Елементи квантової механіки, молекулярна фізика, статистична фізика, фізика твердого тіла, ядерна фізика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Збірник задач з фізики

Елементи квантової механіки, молекулярна фізика, статистична фізика, фізика твердого тіла, ядерна фізика

С.Г. Авдєєв

Т.І. Бабюк

О.С. Камінський

Вінниця

ВНТУ

2010



УДК 530(078)

ББК 22.3я77

А18

Рекомендовано до друку Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України (протокол № 5 від 24.12.09 р.)

Рецензенти:

І.О. Сівак, доктор технічних наук, професор

О.В. Осадчук, доктор технічних наук , професор

В.Г. Дзісь, кандидат фізико-математичних наук, доцент

Авдєєв, С.Г.

А18 Збірник задач з фізики. Ч. 3 (елементи квантової механіки, молекулярна фізика, статистична фізика, фізика твердого тіла, ядерна фізика): навчальний посібник / С.Г. Авдєєв, Т.І. Бабюк, О.С. Камінський. - Вінниця: ВНТУ, 2010. - 84 с.

Збірник задач складається з розділів “Елементи квантової механіки, молекулярна фізика, статистична фізика, фізика твердого тіла, ядерна фізика”, які традиційно викладаються в одному триместрі. Кожен окремий розділ супроводжується короткими теоретичними викладками і прикладами розв'язування задач.

В першу чергу збірник задач призначений для організації та проведення практичних занять з курсу загальної фізики студентами вищих технічних навчальних закладів. Велика кількість і різноманітність задач, які ввійшли до збірника задач, дозволяє широко організовувати самостійну та індивідуальну роботу студентів.

УДК 53(078)

ББК 22.3я77

© С. Авдєєв, Т. Бабюк, О. Камінський, 2010



1. Атом водню

електрон атом енергія

Основні формули

1. Електрони в атомі водню рухаються на окремих стаціонарних рівнях, на яких вони не випромінюють і не поглинають електромагнетних хвиль. Ці рівні мають дискретні значення моменту імпульсу

m_nr_n= n,

де m - маса електрона;

_n - лінійна швидкість орбітального руху;

r_n - радіус n-го колового рівня;

n - порядковий номер стаціонарного рівня - головне квантове число;

- стала Планка поділена на 2 ( = h / 2).

2. При переході електрона з одного стаціонарного рівня на інший випромінюється або поглинається квант енергії

h = E_n2 - E_n1 ,

де E_n1, E_n2 - дискретні значення енергії електронів на відповідних енергетичних рівнях.

3. Радіус Боровської орбіти атома водню визначається за допомогою формули

де е₀ - електрична стала (е₀ = 8,85^.10^-12 Ф/м);

m - маса електрона (m = 9,1^.10^-31 кг);

е - елементарний заряд (е = 1,6^.10^-19 Кл)

4. Енергія електрона на n-му стаціонарному рівні

5. Енергія, яка випромінюється або поглинається атомом (іоном)

E = h ,

де n₁ й n₂ - квантові числа, що відповідають енергетичним рівням, між якими відбувається перехід електрона;

Z - порядковий номер елементу в таблиці Менделєєва або число елементарних зарядів у ядрі атома.

Формула Бальмера

= RZ² ,

де - довжина хвилі фотона;

R - постійна Рідберга (R = 1,1^.10⁷ 1/м)

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Електрон в атомі водню перейшов із четвертого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію, випущеного при цьому, фотона.

Дано:

n₂= 4

n₁ = 2

_________

е_ф - ?

Розв'язування. Для визначення енергії фотона скористаємося узагальненою формулою для водне-подібних іонів (формула Бальмера)

, (1)

де л - довжина хвилі фотона;

R - постійна Рідберга;

Z - заряд ядра у відносних одиницях (при Z = 1 формула переходить в узагальнену формулу для водню і водне-подібних атомів);

n₁ - номер орбіти, на яку перейшов електрон;

n₂ - номер орбіти, з якої перейшов електрон (n₁ й n₂ - головні квантові числа).

Енергія фотона _ф виражається формулою

_ф = hc/.

Помноживши обидві частини рівності (1) на hc, одержимо вираз для енергії фотона

_ф = RhcZ².

Вираз Rhc є енергією іонізації Е_i атома водню, тому

_ф = Е_i Z² .



Обчислення виконаємо у позасистемних одиницях. Підставляючи дані з умови: Е_i = 13,6 еВ; Z =1; n₁ = 2; n₂ = 4, одержимо

_ф = 13,6^.1^2. (1/2² - ј²) еВ = 13,6^.3/16 еВ = 2,55 еВ.

Приклад 2. Електрон в іоні гелію (Не⁺) перебуває в основному стані. Визначити кінетичну, потенціальну й повну енергії електрона на цьому енергетичному рівні.

Дано:

Не⁺

n = 1

_________

Е_к - ?

Е_п - ?

W - ?

Розв'язування. Відповідно до теорії Бора кінетична енергія електрона на стаціонарному рівні з номером n визначається формулою

Е_к = ,

а потенціальна енергія

Е_п = ,

де Z - заряд ядра (порядковий номер елементу в таблиці Менделєєва);

_n й r_n - швидкість електрона й радіус енергетичного рівня, відповідно.

Радіус n-го рівня дорівнює



r_n = , (1)

а швидкість електрона на цьому рівні визначається виразом (відповідно до правила квантування орбіт).

_n = , (2)

або з урахуванням формули (1),

_n = . (3)

На енергетичному рівні доцентрова сила дорівнює силі Кулона , що зв'язує електрон з ядром,

= .

Тому потенціальна енергія електрона може бути подана у вигляді

Е_п = - = - mх = - 2Е_к.

При цьому повна енергія електрона на енергетичному рівні дорівнює



Е = Е_п + Е_к = - Е_к.

Врахувавши формулу (3) знаходимо кінетичну енергію

Е_к= =,

З урахуванням того, що = 1,05^.10^-34 Дж^.с, m = 9,11^.10^-31 кг, r_о = 0,529^.10^-10 м, для гелію Z = 2 й умова n = 1, одержимо

Е_к = = 8,63^.10^-18 Дж = = 54,4 еВ ,

Е_п = - 2Е_к = - 108,8 еВ, Е = - Е_к = - 54,4 еВ.

Відзначимо, що повна енергія електрона в основному стані (n = 1) може бути записана у вигляді

Е = - Z²E_i ,

де Е_i - енергія іонізації атома водню дорівнює 13,6 еВ.

Підставляючи в це рівняння Z = 2, одержимо вищезазначене значення енергії Е = - 54,4 еВ.

2. Елементи квантової механіки

Основні формули

Довжина хвилі де Бройля



або ,

де p - імпульс частки;

h - постійна Планка.

