Гармонічні коливання і хвилі

Відповідь: в = 0,03 с-1; д = 0,135.

332. Математичний маятник довжиною l = 1 м виконує згасаючі коливання в середовищі, логарифмічний декремент згасання якого 1 = 1,26. Визначити логарифмічний декремент згасання 2 маятника, якщо опір середовища зросте в 2 рази.

Відповідь: д2 = 2,52.

333. Знайти коефіцієнт згасання в і логарифмічний декремент згасання математичного маятника, якщо відомо, що за час ф = 100 с коливань повна механічна енергія маятника зменшилася в десять разів. Довжина маятника l = 0,98 м.

Відповідь: в=0,0115 с-1; = 0,023.

334. Тіло масою m = 12 г виконує згасаючі коливання з частотою

щ = 3,14 c-1. При цьому за час ф = 60 с тіло втрачає 0,9 своєї повної механічної енергії. Знайти: а) коефіцієнт згасання в; б) коефіцієнт опору середовища r.

Відповідь: в = 0,019 с-1; r = 4,56.10-4 кг/с.

335. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t1 = 5 хв. зменшилася у 2 рази. За який час, від початкового моменту, амплітуда зменшилася у вісім разів?

Відповідь: t2 = 15 хв.

336. Енергія згасаючих коливань маятника, які відбуваються у деякому середовищі, протягом 120 с зменшилася у 100 разів. Визначити коефіцієнт опору середовища, якщо маса маятника дорівнює 0,2 кг.

Відповідь: r = 0,0076 кг/с.

337. Знайти логарифмічний декремент згасання математичного маятника довжиною 50 см, якщо за проміжок часу 5 хв. його повна механічна енергія зменшилася в 4·104 разів.

Відповідь: д = 0,025.

338. Знайти число повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася у 2 рази. Логарифмічний декремент згасання = 0,01.

Відповідь: N = 34,6.

339. Тіло масою 5·10-3 кг виконує згасаючі коливання. Протягом часу ф = 50 с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору середовища. гармонічний коливання дифракційний поляризація

Відповідь: r = 9,16.10-5 кг/с.

340. Визначити період згасаючих коливань, якщо період власних коливань системи дорівнює 1 с, а логарифмічний декремент згасання дорівнює = 0,628.

Відповідь: Т = 1,005 с.

341. Складаються два взаємно перпендикулярних коливання, що описуються рівняннями х = А1 sin щt і y = А2cosщ(t+ ф), де А1 = 2 см; A2 = 1 см; щ= р с-1; ф = 0,5 с. Знайти рівняння траєкторії і побудувати її, зазначивши напрямок руху точки.

Відповідь: або .

342. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час ф1 = 2хв зменшилася у три рази. За який час ф2, рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у десять разів?

Відповідь: ф2= 4,18 хв.

343. Амплітуда коливань маятника довжиною l = 1м за час ф = 10 хв. зменшилася у два рази. Визначити логарифмічний декремент коливань .

Відповідь: .

344. Гиря масою m = 500 г підвішена до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м і виконує пружні коливання у деякому середовищі. Логарифмічний декремент коливань = 0,004. Визначити кількість N повних коливань, які повинна виконати гиря, щоб амплітуда коливань зменшилася в n = 2 рази. Коефіцієнт опору середовища дорівнює r = 4.10-3 кг/с. За який час ф відбудеться це зменшення?

Відповідь: ; .

345. Визначити період То власних коливань, якщо період T згасаючих коливань системи дорівнює 2с і логарифмічний декремент згасань = 0,628.

Відповідь: Т = 1,96 с.

346. Знайти кількість N повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася в n = 2 рази. Логарифмічний декремент коливань = 0,01.

Відповідь: N = 35.

347. Вагон масою m = 80 т має чотири ресори. Жорсткість k пружин кожної ресори дорівнює 500 кН/м. При якій швидкості х вагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок, якщо довжина l рейки дорівнює 12,8 м?

Відповідь: .

348. Визначити амплітуду А і початкову фазу ц результуючого коливання, що виникає при додаванні двох коливань однакових напрямків і періодів: х1 =А1 sinщt і х2=A2 sin щ(t + ф), де А1= А2 =1см; щ = р с-1; ф = 0,5 с. Знайти рівняння результуючого коливання.

Відповідь: A = 1,41 см; ; .

349. Точка бере участь одночасно у двох гармонічних коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і описуються рівняннями х = А1 cos щt і y = А2 cos щ(t+ф), де А1 = 4 см; А2 = 8 см; щ = р с-1; ф = 1 с. Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати графік її руху.

Відповідь: або .

350. За час t = 8 хв. амплітуда згасаючих коливань маятника зменшилася у три рази. Визначити коефіцієнт згасання в.

Відповідь: в = 0,0023 с-1.

351. Логарифмічний декремент коливань д маятника дорівнює 0,003. Визначити кількість N повних коливань, які повинен виконати маятник, щоб їх амплітуда зменшилася у два рази.

Відповідь: .

352. Тіло масою m = 15 г бере участь у згасаючих коливаннях. Протягом часу t = 30 с тіло втратило 50% своєї енергії. Визначити коефіцієнт згасання середовища .

