Основы физики

Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов;

D - напряжение, возникающее в образце в момент разрыва во всех поперечных сечениях, кроме сечений шейки;

М - напряжение, возникающее в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.

Для большинства сталей предел пропорциональности можно приблизительно считать равным половине временного сопротивления.

Диаграмма сжатия стали до предела текучести совпадает с диаграммой растяжения, причем результаты испытаний сталей на растяжение и сжатие равноценны.

Результаты испытаний на растяжение и сжатие чугуна значительно отличаются друг от друга; предел прочности при растяжении в 3...5 раз ниже, чем при сжатии. Иными словами, чугун значительно хуже работает на растяжение, чем на сжатие.

Для пластичных материалов, диаграммы растяжения которых не имеют ярко выраженной площадки текучести (средне и высокоуглеродистые, легированные стали) или совсем ее не имеют (медь, дюралюминий), вводится понятие условного предела текучести - напряжения, при котором относительное остаточное удлинение образца равно 0,2%. Условный предел текучести также обозначим _т (иногда его обозначают _0,2).

Следует отметить, что деление материалов на пластичные и хрупкие условно, так как в зависимости от характера действующей нагрузки хрупкий материал может получить пластические свойства и, наоборот, пластичный материал приобретает свойства хрупкого. Так, например, деталь из пластичного материала при низкой температуре или при ударной нагрузке разрушается без образования шейки, как хрупкая.

Твердостью называют свойство материала оказывать сопротивление пластической деформации при контактном воздействии в поверхностном слое.

Существует несколько способов измерения твердости, различающихся по характеру воздействия наконечника. Твердость можно измерять вдавливанием наконечника (способ вдавливания), царапанием поверхности (способ царапания), ударом или же по отскоку наконечника - шарика. Твердость, определенная царапанием, характеризует сопротивление разрушению (для большинства металлов путем среза); твердость, определенная по отскоку, характеризует упругие свойства; твердость, определенная вдавливанием, - сопротивление пластической деформации.

Преимущества измерения твердости следующие:

1. Между твердостью пластичных металлов, определяемой способом вдавливания, и другими механическими свойствами (главным образом пределом прочности) существует количественная зависимость.

2. Измерение твердости по технике выполнения значительно проще, чем определение прочности, пластичности и вязкости. Испытания твердости не требуют изготовления специальных образцов и выполняются непосредственно на проверяемых деталях после зачистки на поверхности ровной горизонтальной площадки, а иногда даже и без такой подготовки. Измерения твердости выполняются быстро, например, при вдавливании конуса за 30-60 с, а при вдавливании шарика - за 1-3 мин.

3. Измерение твердости обычно не влечет за собой разрушения проверяемой детали, и после измерения ее можно использовать по своему назначению, в то время как для определения прочности, пластичности и вязкости необходимо изготовление специальных образцов из детали.

4. Твердость можно измерять на деталях небольшой толщины, а также в очень тонких слоях, не превышающих (для некоторых способов измерения твердости) десятых долей миллиметра, или в микрообъемах металла; в последнем случае измерения проводят способом микротвердости. Поэтому многие способы измерения твердости пригодны для оценки различных по структуре и свойствам слоев металла, например поверхностного слоя цементованной, азотированной или закаленной стали, имеющей разную твердость по сечению детали. Методом определения микротвердости можно также измерять твердость отдельных составляющих в сплавах.

Для полной характеристики свойств металла необходимо наряду с измерением твердости проводить остальные механические испытания. Поскольку при измерении твердости в большинстве случаев детали не разрушаются, то эти измерения можно применять для сплошного контроля деталей, в то время как определение

характеристик прочности и пластичности проводят в качестве выборочного контроля.

Измерение микротвердости имеет целью определить твердость отдельных зерен, фаз и структурных составляющих сплава (а не «усредненную» твердость, как при измерении макротвердости). В данном случае объем, деформируемый вдавливанием, должен быть меньше объема (площади) измеряемого зерна. Поэтому прилагаемая нагрузка выбирается небольшой. Кроме того, микротвердость измеряют для характеристики свойств очень малых по размерам деталей.

У полимерных материалов измерение твердости дает меньше информации об их свойствах, так как между твердостью и прочностью этих материалов нет определенной зависимости. Результаты измерений являются лишь дополнительной характеристикой свойств полимерных материалов.

Метод измерения твердости вдавливанием шарика (твердость по Бринеллю) используется для определения твердости как металлов, так и полимерных материалов.

,

где P - нагрузка на шарик, кгс; F - площадь сферического отпечатка, мм²; D - диаметр вдавливаемого шарика, мм; d - диаметр отпечатка, мм.

Получаемое число твердости при прочих равных условиях определяется диаметром отпечатка d. Последний тем меньше, чем выше твердость испытуемого металла.

