Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

ЗБІРНИК ЗАДАЧ

З ФІЗИКИ

С.Г. Авдєєв

Т.І. Бабюк

Вінниця 2010

1. ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

х = А cos ( t + 0),

х = - A sin (t + 0),

a = - A 2cos (t + 0) = - 2 x,

де А - амплітуда коливань;

- циклічна частота;

0 - початкова фаза коливань.

2. Зв'язок циклічної частоти з періодом коливань Т і частотою :

= = 2 .

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

F = ma = - m 2 x = - k x,

де k = m2 - коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

,

.

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2 ;

б) пружинний маятник

+ x = 0, де , звідки Т = 2 ;

в) фізичний маятник

+ x = 0, де , звідки T = 2 ,

де І - момент інерції маятника відносно осі коливань;

l - відстань від осі коливань до центра мас маятника;

- зведена довжина .

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань називається власною циклічною частотою і позначається через 0.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза 0 визначаються рівняннями :

,

tq 0 = ,

де А1 і А2 - амплітуди коливань, що складаються;

1 і 2 - початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (1 2) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

x = cos ,

де - амплітуда биття.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

Tб = , звідки Tб = .

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

cos(2 - 1) = sin2 (2 - 1),

де А1 і А2 - амплітуди коливань, що додаються;

2 - 1 - різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань :

0

де = - коефіцієнт згасання;

r - коефіцієнт опору середовища;

- власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв'язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A0e-t cos (t + ),

де А0е-t - амплітуда згасаючих коливань;

- циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання

д= ln ,

де д - логарифмічний декремент згасання;

- коефіцієнт згасання;

Т - період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань

= або = .

13. Період згасаючих коливань:

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем

= 2 або = ,

де Wt - повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

W(t=T) - втрати енергії коливальної системи за один період;

д - логарифмічний декремент згасання;

- коефіцієнт згасання;

0 - власна циклічна частота коливань;

Т - період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т Т0).

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

або

,

де F0 - вимушувальна сила;

- циклічна частота вимушених коливань.

16. Загальний розв'язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

x = A cos (t + ),

де А - амплітуда вимушених коливань;

- зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань

A = ,

де f0 = ;

0 - власна частота коливань системи;

- циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

tg = - .

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

рез = ;

Арез = .

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань = 4 c-1. В момент часу t = 0 координати частинки х0 = 25,0 см, а її швидкість х = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість х цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

= 4 с-1

х0 = 25,0 см

х= 100,0 см/с

t = 2,40 с

х - ? х - ?

Розв'язування. Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = A cos ( t + ).

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

х = - A sin ( t + )

В початковий момент часу t = 0 величини х і х відповідно дорівнюють х0 і х0:

x0 = A cos i х0 = - A sin .

Розв'язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

= 1 звідки А = ;

cos = звідки = arc cos .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм,

= arc cos .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість х в момент часу t:

x = 35,5 cos (4 2,40 + /4) = - 20,2 см,

х = - 35,5 4sin (4 2,40 + /4) = 115,7 см/с.

Відповідь: х = - 20,2 см; х = 115,7 см/с.

Приклад 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см. Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t см

Розв'язування. Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами 1 і 2 рівняння результуючого руху має вигляд:

х = .

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

= 2,1 c-1 i = 50,0 c-1

Звідки 1 = 47,9 c-1; 2 = 52,1 c-1.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

Tб = ,

де Тб - період биття.

Знаходимо період биття

Tб = = 1,49 с

Приклад 3. Задаються рівняння руху частинки х = Аsin t і

y = В cos t, де А і В - амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти: а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії; б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

Дано:

х = Аsin t

y = В cos t

у(х) - ? а - ?

Розв'язування. Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

sin t = , cos t = .

Піднесемо до квадрата:

= sin2t; = cos2 t;

Додавши ці рівняння одержимо:

+ = 1 - еліпс.