Відповідь: =0,0115с-1 .

353. Тіло масою m = 1 кг міститься у в'язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. За допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожне тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання в; б) частоту v коливань; в) логарифмічний декремент коливань д; г) кількість N коливань, після яких амплітуда зменшиться в е разів.

4. ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ СВІТЛА

Основні формули

1. Швидкість поширення світла в середовищі

де с - швидкість світла в вакуумі;

n - показник заломлення середовища.

2. Оптична довжина ходу променя

,

де l - геометрична довжина ходу променя в середовищі з показником заломлення n.

3. Оптична різниця ходу двох променів

4. Зв'язок оптичної різниці ходу з різницею фаз

де - хвильове число;

- довжина хвилі світла.

5. Умова максимуму інтерференції когерентних хвиль

,

де k = 1, 2, 3, ... - порядок максимуму;

довжина хвилі.

6. Умова мінімуму інтерференції когерентних хвиль

де k = 1, 2, 3,... - порядок мінімуму.



де L - відстань від екрана до щілин Юнга;

d - відстань між щілинами Юнга;

- довжина хвилі.

8. Оптична різниця ходу променів в тонких плівках:

а) відбиті промені

або

б) прохідні промені

або

де d - товщина плівки;

n - показник заломлення речовини плівки;

і1 і і2 - кути падіння і заломлення променів.

9. Радіуси світлих і темних кілець Ньютона:

а) відбиті промені

- світлі кільця;

- темні кільця;

б) прохідні промені

 - cвітлі кільця;

- темні кільця,

де k = 1, 2, 3, ... - порядок кільця;

R - радіус кривизни плоско-oпуклої лінзи;

- довжина хвилі світла;

n - показник заломлення речовини, якою заповнено простір між лінзою і плоскопаралельною пластинкою.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Відстань d між двома когерентними джерелами світла ( = 0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм. Відстань b між сусідніми інтерференційними максимумами в середній частині екрана дорівнює 1 см. Визначити відстань L від джерела до екрана.

Розв'язування. З подібності трикутників S1S2C і О1ОР знаходимо наближене відношення сторін (рис.8).

звідки

В точці P спостерігається k - й максимум інтерференції двох променів S2k і S1k, оптична різниця ходу між якими

.

З умови максимуму інтерференції двох променів маємо:



де уk - відстань від 0 -го максимуму до k -го максимуму на екрані.

Для (k+1)- го максимуму

Ширина інтерференційної смуги

.

Звідки відстань від джерел світла до екрана

Підставимо числові значення

.

Відповідь: L = 2 м.

Приклад 2. На мильну плівку (n = 1,33), яка знаходиться у повітрі, падає перпендикулярно промінь білого світла. При якій найменшій товщині d плівки відбите світло з довжиною хвилі = 0,55 мкм виявиться максимально підсиленим в результаті інтерференції?

Розв'язування. З рис.9 видно, що інтерферують промені 1 і 2, які відбиті від верхньої і нижньої поверхонь плівки. Оптична різниця ходу цих променів дорівнює

,

де - враховано повернення фази хвилі на протилежну при відбиванні від межі з оптично більш густим середовищем;

r2 = 2dn - оптичний хід променя в тонкій плівці.

Тому

.

Для максимуму інтерференції виконується співвідношення:

.

Прирівняємо оптичні різниці ходу

Звідки

d = (2k+1).

Якщо k = 0, то d = dmin

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: dmin = 0,1 мкм

Приклад 3. Діаметри di i dk двох світлих кілець Ньютона відповідно дорівнюють 4,0 і 4,8 мм. Порядкові номери кілець не визначались, але відомо, що між ними розміщені ще три світлих кільця. Кільця спостерігаються у відбитому світлі ( = 500 нм). Визначити радіус кривизни плоско-опуклої лінзи, взятої для досліду.

Розв'язування. Співвідношення між радіусом сферичної поверхні плоско-опуклої лінзи R радіусом k-го кільця Ньютона і товщиною повітряного проміжку має такий вигляд:

R2 = (R-dk)2 + rk2 або R2 = R2 - 2Rdk + dk2 + rk2.

Нехтуючи за малістю dk2, знаходимо:

rk2 = 2R dk .

Аналогічно для і-го кільця:

ri2 = 2R di .

Різниця ходу променів, які дають інтерференційну картину у випадку, коли промені падають перпендикулярно до системи, лінза - пластинка для максимумів інтерференції, виражається формулою:

2dk + = k.

Звідки

dk = (2k - 1) .

Для і-го світлого кільця

dі = (2і - 1).

Підставимо (3) і (4) відповідно в (1) і (2)

rk2 = (2k - 1) .

ri2 = (2i - 1) .

З урахуванням того, що k = і + 3, маємо

rk2 = (2і +5) .

Від (6) віднімемо

rk2 - ri2 = 3 R.

Звідки

 .

Підставимо числові значення

R = м.

Відповідь: R = 1,17 м.

Приклад 4. Дві плоскопаралельні скляні пластинки утворюють клин з кутом = . Простір між пластинками заповнено гліцерином (n = 1,47). На клин перпендикулярно до його поверхні падає промінь монохроматичного світла з довжиною хвилі = 500 нм. В відбитому світлі спостерігається інтерференційна картина. Яке число N темних інтерференційних смуг вкладається на 1 см довжини клина?