При измерении твердости шариком определенного диаметра и с установленными нагрузками нет необходимости проводить расчет по указанной выше формуле. На практике пользуются заранее составленными таблицами, указывающими число НВ в зависимости от диаметра отпечатка и соотношения между нагрузкой Р и поверхностью отпечатка F. При указании твердости НВ иногда отмечают принятые нагрузку и диаметр шарика.

Измерение твердости вдавливанием стального шарика не является универсальным способом. Этот способ не позволяет: а) испытывать материалы с твердостью более НВ 450; б) измерять твердость тонкого поверхностного слоя (толщиной менее 1-2 мм), так как стальной шарик продавливает этот слой и проникает на большую глубину. Толщина измеряемого слоя (или образца) должна быть не менее 10-кратной глубины отпечатка.

Метод измерения твердости вдавливанием конуса или шарика (твердость по Роквеллу) принципиально отличается от рассмотренного выше измерения по Бринеллю и состоит в том, что твердость определяют по глубине отпечатка, получаемого при вдавливании алмазного конуса, имеющего угол в вершине 120°, или стального шарика диаметром 1,59 мм, а не по площади отпечатка.

По сравнению с измерением по Бринеллю, этот метод имеет то преимущество, что позволяет изменять нагрузку в широких пределах, без изменения значений твердости, так как при вдавливании конуса сохраняется закон подобия, а условия деформации под вершиной конуса с увеличением давления не изменяются.

Твердомер измеряет разность между глубиной отпечатков, полученных от вдавливания наконечника под действием основной нагрузки и от вдавливания под предварительной нагрузкой. Каждое деление (единица шкалы) индикатора соответствует глубине вдавливания в 2 мкм. Однако стрелка индикатора отмечает не указанную величину глубины вдавливания h, а величину 100-h по черной шкале при измерении алмазом и величину 130-h по красной шкале при измерении шариком. Числа твердости по Роквеллу не имеют той размерности и того физического смысла, который имеют числа твердости по Бринеллю. Однако числа твердости по Роквеллу можно пересчитать на числа твердости по Бринеллю с помощью диаграмм и таблицы, построенных на основании многочисленных экспериментальных работ.

Твердость на приборе Роквелла можно измерять:

1) алмазным конусом с общей нагрузкой 150 кгс; в этом случае значения твердости характеризуются цифрой, указываемой стрелкой на черной шкале С циферблата, и обозначаются НRС. Например, НRС 65 означает, что твердость материала составляет 65 единиц по Роквеллу по шкале С с нагрузкой 150 кгс. Такие измерения производятся для закаленной или низкоотпущенной стали, материалов средней твердости, поверхностных слоев толщиной более 0,5 мм (например, цементованного слоя);

2) алмазным конусом с общей нагрузкой 60 кгс. В этом случае значения твердости также характеризуются цифрой, указываемой стрелкой на черной шкале С циферблата, но обозначаются НRА. Числа НRА можно перевести на числа НRС по следующей формуле: НRС=2НRА-104. Такие измерения производятся для очень твердых металлов (более НRС 70), например твердых сплавов, когда вдавливание алмазного конуса с большой нагрузкой может вызвать выкрашивание алмаза, а также для измерения твердых поверхностных слоев (0,3-0,5 мм) или тонких образцов (пластинок);

3) стальным шариком с общей нагрузкой 100 кгс, в этом случае значения твердости характеризуются цифрой, указываемой стрелкой на красной шкале В циферблата, и обозначаются НRB. В этом случае определяется твердость мягкой (отожженной) стали или отожженных цветных сплавов в деталях или образцах толщиной 0,8-2 мм, т. е. в условиях, когда измерение по Бринеллю, выполняемое шариком большого диаметра, может вызвать смятие образца.

Метод измерения твердости вдавливанием алмазной пирамиды (твердость по Виккерсу) основан на вдавливании в металл четырехгранной алмазной пирамиды с углом в вершине 136°. Твердость характеризует площадь получаемого отпечатка. Соотношение между диагоналями получающегося отпечатка при изменении нагрузки остается постоянным, что позволяет в широких пределах в зависимости от целей исследования увеличивать или уменьшать нагрузку.

Твердость по Виккерсу так же, как и по Бринеллю, определяется как усилие, приходящееся на единицу поверхности отпечатка:



кгс/мм²,

где Р - нагрузка на пирамиду, кгс;

- угол между противоположными гранями пирамиды, равный 136°;

d - среднее арифметическое длины обеих диагоналей отпечатка после снятия нагрузки, мм. точность измерения отпечатка даже при проникновении пирамиды на небольшую глубину и делает этот способ особенно пригодным для определения твердости тонких изделий или твердых сплавов.

