Уравнения математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уравнения математической физики



Содержание

1. Основные типы уравнений математической физики

2. Нормальное и аномальное поле силы тяжести. Редукции силы тяжести

3. Численное интегрирование функций. Оптимальные квадратурные формулы. Оценка погрешности квадратур

4. Методы разделения и трансформаций аномалий потенциальных полей. Истокообразные аппроксимации

5. Методы обработки сейсмических данных. Фильтрация, деконволюция

6. Распространение волн в слоистых средах. Преломлённые и отражённые волны. Годографы

7. Методы решения прямой задачи сейсмики в неоднородной среде. Лучевые и волновые методы

8. Свёрточная модель в сейсморазведке. Преимущества, недостатки и границы применения

9. Методы регуляризации при решении обратных задач геофизики. Использование априорной информации. Определение параметров регуляризации

10. Эквивалентность и эпсилон-эквивалентность при решении обратных задач геофизики

11. Статистическая постановка задачи качественной интерпретации. Критерии оптимальности

12. Количественная интерпретация и теория оптимального оценивания

13. Спектральные методы в задачах обработки и интерпретации геофизических данных



1. Основные типы уравнений математической физики

Уравнемние Гельмгомльца -- это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

{\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f} где

{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}

-- это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Rⁿ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3).

Случай однородного уравнения Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе.

Уравнемния Навьем -- Стомкса -- система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье -- Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач.В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений:

· уравнения движения,

· уравнения неразрывности.

В гидродинамике обычно уравнением Навье -- Стокса называют только одно векторное уравнение движения. В векторном виде для жидкости они записываются следующим образом:

где {\displaystyle \nabla } -- оператор набла, {\displaystyle \Delta } -- векторный оператор Лапласа, {\displaystyle t}t -- время, {\displaystyle \nu }х -- коэффициент кинематической вязкости, {\displaystyle \rho }с -- плотность, {\displaystyle p}p -- давление,

{\displaystyle {\vec {v}}=(v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})}

-- векторное поле скоростей, {\displaystyle {\vec {f}}} -- векторное поле массовых сил

Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например, фильтрации нефти и газа в подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

Волновое уравнение:

волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

Уравнение Лапласа:

уравнение Лапласа с тремя независимыми переменными имеет вид

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

Уравнемние Пуассомна (Симеона Дени Пуассона) --эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

· электростатическое поле,

· стационарное поле температуры,

· поле давления,

· поле потенциала скорости в гидродинамике.

Это уравнение имеет вид: {\displaystyle \Delta \varphi =f,}

где {\displaystyle \Delta } -- оператор Лапласа, или лапласиан, а {\displaystyle f} --вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

2. Нормальное и аномальное поле силы тяжести. Редукции силы тяжести

1. {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}

Нормальным полем считается теоретически рассчитанное поле для поверхности эллипсоида вращения или сфероида, которым в первом приближении является Земля. Величина сжатия земного эллипсоида равна:

б = (a - b) / a ? 1 / 300

где а и b - большая и малая оси эллипсоида (а - b = 21,38 км)

Задача о распределении силы тяжести на поверхности сфероида была решена французским математиком Клеро в 1743 году. Исходя из допущения, что Земля состоит из однородных жидких слоев, плотность которых увеличивается к ее центру, он вывел формулу для вычисления величины нормальной силы тяжести go в зависимости от географической широты ц пункта Земли. В упрощенном виде она выглядит следующим образом:

go = gЭ (1 + в sin2 ц),

где gЭ - значение силы тяжести на экваторе; в - числовой коэффициент, определяющийся соотношением центробежной силы и силы тяжести на экваторе.

Путем многочисленных измерений силы тяжести на поверхности Земли и на основе теоретических разработок о распределении плотности внутри нее, были получены значения числового коэффициента для этой формулы. Практически, из-за того, что разные авторы использовали различные исходные данные и предпосылки, существует несколько формул определения go.

В действительности Земля имеет более сложную форму и более сложное внутреннее строение. Поэтому наблюдаемое на реальной поверхности гравитационное поле будет отличаться от нормального поля. Как известно, разность между наблюденным полем и нормальным составляет аномальную часть. В общем виде аномальное поле можно представить как:

?g = gн - go

где gн - наблюденное поле силы тяжести.

Однако помимо внутреннего строения земной коры в наблюденное поле силы тяжести входит влияние некоторых приповерхностных факторов. Чтобы их исключить вводят ряд поправок (редукций) - за высоту пункта наблюдений над уровнем моря; за влияние промежуточного слоя пород, заключенного между уровнем моря и дневной поверхностью; за влияние окружающих точку наблюдения масс рельефа.

Редукция - процесс приведения наблюденных значений силы тяжести к таким условиям, при которых они были бы эквивалентны значениям, полученным на уровне моря (или уровенной поверхности).

Редуцирование выполняется посредством ввода ряда поправок.

1.