Дано:

Розв'язування. Оптичні різниці ходу променів в точках розміщення k-го і (k + N) -го мінімумів (рис.11) дорівнюють:

1 = 2dkn - ; 2 = 2dk+N n - .

Згідно з умовою мінімумів інтерференції запишемо

1 = (2k +1) ; 2 = [2(k +N) +1] .

(2k +1) = 2dk n - звідки dk = ;

= 2dk+N n - звідки dk+N = ;

З рисунка видно, що

tg = ,

де d = dk+N - dk = .

Тоді

tg = .

Звідки

.

Для малих кутів tg = .

Тому

.

Підставимо числові значення

= 8,55 1/см.

Відповідь: N = 8,55 1/см.

Приклад 5. Визначити переміщення дзеркала в інтерферометрі Майкельсона, якщо інтерференційна картина зміcтилась на m = 100 смуг. Довжина хвилі світла 546 нм.

Розв'язування. Переміщення дзеркала на відстань відповідає зміні різниці ходу променів на одну смугу (рис.12).

Таким чином, можна записати:

.

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: L = 27,3 10-6 м.

5. ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА

Основні формули

1. Радіуси зон Френеля:

а) сферичний хвильовий фронт

;

б) плоский хвильовий фронт

,

де k - порядковий номер зони Френеля (k = 1, 2, 3,...);

- довжина хвилі світла;

a - радіус хвильової поверхні;

b - відстань від вершини хвильової поверхні до екрана.

,

де b - ширина щілини;

- кут дифракції;

k = 1, 2, 3,... - порядок максимуму або мінімуму дифракції.

3. Умова мінімумів дифракції на щілині

b sin = k .

4. Умова головних максимумів на дифракційній гратці

d sin = k ,

де d - стала дифракційної гратки, яка дорівнює ширині однієї прозорої і однієї непрозорої смуг (d = b + a).

5. Кутова дисперсія гратки

,

де k - порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

- кут дифракції.

6. Роздільна здатність дифракційної гратки:

,

де - найменший інтервал довжин хвиль, якi за умовою Релея можуть бути розділені;

k - порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

N - число всіх щілин в гратці .

7. Умова максимумів дифракції рентгенівських променів на просторовій гратці (формула Вульфа-Брегга)

2d sin = k ,

де d - стала кристалічної структури;

- кут між напрямком променя і поверхнею кристала;

k - порядок спектра ( k = 1, 2, 3, ...);

- довжина хвилі.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Точкове джерело світла з довжиною хвилі 0,6 мкм розміщене на відстані а = 100 см перед діафрагмою з круглим отвором радіусом k = 1 мм. Визначити відстань b від хвильової поверхні до точки спостереження, для якої в отворі діафрагми вкладається k = 5 зон Френеля.

Розв'язування. Якщо в отворі діафрагми на хвильовій поверхні радіусом а вкладається k зон Френеля, то радіус k-ї зони буде рівний (рис.13):

.

Звідки

.

Підставимо числові значення

= 0,5 м.

Відповідь: b = 0,5 м.

Приклад 2. На щілину шириною b = 0,01 мм перпендикулярно падає промінь світла ( = 577 нм). Під яким кутом до початкового напрямку будуть спостерігатись максимуми другого і третього порядків?

Розв'язування. Умова максимумів дифракції на одній щілині має вигляд:

де bsin = - оптична різниця ходу двох крайніх променів, які проходять крізь щілину (рис.14).

Звідки

sin = або = arcsin.

Підставимо числові значення:

a) k = 2, 2 = arcsin 8,1о;

б) k = 3, 3 = arcsin .

Приклад 3. Дифракційна гратка містить 200 смуг на 1 мм. На гратку падає перпендикулярно монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм.

Розв'язування. Головні максимуми дифракції на дифракційній гратці (рис.15) спостерігаються згідно з умовою

d sin = k ,

де dsin = - oптична різниця ходу двох суміжних променів;

k - порядок дифракційної смуги;

- довжина хвилі світла.

Порядок дифракційної смуги з цієї умови дорівнює:

.

Якщо sin = 1, то k = kmax , тому

.

Сталу дифракційної гратки знайдемо із умови

Тому

.

Підставимо числові значення

.

Відповідь: kmax = 8.

Приклад 4. За допомогою дифракційної гратки з періодом d = 20 мкм необхідно роздільно бачити дублет натрію (1 = 589,0 нм і 2 = 589,6 нм) в спектрі другого порядку. При якій найменшій ширині гратки це можливо?

Розв'язування. Роздільна здатність дифракційної гратки визначається формулами:

i R = k N,

де k - порядок спектра;

N - число всіх щілин або смуг в гратці;

= 1 - 2 - найменший інтервал довжин хвиль, які можна бачити роздільно в околі довжин хвиль 1.

Прирівняємо праві частини цих формул:

kN = .

Число всіх щілин в гратці дорівнює

N = ,

де l - ширина гратки;

d - стала гратки.

Тому

.

Звідки

,

 .

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: l 1 см.

