Сітки сингулярностей в оптичних полях

На основі „скалярної версії” рівнянь (3) миттєві сингулрності виникають у двох випадках:

1. Усі три компоненти дорівнюють нулю в певний момент часу. Цей випадок відповідає випадку виникнення дисклінації.

2. Тільки поперечна компонента дорівнює нулю. Ця ситуація відповідає одночасній рівності нулю величин і .

Виходячи з цього, виникнення дефекту вектора Умова-Поінтінга при одночасній рівності нулю всіх трьох компонент потребує уточнення поняття дисклінації для скалярного поля. На відміну від векторного поля, де дисклінації “точкові” дефекти, в скалярному полі вони є рухомими “крайовими” дефектами. Більше того, точкові дисклінації не існують у скалярному полі. Таку ситуацію можна пояснити базуючись на неперервності поля і того факту, що амплітуда лінійно-поляризованої хвилі в кожній точці поля два рази за період коливання набуває нульового значення. Поперечна компонента обертається навколо центра вихору з подвійною частотою коливання хвилі. Напрямок обертання визначається знаком топологічного заряду вихору.

Часова поведінка поперечної компоненти для певної області випадкового скалярного поля ілюструється рисунком 4. Крайові дисклінації обертаються навколо центрів вихорів поля у відповідності зі знаками їх топологічних зарядів. Дисклинації, які обертаються в різних напрямках, що відповідають відповідним сусіднім вихорам, сходяться в сідлових точках фази (рис. б,в,г) і знову розходяться в напрямку, ортогональному до напрямку їх зближення (рис. 4a). Напрям руху дисклінацій указано на рисунках білими стрілками.

Другий тип миттєвих дефектів, що виникають у скалярному полі - це дефекти поперечної складової вектора Умова-Поінтінга, що відповідають її нульовому значенню і ненульовому значенню -компоненти. Такі сингулярності мають точковий характер. Можливі реалізації точкових сингулярностей можуть бути зведені до типів, представлених на рисунку 5. На відміну від вихрових сингулярностей, усереднених за просторовими координатами і малим інтервалом часу момент імпульсу поля дорівнює нулю в невеликому околі такої сингулярності. Тому надалі будемо називати сингулярності такого типу “пасивними”.

З рисунка 5, видно, що пасивні сингулярності можуть характеризуватися як додатним (сингулярність типу “зірка” - рис. 5б,д), так і від'ємним (сингулярність типу “сідло” - рис. 5a) індексом Пуанкаре. Сусідні пасивні сингулярності різних знаків об'єднуються лініями струму поперечної складової вектора Умова-Поінтінга у сингулярні сітки. Причому сідловий характер від'ємної сингулярності забезпечує топологічний зв'язок між додатними дефектами. Тому такі сингулярності народжуються і зникають парами ((+) и (-) сингулярність) без утворення додаткових дефектів.

Рух таких сингулярностей підпорядковується певним закономірностям. Точкові пасивні сингулярності обов'язково проходять через усі стаціонарні точки фази й інтенсивності.

Легко можна показати, що усереднення базових скалярних співвідношень дасть такий результат:

, (4)

де - усередненні компоненти вектора Умова-Поінтінга, - модуль амплітуди, - похідні від фази, - кругова частота світлового коливання, - швидкість світла.

Як і в попередньому випадку, існує можливість виникнення двох типів сингулярностей:

1. Усі компоненти усередненого вектора Умова-Поінтінга дорівнюють нулю (рис. 5б,в). Цей випадок відповідає усередненій вихровій сингулярності, локалізованій у центрі вихору. Модуль амплітуди нульовий. В області центру вихору спостерігається “класична” прецесія вектора Умова-Поінтінга, яка відповідає так званій вихровій сингулярності (рис. 5б,в). Обидва випадки, асоціюються з позитивним індексом Пуанкаре . Тому для повної характеристики такої сингулярності необхідно ввести додатковий параметр типу хіральність . Нехай додатна хіральність (рис. 5в) відповідає прецесії вектора за годинниковою стрілкою, а від'ємна (рис. 5б) характеризує протилежно спрямовану прецесію.

