Анализ физических явлений в механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Тепловые машины. КПД тепловой машины. Цикл Карно

Тепловой машиной называется устройство, использующее тепловую энергию для совершения механической работы.

Тепловая машина состоит из нагревателя, рабочего тела и охладителя рабочего тела. Охладителем, в конечном счете, служит окружающая среда. Тепловая машина работает по принципу замкнутого цикла, совершая круговой процесс.

1-3: раб тело, получив от нагревателя количество тепла Q₁, расширяется от объема V₁ до объема V₃.

Согласно первому закону термодинамики, это тепло расходуется на нагревание рабочего тела и на совершение механической работы

Q₁ = U₂ _ U₁ + A₁₃,

где U₂ _ U₁ -- изменение внутренней энергии рабочего тела при переходе из состояния 1 в состояние 3.

3-1: при обратном цикле над газом производится работа: газ сжимается и передает охладителю количество тепла

_ Q₂ = U₁ _ U₂ + A₃₁.

Складывая оба уравнения, получим Q₁ _ Q₂ = A₁₃ + A₃₁ =A, где А -- полная работа, совершенная машиной за один цикл.

Отношение полезной работы, совершенной машиной, к количеству полученного тепла составляет КПД тепловой машины

.

Понятно, что КПД машины всегда меньше единицы, поскольку не все количество полученного тепла переходит в полезную работу.

В реальных тепловых машинах КПД, очевидно, еще меньше, так как часть тепла теряется безвозвратно в процессе работы машины. Для получения максимального КПД следует рассмотреть рабочий цикл, образованный обратимыми процессами. Этому требованию отвечает цикл, впервые рассмотренный франц ученым Карно. В качестве рабочего тела в цикле Карно рассматривается идеальный газ. Цикл Карно состоит из последовательных расширения и сжатия газа, причем каждый из процессов совершается сначала изотермически, а затем адиабатически. При прямом цикле тело по-прежнему сначала получает тепло, а затем отдает его. Достоинство цикла Карно состоит в том, что все процессы обратимы, и, следовательно, КПД такой машины будет максимальным.

1-2: газ изотермически расширяется. Внутренняя энергия газа не изменяется, и количество полученного тепла Q₁ равно работе А₁₂.

.

2-3: газ адиабатически расширяется.

3_4: изотермически сжимается, для чего охладителю должно быть отдано тепло Q₂. Работа на участке 3_4 равна _ Q₂, причем

.

4_1: газ адиабатически сжимается, возвращаясь к исходному состоянию.

Для процессов 2_3 и 4_1 цикла Карно cледует:

. (TV ^г_1 = const)

Разделив первое уравнение на второе, получим V₂/V₁ = V₃/V₄. После подстановки этого выражения найдем:

.

Следовательно, КПД цикла Карно:

.

Из формулы следует, что КПД тепл машины определяется только разностью температур нагревателя и холодильника. КПД не зависит ни от свойств рабочего тела, используемого в машине, ни от свойств самой машины. Полученный результат показывает, что при T₁ = T₂ КПД машины равен нулю, т. е. машина не совершает работы. Работа максимальна (з = 1) при T₂ = 0. Таким образом, машина тем выгоднее, чем ниже температура охладителя.

2. Средняя длина свободного пробега молекулы газа. Среднее число соударений. Эффективный диаметр молекул

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул называется эффективным диаметром молекул.

- эффективное сечение молекулы.

Индивидуальные особенности движения отдельных молекул не играют роли в системе большого числа частиц, поэтому под длиной свободного пробега понимают среднюю длину пути молекулы в газе между столкновениями. Поскольку столкновения носят случайный характер, длина свободного пробега имеет вероятностный смысл: величина тем меньше, чем больше вероятность столкновения молекул. В свою очередь, вероятность столкновения молекул определяется их плотностью и размерами молекул.

где v -- средняя скорость теплового движения молекул.

Длина свободного пробега

Взаимодействие молекул в газе, молекулы которого находятся на относительно большом расстоянии друг от друга, носит характер столкновений. От частоты столкновений зависит время протекания процессов, ведущих к установлению состояния термодинамического равновесия: диффузии, теплопроводности, электропроводности. Кроме того, от частоты соударений зависит протекание фазовых переходов в таких системах.

