Физика гальваномагнитных эффектов и их применение

Подвижность электрона - это величина, которая характеризует, насколько свободно электрон движется через полупроводник. При низких температурах, когда рассеянием на фононах можно пренебречь, подвижность в современных гетероструктурах GaAs/AlGaAs превышает таковую в кремниевых полевых МДП-транзисторах почти в 1000 раз! Сегодня такие модулировано легированные образцы представляют собой самое совершенное воплощение концепции двумерного металла, в котором практически отсутствует нежелательное рассеяние. В частности, длина свободного пробега электрона в таких структурах составляет более 0,2 мм, т.е. электрон проводимости проходит мимо двух миллионов атомов, не испытывая рассеяния. За время, прошедшее с момента изобретения, техника модулированного легирования весьма продвинулась. Так что подвижность электронов в гетороструктурах возросла с тех пор более чем в тысячу раз.

Глава 4. Квантовый эффект Холла

Двумерный электронный газ в магнитном поле. «Исследование полупроводников и Нобелевская премия по физике кажутся несовместимыми, поскольку обычно считается, что такая сложная система, какой является полупроводниковый транзистор, мало пригодна для фундаментальных открытий» - так начал свою Нобелевскую лекцию Клаус фон Клитцинг. «До 1980 года никто и не ожидал, что в полупроводниках возможен такой эффект, который определяется исключительно фундаментальными константами и совершенно не зависит от температуры и способа изготовления образца».

Открытию квантового эффекта Холла предшествовало обнаружение другого интересного эффекта - исчезновения сопротивления двумерного металла в сильном магнитном поле.

Как известно, классический электрон в магнитном поле движется по круговой орбите, радиус r которой определяется из уравнения Ньютона

простым соотношением r = mv/eB, где m, e - масса и заряд электрона, v - его скорость.

Частота обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле, носящая название циклической частоты щ = 2рn, где n = 1/T - частота обращения электрона, а T = 2рr/v - период обращения электрона по круговой орбите, может быть получена, если использовать формулу для радиуса орбиты электрона в магнитном поле, в виде: щ = щ_c= eB/m.

В классической механике энергия электрона в магнитном поле может быть любой и определяется только значением скорости v.

Обсудим теперь, к каким результатам приводит квантовомеханическое рассмотрение задачи о движении электрона в магнитном поле. В этом случае некоторые результаты классической механики остаются справедливыми, а некоторые существенно изменяются. Хорошо известно, что вращательное движение в плоскости может быть получено суперпозицией двух колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Квантовомеханический гармонический осциллятор

Обычным способом квантования является замена физических величин операторами. Квантовомеханический гамильтониан для одномерного гармонического осциллятора имеет вид:

,

где операторы и подчиняются обычному коммутативному соотношению

.

Удобно ввести вместо операторов и операторы рождения и уничтожения и в виде

.

Операторы рождения и уничтожения неэрмитовы и не описывают наблюдаемые величины. Тем не менее, они чрезвычайно полезны и широко используются, а представление физических величин через операторы рождения и уничтожения получило название вторичного квантования. Произведение операторов и есть

Теперь, пользуясь соотношением (2.6), гамильтониан (2.3) можно переписать в виде:

. (1)

Операторы рождения и уничтожения, не коммутируют

,

вследствие чего, для гамильтониана (1) справедливы также представления:

.

Собственные состояния операторов и совпадают, что непосредственно следует из уравнения (1).

Предположим, что существует, по крайней мере, один вектор состояния , принадлежащий собственному значению оператора , т.е.

. (2)

Умножив данное выражение слева на , и воспользовавшись определение эрмитового сопряжения , получим

. (3)

Таким образом, величина является квадратом нормы вектора , и, следовательно, должна быть вещественной неотрицательной величиной. Умножив (2) на получим или

.

Следовательно, вектор так же является собственным вектором оператора (а так же, как следствие, собственным вектором Гамильтониана ), и соответствует собственному значению . Вектор не нормирован. Нормируя его с помощью соотношения (4) получаем, что новый собственный вектор состояния соответствующий собственному значению оператора есть

.

Повторяя подобную операцию, получаем множество собственных векторов

.

Для всех собственные значения, соответствующие вектору , отрицательны, что противоречит неотрицательности нормы любого вектора состояния. Противоречие исчезает если собственные значения целочислены. В этом случае последовательность векторов оборвется на некотором векторе , то есть

.

Таким образом, состояния гармонического осциллятора ограничены снизу.

Аналогично, используя оператор , можно получить собственные вектора соответствующие собственным значениями превышающим .

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что собственными значениями оператора являются целые числа . Данный оператор ставиться в соответствие числу частиц гармонического осциллятора и обозначается .

Так как число частиц является основной характеристикой состояния гармонического осциллятора, то векторы состояний обозначают как

Состояние носит название состояний с определенным числом частиц, состояний с определенной энергией (так как состояния так же являются и собственными состояниями гамильтониана) или состояний Фока (последнее наименование являются данью уважения патриарху отечественной квантовой физики академику В.А. Фоку).

Таким образом, действие оператора на состояние переводит его в состояние , то есть увеличивает число частиц в состоянии (откуда и появилось название оператор рождения)

Оператор уничтожения в свою очередь, оправдывая название, действуя на состояние , переводит его в и уменьшает число частиц

Обобщая формулы (2.13), (2.15), (2.16) имеем

; ,

где первое соотношение определяет вакуум (основное) состояние, а второе - произвольное возбужденное состояние. То есть все состояния можно получить из вакуумного состояния действием на него оператором рождения.