2. Дорівнює нулю тільки поперечна компонента (рис. 5a,г,д). Це випадок усереднених пасивних сингулярностей. Їх координати збігаються з координатами стаціонарних точок фази поля. Напрям розповсюдження енергії в цих точках збігаються з віссю . Саме ці точки поля “задають” переважний напрям розповсюдження скалярної хвилі.

Від'ємні (сідлові) пасивні сингулярності забезпечують топологічний зв'язок між вихровими сингулярностями з однаковою хіральність, тоді як сусідні вихори з різним напрямом прецесії вектора Умова-Поінтінга з'єднуються лініями струму поперечної компоненти цього вектора безпосередньо.

У четвертому розділі розглядаються сингулярності вектора Умова-Поінтінга у векторних полях.

Миттєві сингулярності вектора Умова-Поінтінга виникають у точках поля, де спостерігається дисклінація або нуль поперечної компоненти цього вектора.

Як відомо, дисклінації є точковими дефектами векторного поля [1,6]. Дисклінації пересуваються вздовж -контурів, народжуються і зникають. Кількість їх на -контурі може змінюватися тільки на парне число, тобто як і всі топологічні дефекти вони виникають і зникають тільки парами [1]. Рух дисклінацій, їх взаємозв'язок, взаємозв'язок з іншими польовими структурами відбувається відповідно до топологічних зв'язків і закономірностей. Тому події, асоційовані із сингулярностями вектора Умова-Поінтінга, що народжені дисклінаціями, підпорядковуються аналогічним закономірностям.

З рівняння (3) не випливає ніяких обмежень щодо знаку сингулярності, асоційованої з дисклинацією. Більше того, позитивні миттєві дефекти вектора Умова-Поінтінга можуть бути як вихровими, так і пасивними. Цей факт ілюструється результатами комп'ютерного моделювання, наведеними на рисунку 6. Зауважимо, що такі дефекти можуть обидва бути вихровими, тобто обидві сингулярності характеризуються однаковими індексами Пуанкаре і відрізняються лише хіральністю. Різниці в хіральності досить для забезпечення зв'язку між народженими вихорами Умова-Поінтінга, але не досить для утворення топологічного зв'язку з іншими польовими структурами.

Виходячи із цього, можливі два випадки народження і зникнення сингулярностей вектора Умова-Поінтінга, асоційованих з дисклінаціями:

1. На -контурі народилися дві подібні вихрові сингулярності. Вони володіють різною хіральністю, а їхні індекси Пуанкаре однакові (позитивні). Виходячи із закону збереження сумарного топологічного індексу, паралельно народженню цих сингулярностей у тій же точці поля (на -контурі) повинно відбутися народження двох негативних дефектів. Природно, що це пасивні сингулярності, які відразу ж після акту народження залишають
-контур і йдуть у середину область з еліптичною поляризацією. Так з'являються або зникають чотири дефекти поля поперечної компоненти вектора Умова-Поінтінга.

2. Другий випадок відповідає народженню позитивної та негативної сингулярностей, асоційованих з дисклінацією. У цьому випадку народжуються (зникають) лише дві сингулярності вектора Умова-Поінтінга.

Народження й анігіляція сингулярностей може супроводжуватися появою і зникненням додаткових сингулярностей. У загальному випадку геометричне місце точок таких сингулярностей не пов'язане з -контуром. Подібні сингулярності можуть з'являтися незалежно від народження дисклінацій. При цьому такі сингулярності можуть бути як пасивними, так і вихровими.

Виникнення сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга в області елементарних поляризаційних комірок пов'язане з наявністю в цій області -точок з певними характеристиками.

