Подсчитаем приток теплоты через грани элемента вследствие теплопроводности. Согласно закону Фурье количество теплоты, проходящее за время dф в направлении оси х через грань ABCD.

После сокращения на dx, dy, dz, dT и перенесения в правую часть С_рс уравнение принимает такой вид

(92)

Это и есть дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа. Оно устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды; здесь а - коэффициент температуропроворности и Д² - оператор Лапласа.

Так как подставляя это значение в уравнение (92), имеем:

(93)

В таком виде уравнение применяется при изучении процесса - теплопроводности в движущихся жидкостях. В применении к твердым телам уравнение (93) принимает следующий вид

(94)

Приравнивая друг другу вышеприведенные уравнения и производя сокращение на dv, окончательно имеем

(95)

Все члены этого уравнения имеют размерность силы, отнесенной к единице объема (Н/м³).

Произведя сокращение и перенеся все члены в левую часть этого равенства, окончательно получим

(96)

Это и есть дифференциальное уравнение сплошности или непрерывности в самом общем виде.

Для несжимаемых жидкостей плотность постоянна. В этом случае уравнение (96) принимает более простой вид

(97)

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем

(98)

Это уравнение, позволяющее по известному полю температур в жидкости определить коэффициент теплоотдачи, называется уравнением теплопередачи.

9. Основы теории подобия

Теория подобия - это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован.

а) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются уравнениями, одинаковыми как по форме, так и по содержанию.

б) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие. Последнее означает, что подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.

в) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Сходственными точками геометрически подобных систем называются такие, координаты которых удовлетворяют условию (99)

, ,

(99)

Два промежутка времени ф' и ф" называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия, т.е. ф" = C_ф ф'.

г) Наконец, подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина ц' первого явления пропорциональна однородной с ней величине ц" второго явления, т. е.

(100)

Коэффициент пропорциональности с_ц называется константой (постоянной) подобия; ни от координат, ни от времени с_ц не зависит. При этом каждая физическая величина ц имеет свою постоянную подобия с_ц, численно отличную от других. Чтобы знать, к какой величине относится постоянная подобия, при каждой из них ставится соответствующий индекс.

Таким образом, сущность подобия двух явлений означает подобие полей одноименных физических величин, определяющих эти явления. Так, в процессе конвективного теплообмена температура, скорость, давление, а также часто и физические параметры среды (коэффициенты вязкости, теплопроводность, плотность и др.) в различных точках могут иметь различные значения. Подобие двух таких процессов означает подобие всех этих величин во всем объеме рассматриваемых систем, т. е. подобие полей этих величин. Для каждой из этих величин: скорости w, температурного напора Дt и т. д. существует своя постоянная подобия c_w, с_Дt и т. д. Полный перечень всех величин, характеризующих рассматриваемые явления, может быть установлен только при наличии математического описания явлений.

Постоянные подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или выбирать произвольно. Между ними всегда имеются строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математического описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами подобия (инвариантами), которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из величин, характеризующих явление. Нулевая размерность является их характерным свойством. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области наук, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий, например: Re (Reynolds), Еu (Euler), Nu (Nusselt) или просто буквами: К, N и др.

Числа подобия можно получить для любого физического процесса. Для этого необходимо иметь его математическое описание. Последнее является необходимой предпосылкой теории подобия. Без этого все учение о подобии свелось бы лишь к простому определению подобия.

Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем. Первая теорема подобия устанавливает связь между постоянными подобия и позволяет выявить числа подобия. В общей форме эта теорема формулируется так: подобные между собой процессы имеют одинаковые числа подобия.

На основании второй теоремы подобия зависимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия К_1, К_2, ... К_п:

(101)

Зависимость вида (101) называется уравнением подобия. Так как для всех подобных между собой процессов числа подобия сохраняют одно и то же значение, то уравнения подобия для них также одинаковы. Следовательно, представляя результаты какого либо опыта в числах подобия, мы получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подобных между собой процессов.

До сих пор рассматривались свойства подобных между собой явлений, когда подобие уже существует. Однако возможна и обратная постановка вопроса: какие условия необходимы и достаточны, чтобы процессы были подобны. На такой вопрос дает ответ третья теорема подобия, которая формулируется так: подобные процессы, условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из величин, входящих в условия однозначности, должны иметь одинаковое численное значение.