6. ПОЛЯРИЗАЦІЯ СВІТЛА

Основні формули

1. Закон Брюстера

де і - кут падіння променя;

n2,1 - відносний показник заломлення.

2. Коефіцієнт відбивання падаючого променя:

,

де = , або

I0 - інтенсивність природного променя.

3. Коефіцієнт заломлення променя:

,

де I - інтенсивність променя з перпендикулярною орієнтацією вектора ;

- інтенсивність променя з паралельною орієнтацією вектора .

4. Ступінь поляризації заломленого променя

.

5. Закон Малюса

I = I0 cos2 ,

де I - інтенсивність поляризованого світла після аналізатора;

I0 - інтенсивність світла до аналізатора;

- кут між площинами поляризації поляризатора і аналізатора.

6. Ступінь поляризації частково поляризованого світла в довільному випадку :

,

де Imax i Imin - максимальна і мінімальна інтенсивності частково поляризованого світла, яке пропускається через аналізатор.

7. Різниця фаз поляризованих променів, яка створюється анізотропною пластинкою

,

де - хвильове число;

l - товщина анізотропної пластинки;

n3 i nн - показники заломлення відповідно звичайного і незвичайного променів в анізотропній пластинці;

8. Кут повертання площини поляризації монохроматичного світла при проходженні через оптично активну речовину:

а) в твердих тілах

= [] l ;

в) в розчинах

= [] С l ,

де [] - питоме повертання площини поляризації;

C - масова концентрація оптично активної речовини в розчині;

l - довжина шляху, пройденого світлом в оптично активній речовині.

9. Виникнення оптичної різниці фаз в деяких штучно анізотропних речовинах:

а) у випадку механічних деформацій

,

де - хвильове число;

l - довжина тіла в напрямку створення механічних деформацій;

k1 - стала величина, характеризує властивості певної речовини;

- нормальна механічна напруга ( = ).

б) у випадку дії електричного поля (ефект Керра)

,

де k2 - стала величина;

E - напруженість електричного поля в комірці Керра.

в) у випадку дії магнітного поля

,

де k3 - стала величина;

Н - напруженість магнітного поля.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Алмазна призма (n = 2,43) знаходиться в деякому середовищі з показником заломлення n1. Промінь природного світла падає на призму так, як це показано на рис.17. Визначити показник заломлення цього середовища, якщо відбитий промінь повністю поляризований.

Розв'язування. З рис.17 видно, що кут падіння променя на поверхню алмазної призми = - 30 = 60.

Для кута виконується закон Брюстера

tg = ,

де n - показник заломлення алмазної призми;

n1 - показник заломлення деякого середовища.

Звідки

.

Підставимо числові значення

 .

Відповідь. n1 = 1,40.

Приклад 2. У скільки разів послаблюється інтенсивність світла, яке проходить через систему двох призм Ніколя, площини пропускання яких утворюють кут = 30, якщо відомо, що в кожній із призм втрачається на поглинання 10% падаючої інтенсивності?

Розв'язування. Природний промінь, щo падає на грань призми Ніколя, (рис.18) роздвоюється внаслідок подвійного променезаломлення на звичайний і незвичайний промені. Обидва промені однакові за інтенсивністю і є повністю поляризованими. Звичайний промінь внаслідок повного внутрішнього відбивання на межі шару канадського бальзаму поглинається пофарбованою в чорний колір поверхнею призми. Незвичайний промінь проходить через призму, зменшивши свою інтенсивність на 10% внаслідок відбивання і поглинання в призмі.

Таким чином, інтенсивність світла, яке пройшло першу призму, дорівнює

I1 = .

Плоскополяризований промінь світла з інтенсивністю І1 падає на другу призму, де також роздвоюється на звичайний і незвичайний промені. Інтенсивність незвичайного променя І2 , який пройде крізь другу призму Ніколя, визначається законом Малюса. Врахувавши також втрати інтенсивності на відбивання і поглинання, маємо:

I2 = I1 (1 - ) cos2 .

де - кут між площинами поляризації поляризатора і аналізатора.

Iнтенсивність І2 з ураxуванням І1 буде дорівнювати

I2 = I0 (1 - )2 cos2 .

Послаблення інтенсивності

.

Підставимо числові значення

Відповідь: І0/I2 = 3,28 рази.

Приклад 3. На шляху частково поляризованого світла, ступінь поляризації якого 0,6, поставили аналізатор так, що інтенсивність пропущеного ним світла виявилась найбільшою. У скільки разів зменшиться інтенсивність світла, якщо аналізатор повернути на кут 30 ?

Розв'язування. Ступінь поляризації для частково поляризованого світла визначається за формулою

= +,

де Іmax і Іmin - максимальна і мінімальна інтенсивності частково поляризованого світла, яке пропускається аналізатором.

З цієї формули знайдемо залежність Іmax від Іmin

.

Максимальна інтенсивність світла, що проходить крізь аналізатор, дорівнює

,

де Іп - інтенсивність поляризованого світла;

Ін.п.- інтенсивність неполяризованого світла.

Мінімальна інтенсивність світла, яке проходить крізь аналізатор, дорівнює

.

Після підстановки (2) і (3) в (1) маємо

.

