Моделі матеріальних об'єктів

,

Ми отримали теорему про зміну моменту імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так:похідна моменту імпульсу системи по часу дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на точки системи.

Теорема про зміну моменту імпульсу дозволяє визначити його умови збереження. Закон збереження моменту імпульсу : якщо геометрична сума моментів усіх зовнішніх сил, діючих на точки системи, дорівнює нулю, то вектор моменту імпульсу системи залишається величиною сталою



,

Для замкнених систем закон збереження моменту імпульсу завжди виконується. Під впливом внутрішніх сил моменти імпульсу окремих точок або частин системи змінюються, але ці зміни обов'язково компенсуються змінами моментів імпульсу інших точок і частин тієї ж системи.

Проектуючи векторний вигляд формули закону збереження моменту імпульсу на осі координат, отримаємо три перших інтеграла руху:

,

Для незамкненої системи, де момент не зберігається в цілому, одна з проекцій головного моменту зовнішніх сил може перетворитися в нуль. Тоді має місце один з перших інтегралів руху: зберігається та проекція моменту імпульсу, для якої перетворюється в нуль проекція головного моменту зовнішніх сил. Наприклад,

,

При переході до системи центру мас момент імпульсу перетвориться за формулою:

,

Якщо система замкнута, то остання формула виражає перетворення моменту імпульсу при переході від однієї інерціальної системи до іншої. Обидві складові моменту тоді зберігаються окремо.

23. Робота сили. Потенціальні поля. Потенціальна енергія матеріальної точки в силовому полі

Робота постійної сили на прямолінійному переміщенні, створюючому з напрямом сили кут би, визначається формулою

При змінній силі і русі по кривій таке визначення роботи непридатне. До загального визначення роботи (для змінної сили і довільного руху) приходимо звичайним способом: застосовуємо математичний аналіз.

Хай траєкторією матеріальної точки служить крива АВ. Розбиваємо відрізок кривої між точками на нескінченно малі елементи, які можна розглядати як прямолінійні. Хай -- вектор нескінченно малого переміщення і -- вектор сили для даного положення крапки на кривій. Тоді остання формула може бути застосована для обчислення роботи сили на нескінченно малому переміщенні. Враховуючи це, отримаємо для елементарної роботи:

У загальному випадку лінійна функція диференціалів координат в не є повним диференціалом якої-небудь функції координат. Щоб відзначити цю обставину в позначенні елементарної роботи, застосована буква .

Для визначення роботи на кінцевій ділянці кривої АВ потрібно підсумувати елементарні роботи. Таким чином, сума алгебри елементарних робіт на всіх елементах дуги кривої АВ між вказаними точками кривої є робота сили на кінцевій ділянці траєкторії:

,



Коротко роботу сили можна визначити як інтеграл від сили, узятий уздовж траєкторії руху крапки. (У математиці такі інтеграли називаються криволінійними.)

Для обчислення роботи сили в загальному випадку необхідно знати кінематичні рівняння руху крапки. Тоді криволінійний інтеграл в може бути зведений до певного інтеграла.

Дійсно, нехай -- кінематичне рівняння руху (тоді и т. д.) і проекції сили після внесення в них значень кординат по часу будуть відомимим функціями часу. Таким чином елементарнв робота буде мати:

,

Остаточно маємо:

,

24. Кінетична енергія. Теорема про зміну енергії матеріальної точки

Запишемо рівння теореми для кожної точки системи, виділивши в правій частині рівняння суму робіт заданих сил і сил реакції:

.

Потім врахуємо, що для системи задані сили і сили реакції зв'язків розпадаються на зовнішні та внутрішні; покажемо це в рівнянні:



.

Під знаком диференціала в лівій частині цієї рівності знаходиться кінетична енергія системи, а права частина являє собою суму елементарних робіт заданих сил і сил реакцій (зовнішніх і внутрішніх). Введемо скорочені позначення і розглянуту рівність перепишемо у вигляді:

.

Кінетимчна енемргія -- частина енергії фізичної системи, яку вона має завдяки руху.

Кінетичну енергію позначають буквами K або T.

,

,

- кінетична енергія

,

Теорема. Приріст кінетичної енергії матеріальної точки на деякому шляху дорівнює алгебраїчній сумі елементарних робіт здійснених силами, які прикладені до точки.



25. Закон збереження повної механічної енергії матеріальної точки. Механічна система матеріальних л Зовнішні і внутрішні сили

Замкнута і ізольована система.

Сукупність матеріальних точок, між якими має місце силова взаємодія, називається механічною системою матеріальних точок або просто механічною системою.

Рух системи в механіці визначений, якщо відомий рух кожної точки.

Система називається вільною, якщо координати і швидкості точок системи можуть набувати будь-яких значень залежно від сил, прикладених до них, і початкових умов руху. Якщо координати і швидкості точок системи задовольняють деяким умовам - зв'язкам, то система називається скованою. Якщо зв'язок виражається рівнянням, в яке входять лише координати точок, то такий зв'язок називається голономним, що утримує і стаціонарною. Коли в рівняння зв'язків входить час, зв'язки називаються нестаціонарними, а коли зв'язки виражені нерівностями, вони називаються такими, що не утримують. Всі останні зв'язки, рівняння яких задаються диференціальними неінтегрованими рівняннями, називаються неголономними.

Внутрішні і зовнішні сили. Замкнута і ізольована системи. Сили, що діють на точки системи, у багатьох випадках виявляється корисним підрозділяти на внутрішніх і зовнішніх.Інакше, внутрішні сили - це сили взаємодії між крапками самої системи. Як правило, внутрішні сили задаються безпосередньо як сили попарної взаємодії між крапками. Вони залежать лише від відстані між точками, мають центральний характер і підпорядковуються третьому закону Ньютона. (Поняття силового поля для внутрішніх сил не застосовується.)