Определение микротвердости необходимо для изделий мелких размеров и отдельных структурных составляющих сплавов. Прибор для определения микротвердости состоит из механизма для вдавливания алмазной пирамиды под небольшой нагрузкой и металлографического микроскопа. В испытуемую поверхность вдавливают алмазную пирамиду под нагрузкой 5-500 гс. Твердость Н определяют по той же формуле, что и твердость по Виккерсу. При символе H нередко ставят индекс, показывающий величину нагрузки в граммах, например H₅ 220.

Динамические испытания на ударный изгиб выявляют склонность металла к хрупкому разрушению. Метод основан на разрушении образца с концентратором посредине одним ударом маятникового копра. Ударная вязкость KCU, KCV или KCT, измеряемая в Дж/м² или кгс^.м/см², определяется работой А_н, необходимой для излома образца, отнесенной к рабочей площади поперечного сечения F:

.

Первые две буквы KC обозначают символ ударной вязкости, третья буква U, V или T - вид концентратора (U - радиус концентратора 10,07 мм, V - радиус концентратора 0,250,025 мм и T - трещина).

Образец устанавливают на двух опорах, затем наносят удар по его середине со стороны, противоположной надрезу. Работа, затраченная на разрушение образца

А=Ph₁(cos-cos),

где Р - масса маятника, Н; h₁ - расстояние от оси маятника до его центра тяжести, м; - угол подъема маятника после разрушения образца; - угол подъема маятника перед ударом.

Формула дает возможность подсчитать A_н по измеренным углам и (Р и h₁ - постоянные для данного копра).

В пластичном состоянии у металлов KC>5-7 кгс^.м/см², в хрупком состоянии KC<1-2 кгс^.м/см².

Длительное действие на металлические изделия повторно-переменных (циклических) напряжений может вызвать образование трещин и разрушение даже при напряжениях ниже _0,2.

Постепенное накопление повреждений в металле под действием циклических нагрузок, приводящее к образованию трещин и разрушению, называют усталостью, а свойство металлов сопротивляться усталости называют выносливостью.

При усталостном разрушении излом состоит из двух зон. Первая зона- зона усталости имеет гладкую притертую поверхность. Образование этой зоны происходит постепенно. На начальной стадии приложения циклической нагрузки на поверхности образуется большое количество трещин, однако растет только та, которая имеет достаточно большую длину и острую вершину. Продвигаясь в глубь образца, усталостная трещина образует глубокий и острый надрез. В зоне усталости нередко можно видеть полосы («бороздки»), отражающие последовательное положение растущей трещины . Трещина развивается как вязкая. В период каждого циклона нагружения у ее вершины протекает большая пластическая деформация. Скорость роста трещины невелика. Рост трещины продолжается до тех пор, пока сечение не окажется столь малым, что действующие в нем напряжения превысят разрушающие. Тогда происходит быстрое разрушение. Это приводит к образованию второй зоны в усталостном изломе - зоны долома. Зона долома имеет структуру, характерную для хрупкого или вязкого разрушения при однократных нагрузках (статических или ударных).

Испытание на усталость (ГОСТ 12860-67) проводят для определения предела выносливости, под которым понимают наибольшее значение максимального напряжения цикла, при действии которого не происходит усталостного разрушения образца после произвольно большого или заданного числа циклов нагружения. Цикл нагружения - это совокупность переменных значений напряжений за один период их изменения.

Многие цветные металлы не имеют горизонтального участка на кривой усталости. В этом случае определяют ограниченный предел выносливости - наибольшее напряжение, которое выдерживает металл (сплав) в течение заданного числа циклов нагружения.

База испытания N должна быть не ниже 10·10⁶ для стали и 100·10⁶ циклов для легких сплавов и других цветных металлов, не имеющих горизонтального участка на кривой усталости.

Наклонная часть кривой усталости характеризует так называемую ограниченную выносливость.

При напряжениях, соответствующих ограниченной выносливости, заранее известно, что через какое-то время деталь разрушится от усталости, поэтому до разрушения ее нужно заменить.

Предел выносливости снижается при наличии концентраторов напряжения.



25. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.

Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких - предел прочности. Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации напряжения были меньше предельных.

Очевидно, что недостаточный коэффициент запаса прочности не обеспечит надежности конструкции, а чрезмерный запас прочности приведет к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Сечение, для которого коэффициент запаса прочности наименьший, называется опасным.

Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым и обозначают [s]. Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от свойств, качества и однородности материала, точности представления о нагрузках, действующих на конструкцию, ответственности конструкции и многих других причин. Для пластичных материалов [s]=1,2...2,5, для хрупких [s]=2...5, для древесины [s]=8...12.