На основании этой теоремы оказывается необходимым особо выделить числа подобия, составленные только из величин, входящих в условия однозначности. Они называются определяющими или критериями подобия. Инвариантность (одинаковость) определяющих чисел подобия является условием, которое должно быть выполнено для получения подобия. Одинаковость же чисел подобия, содержащих и другие величины, не входящие в условия однозначности, получается сама собой как следствие установившегося подобия; эти числа подобия называются определяемыми.

Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, установить уравнения подобия, которые справедливы для всех подобных между собой процессов.

Такие обобщенные зависимости, однако, ограничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходящие за пределы этих ограничений. Всегда нужно помнить, что общего решения теория подобия не дает: она позволяет лишь обобщить опытные данные в области, ограниченной условиями подобия. Поэтому результаты отдельного опыта закономерно распространять только на подобие между собой явления и процесса.

10. Теплообмен в жидкостях и газах

10.1 Теплоотдача при обтекании плоской поверхности (пластины)

Гидродинамические условия развития процесса

При продольном течении жидкости вдоль плоской поверхности происходит образование динамического пограничного слоя, в пределах которого вследствие сил вязкого трения скорость изменяется от значения скорости невозмущенного потока w₀ на внешней границе слоя до нуля на самой поверхности пластины. По мере движения потока вдоль поверхности толщина пограничного слоя постепенно возрастает;

Рисунок 13 - Гидродинамические условия развития процесса

тормозящее воздействие стенки распространяется на все более далекие слои жидкости. На небольших расстояниях от передней кромки пластины пограничный слой весьма тонкий и течение жидкости в нем носит струйный ламинарный характер. Далее, на некотором расстоянии х_кр в пограничном слое начинают возникать вихри и течение принимает турбулентный характер. Вихри обеспечивают интенсивное перемешивание жидкости в пограничном слое, однако в непосредственной близости от поверхности они затухают и здесь сохраняется очень тонкий вязкий подслой. Описанная картина развития процесса показана на рис. 11.

Толщина пограничного слоя б зависит от расстояния от передней кромки пластины, скорости потока w₀ и кинематического коэффициента вязкости v. При ламинарном пограничном слое

(102)

При турбулентном пограничном слое

(103)

где Re_x = w_oxlv - число Рейнольдса, в котором в качестве характерного размера принято расстояние х.

Переход к турбулентному режиму течения жидкости в пограничном слое определяется критическим значением числа Рейнольдса

(104)

которое при продольном обтекании пластины обычно принимают равным 5·10⁵.

11. Лучистый теплообмен

Лучеиспускание свойственно всем телам, при этом излучение энергии происходит непрерывно в результате сложных внутриатомных возмущений, интенсивность которых определяется температурой тела. Лучистая энергия представляет собой энергию электромагнитных колебаний с различными длинами волн, которые исходят от тела и распространяются в вакууме со скоростью света с=3•10⁸. Обычно рассматривается так называемое тепловое излучение, которому соответствуют длины волн от 0,4 до 40 мк. Такие лучи могут поглощаться другими телами, причем при поглощении их лучистая энергия снова переходит в тепловую. Возбудителями электромагнитных волн являются заряженные материальные частицы, т. е. электроны и ионы, входящие в состав вещества. При этом колебания ионов соответствуют излучению низкой частоты; излучение, обусловленное движением электронов, может иметь высокую частоту, если они входят в состав атомов и молекул и удерживаются около своего равновесия значительными силами.

При попадании лучистой энергии на какое-либо тело поглощается лишь часть этой энергии; другая ее часть отражается, а некоторая часть проходит сквозь тело. Тела, поглощающие всю падающую на них лучистую энергию, называются абсолютно черными. Тела, полностью отражающие падающую на них лучистую энергию, называются абсолютно белыми, а тела, пропускающие всю падающую на них энергию, - абсолютно прозрачными.

Абсолютно черных, белых и прозрачных тел в природе не существует. Практически прозрачными телами являются одно- и двухатомные газы - воздух, азот, кислород, водород и др. Твердые тела и жидкости для тепловых лучей непрозрачны.

Поглощение и отражение лучистой энергии твердыми телами в значительной степени зависит от состояния их поверхности: гладкие и полированные поверхности обладают высокой отражательной способностью; шероховатые поверхности, наоборот, обладают высокой поглощательной способностью. Наиболее высокой поглощательной способностью, близкой к абсолютно черному телу, обладает сажа, которая поглощает 90 - 96% падающей на нее лучистой энергии.

