Моделі матеріальних об'єктів

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Простір і час в фізиці. Моделі матеріальних об'єктів. Геометрична модель простору і часу

Класична, польова і квантово-релятивістська моделі матеріальних об'єктів.

Геометрична модель простору і часу. Простір і час є початковими поняттями. Фізичний простір моделюється геометричною безліччю точок.

Для того, щоб розрізнити точки в просторі, застосовується система відліку. До системи відліку відноситься і деяка система координат, пов'язана з тілом відліку. Аналогічно простору моделюється і час. Приймається, що воно безперервне, однорідно, одновимірно, однонапрямлено, тобто змінюється в одному напрямі.

Відносний характер результатів вимірів і їх вплив на об'єкт вимірів відбиваються в найважливіших законах фізики; цей вплив неусувний, і з ним слід вважатися, щоб отримати об'єктивну інформацію про матеріальний світ. Прийнята модель безперервного простору і безперервного часу є узагальненням досвіду, тобто вона відповідає властивостям реального фізичного простору. Обговоримо однорідність і ізотропну простору і однорідність часу. Однорідність - це рівноправ'я усіх точок, а ізотропна - рівноправ'я усіх напрямів в просторі. Ці властивості називають також симетріями простору.

Однорідність часу призводить до закону збереження енергії, однорідність простору - до збереження імпульсу, а ізотропна - до збереження моменту імпульсу.

Отже, розглянута модель простору і часу відповідає властивостям фізичного простору в області, згори обмеженій великими відстанями (порядку розмірів Сонячної системи), а знизу - найменшими відстанями, досягнутими зараз між елементарними частками близько .. см. Відповідна нижня межа часових проміжків має порядок .. с. Може виявитися, що в невивчених малих областях, при відстанях, менших см, властивості простору виявляться іншими.

Класична, польова і квантово-релятивістська моделі матеріальних об'єктів. Нині матерія в макросвіті відома в двох видах: у вигляді речовини, з якої складаються усі тіла, і у вигляді електромагнітного і гравітаційного полів, що заповнюють простір і передавальних дію тіл один на одного. Розрізняються наступні основні моделі матеріальних об'єктів.

Класична, або механічна, модель. Застосовується для вивчення матерії в макросвіті у вигляді речовини, тобто тіл. Класичною моделлю служить матеріальна точка. Це точка, якій замінюють кінцеве тіло для вивчення, якщо розмірами його можна нехтувати в порівнянні з відстанню між тілами. Система матеріальних точок моделює систему тіл, протяжне тіло.

Польова модель. Вона застосовується для вивчення матерії у вигляді макроскопічного фізичного поля. Існує всього два різні макроскопічні поля - гравітаційне і електромагнітне. Вони властивості непроникності не мають, тобто можуть одночасно знаходитися в одному і тому ж місці простору.

Квантово-релятивістська модель застосовується для вивчення матерії в мікросвіті. Усі макроскопічні тіла складаються з елементарних часток протонів, нейтронів, електронів, що мають масу. Елементарні частки моделюються точками, Енергією, що володіють, і масою.

2. Фундаментальні закони і закони збереження

Система тіл, полів, мікрочасток називається ізольованою, якщо не випробовує взаємодії зі своїм оточенням: в неї не поступають і з неї не йдуть які -небудь мікрочастки. У ізольованій системі мають місце найважливіші для усієї фізики закони збереження ряду фізичних величин. Це передусім закони збереження енергії, імпульсу, моменту імпульсу. Розглянемо закони збереження з якісного боку, використовуючи моделі взаємодії.

Почнемо з квантово- релятивістської системи. До взаємодії мікрочастки вільні і кожна має енергію, імпульс, момент. Відповідні величини для усієї системи визначаються формулами

Е =

В результаті взаємодії енергія, імпульси, моменти окремих часток змінилися, і після взаємодії ці параметри системи набули значень:

=

Закони збереження виражаються формулами

Дуже істотно, що при взаємодії частки, як такі, не обов'язково зберігаються: можуть зникати одні і виникати інші, але без порушення рівності.

Для механічної і польової моделей, тобто для тіл і безперервного поля, збереження енергії, імпульсу, моменту імпульсу виявляється наслідком збереження їх в квантово-релятивістській системі.

Зупинимося ще на законі збереження маси для механічної системи. У квантово-релятивістській системі зберігається повна енергія системи, але маса окремих часток і маса системи не зберігаються, оскільки можуть зникати одні і утворюватися інші частки, у тому числі безмассові. Запишемо формулу закону збереження енергії з обліком :

,

Оскільки в класичній моделі матерія представлена тільки матеріальними точками, що взаємодіють на відстані, то энергією поля, передавального взаємодію, в порівнянні з енергією спокою матеріальних точок слід нехтувати. Нехтуючи також кінетичною енергією в порівнянні з енергією спокою, отримуємо:,

Маса ізольованої механічної системи матеріальних точок зберігається. У цьому ж наближенні справедливе положення об адитивність маси. Маса тіла дорівнює сумі мас частин, на які його розділили; при з'єднанні двох або більш за тіла в одне, маса тіла, що утворилося, дорівнює сумі мас сполучених тіл. (Але це ув'язнення несправедливе для мікрочасток.)

3. Фундаментальні взаємодії. Основні моделі взаємодії. Фундаментальні фізичні теорії

Розрізняють два основні прояви взаємодії: динамічне, при якому змінюється характер руху тіл або мікро частинок (наприклад, камінь, притягаючи до Землі, падає на неї з прискоренням, а-частинки, проходячи біля ядра атома, змінює напрям швидкості), і статичний, при якому тіла або частки об'єднуються в стійку систему.

Зі взаємодією тісно пов'язано важливе для фізики поняття сили. У фізиці про силу Фундаментальні взаємодії відрізняються один від одного відстанню, на якому вони проявляються, ставленням сил, енергіями, що припадають на мікрочастинки, - інтенсивністю, характерним часом протікання процесів, назканих у світі елементарними частинками.
Основні моделі взаємодії.