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

Рисунок 1

Аналізуючи рівняння умови задачі в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії:

а) при t = 0, х = 0 і у = В - початок руху ;

б) при t = /4, х = А і у = 0 - наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т. д.

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у:

хх = А сos t; ах= - А 2 sin t = - 2 x;

хy = - В sin t; ay= - В2 cos t = - 2 y;

.

Модуль вектора дорівнює

a = 2 = 2 r ,

де - модуль радіуса-вектора частинки в довільний момент часу.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

.

Приклад 4. Однорідний стрижень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стрижнем і блоками k = 0,18. Показати, що стрижень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Розв'язування. При зміщенні стрижня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F1 i F2, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

F1 = F2 =

де - густина матеріалу стрижня;

S - переріз стрижня;

k - коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

F = - (F1 -F2) = - 2 g S k x.

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

F = m a.

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

ma + 2 g S k x = 0

x = 0 .

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

2 =

T = 2

або врахувавши, що m = lS, одержимо:

T = 2 .

Підставимо числові значення:

T = 6,28 = 1,5 с.

Відповідь: Т = 1,5 с.

Приклад 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні ае період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду?

Розв'язування. Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка збігається з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення ( < 7), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

M =- mga sin ,

де а - відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

- кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sin = , а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

Mz = - mga ,

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

Mz = І .

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

I + mga = 0.

Звідки:

= 0.

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

де І - момент інерції стрижня відносно осі обертання;

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера згідно з якою:

I = I0 + m a2,

де І0 = ml2 - момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l2 + ma2 .

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

T = 2 .

Для визначення екстремальної відстані ае від центра мас до точки підвісу, похідну за а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0 , .

Звідки

2 a2 - - a2 = 0;

ae = .

ae = 0,34 м.

Величину ае з (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

Tmin = 2 = 1,67 c.

Відповідь: ае = 34 см; Тmin = 1,67 c.

Приклад 6. Кулька масою m і радіусом r котиться без ковзання по внутрішній поверхні циліндра радіусом R, виконуючи малі коливання біля положення рівноваги. Визначити період коливань кульки.

Розв'язування: На відведену від положення рівноваги кульку діють дві сили, сила тяжіння mg і сила реакції опори з точкою прикладання о1. Обертаючий момент відносно миттєвої точки о1 створюється лише силою тяжіння (рис.4.):

М = - mgr sin ,

де mg - сила тяжіння;

r - радіус кульки;

- кут відхилення радіуса-вектора кульки від положення рівноваги.

У випадку, коли кут < 7, sin = . В цьому випадку

M = - mgr.

За основним рівнянням динаміки обертального руху момент сили тяжіння дорівнює

М = І ,

де І - момент інерції кульки відносно миттєвої осі, яка проходить через точку о1 ;

- кутове прискорення кульки відносно точки о1.

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

I + mgr = 0.

Момент інерції кульки відносно миттєвої осі знаходимо за теоремою Штейнера:

I = mr2 + mr2 = mr2.

Кутове прискорення кульки можна визначити через дотичне прискорення а і радіус кульки r:

a = r .

Дотичне прискорення а також можна визначити відносно точки о циліндра:

a = (R - r) ,

де - кутове прискорення кульки відносно точки о, яке пов'язане із зміною кута повороту за часом ( = );

(R - r) - відстань від точки о до центра мас кульки.

Прирівняємо праві частини рівностей (6) і (7) і визначимо :

= .

Значення І з ( 5) і з (8) підставимо в (4), одержимо:

+ mgr = 0.

Звідки

 = 0.

Диференціальне рівняння (9) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань дорівнює

= .

Отже період коливань кульки:

T = 2 .

Приклад 7. Тіло масою 1 кг знаходиться у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. З допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожна тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги, як це показано на рис.5, і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання ; б) частоту коливань; в) логарифмічний декремент коливань д; г) число N коливань за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е разів; д) добротність коливальної системи.