Зовнішніми називаються сили, прикладені до точок системи з боку тіл, що не належать системі, тобто сили, що діють на систему, що знаходиться в зовнішньому силовому полі. Вказаний підрозділ сил на зовнішніх і внутрішніх визначається вибором самої системи. Одні і ті ж сили можуть бути в одному випадку внутрішніми, а в іншому - зовнішніми, залежно від того, які тіла включаються в дану систему.

Система, в якій діють лише внутрішні сили, називається механічно замкнутою. У такій системі розглядаються всі тіла, що взаємодіють між собою. Це означає, що вона ізольована від зовнішніх силових полів. Тому в механіці говорять про замкнуту або ізольовану систему.

Проте поняття ізольованої системи, якщо розглядати не лише механіку, не еквівалентно замкнутою; все механічно взаємодіючі частини даної системи можуть бути враховані, але система не ізольована, оскільки випробовує зовнішній, не механічний вплив. Наприклад, в систему поступає енергія при нагріванні; система випробовує дію зовнішнього поля, віднести яке до механічної взаємодії точок не можна, і так далі

Внутрішні сили володіють важливою властивістю: геометрична сума векторів внутрішніх сил, прикладених до точок системи, звана головним вектором внутрішніх сил, дорівнює нулю. Позначивши через рівнодійну внутрішніх сил, прикладених до кожної -ої точки системи, маємо:

,

Головний момент внутрішніх сил, що діють в системі, тобто геометрична сума моментів внутрішніх сил, прикладених до точок системи, відносно довільно вибраної моментної точкидорівнює нулю. Позначимо

,

26. Диференціальні рівняння руху системи матеріальних точок

Напишемо основні векторні рівняння динаміки для п точок системи:



,

У них - рівнодійна зовнішніх сил, а внутрішніх.

Отримали систему з п векторних рівнянь. Проектування цих рівнянь на осі декартових координат приводить додиференціальним скалярним рівнянням руху системи. Ці рівняння дозволяють в принципі, як і в динаміці точки, вирішувати два основні завдання: визначати сили по заданому руху системи і визначати рух системи по заданих силах. Але на практиці при рішенні, другого завдання динаміки системи виникають великі математичні труднощі і її точні рішення для системи з трьох і більш матеріальних точок невідомі. Тому великого значення набувають спільні теореми динаміки системи, що дозволяють просто знаходити перші інтеграли руху, а по ним робити істотні висновки про характер і особливості руху системи в конкретних випадках.

Але в теоретичному плані рівняння (1) вичерпують питання про рух системи точок. По координатах точок системи і їх швидкостях, відомих в деякий момент часу, з допомогою (1) визначаються координати і швидкості точок у всі інші моменти часу. У цьому виявляється детермінізм або динамічна зумовленість механічного руху.

За допомогою рівнянь руху (1) можна отримати умови або рівняння рівноваги системи матеріальнихточок, перейти від динаміки до статики. В стані рівноваги всі точки системи повинні покоїтися, а це можливо лише за відсутності прискорень, отже, - рівнодійна сил, прикладених до кожної точки, дорівнює нулю.

27. Імпульс системи матеріальних точок. Центр мас. Момент імпульсу системи матеріальних точок

Імпульсом системи матеріальних точок називається геометрична сума імпульсів усіх точок системи

,

Центр мас (інерції) системи - це геометрична точка, відносно якої маса всієї системи по всім напрямкам розподілена однаково. Радіус вектор центра мас знаходиться за формулою:

,

тут m - маса системи, рівна сумі мас усіх її точок.

Продифиренціювавши обидві частини рівності по часу маємо:

,

Вибравши початок нової, штрихованої системи коорд. так що отримуємо

,

Отже в системі центра мас .

Імпульс системи матеріальних точок в системі відліку з початком у центрі масс рівний нулю.

Момент імпульсу системи

Моментом імпульсу системи матеріальних точок називається геометрична сума моментів імпульсів усіх точок системи:

,



Момент імпульсу матеріальної точки, як і момент сили, залежить від вибору початку координат. Втановимо залежніть між моментами відносно двох різних точок . Так як , з формули моменту імпульу сист. маємо , де - імпуль системи. Момент імпульса не залежить від початку тільки в випадку .

У випадку переходу до штрихованої системи координат початок якої пов'язаний з центром мас ситеми матеріальних точок і яка рухається поступально в початковій нештрихованій системі маємо

,

середні члени рівні нулю за означенням центра мас. Остаточно

,

Момент імпульсу довільно рухомої системи розпадається на момент, обчислений в системі центра мас, і момент, що виражає рух системи як цілого.

28. Кінетична енергія системи матеріальних точок. Теорема Кьоніга

Кінетична енергія системи матеріальних точок - це сума кінетичних енергій всіх точок системи

,

Теорема Кеніга: кінетична енергія системи може бути подана в видгляді суми двух доданків: кінетичної енергії поступального руху системи зі швидкістю центра мас і кінетичної енергії руху системи по відношенню до центра мас. квантовий кінетичний енергія інерція

Доведення: Нехай - швидкість руху центру мас, - швидкість руху і-тої точки по відношенню до системи відліку з початком у центрі мас і рухомій поступально в початковій системі. Тоді за законом додавання швидкостей маємо:

,

Робимо підстановку в вираз для кінетичної енергії

,

Останній доданок перетворюється в нуль і остаточно отримуємо формулу:

,

Тут перший доданок відповідає руху усіх точок системи з однаковими швидкостями , тому і можна назвати його кінетичною енергією поступального руху системи як цілого. Другий доданок виражає кінетичну енергію руху матеріальних точок у системі, що не залежить від швидкості руху центру мас.