26. Сдвиг (срез)

Сдвигом называется такой вид деформации, при которой в любом поперечном сечении бруса возникает только поперечная сила. Деформацию сдвига можно наблюдать, например, при резке ножницами металлических полос или прутков.

Рассмотрим брус с площадью поперечного сечения, равной А, перпендикулярно оси которого приложены две равные и противоположно направленные силы F, линии действия их параллельны и находятся на относительно небольшом расстоянии друг от друга. Во всех точках поперечного сечения действуют распределенные силы, равнодействующую которых определим из условия равновесия оставленной части бруса:

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении при сдвиге.

Естественно считать, что при сдвиге в поперечном сечении бруса действуют только касательные напряжения.

По этой расчетной формуле проводят проектный и проверочный расчеты и определяют допускаемую нагрузку.

Наиболее просто однородный чистый сдвиг может быть осуществлен непосредственным нагружением пластины, захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки. Для всех точек пластины касательные напряжения будут, очевидно, следующими:

,

где - толщина пластины. Исключение составляет узкая краевая зона, где пластина сопрягается с накладками. Здесь напряженное состояние будет отличным от чистого сдвига. Однако эти отклонения носят чисто местный характер и область их распространения мала по сравнению с общими размерами напряженной пластины.

В качестве еще одного примера иллюстрации состояния однородного чистого сдвига можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами M, приложенными в торцовых плоскостях.

Величина напряжения определяется из условий равенства момента внутренних сил, равномерно распределенных по поперечному сечению, моменту M:



,

где R - радиус трубки, а - ее толщина.

Закон Гука при сдвиге справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу.

Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах - Паскалях.

Между тремя упругими постоянными E, G существует следующая зависимость:

.

В результате возникающих угловых деформаций пластина, показанная на рис. 33, перекашивается, а торцовые сечения трубки (рис. 34) получают взаимные угловые смещения ?. Характер возникающих смещений показан на рис. 35, причем

.

Деформация сдвига, доведенная до разрушения материала, называется срезом (применительно к металлическим деталям) или скалыванием (применительно к неметаллическим конструкциям).

Допускаемое напряжение на срез выбирают для пластичных материалов в зависимости от предела текучести.

При расчетах на срез в случае, если соединение осуществляется несколькими одинаковыми деталями (болтами, заклепками и т. д.), полагают, что все они нагружены одинаково.

Расчеты соединений на срез обычно сопровождают проверкой прочности этих соединений на смятие.

27. Кручение

Кручением называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими или скручивающими. Вращающий момент обозначается Т.

Так как на кручение работают валы, обычно имеющие круглое или кольцевое сечение, то рассмотрим кручение круглого цилиндра.

Изготовим из резины (для большей наглядности) прямой круговой цилиндрический брус и жестко защемим один его конец; нанесем на его поверхности сетку линий, состоящую из образующих и окружностей, а затем приложим к свободному концу бруса пару сил, действующую в плоскости, перпендикулярной оси, т. е. подвергнем брус деформации кручения. При этом:

1) ось цилиндра, называемая осью кручения, останется прямолинейной;

2) диаметры окружностей, нанесенных на поверхности цилиндра до деформации, при деформации останутся такими же и расстояние между окружностями не изменится;

3) образующие цилиндра обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндра радиусы окружностей остаются при деформации прямыми. Так как в поперечных сечениях бруса нет продольных сил, то расстояния между сечениями не изменяются.

Деформация кручения цилиндра заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения. Угол поворота сечения равен углу закручивания части цилиндра, заключенной между данным сечением и заделкой. Угол поворота концевого сечения называется полным углом закручивания цилиндра.

Относительным углом закручивания ₀ называется отношение угла закручивания к расстоянию z от данного сечения до заделки.

Рассматривая тонкий слой материала на поверхности бруса, ограниченный любой ячейкой сетки видим, что эта ячейка при деформации перекашивается, принимая положение knc₁d₁. Аналогичную картину мы наблюдали при изучении деформации сдвига.

При кручении также возникает деформация сдвига, но не за счет поступательного, а в результате вращательного движения одного поперечного сечения относительно другого. Следовательно, при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы, образующие крутящий момент.

Крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.

Распределения крутящих моментов вдоль оси бруса производится по эпюрам крутящих моментов. Крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.

Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.

Крутящий момент полагаем положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения.

На рис. 36 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа₁, а сечения волокна b - дуге bb₁:

, ,

где полный угол закручивания, рад; r - радиус цилиндра; расстояние от волокна b до оси кручения. Так как радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения.

На оси кручения касательные напряжения равны нулю.

Так как относительный угол закручивания ₀ - величина постоянная для данного цилиндрического бруса, то касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от точек сечения до оси кручения. Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника.