Механічна модель. Механічна система складається з тіл, що моделюються матеріальними точками, розташованими на деякій відстані один від одного в порожньому просторі. Ніяких інших об'єктів в системі немає. Взаємодія між ними здійснюється на відстані, передаючись миттєво. Результат взаємодії полягає в безперервної зміні імпульсу і кінетичної енергії матеріальних точок при їх русі в просторі: точки рухаються з прискоренням. Польова модель застосовується до системи електрично заряджених тіл і електромагнітного поля.

Квантово-релятивістська модель. Система складається з мікрочастинок. Передача взаємодії між мікрочастинками з відмінною від нуля масою здійснюється іншими частками - квантами поля. Взаємодія полягає в тому, що дві частинки обмінюються третьої - переносником взаємодії.

Фундаментальні фізичні теорії Класична механіка. У фундаментальних фізичних теоріях, які вивчаються в цьому курсі, застосовуються розглянуті вище моделі взаємодіючих систем або їх різновиди. тіл, їх форму, макроскопічне будову.

Класична електродинаміка. Область застосування цієї теорії - макросвіт. У ній вивчається макроскопічний переносник електромагнітного взаємодії - електромагнітне поле.

Квантова механіка. Рух мікрочастинок в області відноситься до квантової механіки. Вона вивчає будову атомів, процеси випромінювання і поглинання атомами.

Статистична фізика. Багато фізичні об'єкти представляють собою системи тіл або часток. Такі, наприклад, Сонячна система, атом речовини, газ, що складається з безлічі молекул, і т. д. Якщо система складається з невеликого числа матеріальних точок, то вона вивчається в класичній механіці; з мікрочастинок - у квантової механіки. Якщо ж число частинок в системі дуже велике, як, наприклад, в макроскопічних тілах, то застосувати до них механіку неможливо.

4. Динамічні і статистичні причинно-наслідкові зв'язки в фізиці, Ієрархія віддалей, взаємодій, теорій. Фізична картина світу

Розрізняють два основні прояви взаємодії: динамічне, при якому змінюється характер руху тіл або мікро частинок (наприклад, камінь, притягаючи до Землі, падає на неї з прискоренням, а-частинки, проходячи біля ядра атома, змінює напрям швидкості), і статичний, при якому тіла або частки об'єднуються в стійку систему.

Зі взаємодією тісно пов'язано важливе для фізики поняття сили. У фізиці про силу Фундаментальні взаємодії відрізняються один від одного відстанню, на якому вони проявляються, ставленням сил, енергіями, що припадають на мікрочастинки, - інтенсивністю, характерним часом протікання процесів, назканих у світі елементарними частинками.
Основні моделі взаємодії.

Механічна модель. Механічна система складається з тіл, що моделюються матеріальними точками, розташованими на деякій відстані один від одного в порожньому просторі. Ніяких інших об'єктів в системі немає. Взаємодія між ними здійснюється на відстані, передаючись миттєво. Результат взаємодії полягає в безперервної зміні імпульсу і кінетичної енергії матеріальних точок при їх русі в просторі: точки рухаються з прискоренням. Польова модель застосовується до системи електрично заряджених тіл і електромагнітного поля.

Квантово-релятивістська модель. Система складається з мікрочастинок. Передача взаємодії між мікрочастинками з відмінною від нуля масою здійснюється іншими частками - квантами поля. Взаємодія полягає в тому, що дві частинки обмінюються третьої - переносником взаємодії.

Фундаментальні фізичні теорії

Класична механіка. У фундаментальних фізичних теоріях, які вивчаються в цьому курсі, застосовуються розглянуті вище моделі взаємодіючих систем або їх різновиди. тіл, їх форму, макроскопічне будову.
Класична електродинаміка. Область застосування цієї теорії - макросвіт. У ній вивчається макроскопічний переносник електромагнітного взаємодії - електромагнітне поле.

Квантова механіка. Рух мікрочастинок в області відноситься до квантової механіки. Вона вивчає будову атомів, процеси випромінювання і поглинання атомами.

Статистична фізика. Багато фізичні об'єкти представляють собою системи тіл або часток. Такі, наприклад, Сонячна система, атом речовини, газ, що складається з безлічі молекул, і т. д. Якщо система складається з невеликого числа матеріальних точок, то вона вивчається в класичній механіці; з мікрочастинок - у квантової механіки. Якщо ж число частинок в системі дуже велике, як, наприклад, в макроскопічних тілах, то застосувати до них механіку неможливо.

5. Системи відліку. Простір і час в класичній механіці. Способи задання руху. Закони руху

Матерія вічна, нескінченна, невичерпна, здатна до саморозвитку, а об'єктивними формами її існування є рух, простір і час.

Фундаментальними поняттями механіки, як і всієї фізики, є поняття простору і часу. За простір приймають „звичайний” евклідовий тривимірний простір. Для вивчення руху вводять так-звану систему відліку, розуміючи під нею сукупність тіла відліку і пов'язаних з ним систем координатних осей, масштабу і годинника. В класичній механіці приймається , що час не залежить від руху і що він одинаковий в усіх точках простору і у всіх системах відліку (абсолютний час). В зв'язку з цим в класичній механіці, говорячи про систему відліку, можна обмежитися визначенням лише тіла відліку або системи координатних осей, зв'язаних з цим тілом.

Класична механіка побудована на законах Ньютона. Закони Ньютона справедливі не у всіх системах відліку. Закони Ньютона справедливі не у всіх системах відліку. В механіці постулюється наявність хоча б однієї такої системи (інерціальна система відліку(ІСВ))

Численні досліди і вимірювання показують, що з високим ступенем точності система відліку з початком в центрі Сонячної системи і осями, спрямованими до далеких „нерухомих” зір, є інерціальною системоювідліку (вона називається геліоцентричною або основною системою відліку). В багатьох задачах за інерціальну систему відліку приймають систему, пов'язану із Землею. Помилки при цьому такі незначні, що ними можна знехтувати.

r=r(t)

Векторну функцію називають законом руху матеріальної точки. Задати закон руху матеріальної точки -- означає задати її положення в довільний момент часу.