У релятивістському випадку імпульс частинки дорівнює

р =,

де Е_о - енергія спокою частинки (Е_о = mc²);

Е_к - кінетична енергія частинки, яка дорівнює

Е_к = m_oc²,

де m_o - маса спокою частинки;

- швидкість частинки.

У нерелятивістському випадку

p = m_o =,

де кінетична енергія частинки

Е_к=.



2. Співвідношення невизначеностей:

а) (для координати й імпульсу),

де - невизначеність проекції імпульсу на вісь x;

- невизначеність координати;

б) ( для енергії і часу),

де - невизначеність енергії;

- невизначеність часу, або час життя квантової системи в даному енергетичному стані.

3. Часове рівняння Шредінгера має вигляд

де m - маса частинки;

- потенціальна енергія частинки в силовому полі;

- уявна одиниця;

- стала Дірака;

- оператор Лапласа.

4. Стан електрона в атомі водню або воднеподібному атомі описується деякою хвильовою функцією , яка задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера:

, (1)



де - оператор Лапласа;

Е - значення повної енергії електрона в атомі;

m - маса частинки;

_(x,y,z) - хвильова функція у декартовій системі координат.

5. Розв'язок рівняння Шредінгера для частинки в одновимірному нескінченно глибокому прямокутному потенційному ящику ():

а) (власна нормована хвильова функція),

б) Е_n = (власне значення енергії),

де n = 1,2,3…- головне квантове число;

l - ширина ящика;

m - маса частинки.

В області x0 і хl потенціальна енергія частинки дорівнює нескінченності а (х) = 0.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорювальну різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля для двох випадків: 1) U₁ = 51 B; 2) U₂ = 510 кВ.

Дано:

U₁ = 51 B

U₂ = 510 кВ = 5,1^.10 ⁵ В

____________________

- ?

Розв'язування. Довжина хвилі де Бройля для частинки залежить від її імпульсу р і визначається формулою

, (1)

де h - постійна Планка.

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Е_к. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією різний для нерелятивістського випадку ( коли кінетична енергія частинки багато менша енергії її спокою ) і для релятивістського випадку (коли кінетична енергія збігається за величиною з енергією спокою частинки).

У нерелятивістському випадку

p=, (2)

де m₀ - маса спокою частинки.

У релятивістському випадку

p=, (3)

де Е₀ = m₀c² - енергія спокою частинки;

с - швидкість світла у вакуумі.

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться:

- у нерелятивістському випадку

, (4)

- у релятивістському випадку



. (5)

Зрівняємо кінетичні енергії електрона, який пройшов задані в умові задачі різниці потенціалів U₁ = 51 В и U₂ = 510 кВ, з енергією спокою електрона й, залежно від цього, вирішимо, яку з формул (4) або (5) варто застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, який пройшов прискорювальну різницю потенціалів U, дорівнює

E_к = qU.

У першому випадку

Е_к = q₁U = 51 еB = 0,51^.10^-4 МeВ.

Отже, у цьому випадку можна застосувати формулу (4). Для спрощення розрахунків помітимо, що Е_к = 10^-4 m_oc². Підставивши цей вираз у формулу (4), перепишемо її у вигляді

Урахувавши, що є комптонівська довжина хвилі, одержимо

.

Оскільки =2,43 пм, то



пм = 171 пм.

У другому випадку кінетична енергія

E_к = qU₂ = 510 кеВ = 0,51 МеВ,

тобто дорівнює енергії спокою електрона. У цьому випадку необхідно застосувати релятивістську формулу (5). Урахувавши, що Е_к = 0,51МэВ = = m_oc², за формулою (5) знайдемо

,

Підставивши значення й виконавши необхідні розрахунки, одержимо

1,40 пм.

Приклад 2. Кінетична енергія електрона в атомі водню не перевищує величину 10еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні розміри атома.

Дано:

Е_к = 10 еВ

_________

l_min - ?

Розв'язування. Співвідношення невизначеностей для координати й імпульсу записують так:

/2,



де - невизначеність імпульсу частинки (електрона);

- невизначеність координати частинки (у цьому випадку електрона);

- постійна Планка (h поділена на 2).

Із співвідношення невизначеностей випливає, що чим точніше визначається положення частинки в просторі, тим більше невизначеним стає імпульс, а отже, і енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри l, тоді електрон атома буде перебувати десь у межах області з невизначеністю

.

В цьому випадку співвідношення невизначеностей можна записати у вигляді

,

звідки

Фізично розумна невизначеність імпульсу не повинна перевищувати значення самого імпульсу p, тобто .

Імпульс р пов'язаний з кінетичною енергією Е_к співвідношенням

р = .



Замінимо р значенням (така заміна не збільшить ). Перейдемо до рівності

l_min = .

Підставивши числові значення й виконавши обчислення, одержимо

l_min = м = 1,16^.10^-10 м = 116 пм.

Приклад 3. Хвильова функція описує основний стан частинки в нескінченно глибокому прямокутному ящику шириною l. Обчислити імовірність знаходження частинки в малому інтервалі l = 0,01l у двох випадках: 1) поблизу стінки (); 2) у середній частині ящика .

Дано:

l = 0,01l

__________

W₁ - ?

W₂ - ?

Розв'язування. Імовірність того, що частинка буде виявлена в інтервалі dx (від х до х+dх), пропорційна цьому інтервалу й квадрату модуля хвильової функції, яка описує даний стан



dW =

У першому випадку шукана імовірність знаходиться інтегруванням у межах від 0 до 0,01l

W = ( 1)

Знак модуля пропущений, тому що - функція в цьому випадку не є комплексною.

Оскільки х змінюється в інтервалі (0 0,01l ) і, отже, <<1, справедлива наближена рівність

.

З урахуванням цього вираз (1) набуде вигляду

W = .

Після інтегрування одержимо

W = .

У другому випадку можна обійтися без інтегрування, оскільки квадрат модуля хвильової функції поблизу її максимуму в заданому малому інтервалі (l = 0,01l) практично не змінюється. Шукана імовірність у другому випадку визначається виразом

W =

або

W = .

Задачі

1. Знайти: а) радіуси трьох перших борівських електронних рівнів в атомі водню; б) швидкість електрона на цих рівнях.

Відповідь: = 53 пм; = 212 пм; = 477 пм; = 2,19 Мм/c; = 1,1 Мм/c; = 0,73 Мм/c.

2. Знайти числове значення кінетичної, потенціальної і повної енергій електрона на першому борівському енергетичному рівні.

Відповідь: = 13,6 еВ; U = -27,2 еВ; E = -13,6 еВ.

3. Обчислити кінетичну енергію електрона, який перебуває на n-му енергетичному рівні атома водню. Задачу розв'язати для n = 1, 2, 3 і ?.

