Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Краснодарское высшее военное авиационное училище им.А.К. Серова

05.00.00 Технические науки

К вопросу нахождения оптимальных потерь мощности в электроэнергетических сетях на основе решения транспортной задачи методом потенциалов

Лаптев Владимир Николаевич, к. т. н, доцент

Степанов Владимир Васильевич, д. т. н., профессор

Атрощенко Валерий Александрович, д. т. н., профессор

Кабанков Юрий Андреевич, к. т. н, профессор

Степанова Марина Валерьевна, преподаватель

г. Краснодар

Работа носит научный и практический характер, так как рассматриваемый в ней процесс оптимизации потерь мощности в электроэнергетических сетях основан на использовании транспортной задачи, а именно правила минимального элемента транспортной матрицы, с помощью которой находится допустимое решение. Механизм улучшения полученного допустимого решения поставленной задачи ориентирован на использование метода потенциалов, присваивая каждой строке и столбцу матрицы соответствующий потенциал.

Используя базисную переменную и манипулируя элементами транспортной матрицы по определённому алгоритму, осуществляем построение нового опорного плана. На основе представленного плана и его ацикличности, производится построение двух циклов и определяются значения оценок между прямыми и косвенными затратами на транспортировку единицы мощности. Полученный алгоритм позволяет легко запрограммировать все вычислительные операции и быстро получить результат оптимизации потерь мощности в проектируемой электроэнергетической сети, что обеспечивает снижение экономических и технологических затрат. В результате совместного использования транспортной задачи и метода потенциалов удается более эффективно найти оптимальное решение, на основе улучшенного решения, и получить схему оптимальной электрической сети. В качестве потребителей электроэнергии на практике могут выступать городские и сельскохозяйственные, промышленные предприятия, краевого, так и районного подчинения, включая промышленных, сельскохозяйственных и индивидуальных потребителей

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ, ИСТОЧНИКИ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ, МОЩНОСТЬ, ПРОЕКТИРУЕМЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ, ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ, УДЕЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ

В настоящее время все больше и больше ужесточаются требования к внедрению энергосберегающих технологий практически во всех областях производства и распределительных сетей электроэнергии. Возникающий дефицит мощностей, связанный с потерями электроэнергии, рост цен на услуги ее транспортировки вызывают необходимость поиска экономии как за счет снижения потерь мощностей, так и за счет эффективного ее распределения.

Одним из перспективных направлений в области оптимизации в электроэнергетических сетях являются пути усовершенствования систем эксплуатации и оптимизации схем распределительных сетей, в основу которого положены задача линейного программирования и ее модификации - такие как транспортная задача.

Известно, что транспортная задача - это задача, связанная с нахождением таких путей доставки готового продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость транспортировки будет оптимальной. Несомненно, что такая математическая модель этой задачи может быть использована и в электроэнергетике, где под продуктом следует понимать электрическую мощность, передаваемую от источников энергии к потребителям по линиям электропередач.

В качестве потребителей электроэнергии выступают как городские, так и сельскохозяйственные, промышленные предприятия как краевого, так и районного подчинения, включая промышленных, сельскохозяйственных и индивидуальных потребителей.

В общем случае оптимизации подлежать затраты на формирование (проектирование) схемы электрической сети [1, 2, 3], которая состоит из линий электропередачи, связывающей узлы источников электроэнергии и узлы ее потребителей.

В настоящее время на базе использования математической модели транспортной задачи решено достаточно много задач электроэнергетики как в части оптимизации схем электроэнергетической сети, так и в части нахождения оптимального пути ее транспортировки, а также в области проектирования возможного варианта расположения узлов и варианта сооружения линий электропередач.

Основополагающим фактором в этих задачах являлось введение удельных затрат на транспортировку мощностей по линиям между узлами источников и потребителей, которые подлежат оптимизации и представление этой задачи в виде матрицы.

В работе [3] проведен полный расчет проектируемой электрической сети межрегиональной сетевой компании с использованием транспортной задачи и представлена матрица, рассчитанная по определенному алгоритму. Полученное решение является допустимым, а найденные в результате расчетов свободные переменные: , , , , , , позволили значительно упростить электрическую сеть компании, найти оптимальные пути транспортировки электроэнергии, существенно уменьшить потребление дорогостоящего проводника (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема электрической сети, отвечающая допустимому решению

Последнее явилось исходным материалом для решения поставленной в этой работе задачи оптимизации потери мощностей в сети электро-передачи на базе использования метода потенциалов (метод улучшения допустимого решения).