Длиной свободного пробега молекулы газа называется расстояние, пролетаемое молекулой от одного столкновения до следующего. Эта величина в процессе соударений изменяется случайным образом, поэтому необходимо ввести среднее значение этой физической величины.

Для определения частоты столкновений и длины свободного пробега допустим, что все молекулы покоятся, а одна из них движется со средней тепловой скоростью v. Пусть все молекулы имеют одинаковый диаметр d. Пусть концентрация молекул равна n, причем для виртуального двумерного движения под концентрацией следует понимать число частиц, относящееся к единице площади, а не к единице объема. Частицы движутся, причем после каждого столкновения изменяется направление движения частицы (рис. 1). За 1 секунду молекула пройдет путь, равный ее скорости, но траектория этого движения будет не прямая, а ломаная линия. Нарисуем 2 линии, параллельные прямолинейному участку траектории движения частицы, на расстоянии, равном диаметру молекулы, от этого участка. У каждого излома этих линий будет «стоять» частица, причем для того, чтобы летящая частица могла испытать с ней соударение, нужно, чтобы центр неподвижной частицы попал между параллельными линиями.

Вычислим число ударов, испытываемых летящей частицей за одну секунду. За это время она проходит путь, равный скорости. Площадь, заключенная между параллельными линиями, приближенно равна произведению двойного диаметра на длину линии v, т.е. . Число частиц, находящихся на этой площади, равна . Это величина равна числу столкновений выделенной молекулы с другими частицами за 1 секунду. Разделив на эту величину путь v, пройденной молекулой за секунду, получим выражение для средней длины свободного пробега:

.

Эта формула получена в модели, в которой сталкивающаяся молекула имеет среднюю скорость, а остальные молекулы неподвижны. Учет реального движения других молекул довольно сложен, но практически не изменяет эту формулу, в ней дополнительно появляется лишь несущественный безразмерный множитель в знаменателе.

3. Явление переноса

Нарушение равновесия сопровождается возникновением потоков либо молекул, либо тепла, либо эл заряда и т.п. В связи с этим соответствующие процессы носят названия явлений переноса. Явления переноса представляют собой необратимые процессы.

Теплота передается посредством конвекции (направленный поток более теплой жидкости или газа к более холодным частям), теплопроводности и излучения.

Теплопроводность. Пусть системе сообщено некоторое количество тепла. При этом некоторая часть системы оказывается более нагретой, откуда тепло посредством столкновений распространяется по всему объему, т. е. возникает поток тепла. Переносимая физическая величина в этом случае -- тепло.

.

Количество теплоты, переданное слоем вещества толщиной , площади S при поддерживании на его плоскостях разности температур за время t.

_ коэффициент теплопроводности.

Диффузия. Если в систему добавляется некоторое количество частиц того или другого сорта, то в объеме возникает неоднородное распределение концентрации этих частиц и в силу указанных причин возникает поток концентрации этих частиц. Процесс выравнивания концентраций, обусловленный механизмом столкновений, называется диффузией.

,,

D - коэффициент диффузии, - изменение концентрации.

Вязкость. При относительном параллельном смещении слоев жидкости или газа в нем возникают силы трения, тормозящие движение слоев, движущихся с большей скоростью , и ускоряющие слои с меньшей скоростью. Причиной вязкости является перенос количества движения (импульса) упорядоченного движения молекулами, переходящими из одного слоя в другой. Импульс течет в направлении убывания скорости.

Величина силы внутреннего трения:

,

Где - отношение разности скоростей слоев к расстоянию между ними. S- площадь соприкосновения слоев. v -коэффициент вязкости среды.

4. Энтропия. Расчет изменения энтропии при различных изопроцессах

Вероятность макросостояния пропорциональна его статистическому весу ?, т. е. числу микроскопических способов, которым может быть осуществлено данное макросостояние.

В качестве характеристики вероятности состояния принимается величина S, пропорциональная логарифму статистического веса. Определенную таким способом величину

S = k•ln?

называют энтропией системы.

Энтропия -- важная термодинамическая характеристика системы, и есть величина

Св-ва:

1. Энтропия изолированной системы при протекании необратимого процесса возрастает (тепло само по себе не может переходить от менее нагретых к более нагретым телам). Действительно, изолированная (т. е. предоставленная самой себе) система переходит из менее вероятных в более вероятные состояния, что сопровождается ростом величины S.

2. Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна.

Утверждение о том, что энтропия изолированной системы может только возрастать (либо по достижении максимального значения оставаться неизменной), носит название закона возрастания энтропии или второго начала термодинамики. Иначе можно сказать, что энтропия изолированной системы не может убывать.

Рассмотрим изменение энтропии идеального газа.

,

Где А и В - пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. dQ - количество полученного тепла. Т - темпер системы.

Энтропия является функцией состояния. Поэтому она должна зависеть от параметров, определяющих состояние системы. Например она может быть представлена как функция p и Т, либо V и Т и т.д.

1) p=const

,

где С_р(Т) - теплоемкость тела при постоянном давлении, которая является функ темп.

2) V=const

,

где С_V(Т) - теплоемкость тела при постоянном объеме.

3) при изотермическом расширении его от объема V₁ до V₂.

совершаемая при этом механическая работа

.

При изотермическом процессе работа равна теплу, переданному или отданному системой A = ДQ. По определению и, стало быть, энтропия

.

5. Третье начало термодинамики. Теорема Нернста

При абсолютном нуле всякое тело, как правило, находится в основном состоянии, статистический вес которого равен единице(?=1). Формула энтропии S = k•ln? дает в этом случае для энтропии значение, равное нулю. Отсюда вытекает, что энтропия всякого тела стремится к нулю температуры: .Это утверждение представляет собой т.Нернста или третьим началом термодинамики.

6. Распределение молекул по скоростям

Аналогичная неравномерность имеет место и в распределении частиц в газе по скоростям. Случайный обмен импульсами и энергиями частиц при столкновениях приводит к некоторому разбросу кинетических энергий и скоростей молекул вокруг их средних значений, соответствующих установившейся в газе температуре. Случайные изменения скоростей молекул в результате столкновений можно рассматривать как случайное блуждание частиц, но не в реальном координатном пространстве, а в пространстве скоростей, осями в котором являются скорости частиц v_x, v_у, v_z (рис.).

Поэтому все сказанное о хаотическом тепловом движении в реальном пространстве применимо и к распределению частиц по скоростям.

Наиболее вероятная величина скорости в газе -- скорость v_m.

.

Средняя скорость:

Cреднеквадратичной скорости:

Все эти средние скорости близки друг другу.

7. Внутренняя энергия идеального газа

Внутренней энергией тела называют часть его полной энергии за вычетом кинетической энергии движения тела как целого и потенциальной энергии тела во внешнем поле. Таким образом, во внутреннюю энергию входят кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, энергия колебательного движения атомов в молекулах, а также энергия различных видов движения частиц в атомах.

В идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежимо мала и внутренняя энергия равна сумме энергий отдельных молекул

,

где E_i -- энергия отдельной молекулы.

Ввиду полной беспорядочности движения молекул в газе все направления перемещения молекулы равновероятны. Поэтому на каждую степень свободы поступательного движения приходится в среднем энергия

.

Энергия молекул, состоящих из некоторого числа атомов, не жестко связанных друг с другом, будет теперь складываться из энергии поступательного движения, вращательной энергии и энергии колебаний

E_i = E_поступ + E_вращ +E_колеб.

Нет причин полагать, что поступательное движение является в какой-то мере выделенным по сравнению с вращательным или колебательным. Поэтому следует считать, что по-прежнему на каждую степень свободы молекулы приходится энергия, равная kT/2. Однако следует учесть особенность, связанную с колебательным движением. Средняя энергия колебательного движения складывается из средней кинетической энергии и равной ей средней потенциальной энергии. Поэтому на каждую колебательную степень свободы приходится энергия, в два раза большая, чем на поступательные или вращательные степени свободы. Следовательно, средняя энергия молекулы должна равняться:

<E_i> = i·k·T,

где i -- сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:

i = i_поступ + i_вращат + 2·i_колеб.

Внутренняя энергия на один моль идеального газа

.

Внутрення энергия определяется температурой

E

Изменение энергии не зависит от характера пути. Отсутствие зависимости внутренней энергии от занимаемого газом объема указывает на то, что молекулы идеального газа подавляющую часть времени не взаимодействуют друг с другом.

8. Работа идеального газа при различных изопроцессах

dA= PdV.

