Размещено на http://www.allbest.ru/

РАЗДЕЛ 1. Введение в дисциплину

1.1 Предмет дисциплины, её цели и задачи

Механика жидкости и газа («Гидравлика») изучает равновесие и движение жидкостей и газов, а также их взаимодействие с твердыми телами, в каналах которых они текут, или которые они обтекают.

Механика жидкости и газа является неотъемлемой частью комплекса технических наук, необходимых для подготовки современного инженера. Практически все отрасли народного хозяйства включают вопросы теоретической гидромеханики, эксплуатации гидроустановок и технологий, в процессах которых участвуют жидкости и газы. Механика жидкости и газа занимает одно из ведущих мест при подготовке инженеров, работающих в атомной энергетике, авиации, судостроении, промышленной теплоэнергетики, гидроэнергетике, строительстве гидросооружений и др.

Механика жидкости и газа развилась на базе древней науки о течении воды - гидравлики, и теоретической механики. Теоретическая гидромеханика по своему содержанию и методам изучения является составной частью теоретической механики.

В развитии гидромеханики можно выделить несколько характерных этапов её развития: древний период, средневековье, возрождение, первая техническая революция, современный этап.

Постепенно в процессе труда человека накапливались отдельные наблюдения, открывались закономерности движения жидкости и газа, которые, пройдя определенный этап, оформились в определенную систему - науку.

Уже в древнем мире было накоплено много наблюдений и изобретены интересные гидравлические и пневматические устройства. Отдельные наблюдения были изложены в трудах древнегреческого философа Аристотеля (IV век до н. э.). Часть законов гидростатики были сформулированы великим математиком и механиком древней Греции Архимедом.

Большой вклад в развитие основ гидромеханики сделан Леонардо да Винчи (1452-1519), Стивеном (1548-1620), Галилеем (1564-1642), Паскалем (1623-1662), Гюйгенсом (1629-1695).

Ньютон (1642-1727) в своих «Математических началах естественнонаучной философии» установил квадратичный закон сопротивления движения от скорости.

Начало теоретической гидромеханики было положено в XVIII веке трудами академиков Российской академии наук М. В. Ломоносовым (1711-1765), Леонардом Эйлером (1707-1783), Даниилом Бернулли (1700-1762).

Величайший русский ученый М. В. Ломоносов по металлургии, горному делу, водяным двигателям и метеорологии внес крупный вклад в гидромеханику. Им выполнены работы «О вольном движении воздуха, в рудниках примеченном», «Слово о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих», «Попытка теории упругой силы воздуха». Он разработал и построил прибор для измерения скорости и направления ветра, создал аппарат-прообраз современного вертолета. Леонардом Эйлером были выведены уравнения равновесия и движения жидкости и газов, указаны некоторые их интегралы и сформулирован закон сохранения массы применительно к жидкости. Л. Эйлер вывел основное уравнение лопастных гидромашин, исследовал вопросы движения к практическим задачам судостроения и конструирования, гидравлических машин.

Даниил Бернулли впервые ввел термин «гидромеханика». Он установил зависимость между удельными энергиями при движении жидкости, исследовал давление струи жидкости на пластину.

Событием в истории развития гидротехники явился выход его книги «Гидродинамика» или «Записки о силах и движениях в жидкости». Дальнейший этап развития гидромеханики, объединяющий конец ХVIII и начало XIX веков, характерный первой промышленной революцией, характерен математической разработкой гидродинамики идеальной жидкости. В этот период вышли труды математиков Лагранжа (1736-1813) и Коши (1789-1857), посвященные потенциальным потокам, теории волн и др. Основы теории вязкой жидкости были заложены Навье (1785-1836) и Стоксом (1819-1903). В 1881 г. профессор Казанского университета С. Громеко (1851-1889) дал новую форму уравнений движения жидкости, удобную для получения энергетических зависимостей. Им же были впервые внедрены исследования нестационарного движения жидкости в капиллярах.

Опытами английского физика Рейнольдса (1842-1912) установлен закон подобия течения в трубах.