Из соотношения (1) непосредственно следует выражение для собственных значений энергии в состоянии :

(4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таким образом, энергетические уровни располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя лестницу. Как и в классической механике, здесь не существует ограничения на максимальную энергию гармонического осциллятора, поэтому лестница уровней простирается вверх до бесконечности. Однако, эта лестница ограничена снизу - в основном состоянии (вакууме) частиц нет, но энергия основного состояния не обращается в ноль (поскольку это означало бы одновременно точные нулевые значения координаты и импульса, что запрещено соотношением неопределенностей) и равна .

Следует отметить, что матричные элементы операторов рождения и уничтожения в базисе Фока не диагональны:

; , (6)

что выражает не только свойства неэрмитовости операторов и , но также передает основные закономерности квантовых переходов.

Электроны в магнитном поле. Если в отсутствии магнитного поля все состояния были расположены равномерно в плоскости k_x, k_y, то теперь энергия поперечного движения квантуется: Е₊ =ћІ k₊І / 2m = ћщ_c (n +1/2), а k_z меняется непрерывным образом. Так что в магнитном поле все электронные состояния расположены на семействе коаксиальных вдоль оси k_z цилиндров радиусом k₊. Эти цилиндры носят названия уровней Ландау.

На п-ном уровне Ландау располагаются те состояния, для которых энергия поперечного движения в отсутствие магниного поля лежала бы в интервале: ћщ_c n<E₊<ћщ_c (n + 1). Откуда 2eB n / ћ< k₊І< 2eB (n +1) / ћ.

На интервале импульсов (k_z, k_z + dk_z ) на каждом уровне Ландау находится число состояний:

dN = 4V [eB(n + 1) - eBn] dk_z /8рІћ = VeBdk_z /4рІћ

А соответствующая плотность равна: n(E) = eB /рІћ dk_z/dE , где зависимость k_z от Е определяется соотношением

Е =ћІ k₊І / 2m + ћщ_c (n +1/2).

Очевидно, что п(Е) не зависит от номера уровня.

Вычисляя производную ? k_z /?Е, получаем: n(E) = eB/рІћІ [m/2(E -E₊)]

при Е >E₊ и п(Е) = 0 при Е < E₊.

При Е = E₊, то есть когда происходит касание какого либо цилиндра -уровня Ландау и изоэнергетической поверхности с данной энергией Е, плотность состояний испытывает разрыв второго рода. Вклад остальных уровней Ландау в общую плотность уровней не имеет особенностей при этой энергии. Общий вид п(Е) изображен на рис.

Рис. График зависимости плотности электронных состояний от энергии.

Для электрона в магнитном поле можно ввести также понятие циклотронной массы: m*=ћ/2р ?d k / v₊ , величина которой, как и период обращения вокруг силовой линии магнитного поля, зависит от сечения изоэнергетической поверхности. Одинаковы они для всех параллельных сечений только в случае эллипсоидальной изоэнергетической поверхности.

Многие физические характеристики металла, в частности, проводимость, зависят от плотности электронных состояний на поверхности Ферми. Поскольку поверхность Ферми представляет частный случай изо энергетической поверхности, то при Е_F = Е₊(n) должна иметь место особенность плотности состояний п(Е_F). Добиться этого можно меняя магнитное поле.

Из уравнения ћІ k_FІ / 2m =ћeB (n +1/2) / m следует:

1/B = 2e (n + Ѕ) / ћІ k_FІ

где S_e =р k_FІ площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитной индукции. Особенности физических величин будут наблюдаться по 1/В с периодом:

?(1/B) = 2рe / ћS_e (E_F)

Поскольку при неравной нулю температуре край распределения Ферми размыт, то особенности физических величин также размываются, и вместо бесконечного разрыва появляется конечный максимум. К этому же результату приводят столкновения электронов с примесями, поэтому экспериментальное наблюдение осцилляции возможно только при низких температурах, когда kT <<ћщ_c, и в чистых образцах щ_cф >> 1, где ф-время свободного пробега электрона. Обычно эксперименты ставят при температурах жидкого гелия. При комнатных температурах наблюдается только усредненное по периоду ?(1/В) значение. С уменьшением В амплитуда осцилляций экспоненциально убывает из-за электронных столкновений и температурного размывания распределения Ферми. Проявление осцилляций магнитной восприимчивости носит название эффект де Гааза - ван Альфвена, аналогичные осцилляции сопротивления металла называют эффектом Шубникова - де Гааза.

Экспериментально наблюдаемые осцилляции играют важную роль, так как это практически единственный метод получения информации о виде поверхности Ферми, а не только о плотности электронных состояний. Как правило, в металле со сложной поверхностью Ферми имеется несколько экстремальных сечений в заданном направлении магнитного поля. Каждое из них дает вклад в осцилляции. Таким образом, в эксперименте наблюдается несколько осцилляций с различными периодами. Дешифруя зависимость сопротивления от 1/В, находят все значения S_e. Изменяя направление поля относительно кристаллографических осей монокристаллического образца, исследуют различные экстремальные сечения поверхности Ферми. На основании полученных данных восстанавливают вид поверхности Ферми и сравнивают с теоретически рассчитанным.