29. Теорема про зміну імпульсу системи матеріальних точок

Теореми для системи матеріальних точок зручно отримувати, узагальнюючи розглянуті раніше відповідні теореми для однієї матеріальної точки. Теорему про зміну імпульсу матеріальної точки напишемо для кожної і-тої точки системи, розділяючи сили на внутрішні та зовнішні:

.

Просумувавши рівняння, отримаємо:

.

Зліва під знаком похідної стоїть імпульс системи, а права частина рівності являє собою суму головних векторів зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний вектор внутрішніх сил дорівнює нулю. Вводячи скорочені позначення, отримані рівняння перепишемо у вигляді

,

Ми прийшли до теореми про зміну імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так: похідна за часом імпульсу системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на точки системи.

Формулі можна надати інший вигляд, якщо імпульс системи виразити через імпульс центру мас системи: . Формулу називають теоремою про рух центру мас: центр мас системи рухається як точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладено головний вектор зовнішніх сил, що діють на точки системи.



30. Теорема про зміну моменту імпульсу системи матеріальних точок

Теорему про зміну моменту імпульсу ми можемо написати для кожної точки, що входить в систему матеріальних точок. При цьому врахуємо, що сили розділяться на зовнішні і внутрішні. Якщо ввести короткі позначення для моментів усіх сил, рівняння будуть мати вигляд:

,

Підсумувавши їх, отримаємо:

.

Зліва під знаком похідної стоїть момент імпульсу системи, а права частина рівності представляє головні моменти зовнішніх і внутрішніх сил. Але головний момент внутрішніх сил дорівнює нулю, тому

,

Ми отримали теорему про зміну моменту імпульсу системи матеріальних точок, яку можна сформулювати так:похідна моменту імпульсу системи по часу дорівнює головному моменту зовнішніх сил, що діють на точки системи.

Теорема про зміну моменту імпульсу дозволяє визначити його умови збереження



31. Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок

Напиш. Р-ння теореми для кожної точки системи, виділивши в правій частині рівняння суму робіт заданих сил і сил реакції:

.

Потім врахуємо, що для системи задані сили і сили реакції зв'язків розпадаються на зовнішні та внутрішні; покажемо це в рівнянні:

.

Під знаком диференціала в лівій частині цієї рівності знаходиться кінетична енергія системи, а права частина являє собою суму елементарних робіт заданих сил і сил реакцій (зовнішніх і внутрішніх). Введемо скорочені позначення і розглянуту рівність перепишемо у вигляді:

.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи матеріальних точок: диференціал кінетичної енергії системи дорівнює сумі елементарних робіт сил, що діють на точки системи. При ідеальних зовнішніх зв'язках робота зовнішніх сил реакцій дорівнює нулю:

.

Насамперед зазначимо, що мова йде або про вільну систему, або про систему з ідеальними зв'язками, тобто виходимо з формули. Якщо задані зовнішні і внутрішні сили є потенціальними і стаціонарними, то для кожної точки виконуються умови , де- потенціальна енергія точки в полі системи, a - у зовнішньому полі .

Тоді для системи матеріальних точок елементарна робота зовнішніх сил може бути обчислена:

,

де - потенційна енергія системи у зовнішньому силовому полі.

Усередині системи на кожну точку діють потенційні сили з боку всіх інших, причому їх рівнодія знаходиться як градієнт (за координатами цієї точки) від потенціальної енергії системи, яка визначається формулою

.

Звідси випливає, що робота, що здійснюються внутрішніми силами над -ю точкою, виражається формулою . Підсумовуючи елементарні роботи по всіх точках системи, отримуємо:

.

Отримані вирази елементарних робіт підставимо в рівняння теореми про зміну енергії : , звідки випливає:

,

.

Ми отримали закон збереження повної механічної енергії системи в разі потенційних сил, причому повна механічна енергія дорівнює сумі енергій кінетичної, зовнішньої потенційної та внутрішньої потенційної:

.

Закон збереження повної механічної енергії виражає перший інтеграл руху, який називається інтегралом енергії.

Для замкнутої системи з потенційними силами (вільної або з ідеальними зв'язками) повна механічна енергія зберігається:

.

Кінетична енергія системи матеріальних точок може бути представлена за теоремою Кеніга у вигляді суми енергії поступального руху

і енергії внутрішнього руху .

32. Задача двох тіл

1. Наведена маса. Задача про замкнуту систему двох точок називається задачею двох тіл. Вона має просте і вичерпне розв`язання - зводиться до основного завдання динаміки однієї матеріальної точки. Розглянемо замкнуту систему двох матеріальних точок, які взаємодіють між собою. Центр мас цієї системи рухається рівномірно і прямолінійно (або перебуває в стані спокою). Задача просто розвязується в системі з початком у центрі мас, що рухається поступально . Позначимо маси частинок через і , їх радіус-вектори, проведені від центру мас, відповідно і (мал). Нехай - вектор, проведений від точки до . Із визначення радіус-вектора центру мас маємо:

. 

Виразити радіус-вектори через вектор , що з'єднує точки і . Маємо:

,

.

Напишемо тепер основні рівняння для руху обох точок

,

Cили в системі рівнянь залежать від відстані між точками, а не від відстані до центру мас, тобто розв'язувати рівняння окремо для кожної точки можна. Однак саме в задачі двох тіл ці труднощі усуваються. Користуючись вищенаписаними виразами для радіус-векторів

виключимо з основних рівнянь системи і . Отримуємо рівняння руху:

.

З огляду на те що за третім законом Ньютона = - , a, обидва рівняння стають тотожними, і рух системи двох точок в результаті їх взаємодії еквівалентно руху однієї точки відповідно до рівняння . Дане рівняння відрізняється від відомого рівняння руху матеріальної точки в полі заданої сили тільки тим, що замість маси тут виступає комбінація мас двох точок:

.

Величина називається наведеною масою. Отже, задача двох тіл звелася до задачі про рух однієї матеріальної точки з наведеною масою в Ц-системі під дією центральної сили; рівняння руху має звичайний вигляд: .