Целую эпоху составляют исследования по воздухоплаванию, включающую разработку теории полета самолета и ракет. Результаты этих исследований были изложены в трудах выдающихся русских ученых Д. Н. Менделеева (1834-1907), Н. Е. Жуковского (1849-1921), С. Д. Чаплыгина (1869-1942).

Созданная теория крыла и воздушного винта Н. Е. Жуковским имела значение не только для авиации, но и для современного турбомашиностроения. Н. Е. Жуковский, как Эйфель (1832-1923) во Франции, Прандтль (1875-1950) в Германии, был создателем экспериментальной аэромеханики в России. Он создал известный всему миру аэрогидродинамический институт ЦАГИ. С. А. Чаплыгин, бывший много лет директором ЦАГИ, развил теорию обтекания крыла и решеток профилей. Он разработал теорию разрезного крыла с подкрылком и закрылком, разработал теорию определения сил, действующих на самолет при полете с переменной скоростью. С. А. Чаплыгин положил начало новому разделу гидромеханики - теории неустановившегося обтекания крыла. Важные исследования впоследствии выполнили Н. Е. Кочин, А. И. Некрасов, М. В. Келдыш, У. А. Лаврентьев, Л. И. Седов.

Крупный вклад в теорию реактивного движения внесли Э. К. Циолковский (1857-1935), И. В. Мещерский (1859-1935), А. А. Фридман (1888-1925).

Современный этап развития гидромеханики характеризуется появлением, её новых разделов: физико-химической, электромагнитной и космической гидродинамики, связанных с многими новыми областями техники. гидравлика жидкость газ кинематика

Целью преподавания дисциплины «Механика жидкости и газа» является изложение теоретических основ механики жидкостей и газов, передача студентам знаний и навыков для применения их в будущей практической деятельности.

Дисциплина «Механика жидкости и газа» является теоретической базой промтеплоэнергетики, энергомашиностроения, гидроэнергетики, атомной энергетики. Поэтому получение знаний и навыков в этой области составляет существенную часть в подготовке инженеров.

1.2 Напряженное состояние жидкости и методы её изучения

Методы изучения механики жидкости и газа

Жидкость и газы представляют собой системы материальных точек (молекул, атомов). Состояние вещества является функцией давления и температуры.

· В твёрдых телах кинетическая энергия движения молекул (атомов) недостаточна для выхода атомов из узлов кристаллической решётки, поэтому твёрдые тела сохраняют форму и объём.

· В жидкостях кинетическая энергия молекул достаточна для выхода из узлов решётки и поэтому определённая часть молекул хаотически перемещается по всему объёму, но их энергия недостаточна для выхода за пределы жидкости, поэтому жидкости сохраняют объём, но не сохраняют форму, а принимают форму сосуда.

· В газе энергия молекул достаточна для преодоления связей между молекулами, поэтому газы не сохраняют ни формы, ни объёма. Газ в беспредельном пространстве расширяется до бесконечности.

В теоретической гидромеханике пользуются абстрактными моделями жидкости и газа: дискретной системой материальных точек и сплошной средой. Реальные материальные частицы жидкости и газа малы. В одном кубическом микрометре содержится около 10⁷ молекул, поэтому при решении практических задач, включающих значительные объёмы жидкости и газа можно полагать размеры частицы исчезающе малыми, а среду считать сплошной. Сплошная среда предполагает делимость на бесконечно малые объёмы. Модель сплошной среды предполагает, что сколь угодно малая её часть обладает всеми свойствами всей жидкости (газа). Частицы жидкости и газа находятся в силовом взаимодействии в ряде задач теми или иными силами и свойствами можно пренебречь. Поэтому рассматривается не сама жидкость, а её модель.

В гидромеханике используют следующие модели жидкости:

1. Несжимаемая невязкая жидкость - называемая также идеальной жидкостью;

2. Реальная жидкость - вязкая несжимаемая жидкость;

3. Сжимаемая невязкая жидкость;

4. Сжимаемая вязкая жидкость;

5. Особые жидкости (например, жидкость Бингема, Макиавелли и др., в которых вязкость и сжимаемость проявляются особым образом).