Квантование энергии электрона в магнитном поле. Энергия электрона в сильном магнитном поле определяется выражением:

E =(h/2р )щ (k + Ѕ), k = 0. 1, 2,

которое описывает энергию квантового гармонического осциллятора с частотой колебания щ, совпадающей с классической циклической частотой обращения электрона вокруг силовой линии магнитного поля щ_c.

В квантовом случае сохраняется, в принципе, и другой результат классической механики: каждый электрон локализован в пространстве и занимает некоторую площадь двумерного канала. Характерным размером, определяющим область, внутри которой находится электрон, является теперь не классический радиус орбиты электрона r, а так называемая магнитная длина:

l = (h/2рeB) ^1/2 . (6)

Площадь, занимаемая электроном, при этом равна просто рl².

Таким образом, в квантовом случае энергия электронов пробегает дискретный ряд значений (квантуется) и электроны занимают эквидистантные (расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга) энергетические уровни. Эти уровни называются уровнями Ландау. Число электронов, которое может разместиться на каждом уровне Ландау, может быть легко подсчитано из простых соображений. Дело в том, что электроны являются Ферми-частицами и поэтому два электрона, находящихся на одном уровне энергии и имеющие одинаковый спин, не могут располагаться в одном и том же месте в плоскости канала. В противном случае будет нарушено незыблемое для Ферми-частиц правило (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Будем для простоты считать, что площадь двумерного металла является единичной. Tогда число электронов на каждом уровне Ландау есть просто отношение площади канала к площади рl², занимаемой одним электроном. Отсюда:

n_e=1/ рl² = 2eB/h.

Если выбрать численное значение индукции магнитного поля B = 10² Тл то получается, что на каждом уровне Ландау может разместиться примерно 10¹² электронов на каждый квадратный сантиметр площади канала.

Полученный результат нуждается в некоторой коррекции. В сильном магнитном поле каждый уровень Ландау расщепляется на два спиновых подуровня, на каждом из которых может разместиться в два раза меньше электронов, чем мы только что подсчитали. А именно:

. (7)

Это расщепление уровней достаточно велико, так что спиновые подуровни совершенно не перекрываются. Учет спинового расщепления уровней Ландау не дает ничего принципиально нового при рассмотрении квантового эффекта Холла, поэтому мы в дальнейшем будем говорить об уровнях Ландау, хотя на самом деле речь всегда будет идти о подуровне с определенной ориентацией спина.

Локализация. Самая очевидная вещь, которую может произвести беспорядок-это вызвать локализацию Андерсона [20]. Когда идеализированный металл с невзаимодействующими электронами помещается в достаточно сильный случайный потенциал, локализация вызывает переход в диэлектрическое состояние. Это означает, что все собственные значения одноэлектронного гамильтониана ниже некоторой энергии имеют конечную протяженность в пространстве, так что заполняющие их электроны ничего не вносят в проводимость на нулевой частоте. В реальных металлах, где электроны взаимодействуют, существует подобный же переход металл-диэлектрик и считается, что эти два состояния вещества можно адиабатически перевести в их невзаимодействующие аналоги, хотя сам переход, возможно, происходит по-другому. Уже во времена открытия квантового эффекта Холла существовала обширная литература по локализации в двумерных квантовых системах, и было известно, что в отсутствии магнитного поля эффекты локализации настолько сильны, что при нулевой температуре может существовать только диэлектрическое состояние [21-24]. Поэтому вполне можно было предположить, что квантовый эффект Холла, будучи неожиданно возникающим явлением, как и андерсоновский диэлектрик, может быть полностью понят исключительно в терминах одноэлектронной квантовой механики.

Лафлин [1] обращает внимание на два точных результата, которые важны для развития этой идеи. Первый это решение тривиальной модели в магнитном поле:

где А(r) = Byx.

Если измерять длину в магнитных единицах l=(ћc/eB) ^1/2, то решением будет слетеровский детерминант из орбиталей:

Ш_k,n (x,y) =N^-1/2 exp [ikx +? (y + y_o - k) ²] (?_xⁿ ) exp [-(y + y_o -k) ²]

где N = 2ⁿ L_x n! vр - нормировка, а y_o= eB/ћщ_c. Энергия орбиталей равна:

E_n,k = ћщ_c(n + Ѕ) + ћck(E/B) - Ѕmc²(E/B)²

Если электрическое поле Е мало, так что имеется большая щель между уровнями Ландау n и n+1, а химический потенциал лежит в щели, то число электронов в образце равно N =nL_xL_y/2рl², плотность заряда равна с =ne/2рl² и уравнение ( ) дает у_xy=сc/B = ne²/ h. Для проверки этого результата заметим, что:

?? ш_k,n*(x,y) ( ћ/i?_x - e/cA_x ) ш_k,n (x,y) dx dy = mcE/B

Таким образом, ток, переносимый каждой орбиталью, равен заряду e, умноженному на классическую дрейфовую скорость cE/B. Суммируя по всем орбиталям и деля на площадь образца, находим, что J = ne²E/ ћ.

