Геометрическая турбулентность в общей теории относительности

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Геометрическая турбулентность охватывает все наблюдаемые явления и события, происходящие во Вселенной. В многообразии строения звезд, звездных скоплений, галактик и кластеров галактик мы видим проявление геометрической турбулентности. Наиболее же ярким проявлением геометрической турбулентности, как мы это себе представляем, являются ядерные реакции, поддерживающие горение звезд [1].

Измеряемые параметры этого процесса характеризуют единое поле. Отметим, что понятие поля сформировалось, главным образом, благодаря трудам Максвелла [2]. Значительный успех теории Максвелла позволил создать классическую и квантовую теорию поля, в которой электромагнитное поле и поля элементарных частиц выступают как самостоятельные субстанции, наделенные некоторой материальностью.

Вопрос о создании единой теории поля обсуждался многими авторами [5-16]. Основные направления построения единых теорий поля были связаны с пространствами многих измерений и теорией симметрии. Большой интерес представляют теории, объединяющие квантовые и классические поля на основе общей теории относительности и теории Янга-Миллса [15-18].

Было установлено, что уравнения Эйнштейна связаны с уравнениями Максвелла, Навье-Стокса и Янга-Миллса [16-22]. Указанные связи не являются случайными, так как уравнения Эйнштейна отражают наиболее фундаментальные свойства движения и материи.

В монографии [1] представлена модель единого поля Метагалактики, основанная на представлениях о темной энергии, темной материи и на общей теории относительности Эйнштейна [3-7]. Был рассмотрен переход от уравнений Эйнштейна к уравнению Шредингера в квантовой механике. Фактически речь идет о поиске соответствующей метрики, описывающей волны материи.

В работах [1, 38] рассматриваются примеры метрик, связанных с классическими задачами гидродинамики и электродинамики, в которых уравнения поля сводятся к одному уравнению, изменяющему свой тип в зависимости от уравнения состояния. На этих примерах можно проследить, как осуществляется переход к геометрической турбулентности.

Вопросы устойчивости систем со знакопеременной вязкостью в связи с проблемой турбулентности рассматривались в работах [23-24] и других. Нам удалось найти подходящую систему типа [23], а также описать ее простой и ясной геометрической моделью [25]. Это была поверхность стенки ракетного сопла, которая подвергалась эрозии в потоке газа с частицами, образующимися при сгорании твердого ракетного топлива. В процессе эрозии геометрия сопла изменялась в соответствии с квазилинейным уравнением параболического типа с переменным направлением времени [25].

Исторически это был, видимо, первый пример явного проявления геометрической турбулентности, который удалось описать в рамках модели типа [23]. Можно было предположить, что аналогичные явления должным быть в любых системах, геометрия которых зависит от внешнего воздействия, например, в системах, в которых действуют силы гравитации в соответствии с общей теорией относительности Эйнштейна. Эти идеи были использованы для построения модели эволюции поверхности при распылении твердых тел ионной бомбардировкой [26], а также в теории турбулентности и диффузии примесей в атмосфере [27-29].

Как известно, вопрос о проявлении геометрической турбулентности в масштабах Вселенной был поставлен Декартом [1], который предполагал, что любое движение материи сводится к вихревому движению однородной субстанции. Однако в общей теории относительности преобладала точка зрения самого Эйнштейна, который считал, что в нерелятивистском пределе его уравнения должны сводиться к уравнению Пуассона и закону тяготения Ньютона [3]. Тем самым полностью исключались вихревые движения большого масштаба, которые свидетельствовали бы о наличии в системе геометрической турбулентности, связывающей большие и малые масштабы движения.

В работах [30-32] было показано, что уравнения поля в общей теории относительности Эйнштейна могут быть приведены к гиперболическому, эллиптическому или параболическому типу. В работе [40] выведено уравнение параболического типа, описывающее распространение возмущений гравитационного поля в масштабе звезды, галактик и кластера галактик, что является обобщением теории гравитации Ньютона-Пуассона на случай римановой геометрии с учетом кривизны пространства-времени.

Было установлено, что геометрическая турбулентность [40-43] приводит к обмену между областями разного масштаба. В процессе турбулентного обмена формируются кластеры материи двух типов, обладающей положительной и отрицательной плотностью энергии соответственно. В результате возникают области классического и квантового движения частиц. Эти результаты позволяют не только ответить на вопрос о происхождении квантовой теории [44], но и доказать гипотезу Шредингера [10] о связи волновой функции с гравитационными волнами.

В настоящей работе дан обзор работ [1, 40-43] и некоторые новые результаты по геометрической турбулентности в связи с проблемами квантовой теорией гравитации, космологии, математики, механики и физики [45-202].

Единое поле Метагалактики

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид [1, 45, 89-91,105]:

- тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.

В общем случае имеют место соотношения



- тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.

Уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [1, 45, 89-91,105]:

Рассмотрим две метрики, описывающие постньютоновское приближение и расширение Вселенной соответственно, имеем [91]

Здесь - гравитационный потенциал и масштабный фактор соответственно. Отметим, что метрика (5), получившая название FLW, широко используется в космологии [1].

Ниже всюду, где это не оговаривается, положим , рассмотрим обобщение метрик (4)-(5) в форме

Здесь - некоторые функции, которые определим из уравнений (1). В метрике (6) тензор Эйнштейна приводится к виду

В соответствии с общей идеей перехода от теории Эйнштейна к теории Ньютона-Пуассона [1, 45, 91, 128], положим в первом приближении

Здесь обозначено - плотность материи. Остальные компоненты тензора Эйнштейна (8) в этом приближении следует положить равными нулю. Однако и в любом приближении можно без ограничения общности считать, что единственный потенциал метрики (6) определяется из уравнения типа (9), которое, с учетом первого выражения (8) представим в виде

Остальные компоненты тензора Эйнштейна позволяют определить компоненты тензора энергии тензора энергии-импульса, которые не могут быть заданы произвольно в метрике (6). Так, например, если тензор энергии-импульса описывает течение жидкости, то уравнения Эйнштейна (1) позволяют определить поле скорости течения, без использования гидродинамических уравнений [108].