2. Рух двох матеріальних точок у системі центру мас. Рух зображає точки відповідно до рівняння буде плоским, так як сила центральна. Нехай кінематітичне рівняння руху знайдено: . Знайдемо кінематичні рівняння руху обох матеріальних точок у Ц-системі:

,

.

Очевидно, що траєкторії руху зображає точки і точок і будуть подібними кривими відносно центру мас, а відношення подібності є зворотне відношення мас, тобто . Нескладно знайти і швидкість руху точок. Диференціюючи

,

,

за часом, маємо:

.

Задача двох тіл розв'язана.

33. Момент інерції. Теорема Штейнера

Момент інерції матеріальної точки рівний

Моментом інерції системи щодо осі обертання називається фізична величина, рівна сумі добутку мас n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до розглянутої осі.

Момент інерції тіла у випадку безперервного розподілу маси рівний

-інтегрується по всьому об'єму.

Якщо відомий момент інерції тіла щодо осі, що проходить через його центр мас, момент інерції щодо будь-якої іншої осі паралельної даної, визначається за допомогою теореми Штейнера: момент інерції тіла І щодо паралельної осі обертання дорівнює моменту інерції Іс щодо паралельної осі, що проходить черезцентр мас тіла, складеному здобутком маси m тіла на квадрат відстані а між осями

І = Іс + mа2

Наприклад, для обручу на рисунку момент інерції відносно вісі О'О' дорівнює

6. Момент інерції прямого стрижня довжиною , вісь перпендикулярна стрижню й проходить через його кінець.

34. Залежність моменту інерції від напрямку осі

Прямий розрахунок моменту інерції тіла відносно осі зводиться до обчислення інтеграла

де - відстань елементарної маси до осі обертання. При цьому, природно, необхідно враховувати симетрію системи.

Для прикладу обчислимо момент інерції кулі (у сферичних координатах відносно довільної осі, що проходить через її центр (у даному випадку відносно осі Oz):

тут - маса кулі, - їїоб'єм.

Оскільки

Для плоскої фігури моменти інерції відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, дві з яких лежать у площині фігури, виявляються зв'язаними між собою простим співвідношенням.

.

Це співвідношення дозволяє обчислити момент інерції тонкого диска маси і радіуса відносно осі, що проходить через центр диска і лежить у його площині:

оскільки момент інерції диска відносно головної центральної осі, перпендикулярної площині диска,

а



35. Динаміка твердого тіла. Умови рівноваги твердого тіла

Теорема про рух центру мас системи виражається за формулою m .(1)

Тепер сформулюємо її так: центр мас твердого тіла рухається як точка, в якій зосереджена маса всього тіла, а до неї додається головний вектор сил, що діють на тверде тіло.

Таким чином, у твердому тілі виділяється точка - центр мас, координати якої визначаються за формулами:

,

,

,

де густина тіла.

Центр мас рухається відповідно до рівняння (1). У проекціях на нерухомі осі координат Охуz маємо рівняння руху центру мас: Дані рівняння повністю розкривають задачу про рух твердого тіла у випадку поступального руху.

У загальному випадку просторова система сил, прикладених до твердого тіла, приводиться не до однієї рівнодіючої, а до рівнодіючої сили, яка дорівнює головному вектору системи , і до рівнодіючої пари,яка дорівнює головному моменту системи . Для визначення характеру руху твердого тіла і для розкладання його на поступальний і обертальний слід вибрати в якості точки прикладання рівнодіючої сили - центру приведення сил - центр мас тіла.

Після приведення сил система зводиться до рівнодійної сили і пари з моментом . Можливі такі окремі випадки:

= 0; тіло рухається поступально, якщо в початковий момент часу воно не мало обертання навколо осі, що проходить через центр мас. (Якщо тіло володіло в початковий момент часу кутовою швидкістю, то вона зберігається.) = 0, 0; тіло обертається з кутовим прискоренням навколо миттєвої осі, що проходить через центр мас, а центр мас знаходиться у стані спокою або рухається зі сталою швидкістю.

0, , 0; центр мас рухається прискорено і тіло обертається з кутовим прискоренням навколо центру мас.

36. Кінетична енергія твердого тіла

Формула кінетичної енергії твердого тіла. Знайдемо формулу кінетичної енергії твердого тіла. Будемо виходити з теореми Кеніга для системи матеріальних точок:

Швидкість руху точки твердого тіла відносно центру мас , де - радіус-вектор, проведений до елементу маси dm з центру мас С. Кінетична енергія обертального руху твердого тіла навколо осі s ( - одиничний вектор осі), що проходить через центр мас тіла, виразиться таким інтегралом, поширеним за об'ємом тіла: dm. Помітивши, що rsin () = , отримаємо:

,

Але величина інтеграла є моментом інерції ¬ ції тіла відносно осі.

Отже, кінетична енергія обертання твердого тіла визначається формулою

,

а повна кінетична енергія твердого тіла виражається тепер наступною рівністю:

,

де перший член описує кінетичну енергію тіла при поступальному русі, другий - при обертальному. Обидва члени є незалежними в тому відношенні, що не пов'язані один з одним через швидкості, тому можуть застосовуватися окремо.

Але отримана формула для кінетичної енергії обертального руху твердого тіла

,

може бути використана для обчислення тільки у випадку, коли вектор кутової швидкості не змінює свого напрямку при русі тіла (наприклад, при обертанні тіла навколо нерухомої осі). Якщо ця умова не виконується, момент інерції , стає змінною величиною і формула практично виявляється непридатною для використання. У цьому випадку виражаємо момент інерції , щодо миттєвої осі обертання через головні моменти інерції за формулою Тоді для кінетичної енергії обертального руху отримуємо такий вираз:

.