6. Кінематика руху твердого тіла

Під твердим тілом в механіці розуміють неперервну систему мат. т., відстані між якими залишаються незмінними. Аналітичний опис положення тт. в просторі, а також зміна цього положення з часом, тобто рух тіла, повинно визначати положення і рух будь-якої точки тт.. Одна мат. точка має три степені вільності, дві - 6, якщо накласти умови збереження відстані між точками, то координати двох точок повинні задовольняти рівність:

(x2 - x1)2+(y2 - y1)2+(z2 - z1)2 =( l 1,2)2

де l 1,2 - відстаь між точками. Це р-ня дає змогу виразити одну змінну через решту, таким чином для визначення положення сист. з двох точок слід знати п'ять координат з шести. Якщо маємо сист. з трьох точок, які не лежежать на одній прямій, то можна записати три незалежні р-ня, які виражають відстань між точками через їх координати (x2 - x1)2+(y2 - y1)2+(z2 - z1)2 =( l 1,2)2, (x3 - x1)2+(y3 - y1)2+(z3 - z1)2 =( l 1,3)2 , (x2 - x3)2+(y2 - y3)2+(z2 - z3)2 =( l 2,3)2. Якщо відстані l 1,2 , l 1,3 , l2,3 постійні, то шість точок будуть незалежні. Додавання четвертої точки до сист. не збільшить степінь вільності сист., тому що її координати повинні задовольняти три незалежні рівні зв'язків, які визначають відстань від четвертої точки до перших трьох. Отже довільне тт. має 6 степенів вільності.

В заданій ПДСК O' x' y' z' визначають положення будь-якої точки тт. координатами x' y' z' , щоб координати при русі залишались постійними. Тому для визначення положення тт. у просторі достатньо знати положення рухомої сист. координат O' x' y' z' відносно нерухомої O x y z(рис.2.1.). Щоб задати миттєве положення сист. координат O' x' y' z' , потрібно знати початок O' та координати x0, y0, z0 и кути які утворюються між відповідними осями рухомиї та не рухомої сист. координат. Вводять 3 незалежні кути: ц - кут прецесії, він змінюється при повороті рухомої сист. навколо вісі Oz нерухомої, ш - кут власного обертання та и - кут нутації.

7. Обертальний рух твердого тіла

Під абсолютно твердим тілом розуміють нескінченну множину м.т., для якої відстань між двома довільними точками не зміниться при довільних рухах тіла.

Надалі під твердим тілом розумітимемо абсолютну твердість. При обертальному русі тв.тіла залишається нерухомою пряма, яка проведена в центрі тіла(вісь обертання). Будемо вв., що обертання здійснюється навколо закріпленої осі z. Вибиремо в тілі довільну т. М, положення якої в момент часу t визначається як .

. Т.знаходиться на колі.

Рух т.М може бути заданим за допомогою кута повороту . Вектор миттєвого повороту визначається , де - орт вісі обертання. Напрямок вектора кутового переміщення вибирають таким чином, що дивлячись з кінця цього вектора, рух спостерігався б проти напрямку руху годинникової стрілки.. З трикутника . .- рівнобедрений. . Переміщення .Визначимо миттєву швидкість . -миттєва кутова швидкість її напрямок співпадає з .. -вектор миттєвого прискорення, він співпадає з напрямом вісі обертання.співпадають у випадку збільшення модуля . Говорять, що при обертанні навколо закріпленої осі, тв.тіло має 1 ступінь рівності, і описується з допомогою 1 параметра.

Розглянемо поступальний рух тв.тіла . При ньому залиш. паралельною сама собі довільна пряма, яка проведена вздовж тіла. Можна показати, що поступальний рух тв.тіла буде визначат. законом руху довільної точки цього тіла. Складний рух т.о. можна розглядати як комбінацію поступального та обертал. рухів.

8. Складний рух матеріальної точки. Теорема про додавання швидкостей

В фізиці, при розгляді декількох систем відліку (СО) виникає поняття складного руху - коли матеріальна точка рухається відносно якої системи відліку, а та, в свою чергу, рухається відносно іншої системи відліку. При цьому виникає питання про зв'язок рухів точки в цих двох системах відліку (далі СО).

Основні задачі кінематики складного руху полягають у встановленні залежностей між кінематичними характеристиками абсолютного і відносного рухів точки (або тіла) і характеристиками руху рухомої системи відліку, тобто переносного руху. Для крапки ці залежності є наступними: абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі відносної і переносної швидкостей, тобто:

.

При швидкостях, близьких до швидкості світла, перетворення Галілея не є точно інваріантними і класична формула додавання швидкостей перестає виконуватися. Замість цього, інваріантними є перетворення Лоренца, а зв'язок швидкостей у двох інерційних СО виходить наступною:

у припущенні, що швидкість спрямована вздовж осі х системи S. Легко переконатися, що в межі нерелятивістських швидкостей перетворення Лоренца зводяться до перетворень Галілея.

9. Складний рух матеріальної точки. Теорема про додавання прискорень

Розглянемо рух матеріальної точки М з двох систем відліку: нерухомої Oxyz(?K) та

рухомої Ox'y'z'(?K'); система K визначається ортами: i, j, k; K': i', j', k'.

K' рухається відносно K довільним чином: обертаючись з кутовою швидкістю щ і переміщується поступально.

З трикутника OMO':

орти i, j, k-- постійні, i', j', k' --функції часу.