Відповідь: ; ; ; ; .

4. Знайти: а) період обертання електрона на першому борівському енергетичному рівні в атомі водню; б) кутову швидкість обертання електрона.

Відповідь: = 1,43^.10 с; щ = 4,4^.10 рад/c.

5. Знайти: а) радіус першого борівського енергетичного рівня для одноразово іонізованого атома гелію; б) швидкість електрона на цьому рівні.

Відповідь: = 26,6 пм; = 4,37 Мм/c.

6. Скориставшись постулатами теорії Бора, обчислити: а) радіуси двох перших енергетичних рівнів в атомі водню; б) швидкості електрона на цих рівнях.

Відповідь: = 53 пм; = 212 пм; = 2,19 Мм/c; = 1,1 Мм/c.

7. На якому енергетичному рівні в атомі водню швидкість електрона дорівнює 734 км/с?

Відповідь: n = 3.

8. Визначити кутову швидкість електрона на першому борівському енергетичному рівні в атомі водню.

Відповідь: щ = 4,14 10 с.

9. Розрахувати значення кулонівської сили притягання і напруженість електричного поля ядра на першому й другому енергетичних рівнях в атомі водню.

Відповідь: = 82,4 нН; = 515 ГВ/м; = 5,14 нН; = 32,1 ГВ/м.

10. Атом водню переводиться з нормального стану в збуджений, що характеризується головним квантовим числом 2. Розрахувати енергію збудження цього атома.

Відповідь: E = 10,2 еВ.

11. Атом водню перебуває в основному стані. У скільки разів збільшиться радіус енергетичного рівня електрона в атомі, якщо він поглине квант з енергією 12,09 еВ?

Відповідь: / = 9.

12. Перехід електрона в атомі водню з n-го на k-й енергетичний рівень (k = 1) супроводжується випромінюванням фотона з довжиною хвилі 102,6 нм. Знайти радіус n-го енергетичного рівня.

Відповідь: r = 475 пм.

13. Показати, що для атома водню на борівських стаціонарних енергетичних рівнях укладається ціле число довжин хвиль де Бройля. Визначити довжини хвиль де Бройля на першому і третьому енергетичних рівнях.

Відповідь: = nл; = 332 пм; = 996 пм.

14. Яку роботу необхідно виконати, щоб перевести електрон з другого енергетичного рівня атома водню за межі його притягання ядром?

Відповідь: A = 5,45^.10^-19 Дж.

15. Скориставшись постулатами Бора, визначити для електрона, що перебуває на першому й другому енергетичних рівнях в атомі водню, відношення радіусів цих рівнів.

Відповідь: / = 4.

16. Скориставшись постулатами Бора, визначити для електрона, що перебуває на першому й другому енергетичних рівнях в атомі водню, відношення магнітного моменту електрона до його механічного моменту.

Відповідь: Кл / кг.

17. Скориставшись постулатами Бора, визначити для електрона, що перебуває на першому й другому енергетичних рівнях в атомі водню, відношення їх повних енергій.

Відповідь: .

18. Визначити, як зміниться орбітальний момент імпульсу електрона в атомі водню при його переході із збудженого стану в основний стан, якщо при цьому випромінюється один квант енергії з довжиною хвилі л = 97,25 нм.

Відповідь: Зменшиться у 4 рази.

19. У спектрі атомарного водню інтервал між першими двома спектральними лініями, які належать до серії Бальмера, складає л = 1,71 10 м. Визначити сталу Рідберга.

Відповідь: R = 1,09 10 м.

20. Квант світла з енергією Е = 15 еВ вибиває електрон з атома водню, що перебуває в нормальному стані. З якою відносною швидкістю буде рухатися цей електрон далеко від ядра?

Відповідь: х = 6,89 10 м/c.

21. Обчислити циклічну частоту обертання електрона на другому борівському енергетичному рівні іона Не.

Відповідь: щ = 2,07^.10 c.

22. Знайти для воднеподібних систем магнітний момент, що відповідає руху електрона на n-му енергетичному рівні, а також відношення магнітного моменту до механічного.

Відповідь:

645. Обчислити індукцію магнітного поля в центрі атома водню, обумовленого рухом електрона по першому борівському енергетичному рівні.

Відповідь: B = 12,5 Тл.

23. Енергія зв'язку електрона в основному стані атома Не дорівнює = 24,6 еВ. Знайти енергію, необхідну для видалення обох електронів з цього атома.

Відповідь: .

24. Обчислити за теорією Бора період обертання електрона в атомі водню, що перебуває в збудженому стані з головним квантовим числом n = 2.

Відповідь: = 1,14 10 с.

25. У скільки разів зміниться період обертання електрона в атомі водню, якщо при переході в незбуджений стан атом випромінює фотон з довжиною хвилі л = 97,5 нм?

Відповідь: .

26. На скільки змінилася кінетична енергія електрона в атомі водню при випромінюванні ним фотона з довжиною хвилі л = 435нм?

Відповідь: .

27. Знайти найбільшу довжину хвилі у видимій області спектра атома водню.

Відповідь: л = 656 нм.

28. Знайти найбільшу довжину хвилі в ультрафіолетовій серії Лаймана спектра атома водню. Яку найменшу швидкість повинні мати електрони, щоб під час збудження атомів водню ударами електронів з`явилася ця лінія?

Відповідь: л = 121 нм; х = 1,9 Мм/с.

29. Визначити потенціал іонізації атома водню.

Відповідь: = 13,6 В.

30. Визначити перший потенціал збудження атома водню.

Відповідь: = 10,2 В.

31. Яку найменшу енергію (в електрон-вольтах) повинні мати електрони, щоб при збудженні атомів водню ударами цих електронів появилися всі лінії всіх серій спектра водню? Яку найменшу швидкість повинні мати ці електрони?

Відповідь: E = 13,6 еВ; х = 2,2 Мм/с.

32. У яких межах повинна змінюватись енергія електронів, щоб при збудженні ними атомів водню, які перебувають у нормальному стані, енергетичний спектр випромінювання мав тільки одну спектральну лінію?

Відповідь: 10,2 еВ ? Е ? 12,1 еВ.

33. Яку найменшу енергію (в електрон-вольтах) повинні мати електрони, щоб при збудженні ними атомів водню, спектр водню мав три спектральні лінії? Знайти довжини хвиль цих ліній.

Відповідь: E ? 10,2 еВ; = 656 нм; = 122 нм; = 103 нм.

34. У яких межах повинні розміщуватись довжини хвиль монохроматичного світла, щоб при збудженні атомів водню квантами цього світла спостерігалися три спектральні лінії?

Відповідь: 97,3 нм ? л ? 102,6 нм.

35. На скільки зміниться кінетична енергія електрона в атомі водню при випромінюванні ним фотона з довжиною хвилі л = 486 нм?

