Уравнения математической физики

8. Свёрточная модель в сейсморазведке. Преимущества, недостатки и границы применения

В рамках постановки задачи спектральной инверсии используется сверточная модель, которая описывает сейсмическую трассу (s(t)) как результат свертки трассы коэффициентов отражения (r(t)) с некоторым вейвлетом

(w(t)):

Основываясь на данном представлении сейсмической трассы, в рамках спектральной инверсии вводится понятие мульти-вейвлетной сверточной модели

:

Индекс k соответствует определенному вейвлету из библиотеки D, которому соответствует конкретная трасса коэффициентов отражения (r(t,k)). Таким образом, сейсмическая трасса может быть описана сочетанием множества вейвлетов, каждому из которых отвечает вейвлет-зависимая трасса коэффициентов отражения. Подобная модель является физической абстракцией, однако в случае если вейвлеты в библиотеке отличаются друг от друга доминантной частотой, подобное представление позволяет детально восстановить спектр волнового поля.

Представленная сверточная модель может быть выражена в матричной форме, где D -- матрица вейвлетов (библиотека вейвлетов), m -- матрица соответствующих вейвлет-зависимых коэффициентов отражения, n -- аддитивный шум:

Подобная постановка задачи -- поиск вейвлет-зависимых коэффициентов отражения для заданной библиотеки вейвлетов, представляет собой обратную задачу геофизики, которая является некорректно поставленной. Во-первых, данная задача не имеет единственного решения, а, во-вторых, решение является неустойчивым, то есть малые изменения аргумента могут приводить к значительным вариациям функции. Решение поставленной задачи линейной регрессии выполняется с использованием метода наименьших квадратов:

Для того чтобы избежать переобучения линейной регрессии, необходимо наложить ограничения на вариабельность решающего правила, подобный подход основан на методе регуляризации. С байесовской точки зрения регуляризация соответствует добавлению некоторых априорных распределений на параметры модели. Это позволяет рассматривать задачу поиска решения как оптимизацию регуляризированного функционала [3]:

Под символом ||m||_Lp понимается L_p норма, накладывающая определенное ограничение на результат решения. В этой связи обычно рассматривают несколько типов регуляризации [1]:

o L₀-регуляризация -- задает количество весов отличных от нуля, в этом случае решение обладает свойством разряженности;

o L₁-регуляризация -- задает суммарное значение весов в рамках решения, в этом случае решение аналогично характеризуется разряженностью;

o L₂-регуляризация -- задает значение суммарной энергии весов, данный тип регуляризации был разработан А.Н. Тихоновым. В рамках регуляризации Тихонова строго нулевые веса в оптимальном решении практически невозможны.

Таким образом, поиск решения относится к области машинного обучения с использованием заданного словаря, в рамках которого выполняется поиск аппроксимации входной функции, то есть сейсмической трассы. В рамках данного исследования рассмотрены различные типы L_p-регуляризации для решения задачи спектральной инверсии, которая заключается в аппроксимации входной сейсмической трассы вейвлет-зависимыми коэффициентами отражения для соответствующей библиотеки вейвлетов:

o Orthogonal matching pursuit (OMP)

o Lasso using coordinate descent (Lasso)

o Thresholding

Наиболее распространенным методом решения спектральной инверсии является алгоритм "согласованного преследования" (Matching pursuit), предложенный Mallat S. и Zhang Z. [13]. Суть алгоритма сводится к итеративному поиску элементов словаря, минимизирующих на каждом шаге ошибку аппроксимации. При использовании ортогонального базиса, данный метод представляет "ортогональное согласованное преследование" (Orthogonal matching pursuit) [1,2]. Данный метод решения задачи спектральной инверсии относится к L₀-регуляризации и обеспечивает наиболее разреженное решение.

Среди методов L₁-регуляризации можно выделить Lasso, как один из наиболее распространенных алгоритмов подобного класса. На выходе также возможно получение разреженного решения.

Также для сравнения был выбран алгоритм L₂-регуляризации -- Thresholding, решение, в рамках которого не характеризуется разреженностью.

Указанные алгоритмы были реализованы на языке программирования Python для целей выполнения спектральной инверсии сейсмических данных.