Отметим, что уравнение (10) имеет параболический тип. Его основные свойства были изучены в работах [1, 40-42, 129]. Поскольку уравнение (10) имеет параболический тип, то скорость гравитации не ограничена скоростью света и теоретически может быть сколь угодно большой. Таким образом, уравнение (10) позволяет объяснить движение со сверхсветовой скоростью в общей теории относительности [129-130]. Отметим, что сам факт наличия параболических уравнений среди уравнений поля Эйнштейна является принципиальным для теории относительности. Это позволяет, например, вывести уравнение Шредингера из уравнений гравитационного поля [35].

Рассмотрим метрику (7). Тензор Эйнштейна в этой метрике имеет вид

Сравнивая выражения (8) и (11), находим, что в случае расширения Вселенной возмущения метрики могут определяться как параболическим уравнением типа (10), так и волновым уравнением, описывающим цилиндрические гравитационные волны, которые распространяются со скоростью света [86, 131].

Отметим, метрика (6) согласована как с теорией Ньютона-Пуассона, так и с моделью расширяющейся Вселенной. Одним из наблюдаемых следствий этой метрики является наличие развитого течения различного масштаба при произвольном выборе начала координат. Движение небесных тел в Солнечной системе, звезд в Галактике и галактик в суперкластере не противоречит этому утверждению.

Геометрическая турбулентность и два типа материи

Приведем уравнение (10) к квазилинейному виду. Для этого запишем его в форме

Продифференцируем все части уравнения (12) по времени, тогда получим

Здесь обозначено . Уравнение (13) является квазилинейным параболическим уравнением с переменным направлением времени [23-24, 110-112] .

Отметим, что хотя в математической литературе уравнение типа (13) называют параболическим уравнением с переменным направлением времени [110-112], в общей теории относительности такая терминология не только неприемлема, но и противоречит физическому смыслу уравнения (13), которое меняет тип при изменении знака функции , тогда как знак времени остается постоянным.

Запишем уравнение (12) для пустого пространства в виде

В случае геометрической турбулентности можно выполнить осреднение всех членов уравнения (14), в результате получим

Отсюда следует, что при наличии геометрической турбулентности средние параметры метрики в пустом пространстве определяются турбулентными пульсациями. Иначе говоря, для создания макроскопического гравитационного поля не требуется материя. Достаточно предположить, что существуют микроскопические пульсации метрики. Тогда в силу уравнения (15) пульсации производят такой же эффект, как и распределенная материя двух типов, обладающая положительной или отрицательной плотностью энергии, в зависимости от знака выражения в правой части уравнения (15).

Это означает, например, что микроскопическая геометрическая турбулентность, производимая атомами, приводит в макроскопическом масштабе к гравитации Ньютона-Пуассона и к формированию звезд и планет. С другой стороны, можно предположить, что и сами атомы и атомные ядра возникают в результате процесса геометрической турбулентности на своем уровне масштабов. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Уравнение Шредингера

Покажем, что уравнение Шредингера выводится из уравнения (14) при определенных предположениях относительно поведения турбулентных пульсаций. Положим в уравнении (15)

Тогда получим



Рассмотрим случай отрицательной плотности энергии турбулентных пульсаций. Запишем первое уравнение (17) в виде

Будем предполагать, что плотность энергии турбулентных пульсаций значительно превосходит градиенты средних параметров метрики, следовательно, имеем

В этом случае, разрешая первое уравнение (18) относительно производной по времени, находим

Здесь многоточием отмечены члены ряда более высокого порядка. Уравнение типа Шредингера выводится из (20) если положить

В результате получим

Отметим, что уравнение такого типа ранее было выведено в работе [35] для случая центрально-симметрической метрики. Замечательным является сам факт наличия соответствия теории Эйнштейна и теории Шредингера. Это указывает на универсальность метрик (6) и (7), которые могут служить для развития квантовой теории из первых принципов [1, 43-44]. Это также является указанием на наличие единого поля Метагалактики.

Уравнение диффузии

Рассмотрим случай положительной плотности энергии турбулентных пульсаций. Тогда система уравнений (18) имеет вид

Предполагая, что плотность энергии турбулентных пульсаций значительно превосходит градиенты средних параметров метрики, , находим

Многоточием в правой части (24) отмечены члены ряда более высокого порядка. При выборе отрицательного знака в левой части (24) приходим к уравнению диффузии

При выборе положительного знака приходим к уравнению, описывающему взрывную неустойчивость в системе

Следовательно, в метрике (6) в Метагалактике должны наблюдаться три типа процессов:

квантовые процессы, которые описываются уравнением типа Шредингера (22);

процессы диффузии, которые описываются уравнением (25);

процессы взрывной неустойчивости, которые описываются уравнением (26).

Переход от квантовых процессов к диффузии и взрывной неустойчивости определятся только знаком плотности энергии турбулентных пульсаций. Такие переходы осуществляются многократно в разных масштабах, что приводит к образованию своеобразной структуры Вселенной от элементарных частиц до кластеров галактик.