Відповідь: ДE = 2,56 еВ.

36. У яких межах повинні лежати довжини хвиль монохроматичного світла, щоб при збудженні атомів водню квантами цього світла радіус енергетичного рівня електрона збільшився в 9 разів?

Відповідь: 97,3 нм ? л ? 102,6 нм.

37. На дифракційну гратку нормально падає пучок світла від розрядної трубки, наповненої атомарним воднем. Стала гратки дорівнює 5^.10^-4 см. Якому переходу електрона відповідає спектральна лінія, що спостерігається за допомогою цієї гратки у спектрі п'ятого порядку під кутом 41°?

Відповідь: 3 >2.

38. Знайти найменшу довжину хвилі фотона, що випромінюється електроном при переході із збудженого в основний стан в іоні гелію .

Відповідь: л = 30,4 нм.

39. Яка найменша енергія необхідна для збудження іона ?

Відповідь: E = 92 еВ.

40. Знайти різницю енергій іонізації іонів та атома водню.

Відповідь: ДE = 41 еВ.

41. Визначити межу серії водневих ліній, розміщених в далекій ультрафіолетовій частині спектра (серія Лаймана).

Відповідь: л = (121,6 -91,2) нм.

42. Визначити енергію фотона, що відповідає найменшій довжині хвилі в ультрафіолетовій серії водню.

Відповідь: E = 2,18^.10 Дж.

43. Знайти довжини хвиль першої, другої і третьої ліній видимої серії водню (серія Бальмера).

Відповідь: = 656,3 нм; = 486,1 нм; = 434 нм.

44. Чому дорівнює довжина хвилі четвертої спектральної лінії в інфрачервоній області спектра водню (серія Пашена)?

Відповідь: = 1,005 мкм.

45. Експериментально встановлено, що друга спектральна лінія водневої серії Брекета відповідає довжині хвилі 2,63 мкм. На підставі цих даних установити наближене значення сталої Рідберга.

Відповідь: R =1,095^.10 м.

46. Найбільша довжина хвилі спектральної водневої лінії серії Лаймана 121,6 нм. Обчислити найбільшу довжину хвилі в серії Бальмера.

Відповідь: л = 656,6 нм.

47. При переході електрона атома водню з одного з можливих енергетичних рівнів на інший, більш близький до ядра, енергія атома зменшується на 1,892 еВ. Визначити довжину хвилі випромінювання.

Відповідь: л = 657 нм.

48. Обчислити найменше значення енергії, при якому в результаті збудження атомів водню з'являється повний спектр.

Відповідь: E = 13,63 еВ.

49. Атомарний водень переведений з нормального стану в збуджений з головним квантовим числом n = 3. Які спектральні лінії можуть з'явитися в спектрі водню при переході атома зі збудженого стану в нормальний?

Відповідь: 2>1, л =121,6 нм; 3>1, л =102,6 нм; 3>2, л = 656,3 нм .

50. Які спектральні лінії з'являться у видимій області спектра при збудженні атомів водню електронами з енергією 13 еВ?

Відповідь: = 656,3 нм; = 486,1 нм; = 434,0 нм.

51. Атоми водню освітлюється ультрафіолетовим випромінюванням з довжиною хвилі 100 нм. Визначити, які спектральні лінії з'являться в спектрі водню.

Відповідь: = 121,6 нм; = 102,6 нм; = 656,6 нм.

52. Різниця довжини хвиль між головними лініями серій Лаймана і Бальмера в спектрі атомарного водню дорівнює л = 534,7 нм. Визначити за цими даними сталу Планка.

Відповідь: h = 6,64 ^.10 Дж с.

53. Електрон, що перебуває далеко від ядра атома водню і має швидкість х = 1,870^.10 м/с, захоплюється цим ядром, у результаті чого утворюється збуджений атом водню. Визначити довжину хвилі фотона, що випромінюється при переході атома в нормальний стан.

Відповідь: л = 52,7 нм.

54. Які спектральні лінії з'являться при збудженні атомарного водню електронами з енергією: а) 12,5 еВ; б) 14 еВ?

Відповідь: а) = 103 нм; = 127 нм; = 656 нм; б) всі.

55. При спостереженні спектра атомарного водню, отриманого за допомогою дифракційної гратки з періодом d = 2 мкм, виявлено, що одна зі спектральних ліній серії Бальмера в спектрі другого порядку відповідає куту дифракції =29°05''. Визначити головне квантове число енергетичного рівня атома, переходу з якого відповідає дана лінія.

Відповідь: n = 4.

56. Скориставшись постулатами Бора, визначити для дворазово іонізованого атома літію (Li) радіус першого енергетичного рівня.

Відповідь: = 18 пм.

57. Визначити довжини хвиль де Бройля електрона й протона, які пройшли однакову прискорювальну різницю потенціалів U = 400 В.

Відповідь: = 61,4 нм; =1,43 нм.

58. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорювану різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля для двох випадків: а) U = 51 B, б) U = 510 кВ.

Відповідь: л₁ =172 пм; л₂ = 54 пм.

59. Яку прискорювану різницю потенціалів має пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля дорівнювала 10^-8 м?

Відповідь: U₁ = 0,015 В.

60. Порівняти довжину хвилі де Бройля для електрона і частинки масою 0,1 г, які рухаються з однаковими швидкостями. Який висновок можна зробити?

Відповідь: л_е/л_ч = 1,08^.10²⁸ разів.

61. Визначити довжину хвилі де Бройля для протона, що рухається зі швидкістю = 0,6 с (с - швидкість світла у вакуумі).

Відповідь: л = 1,76^.10^-15 м.

62. Електрон рухається вздовж колової траєкторії радіусом 0,5 см в однорідному магнетному полі з індукцією 8 мТл. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона.

Відповідь: л =1,035^.10 ^-10 м.

63. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, якщо його кінетична енергія дорівнює 1 кеВ.

Відповідь: л = 10^-9 м.

64. Визначити довжину хвилі де Бройля і кінетичну енергію протона, який рухається зі швидкістю = 0,99 с (с - швидкість світла у вакуумі).

Відповідь: л = 1,89^.10^-16 м; Т= 9,15^.10^-10 Дж.

65. Порівняти довжини хвиль де Бройля електрона й іона He⁺ , які пройшли однакову різницю потенціалів U = 1 кеВ.

Відповідь: л_е =3,88^.10^-11 м; л_п = 4,53^.10^-13 м.

66. З якою швидкістю рухається електрон, якщо довжина хвилі де Бройля електрона дорівнює 2,456 нм?

Відповідь: х =2,96^.10⁵м/с.

67. Знайдіть довжину хвилі де Бройля для протона, який пройшов прискорюючи різницю потенціалів: 1) 1 кВ, 2) 1 МВ.