9. Методы регуляризации при решении обратных задач геофизики. Использование априорной информации. Определение параметров регуляризации

Для ряда задач, в том числе и для задач обнаружения и разделения аномалий, множество возможных решений может и не быть компактным. Вообще говоря, метод квазирешений дает достаточно хорошие результаты лишь тогда, когда число определяемых параметров невелико, а они не коррелируют друг с другом, чтобы не проявлялись компенсационные эффекты. Тогда, когда число искомых параметров велико, а интерпретационная модель становится настолько гибкой, чтобы подбирать не только интересующую часть поля, но и помеху, метод квазирешений начинает приводить к неустойчивым и неестественным результатам. Такие задачи называют существенно некорректными, и для них метод подбора - не применим. В 1963 году А.Н.Тихонов предложил для их решения метод регуляризации, в основу которого положено понятие регуляризующего оператора.

Мы уже отмечали, что решение операторного уравнения Dp u, у которого вместо

точного значения правой части известно лишь приближенное, может и не существовать в классическом смысле.

Другими словами, естественно потребовать, чтобы та часть поля, которая связана с изучаемым геологическим объектом, воспроизводилась полем модели, а помеха при этом игнорировалась.

При 0, то есть при стремлении u к uт по норме пространства R m, приближенное решение p должно стремиться к точному решению pт по норме пространства R n . Хотя понятие регуляризующего оператора сформулировано А.Н.Тихоновым для любых метрических пространств, мы далее будем рассматривать лишь конечномерные евклидовы пространства, наиболее важные с точки зрения практики решения обратных задач.

Решение, получаемое по формуле (21.4), при , согласованном с погрешностью определения аномального поля , называется регуляризованным решением обратной задачи, а числовой параметр - параметром регуляризации. Фактически регуляризованное решение является искомым приближенным решением обратной задачи.

Таким образом, получение приближенного решения обратной задачи, устойчивого к помехам в наблюденных полях, сводится по А.Н.Тихонову к следующим двум этапам:

1) к построению регуляризующего оператора;

2) к определению параметра регуляризации по априорной информации.

Этот метод построения приближенных решений и носит название метода регуляризации.

Построение регуляризующего оператора возможно при наличии качественной априорной информации о решении. Например, можно потребовать, чтобы искомое приближенное решение оказалось гладким, наименее уклоняющимся от начальной модели и т.п. Эту информацию формулируют в виде вариационного принципа отбора возможных решений обратной задачи. Для этого составляют функцию [p], называемую стабилизатором, которая должна обладать следующими свойствами: элемент pт, представляющий точное решение обратной задачи, должен принадлежать области его определения всюду плотным в P;

P1 , являющейся подможеством множества допустимых моделей P,

1) для всякого числа d>0 подмножество P1d элементов p P1, для которых [p] d , является компактным в P.

Выбор стабилизатора - неоднозначен и определяется характером решаемой задачи. Например, если модель получается негладкой, ее надо регуляризовать, минимизируя стабилизатор, характеризующий меру негладкости. Фактически стабилизатор является штрафом, который интерпретатор накладывает на решение за его нежелательные свойства, в том числе и негладкость.

Эти нежелательные свойства обычно проявляются в процессе численных экспериментов по решению обратных задач для известных моделей, либо при попытке решить конкретную обратную задачу методом квазирешений. После их выявления и выбора необходимого стабилизатора получение устойчивого решения сводится к решению

следующей условно-экстремальной задачи: найти элемент

p , минимизирующий стабилизатор

при условии, что невязка не превышает заданной величины , характеризующей норму помехи. Математически это выглядит так:

[p]= min,

Для решения условно-экстремальных задач в вариационном исчислении разработан специальный метод, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа. Он дает возможность свести условно-экстремальную задачу с ограничением в форме равенства к безусловно-экстремальной задаче. Поясним его применение на простом примере, при этом заметим, что максимумы и минимумы функций ищутся однотипно. Действительно, в точке, где f(x) имеет минимум, -f(x) будет иметь максимум.

Пусть требуется найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность с уравнением x2 y2 r2. Поскольку площадь прямоугольника можно представить в виде 4xy, задача сводится к нахождению максимума функции

f(x, y) = 4xy (21.6)

при условии

(x,y)= x2 y2 r2 0. (21.7)

В этом примере, конечно, можно выразить y через x и подставить в максимизируемую функцию, но для реальных задач это зачастую невозможно или затруднительно. Тогда составляют функцию

F(x, y) = (x, y) + f(x, y), (21.8)

где - неопределенный множитель, и находят искомые параметры из необходимых условий

экстремума функции F, другими словами, из системы уравнений Эйлера и условия В нашем примере

(x, y) 0 .