Звідки

Іn = 1,5Ін.п.

Згідно з умовою задачі аналізатор пропускає в першому випадку

I1 = In + Iн.п..

В другому випадку

I2 = In cos2 + Iн.п.

Поділивши (6) на (7) та врахувавши (5), одержимо

.

Врахувавши кут , будемо мати

.

Відповідь: І1/І2 = 1,23 рази.

Приклад 4. Кут повороту площини поляризації жовтого світла натрію при проходженні через трубку з розчином цукру = 40. Довжина трубки l = 15 см. Питоме повертання площини поляризації розчином цукру [] = 0,665 градм2/кг. Визначити концентрацію С цукру в розчині.

Розв'язування. Повертання площини поляризації монохроматичного світла при проходженні його крізь розчин оптично активної речовини (цукру) визначається за формулою:

= []C l ,

де [] - питоме повертання площини поляризації;

С - масова концентрація оптично активної речовини;

l - хід поляризованого променя в цьому розчині.

Звідки

.

Підставимо числові значення

= 401 кг/м3.

Відповідь: С = 401 кг/м3.

7. ДИСПЕРСІЯ СВІТЛА

Основні формули

Дисперсією світла називається залежність показника заломлення n речовин від частоти або довжини хвилі світла .

1. Фазова швидкість:

, а також х = ,

де - циклічна частота коливань;

k - хвильове число;

с - швидкість світла у вакуумі;

n - абсолютний показник заломлення середовища.

2. Групова швидкість:

,

де u - групова швидкість;

х - фазова швидкість;

k - хвильове число;

- похідна залежності фазової швидкості від величини хвильового числа.

Похідну перепишемо

= .

Похідну знайдемо із виразу для хвильового числа

; d = - або .

= - .

З урахуванням виразу для співвідношення для залежності групової швидкості від фазової набуде вигляду

.

3. Фазова швидкість для світлових хвиль

,

де с - швидкість світла в вакуумі;

n - абсолютний показник заломлення середовища.

4. Зв'язок групової швидкості з фазовою для світлових хвиль

u = х ,

де = D - дисперсія речовини.

5. Показник заломлення середовища з макроскопічної електромагнітної теорії Максвелла:

n = ,

де - відносна діелектрична проникність;

- відносна магнітна проникність середовища.

6. Закон Бугера для поглинання світла в речовині

I = I0 e-x,

де I і I0 - інтенсивності плоскої монохроматичної хвилі на вході і виході шару поглинаючої речовини;

- коефіцієнт поглинання;

х - товщина шару поглинання.

Приклади роз'язування задач

Приклад 1. Показник заломлення n сірководню для світла різної довжини хвилі подається в таблиці.

Визначити фазову і групову швидкості світла в околі довжини хвилі 534 нм.

Дано: 1 = 509 нм; n1 = 1,647;

2 = 534 нм; n2 = 1,640;

3 = 574 нм; n3 = 1,630;

Знайти: х, u.

Розв`язування. Фазова швидкість світла з довжиною хвилі = 534 нм дорівнює

х = м/с.

Групова швидкість u пов'язана з фазовою швидкістю х в середовищі з показником заломлення n співвідношенням:

u = х .

Похідну можна визначити, якщо відома функція n() або за тангенсом кута нахилу дотичної до графіку функції n() при відомій довжині хвилі . Маючи три точки залежності n від , похідну визначимо наближено через середнє значення співвідношень

i .

= - -2,8 105 м-1 ;

= - = - 2,5 105 м-1.

= - 2,65 105 м-1.

Знак (-) показує, що з ростом довжини хвилі показник заломлення зменшується, а фазова швидкість зростає. Це область нормальної дисперсії.

Групова швидкість буде дорівнювати

= 1,67108 м/с.

Відповідь: х = 1,83108 м/c; u = 1,67108 м/с.

Приклад 2. При проходженні плоскої монохроматичної хвилі відстані l1 = 10 мм інтенсивність її зменшується на 1 %, а при проходженні відстані l2 = 4,6 м - на 99 %. Визначити коефіцієнт поглинання середовища для даної довжини хвилі.

Розв`язування. Поглинання монохроматичного світла описується законом Бугера, згідно з яким

I1 = I0 i I2 = I0 .

Після нескладних математичних перетворень одержуємо :

звідки = ,

; звідки = .

Підставимо числові значення

= = 1,0 м-1 i = = 1,0 м-1 .

Відповідь: = 1,0 м-1.

8. КВАНТОВА ПРИРОДА ВИПРОМІНЮВАННЯ

Теплове випромінювання

1. Закон Стефана - Больцмана для абсолютно чорного тіла

R = T4,

де R - інтегральна випромінювальна здатність або енергетична світність абсолютно чорного тіла;

- стала Стефана - Больцмана ( = 5,6710-8 Вт/м2 К4);

Т - термодинамічна температура тіла.

2. Закон Стефана - Больцмана для сірого тіла

Rc = T4,

де - поглинальна здатність тіла, яка визначається відношенням поглинутої енергії до падаючої.

3. Закон Кірхгoфа

,

де ,T - спектральна випромінювальна здатність будь-якого тіла;

,T - спектральна поглинальна здатність будь-якого тіла;

r,T - стала величина для всіх тіл, називається спектральною випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла.