В металлах многие электроны являются свободными. Поэтому в этом случае нельзя говорить о колебаниях около центров равновесия. Электроны движутся и при этом испытывают нерегулярное торможение. Вследствие этого излучение металлов приобретает характер импульсов и имеет волны различной частоты и в том числе волны низкой частоты. Помимо волновых свойств, излучение обладает также и корпускулярными свойствами. Корпускулярные свойства состоят в том, что лучистая энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными дискретными порциями - квантами света или фотонами. Испускаемый фотон - частица материи, обладающая энергией, количеством движения и электромагнитной массой. Прохождение фотонов через вещество есть процесс поглощения и последующего испускания энергии фотонов атомами и молекулами этого вещества.

Таким образом, излучение имеет двойственный характер, поскольку оно обладает свойствами непрерывности поля электромагнитных волн и свойствами дискретности, типичными для фотонов. Синтезом обоих свойств является представление, согласно которому энергия и импульсы сосредоточиваются в фотонах, а вероятность нахождения их в том или ином месте пространства - в волнах. Соответственно этому излучение характеризуется длиной волны (л) или частотой колебаний (х=с/л).

Все виды электромагнитного излучения имеют одинаковую природу и различаются лишь длиной волны. Большинство твердых и жидких тел имеет сплошной спектр излучения, т. е. излучает энергию всех длин волн в интервале от 0 до ?. К числу твердых тел, имеющих сплошной спектр излучения относятся непроводники и проводники электричества, а также различные металлы в окисленном состоянии. Некоторые тела излучают энергию только в определенных интервалах длин волн, т. е. испускают энергию с прерывистым спектром. К ним относятся чистые металлы и газы. Излучение различных тел различно. Оно зависит от природы тела, температуры, состояния поверхности, а для газов - еще от толщины слоя и давления. Большинство встречающихся в природе и технике твердых и жидких тел имеет значительную поглощательную и излучательную способность. Вследствие этого в процессах лучистого теплообмена участвуют лишь тонкие поверхностные слои. Газообразные тела имеют значительно меньшее излучение, чем твердые и жидкие тела. Поэтому в излучении газов участвуют все его частицы, и процесс теплового излучения носит объемный характер.

Излучение всех тел зависит от температуры. С увеличением температуры излучение увеличивается, так как увеличивается внутренняя энергия тела. Изменение температуры тела вызывает не только изменение абсолютной величины интенсивности излучения, но сопровождается еще и изменением спектрального состава или «цвета» излучения. С повышением температуры повышается интенсивность коротковолнового излучения и уменьшается интенсивность длинноволновой части спектра. Зависимость излучения от температуры значительно большая, чем в процессах теплопроводности и конвекции. Поэтому при низких температурах преобладающую роль может играть теплообмен за счет конвекции и теплопроводности, а при высоких - основным видом переноса тепла может быть тепловое излучение.

11.1 Виды лучистых потоков

Тело излучает энергию при данной температуре в виде спектра. Энергия излучения в единицу времени, относящаяся к узкому интервалу изменений длин волн от л до л + dл, называется потоком монохроматического, спектрального или однородного излучения (Q_л). Суммарное излучение с поверхности тела по всем длинам волн спектра называется интегральным или полным лучистым потоком (Q).

Интегральный лучистый поток, испускаемый с единицы поверхности тела, называется плотностью интегрального излучения, Вт/м²

, (105)

где dQ - лучистый поток, Вт, испускаемый с элемента поверхности dF, м². Лучистый поток по всей поверхности можно выразить как

, (106)

здесь F - полная поверхность тела, м².

Различают понятия сферического и полусферического излучения, определяемые как интегральные величины от яркости излучения соответственно по сферическому и полусферическому телесным углам.

Часть падающей энергии излучения, поглощенной данным телом, называется поглощенным излучением. При поглощении лучистая энергия вновь превращается во внутреннюю энергию. Плотность поглощенной энергии равна

E_погл = AE_пад (107)

здесь А - коэффициент поглощения.

Для абсолютно черных тел А = 1. Тело, поглощающее все падающие на него лучи, воспринимается зрением как черное тело. Если поверхность поглощает все лучи, кроме видимых световых, она не кажется черной, хотя по лучистым свойствам она близка к абсолютно черному телу, поскольку имеет высокую поглощающую способность (например, для льда и снега А = 0,95 ч 0,98).