В основу изучения покоя и движения жидкости и газа положены законы сохранения (вещества, энергии, импульса силы и момента количества движения). При изучении движения газа дополнительно используются законы термодинамических процессов.

В теоретической гидрогазодинамике широко используются аналитические методы исследования. Однако сложность поведения жидкостей и газов в реальных условиях вынуждает прибегать также к инженерному эксперименту и его теории (планирование, измерение, анализ размерности и подобия).

Напряженное состояние жидкости и газа

Реальные газы и жидкости подвержены силам взаимодействия как внутри их, так и с окружающей средой. Поэтому в жидкостях и газах возникают механические напряжения. Такое состояние называют напряженным.

Современной физикой установлено, что все многообразие видов движения материи в макромире определяется всего двумя фундаментальными силами: гравитационным и электромагнитным взаимодействием. В гидромеханике, обычно, рассматривают два вида сил: массовые и поверхностные.

За меру количества вещества жидкости или газа принимают их массу. Количество вещества, выраженное через массу, содержащуюся, в единице объёма, называют плотностью.

В общем случае вещество по объёму может быть распределено неравномерно, поэтому если вещество распределено равномерно, то

с = (2.1)

Жидкость (газ), находясь в силовом поле, испытывают его действие. Силы, действующие на каждую частицу жидкости (газа) и пропорциональные их массе называют массовыми. Поэтому массовая сила пропорциональна массе жидкости (газа), а, если плотность одинакова для любого элемента объёма, занятого жидкостью, то она пропорциональна также объёму.

К массовым силам относит силу тяжести (гравитационную силу) и силу инерции.

Сила - физическая величина, приводящая к изменению скорости движения тела, векторная мера взаимодействия между телами.

Для случая гравитационного поля Земли массовая сила равна

G = mg, (2.2)

где g - ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Силу противоположно направленную силе G, равную силе действия сосуда на жидкость, называют силой веса или весом жидкости.

В ряде задач массовую силу относят к единице массы и называют удельной массовой силой. Размерность удельной массовой силы равна размерности ускорения:

lim F_y = LT^-2 (м/c²).

При решении практических задач в ряде случаев предпочтительно пользоваться не плотностью, а удельным весом, величиной, равной:

г = , (2.3)

где W - объём жидкости весом G.

Так как G = mg, то

г = = сg.

Следует иметь в виду, что удельный вес г не является, в отличие от плотности, характеристикой жидкости или газа. Например, удельный вес теряет смысл в условиях невесомости, в то время, как с сохраняет свое значение.

Силы взаимодействия, приложенные к поверхности жидкости, называют поверхностными силами.

Тогда на элемент поверхности ДS, в общем случае действует внешняя сила ДF. Разложим эту силу на нормальную составляющую ДN и касательную ДТ.

Величину называют гидромеханическим давлением;

Величину называют касательным напряжением.

Величины P и ф с точки зрения теоретической механики есть не что иное, как механическое напряжение в жидкости, соответственно нормальное и касательное. Другие варианты толкования (например, как удельной энергии и пр.) не имеют физического смысла.

При равномерном распределении поверхностной силы с и ф можно вычислять по формулам:

с= (2.4)

ф= (2.5)

где S - поверхность, на которую действуют силы N и Т.

Касательное напряжение проявляется только в движущихся жидкостях, поэтому ф называют также напряжением трения, а силу Т силой вязкого трения. Технические жидкости, из-за наличия примеси в них газов и твердых частиц, слабо сопротивляются растягивающим напряжениям. Поэтому принято, что гидромеханическое давление с направлено только внутрь объёма жидкости. Чистые жидкости в капиллярах выдерживают значительные растягивающие напряжения.

Закон Паскаля

В покоящейся жидкости градиенты скорости равны нулю:

grad V = = = = 0.

Касательные напряжения определяются из зависимости:

Ф = м ,

поэтому они также равны нулю, т. е.: ф_x,y= ф_y,z= ф_zx= 0

Таким образом, в покоящейся жидкости касательные силы вязкого трения отсутствуют.

Гидростатическое давление, равное нормальному напряжению в жидкости, принято считать направленным внутрь объёма жидкости, так как реальные жидкости слабо сопротивляются разрыву. Гидростатическое давление (нормальное напряжение) в данной точке одинаково по всем направлениям. Этот закон носит имя Паскаля.