Если брус состоит из одного участка, т. е. имеет постоянное сечение и постоянный по длине участка крутящий момент, то касательные напряжения в данном волокне будут по всей длине цилиндра одинаковы.

Произведение GI_p, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при кручении.

Полный угол закручивания цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.

Так как при выводе последней формулы мы применяли закон Гука, она справедлива в пределах, когда нагрузка и деформация прямо пропорциональны.

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, значением крутящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков.

Обратим внимание на то, что эти формулы по структуре аналогичны формулам для вычисления напряжений и деформаций при растяжении, сжатии и применимы лишь для участков бруса, имеющих одинаковый материал, постоянные поперечное сечение и крутящий момент.

Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряжения, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается значительный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемое. Расчетная формула на прочность при кручении имеет вид T/W_p<и читается так: касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.

Кроме прочности, к валам предъявляется требование жесткости, заключающееся в том, что угол закручивания 1 м длины вала не должен превышать определенной величины во избежание, например, потери точности ходовых винтов токарно-винторезных станков.

Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается , расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид

.



Величины допускаемых углов закручивания зависят от назначения вала; их обычно принимают в следующих пределах: =0,25...1 град/м.

С помощью полученных расчетных формул выполняют три вида расчетов конструкций на прочность и жесткость при кручении - проектный, проверочный и определение допускаемой нагрузки.

28. Изгиб прямого бруса

Изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент.

Если изгибающий момент будет единственным силовым фактором, действующим в сечении, то такой вид деформации называют чистым изгибом. Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.

На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. В дальнейшем почти всегда мы будем рассматривать такие брусья, у которых имеется по крайней мере одна плоскость симметрии и плоскость действия нагрузок совпадает с ней. В этом случае деформация изгиба происходит в плоскости действия внешних сил и изгиб называется прямым в отличие от косого изгиба.

Для того чтобы получить представление о деформации изгиба, проведем два опыта:

1. Балку, свободно лежащую на двух опорах, в верхней и нижней частях которой предварительно сделаны пазы и в них помещены точно пригнанные по размеру пазов бруски, подвергнем деформации изгиба. В результате этого бруски, расположенные на выпуклой стороне, выпадут из пазов, а бруски, расположенные на вогнутой стороне, будут зажаты.

2. На боковую поверхность призматического резинового (для большей наглядности) бруса прямоугольного сечения нанесем сетку продольных и поперечных прямых линий и подвергнем этот брус деформации чистого изгиба. В результате можно видеть следующее:

а) поперечные прямые линии останутся при деформации прямыми, но повернутся навстречу друг к другу;

б) продольные прямые линии, а также ось бруса искривятся;

в) сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне.

Из описанных опытов можно сделать вывод, что при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений; волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне - сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.

Искривление волокон и оси бруса происходит за счет неравномерного распределения нормальных напряжений по поперечному сечению.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Для определения внутренних силовых факторов при изгибе применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией - осью, к которой приложены активные и реактивные силы. Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.

Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1, видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и, равный внешнему моменту. Таким образом, рассматриваемый случай есть случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы, перпендикулярные оси.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М и поперечная сила Q. Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

Нетрудно видеть, что в общем случае при поперечном изгибе изгибающий момент и поперечная сила в разных сечениях могут иметь неодинаковое значение.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно, сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно:

- если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным.

- если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными.

Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемленным, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Подчеркнем, что для определения опорных реакций пользуются правилами знаков статики; для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы - правилами знаков сопротивления материалов.

Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «правилом дождя» (имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задержится дождевая вода, и наоборот).

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского. Эта теорема формулируется так: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки:

.

Если уравнение изгибающих моментов (для участков с равномерно распределенной нагрузкой) продифференцировать вторично, то получим

,

т. е. вторая производная от изгибающего момента или первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

По знаку второй производной функции можно судить о выпуклости или вогнутости кривой; соответствующее правило используется при построении эпюр.

В поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.

Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.

Единица момента сопротивления сечения изгибу [W]=м³.

Эта формула по структуре аналогична формулам для вычисления напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.

Полагая, что гипотеза о ненадавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения в поперечном сечении вычислять при поперечном изгибе по той же формуле, что и при чистом изгибе.

Расчетная формула на прочность при изгибе читается так: нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое. Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как и при растяжении и сжатии.

Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибающих моментов или расчетом.

Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньше будут расчетные напряжения.

Так как вблизи нейтральной оси материал мало напряжен, то выгодно больше материала располагать дальше от нейтральной оси. Поэтому в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, но весьма широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Моменты инерции, моменты сопротивления и другие характеристики прокатных фасонных профилей стандартных размеров даются в таблицах ГОСТа.