Запишемо вираз кінетичної енергії обертання твердого тіла через проекції моменту імпульсу на головні вісі інерції:

,

Для тіла з нерухомою віссю обертання ця формула спрощується:

,

На поступальному переміщенні твердого тіла «працює» головний вектор системи сил, а на обертальному - головний момент.

Теорема про зміну кінетичної енергії твердого тіла запишеться наступною рівністю:

,

37. Принцип віртуальних переміщень. Узагальнені координати, імпульси і сили

Віртуальними переміщеннями є одночасні, миттєві, малі переміщення точок системи, що не суперечать зв'язкам.

віртуальні переміщення --не залежать від сил, що діють на точки системи. При розгляді руху МТ замість сил вводиться В такому разі МТ має вигляд:



Для m зв'язків можна скл. m рів-нь:

Якщо система МТ знаходится в рівності, то можна стверджувати, що при ідеальних звязках сума робіт сил, прикладених до системи, як активних, так і рівних0.Це наз. принципом віртуальних переміщень.

Принцип Деламбера

Якщо до заданих сил і сил реакцій зв'язків додати сили рівні силам інерції

, то

Дане рівняння наз загальним рівнянням механіки. Із нього слідує, що в любий момент часу руху МТ алгебраїчна сума віртуальних робіт заданих сил і Даламберових сил інерції дор.нулю.

Узагальнені координати - змінні, які використовуються в механіці для задання миттєвого положення механічної системи в просторі. Будь-які s величини q1, q2,…q3, які цілком характеризують положення системи (з s-степенями вільності), називають її узагальненими координатами. На відміну від декартових координат матеріальних точок, які задають загальний формалізм для опису будь-якої системи, вибір узагальнених координат визначається специфікою конкретикою системи. Наприклад, при розгляді коливань математичного маятника, досить обмежитися лише однією узагальненою координатою - кутом відхиленням маятника від вертикальної осі, при обертанні твердого тіла - кутом повороту тощо .Похідні від узагальнених координат називаються узагальненими швидкостями. В гамільтоновій механіці вводиться також поняття узагальненого імпульсу. В теорії абстрактні узагальнені координати заведено позначати літерою q, відповідні узагальнені швидкості - , узагальнені імпульси - p.

38. Принцип Даламбера-Лагранжа. Рівняння Лагранжа

Диференціальні рівняння руху невільної матеріальної точки і системи можуть бути представлені у формі рівняння рівноваги системи сил. Вперше на ці обставини було вказано Даламбером. Скористаємося диференціальним рівнянням руху невільної матеріальної точки в векторній формі і запишемо його для системи n точок: (1) Зберемо всі члени в одну частину рівності і назвемо вектори

даламберовими силами інерції. Диференціальні рівняння руху системи матеріальних точок з введенням даламберових сил інерції прийняли вид умов рівноваги сил прекладених до точок системи

Вказана зміна форми запису основних рівнянь динаміки системи складає зміст так званого принципу Даламбера. Матиматичне вираження виразу даламбера в декартових координатах отримаємо при проектуванні векторних рівнянь(3) на осі координат:



Значення принципу даламбера полягає в тому, що він відкриває можливість застосування до розв'язання динамічних задач, специфічних методів аналітичної статики і в багатьох ситуаціях істотно спрощують розв'язання цих задач, де потребують визначеннгя сили реакції зв'язків прирусі системи. Принцип даламбера може бути об'єднаний з принципом віртуальних переміщень, для чого достатньо помножити векторні рівняння (1) на векторі віртуальних переміщень точок системи і результати просумувати. Якщо розглядати випадок ідеальних зв'язків, то можна не виписувати віртуальну роботу сил реакцій рівну 0. Тоді отримаємо

Це рівняння називають загальним рівнянням механіки.

В декартових координатах загальні рівняння механіки мають наступний вид

В словесному формулюванні загальне рівнянн механіки зводиться до твердження: - в будь який момент часу рух механічної сиситеми алгебраічної суми віртуальних робіт заданих сил і даламберивих сил інерції рівна 0. загальне рівняння механіки і його словесне формулювання виражають об'єднаний принцип Даламбера - Лагранжа - загальний варіаційний принцип. Рівняння Лагранжа Варіації загальних координат - довільні і незалежні величини, і рівність нулю написаної суми можливо тільки при перетворенні в нуль співмножників при варіаціях узагальнених координат. Прирівнювання їх до нуля приводять нас до шуканих диференціальних рівнянь руху системи в загальних координатах - рівнянням Лагранжа:

39. Рівняння Лагранжа другого роду

Узагальнюючими координатами називають систему змінних q1,…,qf (де f=3n-s - число ступенів вільності), що задовольняють таким вимогам: 1)Декартові координати можна однозначно виразити через узагальнені координати: ri=ri(q1,…,qf; t); 2)рівняння зв'язків повинні задовольнятися тотожно.

Рівняння вигляду

називається рівнянням Лагранжа другого роду. При наявності зв'язків за допомогою рівнянь др. роду можна розв'язати ті самі задачі, що й за допомогою рівнянь Лагранжа першого роду.

Даному рівнянню можна надати іншого вигляду, якщо врахувати, що на кожну частинку системи діють як потенціальні,так і не потенціальні сили:

,



де U - повна потенціальна енергія системи, а fi - результуюча всіх не потенціальних сил, що діють на частинку.

Із структури рівнянь Лагранжа другого роду видно, що вони є системою диференціальних рівнянь другого порядку для визначення невідомих функцій qi(t). Якщо немає непотенціальних сил, рівняння Лагранжа набувають вигляду:

.

Особливістю рівнянь Лагранжа другого роду є те, що їх вигляд не залежить від конкретного змісту узагальнених координат. Можна замість координат qi ввести інші координати Qk згідно з формулами: Qi=Qi(qi, …, qf; t) (2) і при цьому вигляд рівняння не зміниться.