Диференціюємо (1) по часу:

де

х -- швидкість точки М відносно нерухомої системи відліку K

х'-- швидкість точки М відносно рухомої системи відліку K'

V 0 -- швидкість поступального руху системи K' відносно K

Використовуючи формули Пуассона:

таким чином повну похідну по часу від “штрихованого” радіус-вектора r' точки М можна записати:

d'/dt -- позначає похідну при постійних штрихованих ортах.

теорема додавання швидкостей класичної механіки.

Вводиться поняття переносної швидкості. Переносна швидкість точки М складається з переносної швидкості V 0 поступального руху і переносної швидкості [щr'] обертового руху.

х'- називають відносною швидкістю. Абсолютна швидкість визначається як векторна сума відносної та переносної швидкостей.

10. Перетворення Галілея і наслідки з них

Перетворення Галілея - в класичної механіки ( механіці Ньютона) перетворення координат і часу при переході від одногоінерціальної системи відліку (ІСО) до іншої [1]. Термін був запропонований Філіпом Франком в 1909.

Нехай система відліку K' рухається відносно системи K із сталою швидкістю вздовж осі X . Початок відліку часу відповідає моменту, коли початки координат O і O' збігаються. Тоді



Дані співвідношення називаються перетвореннями Галілея. Встановлюють просторово-часовий зв'язок між подіями в різних інерціальних системах відліку.

Звідси випливає, що координати тіла є відносними, тобто вони різні в різних системах відліку. Момент часу, в який відбувається подія, однаковий в усіх системах відліку. Продиференціювавши перетворення за часом, отримаємо правило додавання швидкостей в класичній механіці:

Прискорення у системах відліку, що рухаються одна відносно іншої рівномірно і прямолінійно, однакове:

Отже, прискорення має абсолютний характер: прискорення тієї самої частинки є однаковим в усіх інерціальних системах відліку.

11. Складний рух твердого тіла

Для опису руху вільного твердого тіла треба задать шість незалежних кінематичних рівнянь: x0= x0(t), y0= y0(t), z0= z0(t); , ? = ?(t), ц=ц(t). три координати полюса x0 ,y0 ,z0 і три ейлерових кутів , ? , ц як функції часу.

Радіус-вектор, який визначає рух довільної точки твердого тіла, визначається формулою =0+ Оскільки рух точки в штрихованій і нештріхованій системах, можна повторити для точки твердого тіла з координатами х',у',z', з тією лише умовою, що r' - постіний вектор у штрихованої системі. Отже справедлива формула для швидкості точки відносно нерухомої системи: =0+[] (1)

У загальному випадку рух твердого тіла може бути представлено як поступальний рух додаткової системи координат О'хyz з початком в полюсі О 'і обертове навколо нерухомої точки в цій системі. У такому випадку у формулі (1) перший доданок відноситься до поступального руху, а решта - до обертового.

Обертове прискорення виявляється тангенціальним:

,

а доцентрове-нормальним: an=оскільки точка рухається по деякому відомому колу.

Складання швидкостей і прискорень може бути перенесено на одну зі складових руху твердого тіла - на рух його полюса.

Перш за все математичні операції складання і розкладання кутових швидкостей можна трактувати з точки зору відносного руху. Оскільки =1+2 то можна рахувати 1 кутовий швидкістю переносного руху, тобто кутовой швидкістю обертання по рухомій, штриховій, системи в нерухомій, нештрихованій, системі, 2- кутовий швидкістю обертання тіла в рухливій системі. Тоді кутова швидкість тіла в нерухомій системі.

При додаванні обертальних рухів можливі два випадки: миттєві осі складаємих обертань перетинаються між собою і не перетинаються. У першому випадку за звичайним правилом додавання визначає суму векторів і знаходиться нова миттєва вісь.

Для аналізу другого випадку розглянемо обертання твердого тіла навколо паралельних осей з рівними за величиною, але протилежними за напрямом кутовими швидкостями 1. 2 .Така сукупність кутових швидкостей утворює пару обертів. Неважко бачити, що пара обертань дає поступальний рух. Дійсно, нехай А і В - які-небудь точки на миттєвих осях складових обертань.

Тоді швидкість будь-якої точки тіла в складному русі буде дорівнює:



= [1 ]- [1 ]= [1 -)]=[1 ] або =[2 ]

Отже, швидкості всіх точок тіла однакові і пара обертання еквівалентна поступальної швидкості:

= [ ]

Швидкість результуючого поступального руху перпендикулярного до площини пари векторів і - .I спрямована так, що з напрямком векторів пари утворюють правий гвинт. Вектор називається моментом пари. Величина моменту пари визначається похідною плеча пари на величину кутової швидкості: ?=d

У загальному випадку два складаємих обертань мають швидкості 1 і2 , що лежать на перехресних прямих .

Розкладаючи вектор 2 та 2'= -1 і 2'' маємо пару з моментом = [1 ] I обертання з кутовою швидкістю 2''

12. Геометричні перетворення систем координат

Системи координат, пов'язані з одним і тим же тілом відліку, фізично равноправні. Інваріантної формою запису рівняння ¬ є векторна форма, тобто рівняння фізики, як векторні рівності справедливі для будь-якої системи координат. Векторна форма запису рівнянь широко застосовується як в механіці, так і в інших розділах фізики. Крім інваріантності рівнянь - збереження форми запису їх у різних системах координат, існує інваріантність величин - збереження одного і того ж значення в різних системах координат. Інваріантність рівнянь і інваріантність фізичних величин пов'язана не тільки з вибором тієї або іншої математичної системи координат, але також і з перетвореннями системи координат, можливими завдяки властивостям простору. Ізотропність простору дозволяє повернути на довільний кут систему координат як ціле навколо будь-якої осі, що проходить через початок координат.

Фізичні величини діляться на векторні - проекції їх перетворення при поворотах і переходах від однієї системи до іншої - і скалярні - значення їх однакові в різних системах і при поворотах системи не змінюються.