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором -- внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа, совершаемая газом, при расширении от V₁ до V₂:

.

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

1) Т= const:

Поскольку температура газа остается постоянной dT = 0, при термодинамическом процессе не изменяется внутренняя энергия газа, dE=0, т.е. все подводимое в систему тепло расходуется только на совершение механической работы dQ = PdV. Таким образом,

.

При изотермическом сжатии газа механическая работа, совершаемая над системой, переходит в тепловую энергию окружающих тел.

2) Изобарический процесс. P=const;

Этот термодинамический процесс происходит при постоянном давлении. Ему соответствуют на диаграмме P,V горизонтальные прямые -- изобары, определяемые уравнением состояния:

.

Работа при изобарическом процессе пропорциональна разности объемов газа в начальном и конечном состояниях:

.

3) Изохорический процесс.

Зависимость давления от температуры при постоянном объеме представляет собой в координатах P, V вертикальную прямую, называемую изохорой. Поскольку при этом процессе dV = 0, работа равна нулю.

4) Адиабатический процесс происходит в системе без теплообмена с окружающей средой, т. е. dQ = 0. Из первого начала термодинамики (2.32) следует, что при таком процессе dE = _ Pd V, т. е. изменение внутренней энергии системы происходит только за счет совершения работы. Выразим изменение внутренней энергии через теплоемкость при постоянном объеме согласно формуле (2.34): dE = v·C_V·dT.Тогда

v·C_V·dT = _ PdV.

Отсюда следует, что при адиабатическом расширении газа dV > 0, dT < 0, и газ охлаждается. При сжатии газа, наоборот, происходит его нагревание и соответственно увеличение внутренней энергии.

Работа при адиабатическом процессе пропорциональна изменению температур газа в начальном и конечном состояниях:

.

9. Первое начала термодинамики

Внутренняя энергия системы может изменяться за счет энергии, сообщаемой системе извне. Эта энергия может сообщаться системе посредством двух процессов: либо за счет работы, производимой внешними силами над системой, либо за счет передачи ей тепла. Рассмотрим газ, сжимаемый в сосуде поршнем под действием силы F (рис.). Пусть под действием этой силы поршень переместился на расстояние dh, сжав газ. Работа силы на пути dh _ dA = Fdh.

Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а умножив на S, получим изменение объема газа dV. Таким образом, производимая над газом работа

dA= PdV.

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором -- внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа, совершаемая газом, при расширении от V₁ до V₂:

.

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо при взаимодействии тел через излучение, изменение внутренней энергии происходит за счет передачи энергии хаотически движущихся частиц одного тела частицам другого.

Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту. Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.

Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и произведенной работой выражается уравнением

dQ = dE + dA = dE + PdV.

Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии макроскопических тел. Он получил название первого начала термодинамики.

Важно учесть, что в выражении (2.32) работа и количество тепла не есть полные дифференциалы каких-либо величин, в то время как внутренняя энергия является таковой. Можно говорить о внутренней энергии в данном состоянии, а не о количестве тепла или работы, которыми обладает тело. Нельзя делить энергию тела на тепловую и механическую, речь идет лишь об изменении внутренней энергии тела за счет количества тепла, переданного ему или отданного им, и количества совершенной работы. Это разделение неоднозначно и зависит от начального и конечного состояний тела и от характера совершаемого процесса. Поэтому, например, в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии может быть равно нулю, а тело при этом может приобрести или потерять энергию.

10. Теплоемкость идеального газа

Количество тепла, при получении которого температура тела повышается на один градус, называется теплоемкостью. Согласно этому определению

.

Теплоемкость, отнесенная к единице массы, называется удельной теплоемкостью. Теплоемкость, отнесенная к одному молю, называется моляpной теплоемкостью. Итак, теплоемкость опpеделяется чеpез понятие количества теплоты. Но последнее, как и pабота, зависит от пpоцесса. Значит и теплоемкость зависит от пpоцесса. Сообщать теплоту - нагpевать тело - можно пpи pазличных условиях. Однако пpи pазличных условиях на одно и то же увеличение темпеpатуpы тела потpебуется pазличное количество теплоты. Следовательно, тела можно хаpактеpизовать не одной теплоемкостью, а бесчисленным множеством (столько же, сколько можно пpидумать всевозможных пpоцессов, пpи котоpых пpоисходит теплопеpедача). Однако на пpактике обычно пользуются опpеделением двух теплоемкостей: теплоемкости пpи постоянном объеме и теплоемкости пpи постоянном давлении.