Покажем, что геометрическая турбулентность является основным механизмом обмена между движением в больших и малых масштабах. Используя выражение тензора Эйнштейна (8) запишем систему уравнений для определения метрики в двух масштабах



В системе (27) только компонента тензора Эйнштейна используется для определения средних параметров метрики. В результате получаем уравнение (15) и все вытекающие из него уравнения типа Шредингера и диффузии. Остальные компоненты служат для определения энергии пульсаций. Например, последнее уравнение (27) можно представить в форме

Следовательно, указанные компоненты пульсаций определяются градиентами средних параметров метрики. Здесь виден механизм турбулентного обмена между гравитационными полями разного масштаба, в результате которого наличие градиентов средних параметров метрики приводит к возбуждению пульсаций. Наличие пульсаций, в свою очередь, приводит к возбуждению микроскопического движения. В этой связи заметим, что основная энергия движения наблюдаемой материи сосредоточена в большом, а не в малом масштабе. Действительно, уже в масштабе порядка гигапарсек удаленные кластеры галактик движутся со скоростью порядка , что сравнимо со скоростью света и значительно превосходит скорость электронов в электронных оболочках. В силу уравнения (10), субсветовое движение атомных ядер порождает возмущение метрики [129], которое, видимо, наблюдается в форме темной материи.

Моделирование турбулентных пульсаций метрики

В работе [84] была рассмотрена модель взаимодействия квантовых флуктуаций с метрикой космологического масштаба. Было показано, что наличие квантовых флуктуаций позволяет объяснить взаимодействие материи с гравитационным полем. Однако возникновение квантовых флуктуаций и квантовой механики также остается под вопросом [99-100]. Приведенная выше модель (22) позволяет объяснить возникновение квантовых систем в той области пространства-времени, где плотность энергии турбулентных пульсаций является отрицательной.

Было показано [1], что в квантовой системе плотность энергии колебаний может быть как положительной, так и отрицательной. Иначе говоря, квантовые системы могут порождать другие квантовые системы и классические системы. Поэтому гипотеза [84] не лишена оснований.

Положим в уравнении (22) , тогда уравнения модели приводятся к виду

Для уравнения (29) можно поставить следующую задачу о распаде начального состояния [1]:

Здесь - шаг решетки. Задача (30) рассматривалась в [1], где были сделаны выводы о возможности возникновения областей с положительной и отрицательной плотностью энергии флуктуаций. Рассмотрим вопросы эволюции начального состояния в модели (30). Для упрощения анализа рассмотрим задачу в случае двух пространственных измерений, имеем

Здесь - параметры распределения.

Отметим, что задача (31) соответствует задаче о дифракции электронов на двух щелях, которая часто рассматривается как иллюстрация концепции вероятности в квантовой механике [170]. В этой задаче плоскость экрана соответствует , расстояние между щелями составляет , а их ширина определяется параметрами .

На рис. 1 приведены данные в случае дифракции на двух щелях одинаковой ширины . В этом случае основной максимум приходится на линию симметрии системы , как это изображено на рисунке 1.2 в курсе квантовой механики [170]. Для сравнения на рис. 2 представлен модуль волновой функции, рассчитанный путем численного решения задачи (31) в случае распада начального состояния . Дифракционный максимум в этом случае сдвинут в сторону более широкой щели. Из приведенных на рис. 1-2 данных следует, что дифракционная картина формируется спустя некоторое время после распада.



Рис. 1. Модуль волновой функции при распаде начального состояния в модели (31), рассчитанный для значений параметров .

Отметим, что в случае положительной плотности энергии турбулентных пульсаций из уравнения (17) выводится уравнение диффузии (25). Поэтому для сравнения рассмотрим задачу о диффузии в случае двух пространственных измерений, имеем

Рис. 2. Модуль волновой функции при распаде начального состояния в модели (31), рассчитанные для значений параметров .

На рис. 3. представлен модуль функции при распаде начального состояния в модели диффузии (32), рассчитанный для значений параметров . В этом случае формируется классическая картина рассеяния, в которой два максимума соответствуют двум щелям без каких-либо признаков интерференции.

Рассмотрим поведение плотности энергии в двух рассмотренных случаях - рис. 4-5. Из данных, приведенных на рис. 4-5, следует, что плотность энергии может изменять знак в области смешивания состояний как в случае диффузии - рис. 5, так и в случае квантовой системы рис. - 4. Следовательно, отрицательная плотность энергии может быть получена, например, при химических реакциях, в которых скорость изменения концентрации значительно превосходит пространственные градиенты.

Рис. 3. Модуль функции при распаде начального состояния в модели диффузии (32), рассчитанный для значений параметров .

Можно отметить, что масштаб плотности энергии пульсаций при распаде начального состояния в квантовой системе на три порядка превосходит аналогичную плотность, генерируемую в классической системе - рис. 4-5 соответственно. Следовательно, генератор отрицательной плотности энергии может быть более эффективным в случае применения квантовых систем, по сравнению с классическими системами.

Полученные результаты могут оказаться полезными при оценках коэффициента эмерджентности классических и квантовых систем [36, 196].

Рис. 4. Плотность энергии турбулентных пульсаций при распаде начального состояния в модели (31), рассчитанная для значений параметров в двух сечениях - 1, 2 соответственно.

Рис. 5. Плотность энергии турбулентных пульсаций при распаде начального состояния в модели диффузии (32), рассчитанная для значений параметров

.

В этой связи заметим, что реализация устройства для сверхбыстрого перемещения [130] необходимо создать генератор экзотической материи с отрицательной плотностью энергии. Предполагается, что в таком генераторе можно использовать эффект Казимира. Однако в работе [129] было показано, что при движении тяжелых атомных ядер возникает геометрическая турбулентность с отрицательной плотностью энергии пульсаций. Приведенные на рис. 1-5 данные свидетельствуют, что квантовые и классические системы действительно могут служить источником турбулентности с отрицательной плотностью энергии пульсаций и, следовательно, могут быть использованы для создания такого рода генератора.

Метрика элементарных частиц

В работах [1, 31-37, 42-43, 53-56, 73, 95-96, 107, 172-184] и других обсуждается метрика элементарных частиц. Для описания динамики кварков и преонов в метрике адронов использовалась метрика [43, 53-56, 73, 87], полученная на основе теории Янга-Миллса в работах [74-75]. Моделирование динамики кварков осуществлялось на основе стандартной модели [81-83, 139-146], а сектор преонов моделировался в соответствии с [76-79].