Крім повороту, можливий зсув системи координат як цілого разом з початком системи і осями. У силу однорідності простору такий зсув (або трансляція) дає фізично рівноправні системи. Але математично зсув для координат всіх точок виражається рівністю , (1) де - вектор трансляції. Інваріантність фізичних формул по відношенню до трансляції означає, що в них радіус-вектори точок простору безпосередньо входити не можуть.

Перетворення системи координат. Це перетворення просторової інверсії і відображення часу: (2)

Є припущення, що системи відліку Охуz і О'х'у'z' (відображена) фізично рівноправні, тобто рівняння в них зберігають форму при інверсії осей. Векторні та скалярні рівняння механіки дійсно мають цю властивість. Але це не обов'язково для будь-якого рівняння; взагалі, скаляри і вектори при інверсії можуть змінюватися. По відношенню до інверсії скаляри діляться на істинні скаляри (або просто скаляри) і псевдоскаляри. Істинний скаляр при інверсії осей не змінюється, тобто задовольняє наступну умову:

(3)

Псевдоскаляр при інверсії змінює знак:



Вектори по відношенню до інверсії діляться на істинні (полярні) і псевдовектори (аксіальні). Істинний вектор відображається при інверсії разом з відображенням осей координат, що видно на прикладі радіус-вектора точки простору. Для його проекцій на підставі формули (2) маємо:

,

,

,

Будь-який справжній вектор при утворенні інверсії змінює знаки всіх проекцій на протилежні:

13. Інерціальні системи відліку і перший закон Ньютона

Поняття про інерціальну систему відліку відоме з курсу загальної фізики. Інерціальною є система, в якій дотримується закон інерції: ізольована матеріальна крапка, тобто що не взаємодіє з якими-небудь матеріальними об'єктами, знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Оскільки закон інерції виконується не у всіх системах, то формулювання його дають і по-іншому: у природі існують системи відліку, в яких ізольована матеріальна крапка знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Такі системи називаються інерціальними.

Закон інерції називають також першим законом Ньютона. Але при цьому слід мати на увазі, що сам Ньютон дав декілька інше формулювання першого закону.

З формулювання закону виходить, що в інерціальних системах тіло, що не взаємодіє з чим-небудь, рухається без прискорення. Що ж до тіл, схильних до взаємодії, то вони можуть рухатися прискорено. Кожне прискорення обумовлене взаємодією даного тіла з іншими тілами, дією на нього інших тіл.

Поняття інерціальної системи є ідеалізацією, оскільки в реальних системах не кожне прискорення руху матеріальної крапки вдається віднести до взаємодій з іншими тілами. Наприклад, якщо прискорення вільного падіння на Землі g = 980 см/с2 відносять до тяжіння тіл Землею, та зміна цього прискорення від екватора до полюса, що має порядок 1 см/с2, однією зміною тяжіння залежно від широти місця на Землі не пояснюється, воно зв'язане і з обертанням Землі. Можливість заміни тієї або іншої реальної системи моделлю - інерціальною системою визначається велічиной взаємодій, що вивчаються, і ступенем точності вимірювань.

Так, система відліку, пов'язана із Землею, не є інерціальною: у ній має місце прискорення, обумовлене обертанням Землі, а не дією інших тіл на дане рухоме тіло. Проте якщо це прискорення мале в порівнянні з прискореннями, викликаними взаємодією з тілами, то Землю приймають за інерціальну систему. З високим ступенем точності інерціальною є інша реальна система відліку - геліоцентрична; центр її слід сумістити з центром Сонця, а осі тієї або іншої системи координат направити на віддалені (нерухомі) зірки. У цій системі вивчається взаємний рух Сонця і планет, космічних кораблів і станцій.

14. Сила, Маса. Другий закон Ньютона

Кількісну характеристику сили можна встановити по величині прискорення, що викликається нею, постулювавши залежність між силою і прискоренням: сила, що діє на матеріальну крапку, пропорційна тому, що додається крапці прискоренню:

,

де - коефіцієнт пропорційності.

Вибираючи тепер деяке тіло як еталон, використовуваний для вимірювання сили, і вибираючи деяку силу як одиничної, встановлюємо, вимірюючи викликане прискорення, величину і розмірність

,

,

Далі, маючи в своєму розпорядженні еталонне тіло з відомим , вимірюємо за допомогою формули (1) будь-які сили.

Силу вважають пропорційною абсолютному подовженню при пружній деформації і направленою по напряму вектора подовження:

,

Вибираючи деяке пружне тіло (пружину) за еталонне і вибираючи деяку силу як одиничної, встановлюємо значення і його розмірність:

,

,

Після цього виявляється можливим зміряти будь-яку силу за допомогою даного пружного еталону по формулі (2). Одиниці сили тут будуть іншими, ніж при вимірюванні по (1).

При вимірюванні сил через прискорення спираються на динамічний прояв сили, а коли вимірюють силу по деформації - на статичне

Отже, сила є векторна фізична величина, що характеризує дію на тіло інших тіл, внаслідок чого тіло отримує прискорення або деформується.

Величини прискорень, що отримуються різними матеріальними точками під дією однієї і тієї ж сили, різні. Мірою інертності матеріальної точки є її маса. Визначимо інертну масу, постулювавши залежність прискорення при деякій вибраній силі F від маси :

.

Для двох тіл, що випробовують дію однієї і тієї ж сили, отримаємо:

.

Маси матеріальних точок обернено пропорційні модулям прискорень, що отримуються крапками під дією однієї і тієї ж сили.

Вибираючи еталон маси, за допомогою формули (4) виявляється можливим вимірювати масу тіл. Вважаючи в (4) = 1 oд. маси, отримуємо:

т2 = 1 oд. масси:

Порівняння маси тіла з масою еталонів - гирь - проводиться шляхом порівняння сил тяжіння тіл до Землі. По суті вимірюється не інертна маса, а інша величина - важка маса. Проте рівність інертною і важкою мас (при одному й тому ж виборі одиниць) в даний час експериментально встановлено з високим ступенем точності.