Для балок, материал которых неодинаково работает на растяжение и сжатие (например, чугун), целесообразно применять профили, не симметричные относительно нейтральной оси, например тавровый или П-образный. Так как у несимметричного профиля при изгибе возникают неодинаковые напряжения растяжения и сжатия, то сечение, например, чугунной балки выгодно располагать так, чтобы меньшие напряжения были в зоне растянутых, а большие - в зоне сжатых волокон.

29. Продольный изгиб прямого стержня

У стержней, длина которых значительно больше поперечных размеров, при определенной величине осевой сжимающей силы может происходить потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия. Это явление называют продольным изгибом, а величину осевой силы, при которой сжатый стержень теряет прямолинейную форму равновесия, - критической силой F_кр. Ее можно определить по формуле Эйлера

,

где E - модуль продольной упругости для материалов стержня; I_min - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня; l - длина стержня; l_n - приведенная длина; - коэффициент приведения длины, величина которого зависит от закрепления концов стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших предела пропорциональности, т.е. для стержней, гибкость которых больше предельной гибкости _пред. Предельная гибкость зависит от упругих свойств материала и вычисляется по формуле

,



где _пц - предел пропорциональности материала стержня.

Величина критической силы зависит не только от материала и размеров стержня, но и от способа закрепления его концов.

Теория механизмов и машин занимается приложением законов теоретической механики к механизмам и машинам.

Механизмом называется совокупность связанных между собой тел, имеющих определенные движения. Механизмы служат для передачи или преобразования движения.

Машина есть механизм или сочетание механизмов, осуществляющих определенные целесообразные движения. По выполняемым функциям машины можно разделить на следующие группы: для преобразования энергии (энергетические машины), перемещения грузов (транспортные машины), изменения формы, свойств, состояния и положения предмета труда (рабочие машины) или для сбора, переработки и использования информации (информационные машины).

Таким образом, всякая машина состоит из одного или нескольких механизмов, но не всякий механизм является машиной.

Работа механизма или машины обязательно сопровождается тем или иным движением ее органов. Это основной фактор, отличающий механизмы и машины от сооружений - мостов, зданий и т. д.

Простейшей частью механизма является звено. Звено - это одно тело или неизменяемое сочетание тел.

Два звена, соединенные между собой и допускающие относительное движение, называются кинематической парой. Кинематические пары бывают низшие и высшие. Звенья низших пар соприкасаются по поверхностям (поступательные, вращательные и винтовые пары), звенья высших пар соприкасаются по линиям и точкам (зубчатые пары, подшипники качения).

Совокупность кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематические пары и цепи могут быть плоскими и пространственными. Звенья плоских механизмов совершают плоскопараллельное движение.

Механизм получается из кинематической цепи путем закрепления одного из звеньев. Это неподвижное звено называется станиной или стойкой.

Звено, вращающееся вокруг неподвижной оси, называется кривошипом. Звено, качающееся вокруг неподвижной оси, называется балансиром или коромыслом. Звено, совершающее сложное движение параллельно какой-то плоскости, называется шатуном. Звено, движущееся возвратно-поступательно по станине, называется ползуном. Подвижное звено, выполненное, например, в виде рейки с пазом и совершающее вращательное или иное движение, называется кулисой, в пазу скользит камень кулисы.

Звено, которому извне сообщается определенное движение, называется ведущим. Остальные подвижные звенья называются ведомыми.

Различные звенья и кинематические пары механизмов имеют свои условные обозначения по ГОСТу.

Законы и методы теоретической механики находят свое практическое приложение прежде всего в теории механизмов, так как механизмы являются кинематической основой всех машин, механических приборов и промышленных роботов.

31. Анализ механизмов

Теория анализа тесно связана с теорией синтеза механизмов и машин. Единство методов анализа и синтеза в теории механизмов и машин обусловлено совпадением методов решения задач анализа и синтеза и, в частности, совпадением уравнений, определяющих взаимозависимость переменных величин и фиксируемых параметров механизмов. Противоположность методов анализа и синтеза механизмов состоит в том, что одни и те же уравнения при решении задач анализа и синтеза служат разным целям.

При анализе механизмов обычно известны их кинематические схемы и размеры звеньев, и поэтому в уравнениях, отображающих движение механизмов, известными являются коэффициенты при переменных величинах, а искомыми - эти переменные величины или функции обобщенных координат, например функции движения ведомых звеньев в зависимости от независимых переменных, определяющих движение ведущих звеньев.

Существует несколько видов анализа механизмов: структурный, кинематический и силовой.

При структурном анализе выводится структурная формула механизма - закономерность, связывающая число степеней свободы механизма W с числом подвижных звеньев n, с числом и видом кинематических пар. Для пространственных механизмов с абсолютно жесткими звеньями без избыточных связей в настоящее время распространена формула А.П. Малышева

W=6n-5p₅-4p₄-3p₃-2p₂-p₁,

где W - степень подвижности механизма; n - число подвижных звеньев механизма; p_i - число кинематических пар i-го класса.