F(x, y) = x 2 + y2 - r 2 + 4xy. (21.9)

Дифференцируя эту функцию по x и по y и приравнивая производные нулю, получаем совместно с (21.7) систему

2x + 4y = 0,

2y + 4x = 0,

x2 y2 r 2 0,

откуда следует, что искомый минимум дает квадрат, то есть x= y= r /

и =-0,5.(21.10)

А.Н.Тихонов доказал, что если метод Лагранжа реализуем для решения исходной условно-экстремальной задачи (21.5), то есть существует такой неопределенный множитель , при котором

то задача (21.5) оказывается эквивалентной безусловно-экстремальной задаче поиска минимума следующей функции, которую называют функцией Тихонова:

M [u , p] = Dp u R m [p]. (21.12)

Неопределенный множитель здесь является параметром регуляризации. Таким образом, метод регуляризации сводится к решению задачи

Dp u Rm [p] min (21.13)

и оценке , согласуемого с погрешностью исходных данных.

Рассмотрим качественно влияние параметра на результаты минимизации. Если =0, то, чему бы ни был равен стабилизатор, он не оказывает никакого влияния на решение обратной задачи. Подставив это значение в (21.13), легко убедиться, что в данном случае результаты метода регуляризации полностью совпадут с результатами метода квазирешений. Можно сказать, что метод квазирешений есть частный случай метода регуляризации, когда параметр регуляризации - нулевой. Пусть теперь достаточно велико - тогда минимум функции

Тихонова будет определяться лишь минимумом стабилизатора. Поскольку [p] является

своеобразным штрафом, налагаемым на решение за его нежелательные свойства, метод регуляризации при этом будет давать результаты, полностью удовлетворяющие критерию качества, но игнорирующие наблюденное поле.

Из изложенного следует, что надо подбирать такую величину параметра регуляризации, которая бы оптимально удовлетворяла обоим условиям в (21.5). Это можно сделать, организовав специальным способом перебор значений . Практически для выбора оптимального параметра регуляризации используется последовательность его значений в виде убывающей геометрической прогрессии:

k+1 = k. (21.14)

Начальное значение определяется характером задачи; можно без потери общности считать, что

0 1 . Величину <1 обычно полагают равной 0,1. Если параметр фиксирован, решение задачи (21.13) становится решением обычной задачи подбора. В итоге применение метода регуляризации сводится к многократному решению задачи подбора и выбору оптимального параметра регуляризации, исходя из некоторых критериев.

При решении обратных задач встречаются две ситуации, различающиеся тем, известна ли норма помехи в исходных данных или нет. Если она известна, то выбор регуляризованного

решения p осуществляется по так называемому критерию невязки:

Dp u Rm . (21.15)

Это значит, что, перебирая различные значения параметра регуляризации , надо следить за получаемой невязкой и выбирать в качестве оптимальной такую модель, поле которой воспроизводит интересующую часть аномалии и игнорирует помеху. Чаще, однако, бывает неизвестной. Дело в том, что большая часть помехи - это помеха геологического происхождения, связанная с неоднородностью верхней части разреза и с влиянием объектов, не учитываемых в модели. Эти же источники помех лишь в редких случаях доступны анализу и оценке.

Если норма помехи не известна, то для выбора параметра регуляризации применяют квазиоптимальный критерий, предложенный А.Н.Тихоновым и В.Б.Гласко. В соответствии с ним, выбираться должно такое значение параметра регуляризации минимизирует следующую норму:

> 0 , которое = min. Rn (21.16)

Если таких значений несколько, в качестве квазиоптимального берут наименьшее из них. Практически при использовании данного критерия следят за изменением параметров модели при изменении параметра регуляризации по закону (21.14) и в качестве регуляризованного решения выбирают такое, для которого такое изменение - минимально. Это критерий обоснован теоретически лишь для некоторых классов задач, но получил весьма широкое распространение на практике. Иногда квазиоптимальный критерий по имени авторов называют критерием Тихонова-Гласко.

10. Эквивалентность и эпсилон-эквивалентность при решении обратных задач геофизики

Неоднозначность решения обратных задач геофизики или неопределенность решения имеет две стороныодна из них касается качественного определения геологической природы выяв-ленных геофизических аномалий, вторая -- получения количественных геометрических характеристик объектов исследований: формы, размеров, глубины и других элементов залегания.

К при-меру, аномалии гравитационных, магнитных, электрических и других полей, обусловленные объектами исследования, очень часто не отличаются по форме, интенсивности и размерам от аномалий, создаваемых геологическими неоднородностями верхней части разреза, рельефом местности и другими факторами.

Аномалии от вертикально залегающих рудных тел часто сходны с аномалиями от тектонических нарушений, по которым внедрялись гидротермальные растворы.