Поправка за высоту:

Отсюда можно найти

Поправка () за высоту точки наблюдения учитывает убывание силы тяжести с высотой предположении, что между точками наблюдения и уровнем моря массы отсутствуют. Такая поправка называется поправкой в свободном воздухе или поправкой Фая.

2.

Поправка за промежуточный слой учитывает влияние масс, находящихся между точками наблюдения и уровнем моря (приведения). Гравитационный эффект от промежуточного слоя рассчитывается как от плоскопараллельной пластины, безграничной и однородной по составу.

Тогда для плоскопараллельного слоя можно записать:

(3)

где - плотность промежуточного слоя.

обычно вводится со знаком "-", так как наличие промежуточного слоя ведет к увеличению силы тяжести.

Суммарная поправка за высоту точки наблюдения и за притяжение промежуточного слоя называется поправкой Буге:

(4)

По результатам гравиметрических съемок строят карты аномалий Буге с плотностью промежуточного слоя 2000, 2300 и 2670 кг/(стандартные плотности для расчетов, принятые в СССР).

(5)

Для геологической интерпретации строятся карты и графики аномалий Буге, которые строятся можно рассчитать по формуле (5). Неправильный выбор плотностей промежуточного слоя приведет к ложным результатам, поэтому в каждом конкретном случае плотность слоя должна быть строго обоснована и доказана.

3. Поправка за рельеф местности. вводится при значительных превышениях рельефа, окружающего точку наблюдения (например, в горизонтальной местности). Поправка всегда положительная, т.к. и отрицательные, и положительные формы рельефа уменьшают измеряемое . Для определения поправок за рельеф существуют различного рода таблицы, номограммы и палетки (Лукавченко П.И., Березкина В.М. и др.)

4. Поправки за притяжение Луны и Солнца составляют соответственно 0,25 мГл и 0,1 мГл и необходимы для учета влияния близлежащих небесных тел на наблюдения с гравиметрами.

После введения всех поправок можно сравнить наблюденное и нормальное поля. Разность между наблюденным и нормальным полем будет определяться плотностными неоднородностями и выражаться в виде положительных и отрицательных аномалий. В результате обработки и интерпретации таких аномалий можно судить о внутреннем строении Земли.



3. Численное интегрирование функций. Оптимальные квадратурные формулы. Оценка погрешности квадратур

Численное интегрирование -- вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона -- Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Одномерный случай

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральнойфункции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценкизначения интеграла получаются формулы вида

где -- число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки называютсяузлами метода, числа -- весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной

Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы

Каждая из сумм -- интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция -- положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатойфигуры, составленной из "входящих" прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из "выходящих" прямоугольников. Чем меньше длинаотрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомогоинтеграла.

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечныезначения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковойдлины h:

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имееточень простой вид

.

Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем

Где

.

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большойошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный методдля оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинномузначению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждомшаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешностивычислений используется правило Рунге.

Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкийпорядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников итрапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляемзначения функции f(x), то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получитьметоды более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значенийподынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя n точек, можно получить метод с порядком точности 2n ? 1. Значения узловметода Гаусса по n точкам являются корнями полинома Лежандра степени n.

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболееизвестен метод Гаусса по пяти точкам.

Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) путиоценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисленияподынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакоговыигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждомновом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

,

где x_i -- узлы метода Гаусса по n точкам, а 3n + 2 параметров a_i, b_i, y_i подобраны таким образом, чтобыпорядок точности метода был равен 3n + 1.

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

,

где I_G -- приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по n точкам. Библиотеки gsl иSLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.

Метод Чебышёва

Интегрирование при бесконечных пределах

Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастаютпри стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которойпределы будут конечны. Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезкаинтегрирования

Численное интегрирование

Задача численного интегрирования состоит в замене исходной подинтегральной функци

и f(x), для которой трудно или невозможно записать первообразную в аналитике, некоторой

аппроксимирующей функцией ц(x). Такой функцией обычно является полином (кусочный полином

) .

То есть

: ,

Где

- априорная погрешность метода на интервале интегрирования,

а r(x) - априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.

Обзор методов интегрирования.

Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными (для кратных интегралов

- кубатурными).

Методы Ньютона-Котеса. Здесь ц(x) - полином различных степеней. Сюда относятся метод

прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Здесь узлы сетки для квадрату

рного или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел,

ответ носит вероятностный характер. В основном применяются для вычисления кратных интегралов.

Сплайновые методы. Здесь ц(x) - кусочный полином с условиями связи между отдельным

и полиномами посредством системы коэффициентов.

Методы наивысшей алгебраической точности. Обеспечивают оптимальную расстановку

узлов сетки интегрирования и выбор весовых коэффициентов с(x) в задаче

. Сюда относится метод Гаусса-Кристоффеля (вычисление несобственных интегралов) и метод Маркова.

