Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Энергетический факультет

Кафедра теплоэнергетики

Краткий конспект лекций

Основы тепломассообмена

Тулебаева Ж.А.

Павлодар

УДК 621.1(07)

ББК 31.3я7

Т 34

Рекомендовано к изданию методическим советом энергетического факультета ПГУ им. С. Торайгырова

Рецензенты: кандидат технических наук, доцент Баубеков К. Т.

Составитель Ж. А. Тулебаева

Т34 Тепломассообмен: краткий конспект лекций. - Павлодар, 2008. - 55 с.

В кратком конспекте лекций рассматриваются основные темы и приводятся основные определения, законы по дисциплине «Тепломассообмен», показаны цели дисциплины, приведены материалы по основным темам.

Конспект лекций разработан в соответствии с Государственным стандартом специальности 050717 «Теплоэнергетика» ГОСО РК 3.07.094-2006 и типовой программой

УДК 621.1(07)

ББК 31.3я7

Тулебаева Ж.А., 2008

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, 2008

Содержание

Введение

1. Основные виды передачи тепла

2. Роль теплоты и ее использование

3. Теплопроводность плоской стенки

3.1 Однородная стенка

3.2 Многослойная стенка

4. Теплопроводность цилиндрической стенки

4.1 Однородная стенка

4.2 Многослойная стенка

5. Теплопроводность шаровой стенки и тел неправильной формы

5.1 Однородная шаровая стенка

5.2 Тела неправильной формы

6. Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты

6.1 Теплопроводность плоской стенки

6.2 Теплопроводность круглого стержня

6.3 Теплопроводность цилиндрической стенки

7. Конвективный теплообмен

7.1 Общие понятия и определения

8. Дифференциальные уравнения теплообмена

9. Основы теории подобия

10. Теплообмен в жидкостях и газах

10.1 Теплоотдача при обтекании плоской поверхности (пластины)

11. Лучистый теплообмен

11.1 Виды лучистых потоков

11.2 Законы теплового излучения

11.3 Теплообмен лучеиспусканием между телами

11.4 Лучеиспускание газов

11.5 Совместная передача тепла конвекцией и лучеиспусканием

11.6 Черные температуры

11.7 Потери тепла в окружающую среду

Литература

Введение

Теплота, кинетическая часть внутренней энергии вещества, определяемая интенсивным хаотическим движением молекул и атомов, из которых это вещество состоит. Мерой интенсивности движения молекул является температура. Количество теплоты, которым обладает тело при данной температуре, зависит от его массы; например, при одной и той же температуре в большой чашке с водой заключается больше теплоты, чем в маленькой.

Теплота играет важную роль в жизни человека, в том числе и в функционировании его организма. Часть химической энергии, содержащейся в пище, превращается в теплоту, благодаря чему температура тела поддерживается вблизи 37 градусов Цельсия. Тепловой баланс тела человека зависит также от температуры окружающей среды, и люди вынуждены расходовать много энергии на обогрев жилых и производственных помещений зимой и на охлаждение их летом. Большую часть этой энергии поставляют тепловые машины, например котельные установки и паровые турбины электростанций, работающих на ископаемом топливе (угле, нефти) и вырабатывающих электроэнергию.

До конца 18 в. теплоту считали материальной субстанцией, полагая, что температура тела определяется количеством содержащейся в нем «калорической жидкости», или «теплорода». Позднее Б.Румфорд, Дж.Джоуль и другие физики того времени путем остроумных опытов и рассуждений опровергли «калорическую» теорию, доказав, что теплота невесома и ее можно получать в любых количествах просто за счет механического движения. Теплота сама по себе не является веществом - это всего лишь энергия движения его атомов или молекул. Именно такого понимания теплоты придерживается современная физика.

Теплообмен или теплопередача - это процесс переноса теплоты внутри тела или от одного тела к другому, обусловленный разностью температур. Интенсивность переноса теплоты зависит от свойств вещества, разности температур и подчиняется экспериментально установленным законам природы. Чтобы создавать эффективно работающие системы нагрева или охлаждения, разнообразные двигатели, энергоустановки, системы теплоизоляции, нужно знать принципы теплопередачи. В одних случаях теплообмен нежелателен (теплоизоляция плавильных печей, космических кораблей и т.п.), а в других он должен быть как можно больше (паровые котлы, теплообменники, кухонная посуда).