Неоднозначность количественного решения обратной задачи проявляется в теоретической и практической эквивалентности. Теоретическая эквивалентность состоит в том, что различные по размерам и глубинам залегания геологические объекты могут создавать одинаковые по форме, размерам и интенсивности аномалии

Практическая эквивалентность определяется совпадением аномальных эффектов от различных по размерам объектов в пределах погрешностей наблюдений и используемого метода интерпретации.

Качественная и количественная неоднозначности при решении обратной задачи геофизики проявляются обычно одновременно.И в общем случае достижение однозначности как для определения природы геофизических аномалий, так и для количественного описания возмущающих объектов возможно лишь путем комплексирования разных методов.

Природу аномалий (точнее, классификацию ихнарудные и безрудные) можно иногда определять и с помощью какого-нибудь одного метода, применяя несколько его модификаций. Это бу-дет внутриметодное комплексирование.

Широко известен, например, способ разделения анома-лий, выделенных электропрофилированием, на приповерхностные, связанные с неод-нородностями в рыхлых отложениях, и глубинные, обусловленные коренными породами.

Способ заключается в проведении работ на двух разносах питающих заземлений АВ -- меньшем и боль-шем. Если при большем разносе аномалия ркпроявляется резче, чем при меньшем, значит, она глу-бинного происхождения, и наоборот. Лучше для этих целей использовать графики отношения ве-личин рк, полученных для двух разносов. Этим же способом в электропрофилировании можно разрешить неопределенность типа "синклиналь -- антиклиналь".

11. Статистическая постановка задачи качественной интерпретации. Критерии оптимальности

Статимстика -- отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных; изучение количественной стороны массовых общественных явлений в числовой форме.

За количественной и качественной обработкой данных следует решающая фаза научного исследо-вания - интерпретация результатов. Часто эту фазу называют теоретической обработкой, подчер-кивая ее отличие от эмпирической статистической обработки.

Теоретическая обработка выполняет две главные функции:

1) преобразование статистически под-готовленных данных ("вторичных данных", результатов) в эмпирические знания и

2) получение на их базе теоретических знаний (единство и взаимосвязь эмпирических и теоретических знаний).

На стадии выдвижения гипотез научная мысль направлена от теории к объекту исследования, на стадии интерпретации - от объекта (фактов) к теории.

Цель дальнейшего теоретического проникновения в информационный материал состоит в том, чтобы, исходя из выдвинутых гипотез, научно обработать отдельные данные или их совокупность так, чтобы можно было:

1) определить отношения между данными и гипотезами;

2) произвести проверку исходных гипотез;

3) уточнить, расширить, модифицировать и т. д. имеющиеся гипотезы и развить их до уровня теоретических высказываний;

4) гипотетическое объяснение проблемы до-вести до уровня решения этой проблемы.

Если статистическая обработка охватывает количественный аспект психологических явлений, то интерпретация делает видимым и их качественный аспект.

Чаще всего под интерпретацией понимают две процедуры: объяснение и обобщение. Описание дает констатирующее представление об объекте в целом. Далее следует найти объяснение обна-руженным фактам и раскрыть сущность объекта. Именно в выяснении сущности объекта заключа-ется смысл объяснения.

Объяснить и обобщить что-либо невозможно, не имея полноценного описания этого самого чего-либо. На этапе обработки данных производится лишь самое предварительное описание. Количе-ственная обработка дает описание не столько самого объекта (или предмета) изучения, сколько описание совокупности данных о нем на специфическом языке количественных параметров. Каче-ственная обработка дает предварительное схематическое описание объекта как совокупности его свойств или как представителя той или иной группы сходных объектов. Далее требуется дать пре-дельно полное описание изучаемого явления на естественном языке с использованием при необ-ходимости специальной терминологии и специфической символики (математической, логической, графической и т. п.).

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который исполь-зуется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициен-та.

Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

1) Сопоставать каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыва-нию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов.

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты свя-

зи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и бо-лее - показателями высокой тесноты связи.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности парамет-рического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными при-знаками различной интенсивности.

12. Количественная интерпретация и теория оптимального оценивания

В практике геологической интерпретации результатов гравиразведки (карт, графиков Дg, WXZ, WYZ и др.) различают две стадии анализа -- качественную и количественную. При качественной интерпретации данных Дg выделяют гравитационные аномалии, т. е. отклонения Дg от фона. По форме изолиний Дg (изоаномал) и графиков Дg можно судить о местоположении, примерных раз-мерах и форме тех или иных геологических тел. Количественная интерпретация заключается в определении формы, размеров, глубины залегания тел и их избыточной плотности. Количествен-ная интерпретация, или решение обратной задачи гравиразведки, сопряжена со значительными трудностями и не всегда может быть проведена однозначно.