Повернемося до залежності (3). Ця залежність між величинами F, m і а є одним з найважливіших законів природи і носить назву другого закону Ньютона.

15. Третій закон Ньютона. Зв'язок другого і третього закону Ньютона з властивостями симетрії простору і часу

Дії завжди є рівна і протилежна протидія, інакше взаємодії двох тіл один з одним рівні і направлені в протилежні сторони.

Третій закон Ньютона, або закон рівності дії і протидії, встановлює характер взаємодії матеріальних точок. Зручне і наступне формулювання третього закону, в якому використані поняття матеріальної точки і сили: сили, з якими дві матеріальні точки діють одна на одну, розташовані на прямій, що сполучає точки, рівні по модулю і протилежні по напряму.

Ці сили є центральними. Для центральної сили лінія сили завжди проходить через деяку точку- центр, в якому поміщається джерело сили - діюча точка.

Позначаючи вектор сили, з якої точка М1 діє на точку М2, через 1,2, а сили, з якою точка М2 діє на точку М1, через2,1, по третьому закону Ньютона маємо:

1,2 = - 2,1

Принцип суперпозиції сил, який є необхідним доповненням законів Ньютона: прискорення, що отримується матеріальною точкою при одночасній дії на неї декількох сил, рівне геометричній сумі прискорень, що отримуються точкою при дії кожної з цих сил окремо.

З принципу суперпозиції виходить, що рівнодіюча сила, тобто сила, замінююча дію декількох сил, прикладених до точки, рівна геометричній сумі векторів цих сил

Зв'язок першого і третього законів Ньютона з властивостями простору і часу. У першому законі говориться про матеріальну точку, що не взаємодіє з чим-небудь. Розглянемо два положення її: у точці х1,у1,z1 у момент часу t1. і в точці х2,у2,z2 у момент часу t2. Через однорідність простору і часу перехід матеріальної точки з одного положення в інше не може змінити яку-небудь фізичну характеристику її, зокрема швидкість. Звідси витікає, що для такої матеріальної точки єдино можливим є рух з постійною швидкістю (в тому чмслі =0, тобто спокій). Легко бачити, що рух з постійним прискоренням неможливий, оскільки при цьому змінюватиметься швидкість, що через однорідність простору і часу заборонене. Ізотропія простору приводить до того, що при русі за інерцією можливий будь-який напрям швидкості. Отже, закон інерції пов'язаний з однорідністю та ізотропністю простору і з однорідністю часу.

Розглянемо систему, що складається з двох матеріальних точок. Оскільки простір і час однорідні, то сили, з якими взаємодіють точки, не можуть залежати від координати точки простору і моменту часу. Але може мати місце залежність сили від відстані між точками, тобто F1,2 =F(r1,2), причому напрям 1,2 може бути тільки співпадаючим або протилежним 1,2, оскільки ніякі інші напрями через ізотропність в просторі не виділені. Але це і відбито в третьому законі в твердженні про напрям сил. Таким чином, центральний характер взаємодії між парами точок обумовлений властивостями простору.

Сили взаємодії можуть залежати ще від мас точок m1 і m2 .Якщо точки помінялися місцями, фізичний стан системи, а значить і взаємодія точок, не зміниться завдяки дзеркальній симетрії простору . Єдина можливість збереження картини сил при віддзеркаленні - виконання рівності: 1,2 = 2,1 .Це - друга частина формулювання третього закону.

16. Механічна концепція взаємодії. Сили в механіці. Польова концепція взаємодії

Початковою для механіки є система матеріальних точок в просторі, зв'язаних взаємодією, що миттєво передається від однієї точки до іншої. Сили взаємодії, що виникають між двома точками в будь-якій їх парі, мають центральний характер і підкоряються третьому закону Ньютона.

Під дією сил можливий єдиний механічний ефект в системі: рух її точок з прискореннями, визначуваними формулою другого закону Ньютона.

Якщо розглядати тепер одну рухому точку, що випробовує на собі дію сил з боку інших рухомих точок, то очевидно, що сили виявляться залежними від часу, оскільки положення інших точок змінюється, тобто вектор сили в загальному випадку може бути функцією координат і часу:

=(,t).

Розглядаючи рівнодіючу системи сил, що діють на окрему точку, ми приходимо до поняття силового поля - це простір, в кожній точці якого на рухому або нерухому матеріальну точку діє сила, залежна від координат точки і моменту часу. У механіці вважають, що взаємодіють точки через порожнечу, без допомоги якого-небудь переносника взаємодії.

У дійсності розглянута механічна концепція перш за все охоплює гравітаційні взаємодії:.

Окрім гравітаційних, в природі широко поширені електромагнітні взаємодії. Щоб матеріальні точки брали участь в них, необхідно забезпечити точки електричними зарядами, так що матеріальна точка характеризуватиметься двома скалярними величинами - масою m і зарядом q. В рамках механічної концепції сили взаємодії двох точок можуть залежати від модуля відносної швидкості їх руху, тобто 1,2 = (r1,2 ,v1,2) Сили взаємодії залежать від зарядів q1 і q2. Дзеркальна симетрія силової картини можлива тільки за умови

1,2 = --2,1.

Оскільки кожна з сил, що становлять, залежить від відносної швидкості, а ця швидкість - від швидкості руху точки в просторі, то величина рівнодіючою буде функцією вектора швидкості даної точки: = (, ). Якщо врахувати рух решти точок, то остаточно формула набуває вигляду:



= (, ,t).

До механічних сил відносять також сили пружності, тертя і опори середовища, що діють на макроскопічні тіла Підводячи підсумок, можемо констатувати, що в найзагальнішому випадку сила (рівнодіюча всіх сил), прикладена до матеріальної точки, є векторна функція радіус-вектора точки, її швидкості і часу.