Теплоемкость различается в зависимости от того, при каких условиях происходит нагревание тела -- при постоянном объеме или при постоянном давлении.

Если нагревание тела происходит при постоянном объеме, т. е. dV = 0, то работа равна нулю. В этом случае передаваемое телу тепло идет только на изменение его внутренней энергии, dQ = dE, и в этом случае теплоемкость равна изменению внутренней энергии при изменении температуры на 1 К, т. е.

.

Поскольку для газа , то .

Эта формула определяет теплоемкость 1 моля идеального газа, называемую молярной. При нагревании газа при постоянном давлении его объем меняется, сообщенное телу тепло идет не только на увеличение его внутренней энергии, но и на совершение работы, т.е. dQ = dE + PdV. Теплоемкость при постоянном давлении

.

Для идеального газа PV = RT и поэтому PdV = RdT.

Учитывая это, найдем

.

Отношение представляет собой величину, характерную для каждого газа и определяемую числом степеней свободы молекул газа. Измерение теплоемкости тела есть, таким образом, способ непосредственного измерения микроскопических характеристик составляющих его молекул.

Формулы для теплоемкости идеального газа приблизительно верно описывают эксперимент, причем, в основном, для одноатомных газов. Согласно формулам, полученным выше, теплоемкость не должна зависеть от температуры. На самом деле наблюдается картина, изображенная на рис., полученная опытным путем для двухатомного газа водорода. На участке 1 газ ведет себя как система частиц, обладающих лишь поступательными степенями свободы, на участке 2 возбуждается движение, связанное с вращательными степенями свободы и, наконец, на участке 3 появляются две колебательные степени свободы. Ступеньки на кривой хорошо согласуются с формулой (2.35), однако между ними теплоемкость растет с температурой, что соответствует как бы нецелому переменному числу степеней свободы. Такое поведение теплоемкости указывает на недостаточность используемого нами представления об идеальном газе для описания реальных свойств вещества.

11. Второе начало термодинамики

Особую роль играют два понятия: равновесное состояние и обратимый процесс (процесс, который в прямом и обратном направлении проходит одни и те же состояния).

Опред: 1) Энтропия изолированной системы не может убывать. dS?0

2) Формулировка Клаузиуса:

Невозможны такие процессы, единым конечным результатом которых был бы переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

3) Формулировка Кельвина:

Невозможны такие процессы, единым конечным результатом которых являлось бы отнимание у некоторого тела определённого количества тепла и полное превращение этого тепла в работу. Следовательно невозможен вечный двигатель второго рода, при котором количество работы, совершенной двигателем равно количеству энергии, полученной извне.

Втоpое начало теpмодинамики обычно фоpмулиpуется как пpинцип исключения вечного двигателя втоpого pода: нельзя постpоить такую пеpиодически действующую тепловую машину, котоpая бы совеpшала pаботу исключительно за счет охлаждения одного тела без нагpевания дpугих тел.

Каждая тепловая машина имеет некий источник теплоты, именуемый нагpевателем. Втоpое начало теpмодинамики утвеpждает, что нельзя постpоить тепловую машину, в котоpой бы pабота совеpшалась за счет теплоты нагpевателя без какой-либо отдачи части теплоты более холодному телу, именуемому холодильником. Нельзя постpоить тепловую машину без холодильника.

Почему же машина без холодильника называется вечным двигателем? Дело в том, что окpужающая нас сpеда (атмосфеpа, pеки, моpя) так или иначе нагpета и могла бы служить нагpевателем тепловой машины. Если бы можно было постpоить машину без холодильника с темпеpатуpой ниже темпеpатуpы сpеды, то такая машина pаботала бы пpактически вечно, т.к. внутpенняя энеpгия сpеды (напpимеp, атмосфеpы) колоссальна и пpактически неисчеpпаема. Оказывается, необходим холодильник, котоpый в пpоцессе pаботы машины будет нагpеваться, и, когда он нагpеется до темпеpатуpы окpужающей сpеды, машина остановится. Ее дальнейшая pабота потpебует пpедваpительного охлаждения холодильника, для чего нужно совеpшить pаботу какой-то дpугой машине. Никакого выигpыша в pаботе не будет. Единственным обратимым процессом процессом, сопровождающимс тепло обменом, является изотермических процесс.Кельвину принадлежит еще одна формулировка второго начала термодинамики: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых явилось бы отнятие от некоторого тела определенного количества тепла и превращение этого тепла полностью в работу.