С целью более детального рассмотрения метода потенциалов сформулируем поставленную задачу следующим образом, применительно к полученному допустимому решению.

Из трех источников электроэнергии, с соответствующей мощностью М_Иi (где i=), необходимо эффективно транспортировать электро-энергию, снижая потери между узлами источников энергии и узлами потребителей М_{Пj (}где j=).

Составим математическую модель, вводя, как и ранее, удельные стои-мости транспортировки электроэнергии от источников к потребителям, обозначив их через Z_ij в виде матрицы {Z_ij}.

Запишем математическую модель задачи:

МИ1=55 МИ2=35 МИ3=20	МП1=15 МП2=20 МП3=30 МП4=20 МП5=25

Z_ij=

Составим опорный план по правилу минимального элемента, и запишем в виде матрицы (таблица 1).

потеря мощность электроэнергетическая сеть

Таблица 1

Источники энергии	Потребители энергии	Мощность источника
	МП1	МП2	МП3	МП4	МП5
МИ1	1,1 0	1,5 0	1,3 0	1,7 0	1,8 0	55
МИ2	1,8 0	2,2 0	2,3 0	2,0 0	2,1 0	35
МИ3	1,7 0	2,1 0	2,5 0	2,1 0	2,3 10	20
Мощность потребителей	15	20	30	20	25	110

Обозначим излишек нераспределенной мощности от поставщика М^*_Иi, и недостаток в поставке мощности потребителю через М^*_Пj.

Находим первую строку и первый столбец таблицы 1 с минимальной удельной стоимостью на транспортировку единицы мощности - в нашем случае она равна 1,1. Помещаем в эту клетку вместо нуля меньшую из величин М^*_И1=55, М^*_П1=15. В результате в первом столбце установился баланс мощностей, но в первой строке данной таблицы баланс не установлен.

Поступаем аналогично, находим следующую клетку с минимальной удельной стоимостью транспортировки по этой же строке - в нашем случае она равна 1,3 и помещаем в нее меньшее из чисел М^*_И1=40 (излишек), М^*_П1=30.

Повторяем перечисленные выше операции для первой строки второго столбца в рабочей матрице, внося меньшую из величин М^*_П2=20 и М^*_И1=10 (остаток).

В результате проведенных манипуляций установится баланс мощностей по первой строке и первому столбцу транспортной матрицы таблицы 1, а в оставшиеся клетки первой строки и столбца вносим нулевые значения.

Для оставшихся клеток матрицы повторяем аналогичную процедуру, начиная со второй строки и второго столбца, находим клетку - Z₁₄=2,0, вносим меньшее из значений М^*_П4=20 и М^*_И2=35.

Повторяя операцию, находим клетку с минимальным значением Z₂₅=2,1 и вносим в нее меньшее из М^*_И2=15 и М^*_П5=20.

В результате установлен баланс по всем строкам и столбцам транспортной матрицы.

Таблица 2

Источники энергии	Потребители энергии	Мощность источника
	МП1	МП2	МП3	МП4	МП5
МИ1	1,1 15	1,5 10	1,3 30	1,7 0	1,8 0	55
МИ2	1,8 0	2,2 0	2,3 0	2,0 20	2,1 15	35
МИ3	1,7 0	2,1 10	2,5 0	2,1 0	2,3 10	20
Мощность потребителей	15	20	30	20	25	110

Транспортные расходы при транспортировке электрической энергии от источников к потребителям, согласно таблице 2, составят:

Z=Z11X11+Z12X12+Z13X13+Z24X24+Z25X25+Z32X32+Z35X35=

=15*1,1+10*1,5+30*1,3+20*2,0+15*2,1+10*2,1+10*2,3=186

Как видно из приведенного выше алгоритма, метод нахождения допустимого решения достаточно трудоемок, поскольку нахождения его для соответствующей свободной переменной необходимо строить цикл, и каждый раз определять изменение целевой функции.

С целью улучшения полученного допустимого решения воспользуемся методом потенциалов, учитывая, что загруженных клеток семь, а свободных неизвестных восемь, приходим к выводу, что план является нецикличным (ацикличный).