1. Основные виды передачи тепла

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и лучистый теплообмен или тепловое излучение.

Теплопроводность. Если внутри тела имеется разность температур, то тепловая энергия переходит от более горячей его части к более холодной. Такой вид теплопередачи, обусловленный тепловыми движениями и столкновениями молекул, называется теплопроводностью; при достаточно высоких температурах в твердых телах его можно наблюдать визуально. Так, при нагревании стального стержня с одного конца в пламени газовой горелки тепловая энергия передается по стержню, и на некоторое расстояние от нагреваемого конца распространяется свечение (с удалением от места нагрева все менее интенсивное). Интенсивность теплопередачи за счет теплопроводности зависит от градиента температуры, т.е. отношения Т/x разности температур на концах стержня к расстоянию между ними. Она зависит также от площади поперечного сечения стержня (в м²) и коэффициента теплопроводности материала [в соответствующих единицах Вт/(м ·К)].

Соотношение между этими величинами было выведено французским математиком Ж.Фурье и имеет следующий вид

или ,

где Q, q - тепловой поток и плотность теплового потока, в Вт и Вт/м², - коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К), F- площадь поперечного сечения, м².

Это соотношение называется законом теплопроводности Фурье; знак «минус» в нем указывает на то, что теплота передается в направлении, обратном градиенту температуры.

Из закона Фурье следует, что тепловой поток можно понизить, уменьшив одну из величин - коэффициент теплопроводности, площадь или градиент температуры. Для здания в зимних условиях последние величины практически постоянны, а поэтому для поддержания в помещении нужной температуры остается уменьшать теплопроводность стен, т.е. улучшать их теплоизоляцию. теплопроводность конвекция лучеиспускание

Теплопроводность металлов обусловлена колебаниями кристаллической решетки и движением большого числа свободных электронов (называемых иногда электронным газом). Движение электронов ответственно и за электропроводность металлов, а потому неудивительно, что хорошие проводники тепла (например, серебро или медь) являются также хорошими проводниками электричества.

Тепловое и электрическое сопротивление многих веществ резко уменьшается при понижении температуры ниже температуры жидкого гелия (1,8 K). Это явление, называемое сверхпроводимостью, используется для повышения эффективности работы многих устройств - от приборов микроэлектроники до линий электропередачи и больших электромагнитов.

Конвекция. При подводе тепла к жидкости или газу увеличивается интенсивность движения молекул, а вследствие этого повышается давление. Если жидкость или газ не ограничены в объеме, то они расширяются; локальная плотность жидкости (газа) становится меньше, и благодаря выталкивающим (архимедовым) силам нагретая часть среды движется вверх (именно поэтому теплый воздух в комнате поднимается от батарей к потолку). Данное явление называется конвекцией. Иными словами перенос теплоты из области с одной температурой в область с другой температурой, сопровождающийся переносом самой среды называется конвекцией. Конвекция в основном встречается только в жидкостях и газах. Чтобы не расходовать тепло отопительной системы впустую, нужно пользоваться современными обогревателями, обеспечивающими принудительную циркуляцию воздуха.

Конвективный тепловой поток от нагревателя к нагреваемой среде зависит от начальной скорости движения молекул, плотности, вязкости, теплопроводности и теплоемкости и среды; очень важны также размер и форма нагревателя. Соотношение между соответствующими величинами подчиняется закону Ньютона

,

где q - тепловой поток, (измеряемый в ваттах), F - площадь поверхности источника тепла (в м²), - температуры источника и его окружения (в кельвинах). Коэффициент конвективного теплопереноса (коэффициент теплоотдачи) б зависит от свойств среды, начальной скорости ее молекул, а также от формы источника тепла, и измеряется в единицах Вт/(м²·К).

Конвекцию необходимо учитывать при проектировании теплообменников, систем кондиционирования воздуха, высокоскоростных летательных аппаратов и многих других устройств. Во всех подобных системах одновременно с конвекцией имеет место теплопроводность, причем как между твердыми телами, так и в окружающей их среде. При повышенных температурах существенную роль может играть и лучистый теплообмен.