Второй важный результат - это точное решение задачи с гамильтонианом:

H? = H_o -V_ol² ?_j^N д²(r)

первоначально полученное Пренджем [25]. Оказывается, что д - образный примесный потенциал образует одно связанное локализованное состояние, которое отщепляется вниз от каждого уровня Ландау, и это состояние не переносит электрический ток, что интуитивно вполне понятно (может быть только Лафлину?). Однако остальные делокализованные состояния теперь переносят больший ток, и суммарная его добавка в точности компенсирует потерю одного состояния. Поэтому примесь не оказывает влияния на холловскую проводимость. Лафлин подчеркивает, что всегда находил этот результат удивительным: «Как будто состояния, оставшиеся делокализованными, понимают, что один из их товарищей убит и работают старательнее, чтобы восполнить его потерю».

Можно доказать, что эффект Пренджа имеет место для широкого класса примесных потенциалов. Для этого необходимы некоторые общие соображения, поскольку невозможно диагоналировать все возможные примесные гамильтонианы и почленно вычислить ток переносимый термодинамически большим количеством орбиталей. Вместо этого заметим, что ток формально является производной от гамильтониана по векторному потенциалу [26]. То есть если положить А = А + А_ох, где А_о-константа, то:

e? _j [ ћ/i ?_x -e/c A_x (r_j) ] = - mc ?H/?A_о

Это верно и для взаимодействующих частиц. Хотя обычно соотношение ( ) приносит мало пользы, поскольку постоянная добавка в векторный потенциал это не более чем калибровочное преобразование, к тому же не имеющее физического смысла. Но если образец свернут в петлю, как показано на рис. , то приобретает смысл магнитного потока ц =А_оL_x сквозь петлю.

Рис. Иллюстрация мысленного эксперимента Лафлина, связывающего холловскую проводимость с зарядом электрона. Когда магнитный поток сквозь петлю адиабатически увеличивается до ?ц = hc/e, один электрон из каждого уровня Ландау переносится с одного края к другому.

В отсутствие беспорядка этот перенос сопровождается сдвигом волновой функции, при котором каждая из них переходит в соседнюю. Кода есть хотя бы малый беспорядок, число перенесенных электронов должно быть в точности тем же самым, хотя механизм переноса изменится из-за сильного возмущения волновых, связанных с вырождением уровня Ландау.

Представим теперь, что мы фиксируем разные потоки и решанм уравнение Шредингера Н_ц|Ш_ц› =E_ц|Ш_ц› для каждого потока, так что многочастичное основное состояние |Ш_ц› и собственное значение E_ц будут функциями от ц. Тогда по теореме Гелл - Манна - Фейнмана имеем:

<ш_o | ?_цH |ш_o> = ?_цE

То есть ток при заданном значении ц просто равен адиабатической производной от полной энергии по ц. Это вполне естественно, поскольку медленное изменение потока создает электродвижущую силу вдоль петли, которая совершает работу, если в системе течет ток. Тогда, если нет диссипации, то, согласно закону индукции Фарадея, собственное значение энергии должно возрастать. Если петля достаточно велика, так что осцилляции Бома-Ааронова подавлены и при включении потока ток меняется незначительно, адиабатическую производную можно заменить отношением конечных приращений:

Где в знаменателе стоит квант потока hc/e. Преимущества этой записи в том, что теперь гамильтониан Н_?ц- это тот же самый гамильтониан Н_о с точностью до калибровочного преобразования, А это означает, что энергия увеличилась только из-за изменения заселенности уровней. На рис. показано как это происходит в трансляционно инвариантном случае. Орбитали, при отличном от нуля ц, имеют вид:

Ш_k,n (x,y) = N^-1/2 exp [ikx +? (y + y_o - k - б) ²] (?_xⁿ ) exp [-(y + y_o -k - б) ²]

где б = elц/ћcL_x. Когда ц увеличивается от нуля до ?ц, они просто сдвигаются, как в сдвиговом регистре, и в результате одно состояние из каждого уровня Ландау переносится с левого края образца на правый. Это означает, с одного края образца к другому переносится столько электронов, сколько заполненных уровней Ландау имеется в системе. Если разность потенциалов между двумя краями равна V, ток равен:

I = neV / ?ц = ne²V / h

Теперь представим, что внутри полосы включается слабый примесный потенциал. Если этот потенциал достаточно мал по сравнению с щелью между уровнями Ландау, то результат мысленного эксперимента не изменится. Действительно, адиабатическое изменение ц вталкивает слева ровно одно состояние в неупорядоченную область и выталкивает одно состояние справа. Сохранение состояний требует, чтобы они как то прошли через эту область. Подобная ситуация должна реализоваться не только для случайных потенциалов, но также и для регулярных, в частности, для д-функции из задачи Пренджа. Таким образом, любой одноэлектронный гамильтониан, спектр которого может быть адиабатически преобразован в идеальные уровни Ландау так, чтобы состояния не пересекали уровень Ферми будет приводить к точному квантованию холловской проводимости.

Эти аргументы можно существенно усилить, если потенциал является случайным. На рис. показана электронная плотность для гамильтониана:

при различных значениях случайного потенциала V_сл.

Рис. Влияние беспорядка на одноэлектронную плотность состояний. Уровни Ландау с энергиями ћщ(п + Ѕ), которые сильно вырождены, вначале слегка уширяются без закрытия щели, и правило сумм квантового эффекта Холла работает и без локализации. Состояния на краях локализованы и уровень Ферми может попадать туда без всяких проблем. Добавление беспорядка приводит к перекрытию уширенных уровней. Но квантование все равно останется точным, потому что все состояния на уровне Ферми локализованы. Это позволяет наблюдать квантовый эффект Холла даже тогда, когда в спектре нет истинных щелей.