Для плоских механизмов без избыточных связей формула носит имя П.Л. Чебышева

W=3n-2p₅-p₄.

Основным назначением механизма является выполнение необходимых движений, которые описываются его кинематическими характеристиками. К таким характеристикам относятся траектории точек, координаты точек и звеньев механизма, перемещения точек и звеньев, их скорости и ускорения.

Кинематический анализ механизмов в общем случае предусматривает решение трёх основных задач:

- определение положений звеньев и построение траекторий отдельных точек;

- определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев;

- определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев.

Эти задачи могут быть решены графическим, графоаналитическим, аналитическим методами. Первые два метода уступают по точности третьему, однако, они более наглядны и сравнительно просты.

Исходными данными для аналитического метода являются кинематическая схема механизма и зависимости обобщённых координат от времени. Сущность этого метода заключается в получении аналитических выражений для координат, скоростей и ускорений характерных точек механизма. По этим аналитическим выражениям проводится дальнейший анализ механизма.

Графоаналитический метод или метод кинематических диаграмм заключается в том, что одна из диаграмм (S(t), V(t) или a(t)) задаются аналитически, а две другие могут быть построены методами графического дифференцирования и интегрирования.

Цель силового расчета - определение сил, приложенных к каждому звену механизма. Знание этих сил нужно для выполнения расчета на прочность, жесткость, вибростойкость, износоустойчивость, износ деталей механизма, для расчета крепления стойки механизма к основанию, т.е. к фундаменту машины, панели прибора, корпусу судна, а также для расчета подшипников на долговечность и др. Силовой расчет производят при помощи уравнений равновесия сил и моментов сил, которые можно составить для любого звена механизма на основе положений курса «Теоретическая механика».



32. Синтез механизмов

При синтезе механизмов обычно задаются функции движения ведомых и ведущих звеньев и требуется определить фиксируемые параметры звеньев (длины, координаты, массы, моменты инерции и т. п.) при некоторых дополнительных критериях. Обращаясь к тем же уравнениям анализа, нетрудно заключить, что искомыми в них являются коэффициенты при переменных функциях, зависящие от параметров механизмов, а переменные функции заранее определены. Как правило, задачи синтеза являются более трудными, сложными, чем и обусловлено еще недостаточное развитие теории синтеза механизмов в настоящее время.

В соответствии с основными разделами теории механизмов и машин, в которых устройство и свойства механизмов изучаются при ограничительных предположениях (теория структуры, кинематика, статика, динамика и др.), различают структурный синтез, кинематический синтез, динамический синтез механизмов и машин. В каждой из этих областей теории синтеза имеются значительные достижения.

Входными параметрами при постановке и решении задач синтеза механизмов называются параметры механизмов, заранее известные или заранее заданные при постановке задач синтеза. Выходными параметрами называют или размеры механизма и его отдельных частей, или параметры движений звеньев, или величины, определяющие интегральные свойства проектируемого механизма (например, угол сервиса манипулятора), и другие, которые должны быть определены в результате решения задачи синтеза.

При формулировке задания для решения задач синтеза часто выдвигается несколько различных требований, часто не вполне совместимых или противоречивых, относящихся к параметрам синтезируемых механизмов. Среди этих требований можно всегда установить одно доминирующее (главное) условие, а остальные отнести ко второстепенным, или дополнительным. Одни и те же условия в одной задаче могут быть основными, а в другой - дополнительными.

Проектирование механизмов представляет собой сложную комплексную проблему, решение которой может быть разбито на несколько самостоятельных этапов. Первым этапом проектирования является установление основной кинематической схемы механизма, которая обеспечивала бы требуемый вид и закон движения. Вторым этапом проектирования является разработка конструктивных форм механизма, обеспечивающих его прочность, долговечность, высокий коэффициент полезного действия и т. д. Третьим этапом проектирования является разработка технологических и технико-экономических показателей проектируемого механизма, определяемых эксплуатацией в производстве, ремонтом и т. д.

В теории механизмов в основном излагаются методы, с помощью которых может быть разрешен первый этап проектирования - разработка кинематических схем механизмов, воспроизводящих требуемый закон движения. При этом, конечно, учитываются и некоторые вопросы, связанные со вторым и третьим этапами проектирования, как, например, наличие у механизма необходимого коэффициента полезного действия, возможность изготовления его деталей на современном станочном оборудовании, возможность сборки механизма и т.д.