Введем для этого в рассматриваемую матрицу таблицы 2 каждой строке - U_i и столбцам - V_j, соответствующие потенциалы U_i и V_j, связанные с базисной переменной Z_ij соотношением:

Z_ij= U_i + V_j (1.1) где i=; j=

Z_{ij -} удельные затраты на транспортировку единицы мощности по

линиям, между узлами источников и потребителей.

Полагая, что U₁ =0 определим остальные значения потенциалов по строкам и столбцам - U₂, U₃, V₁, V₂, V₃, V₄, V₅, используя соотношение (1.1), учитывая, что нам известны U₁ =0, а Z_ij в занятых клетках матрицы тоже известны.

Получим:

U₁ =0, V₁= Z₁₁ - U₁ = 1,1 - 0=1,1

V₂= Z₁₂ - U₁ = 1,5 - 0=1,5

V₃= Z₁₃ - U₁ = 1,3 - 0=1,3

U₂= Z₂₅ - V₅ = 2,1 - 1,7=0,4

U₃= Z₃₂ - V₂ = 2,1 - 1,5=0,6

V₅= Z₃₅ - U₃ = 2,3 - 0,6=1,7

V₄= Z₂₄ - U₂ = 2,0 - 0,4=1,6

Определим значения оценок, то есть разницу между прямыми и кос-венными удельными затратами на транспортировку единицы мощности идущего от источника к потребителям, обозначив их соответственно , для свободных клеток матрицы (таблица 2):

= U₁+V₄) = 1,7 - (0+1,6) =0,1;

= U₁+V₅) =1,8 - (0+1,7) =0,1;

=U₂+V₁) = 1,8 - (0,4+1,1) =0,3;

U₂+V₂) = 2,2 - (0,4+1,5) =0,3;

U₂+V₃) = 2,3 - (0,4+1,3) =0,6

U₃+V₁) = 1,7 - (0,6+1,1) =0

U₃+V₃) = 2,5 - (0,6+1,3) =0,6

U₃+V₄) = 2,1 - (0,6+1,6) =-0,1.

Как видно из полученных расчетов имеет место клетка таблицы с отрицательной оценкой, а именно третья строка и четвертый столбец - Z₃₄= 2,1. Строим для нее цикл на основе минимального значения Z_ij

Таблица 3

	V1	V2	V3	V4	V5
	Источники энергии	Потребители энергии	Мощность источника
		МП1	МП2	МП3	МП4	МП5
U1	МИ1	1,1 15	1,5 10	1,3 30	1,7 0	1,8 0	55
U2	МИ2	1,8 0	2,2 0	2,3 0	2,0 10	2,1 25	35
U3	МИ3	1,7 0	2,1 10	2,5 0	2,1 10	2,3 0	20
Мощность потребителей	15	20	30	20	25	110

Найдем функцию цели:

Z=Z₁₁X₁₁+Z₁₂X₁₂+Z₁₃X₁₃+Z₂₄X₂₄+Z₂₅X₂₅+Z₃₂X₃₂+Z₃₄X₃₄=

=15*1,1+10*1,5+30*1,3+10*2,0+25*2,1+10*2,1+10*2.1=186

Выбираем опять клетку таблицы с наименьшей оценкой и строим для нее цикл, перемещая мощность в 10 удельных единиц, прибавляя там, где стоит знак "+" и вычитаем там, где стоит знак "-".

В результате перемещений по построенному циклу получаем новый план:

Проверим полученный план на оптимальность. Для этого подсчитаем потенциалы для клеток таблицы, содержащих свободные переменные:

U₁ =0

U₁+ V₄; V₄= 1,7 - U₁=1,7

U₁+ V₅; V₅= 1,8 - U₁=1,8

U₂+ V₁; V₁=1,8 - U₂=1,5

= U₂+ V₂; V₂=2,2 - U₂=0,4

= U₂+ V₃; U₂=2,3 - V₃=0,3

U₃+ V₁; V₁=1,7 - U₃=1,2

= U₃+ V₃; V₃=2,5 - U₃=2,0

= U₃+ V₅; U₃=2,3 - V₅=0,5

Определяем значение оценок для всех свободных клеток матрицы таб-лицы 4:

= U₁+V₄) = 1,7 - 1,7=0;

= U₁+V₅) =1,8 - 1,8=0;

=U₂+V₁) = 1,7 - (0,3+2,1) =0,2;

U₂+V₂) = 2,2 - (0,3+0,4) =1,5;

U₂+V₃) = 2,3 - (0,3+2,0) =0;

U₃+V₁) = 1,7 - (0,3+1,5) =-0,1;

U₃+V₃) = 2,5 - (0,5+2,0) =0;

U₃+V₅) = 2,3 - (0,5+1,5) =0,3.

