від яких у незбуреному стані дорівнюють відповідно , та і є сталими (тут - циклотронна частота, та - частоти незбуреного руху частинки відповідно в полоїдальному та тороїдальному напрямках, позначає усереднення по баунс- / пролітній орбіті, точка над величиною - часову похідну).

Гофровка діє на частинку через резонанси

(де N - кількість гофрів), які ми зватимемо ґлобальними резонансами. В околі окремого ґлобального резонансу зручно перевизначити координати дія-кут так, щоб одним з кутів була резонансна фаза , яка може розглядатися як повільна змінна (разом з діями). Усереднення збурення (внеску від гофровки) по швидких змінних (двох інших кутах та ) дає резонансний адіабатичний інваріант I, що має вигляд інтеґралу від швидко осцилюючої величини вздовж траєкторії. Основний внесок у нього дають точки зупинки фази, в яких ; остання умова є по суті умовою локального резонансу частинки з гофровкою, . Якщо точок локального резонансу на орбіті не існує, ефект ґлобального резонансу стає дуже слабким, причому число l локального резонансу мусить дорівнювати числу l ґлобального; відповідає черенковському локальному резонансу, з яким пов'язана ҐВБ-дифузія, - різноманітним циклотронним резонансам.

- характерний стрибок при проходженні точки локального резонансу; «прим» позначає похідну по ;

- тороїдальний канонічний момент імпульсу; та

- зміни фази локального резонансу між подіями резонансу завдяки відповідно прецесії та баунс-руху;

- відносна амплітуда гофровки; - характерна довжина, пов'язана з просторовою варіацією; характеризує орбіту частинки; M та e - маса та заряд частинки, та

- її швидкість відповідно поперек та вздовж магнітного поля; R - відстань до осі симетрії тора;

- полоїдальний магнітний потік; q - коефіцієнт запасу стійкості (обернене обертальне перетворення);

- модифікована функція Бесселя; всі величини беруться для незбуреного поля в ведучому центрі частинки. Лінії рівня I для двох різних величин відношення показані на. Коли це відношення є малим, лінії рівня утворюють звичайний чіріковський острів з шириною, пропорційною кореневі амплітуди. Коли ж воно є великим, утворюються ланцюжки острівців змушеного резонансу, розмір яких по зростає лінійно з амплітудою. Ця картина добре узгоджується з числовим моделюванням для ҐВБ-дифузії в роботі (White R. B. Chaos in trapped particle orbits // Phys. Rev. E. - 1998.)

Важливим є те, що з математичної точки зору існує повна аналогія між ДВЦР та ҐВБ-дифузією. Це дає змогу узагальнити на ДВЦР критерій стохастичності (перекриття резонансів), отриманий у попередній роботі (Ripple-induced energetic particle loss in tokamaks / R. B. White, R. J. Goldston, M. Redi, R. V. Budny // Phys. Plasmas. - 1996. - Vol. 3, no. 8. - Pp. 3043-3054), додатково врахувавши при цьому скінченність ларморового радіуса частинки (с):

Крім того, симетрія лаґранжіана дозволяє знайти криві в фазовому просторі, вздовж яких відбувається дифузія при наявності стохастичності. Аналіз цих кривих та резонансних умов показує, що ДВЦР є потенційно небезпечнішою, ніж ҐВБ-дифузія, у сферичних токамаках, але ця небезпека зможе реалізуватися лише в наступному поколінні цих пристроїв, оскільки зараз характерний час дифузії швидких іонів перевищує час їх гальмування.

Застосування лаґранжевого формалізму при розгляді стрибків магнітного моменту частинок при проходженні мінімумів магнітного поля дозволяє покращити відомі вирази для величини стрибків. Виявляється, що стрибки є досить малими і викликаний ними стохастичний рух (якщо він має місце) не може вести до помітних втрат швидких іонів, принаймні, в сучасних пристроях.

Третій розділ присвячений впливу пилчастих коливань на швидкі іони в токамаках. У ньому обґрунтовується існування критичної енергії швидких іонів та аналізується перерозподіл іонів з підкритичними енергіями. Наприкінці 1980-х років експерименти показали, що пилчасті коливання здатні сильно впливати на швидкі іони. У роботах попередніх авторів цей вплив моделювався лише феноменологічно, без аналізу механізму.