Основной задачей синтеза механизмов является воспроизведение заданного движения одного или нескольких звеньев путем непосредственного их воздействия друг на друга или путем введения между ними промежуточных звеньев. В обоих случаях решение этой задачи сводится к проектированию кинематической цепи заданного движения, т.е. механизма.

При решении задач синтеза должны быть приняты во внимание все условия, обеспечивающие осуществление требуемого движения. Такими условиями в первую очередь являются следующие: правильная структура проектируемого механизма, кинематическая точность осуществляемого движения, возможность создавать проектируемым механизмом заданное движение с точки зрения динамики и, наконец, условие, чтобы размеры звеньев проектируемого механизма допускали воспроизведение заданного движения.

Наиболее важное значение в технике имеют следующие задачи синтеза механизмов:

1) преобразование вращательного движения вокруг одной оси во вращательное движение вокруг другой оси;

2) преобразование вращательного движения вокруг одной оси в поступательное движение вдоль некоторой заданной прямой, и наоборот;

3) преобразование поступательного движения вдоль одной заданной прямой в поступательное движение вдоль другой заданной прямой;

4) воспроизведение одной из точек звеньев механизма требуемой траектории.

При решении первых трех задач обычно задаются требуемые законы движения тех звеньев, между которыми осуществляется передача движения в виде заданных в функции времени линейных и угловых перемещений или линейных и угловых скоростей.

При решении четвертой задачи задается требуемая траектория аналитически, в виде уравнения, или графически отдельными точками, лежащими на траектории.

Механизмы, предназначенные для реализации требуемых передаточных функций, называются передаточными. Механизмы, предназначенные для воспроизведения заданных траекторий движения звеньев или их точек, называются направляющими.

Практически оказывается, что решение задач о воспроизведении заданных форм движения с помощью механизмов, в состав которых входят низшие и высшие пары, является более простым, чем воспроизведение тех же форм движения с помощью механизмов, в состав которых входят только низшие пары. Это объясняется тем, что высшие пары обладают большим разнообразием своих видов, в то время как низшие пары, например, в плоских механизмах

представлены только двумя видами: парой поступательной и парой вращательной.

Вот почему в большинстве случаев в технике теоретически точное воспроизведение заданных форм движения осуществляется механизмами, в состав которых входят и высшие и низшие пары, а механизмами, в состав которых входят только низшие пары, осуществляется приближенное воспроизведение заданных форм движения.

Поэтому в зависимости от того, какие требования ставит конструктор при проектировании механизма, он выбирает ту или иную кинематическую схему механизма.

Термины «анализ» и «синтез механизмов» применимы ко всем их разновидностям, точно так же, как могут быть применимы и различные методы синтеза, которые разделяются на графические, аналитические, графоаналитические и экспериментальные.

Графические методы основаны на представлении механизмов и параметров их движения на чертежах. При этом длины звеньев и линейные параметры плоских механизмов изображают в некотором масштабе, а угловые перемещения - без искажения. При исследовании пространственных механизмов, представляемых при помощи метода проекций более чем в одной плоскости, такие искажения возможны. Графические способы дают наглядное представление о строении механизмов и закономерностях движения их звеньев, но отличаются погрешностями, свойственными графическим методам.

Аналитические методы отличаются большим разнообразием и основываются на различных методах математики. Они обеспечивают наиболее высокую точность определения искомых величин (при правильном учете влияющих на них факторов) в каждое мгновение промежутка времени действия механизма. Преимуществом аналитических методов при применении ЭВМ является высокая их производительность. Программы вычислений на ЭВМ могут быть построены таким образом, при котором интересующие величины выводятся для контроля в ходе вычислений в виде текстовой и графической интерпретации исследуемых зависимостей - графиков, траекторий движения точек и звеньев в различных ракурсах и масштабах.

Графоаналитические методы объединяют преимущества и недостатки графических и аналитических методов, представляя собой сочетание тех и других.

Экспериментальные методы основаны на изготовлении моделей и макетов проектируемых механизмов, требуемые качества которых достигаются путем доводок или последовательных приближений.

Проектирование механизмов и машин (синтез) должно быть завершено обоснованным определением конфигураций и расчетом размеров всех их элементов, деталей и сборочных единиц по критериям прочности, надежности, долговечности и требуемого выполнения технологических функций. Сначала осуществляют структурный синтез, т. е. выбор наипростейших схем и структуры механизма, которые возможно полно и точно удовлетворяли бы поставленным к проектируемому (синтезируемому) механизму требованиям. При этом определяют вид механизма, количество звеньев, виды кинематических пар, выбор неподвижного звена и ведущих звеньев и др.

После установления принципиальной схемы механизма решают задачу геометрокинематического синтеза. Составляется соответствующая система уравнений, которая решается при заданных ограничениях или ограничениях, которые уместно выбрать для решения задачи.

...