Розв'язування. На відведене від положення рівноваги тіло (рис.5) діють дві однакові сили F1 = F2 = kx, які направлені в один бік. Повертальна сила в цьому випадку дорівнює:

Fn = - 2kx

При русі тіла у в'язкому середовищі з боку останнього виникає сила опору, яка пропорційна швидкості руху тіла:

F0 = - r .

Інших сил в напрямі руху тіла при здійсненні коливань не існує. За другим законом Ньютона результуюча цих двох сил призводить до виникнення прискорення, тобто можна записати:

Рівняння (3) можна перетворити:

= 0,

де = 2, - коефіцієнт згасання;

= 02, 0 - власна циклічна частота.

З урахуванням позначень рівняння (4) набуде вигляду:

= 0.

Рівняння (5) є диференціальним рівнянням згасаючих коливань, розв'язком якого є функція:

x = A0 e-t cos (t + ).

Розв'язування: а) коефіцієнт згасання дорівнює

= = 0,025 c-1;

б) частоту коливань знайдемо за формулою:

= 1,59 c-1;

в) логарифмічний декремент згасання дорівнює

д = ln = 0,0157;

г) число коливань, які виконані коливальною системою за час , протягом якого амплітуда зменшиться в е разів, дорівнює

N = ,

де - час, за який амплітуда зменшується в e paзів;

Т - період згасаючих коливань.

Спочатку знайдемо час

1 = ln = ,

звідки

= .

Тоді

N =

д) добротність коливальної системи

= 200.

Відповідь: = 1,59 с-1; д= 0,0157; N = 64; = 200.

Приклад 8. Частинку змістили від положення рівноваги на відстань А0 = 1 см і відпустили. Який шлях пройде ця частинка, здійснюючи згасаючі коливання, до повної зупинки, якщо логарифмічний декремент згасання д = 0,01 ?

Розв'язування. Зміщена від положення рівноваги частинка за першу чверть періоду, після того, як її відпустили, пройде шлях S1 = A0. За кожну наступну половину періоду частинка буде проходити відповідно шляхи

S2 =2A0 ; S3 = 2A0 ; S4 = 2 A0 i т.д.

Весь шлях руху частинки буде дорівнювати

S = S1 + S2 + S3 +....+ Sn.

Або

S = А0 + 2А0 + 2А0 + 2А0 +...+ 2А0 .

Після спрощення одержимо

S = A0 .

В круглих дужках нескінченно спадна геометрична прогресія, сума членів якої визначається за формулою

Sn = ,

де а1 = - перший член геометричної прогресії;

q = - знаменник прогресії.

Тому

S = A0 .

Врахувавши те, що Т =д, одержимо

S = 0,01 = 4 м

Відповідь: S = 4 м.

Приклад 9. До спіральної пружини жорсткістю 10 Н/м підвісили тягарець масою 10 г і занурили всю систему у в'язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору середовища рівним 0,1 кг/с, визначити: а) частоту 0 власних коливань; б) резонансну частоту рез; в) резонансну амплітуду Арез, якщо вимушувальна сила змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F0 = 0,02 Н; г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення пiд дією сили F0.

Аналіз теорії задачі. На тягарець, який здійснює коливання, окрім сили тертя і пружної сили, діє зовнішня сила, яка змінюється за гармонічним законом. З урахуванням дії всіх сил диференціальне рівняння коливань матиме вигляд:

m + r + kx = F0 cos t.

Поділимо рівняння (1) на масу тягарця m і введемо позначення:

; ; , одержимо

+ 2 + 02 x = f cos t.

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Рoзв'язком такого рівняння є функція, яка складається з двох частин:

x = A0e-t cos(t + ) + A cos (t + ) .

Через деякий час під дією вимушувальної сили коливання тягарця стануть стабільними. Тому розв'язком рівняння (2) буде лише функція

x = A cos (t + ).