У першому підрозділі пропонується альтернативна модель колапсу пилчастих коливань. Попередня модель Кадомцева (Кадомцев Б. Б. О неустойчивости срыва в токамаках // Физика плазмы. - 1975. - Т. 1, № 5. - С. 710-715) пояснює колапс перезамкненням магнітних силових ліній у струмовому шарі при нелінійному розвитку ґвинтової моди (m та n - відповідно полоїдальне та тороїдальне модові числа). Із часом ця модель увійшла в протиріччя з тим експериментальним фактом, що (q на магнітній осі) залишається меншим одиниці після колапсу. Тому з'явилося кілька моделей, у яких припускається, що перезамкнення є недоконаним і колапс цілком або частково викликається турбулентністю. У моделі, що пропонується, дається альтернативне пояснення: перезамкнення є доконаним, а відтворення після колапсу відбувається завдяки існуванню другого струмового шару, у якому при перезамкненні силових ліній магнітні поверхні не об'єднуються, а розщеплюються. Тут - магнітне поле вздовж ґвинтових ліній, верхній індекс позначає контраваріантну компоненту в системі координат , r - радіальна координата, - фаза збурення, - коваріантний базовий вектор. Як видно навіть з самої топології магнітних поверхонь, відщеплення магнітних поверхонь, що оточують холодну «бульбашку», відтворює магнітні поверхні з біля новоствореної магнітної осі. Ця бульбашка виникає через перестановковий рух плазми у зоні з низьким магнітним широм біля поверхні . Про існування такої зони свідчили експерименти на токамаках JET та TEXTOR. Модель, що пропонується, увійшла до монографії (White R. B. The Theory of Toroidally Confined Plasmas. -- London: Imperial College Press, 2006) та оглядових робіт (Migluolo S. Theory of ideal and resistive m=1 modes in tokamaks // Nucl. Fusion. - 1993. - Vol. 33, no. 11. - Pp. 1721-1754; Wolle B. Tokamak plasma diagnostics based on measured neutron signals // Phys. Reports. - 1999. - Vol. 312. - Pp. 1-86). Можливість відтворення завдяки розщепленню магнітних поверхонь була пізніше підтверджена числовим моделюванням (Biskamp D., Drake J. F. Dynamics of the sawtooth collapse in tokamak plasmas // Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research 1994, 15th Conf. Proc., Seville, 1994. - Vol. 3. - Vienna: IAEA, 1995. - Pp. 261-272), хоча в цих розрахунках, на відміну від описаного процесу, розщеплення відбувалося після завершення кадомцевського перезамкнення.

У другому та третьому підрозділах аналізується рух швидких іонів під час колапсу. При цьому робляться припущення, що , збуренням тороїдального магнітного поля можна знехтувати, а збурення має структуру . Усереднення дрейфового кінетичного рівняння по баунс-орбіті (для захоплених частинок) або пролітній орбіті (для пролітних частинок) для випадку, де - радіальна ширина орбіт, приводить до рівняння.

Зі швидкостями , та пов'язані характерні часи відповідно (час обходу навкруги магнітної поверхні), (час тороїдальної прецесії) та (тривалість колапсу, яка в сучасних токамаках складає ). При цьому та рухають частинку разом з магнітною поверхнею, тоді як рухає частинку по б при , відлаштовуючи її від фази збурення (причиною цього є відсутність впливу збурення на тороїдальне магнітне поле), розташовується поблизу здеформованої магнітної поверхні (крива 3). Якщо ж , прецесія «ламає» рух частинок уздовж магнітних поверхонь, що веде до руху з і виходу частинки з резонансу зі збуренням (крива 4). Однак вихід з резонансу відбудеться тільки за умови, що , інакше колапс закінчиться перш, ніж проявиться дія прецесії.

Тому вплив колапсу є різним для різних груп частинок. Пролітні частинки мають повільну прецесію і швидкий тороїдальний рух , тому вони рухаються разом з магнітними поверхнями і сильно перерозподіляються (якщо тільки не стає порядку r). У захоплених частинок, навпаки, , тому їх поздовжній рух не може конкурувати з прецесією, і характер їх перерозподілу визначається співвідношенням.