Погрешность квадратурных формул

Один из возможных способов оценки точности построенных формул состоит в следующем. Рассмотрим интеграл по элементарному отрезку:

Выберем на этом отрезке какую-либо "опорную" точку x = z и разложим подынтегральную функцию в ряд по формуле Тейлора относительно этой точки:

-- остаточный член используемой формулы Тейлора.

Вычисляя интеграл от последней суммы, получаем представление в виде:

(3.9)

где коэффициенты A, B, … зависят от значения производных в точке z: …

Заметим далее, что каждая из рассматриваемых квадратурных формул (прямоугольников, трапеций и Симпсона) в пределах элементарного отрезка может быть представлена следующим образом:

(3.10)

со своими коэффициентами r, s, q.

Заменяя в (3.10) каждое из значений функции f по формуле Тейлора относительно той же точки z, получим представление приближенного значения в виде, аналогичном (3.9):

(3.11)

Сравнивая представления (3.9) и (3.11), обнаруживаем, что кроме первых слагаемых в (3.9), (3.11) совпадает еще некоторое количество (p - 1) слагаемых, так что … Несовпадающие слагаемые характеризуют ошибку квадратурной формулы. Оценивая величины этих слагаемых, приходим к оценке для локальной (на интервале ) погрешности

где D -- числовая константа, а -- p-я производная функции

Суммируя локальные погрешности по всем интервалам, получим требуемую оценку погрешности рассматриваемой формулы интегрирования:

(3.12)

Где

по всему отрезку [a, b] (если шаг интегрирования не постоянен, т. е.

то ).

Степень p в (3.12) принято называть порядком точности квадратурной формулы.

Для рассмотренных квадратурных формул полученные таким образом оценки погрешности имеют вид:

-- для формулы прямоугольников;

-- для формулы трапеций;

--

для формулы Симпсона в случае, когда используются узлы с дробным индексом (3.8) и

-- для (3.8а).

Замечание 1. Для формулы трапеций приведенную оценку можно было бы получить, интегрируя по элементарным отрезкам выражение для остаточного члена соответствующего интерполяционного полинома.

Замечание 2. Полученные оценки погрешности, как следует из их вывода, зависят от гладкости подынтегральной функции. Например, при наличии 4-х (и выше) производных y формула Симпсона обеспечивает 4-й порядок точности. Если же только трижды непрерывно дифференцируема на [a, b], то точность формулы Симпсона на порядок уменьшается.

Если известны оценки для абсолютных величин соответствующих производных, то, используя (3.12), можно a priori (до проведения расчета) определить шаг интегрирования h = const, при котором погрешность вычисленного результата гарантировано не превышает допустимого уровня погрешности e. Для этого, как следует из (3.12), достаточно решить относительно h неравенство

Однако типичной является ситуация, когда величины нужных производных не поддаются оценке. Тогда контроль за точностью вычисляемых результатов можно организовать, проводя вычисления на последовательно сгущающейся сетке узлов интегрирования.

4. Методы разделения и трансформаций аномалий потенциальных полей. Истокообразные аппроксимации

На величину гравитационных и магнитных аномалий в каждой из точек наблюдения оказывают влияние все геологические объекты Земли. Аномальные поля из-за этого оказываются достаточно сложными, что не только затрудняет их геологическое истолкование, но во многих случаях мешает даже их визуальному обнаружению. Для упрощения обнаружения и геологической интерпретации естественно прибегнуть к разделению сложных полей на более простые компоненты, истолковать их порознь, а затем, собрав воедино полученные частные модели, синтезировать общую модель изучаемой части Земли. Эта идея, возникнув на ранних этапах развития разведочной геофизики, получила широчайшее распространение, приведя к разработке многих сотен разнообразных приемов разделения аномалий. Вместе с тем, следует отметить, что, несмотря на кажущуюся простоту, задачи разделения фактически оказываются весьма сложными.

Покажем на примерах основные причины возникновения указанных сложностей. Главной из них является рассмотренная в первой главе эквивалентность полей различных объектов, приводящая к отсутствию единственности решения обратных задач. Проявления эквивалентности чрезвычайно разнообразны. Так на рис. 44 представлены два находящихся друг под другом объекта одинаковой плотности, гравитационные аномалии которых практически эквивалентны. Очевидно, аномалии этих тел разделить невозможно, если не знать исходное поле со столь высокой точностью, которая недоступна для современных гравиметров. Более того, приведенный ранее пример с контактной поверхностью в форме конхоиды Слюза показывает теоретическую возможность существования объектов, поля которых совпадают абсолютно и, следовательно, их принципиально нельзя разделить. Таким образом, при разделении аномальных полей от объектов, расположенных на разных глубинах, из-за влияния эквивалентности в ряде случаев могут возникать серьезные осложнения.