Тип сингулярності (вихрова або пасивна) залежить від співвідношення знаків топологічного заряду головної фази -точки і закручуючого фактора в області аналізу. Вихрова сингулярность виникає у випадку, коли ці знаки різні. Пасивна сингулярність утвориться, коли знаки і однакові. Співвідношення між топологічним зарядом та індексом -точки представляється наступним чином:

(5)

У такому випадку можна стверджувати, що вихрова сингулярність поперечної компоненти вектора Умова-Поінтінга відповідає -точкам з негативним індексом (або просто негативним -точкам) і пасивний дефект вектора виникає неподалік від позитивних -точок. Хіральність синуглярності визначається знаком закручуючого фактора хвилі області, де розташована негативна -точка. Поперечна компонента вектора Умова-Поінтінга циркулює навколо „Поінтінг-вихору” за годинниковою стрілкою в області з правою поляризацією (, ) і вона прецесує у протилежному напрямку в регіонах з лівою поляризацією (, ).

У цьому випадку модуль поперечної складової поводиться аналогічно своїй поздовжній складовій і відбувається “ротація” поля у часі навколо
-точки з подвійною частотою світлового коливання. Напрямок ротації визначається лише знаком топологічного заряду головної фази.

Усереднений за часом (по одному періоду коливань хвилі ) момент імпульсу поля в області має вигляд:

(6)

де - потужність вихрового пучка в області .

Завдяки фазовій або амплітудній асиметрії, що виникає хоча б в одній з ортогональних компонент, сингулярність поперечної складового вектора Умова-Поінтінга, а значить, і точка прикладання максимального усередненого моменту імпульсу поля зсувається щодо позиції -точки. Цим і пояснюється, що в загальному випадку позиції -точок і позиції сингулярностей вектора Умова-Поінтінга не збігаються.

Елементарна поляризаційна комірка з -точкою в середині області, обмеженої замкнутим -контуром, сформована методом суперпозиції циркулярно-поляризованого вихрового пучка й ортогонально-поляризованої опорної хвилі з Гаусовим розподілом інтенсивності.

Експериментальне розташування, що використовується для дослідження орбітального моменту імпульсу поля наведене на Рис.7.

Лінійно-поляризований пучок He-Ne лазера спрямовується в інтерферометр Маха-Цандера (елементи 2-8). Цей пучок перетворюється в ортогонально циркулярно-поляризовані пучки за допомогою чвертьхвильових пластинок 3,6. Один з них проходить через вихрову комп'ютерно-синтезовану голограму 7. Після цієї голограми утворюється циркулярно-поляризований вихор. На виході інтерферометра формується поляризаційно-неоднорідне поле, що містить -точку. Далі результуюче поле фокусується за допомогою мікрооб'єктива 11 у площину зразка з мікрочастинками 12 і формує оптичну пастку. Результат впливу пучка на мікрочастинки спостерігається за допомогою оптичної системи 13,14 з CCD-камерою. Для формування оптичної пастки використовувався -мікро-об'єктив з одиничною апертурою. Поперечні розміри пастки 8 - 10 мкм.

Знак орбітального моменту імпульсу (напрямок впливу поля в поперечній площині) можна легко змінювати вибором дифракційного порядку після вихрової голограми 7. Відомо [13], що вихори, сформовані в позитивному і негативному дифракційному порядках, відрізняються знаком топологічного заряду.

Аналізатор 9 міг вводитися в пучок після інтерферометра з метою візуалізації поляризаційної модуляції в пастці. Позиції вихору поляризаційної проекції співпадають з координатами точок, у яких спостерігаються дисклінації Ная, що рухаються уздовж -контуру під дією часових змін векторного поля.

В якості тест-об'єкта були обрані мікрочастинки в мастилі. Поведінка захопленої пасткою частки ілюструється рисунками 8 і 9.

Рис. 8 Рис. 9

Як видно з рисунка 8, захоплена частка обертається за годинниковою стрілкою. Період обертання частинки близько 4-5 секунд. Рисунок 9 відповідає ситуації, коли знак вихору, який формує поляризаційну пастку, змінювався на протилежний, що відповідає зміні знаку орбітального моменту імпульсу. Частинка починала обертатися проти годинникової стрілки зі значно меншою швидкістю. У цьому випадку період обертання становив близько 8-10 секунд. Розходження між періодами обертання в першому і другому випадку може бути пояснено тільки тим, що в першій ситуації спіновий момент впливає на частинку в тому ж напрямку, що і орбітальний, а при зміні топологічного заряду -точки спіновий момент компенсує орбітальний.