Відповідь: л₁ = 9,06^.10^-13 м; л₂ = 2,87^.10^-14 м.

68. Кінетична енергія протона дорівнює його енергії спокою. Обчислити довжину хвилі де Бройля цього протона.

Відповідь: =2,7 пм.

69. Визначити кінетичні енергії протона і електрона, для яких довжина хвилі де Бройля дорівнює 0,06 нм.

Відповідь: = 727 пм; = 0,396 пм.

70. Протон має кінетичну енергію, що дорівнює його енергії спокою. У скільки разів зміниться довжина хвилі де Бройля протона, якщо його кінетична енергія збільшиться у 2 рази?

Відповідь: / =1,63.

71. Кінетична енергія електрона дорівнює його енергії спокою. Обчислити довжину хвилі де Бройля для такого електрона.

Відповідь: = 1,4 пм.

72. Використовуючи постулати Бора, знайти зв'язок між довжиною хвилі де Бройля і довжиною колового енергетичного рівня.

Відповідь: .

73. Яку кінетичну енергію повинен мати електрон, щоб його довжина хвилі де Бройля дорівнювала комптонівській довжині хвилі?

Відповідь: = 0,21 МеВ.

74. Який імпульс повинен мати протон, щоб його хвиля де Бройля дорівнювала комптонівській довжині хвилі?

Відповідь: p = 5?10 кг?м/c.

75. Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, що перебуває в русі на першому борівському енергетичному рівні в атомі водню.

Відповідь: = 0,33 нм.

76. Написати вираз для хвилі де Бройля л релятивістської частинки маси m; а) через її швидкість х; б) через кінетичну енергію .

Відповідь:

77. При якому значенні швидкості х довжина хвилі де Бройля мікрочастинки дорівнює її комптонівській довжині хвилі?

Відповідь: х = 0,71 с.

78. При якій швидкості х електрона його довжина хвилі де Бройля буде дорівнювати 500 нм?

Відповідь: =1,46 км/с.

79. Знайти довжину хвилі де Бройля електрона, що рухається зі швидкістю 20 км/с. До якої області електромагнетного спектра можна віднести довжину хвилі, яка дорівнює знайденій?

Відповідь: = 3,64 нм.

80. Швидкості теплових нейтронів ядерних реакторів близькі до 2,5 км/с. Знайти довжину хвилі де Бройля для таких нейтронів.

Відповідь: = 160 пм.

81. У телевізійній трубці проекційного типу електрони розганяються до швидкості 10⁸ м/с. Визначити довжину хвилі де Бройля електронів без урахування залежності маси від швидкості.

Відповідь: = 7,27 пм.

82. Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, що рухається зі швидкістю, яка дорівнює 0,8 швидкості світла. Врахувати зміну маси зі швидкістю.

Відповідь: = 1,82 пм.

83. Обчислити довжину хвилі де Бройля для протона з кінетичною енергією 100 еВ.

Відповідь: = 2,86 пм.

84. Знайти довжину хвилі де Бройля для б-частинки, нейтрона і молекули азоту, що рухаються із середньою квадратичною швидкістю при температурі 25° С.

Відповідь: = 73 пм; = 145 пм; = 28 пм.

85. Електрон рухається на другому енергетичному рівні атома водню. Знайти його довжину хвилі де Бройля.

Відповідь: = 0,67 нм.

86. Електрон має кінетичну енергію = 1,02 МеВ. У скільки разів зміниться довжина хвилі де Бройля, якщо кінетична енергія електронів зменшиться удвічі.

Відповідь: / = 1,63.

87. Середня кінетична енергія електрона в основному стані атома водню дорівнює 13,6еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, знайти найменшу похибку, з якою можна обчислити координату електрона в атомі.

Відповідь: Дx = 52,8 пм.

88. Показати, що для частинки, невизначеність координати якої складає Дх = л/(2р) (л - довжина хвилі де Бройля), невизначеність її швидкості за величиною дорівнює самій швидкості частинки.

89. Виходячи зі співвідношення невизначеностей, оцінити розміри ядра атома, вважаючи, що мінімальна енергія нуклона в ядрі 8 МеВ.

Відповідь: d = 1,6 фм.

90. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити енергію електрона, що перебуває на першому борівському енергетичному рівні в атомі водню.

Відповідь: E = 13,6 еВ.

91. Електрон перебуває в одновимірній потенціальній ямі з нескінченно високими стінками, ширина якої 1,4 10 м. Визначити енергію, що випромінюється при переході електрона з третього енергетичного рівня на другий.

Відповідь: E = 1,52 ^.10 Дж = 0,95 еВ.

92. Електрон знаходиться в одновимірній потенціальній ямі з нескінченно високими стінками, ширина якої l = 1 нм. Визначити найменшу різницю енергетичних рівнів електрона.

Відповідь: ДE = 5,98 ^.10 Дж = 0,37 еВ.

93. Частинка в потенціальній ямі шириною l перебуває у збудженому стані. Визначити імовірність перебування частинки в інтервалі 0 < x < на другому енергетичному рівні.

Відповідь: W =.

94. Визначити ширину одновимірної потенціальної ями з нескінченно високими стінками, якщо при переході електрона з третього енергетичного рівня на другий випромінюється енергія 1 еВ?

Відповідь: l = 1,37 нм.

95. Знайти хвильову функцію і значення енергії частинки масою m, що перебуває в одновимірній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною l.

Відповідь:.

96. Альфа-частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі. Чому дорівнює ширина ями, якщо мінімальна енергія частинки складає 6 МеВ?

Відповідь: l = 2,9^.10^-15 м.

97. Електрон знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною 0,1 нм. Обчислити довжину хвилі випромінювання при переході електрона з другого на перший енергетичний рівень.

Відповідь: л = 11 нм.

98. Протон знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною 0,01 пм. Обчислити довжину хвилі випромінювання при переході протона з третього на другий енергетичний рівень.

Відповідь: л = 1,24^.10^-12 м.

99. Атом водню знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною 0,1 нм. Обчислити різницю енергій сусідніх рівнів, які відповідають середній енергії теплового руху атома при температурі 300 К.

Відповідь: ; n = 2;

100. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l в основному стані. У яких точках ями густина імовірності виявлення частинки збігається з класичною густиною імовірності.

Відповідь: щ_кл.= щ =

101. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l в основному стані. Чому дорівнює відношення густин імовірності виявлення частинки в центрі ями до класичної густини імовірності.

Відповідь: щ_кл.= щ = x =

102. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l на першому збудженому рівні. У яких точках ями густина імовірності виявлення частинки максимальна, а в яких - мінімальна?

Відповідь: щ = n=2;

103. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l на другому енергетичному рівні. Визначити імовірність виявлення частинки в межах від 0 до l/3.