Не столь очевидно, что подобные трудности могут возникать и при разделении аномалий от тел, разнесенных по горизонтали. Довольно распространено заблуждение, сводящееся к тому, что гравитационная аномалия от объекта всегда локализуется непосредственно над ним, но для неоднородных объектов это не так. На рис. 45 показана гравитационная аномалия от неоднородного объекта, состоящего из частей с различными положительными и отрицательными избыточными плотностями, причем экстремум графика находится далеко в стороне от этого объекта. Такую же аномалию создает однородный объект, расположенный непосредственно под экстремумом. Аналогичный пример легко построить и для магнитных аномалий. Теоретически не исключается ситуация, при которой гравитационные и магнитные аномалии объекта локализуются даже в другом регионе за тысячи километров от него.

Очевидно, аномалии и от таких практически эквивалентных объектов крайне сложно разделить.

Эквивалентность является препятствием для разделения как гравитационных, так и магнитных полей. Кроме того, разделение магнитных аномалий осложняется за счет взаимного влияния намагниченных тел. Если два магнитных тела расположены близко друг к другу, то каждое из них намагничивается не тольк в земном магнитном поле и собственном аномальном (размагничивающем) поле, но также и в аномальном поле соседнего тела. В итоге общая аномалия составного объекта U окажется суммой не двух, а трех составляющих:

U = U1 + U 2 + U вз, (23.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

где U1

и U 2

- поля тел, а

Uвз

- поле взаимовлияния между ними. На рис. 46 показаны эти

составляющие для аномалий ДT модели двух магнетитовых рудных тел с магнитной восприимчивостью 3 СИ. Таким образом, магнитные аномалии, строго говоря, вообще принципиально невозможно разделить, не зная заранее геологического строения. В гравиразведке подобного эффекта нет, поскольку в гравитационном поле отсутствует поляризация тел.

Аномалия взаимовлияния тел определяется их формой, величиной магнитной восприимчивости k и расположением по отношению к намагничивающему полю. Если

k ® 0 , то и

U вз ® 0. В связи с этим для слабомагнитных объектов взаимовлиянием их

частей обычно пренебрегают и разделяют магнитные аномалии так же, как гравитационные.

Однако, применять такой прием надо с осторожностью, оценивая возможные погрешности, как

это делается при решении прямой задачи с учетом размагничивания. Напомним, что

Uвз

заведомо меньше 1 нТл только для объектов, магнитная восприимчивость которых менее

634 Ч10-5 СИ.

Таким образом, строгое разделение гравитационных и магнитных аномалий в общем случае - невозможно. Оно является некорректной операцией и чаще применяется на начальных этапах интерпретации для выделения, выявления в визуально обнаруживаемой форме информации об отдельных составляющих аномального поля. Вместе с тем, в отдельных частных случаях задача разделения поддается решению, для чего интерпретатор должен привлекать всю имеющуюся априорную информацию.

К настоящему времени предложено несколько тысяч способов разделения, основанных на различных идеях извлечения информации и опирающихся на разный объем требуемых для их применения априорных сведений. В зависимости от объема и вида требуемой априорной информации большинство способов можно отнести к четырем основным группам, указанным в таблице 3.

Для исключения из аномального поля составляющих, связанных с известными объектами, применяют геологическое редуцирование. Оно сводится к вычислению поля этих объектов и вычитанию его из наблюденного поля, при этом требуется достаточно большой объем априорной информаци.

Таблица 3.

Группа способов разделения	Объем требуемой информации
Геологическое редуцирование	Детальные сведения о форме, расположении некоторых из объектов и об их физических свойствах
Корреляционные способы	Сведения о характеристиках некоторых объектов на эталонных профилях или площадях
Трансформации	Сведения о возможном спектральном составе различных составляющих
Аппроксимационные способы	Общие представления о характере возможных источников аномалий

Если столь подробных сведений об изучаемых объектах нет, но есть достоверная информация об аналогичных объектах в исследуемом районе на отдельных эталонных профилях или площадях, для разделения применяют корреляционные способы. Они заключаются в установлении на эталоне корреляционных связей между какой-либо из составляющих поля и параметрами интересующего объекта с последующим применением найденных связей для выделения требуемой составляющей на всей площади исследований.

Эти две группы способов разделения активно опираются на априорную геологическую информацию и всегда дают возможность геологически содержательного истолкования разделяемых компонент. Более формальный характер имеют две другие группы: трансформации и аппроксимационные способы.

Трансформации состоят в подавлении мешающей компоненты поля и наиболее четком выделении интересующей компоненты. Фактически они сводятся к пространственной фильтрации аномального поля в скользящих окнах.

Аппроксимационные способы заключаются в приближении какой-либо из составляющих поля функцией с заданными свойствами. С одной стороны, аппроксимирующими функциями могут быть, например, полиномы, то есть функции, не имеющие строгого геологического соответствия. С другой стороны, для аппроксимации могут применяться и функции, описывающие поля некоторых физических объектов, хотя и не обязательно именно тех, которые реально существуют на исследуемом участке. Среди последних наиболее часто используют поля формальных источников: точечных и линейных масс, диполей, пластинок, стержней и т. п.



5. Методы обработки сейсмических данных. Фильтрация, деконволюция

Обработка состоит в преобразовании данных с целью извлечении полезной информации. Интерпретацией называют физико-геологическое истолкование результатов обработки.