Наступний результат (рисунок 10) ілюструє вплив орбітального моменту імпульсу поля на маленьку поглинаючу темну частинку, захоплену темним дифракційним кільцем, яке оточує поляризаційну пастку.

З рисунка видно, що частинка обертається по межі “головної” області пастки. Такий характер обертання частинки можна пояснити тільки наявністю орбітального моменту імпульсу поля. Розмір частинки сягав величини порядку 2-4 мкм. Період обертання 0.5-1 секунда.

Додамо, що існування орбітального моменту імпульсу в околі -точки цікаво не тільки з фундаментального погляду, але може бути використано й у прикладному аспекті для створення світлих поляризаційних пасток з контрольованим орбітальним моментом імпульсу поля.

У висновках викладено найбільш важливі наукові та практичні результати, отримані в дисертаційній роботі.

У результаті проведення дисертаційного дослідження виявлено новий тип сингулярностей електромагнітної хвилі - сингулярності вектора Умова-Поінтінга. Аналітично та експериментально встановлено взаємозв'язок: між системами таких сингулярностей з множинами традиційних оптичних сингулярностей; між параметрами сіток особливих точок векторного поля та традиційними усередненими характеристиками цього поля.

На основі отриманих результатів можна зробити такі висновки:

1. Усереднені поляризаційні характеристики векторного поля однозначно визначаються параметрами систем особливих точок (вихорів різниці фаз, сідлових точок різниці фаз, азимута поляризації), які утворюють скелетон поля.

2. Дисперсія різниці фаз ортогональних компонент (дисперсія азимуту поляризації) визначається середньою відстанню між найближчими вихорами одного знаку, що відносяться до різних ортогональних компонент.

3. Пасивні миттєві сингулярності скалярних полів є точковими дефектами поперечної складової вектора Умова-Поінтінга і характеризуються відсутністю миттєвого моменту імпульсу поля в невеликому околі таких сингулярностей. Крайові миттєві сингулярності скалярних полів є протяжними дисклінаціями поля і виникають уздовж ліній, які збігаються з еквіфазними лініями поля. Координати усереднених вихрових сингулярностей вектора Умова-Поінтінга скалярного поля збігаються з позиціями фазових вихорів поля. Координати усереднених пасивних сингулярностей у скалярному полі збігаються з позиціями стаціонарних точок фази поля.

4. Координати миттєвих сингулярностей вектора Умова-Поінтінга векторного поля найчастіше збігаються з позиціями миттєвих нулів поля. Проте вони можуть виникати і в середині області з неоднорідною поляризацією. Сингулярності вектора Умова-Поінтінга, які асоціюються з дисклінаціями, можуть і не відповідати вихровим сингулярностям. У цьому випадку вони є пасивними сингулярностями поперечної складової цього вектора. При виникненні на контурі двох вихрових сингулярностей у цій же точці народжуються додаткові миттєві пасивні сингулярності векторного поля, які після виникнення залишають контур.

5. Вихрові сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга у векторному полі пов'язані з -точками з негативним топологічним індексом. Хіральність вихрових сингулярностей визначається закручуючим фактором хвилі в області. Пасивні усереднені сингулярності вектора Умова-Поінтінга векторного поля відповідають позитивним -точками. Локалізація сингулярностей вектора Умова-Поінтінга і -точок у загальному випадку різна.

6. В околі негативних -точок виникає момент імпульсу електромагнітного поля внаслідок сумарної дії спінового та орбітального моментів. В околі позитивних -точок момент імпульсу поля дорівнює нулю внаслідок взаємної компенсації спінового та орбітального моментів.

7. Позиції сингулярних точок вектора Умова-Поінтінга зсуваються щодо позицій -точок під впливом асиметрії розподілів градієнтів фаз і градієнтів модулів амплітуд ортогональних компонент векторного поля. Величина зсуву визначається співвідношенням величин цих градієнтів.