Дов. Нехай координати qi задовольняють рівняння (1). Перейдемо до нових змінних Qi за формулами (2). Знайдемо похідні:

(3) I .

Оскільки L залежить від тільки через qi,

то звідси знаходимо:



.

Підставляючи (6) у (4) і обчислюючи повну похідну по часу від ,маємо:

,

то віднімаючи (7) від (3), дістанемо:

.

Перетворення (2) у механіці називається точковим перетворенням.

40. Потенціальні сили. Лагранжіан

Диференціальні рівняння Лагранжа спрощуються, якщо система знаходиться під дією потенціальних сил. Нехай сили, прикладені до точок системи, потенціальні. Тоді відповідно до формули Qk = узагальнених сил маємо їх вираження через потенціальну енергію =(q1 q2…qs, t): Qk = - . Звідси, узагальнені сили також є потенціальними. Внесемо вираження потенціальних сил в диференціальні рівняння - = Qk (k=1,2,…s) (1). Якщо приймемо до уваги те, що потенціальна енергія не залежить від узагальнених швидкостей, тобто =0, то диференціальні рівняння можуть мати вигляд: (T-U) - (T-U)= 0. Визначимо функцію узагальнених координат, швидкостей і часу рівністю L() = T - U (2), де L називається функцією Лагранжа або лагранжіаном системи. Тоді рівняння Лагранжа (1) руху системи отримують наступний вигляд: - = 0 (k=1,2,…s) (3). Для складання диференціальних рівнянь руху системи з потенціальними силами оказується, таким чином, достатнім є знання лагранжіана системи. При стаціонарних зв'язках і стаціонарному силовому полі лагранжіан не залежить явно від часу і є функцією тільки узагальнених координат і швидкостей, а при нестаціонарних зв'язках і нестаціонарних силах він явно залежить і від часу. Не важко побачити, що лагранжіан задається неоднозначно: додавання до нього будь-якої величини, яка не залежить від та явно, не змінює рівнянь (3). Крім того, додавання похідної по часу від довільної функції узагальнених координат також не змінює рівняння. Покажемо це. Нехай f() - довільна функція. Розглянемо новий лагранжіан: Lґ = L + f() = L + . Складемо для нього рівняння (3):

( + ) - - = 0.

Розкриваючи дужки і проводячи диференціювання по часу, маємо:

+ - = 0,

тобто приходимо до рівняння для попередньої функції Лагранжа L, так як члени з сумами взаємно знищуються. В процесі виведення рівнянь Лагранжа (1) і (3) було виконане перетворення координат, яке може розглядатися як перехід до будь-якої нової системи координат в тій же фізичній системі відліку або перехід до іншої інерціальної і навіть неінерціальної системи відліку. В будь-якій системі відліку і системі координат рівняння мають один і той же вигляд, тобто вони інваріанти по відношенню до вибору систем координат і систем відліку. Ця особливість рівнянь Лагранжа робить їх дуже цінними для теорії.

41. Функція Гамільтона

Функція Гамільтона Н (qi, pi, t) визначається через узагальнені координати qi і узагальнені імпульси pi виходячи з функції Лагранжа L (). Величину називають узагальненим імпульсом. Оскільки число узагальнених швидкостей дорівнює числу узагальнених координат, то і число узагальнених імпульсів дорівнює числу узагальнених координат. Інакше кажучи, кожній узагальненій координаті qi відповідає узагальнений імпульс pi , значить pi спряжений з координатою qi. Функція Гамільтона визначається згідно з формулою

.

Після цього всі узагальнені швидкості dH виражаються через узагальнені імпульси й координати. За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси. У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил Н= Т+ V, тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергії, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.



42. Канонічні рівняння Гамільтона

Враховуючи функцію Гамільтона потрібно довести, що

()=?.

Обчислюючи частинну похідну по від цього виразу, маємо:

=,

а оскільки за означенням , то перші дві суми скорочуються, і дістанемо рівність =?(). Ураховуючи цю рівність запишемо

dH= ?,

;

Система рівнянь ; називається канонічними рівняннями Гамільтона. Ці рівняння повністю еквівалентні рівнянням Лагранжа, а також рівнянням Ньютона в тому розумінні, що, знаючи функцію Гамільтона, можна скласти систему канонічних рівнянь



;

і, проінтегрувавши її при певних початкових умовах, передбачити механічний стан системи для будь-якого часу. Змінні qi і pi називаються канонічними змінними.

43. Дужки Пуассона

Нехай рух системи описує рівняння Гамільтона:

,

а є одна із функцій механічного стану системи, наприклад імпульс, енергія. Візьмемо повну похідну по часу від функції

.

Перетворюючи користуючись рівнянням Гамільтона:

=.

Суму в попередній формулі позначаємо через [f,H]

,

Вона є диференціальним рівнянням оператором, який називається дужками Пуассона. В нових позначеннях для повної похідної функції f має формулу

.

Якщо функція є інтегралом руху

Якщо інтеграл не залежить від часу явно, то дужки Пуассона дорівнює нулю

Дужки Пуассона можна скласти і для двох функцій дужки Пуассона антикомутативні .

Тільки для однакових функцій комутативні - . Дужки Пуассона мають властивість антисиметрії.

Дужки Пуассона взяті для самих канонічних змінних, називається фундаментальними дужками Пуассона:

,

За допомогою дужок Пуассона описуються інваріантні властивості системи, незалежні від вибору канонічних змінних. Фундаментальні дужки Пуассона мають квантово-механічний аналог - переставні відношення Гейзенберга.