Точная форма плотности состояний зависит от конкретного вида модели, но основные свойства вполне универсальны. Когда потенциал V_сл мал, то он лишь снимает вырождение уровней Ландау. Состояния на краях получающегося распределения локализованы. Проше всего это увидеть в пределе когда случайный потенциал V_сл гладкий и изменяется медленно, так что одноэлектронные состояния можно аппроксимировать дорожками вдоль эквипотенциальных линий. Лафлин здесь использует аналогию с горным рельефом, заполненным водой до определенной высоты [27]. Если уровень воды низок, то получаются маленькие изолированные озера, которые становятся все меньше, по мере того как уровень воды падает, так как очень глубокие долины встречаются редко. Если же уровень воды высок, то встречаются маленькие отдельные островки, тем меньшего размера, чем выше уровень воды, потому что высокие горы также встречаются редко. Где-то посередине располагается точка протекания, определяемая на больших масштабах длинной и изрезанной береговой линией, которая уже не разделяет острова и озера. Важность локализации на краях заключается в том, что локализованные состояния не участвуют в мысленном эксперименте с увеличением потока. Состояние, связанное у одного края петли, не может «знать», что адиабатически включаемый векторный потенциал связан с потоком ц сквозь петлю. Оно «считает», что мы делаем калибровочное преобразование, и просто меняет свою фазу. Оно не движется в ответ на увеличение ц, а его энергия не изменяется. Таким образом, подобные состояния не дают вклада в правило сумм, а потому несущественно заняты они или нет, и теорема о точном квантовании справедлива не только тогда, когда на уровне Ферми вообще нет состояний, но и в том случае, когда все состояния на уровне Ферми локализованы.

Возможность обобщить теорему о точном квантовании на тот случай, когда истинная щель в плотности состояний отсутствует, имеет решающее значение для объяснения реальных экспериментов по квантовому эффекту Холла. Полевой МДП-транзистор по существу представляет собой конденсатор. Он накапливает заряд в ответ на приложенное к затвору напряжение. Величина заряда определяется формулой из школьного курса физики Q = CV, где емкость C определяется толщиной оксидного слоя и площадью образца. Соответственно, изменение напряжения на затворе означает изменение заряда, а отнюдь не химического потенциала. В эксперименте химический потенциал «подстраивается» так, чтобы заряд равнялся Q. И если бы не локализация, химический потенциал всегда был бы

привязан к некоторому уровню Ландау, а тогда этот уровень был бы занят лишь частично и условия, необходимые для наблюдения квантового эффекта Холла, не были бы выполнены. Но если уровень Ферми лежит в области локализованных состояний, то химический потенциал может свободно перемещаться в этой области: при этом локализованные состояния будут заполняться или освобождаться, но это никак не будет влиять на холловскую проводимость. Отсутствие параллельной проводимости в квантовом эффекте Холла также вполне объясняется локализацией. В пределе невзаимодействующих электронов параллельная проводимость у_xx обусловлена дипольными переходами из состояний непосредственно под уровнем Ферми в состояния, которые лежат непосредственно над уровнем Ферми. Если эти состояния локализованы, то у_xx должна равняться нулю. Локализация приводит к образованию диэлектрика. Однако сопротивление и проводимость являются тензорами, обратными друг другу, так что если у_xx = ne²/h то,

Заметим, что эксперименты, в которых вместо напряжения на затворе V, измеряют магнитное поле, по сути, ничем не отличаются, так как в них просто изменяется масштаб длины, по отношению к которому измеряется масштаб плотности заряда. Это опять таки требует так, чтобы обеспечить постоянство заряда Q.

Эксперимент по измерению потока также показывает, что слабый беспорядок не может полностью локализовать все состоянию на уровне Ландау. Там должны существовать протяженные состояния - в противном случае весь уровень Ландау был бы выключен и не смог бы переносить ток. Это очень нетривиальный результат, поскольку есть весьма убедительные аргументы в пользу полной локализации в двумерной системе без магнитного поля. Предметом некоторой дискуссии может быть только вопрос о том, где конкретно располагаются протяженные состояния в пределе слабого беспорядка. Большинство экспериментов согласуется с идеей Левина, Либби и Пруискена [28] о существовании скейлинговой теории локализации для этой задачи (хотя она и отличается от аналогичной теории без магнитного поля), а также с тем, что протяженные состояния существуют лишь при одном значении энергии вблизи центра уширенного уровня Ландау. Предел сильного беспорядка споров не вызывает - ясно, что в этом случае должна иметь место полная локализация. Поэтому одним из важных следствий рассуждения с включением потока является утверждение, что протяженные состояния не могут просто исчезнуть, но должны «всплывать» из-под уровня Ферми при увеличении примесного потенциала, поскольку предшествующее рассуждение не работает лишь тогда, когда такие состояния появляются на уровне Ферми. Эффект всплывания, предсказанный независимо Д.Хмельницким и Р.Лафлиным [29,30], наблюдался в экспериментах И.Глоцмана [31].