Следует обратить внимание на принципиальное различие между процессами обработки и интерпретации. Операции, относящиеся к стадии обработки, могут быть полностью формализованы.

Это позволяет построить алгоритм - последовательность вычислительных и логических операций, однозначно преобразующих исходные данные в информацию желаемого вида.

В зависимости от характера взаимодействия геофизика с компьютером различают пакетный и интерактивный режимы обработки.

В первом случае одновременно обрабатываются достаточно большой объем исходных данных по заранее установленному графу с предварительно подобранными параметрами процедур. По существу это производственный режим обработки.

Во втором случае обработка выполняется на ограниченном объеме типичных исходных данных в процессе "диалога" геофизика с компьютером и имеет целью выбор и тестирование рациональной последовательности и оптимальных параметров процедур. По существу это - настроечный режим, в котором формируется граф последующей пакетной обработки.

В методе общей глубинной точки (МОГТ) для каждой точки профиля (xi) получается несколько (N) сейсмотрасс, т.е. запись с разных пунктов возбуждения (ПВ) и сейсмоприемников (ПП), расположенных симметрично от xi (точки записи).

При такой системе наблюдений во всех точках профиля последовательно могут располагаться ПВ и ПП, а число таких перестановок равно кратности перекрытий (N).

Поскольку, кроме однократных волн, на сейсмограммах регистрируется множество многократно отраженных волн от всех границ раздела, то они маскируют полезные однократные волны. Целью обработки данных МОГТ и является хотя бы частичное подавление многократно отраженных волн.

Для этого используются сложные многоступенчатые приемы суммирования всех N сейсмотрасс с введением в них кинематических поправок и получением так называемых суммотрасс. Обработка требует больших расчетов и выполняется в автоматическом режиме на ЭВМ.

Основу цифровой обработки сейсмических данных составляют три вида математических операций:

- преобразования Фурье,

- свертка (конволюция) сигналов,

- корреляция.

Преобразования Фурье преобразуют функции во временной области (например, короткий импульс при возбуждении упругой волны) в функции в частотной области (например, длительная гармоническая запись сигнала, снимаемого с сейсмоприемника) и обратно.

Важно, что информация в ходе таких преобразований принципиально не теряется, но ее обработка более удобна и наглядна иногда в частотной, иногда во временной областях.

Свертка сигналов - это математическое решение задачи фильтрации, т.е. операция замещения каждого элемента входного сигнала некоторым выходным с определенной весовой функцией. Один из этих сигналов берется перевернутым, т.е. в противофазе.

Корреляция выявляет меру сходства двух последовательностей (выборок каких-то данных). Она аналогична свертке, только без переворота одной из функций. Например, с помощью метода взаимной корреляции определяется сходство сигналов двух трасс записей сейсмоприемников. Для улучшения сходства в один из каналов можно ввести временной сдвиг.

Целью разных методов цифровой обработки является увеличение отношения сигнал/помеха, чтобы надежно отфильтровать кратные и другие волны-помехи, прокоррелировать оси синфазности полезных однократно отраженных или преломленных волн, определить время их прихода по всем трассам и изменение амплитуд сигналов по ним.

Процедуры обработки.

В большинстве случаев выделение полезных сигналов (волн) из записанной в поле волновой картине затруднено различными мешающимися колебаниями, которые необходимо ослабить. С этой целью выполняют фильтрацию сейсмических записей.

В сейсморазведке давно замечено, что обычно регистрируемые полезные сейсмические волны и волны- помехе в среднем достаточно заметно различают между собой по частотному спектру и диапазону.

Это могут быть:

- преломленные, рефрагированные и многократные отраженно-преломленные волны (5-50 Гц, 1000-2000 м/с),

- поверхностные волны релеевского типа (3-30 Гц, 100-1000 м/с),

- многократно-отраженные волны (10-60 Гц, 1500 и более м/с)

- случайные помехи микросейсмы (10-100 Гц),

- электрические наводки (48-52Гц)

- звуковые волны (60-125 Гц, 300-350 м/с)

При различиях спектрального состава полезной и мешающей компонент волнового поля применяют одноканальную частотную фильтрацию. То есть фильтр имеет один входной канал.

Различные виды фильтров - граничные, полосовые, режекторные, обратные, корректирующие - могут использоваться совместно и многократно в процессе обработки. Фильтрацию выполняют как во временной, так и в частотной области.

К одноканальным преобразованиям сейсмической записей относится также модификация амплитуд.

Модификация амплитуд:

- компенсирует ослабление интенсивности полезных волн со временем;

- сжимает ослабление интенсивности полезных волн со временем;

- сжимает динамический диапазон колебаний;

- устанавливает средний уровень их амплитуд при визуализации волновой картины.

Если полезный сигнал значительно сильнее помехи. В таких благоприятных условиях обнаружение полезных волн не вызывает затруднений, поскольку высока амплитудная разрешенность записи.