Лучистый теплообмен. Третий вид теплопередачи - лучистый теплообмен - отличается от теплопроводности и конвекции тем, что теплота в этом случае может передаваться через вакуум. Сходство же его с другими способами передачи тепла в том, что он тоже обусловлен разностью температур. Тепловое излучение - это один из видов электромагнитного излучения (происходит за счет распространения электромагнитных волн). Другие его виды - радиоволновое, ультрафиолетовое и гамма-излучения - возникают в отсутствие разности температур. Тепловое излучение может сопровождаться испусканием видимого света, но его энергия мала по сравнению с энергией излучения невидимой части спектра. Интенсивность теплопередачи путем теплопроводности и конвекции пропорциональна температуре, а лучистый тепловой поток пропорционален четвертой степени температуры и подчиняется закону Стефана - Больцмана

где q - тепловой поток (в джоулях в секунду, т.е. в Вт), A - площадь поверхности излучающего тела (в м²), а T₁ и T₂ - температуры (в кельвинах) излучающего тела и окружения, поглощающего это излучение. Коэффициент называется постоянной Стефана - Больцмана и равен (5,66961 0,00096)·10-⁸ Вт/(м² ·К⁴). Представленный закон теплового излучения справедлив лишь для идеального излучателя - так называемого абсолютно черного тела. Ни одно реальное тело таковым не является, хотя плоская черная поверхность по своим свойствам приближается к абсолютно черному телу. Светлые же поверхности излучают сравнительно слабо. Чтобы учесть отклонение от идеальности многочисленных «серых» тел, в правую часть выражения, описывающего закон Стефана - Больцмана, вводят коэффициент, меньший единицы, называемый излучательной способностью. Для плоской черной поверхности этот коэффициент может достигать 0,98, а для полированного металлического зеркала не превышает 0,05. Соответственно лучепоглощательная способность высока для черного тела и низка для зеркального.

Жилые и офисные помещения часто обогревают небольшими электрическими теплоизлучателями; красноватое свечение их спиралей - это видимое тепловое излучение, близкое к границе инфракрасной части спектра. Помещение же обогревается теплотой, которую несет в основном невидимая, инфракрасная часть излучения. В приборах ночного видения применяются источник теплового излучения и приемник, чувствительный к ИК-излучению, позволяющий видеть в темноте.

Мощным излучателем тепловой энергии является Солнце; оно нагревает Землю даже на расстоянии 150 млн. км. Интенсивность солнечного излучения, регистрируемая год за годом станциями, расположенными во многих точках земного шара, составляет примерно 1,37 Вт/м². Солнечная энергия - источник жизни на Земле. Ведутся поиски способов наиболее эффективного ее использования. Созданы солнечные батареи, позволяющие обогревать дома и получать электроэнергию для бытовых нужд.

2. Роль теплоты и ее использование

Глобальные процессы теплообмена не сводятся к нагреванию Земли солнечным излучением. Массивными конвекционными потоками в атмосфере определяются суточные изменения погодных условий на всем земном шаре. Перепады температуры в атмосфере между экваториальными и полярными областями совместно с кориолисовыми силами, обусловленными вращением Земли, приводят к появлению непрерывно изменяющихся конвекционных потоков, таких, как пассаты, струйные течения, а также теплые и холодные фронты. Перенос тепла (за счет теплопроводности) от расплавленного ядра Земли к ее поверхности приводит к извержению вулканов и появлению гейзеров. В некоторых регионах геотермальная энергия используется для обогрева помещений и выработки электроэнергии. Теплота - непременный участник почти всех производственных процессов. Упомянем такие наиболее важные из них, как выплавка и обработка металлов, работа двигателей, производство пищевых продуктов, химический синтез, переработка нефти, изготовление самых разных предметов - от кирпичей и посуды до автомобилей и электронных устройств. Многие промышленные производства и транспорт, а также теплоэлектростанции не могли бы работать без тепловых машин - устройств, преобразующих теплоту в полезную работу. Примерами таких машин могут служить компрессоры, турбины, паровые, бензиновые и реактивные двигатели. Важным источником теплоты для таких целей, как производство электроэнергии и транспортные перевозки, служат ядерные реакции. В 1905 А.Эйнштейн показал, что масса и энергия связаны соотношением E = mc², т.е. могут переходить друг в друга. Скорость света c очень велика и равна 300 тыс. км/с. Это означает, что даже малое количество вещества может дать огромное количество энергии. Так, из 1 кг делящегося вещества (например, урана) теоретически можно получить энергию, которую за 1000 суток непрерывной работы дает электростанция мощностью 1 МВт.