12. Скорость и ускорение гармонических колебаний

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:

x(t) = x_mcos(щ₀t+₀).

где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w- коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний. Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. ). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w, v = wА). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt.

При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М_х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А * cos ф = = А * cos wt. Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.

Если известна величина t, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении.

Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания. Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М_х, совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М_х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos t = A cos (t + Т), а это значит, что (t + Т) - t = 2 (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что щ=2/T=2v

Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л. Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой.

Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение примет вид:

x(t)= Acos(щ₀t+),

Величину ₀ называют начальной фазой.

Скорость точки М_х найдем как производную от координаты по времени:

Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:

13. Сила и энергия гармонических колебаний

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения есть проекция силы F_x, которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F_x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение называют основным уравнением динамики гармонических колебаний.

Энергия гармонических колебаний

Квазиупругая сила является консервативной и поэтому энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная максимальна.

И наоборот в моменты прохождения положения равновесия потенциальная энергия минимальна (равна нулю), а кинетическая энергия максимальна:

Здесь косинус равен единице, так как скорость максимальна и равна амплитуде. Так как k=mщ₀², то эти два выражения равны друг другу.

Однако, интересно установить как меняется энергия от времени. Подставим в выражения для энергий соответствующие формулы для смещения и скорости.

Если сложить эти два выражения, то получим полную энергию колебаний в данный момент времени:

То есть мы ещё раз убедились, что ПОЛНАЯ энергия колебаний величина постоянная и не меняется от времени, если отсутствуют диссипативные силы.

Воспользовавшись формулами тригонометрии можно перейти от квадратов синуса и косинуса к двойным углам:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отсюда хорошо видно, что энергия изменяется с частотой 2щ₀ около значения

,

что и отражено на графике.

14. Сложение гармонических колебаний одного направления

Если материальная точка участвует одновременно двух гармонических колебаниях с одинаковой циклической частотой, то происходит сложение гармонических колебаний. Рассмотрим несколько наиболее простых случаев сложения гармонических колебаний.

Сложений двух колебаний одного направления.

1. Круговые частоты и фазы колебаний одинаковы, амплитуды различны:

x₁=A₁ sin , x₂=A₂ sin

тогда x₁+x₂=(A₁+A₂) sin = A sin

2. Круговые частоты и амплитуды одинаковы, фазы различны:

x₁=A sin , x₂=A sin ),

где - разность фаз. Тогда

В результате возникает гармоническое колебание такой же частоты, но отличающееся по фазе от первичных колебаний на половину разности фаз этих колебаний. Амплитуда , меньше суммы амплитуд первичных колебаний.

3. Амплитуды одинаковы, круговые частоты мало отличаются друг

от друга:: x₁=A sin , x₂=A sin , тогда,

Результирующее колебание оказывается не гармоническим так как оно не соответствует уравнению

x=A sin

15. Сложение взаимно - перпендикулярных колебаний

Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний:

1. Круговые частоты и фазы одинаковы, амплитуды различны:

x=A₁ sin , y=A₂ sin

где x и y - смещения тела, вызванные первым и вторым колебаниями.

Тогда . .

Величина результирующего смещения:

, где

амплитуда результирующего колебания.

2. Круговые частоты одинаковы, фазы различаются на , амплитуды различны:

x=A₁ sin , y=A₂ sin , тогда.

Это уравнение Эллипса.

Следовательно, результирующее движение тела совершается по эллипсу, полуось которого равны амплитудам слагаемых колебаний. Если A1=A2=A, то уравнение эллипса переходит в уравнение окружности, и тело будет описывать окружность.

16. Осциллятор с затуханием

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жесткостью k. Пусть x - это смещение груза относительно положения равновесия.

Взяв за основу ту же модель, добавим в нее силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор.