Польова концепція взаємодії і її зв'язок з механічноюМеханічна концепція не може претендувати на обхват всього матеріального світу, тобто не може бути покладена в основу його фізичної картини. Особливо істотний пропуск в механічній концепциі-є відсутність в системі разом з матеріальними тілами матеріальних полів, що взаємодіють з тілами. Поля передають взаємодію між точками системи з високою, але не нескінченною швидкістю з, діючи на точку там, де вона знаходиться в полі. Така взаємодія і називають близькодією.

Поле безперервно заповнює простір. Основна його механічна дія полягає в тому, щоб дати прискорення матеріальним точкам, поміщеним в поле, це силова дія.

Розглянемо дві матеріальні точки, що взаємодіють через поле. Перша точка створює поле, а друга - випробовує на собі його дію.

17. Дві задачі динаміки матеріальної точки

Перше задача: заданий закон руху . Знайти силу, що надає точці цей рух.

Якщо скористатися диференціальними рівняннями руху вільної матеріальної точки, то це завдання вирішується просто.

Подвійне диференціювання:



F

при цьому сила знаходиться у вигляді .

Часто цього буває досить, адже тепер ми можемо знайти силу у будь-який момент часу. Проте це рішення є неповним, оскільки в загальному випадку в динаміці вільної матеріальної точки сила розглядається як функція положення, швидкості і часу. Значить, в загальному вигляді отримати повне рішення першої задачі тільки двукрат-ным диференціюванням не можна. Якщо ж про силу відома яка-небудь додаткова інформація, то іноді повне рішення виявляється можливим.

Друге задача: задані сила , а також і . Знайти закон руху точки.

18. Особливості загального розв'язку другої задачі динаміки матеріальної точки

Друга задача: задані сила , а також і . Знайти закон руху точки.

Іншими словами, тут обов'язково задаються положення і швидкість точки в на-чальный момент часу (для простоти ми вважаємо його нульовими).

Розпишемо диференціальні рівняння руху точки в проекціях на декарто-вы осі, причому детальніше, ніж ми робили це раніше:

.



Рішення задачі зводиться до інтеграції цієї системи диференціальних рівнянь з урахуванням початкових умов.

Значить, друге завдання динаміки значно складніше за перше. Якщо там йшлося про диференціювання заданої функції часу, то тепер йдеться про інтеграцію системи диференціальних рівнянь (як правило, нелінійних). У загальному випадку ця інтеграція не може бути виконана в замкнутій формі. Тоді удаються до чисельного интегриро-ванию (за допомогою комп'ютера); рішення при цьому виходить прибли-женным. Розглянемо послідовність дій у тому випадку, коли ана-литическое рішення задачі все ж виявляється можливим. Зазвичай і для чисельного, і для аналітичного вирішення систему диференціальних рівнянь перетворять до нормальної форми Коші:

,

Припустимо, нам вдалося в аналітичному виді отримати рішення цієї системи шести диференціальних рівнянь першого порядку.

Загальний розв'язок:

,

де C1,.,C6 - постійні інтeгрування.

Число цих довільних постійних дорівнює порядку системи.

Для отримання закону руху треба тепер скористатися відомими в ну-левой момент часу положенням і швидкістю точки.

Початкові умови при t=0:

,

,

Підставляючи в (?) і ці початкові умови, отримуємо шість алгебраїчних рівнянь відносно C1,.,C6. Знайшовши їх значення, підставляємо ці значення в (?) і отримуємо шуканий закон руху.

Зауваження. При рішенні завдань динаміки скованої матеріальної точки треба доповнити рівняння руху рівняннями зв'язків.

19. Поняття про в'язі. Задані сили. Сили реакції

При аналізі поняття механічної сили був розглянутий випадок, в якому дія на матеріальну точку решти всіх точок системи описана як сила, що є функцією координат, швидкості і часу. В цьому випадку точку прийнято називати вільною. У механіці не враховують конструктивні особливості в'язі і класифікують їх по вигляду аналітичних виразів, якими вони задаються. Поверхня, як відомо з геометрії, задається рівнянням

Якщо в'язь задана цим рівнянням, то це означає, що точка може рухатися тільки по поверхні. Така в'язь називається такою, що утримує.

Якщо ж в'язь задана рівністю-нерівністю то матеріальна точка може рухатися в області простору. В цьому випадку в'язь називається такою, що не утримує. Найбільш простими в'язями є голономні. Це в'язі, що задаються рівняннями алгебри або диференціальними рівняннями, які після інтеграції зводяться до тих же рівнянь . У свою чергу голономні в'язі підрозділяються на стаціонарних і нестаціонарних. В'язь здійснюється нерухомою поверхнею, що не змінює своєї форми. Рівняння задає голономний нестаціонарний в'язь і здійснюється рухомою або такою, що деформується поверхнею. Як видимий, голономні в'язі залежать тільки від координат і не залежать від похідних координат.

Всі остальні в'язі, рівняння яких задаються диференціальними неінтегрованими рівняннями, називаються неголономними. Найбільш складна в'язь задається рівнянням тобто є неголономною, нестаціонарною і такою, що не утримує. Загальний же вид рівнянь в'язі, з якими ми зустрінемося далі, такий:

,

-- це голономні, утримуючі, стаціонарні і нестаціонарні в'язі.

Задані сили і сили реакції. Рух точки обмежений в'язями і на неї (незалежно від в'язі) діють відомі сили, вони називаються заданими силами. Потрібно відшукати кінематичні рівняння руху. За своєю природою дія в'язі зводиться до сил, прикладених до рухомої точки. Тому при відомих рівняннях зв'язку виявляється можливим підібрати таку додаткову до заданих силу, яка впливає на рух точки так само, як і в'язь. Додаткові сили, замінюючі в'язі, називаються реакціями в'язі. Фізично реакції в'язі мають однакову природу із звичайними силами.