Відповідь: W=0,40.

104. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенційній ямі шириною l в основному стані. Знайти відношення імовірності перебування частинки в межах від 0 до l/3 і від l/3 до 2l/3.

Відповідь:

105. Частинка знаходиться у нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі шириною l. Обчислити відношення імовірності перебування частинки в межах від 0 до l/4 для першого і другого енергетичних рівнів.

Відповідь:

106. Частинка перебуває в основному стані в одновимірній прямокутній потенціальній ямі шириною l з абсолютно непроникними стінками (0<x<l ). Знайти ймовірність перебування частинки в області

Відповідь: .

107. Електрон перебуває в прямокутній потенціальній ямі з непроникними стінками. Ширина ями l = 0,2 нм, енергія електрона в ямі E = 37,8 еВ. Визначити номер n енергетичного рівня.

Відповідь: n = 2.

108. Частинка перебуває в потенціальній ямі в основному стані. Яка імовірність виявлення частинки: а) у середній третині ями; б) у крайній третині ями?

Відповідь: = 0,609; = 0,195.

109. Частинка перебуває у нескінченно глибокій, одновимірній, прямокутній потенціальній ямі. Знайти відношення різниці енергій сусідніх енергетичних рівнів до енергії частинки у випадку, якщо n = 2.

Відповідь:

110. Електрон перебуває у нескінченно глибокій, одновимірній, прямокутній потенціальній ямі шириною l = 0,1 нм. Визначити в електрон-вольтах найменшу різницю енергетичних рівнів електрона.

Відповідь: ДЕ = 113 еВ.

111. Частинка в нескінченно глибокій, одновимірній, прямокутній потенціальній ямі шириною l перебуває у збудженому стані (n = 3). Визначити, у яких точках інтервалу 0 < х < l густина імовірності перебування частинки має максимальне і мінімальне значення.

Відповідь:

112. У прямокутній потенціальній ямі шириною l з абсолютно непроникними стінками (0 < х < l) перебуває частинка в основному стані. Знайти імовірність W знаходження цієї частинки в області l/4 < x< l.

Відповідь: W = 0,82.

113. Частинка в нескінченно глибокій, одновимірній, прямокутній потенціальній ямі перебуває в основному стані. Яка ймовірність W виявлення частинки в крайній чверті ями?

Відповідь: W = 0,09.

737. Частинка перебуває в основному стані в прямокутній ямі шириною l з абсолютно непроникними стінками. У скільки разів відрізняються імовірності виявити частинки: a) у крайній третині ями; б) у крайній чверті ями?

Відповідь: / = 2,17.

114. Моноенергетичний потік електронів (Е = 100 еВ) падає на низький прямокутний потенціальний бар'єр нескінченної ширини. Визначити висоту потенціального бар'єра U, якщо відомо, що 4% електронів, що падають на бар'єр, відбиваються.

Відповідь: U = 55,6 еВ.

115. Електрон з енергією Е = 4,9 еВ рухається у позитивному напрямку осі x (рис. 1). Висота U потенціального бар'єра дорівнює 5 еВ. При якій ширині d бар'єра ймовірність проходження електрона крізь нього буде дорівнювати 0,2.

Відповідь: d = 0,495 нм.

Рисунок 1

116. Написати рівняння Шредінгера для електрона з енергією Е, що рухається в позитивному напрямку осі x для областей I та II (рис. 1), якщо на межі цих областей існує низький потенціальний бар'єр висотою U.

Відповідь: .

117. На шляху електрона з довжиною хвилі де Бройля = 0,1 нм розміщений потенціальний бар'єр висотою U = 120 еВ. Визначити довжину хвилі де Бройля після проходження бар'єра.

Відповідь: .

118. Електрон з енергією Е = 100 еВ попадає на потенціальний бар'єр висотою U = 64 еВ. Визначити імовірність W того, що електрон відіб'ється від бар'єра.

Відповідь: W = 0,0625.

119. Визначити показник заломлення n хвиль де Бройля при проходженні частинкою потенціального бар'єра c коефіцієнтом відбиття с = 0,5.

Відповідь: n = 0,172.

120. При якому відношенні висоти U потенціального бар'єра і енергії Е електрона, що падає на бар'єр, коефіцієнт відбиття с = 0,5?

Відповідь: = 0,971.

121. Кінетична енергія електрона в два рази перевищує висоту U потенціального бар'єра. Визначити коефіцієнт відбиття с і коефіцієнт проходження ф електронів на межі бар'єра.

Відповідь: с = 0,0295; ф = 0,97.

112. Коефіцієнт проходження протонів ф через потенціальний бар'єр дорівнює 0,8. Визначити показник заломлення хвиль де Бройля на межі бар'єра.

Відповідь: = 0,384.

123. Обчислити коефіцієнт проходження ф електрона з енергією Е = 100 еВ через потенціальний бар'єр висотою U = 99,75 еВ.

Відповідь: ф = 0,2.

124. Ширина d прямокутного потенціального бар'єра дорівнює 0,2 нм. Різниця енергій U - Е = 1 еВ. У скільки разів зміниться імовірність W проходження електрона через бар'єр, якщо різниця енергій зросте в n = 10 разів?

Відповідь:

125. Електрон з енергією E = 9 еВ рухається у позитивному напрямку осі x. При якій ширині d потенціального бар'єра коефіцієнт прозорості D = 0,1, якщо висота U бар'єра дорівнює 10 еВ? Зобразити на рисунку вигляд хвильової функції (її дійсну частину) у межах кожної з областей I, II, III (див. рис. 1).

Відповідь: нм.

126. При якій ширині d прямокутного потенціального бар'єра коефіцієнт прозорості D для електронів дорівнює 0,01? Різниця енергій U - Е = 10 еВ.

Відповідь: d = 0,143 нм.

127. Електрон з енергією Е рухається у позитивному напрямку осі х. При якому значенні U - Е, вираженому в електрон-вольтах, коефіцієнт прозорості D = 10 , якщо ширина d бар'єра дорівнює 0,1 нм?

Відповідь: еВ.

128. Електрон з енергією E = 9 еВ рухається у позитивному напрямку осі x. Оцінити імовірність W того, що електрон пройде через потенціальний бар'єр, якщо його висота U = 10 еВ і ширина d = 0,1 нм.

Відповідь: W = 0,2.

129. Прямокутний потенціальний бар'єр має ширину d = 0,1 нм. При якій різниці енергій U - Е ймовірність W проходження електрона через бар'єр дорівнює 0,99?

Відповідь: U - Е = 10 еВ.

130. Ядро випромінює б-частинки з енергією E =5 МеВ. У першому наближенні можна вважати, що б-частинки проходять через прямокутний потенціальний бар'єр висотою U = 10 МеВ і шириною d = 5 фм. Знайти коефіцієнт прозорості D бар'єра для б-частинок.