3. Теплопроводность плоской стенки

3.1 Однородная стенка

Рассмотрим однородную стенку толщиной д (рис. 1), коэффициент теплопроводности л, которой постоянен. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Теплопроводность через плоскую однородную стенку

На основании закона Фурье [уравнение (1-1)] для этого случая можно написать

или , (1)

Плотность теплового потока q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому

, (2)

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при х = 0 t = t₁ = С, а при х = д t = t₂. Подставляя эти значения в уравнение (2), имеем

, (3)

Из уравнения (3) определяется неизвестное значение плотности теплового потока q, а именно

, (4)

Следовательно, количество теплоты, переданное через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности л. и разности температур наружных поверхностей Дt и обратно пропорционально толщине стенки д.

Уравнение (4) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины: q, л, д и Дt. Зная из них любые три, можно найти четвертую

и , (5)

Отношение л/ д называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина д/л - термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока.

Если в уравнение (2) подставить найденные значения С и плотности теплового потока q, то получим уравнение температурной кривой

, (6)

Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура однородной стенки. изменяется по линейному закону. В действительности же вследствие своей зависимости от температуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы.

Для подавляющего большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры имеет линейный характер вида л = л₀(1 + bt). В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем

, (7)

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим

, (8)

Подставляя в уравнение (8) граничные значения переменных, имеем при х=0 t=t₁

, (9)

и при x=у t=t₂

, (10)

} (11)

Новая расчетная формула (6) несколько сложнее формулы (4). Там мы принимали коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению л_m. Приравнивая друг другу правая часть этих формул, имеем

, (12)

Следовательно, если л_m определяется по среднеарифметическому из граничных значений температур стенок, то формулы (4) и (6) равнозначны.

С учетом зависимости коэффициента теплопроводности л от температуры уравнение температурной кривой в стенке получается путем решения уравнения (6) относительно t и подстановки значения С, а именно

(13)

Следовательно, в этом случае температура стенки изменяется не линейно, а по кривой. При этом если коэффициент b положителен, выпуклость кривой направлена вверх, а если b отрицателен - вниз.

3.2 Многослойная стенка

Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоев, называются многослойными. Именно такими являются, например, стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой - внешняя облицовка. Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев.

Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 1-8). Толщина первого слоя д₁ второго д₂ и третьего д₃ . Соответственно коэффициенты теплопроводности слоев л₁, л₂ и л_3. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t₁ и t₄. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t₂ и t₃.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Теплопроводность через плоскую многослойную стенку

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова. Поэтому на основании уравнения (4) можно написать

} (14)

Из этих уравнений легко определить температурные напоры в каждом слое

} (15)

Сумма температурных напоров в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (15), получаем

(16)

Из соотношения (16) определяем значение плотности теплового потока

(17)

По аналогии с изложенным можно сразу написать расчетную формулу для n-слойной стенки

(18)

Так как каждое слагаемое знаменателя в формуле (17) представляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения (18) следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных термических сопротивлений.

Если значение плотности теплового потока из уравнения (17) подставить в уравнение (15), то получим значения неизвестных температур t ₂ и t ₃

,

, (19)

.

Внутри каждого слоя температура изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (рис. 2).

Значения неизвестных температур t₂ и t_з многослойной стенки можно определить также графически (рис. 3).

Рисунок 3 - График определения неизвестных температур t₂ и t₃ многослойной стенки

При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев, откладываются значения их термических сопротивлений д₁/л₁, д₂/л₂ и д₃/л₃, восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе, откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур t₂ и t_з. При таком построении ДАВС =ДАDЕ.

Иногда ради сокращения выкладок многослойную стенку рассчитывают как однослойную (однородную) толщиной Д. При этом в расчет вводится так называемый эквивалентный коэффициент теплопроводности л_эк, который определяется из соотношения

(20)

Отсюда имеем

(21)

Для n-слойной стенки

(22)

Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности л_эк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев.

При выводе расчетной формулы для многослойной стенки мы предполагали, что слои плотно прилегают друг к другу и благодаря идеальному тепловому контакту соприкасающиеся поверхности разных слоев имеют одну и ту же температуру. Однако если поверхности шероховаты, тесное соприкосновение невозможно и между слоями образуются воздушные зазоры. Так как теплопроводность воздуха мала [л = 0,025 Вт/(м·С)], то наличие даже очень тонких зазоров может сильно повлиять в сторону уменьшения эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной стенки. Аналогичное влияние оказывает и слой окисла металла. Поэтому при расчете и в особенности при измерении теплопроводности многослойной стенки следует обращать внимание на плотность контакта между слоями.