Першу та другу похідні від (4) підставимо в (2):

= - A sin (t + ) = Acos (t + + /2),

 = - A2 cos (t + ) = A2 cos (t + + ) ,

A2 cos (t + + ) + 2 A cos (t + + /2) +

+ A2 cos (t + ) = f0 cos t. (5)

Введемо позначення: А1 = A2; A2 = 2 A; A3 = A 02; A4 = f0.

Для знаходження амплітуди А вимушених коливань скористаємось векторною діаграмою, на якій відкладемо амплітуди А1, А2, А3, А4 згідно з (5) (рис.6)

A42 = A22 + (A3 - A1)2

або врахувавши позначення, одержимо:

f02 = 42 A2 2 + (02 - 2) A2.

Звідки маємо: Рисунок 6

A =

Аналіз виразу (6) амплітуди вимушених коливань:

а) << 0, тобто 0

Aст = ,

де Аст - статичне зміщення тягарця під дією сталої сили F0;

б) 0

Aр = ,

де Ар - резонансне значення амплітуди (при 0, Аp ).

Для знаходження резонансної частоти і резонансної амплітуди дослідимо на максимум підкореневий вираз формули (6):

= 0 .

р = ,

де р - резонансна частота вимушених коливань.

Значення р з (9) підставимо в (6)

Aр = .

Якщо 0, то Aр = , що збігається з формулою (8).

Розв'язування: а) частота 0 власних коливань тягарця дорівнює

0 = = 5,03 c-1;

б) резонансна частота знаходиться за формулою (9)

р =

= 4,91 c-1 ;

в) резонансну амплітуду знайдемо за формулою (10)

Aрез = = 6,4 10-3 м;

г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення тягарця, тобто добротність коливальної системи, дорівнює

= = 160.

Відповідь: 0 = 5,03 с-1; р = 4,91 с-1; Ар = 6,4 мм; = 160.

2. МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

Основні формули

1. Рівняння плоскої хвилі

,

де Ux,t - зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А - амплітудне зміщення цих точок;

- хвильове число;

- довжина хвилі;

- циклічна частота коливань.

2. Рівняння сферичної хвилі

,

де r - радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв'язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

де х - швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т - період коливань;

- частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

де Е - модуль Юнга;

- густина твердого середовища.

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

,

де G - модуль зсуву;

- густина твердого середовища.

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

,

де K - модуль об'ємної пружності рідини;

- густина рідини.

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

,

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

,

де m = Sx - маса виділеного елементу пружного середовища;

- швидкість хвильового руху точок середовища;

б) потенціальна енергія

в) повна енергія хвиль

 г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

де - середнє значення повної енергії хвиль.

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

,

де - середня густина енергії пружних хвиль;

- вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

,

де - частота звуку яка сприймається приймачем;

- частота звуку джерела;

с - швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

х - швидкість руху приймача звуку;

u - швидкість руху джерела звуку (нижній знак - джерело і приймач розходяться; верхній знак - джерело і приймач сходяться).

9. Інтерференція когерентних хвиль:

 = 2 2n ,

де х2 - х1 - різниця ходу двох хвиль;

- різниця фаз хвиль;

- довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3, ... - порядок max.

Або

x = (x2 - x1) = n ;

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

= 2 .

або

x = (x2 - x1) = (2n + 1) /2.

10. Рівняння стоячої хвилі

ux,t =

де ux,t - зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А - амплітуда зміщення;

k = - хвильове число;

- циклічна частота коливань;

- амплітуда стоячої хвилі.

а) координати вузлів стоячої хвилі

kx = (2n + 1)/2 або x = (2n + 1)/4 ,

де n = 0, 1, 2, 3, ...;

х - координати вузлів стоячої хвилі.

б) координати пучностей стоячої хвилі

kx = n або x = n ,

де n = 0, 1, 2, 3, ... .

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі = 1,2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення ux,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.

ux,t = A cos (t - kx),

де = 2/Т - циклічна частота коливань;

k = 2/ - хвильове число.

Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль у пружньому середовищі як відповідні похідні за часом від (1):

;

 .

а) зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює

б) швидкість цих точок

= - 0,2 10-3.2093 sin =- 0,031 м/с.

в) прискорення руху точок середовища

= 0,2.10-3.20932

соs = -873,3 м/с2.

Відповідь: ux,t = 0,12 мм;

=- 0,031 м/с; = - 873,3 м/с2 .

Приклад 2. Рівняння плоскої біжучої хвилі має вигляд

ux,t = 6,0 10-2 cos (1800t - 5,3x) мм.

Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв'язок з амплітудою швидкості частинок.

Розв'язування. Рівняння плоскої біжучої хвилі в загальному вигляді запишемо так:

ux,t = A cos .

а) порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:

А = 6,0 10-5 м; 2/Т = 1800 с-1,

звідки

Т = 2/1800 = 3,49 10-3 с.

2/ = 5,3 м-1, то = 2/5,3 = 1,18 м.

Тому

= 5,08 10-5.

б) швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)

 = - 6,0 10-5 1800 sin (1800t - 5,3x) м/с,

де ()max = 6,0 10-5 1800 = 0,11 м/с - амплітуда швидкості частинок.

Швидкість поширення хвиль у пружному середовищі

= 339 м/с.

Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль

в) для знаходження зв'язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):

;

;

Поділимо рівняння (4) на (3)

= х



де - амплітуда швидкості;

- амплітуда відносної деформації;

х - швидкість поширення хвиль.

Відповідь: А/ = 5,08 10-5 ; = 0,11 м/с;

= 3,19 10-4; .

Приклад 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше 0 =1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.

Розв'язування. В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.

Рисунок 7

а) у випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число /4, тобто

l = (2k +1) /4,

де k = 0, 1, 2, ...;

- довжина хвилі, яка пов'язана з частотою коливань = х/.

Тому

l = (2k + 1) ,

Знайдемо ці частоти

k = 0; 1 = = 100 Гц.

k = 1; 2 = = 300 Гц.

k = 2; 3 = = 500 Гц.

k = 3; 4 = = 700 Гц.

k = 4; 5 = = 900 Гц.

k = 5; 6 = = 1100 Гц.

Наступна частота буде більша за 6;

б) у випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, треба, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто

l = k , де k = 1, 2, 3, ....

З урахуванням того, що = , маємо

l = k , звідки = .

Знайдемо ці частоти

k = 1; 1 = = 200 Гц. k = 2 ; 2 = = 400 Гц.

k = 3; 3 = = 600 Гц. k = 4 ; 4 = = 800 Гц.

k = 5; 5 = = 1000 Гц. k = 6 ; 6 = = 1200 Гц.

Приклад 4. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u1 = 30 м/c і u2 = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою 1 = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.

Розв'язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера:

а) до зустрічі

600 = 696 Гц;

б) після зустрічі

600 = 519 Гц.

Приклад 5. Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м2. Яка середня густина енергії на цій відстані ?

Розв'язування. Відомо, що інтенсивність або густина потоку енергії визначається за формулою

R =,

де W - повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;

S - площа поверхні, через яку здійснюється перенесення енергії;

t - час випромінювання.

Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати

N = або N = R S.

Підставимо числові значення

N = 20 10-3 4 3,14 625 = 157 Вт.

Середня об'ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули

R = звідки = ,

де - швидкість звуку в повітрі, яка для норальних умов дорівнює 340 м/с.

Тому

5,88 10-5 Дж/м3.

3. ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Основні формули

1. При вільних коливаннях в контурі, який складається з послідовно з'єднаних конденсатора ємністю С, котушки з індуктивністю L і резистора з омічним опором R, заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом:

q = q0 e-t cos (t + 0),

де q0 e-t - амплітуда згасаючих коливань;

- коефіцієнт згасання;

- циклічна частота згасаючих коливань;

q0 i 0 - початкові значення амплітуди заряду і фази коливань.

2. Циклічна частота згасаючих коливань:

=

3. Власна циклічна частота коливального контуру:

.