Відповідь: D = 0,89.

131. Протон і електрон пройшли однакову прискорювальну різницю потенціалів U = 10 кВ. У скільки разів відрізняються коефіцієнти прозорості для електрона і для протона, якщо висота U бар'єра дорівнює 20 кеВ і ширина d = 0,1 пм?

Відповідь: .

132. Електрон має енергію Е = 10 еВ. Визначити, у скільки разів зміняться його швидкість х, довжина хвилі де Бройля л і фазова швидкість х_ф при проходженні через потенціальний бар'єр (див. рис.1) висотою U = 6 еВ.

Відповідь: = 0,632; = 1,58; = 0,632.

133. Коефіцієнт відбиття протона від потенціального бар'єра с дорівнює 2,5^.10 . Визначити, який відсоток складає висота U бар'єра від кінетичної енергії протонів, що падають на бар'єр.

Відповідь: = 2%.

134. Електрон з енергією Е = 10 еВ падає на потенціальний бар'єр. Визначити висоту U бар'єра, при якій показник заломлення n хвиль де Бройля і коефіцієнт відбиття с чисельно збігаються.

Відповідь: U = 9,13 еВ.

135. Псі-функція деякої частинки має вигляд , де r - відстань частинки від силового центра; А - константа. Знайти: а) значення коефіцієнта А; б) середню відстань r частинки від центра.

Відповідь: .

136. Псі-функція деякої частинки має вигляд , де r - відстань частинки від силового центра; а - константа. Знайти середню відстань частинки від центра.

Відповідь: .

137. Хвильова функція, що описує рух електрона в основному стані атома водню, має вигляд , де А - деяка стала; - перший борівський радіус. Середнє значення потенціальної енергії для цього стану дорівнює . Знайти значення сталої А.

Відповідь:.

138. Написати рівняння Шредінгера для електрона, що перебуває у воднеподібному атомі.

Відповідь: .

139. Написати рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора. Врахувати, що сила, яка повертає частинку до положення рівноваги, F = kх (де k - коефіцієнт пропорційності; х - зміщення).

Відповідь: .

140. Провести нормування хвильової функції .

Відповідь: .

141. Чим обумовлена вимога скінченності ш-функції?

142. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів має вигляд . Обґрунтувати, виходячи з цього рівняння, вимоги, що висувають до хвильової функції, її неперервність і неперервність першої похідної від хвильової функції.

143. Електрон у атомі водню описується у основному стані хвильовою функцією . Визначити відношення імовірностей перебування електрона у сферичних шарах товщиною Дr = 0,01a та радіусами = 0,5 а і = 1,5 а.

Відповідь: .

144. Визначити короткохвильову межу суцільного спектра рентгенівського випромінювання, якщо рентгенівська трубка працює під напругою U =30 кВ.

Відповідь: = 41 пм.

145. Обчислити найбільшу довжину хвилі у К-серії характеристичного рентгенівського спектра скандію (z=21).

Відповідь: = 304 пм.

146. Під час дослідження лінійчатого рентгенівського спектра деякого елементу було знайдено, що довжина хвилі л лінії дорівнює 76 пм. Що це за елемент?

Відповідь: Z = 41; ніобій.

147. Яку найменшу різницю потенціалів необхідно прикласти до рентгенівської трубки, антикатод якої покритий ванадієм (Z = 23), щоб у спектрі рентгенівського випромінювання з'явились усі лінії К-серії ванадію? Межа К-серії ванадію л=226 пм.

Відповідь: = 5,5 кВ.

148. Визначити енергію E фотона, який відповідає K_б-лінії у характеристичному спектрі марганцю (Z = 25).

Відповідь: E =5,9 кеВ.

149. У атомі вольфраму електрон перейшов з М-шару на L-шар. Беручи сталу екранування у такою, що дорівнює 5,5, визначити довжину хвилі л фотона, що випромінюється.

Відповідь: л = 0,14 нм.

150. Рентгенівська трубка працює під напругою U = 1 МВ. Визначити найменшу довжину хвилі рентгенівського випромінювання.

Відповідь: = 1,24 пм.

151. Розрахувати довжину хвилі л і енергію E фотона, який належить -лінії в спектрі характеристичного рентгенівського випромінювання платини.

Відповідь: л = 20,5; E = 60,5 кеВ.

152. При якій найменшій напрузі на рентгенівській трубці починають з'являтись лінії K-серії міді?

Відповідь: = 8 кВ.

153. До електродів рентгенівської трубки прикладена різниця потенціалів 60 кВ. Найменша довжина хвилі рентгенівських променів, що одержані від цієї трубки, дорівнює 0,0206 нм. Знайти з цих даних сталу Планка.

Відповідь: h = 6,6 ^.10 Дж с.

154. Знайти короткохвильову межу суцільного рентгенівського спектра для випадків, коли до рентгенівської трубки прикладена різниця потенціалів: а) 30 кВ; б) 40 кВ; в) 50 кВ.

Відповідь: = 41,3 пм; = 31пм; = 24,8 пм.

155. Знайти короткохвильову межу суцільного рентгенівського спектру, якщо відомо, що зменшення прикладеної до рентгенівської трубки напруги на 23 кВ збільшує шукану довжину хвилі в 2 рази.

Відповідь: л = 27 пм.

156. Довжина хвилі г випромінювання радію дорівнює л = 0,0016 нм. Яку різницю потенціалів треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб одержати рентгенівські промені з цією довжиною хвилі?

Відповідь: U = 770 кВ.

157. Яку найменшу напругу треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб одержати всі лінії К-серії, якщо матеріалом антикатода взяти платину?

Відповідь: U = 79 кВ.

158. Яку найменшу напругу треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб одержати всі лінії К-серії, якщо матеріалом антикатода взяти мідь?

Відповідь: U = 8 кВ.

159. Яку найменшу напругу треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб одержати всі лінії К-серії, якщо матеріалом антикатода взяти срібло?

Відповідь: U = 23,5 кВ.

160. Яку найменшу напругу треба прикласти до рентгенівської трубки, щоб одержати всі лінії К-серії, якщо матеріалом антикатода взяти вольфрам?

Відповідь: U = 69 кВ.

161. Знайти сталу екранування для L-серії рентгенівських променів, якщо відомо, що при переході електрона в атомі вольфраму з М-шару на L-шар випромінюються рентгенівські промені з довжиною хвилі л = 0,143 нм.

Відповідь: у = 5,5.

162. При переході електрона в атомі з L-шару на K-шар випромінюються рентгенівські промені з довжиною хвилі 0,0788 нм. Який це атом? Для К-серії стала екранування дорівнює одиниці.

Відповідь: Z = 40, цирконій.