В этом случае перед частотной фильтрации можно ставить задачу сокращения сейсмической записи за счет некоторого снижения избыточной амплитудной разрешенности.

Критерием оптимальности фильтрации может служить условия минимального среднего квадратического отклонения амплитуд выходного сигнала от амплитуд заданного импульса короткой длительности. Чаще всего в качестве такого импульса выступает единичный импульс. Фильтр, осуществляющий такое преобразование, называют оптимальным обратным фильтром. Часто такой тип фильтрации называют деконволюцией.

Возможности фильтрации значительно возрастают, если волны-помехи отличаются от полезных колебаний кажущимися скоростями. Тогда применяют многоканальную пространственно-временную фильтрацию волновой картины.

Среди наиболее распространенных следует назвать группирование приемников и источников, веерную и когерентную фильтрации, вычитание волн-помех, суммирование по общей глубинной средней точки.

Большинство применяемых в сейсморазведке фильтров одноканальных и многоканальных, являются линейными. Их характеристики могут быть постоянными либо изменяться в процессе фильтрации, если изменяются свойства полезных и мешающих волн. Наиболее общим случаем является многоканальная фильтрация, переменная во времени и пространстве.

Результативность обработки зависит от того, насколько экспериментальные данные соответствуют принятой теоретической модели.

К основным факторам, нарушающим это соответствие, относятся искажения времени прихода волн за счет неоднородностей верхней части разреза.

Такие искажения устраняют путем введения статистических поправок.

При введении статических поправок в сейсмическую трассу от наблюденных времен переходят к приведенным (исправленным) временам. Линию приведения располагают ниже ЗМС, возможно ближе к ее подошве, на такой глубине, где скорости упругих волн в верхней части разреза достаточно стабильны.

При расчетах статистических поправок исходят из допущения, что для всех волн, приходящих снизу, лучи в интервале от линии приведения до поверхности имеют вертикальное направление.

Такое допущение справедливо только в отношении пробега волн через ЗМС: из-за большой разницы скоростей vз и vп сейсмические лучи преломляясь на подошве зоны, проходят почти вертикально.

Таким образом, статистическая поправка - это разность действительного времени регистрации волны и расчетного времени ее прихода при условии, что точки возбуждения и приема колебаний находятся на заданной линии привидения.

Название поправки указывает, что она неизменна во времени, то есть, постоянна для каждой точки наблюдения.

Статистические поправки, вычисляемые по материалам изучения ЗМС называют априорными или расчетными.

Априорно рассчитанные статистические поправки зачастую оказываются недостаточно точными (не всегда полностью компенсируют временные сдвиги). Тогда приходится определять и вводить дополнительные, уточняющие поправки на основе анализа полевых записей. Эту процедуру называют коррекцией статистических поправок. Корректирующие статистические поправки это погрешности определения априорных статистических поправок.

Коррекцию статистических поправок выполняют в автоматическом или полуавтоматическом режимах - в зависимости от характера остаточных временных сдвигов.

Для преобразовании полевых записей в суммарный временной разрез принципиальное значение имеют две процедуры:

- введение кинематических поправок, которые приводят наблюденные времена к нормальным;

- и суммирование исправленных трасс по общим средним (глубинным) точкам.

При обработке выполняют введение кинематических поправок.

С их помощью устраняют различия во времени прихода волн, вызванные двумя факторами - неодинаковым удалением пунктов приема от пунктов возбуждения и наклоном отражающих границ.

Первый их них учитывают с помощью нормальных кинематических поправок, второй - с помощью дифферентных кинематических поправок.

Обычно априорных сведений о скоростях оказывается недостаточно для удовлетворительного определения поправок, что делает необходимым их уточнение, называемое коррекцией кинематических поправок.

Введение кинематических поправок преобразует наблюденный годограф отраженной волны в годограф нормальных времен - линию t0(x) которая в масштабе времени изображает сейсмическую границу.

Совокупность таких линий для однократных отображений образуют кинематический временной разрез по сейсмическому профилю. На них проводят корреляцию сейсмических горизонтов, то есть прослеживание и отождествление в пространстве осей синфазности однократных отражений.

Если отражающие границы пологие и отсутствуют резкие изменения пластовых скоростей, то временной разрез в большой степени подобен глубинному и пригоден для предварительной геологической интерпретации сейсмических построений.

Времена пробега полезных волн используют для определения сейсмических скоростей. По записям отраженных волн находят эффективные скорости - упрощенные оценки средних скоростей и покрывающей толще. Имея эти оценки для ряда границ, можно вычислить пластовые скорости в промежуточных слоях.

Оценки сейсмических скоростей по материалам полевых наблюдений отягощены искажениями систематического и случайного характера. Поэтому совокупность определений по отдельному профилю или по некоторой площади анализируют, систематизируют и осредняют. Этот процесс известен как обобщение скоростей.