1.3 Основные свойства жидкостей и газов

В зависимости от температуры и давления жидкости и газы могут находиться в разных термодинамических состояниях. Под состоянием понимают совокупность физических параметров, присущих данной системе. Каждый объём жидкости или газа находятся в энергетической связи с окружающей средой. Различают равновесные и неравновесные состояния.

Равновесным состоянием называют состояние, при котором параметры жидкости (газа) не изменяются во времени, если отсутствует внешнее энергетическое воздействие.

Равновесные состояния характеризуются тремя параметрами: давлением, объёмом, температурой.

В большинстве технических задач газы полагают идеальными.

Сжимаемость жидкостей и газов

Все реальные жидкости в той или иной степени сжимаемы, т. е. под действием внешнего давления уменьшают свой объём. Сжимаемость жидкости, как правило, мала по величине. Малая сжимаемость жидкости обусловлена тем, что жидкость подвержена сильному молекулярному взаимодействию, а изменения величин давления в технических процессах сравнительно невелики. Например для воды Р_ж 3,2·10⁸ МПа, в то время как наиболее часто давления в технике применяются в пределах 0-3МПа.

Учитывая относительную малость давлений, допускают, что жидкость сжимается по линейному закону:

(3.1),

где k - объёмный модуль упругости жидкости.

Сжимаемость жидкости принято оценивать величиной, равной

(3.2)

Например, для воды в = = 5·10^-10 Па^-1, что указывает на весьма малую сжимаемость воды.

Для газов модуль объёмной упругости численно равен давлению, под которым находится газ, так как - то из 3.1 можно написать



(3.3),

где б - скорость распространения звука в газе. Т.о. сжимаемость газа можно оценивать по величине скорости звука.

Для сжимаемых сред, какими являются газы, используют критерий Маха-Маевского:

(3.4)

Потоки с М > 1 называют сверхзвуковыми. Для потоков газа при М = 0,15 ё 0,2 нужно учитывать их сжимаемость.

Текучесть и вязкость

В зависимости от температуры и давления вещество может находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком и газообразном. В твердых телах молекулы находятся в сильной взаимосвязи, расположены в определенном порядке и совершают только тепловое колебательное движения. Вероятность покинуть занятое молекулой (атомом) место мала. Поэтому твердые тела сохраняют заданную форму и объём.

В жидкостях тепловое движение существенно выше, часть молекул получают достаточную энергию возбуждения и покидают свои места. Поэтому в жидкости часть молекул, перемещается по всему объёму, но их кинетическая энергия остается недостаточной для выхода за пределы жидкости. Поэтому жидкости сохраняют свой объём. В газах тепловое движение еще больше, а молекулы удалены настолько, что взаимодействие между ними становится недостаточным для удержания их на определенном удалении, газ получает возможность беспредельно расширяться.

Свободное перемешивание молекул в жидкостях и газах приводит к тому, что они изменяют свою форму при приложении сколь угодно малого силового действия.

Это явление называют текучестью.

Под действием гравитационного поля жидкости и газы принимают форму того сосуда, в котором они находятся.

В результате хаотического движения молекул в газе они претерпевают столкновения. Процесс столкновения молекул характеризуется эффективным диаметром молекул, под которым понимается минимальное расстояние между центрами молекул при их сближении. Расстояние, которое молекула проходит между столкновениями, называется свободным пробегом молекулы. В результате переноса молекулами количества движения при переходе их из слоя в слой, движущихся с разными скоростями, возникает касательная сила между слоями.

Свойство жидкости и газа сопротивляться сдвигающим усилиям называют вязкостью.

Расположим в газовой среде пластину I на некотором расстоянии от стенки 2. Пусть пластина I движется относительно стенки 2 со скоростью v. Так как газ будет увлекаться пластиной, то в зазоре установится послойное течение газа со скоростями, изменяющимися от 0 до v. Выделим в газе слой толщиной dy . Примем dy равным свободному пробегу молекул л.