Лафлин также всегда подчеркивал, что квантовый эффект Холла это новое неожиданное явление, характеризующее способность материи переносить целое число электронов через образец в эксперименте с увеличением потока. Тогда как модели с невзаимодействующими электронами не более чем прототипы, а реальные эксперименты могут рассматриваться как их адиабатические продолжения. Последнее, по мнению Лафлина, является не слишком радикальной идеей, так система уровней Ландау в ней не слишком отличается от зонного диэлектрика. Стабильность низколежащих возбуждений обеспечивается наличием щели, вследствие чего не существует других состояний, в которые эти возбуждения могли бы распадаться. Наконец, квантование холловской проводимости обусловлено квантованием заряда того количества электронов, которое переносится через образец. Однако, не следует забывать, что в режиме дробного квантового эффекта Холла электроны образуют композит с дробным зарядом.

Проводимость и эффект Холла в двумерном металле

Рассмотрим теперь проводимость и эффект Холла двумерного металла в квантующем магнитном поле.

Из определения холловского сопротивления следует, что величина R_H пропорциональна B и график зависимости R_H(B) должен иметь вид прямой линии, выходящей из начала координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/en. Для нормального трехмерного металла при комнатной температуре и не слишком высоких значениях магнитного поля (1-5 Тл) экспериментальные результаты вполне хорошо соответствуют описанной выше классической картине поведения холловского сопротивления. Экспериментальные результаты в области сильных полей, представленные на рис. 3, радикально отличаются от этой простой зависимости. Эксперименты проводились К. фон Клитцингом в двумерной МДП-структуре при температуре 1 К. Очевидно, что в этих условиях классическое рассмотрение неприменимо и нужно учитывать квантование движения электронов. Холловское сопротивление обнаруживает ряд ярко выраженных ступенек. Значение сопротивления для этих ступенек строго определяется выражением R_H = h/(нe²), где н = 1,2,3..., на рисунке видны ступеньки со второй по десятую. Константа h/e² примерно равна 25 кОм.

Рис. 3. Зависимость холловского сопротивления от величины приложенного магнитного поля. Кривая с острыми пиками - это зависимость омического сопротивления образца от магнитного поля. Как следует из графика, сопротивление каждый раз обращается в нуль, когда квантовый эффект Холла выходит на плато

Величина Холловского сопротивления оказывается настолько стабильной (не зависящей от параметров образца и температуры), что это позволяет использовать ее в качестве национального стандарта электрического сопротивления в целом ряде развитых стран мира. Наиболее употребительным названием единицы электрического сопротивления является Клитцинг.

Клаус фон Клитцинг, немецкий физик, родился 28.06.1943 года в оккупированной части Польши в г. Шрода. Среднее образование получил в Артланд-гимназии г. Квахенбрюна, что позволило ему специализироваться по физике в Техническом университете Брауншвейга, куда он поступил в 1962 году. Докторскую диссертацию защитил в 1969 году по методам определения времени жизни носителей тока в антимониде индия. Преподавал физику в Вюрцбурге, Гренобле, Мюнхене, с 1980 года профессор. С 1985 года директор Института физики твердого тела Макса Планка в Штутгарте. В 1980 году открыл квантовый эффект Холла. Нобелевская премия по физике (1985), премии Вальтера Шоттки Германского физического общества (1981) и Хьюлетта Паккарда Европейского физического общества (1982).

В представлении Шведской королевской академии отмечалось, что работы Клитцинга «открыли для исследований новую область, необычайно важную не только для теории, но и для приложений... Мы имеем здесь дело с новым явлением в квантовой физике, причем явлением, характерные особенности которого поняты лишь частично».

Зависимость холловского и омического сопротивлений от магнитного поля в квантовом эффекте Холла определяется следующими факторами. Будем считать, что полное число электронов в двумерном токовом слое фиксировано и напряжение на затворе постоянно. В этом случае максимальная энергия E_F, которую имеют электроны проводимости в кристалле (энергия Ферми), практически не зависит от магнитного поля. Если (h/2р)щ << E_F, то расстояние между уровнями Ландау (h/2р)щ прямо пропорционально B и будет линейно уменьшаться при уменьшении B.

Для нашего случая это значит, что если при B = 7 Тл электроны размещались на первом и втором уровнях Ландау, то при B = 5 Тл электроны разместятся уже на трех уровнях Ландау. Иначе говоря, при уменьшении магнитного поля уровни Ландау поочередно пересекают уровень Ферми. При уменьшении магнитного поля полное число электронов не изменяется, а количество электронов, которые могут разместиться на одном уровне Ландау, уменьшается (это число одинаково для всех уровней Ландау, лежащих ниже уровня Ферми) в соответствии с формулой (7). Поэтому теперь для размещения всех электронов потребовалось занять следующий уровень энергии. Ясно, что если под уровнем Ферми находится точно н полностью заполненных уровней Ландау, то n = нn_e и если подставить значение n_e из формулы (7), то получаем плотности электронов выражение n = нeB/h, которое позволяет объяснить численное значение величины R_H в квантовом эффекте Холла.

Действительно, поскольку B = nh/ нe и R_H = RB имеем, что

(8)

выражается только через фундаментальные константы, не зависит от характерных параметров образца и находится в полном соответствии с экспериментально полученным результатом.

Обратимся теперь к поведению омического сопротивления. Необходимо заметить, что при измерении квантового эффекта Холла по образцу пропускается некоторый фиксированный ток, а измеряемыми величинами являются продольная и поперечная разности потенциалов. Омическим сопротивлением называется отношение продольной разности потенциалов к силе тока, пропускаемой через образец.