Прецесія перешкоджає перерозподілові частинок з надкритичними енергіями, виводячи їх з резонансу зі збуренням, тоді як частинки з підкритичними енергіями рухаються приблизно разом з тепловою плазмою і тому сильно перерозподіляються. Пізніше ці якісні міркування були підтверджені числовим моделюванням рівняння. Теоретичне передбачення критичної енергії було підтверджено в експериментах на токамаці TFTR. Цей результат увійшов до оглядів фізичного підґрунтя ITER (ITER physics basis. Chapter 5: Physics of energetic ions // Nucl. Fusion. - 1999. - Vol. 39, no. 12. - Pp. 2471-2494; Progress in the ITER physics basis. Chapter 5: Physics of energetic ions / A. Fasoli, C. Gormezano, H. L. Berk et al. // Nucl. Fusion. - 2007. - Vol. 47, no. 6. - Pp. S264-S284) та огляду результатів TFTR (Alpha particle physics experiments in the Tokamak Fusion Test Reactor / S. J. Zweben, R. V. Budny, D. S. Darrow et al. // Nucl. Fusion. - 2000. - Vol. 40, no. 1. - Pp. 91-149).

Експериментальне підтвердження існування критичної енергії, визначеної рівнянням, показує, що перерозподіл плазми здійснюється переважно модою з (інакше критична енергія була б значно нижчою). Це ставить під сумнів моделі колапсу, які трактують його як спалах турбулентності. Моделі з недоконаним перезамкненням є можливими, але за умови, що розмір неперезамкненої області є досить малим. Здається, що можливості швидких іонів як засобу діагностики пилчастих коливань ще не вичерпані.

У подальших підрозділах розглядається перерозподіл частинок, «прикріплених» до магнітних поверхонь (тобто пролітних та захоплених з підкритичними енергіями). Для таких частинок не треба розв'язувати рівняння, щоб розрахувати їх перерозподіл. Міркування балансу частинок дають змогу вивести прості рівняння, які зв'язують радіальні профілі q, параметрів термічної плазми (густини та температури) і функції розподілу швидких іонів після колапсу з їх профілями до колапсу. Ці рівняння були включені до коду PION і знайшли відображення в згаданих оглядах фізичного підґрунтя ITER. Їх було також успішно використано для пояснення перерозподілу пролітних термоядерних б-частинок у TFTR (Observation of sawtooth redistribution of non-thermal confined alpha particles in TFTR DT discharges / R. C. Stratton, R. J. Fonck, G. R. McKee et al. // Nucl. Fusion. - 1996. - Vol. 36, no. 11. - Pp. 1586-1590); це, зокрема, підтверджує, що перерозподіл пролітних б-частинок не слабшає з енергією, у відповідності до теорії, викладеної вище.

Отримані рівняння використовуються для вивчення впливу пилчастих коливань на потужність нагрівання плазми швидкими іонами. Як аналітичний розгляд, так і числове моделювання для токамаку класу ITER показують, що ключовим параметром, що визначає характер такого впливу є відношення , де - час гальмування іонів, - проміжок часу між колапсами. При кожний колапс сильно впливає на профіль нагрівання плазми, але середній по періоду профіль нагрівання майже не змінюються. При коливання сильно змінюють середній профіль нагрівання, роблячи його майже плоским, після чого окремі колапси впливають на нього слабко.

У дисертації рівняння перерозподілу частинок застосовуються також до аналізу експериментів на JET з інжекцією струменів нейтральних атомів, у яких спостерігалися сильні зміни нейтронної емісії з плазми під час колапсів. Швидкі іони дейтерію, що утворювалися при іонізації інжектованих атомів, були переважно пролітними і мали енергію до 140 кеВ, тому наближення частинок, прикріплених до магнітних поверхонь є для них застосовним з достатньою точністю. Оскільки профіль q був відомий з сильною невизначеністю, він підбирався так, щоб забезпечити найкраще узгодження змодельованої нейтронної емісії з експериментом. При розрахунках використовувалися як модель Кадомцева, так і модель колапсу, описана в цьому розділі. За однакових початкових умов нова модель передбачає сильніший перерозподіл плазми, ніж модель Кадомцева. Однак типові результати, представлені на Рис. 4, демонструють, що після оптимізації по профілю q обидві моделі добре узгоджуються зі спостереженими змінами нейтронної емісії, але нова модель, крім того, узгоджується з поведінкою профілю q. Проте, оскільки ці дві моделі не сильно відрізняються с точки зору впливу на швидкі іони, в розділі 4 при моделюванні застосовується простіша модель Кадомцева.