4. Теплопроводность цилиндрической стенки

4.1 Однородная стенка

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала л постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁>t₂ (рис. 1-11) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями.

Рисунок 4 - Теплопроводность через цилиндрическую однородную стенку

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно

, (23)

Разделив переменные, имеем

(24)

После интегрирования уравнения

(25)

Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁ t = t₁ и при r = r₂ t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу

(26)

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу времени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности л, длине l и температурному напору Дt,_. и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁. Формула (26) справедлива и для случая, когда t₁ < t₂, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины 1, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид

, (27)

, (28)

, (29)

Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q₁ и q₂. Взаимная связь между ними определяется соотношением

(30)

(31)

Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (25). Подставляя сюда значения Q и С, имеем

(32)

Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности л температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 4). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид

(33)

4.2 Многослойная стенка

Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения смотрите на рис. 5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5 - Теплопроводность через цилиндрическую многослойную стенку

Кроме того, известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t₁ и t₄. в местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t₂ и t₃.

При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (26) можно написать

(34)

} (35)

Складывая отдельно, левые и правые части системы уравнений (35), имеем

} (36)

Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор

(37)

из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока

(38)

По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n- слойной стенки

(39)

Значения неизвестных температур t₂ и t₃ поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (36)

(40)

Согласно уравнению (40), внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую (рис. 5).

Приведенные расчетные формулы можно упростить.

Логарифмическую расчетную формулу для трубы (26) можно представить в следующем, более простом виде

(41)

(42)

здесь - средний диаметр

- толщина стенки трубы

- влияние кривизны стенки при этом учитывается коэффициентом кривизны. Его значение определяется отношением диаметров d₂/d₁.

Для различных отношений d₂/d₁ значения различно. При d₂/d₁ <2 значение близко к единице. Поэтому если толщина стенки трубы по сравнению с диаметром мала или, если отношение d₂/d₁ близко к единице, влиянием кривизны стенки можно пренебречь.

Для расчета теплопроводности многослойной стенки трубы такая упрощенная формула имеет следующий вид:

(43)

где д_i - толщина слоя стенки; d_mi - средний диаметр; л_i коэффициент теплопроводности; _i - коэффициент кривизны отдельных слоев.

5. Теплопроводность шаровой стенки и тел неправильной формы

5.1 Однородная шаровая стенка

Рассмотрим полый шар с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Стенка шара состоит из однородного материала, коэффициент теплопроводности л, которого постоянен. Известны температуры внутренней и внешней поверхностей шара t₁ и t₂, причем t₁> t₂ (рис. 6). Изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности.

Рисунок 6 - Теплопроводность через шаровую однородную стенку

Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом r и толщиной dr ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен

(44)

Разделив переменные, получим

(45)

После интегрирования этого уравнения имеем

(46)

Подставляя в уравнение (46) значения переменных величин на границах стенки (при r = r₁, t = t₁ и при r = r₂, t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу

(47)

где д = (d₁-d₂)/2 - толщина стенки.

Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значение Q и С, получаем

(48)

Уравнение (48) представляет собой уравнение гиперболы. С учетом же зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид

(49)

5.2 Тела неправильной формы

Каждая из выше рассмотренных расчетных формул применима лишь для одного вида геометрически правильного тела - плоского, цилиндрического или шарового. Расчет теплопроводности всех этих тел можно охватить одной формулой, которая имеет следующий вид

(50)

где F_x - расчетная поверхность тела.

В зависимости от геометрической формы тела F_x определяется различно; если F₁ - внутренняя и F₂ - внешняя поверхности, то

а) для плоской, цилиндрической стенки и шаровой стенки при F₂/F₁<2

(51)

б) для цилиндрической стенки при F₂/F₁>2

(52)

в) для шаровой стенки при F₂/F₁>2

(53)

Преимущество формулы (50) заключается в том, что по ней можно также приближенно рассчитать теплопроводность ряда тел неправильной геометрической формы, например теплопроводность плоской стенки, у которой F₁ ? F₂, т.е. когда поперечное сечение в направлении теплового потока представляет собой переменную величину, теплопроводность любых цилиндрических сечений, ограниченных плавными кривыми, теплопроводность всяких замкнутых тел, у которых все три линейных размера между собой близки.