Делались многочисленные попытки выяснить численное значение сопротивления образца в режиме квантового эффекта Холла и зависимость его от температуры. При наиболее низких температурах минимальное значение сопротивления R_H < 10^-7 Ом, причем оно очень сильно падает с понижением температуры. Таким образом, эксперимент не исключает нулевое значение омического сопротивления. Однако следует признать, что в настоящее время, видимо, не существует до конца непротиворечивой теории, описывающей протекание тока в образце в режиме квантового эффекта Холла. Можно лишь утверждать, что важную роль в формировании токовых состояний играют примеси. С одной стороны они приводят к уширению уровней Ландау, а с другой вызывают локализацию электронных состояний. На рис. 4 приведен схематический график зависимости плотности состояний электронов N(E) от энергии.

Рис. 4. Зависимости плотности состояний электронов от энергии при наличии примесей

Напомним, что выражение N(E)dE по определению имеет смысл числа разрешенных состояний в интервале энергии от E до E+dE. На этом рисунке пики соответствуют уширенным уровням Ландау, затененные области - локализованным, а светлые области вблизи экстремальных значений N(E) - токовым состояниям электронов проводимости.

Как только уровень Ферми за счет движения уровней Ландау по мере роста магнитного поля попадает в область делокализованных электронов, омическое сопротивление сразу обращается в нуль и остается таковым, пока уровень Ферми не попадет в область локализованных состояний. По существу эта простая идея может объяснить всю совокупность экспериментальных фактов для целочисленного квантового эффекта Холла, хотя, как уже отмечалось, при более детальном рассмотрении остается целый ряд не до конца понятных вопросов о природе холловского сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла был открыт в 1982 г Цуи, Штермером и Госсардом. Ими было обнаружено, что, если высококачественный образец с малым количеством примесей поместить при очень низкой температуре (порядка 0.1 К) в магнитное поле напряженностью 15-20 Тл, то возникают холловские плато и глубокие провалы продольного сопротивления при дробных заполнениях самого нижнего уровня Ландау (н = 1/3, н = 2/3), подобно тому, как это имело место при целых числах заполнения. Нобелевская премия по физике 1998 года была присуждена только Штермеру и Цуи. Арт Госсард, получавший сверхчистые полупроводниковые материалы для исследований, Нобелевским комитетом был обделен. Возможно потому, что Нобелевская премия не может присуждаться более чем трем исследователям. Роберт Лафлин в своей Нобелевской премии по этому поводу сказал: «Вместе со своими коллегами я сожалею о том, что Арт Госсард не смог разделить с нами эту премию, поскольку все в физике твердого тела понимают, что материалы - это душа нашей науки, и никакой серьезный интеллектуальный прогресс без них невозможен».

Все нобелевские лауреаты по физике 1998 года работают в американских университетах. Они близки по возрасту. Лафлин родился в 1950 г, Штермер - в 1949 г, Цуи - в 1939 г. Коренным американцем является только родившийся в Калифорнии Лафлин. Штермер родился и учился в Германии, а Цуи родился в Китае, но учился уже в Чикаго. Видимо, проблема «утечки мозгов» существует не только в России.

Хорст Штёрмер (Horst L.Stеrmer) родился в 1949 году во Франкфурте-на-Майне. Ученую степень по физике получил в Штутгартском университете в 1977 году. В 1992 - 1997 годах возглавлял отдел физических исследований Лаборатории "Bell labs", а в 1998 году стал заместителем директора Лаборатории "Bell labs" в составе компании "Lucent Technologies" и профессором Колумбийского университета (Нью-Йорк).

Дэниел Цуи (Daniel C.Tsui), родившийся в 1939 году в китайской провинции Хэнань, учился в Чикагском университете и теперь гражданин США. В 1969 году в Чикагском университете защитил диссертацию по физике полупроводников. С 1982 года - профессор Принстонского университета.

Открытие дробного квантового эффекта Холла. В начале октября 1981 года сотрудники Bell Labs Хорст Штермер и Даниэль Цуи привезли новый образец из модулировано легированного GaAs/AlGaAs в Магнитную лабораторию Френсиса Ьиттера в МТИ, Кембридж. Этот образец вырастил Арт Госсарт, также сотрудник Bell Labs и его ассистент Вили Вигман. Занимаясь модулированным легированием более двух лет, они накопили солидный опыт и сумели впервые изготовить образец с низкой электронной плотностью n=1,23·10 ^-11 см^-3 и чрезвычайно высокой подвижностью м=9000 см² В^-1 с^-1. На рис. 5 представлена фотография этого знаменитого образца. Штермер и Цуи надеялись, используя сверхсильные магнитные поля, создаваемые в Магнитной лаборатории МТИ, достичь существенно квантового предела в эффекте Холла, когда нижний уровень Ландау окажется только частично заполненным. Они намеревались исследовать этот режим на предмет обнаружения вигнеровского кристалла из упорядоченных электронов в двух измерениях. Образование такой упорядоченной электронной структуры было предсказано теоретически, но ее еще никто не наблюдал.

Рис. 5 Фотография образца гетероструктуры GaAs/AlGaAs, на котором 7 октября 1982 был открыт дробны квантовый эффект Холла. Черная область (в действительности она зеркальная, но в ней отражается черная фотокамера) - поверхность, под которой находится двумерный токовый слой. Серые области - выемки, сделанные для того, чтобы ток протекал через центральную часть образца. Белые пятна неправильной формы - контакты из индия, к которым присоединены золотые провода. Размер образца 6 х 1,5 мм.