Как видно из полученных расчетов имеет место клетка таблицы с отрицательной оценкой, а именно третья строка и первый столбец - Z₃₁= 1,7, то есть план для нее не является оптимальным. Строим для нее цикл, перемещая по циклу мощность в 10 удельных единиц, прибавляя там, где стоит знак "+" и вычитаем там, где стоит знак "-".

В результате проведенных операций получаем новый опорный план (таблица 4).

На основе полученного нового плана найдем уже для него значение целевой функции:

Z=Z₁₁X₁₁+Z₁₂X₁₂+Z₁₃X₁₃+Z₂₄X₂₄+Z₂₅X₂₅+Z₃₁X₃₁+Z₃₅X₃₅=

=5*1,1+20*1,5+30*1,3+10*2,0+25*2,1+10*1,7+10*2,1=185

Таблица 4

Источники энергии	Потребители энергии	Мощность источника
	МП1	МП2	МП3	МП4	МП5
МИ1	1,1 5	1,5 20	1,3 30	1,7 0	1,8 0	55
МИ2	1,8 0	2,2 0	2,3 0	2,0 10	2,1 25	35
МИ3	1,7 10	2,1 0	2,5 0	2,1 10	2,3 0	20
Мощность потребителей	15	20	30	20	25	110

Мощность, передаваемая по проектируемым линиям электропередач, связывающая потребителей с источниками питания является искомой величиной и обозначается, как и ранее, Х_ij.

Таким образом, можно сделать заключение, что в результате использования метода потенциалов удается более эффективно определить оптимальное решение на основе улучшенного решения (таблица 4) и получить схему оптимальной электрической сети.

Учитывая условие (1.1) перевод любой другой переменной в базис приведет к увеличению Z_ij. Следовательно, полученное решение оптимально, а схема электрической сети, соответствующая этому решению, представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Схема оптимальной электрической сети

Обсуждая полученный результат, можно сделать вывод, что решение задачи оптимизации потерь мощности в электроэнергетических сетях базируется на использовании транспортной задачи и представления транспортной матрицы размерности n*m (где n - количество источников питания, а m - количество потребителей). На основе представленной матрицы находятся допустимые решения по правилу минимального элемента удельной стоимости.

Следующим шагом на основе полученного допустимого решения, используя метод потенциалов (1.1) находим улучшенное допустимое решение, а затем проверяем его на оптимальность.

Полученный таким образом алгоритм позволяет легко запрограммировать все вычисленные операции и быстро получить результат оптимизации потерь мощности в проектируемой электроэнергетической сети, что обеспечивает снижение экономических и технологических затрат.

Список литературы

1. Аввакумов В.Г. Постановка и решение электроэнергетических задач исследования операций. - Киев: Вища школа, 1983.

2. Костин В.Н. Оптимизационные задачи электроэнергетики Учебное пособие - СПб.: СЗ гзту. Издательско-полиграфическая ассоциация вузов Санкт-Петербурга, 2003.

3. Степанов В.В. Степанов. Оптимизация поставки электроэнергии на примере использования транспортной задачи. - / В.В. Степанов, М.В. Степанова, В.В. Степанов. Сборник научных статей XVII всероссийская научно-практическая конференция (заочная)"Инновационные технологии в образовательном процессе, Краснодар, 2015.

4. Степанов В.В. Применение транспортной задачи для оптимизации в межрегиональных сетевых компаниях передачи электроэнергии. - / В.В. Степанов, М.В. Степанова, Ю.А. Кабанков. "YI Международная научно-практическая конференция молодых ученых, посвященная 55-й годовщине полета Ю.А. Гагарина в космос", Краснодар, 2016.

5. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7.0. - СПб.: ВНV, 1997.

Размещено на Allbest.ru

...