44. Принцип екстремальної дії.Дія. Принцип Гамільтона

Рівняння Лагранжа були отриман іраніше з рівнянь Ньютона для системи пов'язаних матеріальних точок за допомогою принципу віртуальних переміщень та принципу Даламбера - Лагранжа. Однак рівняння Лагранжа можна отримати з загального теоретичного принципу, що носить назву варіаційного принципу екстремального (інодістаціонарного) дії. (Він же називається принципом Остроградського-Гамільтона.) Принцип екстремального дії поширення речником не тільки на механічні, а й на квантово-механічним-етичнісистеми, поля, тому він має найважливіше теоретичне значення.

Принцип екстремальногодіїможе бути застосований до складнихвиммеханічним системам зізв'язками. Однакрівняння для таких систем вжеотриманііззагальногорівняннямеханіки. Особливо важливо, що принцип екстремальногодіїзастосуємо для довільних систем у фундаментальнихсилових полях, а також для самих полів як систем з нескінченним числом ступенівсвободи. Зцієї причини принцип дозволяєотримуватифундаментальнірівнянняфізики як в механіці, так і за її межами.

Ми застосуємо принцип екстремальногодії для знаходженнярівняньрухувільної точки в потенційному і узагальнено-потенційномуполі.

Якщоповедінкасистемиописуєтьсяузагальненими Координатами (і деякими параметрами, такими, як маса, заряд) і відомафункція Лагранжа то можнаскластиінтегралдії:

Ця величина маєрозмірність «енергіячасу».

Зауважимо, що в попередніх параграфах описувалосянахождняфункції Лагранжа в процесі переходу віддекартовихкоорДіната до узагальнених за допомогоюрівняньзв'язку, понять узагальненоноїсили, кінетичноїенергії і потенційної. Зараз передвважаємо, щофункція Лагранжа задана.

Для визначення стану системи з s ступенями свободивибрано s узагальнених координат. Ввівшиконфігураційне простір s вимірів, можнарозглядатиузагальненікоординати Як яккоординати точки s вимірного простору. При русі система замінюєтьсяоднієїзображує точкою, щорухається в конфігураційномупросторі. Ця точка в просторіконфігураційописуєкриву, яку умовноможнаназватитраєкторієюрухусистеми.

Нехай маємо два станисистеми: у момент часу стан системивизначається точкою А простору конфігурацій, а в момент - точкою В. Принцип стаціонарноїдіїполягає в твердженні: з усіхрухів,які переводять системузі стану А в момент часу стан В у момент часу в дійсностіздійснюється те, для якогозвертається в нуль варіаціяінтеграладії:

Звернення в нуль варіаціїдії є необхідною умовою його екстремуму. Цієюо бставиною і пояснюється назва принципу.

45. Одновимірний гармонічний осцилятор

Одновимірним називають рух системи з одним степенем вільності. Розглянемо систему точок зі стаціонарними потенціальною силою та ідеальними зв'язками. Для неї виконується закон збереження повної механічної енергії: E=T(q,)+U(q)=const, де q є значенням кінет.енергії, тому можна провести аналіз по графіку зі значеннями E, q. Маємо криву. Вона матиме одну потенційну яму, і потенційний бар'єр. Точки переходу з ями до бар'єру наз. точками зупинки. В цих точках потенційна енергія =повній механічній, а кінетична =0. Цим точкам відповідає певне значення кін.енергії q1, q2 ,q3. Рух на відрізку (q1, q2) є обмеженим, так як знаходиться в ямі, і наз.фінітним. Одновимірний фінітний рух є коливальним. Кінетична енергія завжди додаткова величина E- U(q)?0.

Одновим.рух сис.мат.т. забезпечується зв'язками.Н-д, мат. і фізичні маятники, поворот твердого тіла навколо нерухомої осі. Але одновим. може бути і рух вільної матеріальної точки,н-д,прямолінійний рух.

Осциллятор - це система, що здійснює коливання. Якщо система здійснює прості гармонічні коливання з циклічною частотою W0 , амплітудою А, б- початкова фаза з рівнянням X=Asin(w0t+б), то ми маємо гармонічний осциллятор.

А та б є визначаються початковими умовами руху.

В класичній фізиці функція Гамільтона для одновимірного гармонічного осцилятора має вигляд:

H=

де px- імпульс частинки, м- її маса, x- відхилення від положення рівноваги, а щ0- власна циклічна частота осцилятора. Необхідно відзначити, що гармонічний осцилятор є до деякої міри ідеалізацією, оскільки значення потенціальної енергії

U(x)=

означає, що по мірі віддалення від положення рівноваги сила необмежено зростає. У всіх реальних випадках, починаючи з деяких значень амплітуди, починаються помітні відхилення від гармонічності, а при дуже великих відхиленнях - сила взаємодії прямує до нуля, а U - до постійної величини. Проте для невеликих амплітуд коливань цілком доречно користуватися поняттям гармонічного осцилятора



46. Коливання систем з багатьма ступенями вільності

Нехай q1 і q2 узагальнені координати системи, причому що q1=0 і q2=0 відповідають положенню стійкої рівноваги. Тоді для потенціальної енергії системи U(q1,q2), будемо мати наступну умову: U(0,0)=0, ( )0=0, ( )0=0. Розкладамо потенціальну енергію в ряд:

U(q1,q2)= U(0,0)+ ( )0 q1 +( )0 q2++…

Введемо позначення:

, , .

Тоді наближена потенціальна енергія дорівнює: U(q1,q2)=. Для кінетичної енергії системи одержимо однорідну квадратичну форму:

T=(m1,1m1,2+m2,2

Система двох лінійних диф. Рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами, описує малі вільні коливання механічної системи з двома ст. вільності:

,



Знайдемо розвязання системи у вигляді комплексних функцій: q1=A1 q2=A2, По фізичному смислу число являється власною частотою системи і рівне числу степенів вільностей системи.