Рассмотрим центрально-симметричную метрику вида [74-75]

Здесь - метрический тензор пространства Минковского сигнатуры (- + + +), - гауссова кривизна квадратичной формы , Функция определяется путем решения уравнений Янга-Миллса [74-75]. Всюду, где это не оговорено, используется система единиц, в которой .

Среди всех решений уравнений Янга-Миллса, в случае метрики (33), есть такое, которое выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса [74-75]. В этом случае уравнения модели приводятся к виду:

Здесь обозначено: - инварианты функции Вейерштрасса, причем ; - свободный параметр, связанный с выбором начал координат; - тензор энергии-импульса материи. Отметим, что в этих обозначениях уравнения Эйнштейна имеют вид

- тензор Риччи.

Отличие модели (33)-(34) от аналогичной модели [53-54] заключается только в определении параметра , который, согласно последнему уравнению (34), зависит от компонентов тензора , описывающих в данной модели электромагнитное поле [75].

В прикладных задачах модели преонов [76-79] представляют интерес, главным образом, в связи с симметрией ядерных и электронных оболочек [73]. Для решения этих задач вполне достаточно будет использовать метрику типа (33)-(34), тогда как, например, для моделирования переходов между электронными и ядерными оболочками (бета-распад) необходимо принимать в расчет вклад слабых взаимодействий.

Следуя [78-79] рассмотрим модель слабых взаимодействий и соответствующую метрику адронов и лептонов, построенную по аналогии с [74-75]. Такой подход позволяет упростить задачу моделирования бета-распада, предполагая наличие тока преонов между ядерными и электронными оболочками [73].

Согласно объединенной теории слабых и электромагнитных взаимодействий [78-79, 140-143], симметрия этих взаимодействий нарушается динамически при взаимодействии со скалярным полем Хиггса. В результате нарушения симметрии векторные мезоны в случае электромагнитного взаимодействия сохраняют нулевую массу (фотоны), а в случае слабого взаимодействия векторные бозоны приобретают значительную по величине массу - соответственно.

Можно предположить, что существует такая метрика, в которой слабые и электромагнитные взаимодействия еще не разделены, следовательно, наблюдается симметрия этих взаимодействий, а масса всех векторных мезонов равна нулю. В этом случае вклад слабых взаимодействий в формирование метрики адронов можно учитывать аналогично вкладу электромагнитного поля даже в масштабе преонов.

Моделирование спектра масс адронов и термодинамики глюонов [1, 159] осуществлялось в рамках модели глюонного конденсата [197-198] с учетом данных [199-200].

Рассмотрим модель квантовой гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой

Здесь - углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (36) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, путем выбора уравнения состояния .

Уравнения поля в метрике (36) сводятся к одному уравнению второго порядка

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем

Уравнение (37) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :

в области уравнение (37) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (37) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (37) имеет параболический тип.

Рассмотрим гравитационные волны, которые возникают в метрике в случае линейного уравнения состояния. Положим в уравнении

.

Тогда уравнение приводится к виду уравнения Лиувилля:

Отметим, что уравнение (39) широко используется в теории струн и квантовой гравитации, в теории горения и астрофизике [59-65, 132-138]. Для уравнения (39) можно указать общее решение:

Здесь - произвольные функции.

Используя формулу Лиувилля (40), можно указать общее решение уравнений Эйнштейна, описывающее гравитационные волны в метрике:

Гравитационные волны типа (41) распространяются в комбинации, включающей опережающие и запаздывающие волны. Следовательно, скалярные гравитационные волны могут служить источником квантового движения частиц, например, в форме волн де Бройля [66-67].

Далее предположим, что

,

Тогда приходим к уравнению Лиувилля эллиптического типа

В этом случае также можно получить решения уравнения (43) общего вида, которые выражаются через аналитические функции. Отметим, что уравнение Лиувилля эллиптического типа широко применяется в теории горения и равновесия звезд [132, 135].

В статическом случае уравнение (37) приводится к виду

Интегрируя уравнение, получим

Здесь С - произвольная постоянная. Для моделирования метрики типа (33) в теории Эйнштейна-Янга-Миллса, зависящей от двух периодов рассмотрим уравнение состояния в форме

Общее решение уравнения с уравнением состояния (46) выражается через функцию Вейерштрасса

Таким образом, установлено, что инварианты функции Вейерштрасса в метрике связаны с уравнением состояния темной энергии. Заметим, что метрику, зависящую от эллиптической функции Вейерштрасса, впервые указал Дельсарт [85-86].

Если существует движение в плоскости в четырехмерном пространстве-времени, то метрика и уравнение поля принимают вид



Здесь - параметр движения. В статическом случае уравнение можно проинтегрировать один раз, в результате получим

Положим в уравнении

Тогда вновь приходим к метрике, зависящей от функции Вейерштрасса. Такого рода зависимость центрально-симметрической метрики от функции Вейерштрасса приводит к значительному расслоению вещества по плотности, что и наблюдается в природе. Так, например, атом имеет плотное ядро и электронные оболочки. Наша планета содержит ядро, мантию, литосферу, атмосферу и магнитосферу. В строении Солнца также предполагается наличие плотного ядра, зоны лучистого переноса, конвективной зоны, фотосферы и атмосферы, состоящей из хромосферы, переходной зоны, короны и гелиосферы.

Кроме того, зависимость метрики адронов от периодов функции Вейерштрасса позволяет предположить, что в основе пространства-времени положена решетка с двумя периодами [87]. Эта гипотеза согласуется с наблюдательными данными по космическим лучам и существованием предела по энергии частиц [149-152].

Было установлено [1, 31], что при квантовании траекторий в статической метрике (45) спектр модели согласуется с аналогичным выражением энергии основного состояния в теории струн [57-58]



Здесь - длина струны и ее натяжение соответственно.