4. Закон зміщення Віна

max = ,

де max - довжина хвилі, на якій енергія випромінювання абсолютно чорного тіла досягає максимуму;

b - стала Віна (b = 2,910-3 мК);

Т - термодинамічна температура.

5. Формула Планка через частоту випромінювання:

,

де r,T - спектральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла при температурі Т і в діапазоні частот від н до н + dн;

- частота випромінювання;

с - швидкість світла;

h - енергія кванта;

k - стала Больцмана (k = 1,3810-23 Дж/К);

h - стала Планка (h = 6,6210-34 Джс);

Т - термодинамічна температура.

6. Формула Планка через довжину хвилі

.

7. Залежність максимальної спектральної густини випромінювання абсолютно чорного тіла від температури:

(r,T)max = c T5,

де с - стала величина (с = 1,3010-5 Вт/м2К5).

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Абсолютно чорне тіло знаходиться при температурі 2900К. В результаті охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності тіла, зменшилась на = 9 мкм. До якої температури було охолоджено тіло?

Розв`язування. Згідно з законом Віна, довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, розраховується за формулою

max = .

Після охолодження довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини випромінювальної здатності, зросте на величину :

( + )max = .

Після нескладних перетворень одержуємо:

.

Звідки

T2 = .

Підставимо числові значення

= 290 K.

Відповідь: Т2 = 290 К.

Приклад 2. Температура Т абсолютно чорного тіла дорівнює 2000 К. Визначити спектральну густину випромінювальної здатності r,T для довжини xвилі = 600 нм.

Розв`язування. Скористаємось формулою Планка через довжину хвилі

де h = 6,6210-34 Джс; c = 3108 м/с; к = 1,3810-23 Дж/К; = 600 нм; Т = 2000 К.

Підставимо числові значення

= 29,81010 Вт/м3.

Відповідь. r,T = 29.81010 Вт/м3.

Приклад 3. Потужність випромінювання абсолютно чорного тіла дорівнює 10 кВт. Визначити величину поверхні випромінювання, якщо відомо, що довжина хвилі, на яку припадає максимум спектральної густини його випромінювальної здатності, дорівнює 710-7 м.

Розв`язування. Інтегральна випромінювальна здатність aбсолютно чорного тіла дорівнює

R = ,

де W - повна енергія випромінювання; S - величина поверхні випромінювання; t - час випромінювання.

Згідно з законом Стефана - Больцмана інтегральну випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла визначають також за формулою:

R = T4,

де - стала Стефана - Больцмана;

Т - термодинамічна температура.

Значення термодинамічної температури знаходять із закону зміщення Віна:

,

де b - стала Віна.

Прирівнюючи праві частини формул (1) і (2) та враховуючи (3), знаходимо площу випромінювання

,

де - потужність випромінювання.

Отже, одержуємо:

S = .

Підставимо числові значення

S = = 5,98 10-4 м2 .

Відповідь. S = 5,9810-4 м2 6 см2.

Приклад 4. Обчислити температуру поверхні Сонця, якщо відомо, що сонячна стала, яка дорівнює потужності енергії випромінювання на один м2 площини, що розміщена перпендикулярно до сонячного проміння біля поверхні Землі, становить 1,4103 Вт/м2.

Розв`язування. Зв`язок енергії випромінювання з одиниці площі поверхні Сонця за одиницю часу, з температурою випромінювання дається законом Стефана - Больцмана

R = T4,

Енергія, яка випромінюється всією поверхнею Сонця, дорівнює

W = T4 4r2 ,

де r - радіус Сонця.

Величину цієї енергії можна розрахувати також через сонячну сталу, помножену на площу поверхні радіусом, рівним відстані від Землі до Сонця,

W = C4R2,

де С - сонячна стала;

R - радіус земної орбіти.

Прирівнюючи праві частини цих рівностей та розв`язуючи одержане рівняння відносно температури, знаходимо

T = .

Підставимо числові значення

 = 5800 K.

Відповідь: Т = 5800 К.

9. ФОТОЕФЕКТ

Основні формули

1. Енергія фотона:

= h = ,

де h - стала Планка;

- частота світлових хвиль;

- довжина хвилі;

с - швидкість світла.

2. Маса рухомого фотона (маса спокою фотона дорівнює нулю, фотон в спокої не існує):

m = .

3. Імпульс фотона:

p = .

4. Формула Ейнштейна для фотоефекту:

 ,

де h - енергія фотона;

А - робота виходу електрона з металу;

- максимальна кінетична енергія фотоелектрона.

5. Червона межа фотоефекту:

або 0 = ,

де 0 - найменша частота світла, при якій ще можливий фотоефект;

0 - найбільша довжина хвилі, при якій ще можливий фотоефект.

6. Формула Ейнштейна для фотонів, енергія яких сумірна з енергією спокою електрона (роботою виходу нехтують)

h = E0 ,

де Е0 = m0с2 - енергія спокою електрона;

- відношення швидкості руху електрона до величини швидкості світла.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Визначити максимальну швидкість vmax фотоелектронів, які вилітають з поверхні металу під дією -випромінювання з довжиною хвилі = 0,3 нм.