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например, бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным. Поэтому указанный способ расчета объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо использовать современную вычислительную технику. Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного эксперимента, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели.

При выводе расчетных формул принималось, что температуры поверхностей тела постоянны. В практических расчетах это условие не всегда удовлетворяется. В таких случаях поступают следующим образом. Если в отдельных точках поверхности температуры отличаются незначительно, то производят осреднение температур по поверхности, и с этой средней температурой расчет производится, как с постоянной. Осреднение температуры по поверхности осуществляется либо по формуле

(54)

где F₁, F₂, F_n - отдельные участки поверхности с постоянной температурой; t₁, t₂, t_n - температуры этих участков, либо путем интегрирования

(55)

Если же температура по поверхности изменяется резко, то такой приближенный расчет может приводить к заметным погрешностям. В этом случае необходим более сложный расчет, связанный с интегрированием дифференциального уравнения теплопроводности, либо непосредственный эксперимент.

6. Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты

На практике могут встретиться случаи, когда теплота возникает внутри объема тела за счет внутренних источников, например за счет прохождения электрического тока, химических реакций, ядерного распада и т. п. Поскольку объемное тепловыделение может быть не только равномерным, но и неравномерным, для таких процессов важным является понятие мощности внутренних источников теплоты. Эта величина, обозначаемая q_v, определяет собой количество теплоты, выделяемое единицей объема тела в единицу времени, она измеряется в Вт/м³. При поглощении теплоты внутри объема тела, например при эндотермической реакции, величина q_v отрицательна; она характеризует интенсивность объемного стока теплоты.

При наличии внутренних источников (стоков) теплоты основной задачей является расчет температурного поля внутри тела.

6.1 Теплопроводность плоской стенки

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной 2д, коэффициент теплопроводности л которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v. Выделившаяся теплота через боковые поверхности стенки передается в окружающую среду. Относительно площади стенки в среднем сечении процесс теплопроводности будет протекать симметрично, поэтому именно здесь целесообразно поместить начало координат, а ось х направить перпендикулярно боковым поверхностям (рис. 7).

Рисунок 7 - Теплопроводность с внутренними источниками теплоты в трубе

Из уравнения теплового баланса следует, что при наличии внутренних источников теплоты плотность теплового потока в плоской стенке линейно возрастает с увеличением х и равна

(56)

Из этого уравнения видно, что при х =0 q = 0, а при х = д q_д = q_v д, т. е. достигает своего максимального значения. Согласно закону Фурье

(57)

Произведя разделение переменных, имеем

(58)

Интегрируя это уравнение, получаем

(59)

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При х = 0 t = t₀ = С, и уравнение изменения температуры принимает вид

(60)

При х = д, t = t_c; в этом случае из уравнения (59) следует

(61)

Здесь разность t₀ - t_c означает перепад температуры между серединой и внешними поверхностями плоской стенки, а q_д = q_лд - плотность теплового потока на этих граничных поверхностях (при х = д).

Если температура t₀ неизвестна, то значение постоянной С можно выразить через t_c и уравнение температурной кривой в этом случае, принимает вид

(62)

Приведенные выводы показывают, что при наличии равномерно распределенных внутренних источников теплоты распределение температур в плоской стенке носит параболический характер. Наибольшее значение температура имеет в средней плоскости (х = 0).

При больших перепадах температуры необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, . При х = 0 и . Подставляя значение С в уравнение (62) и решая последнее относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой

(63)

6.2 Теплопроводность круглого стержня

Рассмотрим бесконечно длинный стержень (цилиндр) с радиусом r₀ (рис. 8), коэффициент теплопроводности л которого постоянен. Внутри этого стержня имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v. Выделившаяся теплота через внешнюю поверхность стержня передается в окружающую среду.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 - Теплопроводность круглого стержня с внутренними источниками теплоты

Уравнение теплового баланса для любого цилиндрического элемента внутри стержня радиуса r и длиной l имеет вид

(64)

Отсюда следует, что при наличии внутренних источников теплы в стержне плотность теплового потока q_r изменяется пропорционально радиусу

(65)

Из этого уравнения видно, что при r = 0, q_r = 0, а при r = r₀ , т. е. достигает своего максимального значения.