У четвертому розділі вивчається резонансна дія пилчастих коливань на іони з надкритичними енергіями. Умова резонансу частинок зі збуренням має вигляд , де n - тороїдальний модовий номер збурення, s - довільне ціле. Як відомо, тороїдальна прецесія відсутня в гранично захоплених частинок з параметром захопленості, де магнітний момент частинки, тому вони знаходяться в резонансі з основною гармонікою збурення. Виявляється, що баунс-усереднені рівняння руху під час колапсу можна представити як рівняння

Якщо рух частинок є достатньо швидким, щоб можна було вважати сталим, нелінійна поведінка резонансних частинок полягає в русі навкруги цього, що значно перевищує ширину траєкторій нерезонансних частинок. Тому супербанановий рух викликає сплощення функції розподілу біля резонансу. При зменшенні до острів захоплює всю область, що ще раз демонструє резонансну природу перерозподілу частинок з підкритичними енергіями. Резонанси для захоплених частинок і - для пролітних є єдино можливими резонансами з основною гармонікою збурення. Однак на нелінійній стадії збурення має досить великі компоненти та 3. Вони через резонанси , 1/2 та 2/3 можуть діяти на частинки з широкими орбітами. Для вивчення нелінійних наслідків цих резонансів використовується інваріант резонансного руху частинок, отриманий у розділі 2. Узявши скалярний потенціал та тороїдальну компоненту векторного потенціалу збурення у вигляді інтеґрування виконується по незбуреній дрейфовій траєкторії, , - полоїдальна дія.

Інтеґрування у рівнянні виконується вздовж контура, що робить один оберт у полоїдальному напрямку та жодного оберту - в тороїдальному і лежить на незбуреному дрейфовому торі частинки, який визначається рівняннями. Лінії рівня інваріанту визначають траєкторії баунс-усередненого руху частинки біля резонансу. Оскільки біля резонансу ці лінії рівня мають такий самий вигляд, як і лінії рівня гамільтоніану нелінійного маятника. Таким чином, інваріант I описує подібний супербанановий рух, який може викликати локальне сплощення функції розподілу частинок в межах острова або, якщо резонансні острови різних резонансів перекриваються, її сплощення в усій області перекриття.

Знаходження ширини островів з рівняння вимагає інтеґрування кількох величин уздовж одного баунсу частинки і є набагато економнішим, ніж побудова карт Пуанкаре. Ця методика була застосована до експерименту на JET, у якому при іонно-циклотронному нагріванні плазми утворювався значний хвіст іонів домішку ³He з енергіями в мевному діапазоні. Іони хвоста спостерігалися завдяки емісії нейтронів та г-променів при ядерних реакціях. Більшість цих іонів були захопленими надкритичними. У відповідності до теорії розділу 3, вони були нечутливими до пилчастих коливань. Проте так звана «гаряча пляма» - сильно локалізована область, що випромінювала нейтрони та г-промені - зникала при колапсах. Експериментатори ідентифікували частинки гарячої плями як такі, що мають сильно локалізовані орбіти, що є близькими до так званої стаціонарної (виродженої орбіти, що є точкою в полоїдальній площині через компенсацію полоїдальних компонент поздовжньої та дрейфової швидкостей). Аналіз частот руху таких частинок показує, що вони знаходяться в зоні резонансів , 1/2 та 2/3, які перекриваються на розвиненій стадії колапсу. Це має вести до стохастичного руху, який пояснює зникнення гарячої плями.