Якщо в'язь замінити відповідною силою реакції, точка може розглядатися як вільна

.

Якщо заданих сил немає і точка покоїться, то накладення в'язі не може повідомити їй прискорення. Таким чином, сили реакції в'язі є пасивними силами; вони діють за наявності руху або заданих сил, інакше не існують. Задані сили можна з цієї ж причини назвати активними.

Познайомимося з найзагальнішими властивостями сил реакції. Якщо точка при накладеному зв'язку рухається по заданій нерухомій поверхні, то силу реакції завжди можна розкласти на дві складові; перша направлена по дотичній до траєкторії; вона називається силою тертя, друга -- по нормалі до поверхні, називається нормальною реакцією. Отже_

,

Сила тертя завжди направлена протилежно швидкості руху точки.

20. Рух матеріальної точки в неінерціальних системах відліку. Сили інерції. Принцип еквівалентності

Основне рівняння динаміки точки у формі записано в інерціальних системах відліку. Проте на практиці частіше зустрічаються неінерціальні системи, в більшій або меншій мірі що відрізняються від інерціальних. Так, система, пов'язана із Землею, є неінерціальною, і рахувати її приблизно інерціальною можна не для будь-якого завдання. неінерціальними системами відліку, оскільки в деяких випадках їх використання виявляється зручним.

Початковою для подальших міркувань є формула складання прискорень:

,

де -- прискорення матеріальної точки в нерухомій, нештрихованій, системі, -- її прискорення в рухомій, штрихованій, системі, -- переносне прискорення, -- коріолісове прискорення.

Хай нештрихована система є інерціальною. Тоді в ній справедливий другий закон Ньютона.

.

Це рівняння використовують в рухомій неінерціальній системі, для чого йому надають форму, подібну до другого закону Ньютона:

,

У даних позначеннях основне рівняння відносного руху має вигляд:

,

тут враховані сили реакції R для скованої матеріальної точки.

Принцип еквівалентності. Стан невагомості. Сили інерції, що діють на матеріальну точку в неінерціальних системах відліку, по своїх проявах не відрізняються від фундаментальної сили, що діє в гравітаційному полі. Це їх властивість обумовлена пропорційністю, а при прийнятому виборі одиниць -- рівністю гравітаційною і інертною мас тіл. Розглянемо гравітаційну і інертну маси. У законі усесвітнього тяжіння і в другому законі Ньютона мова Пропорційність і рівність т' і т для всіх тіл не витікають з яких-небудь положень механіки, а є самостійним твердженням -- узагальненням експериментальних фактів. Насправді, знаходячи прискорення тіла масою з приведених вище формул, маємо:

,

Тому пропорційність один одному важкої маси і маси інертною приводить до твердження про непомітність (сил інерції і сил тяжіння. Це твердження носить назва принципу еквівалентності. Згідно цьому принципу поле тяжіння в невеликій області простору і часу по своїй дії тотожно дії сил інерції в прискореній системі відліку. Принцип еквівалентності зіграв фундаментальну евристичну роль при створенні загальної теорії відносності; у Від рівноправними вважаються всі системи відліку, а не тільки інерціальні.

Прискорення сили тяжіння залежить від широти місця на Оскільки вагою тіла називають чисельну величину (модуль) сили тяжіння, що діє на тіло, що знаходиться поблизу земної поверхні", то вага тіла також залежить від широти місця на Землі.

Можливий своєрідний стан тіла в прискореній системі, при якому відсутні сили реакції; воно носить назву невагомості.

21. Закон зміни і закон збереження імпульсу матеріальної точки

Теорему про зміну імпульсу матеріальної точки напишемо для кожної і-тої точки системи,розділяючи сили на внутрішні та зовнішні:

.

Просумувавши рівняння, отримаємо:

.

Зліва під знаком похідної стоїть імпульс системи, а права частина рівності являє собою суму головних векторів зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю. Вводячи скорочені позначення, отримані рівняння перепишемо у вигляді

,

Теорема про зміну імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так: похідна за часом імпульса системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на точки системи.

Формулі можна надати інший вигляд, якщо імпульс системи виразити через імпульс центру мас системи: . Формулу називають теоремою про рух центру мас: центр мас системи рухається як точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладено головний вектор зовнішніх сил, що діють на точки системи.

З формули виплива закон збереження імпульсу системи: якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то вектор імпульсу, системи залишається постійним: Проектуючи векторнy рівність на вісі координат, отримаємо три перших інтеграла руху системи:

.

Ці інтеграли, як і для однієї матеріальної точки, можуть існувати одночасно всі три, два чи один.

Для замкнутої механічної системи зовнішні сили відсутні, тому для замкнутих систем виконується закон збереження імпульсу. Центр мас системи рухається по інерції, тобто рівномірно і прямолінійно. (Тому центр мас і називають центром інерції.)

Завдяки зазначеній властивості руху особливе значення набуває система відліку з початком у центрі мас. Вона рухається поступально у вихідній інерціальній системі і є інерціальною, а рух матеріальних точок у ній виглядає простіше, ніж в інших системах відліку.

Внутрішні сили, що діють в замкнутій системі, можуть змінювати відносні швидкості окремих матеріальних точок, але ці зміни завжди будуть такими, щоб загальний імпульс залишається незмінним за величиною і напрямком. Це незмінне значення імпульсу системи визначається початковими умовами руху її точок.



22. Закон збереження і закон зміни моменту імпульсу матеріальної точки

Теорему про зміну моменту імпульсу ми можемо написати для кожної точки, що входить в систему матеріальних точок. При цьому врахуємо, що сили розділяться на зовнішні і внутрішні. Якщо ввести короткі позначення для моментів усіх сил, рівняння будуть мати вигляд:

,

Підсумувавши їх, отримаємо:

.

Зліва під знаком похідної стоїть момент імпульсу системи, а права частина рівності представляє головні моменти зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому

...