Его задача - связать полученные оценки с априорнойыми сведениями о скоростях, прежде всего - с данными сейсмического каротажа, и установить закономерности их пространственного распределение. Полученные результаты в виде скоростных разрезов и кубов используют для последующих сейсмических построений.

Следующим шагом является суммирование трасс по общим средним точкам

Имея скоростные характеристики среды, можно по временным разрезам и кубам построить соответствующие глубинные сейсмические разрезы и кубы. При этом происходит учет сейсмического сноса, то есть переход от нормальных времен отражений t0 и, соответственно, от эхо глубин h к обычным (вертикальным) глубинам H

6. Распространение волн в слоистых средах. Преломлённые и отражённые волны. Годографы

I. Головные волны могут образовываться, когда на границе двух слоев выполняется условие: V. В среде с плоскопараллельными границами это условие может быть удовлетворено только в том случае, если скорость Vв n-ом слое превышает скорости Vво всех вышележащих слоях. Из закона преломления следует:

,

где iуглы, составляемые фронтом падающей волны в первом, втором и т.д. слоях с границей раздела.

В случае если в любом промежуточном k-ом слое (k) имеется соотношение V, то из закона преломления вытекает, что на поверхности n-го слоя не может возникнуть преломленная волна, так как для её возникновения крайне важно выполнения условия

Sini

В рассматриваемом случае не может образоваться преломленная волна .

Отсюда следует: преломленная волна образуется только при условии, что скорость в каждом последующем слое больше, чем в предыдущем, т.к. наличие низкоскоростного подстилающего пласта исключает возможность образования скользящей волны, а значит и головной. Это явление принято называть эффектом экранирования.

Исключение составляет, когда мощность экранирующего пласта мала по сравнению с длиной волны (h) или граница криволинњейная.

II. При наблюдении вдали от источника отраженные волны начинают приобретать черты, присущие преломленным волнам, т.к. в толще некоторый m-ный слой имеет скорость Vзначительно больше, чем в любом другом слое разреза, и угол преломления в этом слое будет увеличиваться (VVV). В результате волна большую часть пути проходит в слое m (рис.3.6). Такие волны называются подэкранными отраженными волнами (ПЭО). Интенсивность ПЭО по сравнению с головными волнами может быть соизмеримой, но во многих случаях подэкранные отраженные волны оказываются более интенсивными, чем головные.

O S x

V

V

V

Схема формирования подэкранных отраженных волн

Годограф

-- кривая, соединяющая концы вектора переменной величины (скорости, ускорения, силы и т.д), отложенного в разные моменты времени от одной точки^[1]. Годографы применяются в математике, механике, физике, астрономии^[2], сейсмологии и сейсморазведке^[3]. Впервые понятие годографа величины было введено в 1846 году ирландским математиком, механиком, физиком-теоретиком, сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном^[4]. Изначально строились годографы скорости, затем это понятие было распространено и на другие векторные величины^[5]. Самим Гамильтоном было доказано, что годограф скорости тела, находящегося под влиянием одной только силы тяготения, является окружностью[2].

Годограф скорости тела, брошенного горизонтально

Годограф тела, брошенного горизонтально
t,c	Vx, м/с	Vy,м/с	|V|,м/с	б°
0	10	0	10.00	0
1	10	-9.80	14.00	44
2	10	-19.60	22.00	62
3	10	-29.40	31.05	71
4	10	-39.20	40.45	75

7. Методы решения прямой задачи сейсмики в неоднородной среде. Лучевые и волновые методы

Прямой задачей сейсморазведки называется расчет времен прихода () и амплитуд () для той или иной волны для известного сейсмогеологического разреза, т.е. когда известны: мощности, глубины залегания, размеры тех или иных геологических объектов (чаще слоев) и скорости распределения упругих волн, а также место и форма источника. Строгое решение прямых динамических задач сейсмики неоднородных сред производится путем решения волнового уравнения вида:

(4.4)

где - скорость той или иной волны

( или ), - амплитуда или иное возмущение сигнала, распространяющееся в среде () на разных временах после его возбуждения. Решение этого уравнения с использованием граничных условий очень сложно и его удается выполнить лишь для простых моделей сред. Значительно проще решать кинематические задачи, т.е. определять время прихода той или иной волны (прямой, отраженной, преломленной и др.) для известной модели, зная лишь положение источника и момент возбуждения упругой волны. Традиционно простейшим результатом решения прямой задачи является получение уравнения годографа, или аналитического выражения для с дальнейшим построением годографа - графика зависимости времени прихода той или иной волны () от расстояния от пункта возбуждения до пункта приема ().

Самой простой прямой задачей сейсморазведки является получение годографа прямой волны, т.е. задачи, которую в других геофизических методах называют задачей о нормальном поле (см. рис. 4.2). Очевидно, что время прихода прямой волны после создания упругого импульса в пункте возбуждения или взрыва (ПВ) равно

.

Поэтому линейный годограф имеет вид прямой линии. По наклону прямой линии можно определить скорость

.