В модели [95-96, 182-183] свойства атомных ядер и атомов вещества [189-195] определяются параметрами метрического тензора в 5-мерном пространстве [1, 5, 8-9, 92-96, 181-183], которые зависят от комбинации заряда и гравитационных свойств центрального ядра в виде [182]

Здесь - гравитационная постоянная, скорость света и заряд ядра соответственно. турбулентный метрика гравитационный галактика

Вблизи массивного центра гравитации метрический тензор в 5-мерном пространстве можно разложить в ряд по степеням безразмерного расстояния до источника, имеем

Здесь ,.

Рассмотрим вид метрического тензора, возникающего при удержании первых трех членов разложения для случая метрики в поле центральных сил с гравитационным потенциалом в форме Ньютона. Такой выбор метрики представляется оправданным, прежде всего, потому, что для указанного потенциала выполняется принцип суперпозиции. Положим , в этих обозначениях имеем для квадрата интервала в 4-мерном пространстве:



Полагая, что , приходим к выражению интервала в зависимости от параметров метрики в 5-мерном пространстве:

Далее заметим, что в этом случае метрический тензор в четырехмерном пространстве является диагональным с компонентами

Зададим векторный потенциал источника, связанного с центром гравитации в виде

Здесь - некоторый вектор в трехмерном пространстве, который определим ниже. Отсюда находим скалярный и векторный потенциал электромагнитного поля

Для описания движения материи с учетом ее волновых свойств, предположим, что стандартное уравнение Гамильтона-Якоби в релятивистской механике и уравнение типа Клейна-Гордона в квантовой механике возникают как следствие выполнения волнового уравнения в 5-мерном пространстве.



Здесь - волновая функция, описывающая, согласно (59), скалярное поле в пятимерном пространстве, - контравариантный метрический тензор,

.

С учетом выражений запишем волновое уравнение в виде

Для уравнения (61) можно поставить задачу на собственные значения, аналогичную задаче для уравнения Шредингера [10]. Было показано [1, 95-96], что в случае водородоподобного атома справедлива формула Зоммерфельда-Дирака для энергии релятивистского электрона [201]

Здесь - постоянная тонкой структуры, масса электрона, заряд ядра и квантовые числа соответственно.

Уравнение (61) примечательно тем, что оно не содержит каких-либо параметров, характеризующих скалярное поле. Поле приобретает массу и заряд, не только электрический, но и сильный, в процессе взаимодействия с центральным телом, что обусловлено только метрикой 5-мерного пространства. [95-96, 182-183].

В квантовой электродинамике связь затравочного и истинного заряда электрона исследована довольно подробно [185-186, 201]. Однако топология электрического заряда является одной из загадок современной физики. В теории Максвелла [2] заряд является источником или стоком электрического флюида. Модель электрического заряда Максвелла приводит к ряду парадоксов, которые так и не были решены в рамках классической электродинамики.

Эйнштейн и Розен [172] построили модель элементарной частицы в общей теории относительности, согласно которой нейтральная или заряженная частица (обладающая электрическим зарядом) представляет собой горловину, соединяющую два листа пространства. Эта модель подверглась критике [173] из-за ее очевидных недостатков - отсутствия механизма квантования заряда, спина и невозможности предсказать в ее рамках отношение заряда к массе.

Роберт Орос ди Бартини [174-175] предложил модель электрического и гравитационного заряда в форме осциллятора совершающего движение в шестимерном пространстве, содержащем три координаты времени. Построенная им система физических единиц отображает соотношения, возникающие при движении уникального объекта в пространстве с сигнатурой метрики . Однако ни соответствующей метрики, ни решений уравнений Эйнштейна в работах [174-175] не обсуждалось.

Урусовский [176-177] исследовал гравитацию в шестимерных пространствах в метрике Папапетру [178], в которой гравитационные волны затухают экспоненциально. Однако такого типа волны не соответствуют гипотезе [174-175], поэтому представляется интересным указать такую метрику, в которой гравитационные волны не затухают, создавая постоянное движение материи, являющееся источником электрического поля в духе теории Максвелла [2].

Отметим, что электроны и кварки, возможно, обладают внутренней структурой, поэтому топологию элементарного электрического заряда следует рассматривать в отношении таких частиц, заряд которых уже не дробится. Такой частицей, видимо, является преон [56, 73, 76-79].

Поскольку модель элементарной частицы, обладающей электрическим зарядом, может быть построена не только в теории Эйнштейна, но и в теории Янга-Миллса [75], возникает естественный вопрос о происхождении электромагнитного поля. Должны ли мы считать, что электрический заряд это часть метрики, которая описывается моделью типа [172], или это более сложное образование, возникающее, например, при взаимодействии скалярного поля с электромагнитным полем по механизму аналогичному механизму образования массы в теории Хиггса [179]?

В первом случае можно ограничиться гипотезой «все из геометрии!» [12-13, 173], включая и электрический заряд, и электромагнитное поле, тогда как во втором случае необходимо указать первичный источник электромагнитного поля. В этой связи заметим, что Риман [187] и Максвелл [2] рассматривали электромагнитное поле как форму движения некого флюида, который, возможно, идентичен светоносному эфиру. В таком случае стоки и источники этого флюида следует рассматривать во взаимодействии с самим флюидом.

Эйнштейн, точку зрения которого мы разделяем, предполагал, что электромагнитное поле это часть метрики, которая может быть описана в рамках подходящей метрической теории гравитации типа аффинной теории Вейля [180] или пятимерной теории Калуцы [5, 8-9, 92-94, 181-183].

В работе [184] получено решение задачи, впервые поставленной в [174-175], об элементарном вращающемся осцилляторе, который является стоком или источником в шестимерном пространстве с сигнатурой метрики . Таким образом, построена нестационарная модель электрического заряда в рамках теории относительности Эйнштейна.