Розв`язування. В залежності від швидкості фотоелектронів максимальна кінетична енергія їх може бути розрахована або за класичною формулою

Kmax = ,

або за релятивістською формулою

K = m0c2 .

Критерієм вибору тієї чи іншої формули є співвідношення між енергією падаючого фотона і енергією спокою електрона.

Знайдемо енергію падаючого фотона на поверхню металу

= 0,04 МеВ.

Енергія спокою електрона

= 0,51 МеВ.

Енергія падаючого фотона ще значно менша енергії спокою електрона. Тому можна користуватись як класичною, так і релятивістською формулами кінетичної енергії.

а) в релятивістському випадку

= E0 .

Швидкість фотоелектронів дорівнюватиме

х = ,

де Е0 = m0с2; = h.

Підставимо числові значення

б) в класичному випадку, нехтуючи роботою виходу,

= звідки хmax = .

Підставимо числові значення

хmax = = 3,8 107 м/с.

Відповідь: х = 3,8107 м/с.

10. ТИСК СВІТЛА

Основні формули

1. Тиск світла при перпендикулярному падінні на поверхню тіла визначається за допомогою формули

p = або p = w (1+),

де Е0 - енергія всіх фотонів, які падають на одиницю площі за одиницю часу;

- коефіцієнт відбиття (для дзеркального тіла = 1 , для чорного тіла = 0);

с - швидкість світла;

w - об`ємна густина енергії.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Лазер випромінює в імпульсі протягом = 0,134 мс промінь світла енергією W = 10 Дж. Визначити середній тиск такого світлового імпульсу, якщо його сфокусувати на невелику пляму діаметром d = 10 мкм на деякій поверхні, перпендикулярно до проміння, з коефіцієнтом відбиття = 0,5.

Дано:

= 0,13 мс

W = 10 Дж

d = 10 мкм

= 0,5

р - ?

Розв`язування. При дії квантів світла на деяку поверхню половина з них поглинається, а друга половина - відбивається, змінюючи свій імпульс на протилежний.

Зміна імпульсу всіх фотонів за час одного імпульсу випромінювання лазера дорівнює

К = 2 ,

де 2 - зміна імпульсу відбитих фотонів;

- зміна імпульсу поглинутих фотонів.

К = ,

де W = Nh.

За другим законом Ньютона

К = F,

де F - середня сила, з якою фотони діють на деяку поверхню;

- час дії сили, який рівний часу одного імпульсу випромінювання лазера.

Звідки

F = .

Тиск світлового імпульсу

p = , де S = .

Підставимо числові значення

p = = 4,89 106 Па.

Відповідь: р = 4,89 106 Па.

11. ЕФЕКТ КОМПТОНА

Основні формули

1. Формула ефекту Комптона має вигляд

= - = ,

або

= - = ,

де - довжина хвилі фотона, який падає на вільний або зв'язаний електрон;

- довжина хвилі розсіяного під кутом фотона;

m0 - маса спокою електрона.

2. Комптонівська довжина хвилі електрона

, = 2,436 10-3 м.

Приклад 1. Рентгенівські промені з довжиною хвилі = 70,8 нм здійснюють комптонівське розсіювання на вільних електронах. Визначити довжину хвилі рентгенівських променів, розсіяних в напрямках: а) /2; б) .

Розв`язування. Зв`язок довжини хвиль падаючих і розсіяних фотонів подається формулою Комптона

1 = + .

Підставимо числові значення (cos = 0)

а) 1 = 70,8 10-12 + = 73,2 10-12 м.

б) 2 = 70,8 10-12 + (1 - cos 180) = 75,64 10-12 м.

Відповідь: 1 = 73,2 пм; 2 = 75,64 пм.

ЛІТЕРАТУРА

1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - С.Пб: Лань, 2006.

2. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. Т.2: Электричество. Электромагнетизм. - С.Пб: Лань, 2006.

3. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. Т.3: Волны. Оптика. - С.Пб: Лань, 2005.

4. Трофимова Т. И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2003.

5. Чертов А. Г., Воробьов А. А. Задачник по физике. - М.: Высшая школа, 1981.

6. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. - С.Пб: Лань, 2006.

7. Авдєєв С. Г., Бабюк Т. І. Лекції з фізики (механіка, електрика, електромагнетизм). - Вінниця: ВНТУ, 2003.

8. Авдєєв С. Г., Бабюк Т. І. Лекції з фізики (коливання і хвилі, оптика). - Вінниця: ВНТУ, 2005.

9. Авдєєв С.Г., Бабюк Т. І. Лекції з фізики (квантова фізика, статистична фізика, фізика твердого тіла). - Вінниця: ВНТУ, 2003.

10. Авдєєв С. Г., Бабюк Т. І. Лекції з фізики (ядерна фізика, радіаційна екологія). - Вінниця: ВНТУ, 2004.

11. Авдєєв С. Г. Збірник задач з фізики. Ч.2 (коливання і хвилі, хвильова та квантова оптика). - Вінниця: ВДТУ, 1998.

12 А. С. Опанасюк. Збірник задач до практичних занять з дисципліни «Загальна фізика». Ч.1. - Суми: ДУ, 2001.