4. Добротність коливального контуру:

або для малих значень R (наближена формула)

.

5. Якщо в коливальному контурі, який складається з конденсатора ємністю С, котушки резистора з омічним опором R, з'єднаних послідовно, діє періодично діюча е.р.с о = о0 cos t, то в такому колі виникнуть вимушені коливання струму з частотою

I = I0 cos (t + ).

При цьому величини І0 і виражаються формулами:

I0 = ;

tg = .

6. Амплітуда струму І0 досягне найбільшого значення (явище резонансу), якщо частота вимушених коливань збіжиться з частотою 0 власних коливань:

p = 0 = .

7. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в прозорих середовищах:

х = ,

де і - діелектрична і магнітна проникності середовища; 0 і 0 - електрична і магнітна сталі вакууму.

8. Швидкість поширення електромагнітних хвиль в вакуумі:

c = .

9. Показник заломлення середовища

.

10. Рівняння електромагнітних хвиль

Ez = E0 cos (t - kx) ;

Hу = H0 cos (t - kx) ,

де Е0 і Н0 - амплітуди значень векторів напруженості електричного і магнітного полів в електромагнітній хвилі;

k = 2/ - хвильове число.

11.Густина енергії електромагнітних хвиль

w = we + wм = E H = E H ,

де wе і wм - густина енергії відповідно електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

12. Вектор густини потоку енергії електромагнітних хвиль, вектор Пойнтінга

де w - густина енергії поля;

- вектор швидкості електромагнітних хвиль;

і - вектори напруженості електричного і магнітного полів електромагнітної хвилі.

Приклади роз'язування задач

Приклад 1. Коливальний контур має індуктивність 1,6 мГн, електричну ємність 0,04 мкФ і максимальну напругу Umax на клемах рівну 200 В. Визначити максимальну силу струму в контурі. Опором контуру знехтувати.

Розв'язування. Згідно з законом збереження енергії, максимальна енергія електричного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного поля котушки індуктивності. Тому

.

Звідки

Imax = Umax .

Підставимо числові значення

Imax = 200 = 1 A.

Відповідь: Іmax = 1 А.

Приклад 2. Індуктивність коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Контур резонує на довжину хвилі 300 м. Визначити електроємність такого контуру. Опором контуру знехтувати.

Розв'язування. Виразимо довжину електромагнітної хвилі через швидкість поширення і період коливань контуру

= с Т,

де с = 3 108 м/с - швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Період коливань контуру дорівнює

Т = 2 .

Тому

= 2 с .

Звідки знаходимо ємність конденсатора

С = .

Підставимо числові значення

С = = 5,1 10-11 Ф.

Відповідь: С = 51 пФ.

Приклад 3. В середовищі, для якого = 4,00 і = 1,00, поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда електричного вектора хвилі Еmax = 200 В/м. На шляху хвилі розміщена поглинаюча поверхня, яка має форму диска радіусом r = 300 мм. Яку енергію поглинає ця поверхня за t = 1,00 хв? Період хвилі Т << t.

Розв'язування. Енергія, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга

,

де - вектор густини потоку енергії.

В електромагнітній хвилі вектори і взаємно перпендикулярні, тому модуль вектора Пойнтінга дорівнює

.

Оскільки обидві величини Е і Н, які характеризують електромагнітну хвилю, в кожній її точці змінюються в часі за законом синуса або косинуса і знаходяться в однакових фазах, співвідношення (2) можна записати так:

R = E0 sin t H0 sin t = E0 H0 sin2 t.

Таким чином, величина R є функцією часу, а формули (2) і (3) дають лише миттєві значення цієї величини.

Нехай через площадку S в напрямі перпендикулярному до напряму поширення хвилі переноситься за час t енергія W. Тоді густина потоку

R =

Через площадку S буде перенесена за час t енергія W, яка міститься в об'ємі циліндра з основою S і висотою хt, тобто

W = R S t.

З урахуванням (3) маємо

W = E0 H0 S t sin2 t.