В шестимерном пространстве с сигнатурой метрики можно построить естественное обобщение метрики (36) на случай наличия двух центров симметрии в виде

Здесь - углы на единичных сферах, погруженных в трехмерные пространства; - координаты, связанные со временем и расстоянием в трехмерном пространстве соответственно. Отметим, что связь со стандартными единицами времени и длины устанавливается путем согласования физических законов, выраженных в метрике (62) и в стандартной метрике.

Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (62). Уравнение Эйнштейна является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений. Движение материи будем описывать уравнением Гамильтона-Якоби, которое также обобщается на любое число измерений, имеем.

Заметим, что только четыре компоненты тензора Эйнштейна в метрике (10.5) отличны от нуля:

Уравнения поля в метрике (62) сводятся к одному уравнению второго порядка . Отсюда находим

Отметим, что уравнение (64) является частным случаем уравнения (37).

Рассмотрим гравитационные волны, которые возникают в метрике (62) в случае линейного уравнения состояния. Положим в уравнении (64)

.

Тогда уравнение (64) приводится к виду волнового уравнения:

Запишем общее решение уравнения (65) и соответствующее решение уравнений Эйнштейна, описывающее гравитационные волны в метрике (62) в форме

Здесь - произвольные функции.

Гравитационные волны типа (66) распространяются в комбинации, включающей опережающие и запаздывающие волны, следовательно, гравитационные волны могут служить источником квантового движения частиц, например, в форме волн де Бройля [32-37, 66-67].

Взаимодействие фотонов с гравитационными волнами

Гравитационные волны, предсказанные Эйнштейном еще в 1916 году [3, 45-46, 86, 89-91, 105], не были обнаружены в лабораториях, не смотря на многочисленные эксперименты [45, 68]. Однако недавно первичные гравитационные волны обнаружены путем анализа поляризации фонового микроволнового излучения, в полном соответствии с теорией инфляции [166].

Если принять изложенную выше теорию, то регистрация гравитационных волн становится доступной практически в любой лаборатории. Во-первых, можно использовать методы регистрации волн де Бройля, что широко используется в электронной микроскопии. Во-вторых, можно регистрировать оптические явления в зависимости от макроскопического ускорения, например эффект Саньяка [167].

Зоммерфельд считал, что строгое рассмотрение эффекта Саньяка возможно только в рамках общей теории относительности, хотя в своей книге [168] использовал классическую теорию для оценки эффекта первого порядка. Простое объяснение эффекта Саньяка в рамках ОТО дано в [91]. Согласно принципу эквивалентности, «инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что симметричный «фундаментальный тензор» () определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации» [106].

Фактически этот принцип означает, что любое ускорение, обусловленное внешними силами, эквивалентно некоторому изменению метрики. Следовательно, в системе отсчета, связанной с установкой, будет наблюдаться изменение метрики, обусловленное вращением [91]. Опыт Саньяка показывает, что скорость света во вращающейся системе координат зависит от направления. В кольцевом интерферометре радиуса , вращающегося с угловой скоростью , эта скорость равна и для света, распространяющегося против направления и по направлению движения источника соответственно.

В своей статье 1913 года Саньяк сообщает: «Я привел в равномерное вращение вокруг вертикальной оси, со скоростью один или два оборота в секунду, горизонтальную плиту (50 см в диаметре)» [167]. Следовательно, линейная скорость в опытах Саньяка составляла для одного оборота , а для двух оборотов . При этом можно было отчетливо наблюдать смещение интерференционных полос. Столь высокая чувствительность метода предопределила широкое использование эффекта Саньяка в современных системах навигации. Спрашивается, что будет, если подвесить всю установку и заставить качаться приблизительно с той же максимальной скоростью?

Очевидно, что в этом случае метрический тензор в системе установки будет иметь аналогичный вид, как и во вращающейся системе координат, но с заменой , где - угол отклонения маятника. Аналогично опыту Саньяка находим, что в случае маятника могут быть две скорости света для волн, распространяющихся по ходу и против хода маятника и , здесь L - длина нити маятника.

Для маятника угловая скорость выражается через угол максимального отклонения и частоту колебаний по формуле . Для метровой подвески и угла отклонения 30 градусов находим, что угловая и линейная скорость будет как в опыте Саньяка [167]. Следовательно, можно обнаружить эффект колебаний установки по наблюдениям за оптическими явлениями типа дифракции Френеля [91, 168].

Можно сравнить этот эффект с экспериментом Паунда и Ребке [169] и Саньяка [167], которые свидетельствуют о взаимодействии фотонов со статическим гравитационным полем земли и квазистатическим полем, обусловленным вращением, соответственно. Эффект влияние ускоренного движения на дифракцию может быть использован в системах навигации, как и эффект Саньяка [167]. Обсуждаемый эффект свидетельствует о наличии взаимодействия фотонов с макроскопическими гравитационными волнами, которые связаны с движением тел.

Геометрическая турбулентность в гидродинамике

Как известно поток вязкой жидкости над шероховатой поверхностью является неустойчивым [28-29, 38, 108-109], что приводит к развитию турбулентности. В работах [27-29, 108] и других было показано, что шероховатость поверхности, включая динамическую шероховатость, является важным фактором, влияющим на параметры турбулентного потока. Шероховатость поверхности можно рассматривать как источник геометрической турбулентности в гидродинамике [1, 38, 41]. Уравнение, описывающее динамическую шероховатость в вязком подслое, имеет вид [28-29]

Здесь - кинематическая вязкость и динамическая скорость соответственно, - уравнение поверхности динамической шероховатости, , - параметры пограничного слоя.

Уравнение (67) описывает борозды, вытянутые вдоль направления основного течения с поперечным размером

и с продольным масштабом

.

Отметим, что уравнение (67) относится к типу параболических уравнений с переменным направлением времени [110-112], как и аналогичная модель геометрической турбулентности (13). Это не удивительно, поскольку уравнение Навье-Стокса связано с уравнением Эйнштейна [1, 17, 19-22, 38], поэтому эти модели имеют общий механизм неустойчивости, ведущий к развитию геометрической турбулентности.