Тела, для которых коэффициент А_л для монохроматического излучения не зависит от длины волны, называются серыми телами. Для серых тел А_л = const?1, так как серые тела поглощают не всю падающую на них лучистую энергию. Часть падающей энергии будет отражаться или пропускаться через объем этих тел. Плотность отраженного излучения

Е_отр = RE_пад, (108)

где R - коэффициент отражения.

Если R = 1 и процессы отражения от поверхности подчиняются законам геометрической оптики, то поверхность тела называют зеркальной; при диффузном отражении поверхность называют абсолютно белой. Часть падающей энергии излучения, проходящая сквозь тело, называется пропускательным излучением

Е_проп = DE_пад, (109)

где D - коэффициент проницаемости.

Тела, у которых D =1, называются проницаемыми, прозрачными или диатермичными телами (тонкие слои сухого воздуха, одноатомных газов). Для твердых и жидких тел принимается D = 0, так как практически вследствие значительной поглощательной способности они поглощают лучистую энергию в тонком поверхностном слое.

Совокупные процессы взаимного испускания, поглощения, отражения и пропускания энергии излучения в системах различных тел называются лучистым теплообменом, причем тела, входящие в данную излучающую систему, могут иметь одинаковую температуру. Для тела, участвующего в лучистом теплообмене с другими телами, согласно закону сохранения энергии можно составить следующие уравнения теплового баланса.

Для плотности падающего излучения

Е_пад = Е_погл + Е_отр + Е_проп, (110)

Уравнение теплового баланса может быть записано также в форме

A + R + D = 1, (111)

если предыдущую зависимость поделить на Е_пад и учесть предыдущие соотношения.

Сумма собственного излучения и отраженного излучения, испускаемого поверхностью данного тела, называется эффективным излучением. Плотность потока эффективного излучения выражается зависимостью

Е_эфф = Е + RE_пад, (112)

Эффективное излучение зависит не только от физических свойств и температуры данного тела, но и от физических свойств и температуры других окружающих его тел. Кроме того, оно зависит от формы, размеров и относительного расположения тел в пространстве.

Результирующее излучение представляет собой разность между лучистым потоком, получаемым данным телом, и лучистым потоком, который оно посылает в окружающее его пространство. Результирующее излучение может быть определено двумя способами. Относительно условной поверхности, находящейся вблизи тела

q_рез = Е - Е_погл = Е - АЕ_пад, (113)

Второй способ определения плотности результирующего потока приводит к соотношению

q_рез = Е_эфф - Е_пад, (114)

Между результирующим и эффективным излучениями можно установить связь. Тогда эффективное излучение

Е_эфф = q_рез + Е_пад, (115)

а падающее излучение

, (116)

Заменив Е_пад в первой зависимости второй, получим

, (117)

Для черного тела А = 1 и Е_эфф = Е₀.

Из изложенного следует, что все виды полусферического излучения, кроме собственного излучения, являются линейными функциями падающего излучения. Собственное излучение объединяется и увязывается с другими видами излучения через эффективное излучение.

11.2 Законы теплового излучения

Закон Планка. В силу общей природы электромагнитных волн основные законы, которым подчиняется излучение, являются для них общими. Эти законы получены применительно к идеальному телу, которым является абсолютно черное тело, и термодинамически равновесному излучению. При равновесном излучении все тела, входящие в данную замкнутую излучающую систему, принимают одинаковую температуру.

Закон Планка является одним из основных законов излучения. Он устанавливает зависимость интенсивности излучения от температуры и длины волны, Вт/м²

, (118)

здесь с₁ = 0,321•10^-15 ккал•м²/ч = 0,374•10^-15 вт•м² - первая постоянная Планка; с₂ = 1,4388•10^-2 м•°К - вторая постоянная Планка; л - длина волны, м; Т - абсолютная температура, °К.

Согласно уравнению каждой длине волны соответствует свое значение интенсивности излучения. Поскольку закон Планка получен для идеального тела, для реальных тел он выражает максимально возможную интенсивность излучения.

Закон Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана устанавливает зависимость плотности интегрального полусферического излучения от температуры. Согласно этому закону количество тепла Q, излучаемого в единицу времени, пропорционально поверхности излучающего тела F и четвертой степени его абсолютной температуры Т. Для технических расчетов этот закон можно записать в следующем виде