Згідно з теорією електромагнітних хвиль, густини енергії електричного і магнітного полів хвилі в будь-який момент часу однакові як для Е і Н, так і для Е0 і Н0. Тому

.

З формули (7) знаходимо Н0 і підставляємо в (6)

W = S t sin2 t.

Оскільки за умовою задачі Т << t, то величину sin2t можна усереднити в часі, тобто

.

Остаточно одержуємо

W = .

Підставимо числові значення

W = 4 104 9 10-2 3,14 60 = 1800 Дж.

Відповідь: 1800 Дж.

303. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення хmax дорівнює 10 см, найбільша швидкість хмах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту щ коливань і максимальне прискорення amax.

Відповідь: 2 с-1; 40 см/с2.

304. Точка виконує коливання за законом х = Asinщt. У деякий момент часу зміщення х1 точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х2 стало дорівнювати 8см. Знайти амплітуду А коливань.

Відповідь:

.

305. Рівняння коливань точки має вигляд х = A cosщ (t+ ф), де щ= рс -1; ф = 0,2 с. Визначити період Т і початкову фазу ц коливань.

Відповідь: 2 с; 36о.

306. Точка виконує коливання за законом х = А cos (щt+ ц), де А = 4 см. Визначити початкову фазу ц, якщо: а) і б) см і в) х(0) = см і г) х(0)= см і . Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.

Відповідь:; ; ; .

307. Точка виконує коливання з амплітудою A = 4 см і періодом Т = 2 с. Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в момент часу t = 0 зміщення х(0) = 0 і х(0)< 0. Визначити фазу (щt + ц) для двох моментів часу: а) коли зміщення х = 1 см і х > 0; б) коли швидкість х = - 6 см/с і х < 0.

Відповідь:, де А = 4см, рад/с, ;

; .

308. Точка виконує коливання за законом х = A cosщt, де А = 5 см; = 2 с-1. Визначити прискорення а точки в момент часу, коли її швидкість х = 8 см/с.

Відповідь:

.

309. Максимальна швидкість хmах точки, що виконує гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення amах = 100 см/с2. Знайти циклічну частоту щ коливань, їх період Т і амплітуду А. Написати рівняння коливань, прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

Відповідь:

; 0,628 с; 1 см; .

310. Коливання точки відбуваються за законом х = A cos (щt + ц). У деякий момент часу зміщення х точки дорівнює 5 см, її швидкість х = 20 см/с і прискорення a = - 80 см/с2. Знайти амплітуду А, циклічну частоту щ, період T коливань і фазу (щt + ц) у розглянутий момент часу.

Відповідь: ; ; ; рад.

311. Точка бере участь у двох однаково направлених коливаннях х1 = А1 sin щt і х2 = А2 cos щt, де А1 = 1 см; А2 = 2 см; щ =1с-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту v і початкову фазу ц. Знайти рівняння цього руху.

Відповідь: А = 2,24 см; ; рад; , де .

312. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за законом: , де t - час у секундах, х - у сантиметрах. Визначити амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість і прискорення а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.

Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; х = 11,07 см/с;

а = 47,6 см/с2.

313. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Амплітуда швидкості частинки= 22 см/с, амплітуда її прискорення = 77 см/cІ. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту щ коливань частинки.

Відповідь: А = 6,28 см; щ = 3,5 с-1.

314. Матеріальна точка виконує коливання уздовж деякого напрямку за законом , де щ = 1,57 c-1. Амплітуда швидкості . Знайти для моментів часу , , значення координати х, швидкості і прискорення а точки.

Відповідь: х1 = 0; х2 = 0,042м; х3=0,06 м; х1 = 0,094 м/с; х2 = 0,066 м/с; х3 = 0; а1 = 0; а2 = 0,1 м/с2; а3 = 0,15 м/с2.

315. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки дорівнює 0,1 м, найбільша швидкість 0,2 м/с. Знайти циклічну частоту коливань і максимальне прискорення точки.