Основна гармоніка збурення теж може стохастизувати рух частинок з нестандартними орбітами (стандартними орбітами ми називаємо орбіти пролітних та захоплених частинок з ). При скінченній амплітуді цієї гармоніки вона збурює дрейфові поверхні частинок. Методом збурень можна побудувати координати дія-кут, пов'язані зі збуреним рухом частинок. У цих координатах гармоніка перестає бути монохроматичною; ряд Фур'є по збурених канонічних кутах містить гармоніки з , які можуть резонувати з частинками, що мають , 1/3, 2/3 тощо. Оскільки амплітуда цих гармонік надлінійно залежить від амплітуди основної гармоніки, ширина резонансів зростає дуже швидко. Числове моделювання показує, що веде до дуже швидкого розвитку стохастичності при переході певного амплітудного порога, яка захоплює область орбіт, що не охоплюють магнітну вісь (частинки з малою полоїдальною дією з орбітами, близькими до стаціонарної). Оскільки саме такі частинки складають згадану гарячу пляму, а амплітуда збурення при колапсі знаходиться за порогом стохастичності для типових енергій частинок плями, цей механізм також здатен пояснити її зникнення.

Деякі відмінності сферичних токамаків від звичайних токамаків з великим аспектним відношенням здатні якісно змінити поведінку швидких іонів при пилчастих коливаннях. Мале аспектне відношення робить критичну енергію захоплених іонів дуже низькою (ненабагато вище характерних температур плазми). Проте виявляється, що сильний діамагнетизм плазми в розрядах сферичних токамаків з високим (p - тиск плазми) веде до появи в прецесії істотної складової частини, пов'язаної з діамагнетизмом. Це можна побачити, якщо записати швидкість дрейфу частинки, викликаного ґрадієнтом B та кривиною магнітних силових ліній.

Перший доданок слабко змінюється зі зростанням тиску плазми; після баунс-усереднення він дає звичайну тороїдальну прецесію. Другий доданок створює додаткову складову прецесії, пов'язану з тиском плазми; у збуреному стані (коли ) ця складова має радіальну компоненту і є чинником, що сприяє, а не перешкоджає перерозподілові частинок. Аналіз показує, що, якщо в є достатньо великим для появи локального мінімуму B, захоплені частинки перерозподіляються колапсом навіть при надкритичних енергіях. На наочному рівні цей результат можна пояснити таким чином: якщо час перезамкнення набагато перевищує альфвенівський, магнітна яма, утворена тиском плазми, рухається разом з плазмою і тягне з собою швидкі іони.

Як зазначалося в розділі 3, поздовжній рух пролітних іонів у звичайних токамаках, для яких , є швидшим, ніж прецесія. Для пролітних іонів у сферичних токамаках, які складають більшість популяції інжектованих швидких іонів, це може бути не так, оскільки відношення є більшим. Тому іони з цілком можуть бути надкритичними. Аналіз, виконаний для одного з розрядів пристрою NSTX, показує, що, незважаючи на це, вони можуть перерозподілятися і навіть втрачатися через резонансний острів , який наближається до границі плазми на зовнішньому обводі тора і глибоко заходить у плазму на внутрішньому.

У п'ятому розділі вивчається структура альфвенівського континууму (локальних альфвенівських резонансів) у стелараторах. У розділі виводяться редуковані рівняння зачеплених альфвенівських та повільних магнітозвукових хвиль у стелараторах. Неперервний спектр альфвенівської частини рівнянь описується рівнянням альфвенівського континууму (АК), яке в координатах Бузера (тут ш - тороїдальний магнітний потік всередині магнітної поверхні) .

Для обрахунку альфвенівських континуумів (АК) у стелараторах було розроблено числовий код COBRA (COntinuum BRanches of Alfvйn waves). У коді хвильова функція та коефіцієнти рівняння представляються як ряди Фур'є скінченної довжини, що зводить рівняння до задачі на власні значення для матриць. При розрахунках для неосесиметричних систем (стелараторів) виникає проблема відбору розв'язків, сутність якої можна пояснити таким чином. У першому наближенні , де поздовжнє хвильове число панівної гармоніки хвилі. У стелараторах, де хвиля містить гармоніки з різними n, розв'язки з довільно високими величинами m та n можуть мати близькі значення і знаходитися поруч по частоті. Тому, які б великі матриці не бралися для розрахунків, спектр залишається «засміченим» розв'язками, «зіпсованими» через скінченний розмір матриць. У коді втілено певну процедуру відбору розв'язків, яка дозволяє досягти високої точності спектрів. Порівняння з роботами інших авторів показує, що ця проблема залишається неусвідомленою. Код здатен сканувати континуум у цілому, знаходити окрему гілку з заданими номерами панівної гармоніки та розраховувати границі щілини (забороненої зони) у континуумі з заданими числами зачеплення (тобто щілини, що утворилася через зачеплення гармонік хвилі де N - кількість періодів стеларатора, завдяки гармоніці коефіцієнтів ). Код COBRA використовується в ІЯД НАН України та Інституті фізики плазми Макса Планка (Німеччина) для аналізу стелараторних експериментів.