Количественная (расчетная) интерпретация данных гравиразведки основана на решении обрат-ных задач и сводится к определению местоположения, оценке глубины залегания центра тяжести, размеров, иногда избыточной плотности аномалообразующих масс. Решение обратной задачи неоднозначно, так как одинаковые аномалии силы тяжести могут быть созданы геологическими объектами разной формы, размеров и плотности. Тем не менее, после проведения качественной интерпретации и изучения общего геолого-геофизического и плотностного строения района от-дельные аномалии можно проинтерпретировать количественно. Существуют приемы количе-ственной интерпретации прямые, в которых элементы залегания гравитирующих масс определяют непосредственно по картам и графикам Дg (или WXZ , WYZ и др.), и косвенные, основанные на сравнении наблюденных и теоретических кривых. При достаточно обоснованном предположении о форме объекта и уверенном выделении отдельных аномалий Дg применяют аналитический ме-тод решения обратной задачи, при котором параметры аномалиобразующих масс определяют по характерным точкам кривой Дg. Такие соотношения для моделей простой геометрической формы в предположении постоянства избыточной плотности получены выше. Существуют аналогичные подходы и формулы расчета глубин для других тел простой геометрической формы, известные в теории гравиразведки. Погрешность количественного определения глубин даже по нескольким характерным точкам кривой Дg (x1/2 , x1/4 ,x3/4 и т.д.) невелика и составляет в благоприятных условиях ±(20-- 30) %. В теории гравиразведки существуют также палеточные приемы интерпре-тации, с помощью которых всю наблюденную кривую Дg сравнивают с заранее рассчитанными теоретическими (палеточными) кривыми Дgтеор для моделей определенного класса и различных параметров. Задача количественной интерпретации в этом случае заключается в отыскании и сравнении такой теоретической кривой Дgтео , которая наилучшим способом совпадает (или при-ближается) с наблюденной, и тогда параметры модели переносят на параметры объекта. При сложном интерференционном характере аномального поля для решения обратной задачи грави-разведки применяют метод подбора. Суть этого метода состоит в последовательном переборе раз-личных моделей плотностного строения разреза (I, II и т. д. приближения к реальной ситуации), расчета с помощью ЭВМ прямого гравитационного эффекта от этих моделей с помощью тех или иных методов решения прямой задачи, сопоставлении полученных значений Дg от моделей разно-

го приближения (Дgтеор 1, Дgтеор 11 и т. д.) с наблюденным полем Дgнабл . Процесс подбора и сопоставления проводят до тех пор, пока не будет найдена модель, которая создавала бы поле Дgтеор наиболее полно приближенное к Дgнабл . Несмотря на определенные трудности и большие затраты времени на ЭВМ, этот метод успешно применяют при расчете параметров плотностных неоднородностей и построении гравиметрических разрезов.

13. Спектральные методы в задачах обработки и интерпретации геофизических данных

Спектральный анализ занимает центральное место при обработке геофизических данных. Спектральный анализ используется для описания спектрального (частотного) состава геофизи-ческих сигналов, заданных как детерминированными, так и случайными функциями.

В настоящее время спектральный анализ объединяет методы анализа Фурье и статистический анализ временных последовательностей наблюдений. Под анализом Фурье понимается разло-жение сигнала по периодическим функциям синусов и косинусов. Спектр - это функция, опи-сывающая распределение амплитуд и фаз по различным частотным составляющим (гармони-кам) сигнала, начиная с низкочастотных и кончая высокочастотными составляющими. Сумми-рование частотных составляющих с учетом их амплитуд и фаз приводит к восстановлению формы сигнала.

Практическое применение анализа Фурье при обработке геофизических данных связано с их представлением в виде сигналов, заданных в дискретных точках наблюдений, поскольку обра-ботка данных проводится на ЭВМ, где все данные - дискретны.

Анализ Фурье предназначен для обработки периодических сигналов, для которых выполняется соотношение S(t) = S(t+T) , где Т называется периодом сигнала. Для непериодических сигна-лов, например, такого периода не существует, и при анализе Фурье подобных сигналов период задается искусственно, ограничивая непериодический сигнал величиной Т при малых его зна-чениях. В теоретических приложениях рассматриваются апериодические сигналы, для которых период стремится к бесконечности.

При спектральном анализе Фурье основными типами сигналов являются: дискретные и непре-рывные, периодические и непериодические, детерминированные (аналитически заданные) и случайные.

Размещено на Allbest.ru