Відповідь: щ = 2 с-1; амах. = 0,4м/с2.

316. Коливання матеріальної точки масою 0,1 г відбуваються за законом: (см). Визначити максимальні значення кінетичної енергії і сили, яка повертає матеріальну точку до положення рівноваги.

Відповідь: Kмах = 4,9.10-6 Дж; Fмах = 1,97.10-4 Н .

317. До спіральної пружини підвісили тягарець, у результаті чого пружина розтяглася на 9 см. Який буде період коливань тягарця, якщо його трохи відтягнути від положення рівноваги, а потім відпустити?

Відповідь: Т = 0,6 с.

318. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Період коливань Т = 2 с, а амплітуда А = 4 см. Знайти швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2 см.

Відповідь: х = 0,108 м/с.

319. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Циклічна частота щ = 4 c-1, амплітуда прискорення = 72 см/cІ. Визначити швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2,2 см.

Відповідь: х = 0,157 м/с.

320. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. При зміщенні частинки від положення рівноваги на x1 = 2,6 см її швидкість 1 = 2,9 см/с, а при зміщенні на x2 = 3,4 см швидкість частинки 2 = 1,9 см/с. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту коливань частинки.

Відповідь: А = 0,0389 м; щ = 1 с-1.

321. Частинка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 4cos4рt (см) і x2 = 3cоs(4рt + р/2) (см). Визначити циклічну частоту щ, амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання частинки. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: щ = 4р с-1; А = 0,05 м; ц = 36,86о.

322. Написати рівняння руху x(t) частинки, яка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 30cosрt/3 і x2 = 30cos(рt/3 + р/6) мм.

323. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку: x1 = 20cosщt (мм) і x2 = 20cos(щt + р/3) (мм). Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання, якщо щ = р с-1. Написати також рівняння результуючого коливання x(t).

Відповідь: А=34,6 мм: ц = р/6.

324. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = sint (мм) і y = cos(t + 0,5) (мм). Знайти рівняння траєкторії точки y(x) та побудувати його графік.

325. Частинка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 0,50sinщt і y = 1,5cosщt. Знайти рівняння руху частинки y(x). Побудувати графік результуючого траєкторії коливань і вказати на ній напрямок руху частинки.

326. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, утвореного при додаванні двох коливань однакового напрямку і періоду:

x1 = 10sin3рt (см) і x2 = 12sin(3рt + /2) (см). Написати рівняння результуючого коливання. Побудувати векторну діаграму.

Відповідь: А = 15,6 см; ц = 39,8о.

327. Зміщення освітленої точки на екрані осцилографа є результатом додавання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: x = 1,5sin2рt см і y = 3sin2рt см. Написати рівняння результуючого коливання y(x) і побудувати його траєкторію.

327. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку з однаковими періодами Т1 = Т2 = 1,5 с і амплітудами А1 = А2 = 2 см. Початкові фази коливань ц1 = р/2, ц2 = р/3. Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання. Знайти його рівняння і побудувати з дотриманням масштабу діаграму додавання амплітуд.

Відповідь: А= 3,86 см; ц = 75о.

329. Точка рухається в площині x y за законом x = Asinщt і y = Bcosщt, де А = В = 10 см, = 2,0 рад/с. Знайти рівняння траєкторії руху точки y(x) і її прискорення у момент часу 2 с.

Відповідь: а = 0,4 м/с2.

330. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 5cosрt см і y = 10cosрt см. Знайти рівняння траєкторії точки y(х) і швидкість точки в момент часу 1 с.

Відповідь: х = 0.

331. Частинка виконує прямолінійні згасаючі коливання з періодом Т = 4,5 с. Початкова амплітуда коливань Ao = 0,16 м, а амплітуда після 20 - ти повних коливань А = 0,01 м. Визначити коефіцієнт згасання в і логарифмічний декремент згасання . Написати рівняння коливань частинки, прийнявши початкову фазу коливань = 0.

...