Приклад АК, розрахованого для розряду № 56936 стеларатора Wendelstein 7-AS (W7-AS). Найширші щілини утворюються ґвинтовими гармоніками форми магнітних поверхонь. З цієї причини континуум розділяється на дві контрастні частини. Нижня частина якісно не відрізняється від континууму токамаків. Верхня має вигляд надзвичайно тонких стрічок, розділених широкими щілинами (наприклад, відносна ширина континуумної стінки між щілинами , де a - малий радіус плазми, складає біля ). Схожий вигляд має континуум стеларатора LHD. На Рис. 5 показано також частоти альфвенівських мод, що збуджувалися в розряді № 56936. Видно, вони потрапляють у певні щілини в АК; проте таке співставлення не є однозначним, тому для точної ідентифікації цих коливань потрібно розрахувати моди і розглянути їх збудження швидкими іонами.

У п'ятому підрозділі аналітичними та чисельними засобами вивчається ситуація, коли дві щілини з номерами та близько підходять одна до одної. Це означає, що стають майже рівними поздовжні періоди, тобто періоди вздовж магнітних силових ліній, тих гармонік коефіцієнтів рівняння , які утворили ці щілини. У цьому випадку, відкидаючи для спрощення решту гармонік, ми можемо записати коефіцієнти рівняння та на силовій лінії.

На магнітній поверхні, де щілини перетинаються (поздовжні періоди гармонік є рівними), дві гармоніки, що розглядаються зливаються в одну. Амплітуда цієї спільної гармоніки і, отже, ширина створеної нею щілини в континуумі залежать від силової лінії. Оскільки неперервний спектр у цілому є об'єднанням спектрів, що утворюються коливаннями плазми на окремих силових лініях, ширина щілини визначається тою силовою лінією, на якій вона є найменшою. Тому відбувається «анігіляція щілин» (менша щілина закривається, і її ширина віднімається від ширини більшої). Хвильові функції АК при цьому локалізуються на окремих силових лініях. Існування анігіляції щілин АК в стелараторах при їх перетинах між собою підтверджується числовими розрахунками.

Коли поздовжні періоди двох гармонік є близькими, але не рівними, їх можна розглядати як одну гармоніку змінної амплітуди (мають місце биття та ). Щоб наочно зрозуміти характер спектру рівняння у цьому випадку, треба згадати, що щілина в АК, яку утворює -гармоніка коефіцієнтів та , охоплює (якщо можна знехтувати впливом решти гармонік) інтервал частот , Ескіз континууму для випадку інтерференції двох гармонік показано на Рис. 6. Заборонена зона спектру частоти, нормованої як , знаходиться між огинаючими величини , які показано штриховою лінією. Оскільки ширина цієї забороненої зони змінюється вздовж силової лінії, спектр розпадається на кілька частин. Ззовні від огинаючих, при , де , , знаходиться континуум. Між ними, при , лежить щілина (зазначимо, що цей вираз знову свідчить про анігіляцію щілин: їх ширини віднімаються одна від одної). У проміжних зонах, при , хвилі локалізуються в певних частинах силової лінії (тих, у яких дві гармоніки, що розглядаються, мають протилежні фази). Локалізація має вести до виникнення дискретних рівнів частоти (квантування хвилі), але через тунелювання крізь області непрозорості ці рівні розпливаються у вузькі смужки континууму.