Возможности решения любой обратной задачи сейсмики строго ограничены видом скоростной функции, интерпретационноймоделью(илимодельюинтерпретации). Последняя накладывает ограничения на качественный вид скоростной функции. Она может быть непрерывной или иметь ступенчатые разрывы, возрастать или уменьшаться с глубиной и т.д. Каждая сейсмическая задача оперирует только с определенным типом скоростной функции или сейсмической моделью, которая задается как условие решения задачи, и поэтому в отличие от скоростных моделей сред они называются моделью интерпретации.

Рис. 1. Лучи и годографы преломленных (1) и отраженных (2) волн для различных скоростных моделей.

Не следует смешивать указанные два понятия. Скоростная модель среды показывает реальное распределение величин скоростей сейсмических волн в каждой точке пространства. Она не является самой средой, поскольку не определяет ни ее вещественного состава, ни структуры, а только один из физических ее параметров - скорость распространения упругих волн. Скоростные модели, полученные по сейсмическим наблюдениям, определяются методикой интерпретации и априорно не выходят за рамки интерпретационной модели.

Интерпретация на основе некоторой модели обусловлена видом волнового поля (т.е. типом волн), постановкой обратной задачи и возможностью ее решения. Например, для вычисления скоростной функции по годографу рефрагированной волны необходимо, чтобы скорость монотонно возрастала с глубиной и не содержала зон инверсий. Моделью интерпретации в данном случае является непрерывная возрастающая функция V(z).

Многие аналитические методы решения обратной задачи для годографа отраженной волны требуют, чтобы отражающая граница была плоской, а покрывающая толща однородной. Модель интерпретации в данном случае - ступенчатая скоростная функция с участками постоянного значения скорости.

Модель интерпретации определяется, прежде всего, условием однозначности решения задачи. Поскольку для различных типов волн эти условия формулируются по-разному, модель интерпретации зависит от объема и характера информации о волновом поле. Кроме того, она связана с используемым математическим аппаратом: при аналитических расчетах можно использовать только примитивные модели, при численных - более сложные. квадратура формула сейсмика слоистый

Таким образом, модель интерпретации определяется методом решения обратной сейсмической задачи, типом используемых волн, а главное - условием существования решения. Каждый метод интерпретации ограничен этими условиями, он не может дать никакой другой модели, кроме обусловленной заранее постановкой задачи. Поэтому модель интерпретации определяет возможности метода. Эффективность решения обратной задачи зависит от соответствия данной интерпретации скоростной модели среды.

При установлении связи между реальным распределением скорости в среде и сейсмической скоростной моделью большое значение имеют понятияэффективныхпараметровиэквивалентныхмоделей. Понятие эффективной скоростиV_эфбыло введено в практику сейсморазведки для определения правил аппроксимации сложных неоднородных сред однородными. Для этого среде приписывалась такая постоянная скорость, чтобы время распространения волн между данными точками пространства оставалось таким же, как и в реальной среде. Скорость, создающая такой же эффект во времени, была названа эффективной.

Величина V_эфимеет большое значение для определения внутренней связи между моделями данного волнового поля, которые строятся по различным типам зарегистрированных волн. Так, по первым вступлениям поля ГСЗ вычисляется непрерывная увеличивающаяся с глубиной функция V(x,z), по отраженным волнам - модель с постоянной скоростью или с участками ее инверсии. Связующим звеном между этими, на первый взгляд, противоречивыми моделями является равная эффективная скорость вплоть до данной отражающей границы.

Понятие эффективной скорости имеет простой физический смысл, ее можно сравнивать со средней скоростью в неоднородной среде. Возможны и более абстрактные эффективные параметры. Например, при решении динамических задач для многослойных сред трудно учесть все эффекты, связанные с явлением рассеивания и поглощения, многократного отражения и преломления волн в каждом слое. Удобнее все факторы, влияющие на интенсивность упругих колебаний, задать как некоторое эффективное поглощение в однородной среде. При определении условий сложения волн в многослойных средах удобной оказывается аппроксимация их эффективными слоями с равным временем пробега волн в них.

В наших исследованиях понятие эффективных параметров необходимо для синтезирования ряда промежуточных сейсмических моделей, полученных для наблюденного волнового поля ГСЗ по отраженным и преломленным волнам, по одиночным годографам и их системам. Кроме этого, нам понадобится понятие эквивалентныхмоделей. К ним мы будем относить скоростные функции, характеризующиеся одними и теми же особенностями волнового поля - одинаковой системой годографов отраженных или преломленных волн и одинаковой их интенсивностью. Например, эквивалентными моделями относительно элемента годографа отраженной волны является все множество скоростных функций V(z), характеризующихся равной эффективной скоростью до отражающей границы. Эквивалентными моделями относительно годографа первых волн являются скоростные функции, создающие одинаковые времена первых вступлений. Число возможных эквивалентных моделей определяет степень неоднозначности решения обратной задачи, поэтому ниже специально рассматриваются типы эквивалентных моделей для волновых полей ГСЗ.

...