Геометрическая турбулентность часто возникает на границе раздела сред с разной плотностью, например на поверхности твердого тела граничащей с высокоскоростным потоком газа с частицами [25] или с потоком ионов [26]. При соударении частиц с твердым телом развивается процесс эрозии, который приводит к разрушению твердого тела [202]. В результате изменяется геометрия поверхности, что, в свою очередь, влияет на скорость эрозии. Изменение поверхности в этом случае описывается уравнением, которое является частным случаем уравнения (67).

Метрика звезд, галактик и кластеров

Влияние расширения Вселенной на гравитационное поле вблизи звезды рассматривалось в работах [113-116] и других. Общий вывод, который следует из указанных работ, сводится к утверждению, что окружение звезды практически не влияет на гравитационное поле в ее окрестности. Однако этот вывод явно противоречит наличию движения звезд типа Солнца вокруг центра Галактики, относительно центра местного скопления галактик и т.д. Существующая в природе иерархия движений свидетельствует о наличии сложной структуры гравитационного поля в окрестности звезды, что никак не учитывается в решениях, приведенных в работах [113-116].

Можно предположить, что в галактиках и кластерах галактик все еще преобладают возмущения, которые описываются параболическим уравнением типа (10), поскольку соответствующие метрики приводят к уравнениям поля, содержащим трехмерный оператор Лапласа [30]. Движение Солнечной системы относительно различных центров притяжения было рассмотрено в работе [40]. Было установлено, что влияние расширения Вселенной должно сказываться на орбитальном движении Солнца через ускорение, ортогональное к плоскости Галактики. По порядку величины это ускорение определяется параметром Хаббла в виде . Следовательно, ускорение Солнечной системы, обусловленное движением в Галактике и в кластере, можно обнаружить по методу Майкельсона и Морли [126].

Если метрика (6) переходит в метрику (7) при увеличении масштаба, то эффект расширения Вселенной может сказываться непосредственно через производную . Интегрируя уравнение (10) вплоть до «границы» Вселенной, находим, что вклад нестационарного слагаемого в гравитационный потенциал определяется величиной . Соответствующее ускорение составит , что при выборе «границы» Вселенной из условия , приводит к указанной выше оценке из работы [30].

В работах [30, 117-118] исследованы метрики галактик, кластеров галактик, и метрики неоднородной вращающейся Вселенной. Отметим важный результат [117-118], касающийся метрики суперкластера в общей теории относительности [119-123]. Установлено, что квадратичное слагаемое гравитационного потенциала соответствует основному радиальному течению, связанному с расширением Вселенной. Квадратичный потенциал был получен в [117] в результате обработки эмпирических данных для 50 спиральных галактик [124-125], поэтому его можно рассматривать как результат суммы галактических полей, каждое и которых определяется путем обработки данных по скорости вращения нейтрального водорода в спиральных галактиках. Поскольку основной вклад на больших масштабах дает квадратичное слагаемое, можно восстановить гравитационный потенциал кластера галактик, используя экспериментальные данные по гравитационным потенциалам и координатам отдельных галактик в виде

Здесь - радиус-вектор галактики с номером . Можно предположить, что соответствующие квадратичные и линейные слагаемые возникают в галактическом гравитационном потенциале (12) в результате суммирования полей звездных кластеров и звезд. Это дает, с одной стороны, возможность обнаружения вклада темной материи и темной энергии в динамику Солнечной системы, а, с другой стороны, показывает, что этот вклад является крайне малым и составляет , где - число звезд в нашей Галактике.

Квадратичный потенциал (68) согласуется с разложением (53) метрического тензора в 5D, в котором тоже удерживается квадратичное слагаемое [182]. Это означает, что метрика пространства в большом масштабе имеет свойства характерные для пяти измерений. В этой связи открываются новые возможности по изучению дополнительных измерений путем астрофизических наблюдений за движением материи на границе наблюдаемой Вселенной.

Вопрос о сверхбыстром перемещении в метриках типа (6)-(7) рассматривался в работах в связи с проблемой определения скорости гравитации в Солнечной системе [160-165]. Было показано, что возмущение гравитационного потенциала при движении тел по орбите имеет порядок , что в случае Земли составит . Это на 12 порядков меньше, чем предполагалось в теории Лапласа.

Как известно, в общей теории относительности можно определить аномальное движение орбит [3]. Для решения задачи о вековом аномальном смещении перигелия Меркурия Эйнштейн [3] применил метод последовательных приближений. Эйнштейн предполагал, что его решение задачи не является единственным, так как в общей теории относительности гравитационное поле точечной массы нельзя определить единственным образом. Тем не менее, Эйнштейн считал, что решения отличаются друг от друга формально, а не физически.

Известно, однако, что в случае сферической симметрии кроме решения Шварцшильда [153] существует, например, решение [154], которое описывает гравитационное поле точечной массы с тензором энергии-импульса в виде дельта-функции. Было показано [156], что в этом случае решение задачи о вековом смещении перигелия Меркурия совпадает с тем, что получено.

С одной стороны это означает, что подтверждается гипотеза Эйнштейна о том, что все такие решения отличаются друг от друга формально. Эту гипотезу Эйнштейна можно сформулировать в виде теоремы Биркгоффа [155], что любое центрально-симметрическое поле в пустоте является статическим, а потому путем преобразования координат может быть сведено к метрике Шварцшильда [153]. С другой стороны, было показано [86], что существуют многочисленные отступления от теоремы Биркгоффа, поэтому возникает вопрос, а существуют ли в общем случае центральной симметрии такие решения уравнений поля, которые являются нестационарными или неприводимыми к решению Шварцшильда? В наших работах [30-43] было показано, что существует целый класс таких решений в пространствах отрицательной кривизны, которые удовлетворяют гиперболическому, эллиптическому или параболическому уравнению.