Согласно закону Фурье

, (66)

, (67)

Интегрируя уравнение (67), получаем:

(68)

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , , уравнение температурной кривой принимает вид

(69)

При , , , и уравнение принимает следующий вид

(70)

Вычитая из уравнения (69) уравнение (70), получаем перепад температуры по радиусу стержня

(71)

где q_l = q_vрr₀².

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры то, подставляя это значение в уравнение (71), будем иметь

(72)

Интегрируя это уравнение, получаем

(73)

Значение постоянной интегрирования С определяется из граничных условий. При , и . Подставляя это значение в уравнение (73) и решая последнее относительно t, получаем следующее уравнение температурной кривой

(74)

6.3 Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂, коэффицент теплопроводности л которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v. Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.

а)Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами r₁ и r, ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 9 - Теплопроводность цилиндрической стенки с внутренними источниками теплоты

Согласно закону Фурье через поверхность радиуса r переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины

, (75)

В рассматриваемом случае . Подставляя это значение в уравнение и производя преобразование, получаем

(76)

Интегрируя уравнение (76), имеем

(77)

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , и .

Подставляя значение С получаем уравнение температурной кривой

(78)

Полагая, что значение , получаем перепад температуры в стенке

(79)

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то уравнение температурной кривой принимает следующий вид

(80)

б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы.

Схема процесса показана на рис. 8. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому и итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться, за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:

уравнение температурной кривой

(81)

перепад температур в стенке

, (82)

(83)

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры л = л₀(1 + bt), то уравнение температурной кривой принимает следующий вид

(84)

в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) - внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее q = 0.

Рисунок 10 - Теплота отводится через обе поверхности трубы

Положим, что радиус этой поверхности равен r_0,, а температура t₀ (рис. 9). Тогда, используя уравнения будем иметь

(85), (86)

Вычитая, левые и правые части этих уравнений, получаем

(87)

Решая уравнение (87) относительно r₀, имеем

(88)

Подставляя найденное значение r₀ в уравнения (86) и (87), определяем значение t₀. Если t₁ = t₂, то уравнение (88) упрощается и принимает следующий вид

(89)

Последнее означает, что в этом случае r₀ от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы (например, при ' r₂= 2 и r₁ = 1 r₀ = 1,46).

7. Конвективный теплообмен

7.1 Общие понятия и определения

Конвективным теплообменом или теплоотдачей называется .процесс переноса теплоты между поверхностью твердого тела и жидкой средой. При этом перенос теплоты осуществляется одновременным действием теплопроводности и конвекции.

Явление теплопроводности в жидкостях и газах, так же как и в твердых телах, вполне определяется коэффициентом теплопроводности и температурным градиентом (см. гл. 1). Иначе обстоит дело с явлением конвекции - вторым элементарным видом распространения теплоты. Здесь процесс переноса теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. Поэтому конвекция возможна лишь в жидкостях и газах, частицы которых могут легко перемещаться.

По природе возникновения различают два вида движения свободное и вынужденное. Свободным называется движение, происходящее вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жидкости в гравитационном поле. Возникновение и интенсивность свободного движения определяются тепловыми условиями процесса и зависят от рода жидкости, разности температур, напряженности гравитационного поля и объема пространства, в котором протекает процесс. Свободное движение называется также естественной конвекцией. Вынужденным называется движение, возникающее под действием посторонних возбудителей, например насоса вентилятора и пр. В общем случае наряду с вынужденным движением одновременно может развиваться и свободное. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разность температур в отдельных точках жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения.

Интенсивность конвективного теплообмена характеризуется коэффициентом теплоотдачи б с которой определяется по формуле Ньютона - Рихмана

(90)

Согласно этому закону тепловой поток Q пропорционален поверхности теплообмена F и разности температур стенки и жидкости (t _с - t_ж).

Коэффициент теплоотдачи можно определить как количество теплоты, отдаваемого в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и жидкостью,0 равной одному градусу:

(91)

В общем случае коэффициент теплоотдачи может изменяться вдоль поверхности теплообмена, и поэтому различают средний по поверхности коэффициент теплоотдачи и местный (локальный) коэффициент теплоотдачи, соответствующий единичному элементу поверхности.