Здесь введено обозначение: 2г = б / m. Коэффициент г носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

· При малом трении (г < щ₀) общее решение записывается в виде:

x(t) = Ae ^{? гt}sin(щ_ft + ц),

где - частота свободных колебаний.

· Затухание г = щ₀ называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

x(t) = (A + Bt)e - ^гt

· При сильном трении г > щ₀ решение выглядит ещё по-другому.

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдет до положения равновесия быстрее, однако "проскочит" его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

17. Добротность, декремент затухания

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм -- логарифмическим декрементом затухания:

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания л. Выразив в соответствии с (3.28) в через л, и T, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

За время ф, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e = ф/T колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величинаназываемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время ф, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой Q. По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в Q раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, умноженному на р.

В случае колебательного движения затухание еще характеризуют такими параметрами, как:

· Время жизни колебаний, оно же время затухания. ф - время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

ф = 1 / г

Это время можно рассматривать как время, необходимое для затухания колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

· Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону. . Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания ф.

18. Основы молекулярно-кинетической теории

Молекулярно-кинетическая теория - теория, объясняющая тепловые явления в макроскопических телах и свойства этих тел на основе их молекулярного строения.

Основные положения молекулярно-кинетической теории:

1. вещество состоит из частиц - молекул и атомов, разделенных промежутками,

2. эти частицы хаотически движутся,

3. частицы взаимодействуют друг с другом.

МАССА И РАЗМЕРЫ МОЛЕКУЛ

Массы молекул и атомов очень малы. Например, масса одной молекулы водорода равна примерно 3,34*10 ^-27 кг, кислорода - 5,32*10 ^-26 кг. Масса одного атома углерода m_0C=1,995*10 ^-26 кг

Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества Mr называют отношение массы молекулы (или атома) данного вещества к 1/12 массы атома углерода:(атомная единица массы).

Количество вещества - это отношение числа молекул N в данном теле к числу атомов в 0,012 кг углерода N_A:

Моль - количество вещества, содержащего столько молекул, сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода.

Число молекул или атомов в 1 моле вещества называют постоянной Авогадро:

Молярная масса - масса 1 моля вещества:

Молярная и относительная молекулярная массы вещества связаны соотношением: М = М_r*10 ^-3 кг/моль.

СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ

Несмотря на беспорядочный характер движения молекул, их распределение по скоростям носит характер определенной закономерности, которая называется распределением Максвелла.

График, характеризующий это распределение, называют кривой распределения Максвелла. Она показывает, что в системе молекул при данной температуре есть очень быстрые и очень медленные, но большая часть молекул движется с определенной скоростью, которая называется наиболее вероятной. При повышении температуры эта наиболее вероятная скорость увеличивается.

19. Термодинамические макропараметры. Идеальный газ

Любой материальный объект, любое тело или совокупность тел, состоящих из большого числа частиц, называется макроскопической системой. Термодинамика может изучать любые системы, но одно условие обязательно: система должна быть конечной. Она может быть ничтожно малой, такой, как, например, живая клетка, может быть гигантски большой, как звезда. При этом важно подчеркнуть, что изучаемая в рамках термодинамики система должна состоять из большого числа молекул, поскольку законы термодинамики утрачивают свой смысл для систем, состоящих из нескольких молекул.

Состояние системы определяется совокупностью ее свойств. Признаки, характеризующие состояние системы, например, температура, давление, объем или процентный состав смеси в неоднородной системе, называются термодинамическими параметрами. Термодинамическое состояние определяется совокупностью всех термодинамических параметров.

Состояние называется стационарным, если параметры системы с течением времени не изменяются. Если в системе не только все параметры постоянны во времени, но и нет никаких стационарных потоков за счет действия каких-либо внешних источников, то такое состояние системы называется равновесным. Параметры, характеризующие это состояние, называются равновесными.

Идеальный газ - это упрощенная модель газа, в которой:

· молекулы газа считаются материальными точками,

· молекулы не взаимодействуют между собой,

· молекулы, соударяясь с преградами, испытывают упругие взаимодействия.

Иными словами, движение отдельных молекул идеального газа подчиняется законам механики. Реальные газы ведут себя подобно идеальным при достаточно больших разрежениях, когда расстояния между молекулами во много раз больше их размеров.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории можно записать в виде

Скорость называют средней квадратичной скоростью.