163. Знайти довжину хвилі -лінії в характеристичному рентгенівському спектрі заліза (Z=26). Стала екранування у = 5,7.

Відповідь: л = 1,76 нм.

164. У якого елементу довжина хвилі -лінії в характеристичному рентгенівському спектрі дорівнює 1,23 нм? Стала екранування у = 5,7.

Відповідь: Z = 30, цинк.

165. Антикатод рентгенівської трубки бомбардується електронами, швидкість яких 100 Мм/с. Визначити максимальну частоту випромінювання в суцільному рентгенівському спектрі з урахуванням залежності маси електрона від швидкості його руху.

Відповідь: н = 9,22^.10 Гц.

166. При якій найменшій напрузі рентгенівська трубка може дати промені з найменшою довжиною хвилі 13,3 пм?

Відповідь: U = 93 кВ.

167. Найменша довжина хвилі рентгенівських променів, отриманих від трубки, що працює при напрузі 40 кВ, дорівнює 31 пм. Обчислити за цими даними сталу Планка.

Відповідь: h = 6,62 10 Дж^.с.

168. Рентгенівська трубка працює при напрузі 30 кВ. Знайти найменше значення довжини хвилі рентгенівського випромінювання.

Відповідь: л = 41,3 пм.

169. Знайти найменшу довжину хвилі рентгенівського випромінювання, якщо рентгенівська трубка працює при напрузі 150 кВ.

Відповідь: л = 8,27 пм.

170. Атомні площини кристала віддалені одна від одної на 210 пм. Чому дорівнює довжина хвилі рентгенівських променів, що падають на кристал, якщо відбиття першого порядку спостерігається під кутом 45°?

Відповідь: л = 297 пм.

171. При опроміненні кристала хлористого калію (КСl) монохроматичними рентгенівськими променями з довжиною хвилі 145 пм і кутом між пучком рентгенівських променів і поверхнею кристала 14°20' з'являється максимум першого порядку. Знайти відстань між сусідніми атомними площинами кристала.

Відповідь: d = 293 пм.

172. Чому дорівнює стала кристалічної ґратки хлористого натрію (NаС1), якщо монохроматичне рентгенівське випромінювання з довжиною хвилі 71,2 пм відбивається від його природної грані площини спайності? Максимум першого порядку має місце при куті 7°18'.

Відповідь: d = 280 пм

3. Молекулярно-кінетична теорія ідеального газу

Основні формули

1. Рівняння стану ідеального газу або рівняння Клапейрона



де p - тиск газу;

V - його об'єм;

T - абсолютна температура;

m - маса газу;

- маса одного моля газу;

R = 8,31 Дж/(моль^.К) - газова стала;

m/ - число молів.

2. Кількість речовини газу (у молях)

або

де N - число молекул газу;

N_A = 6,02^.10 ²³ моль^-1 - постійна Авогадро.

3. Кількість речовини в суміші газів визначається

= ₁+₂+...+_n = N₁/N_A + N₂/N_A + ... + N_n/N_A

або

= m₁/₁ + m₂/₂ + ... + m_n/_n ,

де _i, N_i, m_i, _i - відповідно кількість речовини, число молекул, маса, молярна маса i-ї компоненти суміші.

4. Молярна маса суміші газів



де m_i - маса i-ї компоненти суміші;

_i - кількість речовини i-ї компоненти суміші;

n - число компонент суміші.

Масова частка w_i i-ї компоненти суміші газів (у долях одиниці)

,

де m - маса суміші.

5. Концентрація молекул

де N - число молекул, що втримуються в даній системі;

- густина речовин;

V - об'єм системи.

Формула справедлива не тільки для газів, але й для будь-якого агрегатного стану речовини.

6. Тиск суміші газів (закон Дальтона) дорівнює сумі їх парціальних тисків

де n - число компонент суміші.

Парціальним тиском називається тиск газу, який мав би кожен газ, що входить до складу суміші, за умови, що при даній температурі він один заповнював би весь об'єм.

7. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів



де n - число молекул в одиниці об'єму;

<_n> - середня енергія поступального руху однієї молекули;

m - маса молекули;

<²> - середнє значення квадрата швидкості.

8. Середня кінетична енергія поступального руху молекули

де k = R/N_a = 1,38 ^. 10^-23 Дж/К - стала Больцмана.

9. Середня повна кінетична енергія молекули

де i - число ступенів вільності молекули.

Для одноатомного газу i = 3; для двохатомного газу i = 5; для багатоатомного газу i = 6.

Залежність тиску газу від концентрації молекул і температури

11. Швидкості газових молекул:

середня квадратична швидкість



;

середня арифметична швидкість

;

найбільш імовірна швидкість

,

де m - маса однієї молекули.

12. Відносна швидкість молекули

,

де - швидкість даної молекули;

- найбільш імовірна швидкість.

13. Закон розподілу молекул за швидкостями (закон Максвелла) дозволяє знайти число молекул dN, відносні швидкості яких лежать в інтервалі від u до u+ du,

.

де du - величина інтервалу відносних швидкостей мала в порівнянні зі швидкістю u;

N - загальне число молекул в системі.

Щоб визначити, яка частина молекул N/N має відносні швидкості в діапазоні від u₁ до u₂, треба розрахувати такий вираз

.

14. Класичний розподіл Максвелла буде мати інший вигляд, якщо відносну швидкість виразити через значення середньої і найбільш імовірної швидкостей

,

звідки

а також і .

Після підстановки цих значень у формулу розподілу Максвелла через відносні швидкості одержуємо цей же розподіл в іншому вигляді

.

15. Розподіл Больцмана (розподіл частинок у силовому потенціальному полі U_n



де n - концентрація частинок в тих точках силового поля, де потенціальна енергія U_n;

n₀ - концентрація частинок у тих точках силового поля, де W_n=0.

16. Середня довжина < l > вільного пробігу молекул газу

,

де d - ефективний діаметр молекул;

n - концентрація молекул газу.

17. Середнє число зіткнень молекул за одиницю часу

=

де - середня швидкість газових молекул;

- довжина вільного пробігу молекул;

d - ефективний діаметр молекули;

n - концентрація молекул газу.

18. Динамічна в'язкість газового середовища

з = ,

де с - густина газу (рідини);

< l > - середня довжина вільного пробігу молекул.

Закон Ньютона



F =

де з - коефіцієнт динамічної в'язкості;

- градієнт швидкості газу;

ДS - площадка переносу газу.

Закон Фурє

де ч = - коефіцієнт теплопровідності газу;

- градієнт температури;

ДS - площадка переносу газу;

Дt - час переносу теплової енергії;

с_х - теплоємність газу при сталому об'ємі.

Закон Фіка

де - D = - коефіцієнт дифузії газу;

- градієнт концентрації газу;

m - маса однієї молекули газу.

...