Проводя 7 октября измерения эффекта Холла при температуре жидкого гелия (4,2 К) исследователи получил на линейной зависимости холловского сопротивления R_Н от индукции магнитного поля В ряд особенностей. Отклонения при малых полях указывают на возникновение целочисленного квантового эффекта Холла. Зная электронную плотность и высоту ступенек сопротивления R_Н=h/ie², где i=1,2,3...., можно с уверенностью идентифицировать эти особенности как целочисленный квантовый эффект Холла. После появления последней ступеньки i=1 при В= 5 Тл. (Около 7 см на исходной миллиметровке исследователей. Любопытно, что эта знаменитая миллиметровка использовалась не один раз. И на ее фотографиях отчетливо видны надписи относящиеся к предшествовавшим экспериментам). При любых полях превышающих это значение, электроны должны находиться на самом нижнем уровне Ландау, заполняя только некоторую долю н его полной емкости. При охлаждении образца до 1,5 К особенности целочисленного квантового эффекта Холла становятся более ярко выраженными, превращаясь в плоские плато. Необычная особенность возникает при В=15 Тл: график холловского сопротивления отклоняется от первоначальной прямой, демонстрируя поведение аналогичное тому, которое наблюдается при в целочисленном квантовом эффекте Холла при более высокой температуре 4,2 К.. Эта особенность оказалась для Штермера и Цуи полной неожиданностью. Все выглядело так, как будто в сильных полях вдали от плато R_Н появляется минимум магнитосопротивления, обычно сопутствующий плато.

Рис. 6. Первые опубликованные результаты по дробному квантовому эффекту Холла. Особенности при н=1,2,3… обусловлены целочисленным квантовым эффектом Холла. Особенность при н= 1/3 соответствует дробному квантовому эффекту Холла.

Целочисленный квантовый эффект Холла, будучи проявлением полного заполнения уровней Ландау, не мог иметь к этому никакого отношения, так как при полях выше В = 5 Тл нижний уровень Ландау заполнен лишь частично. Более того, холловское сопротивление в окрестности этого изменения наклона существенно превышало максимально возможное для целочисленного квантового эффекта Холла значение R_Н=h/e²= 25 кОм. Даниэль Цуи в шутку измерил большим и указательным пальцем расстояние между точкой В=0 и последней ступенькой целочисленного квантового эффекта Холла (примерно 7 см) и определил положение новой особенности в этих «единицах». Получив тройку, он воскликнул: «Кварки!» (прим. авт., по-русски). Казалось бы шутя, он своей остро отточенной интуицией уловил самую суть полученных результатов.

Если следовать мысленному эксперименту Лафлина и принять, что холловское сопротивление является мерой заряда частицы, то плато выше в три раза, чем последнее в целочисленном квантовом эффекте Холла, означает возникновение заряда e/3. Очевидно, что низкотемпературный, низкоэнергетический эксперимент, никоим образом не связанный с физикой элементарных частиц (миллиэлектронвольты, а не мегаэлектронвольты) не мог породить никаких настоящих кварков. Но, как оказалось, предположение о наблюдении неких композитных частиц с дробным зарядом было правильным. В статье Цуи, Штермера и Госсарта, опубликованной в марте 1982 года в Phys. Rev.Lett, наряду с рассуждениями о вигнеровской кристаллизации, было замечание и о дробном заряде.

Впоследствии оказалось, что наблюдаются и другие дробные значения заполнения уровня Ландау, но они еще легче разрушаются примесями и требуют еще более низких температур. Типичные экспериментальные результаты приведены на рис. 7.

Рис. 7. Холловское и омическое сопротивления в режиме дробного квантового эффекта Холла

Здесь по оси абсцисс отложено магнитное поле в единицах Тесла, а по оси ординат значения холловского и омического сопротивлений. Стрелками отмечено значение магнитного поля, при котором омическое сопротивление минимально. На рисунке хорошо видно плато холловского сопротивления при дробном значении числа заполнения н = 1/3 уровня Ландау.

Последовательная и исчерпывающая интерпретация дробного квантового эффекта Холла все еще остается проблемой, хотя идеи, позволяющие понять природу этого эффекта, были высказаны Р. Лафлиным еще в 1983 г. Сразу было ясно, что эффект обусловлен взаимодействием электронов между собой, поскольку он наблюдается только в ультрасильных магнитных полях, когда область локализации электрона в магнитном поле является малой, а их плотность становится высокой. Наличие холловского плато при н = 1/3, например, говорит о том, что энергия электронной системы в расчете на одну частицу должна испытать скачок, когда заполнится точно 1/3 уровня Ландау. Иначе говоря, в спектре энергии электронов при заполнении уровня на 1/3 должна быть щель. Если бы такую щель удалось обнаружить, то дальнейшая интерпретация дробного квантового эффекта Холла практически не отличалась от интерпретации целочисленного аналога.

Поэтому первоначально была высказана идея, что электроны, стремясь разойтись как можно дальше друг от друга, упорядочатся в некоторую правильную структуру, так называемый, Вигнеровский кристалл. Но оказалось, что не все так просто. Однако тщательные вычисления энергии электронной системы в расчете на один электрон в модели Вигнеровского кристалла не обнаружили ни каких аномалий при дробных числах заполнения уровня Ландау.

...