В работе [156] дано решение задачи о движении планеты типа Меркурия в центрально-симметричной метрике. Показано, что в случае статического поля уравнение Гамильтона-Якоби [188] и динамические уравнения движения могут быть проинтегрированы при самых общих предположениях. Полученные решения отличаются, как от общеизвестных решений [3, 45, 91, 105], так и от решений типа [157-158], в которых учитывается влияние космологической постоянной и конечного радиуса кривизны пространства-времени.

Наконец, заметим, что теория преонов [56, 73, 76-79, 107] является естественным расширением модели Гейзенберга [14], в которой предполагается, что в основе нашего мира находится нелинейное поле частиц-фермионов, обладающих спином Ѕ. Мы видим из приведенных данных, что все волновые процессы в природе обусловлены движением субстанции, которую называют темной энергией. Преобразование этой субстанции в вихревые возмущения обусловлено тем, что в микроскопическом масштабе справедливы уравнения Навье-Стокса, которые описывают вихревые течения.

Элементарные вихри являются частицами преонами, которые объединяются вместе, создавая молекулы в форме электронов, кварков, протонов, нейтронов и т.д. В исходном континууме возникают нарушения сплошной среды в форме пузырей, которые могут расширяться или сжиматься, создавая соответственно источники или стоки темной энергии. Эти источники и стоки соответствуют электрическим зарядам в теории Максвелла [2].

Это картина мироздания позволяет создать новую научную парадигму, в которой элементарные частицы рассматриваются как возмущения сплошной среды, связанной с наличием универсальной субстанции типа гравитационного поля. Течение субстанции в каждой локальной области пространства-времени описывается уравнениями типа Навье-Стокса.

Геометрическая турбулентность приводит к возникновению элементарных вихрей, динамика которых описываются уравнениями типа уравнения Гейзенберга [14]. Объединение элементарных вихрей с пузырями электрических зарядов приводит к формированию преонов, кварков и электронов. Объединение кварков приводит к формированию адронов и атомных ядер. Объединение атомных ядер с электронами приводит к формированию атомов и всей структуры вещества.

Таким образом, основным механизмом возникновения материи является геометрическая турбулентность. Уравнения Навье-Стокса, Максвелла и Шредингера могут быть выведены из уравнений поля, как длинноволновое приближение при определенных предположениях относительно уравнения состояния темной энергии [16-22, 35, 38, 104].

Геометрическая турбулентность, очевидно, влияет, в первую очередь, на эволюцию звезд и планет, создавая условия для протекания ядерных реакций. Применение теории геометрической турбулентности в моделировании ядерных реакций, возможно, позволит найти те особые режимы, реализующиеся при низкой или высокой температуре, которые найдены уже эмпирически, но не получили еще должного объяснения [73, 147-148].

Взрывная неустойчивость систем в условиях сжатия при гравитации наблюдается повсеместно в форме горения звезд и взрыва сверхновых. Мы показали [1], что механизм взрыва заложен в самой геометрии пространства-времени. Это результат позволяет объяснить происхождение Вселенной при Большом взрыве.

Список литературы

Трунев А.П. Геометрическая турбулентность и квантовая теория. - Palmarium Academic Publishing, ISBN 978-3-639-72485-1, 2015.

James Clerk Maxwell. On physical lines of force, 1861; A dynamical theory of the electromagnetic field, 1865; Ether, Encyclopжdia Britannica, Ninth Edition (1875-89).

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. Работы по теории относительности 1905-1920. - Москва, «Наука», 1965.

Einstein A., Infeld L. Gravitational Equations and the Problems of Motion //Ann.Math., 1940,41, 455--464; On the Motion of Particles in General Relativity Theory// Canad. J. Math., 1949, 1, 209--241.

Einstein A., Bergmann P. Generalization of Kaluza's Theory of Electricity// Ann. Math., ser. 2, 1938, 39, 683-701.

Einstein A. A Comment on a Criticism of Unified Field Theory. Phys. Rev., 1953, 89, 321.

Einstein A. and B. Kaufman. A new Form of the General Relativistic Field Equations// Ann. Math., 1955, 62, 128--138.

Румер Ю. Б.. Исследования по 5-оптике. - М., Гостехиздат,1956. 152 с.

Chоdоs A. Kaluza -- Klein Theories: Overview//Comm. Nucl. and Part.Phys. (Comm. Mod. Phys. Pt. A), 1984, v. 13, pp. 171--181.

Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. - Москва, «Наука», 1976.

Schrцdinger Erwin. The final affine field laws//Proc. Royal Irish Acad. 51A, pp. 163-171, 1947; Proc. Royal Irish Acad. 52A, pp. 1-9, 1948.

Wheeler J. A. On the Nature of Quantum Geometrodynamics// Annals of Physics 2, No, 6 (Dec 1957): 604 - 614.

Wheeler J. A. Neutrinos, Gravitation, and Geometry/ In Rendiconti della Scuola internazionale di fisica "Enrico Fermi." Corso XI, by L. A.Radicati. Bologna: Zanichelli, 1960, 67 - 196.

Heisenberg W. Introduction to the unified field theory of elementary particles. - Interscience Publishers, London-NY-Sydney, 1966.

Garrett Lisi. An Exceptionally Simple Theory of Everything//arXiv:0711.0770v1, 6 Nov 2007.

Shifflett J. A. A modification of Einstein-Schrodinger theory that contains Einstein-Maxwell-Yang-Mills theory// Gen.Rel.Grav.41:1865-1886, 2009.

Fabio Grangeiro Rodrigues, Roldao da Rocha, Waldyr A. Rodrigues Jr. The Maxwell and Navier-Stokes that Follow from Einstein Equation in a Spacetime Containing a Killing Vector Field// AIP Conference Proceedings, v. 1483, 277-295, 2012.

...