Список праць, опублікованих автором

1. R.Brandel, A.Mokhun, I.Mokhun, Ju.Viktorovskaya. Fine structure of heterogeneous vector field and his space averaged polarization characteristics. // Opt. Appl. 2006. V. 36. N1 P. 79-95.

2. I. Mokhun, R.Brandel and Ju.Viktorovskaya. Angular momentum of electromagnetic field in areas of polarization singularities // UJPO. 2006. V.7. N2. P. 63-73.

3. I.Mokhun, A.Mokhun and Ju.Viktorovskaya. Singularities of the Poynting vector and the structure of optical fields // UJPO. 2006. V.7. N3. P. 129-141.

4. Р. Брандель, Ю. Вікторовська, А. Мохунь, І. Мохунь. Зв'язок тонкої структури неоднорідного векторного поля і його усереднених поляризаційних характеристик. // Наук. Вісник ЧНУ, Фізика, електроніка. 2005. вип. 261. С. 49-56.

5. I. Mokhun, D. Byrkovets, A.Gogynets, Ju. Viktorovskaya. Computer simulation of the referenceless holography algorithm for transmitted data encryption and decryption.// Proc. SPIE. 2002. V. 4607. P. 148-152.

6. A. Arkheluk, R. Brandel I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. Angular momentum of electromagnetic field in areas of optical singularities. // Proc SPIE. 2004. V. 5477. P. 47-54.

7. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, D. Cojoc, O. Angelsky, E. Di Fabrizio. Orbital angular momentum of inhomogeneous electromagnetic field produced by polarized optical beams. // Proc. SPIE. 2004. V. 5514. P. 652-662.

8. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, D. Cojoc, E. Di Fabrizio. Angular momentum of inhomogeneous polarized field.// Proc. SPIE. 2005. V. 5972. P. 23-29.

9. R. Brandel, A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. Space averaged polarization characteristics of inhomogeneous vector field. // Proc. SPIE. 2005. V. 5972. P. 38-45.

10. R. Brandel, A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, I. Kurchenko, I. Davidenko, I. Sidorchuk. Optical trapping and manipulation micro objects with different optical characteristics. // Proc. SPIE. 2005. V. 5972. P. 46-50.

11. A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. The behavior of the pointing vector in the area of elementary polarization singularities.,// Proc. SPIE. 2006. V. 6254. P. 64-72.

12. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. Singularities of the Poynting vector and the structure of optical field. // Proc. SPIE. 2006. V. 6254. P. 73-82.

13. I. Mokhun, A. Angelskaya, A. Mokhun, J. Viktorovskaya. Behavior of the transversal component of the Poynting vector in the area of interference trap.// Proc. SPIE. 2006. V. 6254. P. 83-88.

Анотація

Вікторовська Ю.Ю. Сітки сингулярностей в оптичних полях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.04.05 - „Оптика, лазерна фізика”. - Чернівецький національний університет, Чернівці, 2006.

Побудована система сингулярностей поля вектора Умова-Поінтінга для поля загального типу. Сформульовані топологічні закономірності для дефектів такого типу. Аналітично й експериментально встановлений взаємозв'язок: систем сингулярностей вектора Умова-Поінтінга з традиційними оптичними сингулярностями; між параметрами сіток особливих точок векторного поля та його традиційними усередненими характеристиками.

Експериментально досліджено наявність орбітального моменту імпульсу в області поля, що містить -точку. Отримані результати є теоретичною основою розробки оптичних пінцетів нового типу, що дозволяють контролювати та керувати параметрами технологічних процесів, які оперують з об'єктами мікронних і субмікронних розмірів, незалежно від оптичних характеристик мікрооб'єктів.

Ключові слова: компонентний вихор, векторне поле, параметри Стокса, вектор Умова-Поінтінга, поляризаційні сингулярності, -контур, -точка, оптична пастка, орбітальний момент імпульсу поля.