Показано також залежність

від вздовж силової лінії. Суцільна лінія - h, штрихові - огинаючі h, сірі горизонтальні смуги - континуум. Область між огинаючими є забороненою для континуумних хвиль, виключає з гамільтоніану швидкі осциляції з в основному порядку. Відкидаючи такі осциляції в решті порядків, ми отримуємо усереднений гамільтоніан, у якому переходимо до амплітудної змінної вигляду . Відповідні рівняння Гамільтона зводяться до рівняння Шредінґера. Слід зазначити, що така процедура усереднення є дуже точною, не підвищуючи при цьому порядок рівнянь. Аналіз отриманого рівняння Шредінґера, потенціальна енергія в якому є періодичною, схожою на потенціальну енергію електрона у кристалі, дозволяє отримати спектр частот, характер якого якісно відповідає. При цьому умовою існування розв'язків, що є захопленими в ямах потенціальної енергії і слабко тунелюють між ямами, є те, що відносна різниця між поздовжніми періодами гармонік є достатньо малою :. Іншими словами, це означає, що ширина щілин, утвореними цими гармоніками, перевищує відносну відстань по частоті між ними.

Таким чином, інтерференція гармонік параметрів рівноважної конфіґурації з достатньо близькими поздовжніми періодами веде до захоплення континуумних хвиль у «хвильоводах» - тих частинах магнітної поверхні, де ці гармоніки мають тенденцію до скорочення. Зокрема, фази гармонік метричного тензора, які виникають завдяки ґвинтовій видовженості та ґвинтовій трикутності магнітних поверхонь і домінують у високочастотній частині АК стелараторів, у типовому стелараторі є однаковими на зовнішньому обводі тора. Тому хвильоводи, утворені цими гармоніками, розташовуються на внутрішньому обводі тора. Така локалізація хвильових функцій континууму може позначатися на просторовій структурі поглинання енергії альфвенівських хвиль плазмою, але в дисертації це питання не розглядалося.

У шостому розділі розглядається структура альфвенівських власних мод (АВМ) у стелараторах, а також їх резонансна дія на перенос у плазмі. При цьому розгляд АВМ орієнтований у першу чергу на оптимізовані стеларатори лінії Вендельштайн, у яких магнітний шир підтримується дуже низьким.

У першому підрозділі виводяться аналітичні вирази для метричного тензора бузерівських координат поблизу магнітної осі в стелараторах. Ці вирази використовуються при аналізі структури АВМ.

Було знайдено, що при моди є множинними, тобто існує кілька мод з певними модовими номерами . У другому підрозділі ці результати узагальнюються на загальну ізольовану щілину в стелараторі, тобто щілину, в якій істотне зачеплення між гармоніками хвилі створює лише одна гармоніка параметрів конфіґурації - та, що створила щілину. При цьому виявляються дві можливі ситуації. У загальній ситуації АВМ мають вигляд двох послідовностей, частоти яких наближаються до верхньої та нижньої меж щілини. Якщо ж має місце певне виродження (як для EAE-мод) послідовність мод формується тільки біля одної межі щілини.

У третьому підрозділі розглядається структура АВМ для випадку, коли дві щілини є дуже близькими (тобто в ситуації, що розглядалася в підрозділі 5.5). Для цього використовується балонне наближення, яке є чинним для локалізованих мод з великими модовими номерами. Потенціал хвилі береться в ейкональній формі: , де ейконал S є сталим уздовж силових ліній, - малий параметр, який указує на те, що розглядаються хвилі з , функція описує як поведінку хвилі вздовж силових ліній, так і повільну трансверсальну огинаючу хвильового пакета (Dewar R. L., Glasser A. H. Ballooning mode spectrum in general toroidal systems // Phys. Fluids. - 1983. - Vol. 26, no. 10. - Pp. 3038-3052). Після підстановки цього виразу в рівняння альфвенівських коливань плазми (при цьому для спрощення розглядається тільки випадок, коли тиск плазми є нехтовним) отримується балонне рівняння відносно.

Розглядається випадок, коли компоненти метричного тензора та магнітне поле містять дві гармоніки з близькими поздовжніми періодами. Процедура усереднення через зведення рівняння до гамільтонової системи, яку було використано в розділі 5 для розв'язання рівняння АК, дає змогу звести рівняння до рівняння Шредінґера. Виявляється, що потенціальна енергія цього рівняння має ями в тих самих місцях, де знаходяться в цій ситуації хвильоводи континуумної хвилі. Це означає, що АВМ також є захопленими в хвильоводах з такою ж просторовою структурою. Зокрема, інтерференція гармонік форми перерізу плазми (ґвинтових видовженості та трикутності перерізу плазми), які домінують у високочастотній частині альфвенівського спектру, захоплює моди на внутрішньому обводі тора.