20. Уравнение состояния идеального газа

Пусть газ массой m занимает объем V при температуре Т и давлении р, а М- молярная масса газа. По определению, концентрация молекул газа: n = N/V, где N-число молекул.

Подставим это выражение в основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

Величину R называют универсальной газовой постоянной, а уравнение, записанное в виде

называют уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева-Клапейрона. Нормальные условия - давление газа равно атмосферному ( р = 101,325 кПа) при температуре таяния льда ( Т = 273,15 К ).

В процессе вывода соотношения (2.6) возникли еще две макроскопические характеристики системы многих частиц -- давление P и объем V. Задание температуры, давления и объема определяет состояние системы частиц (тела). Эти величины называются параметрами состояния.

Давление P, объем V и температура, T не являются независимыми величинами. Соотношение, связывающее эти три параметра, вида f(P, V, T) = 0 называется уравнением состояния. Найдем уравнение состояния идеального газа. Подставляя в соотношение (2.6) выражение (2.3), получим

PV = N·k_Б·T.(2.7)

Отметим универсальный характер полученного уравнения: в него не входят никакие величины, характерные для определенного газа, а только числа частиц. Отсюда следует, в частности, что при одинаковых давлении и температуре разные газы, занимающие равные объемы, содержат в них равные числа молекул. Этот закон был установлен ранее опытным путем Авогадро.

Перепишем уравнение состояния в терминах объема, приходящегося на единицу вещества -- моль. Один моль -- это количество вещества в граммах, численно равное его молекулярному весу. Например, 1 моль кислорода содержит 32 г вещества. Удобство этой единицы измерения состоит в том, что по определению в 1 моле любого вещества содержится одинаковое число молекул, называемое числом Авогадро N_A. Оно равно 6·10²³ молекул. Число молекул в объеме газа можно записать в виде:

N = н·N_A,

где v -- число молей данного вещества в указанном объеме. В этих обозначениях уравнение состояния принимает вид:

PV=v·R·T.(2.8)

Величина R = k_БN_A называется газовой постоянной.Пусть при нагревании газа на 1 К объем, занимаемый 1 молем газа, изменился при неизменном давлении на ДV. Представляя давление газа в виде P = F/S, а объем сосуда в виде ДV =, видим, что величина PДV = FДh есть работа, произведенная газом при его расширении. Таким образом, физический смысл газовой постоянной состоит в том, что она численно равна работе, совершенной 1 молем газа при его нагревании на 1 К при постоянном давлении.

21. Опытные газовые законы

1. Изотермический процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.

Если Т =const, то

Закон Бойля-Мариотта

Для данной массы газа произведение давления газа на его объем постоянно, если температура газа не меняется: p₁V₁=p₂V₂ при Т = const

График процесса, происходящего при постоянной температуре, называется изотермой.

2. Изобарный процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.

Закон Гей-Люссака

Объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре:

Если газ, имея объем V₀ находится при нормальных условиях: а затем при постоянном давлении переходит в состояние с температурой Т и объемом V, то можно записать

Обозначив

получим V=V₀T

Коэффициент называют температурным коэффициентом объемного расширения газов. График процесса, происходящего при постоянном давлении, называется изобарой.

3. Изохорный процесс

Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным. Ecли V = const, то

Закон Шарля

Давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре:

Если газ, имея объем V₀,находится при нормальных условиях:

а затем, сохраняя объем, переходит в состояние с температурой Т и давлением р, то можно записать

График процесса, происходящего при постоянном объеме, называется изохорой.

инерция энтропия колебание энергия

22. Температура. Кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа

Макроскопическая характеристика теплового движения -- температура. Температура есть мера содержащегося в теле тепла. Она же определяет направление перехода тепла -- от более нагретого тела к менее нагретому. Если температуры тел одинаковы, то передачи тепла от одного тела к другому не происходит.

Рассматривая теплоту как форму энергии, необходимо связать ее с кинетической энергией частиц. Чем больше нагрето тело, тем больше и кинетическая энергия его частиц. Таким образом, кинетическую энергию движения частиц так же, как и температуру, можно рассматривать как меру теплового движения. Естественно предположить, что обе эти величины связаны между собой. На существование такой связи указывает, например, аналогия между переходом теплоты от одного тела к другому и передачей кинетической энергии при столкновении упругих тел.

...