Процессы теплоотдачи неразрывно связаны с условиями движения жидкости. Как известно, имеются два основных режима течения ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме течение имеет спокойный, струйчатый характер. При турбулентном - движение неупорядоченное, вихревое (рис. 10). Изменение режима движения происходит при некоторой «критической» скорости которая в каждом конкретном случае различна.

В результате специальных исследований О. Рейнольдс в 1883 г. устоновил, что в общем случае режим течения жидкости определяется не только одной скоростью, а особым безразмерным комплексом w/v, состоящим из скорости движения жидкости w, кинематического коэффициента вязкости жидкости v и характерного размера l: канала или обтекаемого тела. Теперь такой комплекс называется числом Рейнольдса и обозначается символом Re = wl/v. Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при критическом значении этого числа Re_кр. Например, при движении жидкости в трубах Re_кр = w_кр d/v = 2 10³.

Рисунок 11 - Режимы течения жидкостей

При турбулентном движении весь поток насыщен беспорядочно движущимися вихрями, которые непрерывно возникают и исчезают. В точности механизм вихреобразования еще не установлен. Одной из причин их возникновения является потеря устойчивости ламинарного течения, сопровождающаяся образованием завихрений, которые затем диффундируют в ядро и, развиваясь, заполняют весь поток. Одновременно с этим вследствие вязкости жидкости эти вихри постепенно затухают и исчезают. Благодаря непрерывному образованию вихрей и их диффузии происходит сильное перемешивание жидкости, называемое турбулентным смешением. Чем больше вихрей, тем интенсивнее перемешивание жидкости и тем больше турбулентность. Различают естественную и искусственную турбулентность. Первая устанавливается естественно. Для случая стабилизированного движения внутри гладкой трубы турбулентность вполне определяется значением числа Re. Вторая вызывается искусственным путем вследствие наличия в потоке каких - либо преград, турбулизирующих решеток и других возмущающих источников. Однако при любом виде турбулентности в тонком слое у поверхности из-за наличия вязкого трения течение жидкости затормаживается и скорость падает до нуля. Этот слой принято называть вязким подслое.

Для процессов теплоотдачи режим движения рабочей жидкости имеет очень большое значение, так как им определяется механизм переноса теплоты. При ламинарном режиме перенос теплоты в направлении нормали к стенке в основном осуществляется путем теплопроводности. При турбулентном режиме такой способ переноса теплоты сохраняется лишь в вязком подслое, а внутри турбулентного ядра перенос осуществляется путем интенсивного перемешивания частиц жидкости. В этих условиях для газов и обычных жидкостей интенсивность теплоотдачи в основном определяется термическим сопротивлением пристенного подслоя, которое по сравнению с термическим сопротивлением ядра оказывается определяющим. В этом легко убедиться, если проследить за изменением температуры жидкости в направлении нормали к стенке (рис. 2-2).Как видно, наибольшее изменение температуры происходит в пределах тонкого слоя у поверхности, через который теплота передаeтся путем теплопроводности. Следовательно, как для ламинарного, так и для турбулентного режима течения вблизи самой поверхности применим закон Фурье.

8. Дифференциальные уравнения теплообмена

Изучить какое-либо явление - значит установить зависимость между величинами, характеризующими это явление. Для сложных явлений, в которых определяющие величины меняются во времени и в пространстве, установить зависимость между переменными очень трудно. В таких случаях, применяя общие законы физики, ограничиваются установлением связи между переменными (координатами, временем и физическими свойствами), которая охватывает небольшой промежуток времени и элементарный объем пространства. Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. После интегрирования этого уравнения получают аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и рассматриваемого интервала времени.

Такие дифференциальные уравнения могут быть составлены для любого процесса и, в частности, для процесса теплоотдачи. Так как теплоотдача определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями, то совокупность этих явлений описывается системой дифференциальных уравнений, в которую входят уравнения теплопроводности, уравнение движения и уравнение сплошности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе закона сохранения энергии.

Выделим в движущемся потоке жидкости элементарный параллелепипед с гранями dx, dy и dz и, считая физические параметры л, с_р и с постоянными, напишем для него уравнение теплового баланса. Если изменением давления пренебречь, то согласно первому закону термодинамики количество подведенной теплоты равно изменению энтальпии тела.

Рисунок 12 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

...