47. Рівняння руху точки в центрально - симетричному полі

До поняття центрально-симетричного поля в механіці приходять у зв'язку з розглядом взаємодії двох матеріальних точок. Спочатку в цьому випадку треба розглянути рух однієї (зображуючої) точки з приведеною масою під дією сили взаємодії між точками в системі відліку з нерухомим центром мас, тобто рух матеріальної точки в центрально-симетричному полі, а потім перейти до руху кожної точки.

Раніше встановлено, що під дією внутрішніх сил центр мас системи рухається рівномірно і прямолінійно. Зв'яжемо з ним деяку систему відліку, яка є інерціальною, і в ній розглядатимемо рух зображуючої точки під дією центральною сили, яка залежить тільки від відстані між точками, тобто ; аналогічний вираз і для потенційної енергії U = U (r).

Оскільки вектор моменту імпульсу = m'[ ] зберігається у разі центральної сили по модулю і напряму, то вусі r лежати в одній площині, тобто траєкторією є плоска крива, поэто-му у зображуючої точки два ступені свободи, і для випадку цент-рального поля доцільний вибір полярних координат в площині руху з качаном в центрі мас. У них інтеграл моменту імпульсу має вигляд :, а інтеграл енергії запишеться формулою

Щоб отримати рівняння зі змінними, що розділяються:



Перший член в цьому рівнянні представляє кінетичну енергію при радіальному русі точки, яка завжди позитивна. Другий член тепер не містить швидкості і називається центробіжною потенційною енергією. Таким чином, потенційна енергія може вважатися такою, що складається з двох частин:

Вираз прийнято називати ефективним потенціалом. Він може бути позитивним, негативним і нулем залежно від співвідношення модулів відцентрового і звичайного потенціалу і від знаку потенціалу U(r). Використовуючи позначення Ue, знаходячи з і розділяючи змінні в рівнянні, отримуємо інтеграл рівняння руху

t=

Якщо обчислити інтеграл, то при будь-кому заданому U(r) знайдеться одне кінематичне рівняння руху точки r = r(t). Аналогічно виходить інше рівняння з

,

що при знайденому r(t) дає можливість отримати ??(??). Завдання про рух точки в центральному полі U(r) вирішене: напрям вектора моменту імпульсу дозволяє встановити площину, в якій рухається точка, а його модуль, - значення енергії і початкове положення точки - вибрати необхідне часткове рішення. Неважко в загальному вигляді отримати і рівняння траєкторії. Для цього з рівності (27.6) визначимо dt і підставимо в, після чого отримаємо, розділяючи змінні і інтегруючи:

Наявність двох знаків пов'язана з симетрією траєкторії, яка видно в конкретних випадках

48. Закони Кеплера

Перший закон. Кожна з планет рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Необхідно тільки відзначити, що з урахуванням руху Сонця фокус еліпса планети співпадає не з центром Сонця, а з центром мас системи.

Другий закон. Радіус-вектор планети в рівні проміжки часу описує рівні площі.

Третій закон. Квалрат переоду обертання планети навколо сонця прямопропорційний кубу довжини великої півосі еліпса. Виведемо його, використовуючи формулу . Маємо: Або .

Переходячи до гравітаційної постійної і масі планети, отримаємо:

,

І остаточно:

,

Сталу С виразимо через піввісь еліпса і період обертання планети, а також пригадаємо значення параметра



,

Тут - піввісь еліпса, по якій рухається точка, оскільки брався до уваги рух Сонця. Вимірюються піввісь орбіт планет:

,

Отже для піввісі планети маємо:

,

Третій закон Кеплера виявився наближеним: відношення залежить від маси () величина досить мала.

49. Рух частинок в кулонівському полі. Формула Резерфорда

Закон Кулона для взаємодії двох точкових електричних зарядів, як відомо, виражається формулою

=k, де k=9*109Н*м2/Кл2

Розглянемо завдання про визначення траєкторії а-частини, рухомою в полі ядра атома. У цьому завданні виходять формули Резерфорда для розсіяння б-частинок, що є ядрами гелію і що мають заряд 2е. Масу б-частіци позначимо m. Ядро розсіюючого атома має заряд Ze. Його масу вважаємо великою і рухом ядра нехтуємо. Потенційна енергія б-частіци

в полі ядра буде U =2kZe2\r, і за будь-яких початкових умов повна механічна енергія б-частіци позитивна, тобто Е > 0. Траєкторією руху в даному випадку є гіпербола, фокус якої співпадає з положенням розсіюючого ядра.

На малюнку 28.1 зображена траєкторія руху б-частіци і показані її елементи. АС - асимптота гіперболи, співпадаюча з напрямом початковій швидкості б-частіци, DB - друга асимптота, що визначає напрям швидкості б-частіци після розсіяння. Розсіююче ядро знаходиться в правому фокусі F1. Кут між асимптотами - кут розсіяння, а і b - дійсна і уявна піввісь гіперболи - відстань від центру до фокусу гіперболи.

Відстань від розсіюючого центру до асимптоти F1С=b є найменша відстань, на яке а-частіца пролетіла б від ядра за відсутності відштовхування. Ця відстань називається прицільною відстанню. Фактично найменша відстань, на якій частинка пролітає від ядра, є відстань від вершини гіперболи Е до фокусу F1. Цю відстань позначимо через q, а через - кут між асимптотою і дійсною віссю гіперболи F1F2

Встановимо зв'язок між параметрами системи б-частіца - ядро і кутом відстані . У результаті кут розсіяння повинен бути виражений через масу і швидкість частинки, її заряд і заряд ядра, прицільну відстань b, що характеризує взаємне положення ядра і налітаючої частинки.

Після не складних обрахунків ми отримаємо результат:

b=ctg,

що дає відповідь на поставлену задачу.

Але у випадку мікрочастинок прослідкувати за рухом окремих мікрочастинокв усіх деталях неможливо, тому співвідношення безпосередньо не застосовується.

Размещено на Allbest.ru

...