13. А. С. Опанасюк, Збірник задач до практичних занять з дисципліни «Загальна фізика». Ч.2. - Суми: ДУ, 2002.

14. Міщенко Б. А., Опанасюк А. С., Панченко Л. М. Збірник практичних та індивідуальних занять з дисципліни «Загальна фізика». Ч.3. - Суми: ДУ, 2003.

ДОДАТОК

Деякі відомості з математики

1. Формули з алгебри та тригонометрії

2. Формули диференціального й інтегрального числень



при m 0

Тут і далі стала інтегрування опускається.

3. Формули для наближених обчислень

Якщо a1, то в першому наближенні можна прийняти:

; ;

; ;

; .

Якщо кут малий ( < 5o або < 0,1 рад) і виражений в радіанах, то в першому наближенні можна прийняти:

Таблиця А. 1 - Основні фізичні постійні

Фізична постійна	Позначення	Значення
Прискорення вільного падіння	g	9,81 м/с2
Постійна Авогадро	NA	6,02 · 1023 1/моль
Газова постійна	R	8,31 Дж/(моль К)
Постійна Больцмана	k	1,38 · 10-23 Дж/К
Елементарний заряд	e	1,6 · 10-19Кл
Маса спокою електрона	me	9,11 · 10-31кг
Маса спокою протона	mp	1,67 · 10-27кг
Швидкість світла у вакуумі	c	3 · 108 м/с
Постійна Планка	h	6,63 · 10-34Дж.с
Постійна Планка (стала Дірака)	h = h/2р	1,05459?10 - 34 Дж?с
Атомна одиниця маси	а.о.м.	1,66057?10 - 27 кг
Постійна Стефана-Больцмана	у	5,67·10-8Вт/(м2·К4)
Постійна закону зміщення Віна	b	2,9·10-3 м·К
Стала Рідберга	R?	1,097?10 7 м - 1

Довідкові дані

Електрична постійна		еo = 8,85 · 10-12 Ф/м
Магнетна постійна		мo = 4р · 10-7 Гн/м
Атомна одиниця маси		1 а.о.м. = 1,66 · 10-27 кг
Одиниця енергії - електрон-вольт		1 еВ = 1,6 · 10-19 Дж
Одиниця довжини - Ангстрем		1 Е = 10-10 м
Маса б-частинки		mб = 4mp, де mр - маса протона
Заряд б-частинки		qб = 2е, де е - елементарний заряд.

Таблиця А. 2 - Приставки, що служать для утворення кратних одиниць СІ

Приставка	Числове значення	Позначення	Приставка	Числове значення	Позначення
піко	10-12	п	санти	10-2	c
нано	10-9	н	деці	10-1	д
мікро	10-6	мк	кіло	103	к
мілі	10-3	м	мега	106	М

Таблиця А. 3 - Властивості деяких твердих тіл

Речовина	Густина, кг/м3	Темпера-тура плав-лення, К	Питома теплоєм-ність, Дж/(кг?К)	Питома теплота плавлен-ня, Дж/кг	Коефіцієнт теплового розширен-ня, К ?1
Алюміній	2,7?10 3	932	9,2?10 2	3,8?10 5	2,3?10?5
Залізо	7,8?10 3	1803	4,6?10 2	2,7?10 5	1,2?10?5
Цинк	7,1?10 3	692	4,0?10 2	1,18?10 5	2,9?10?5
Мідь	8,9?10 3	1356	3,8?10 2	1,8?10 5	1,7?10?5
Латунь	8,5?10 3	1173	3,8?10 2	?	1,9?10?5
Олово	7,3?10 3	505	2,5?10 2	5,8?10 4	2,1?10?5
Свинець	1,14?10 4	600	1,2?10 2	2,5?10 4	2,9?10?5
Лід	0,9?10 3	273	2,09?10 3	3,35?10 5	5,1?10?5

Таблиця А. 4 - Діелектрична проникність деяких речовин

Гас	2	Слюда	6
Парафін	2	Фарфор	6
Ебоніт	2,6	Скло	6 - 10
Кварц	2,7	Вода	81

Навчальне видання

Сергій Григорович Авдєєв

Тодор Ілліч Бабюк

Олександр Станіславович Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Навчальний посібник

Редактор О. Скалоцька

Оригінал-макет підготовлено С. Авдєєвим

Підписано до друку .

Формат 29,7Ч42 ј. Папір офсетний.

Гарнітура Times New Roman.

Друк різографічний. Ум. друк. арк. .

Наклад прим. Зам.№ .

Вінницький національний технічний університет,

науково-методичний відділ ВНТУ.

21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95,

ВНТУ, к. 2201.

Тел. (0432) 59-87-36.

Свідоцтво суб'єкта видавничої справи серія ДК № 3516 від 01.07.2009 р.

Відруковано у Вінницькому національному технічному університеті

в комп'ютерному інформаційно-видавничому центрі.

21021, м. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95,

ВНТУ, ГНК, к. 114.

Тел. (0432) 59-81-59.

Свідоцтво суб'єкта видавничої справи серія ДК № 3516 від 01.07.2009 р.

Размещено на Allbest.ru

...