Очевидно, что скорости нижней и верхней поверхности слоя будет отличаться на величину dv. В результате теплового движения из нижнего слоя в верхний и обратно непрерывно переходят молекулы. Так как их скорости различны, то их количества движения тоже различны.

Среднюю скорость молекул = можно найти из распределения Максвелла для идеального газа. Так как = ф - касательное напряжение, то окончательно получим:



ф = · с·л··

1/3 - потому, что в газе все три направления равноправны.

Величину называют градиентом скорости.

Величину м = сл (постоянную для данного газа при заданной температуре) называют динамическим коэффициентом вязкости. Таким образом, окончательно касательное напряжение вязкого трения будет равно

ф = м (3.5)

Если поверхность трения равна S, то сила вязкого трения принимает величину

T = ф·^.S = м·S· . (3.6)

Последняя формула была предложена в виде гипотезы Ньютоном, а теоретически была доказана русским гидродинамиком Петровым.

В ряде задач вместо динамического коэффициента вязкости используют величину н = , называемую кинематическим коэффициентом вязкости.

В газах с увеличением температуры возрастают и л, поэтому вязкость их растет, т.к. м = с л.

В жидкостях имеет место более сложная зависимость. Для большинства жидкостей доминирует фактор связи между молекулами. Поэтому с повышением температуры вязкость жидкости падает, так как уменьшается связь. Формула Ньютона, однако, остается справедливой и для жидкостей.

Влияние давления на вязкость жидкостей и газов, обычно, незначительно.

Жидкости широко используют как рабочие тела в различных технических системах и технологиях. Во многих случаях вязкость является важным фактором для нормального функционирования систем, потому разработаны различные способы определения вязкости. Рассмотрим наиболее распространенные способы измерения вязкости в лабораторных условиях.

Определение вязкости по способу Петрова

В основу способа Петрова положена формула Ньютона для определения силы вязкого трения:

T = м ^. S.

Определение производится с помощью специального прибора (рис. 3.2) Основу прибора составляет сосуд I, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью щ, и цилиндр 2, подвешенный на упругой нити 3. Сосуд I заполняют жидкостью, вязкость которой необходимо определить. Так как жидкость вязкая - то она увлекается сосудом и начинает вращаться вместе с ним.

Из условия равновесия находим

Tr = kц, (3.7)

где k - коэффициент, зависящий от упругости нити;

ц - угол закрутки.

kц - момент закрутки нити;

Поверхность трения равна S = 2рrh.

Градиент скорости ? = .

Подставляя в (3.11, а), находим м2рrh ^. r = kц, откуда

(3.8)

Определение вязкости по способу Стокса

Способ Стокса основан на измерении силы лобового сопротивления шара, движущегося во вязкой жидкости. Определение вязкости выполняется с помощью прибора.

Основу прибора составляет стеклянная трубка I, заполненная исследуемой жидкостью. В нижней и верхней части трубки помещаются устройства для удержания шарика 3. Трубка относительно штатива 4 может поворачиваться на 180°.Опыт проводят следующим образом.

Так, как расстояние между чертами 5 и 6 известно, то скорость находим из формулы

V =

где t - время прохождения шара от черты до черты.

Напишем условие равновесия для установившегося движения шарика:

A + T - G = 0,

где A - сила Архимеда;

T - сила вязкого трения;

G - сила тяжести шарика.

Найдем величины этих сил:

A = с^.g; G = с_шg; T = мрd² .

Так как градиент в данном случае определяется по сложной зависимости, то Стокс предположил, что ДV = V; Дy = k^.d, где k зависит от . Тогда

T = мрd².

Подставим значения сил в уравнение равновесия:

Сg + мрd - с_шg = 0

м = (с_ш - с). (3.9)

Способы определения вязкости жидкости, основанные на измерении параметров течения в капиллярах

Типичным представителем приборов для измерения вязкости (вискозиметров), основанных на измерении параметров течения через капилляр, является вискозиметр ВПА-2.

Кинематическая вязкость находят по эмпирической формуле:

н = t,



где g - ускорение силы тяжести в месте проведения опыта;

g₀ - ускорение силы тяжести на широте Земли ц =45°;

k - постоянная данного прибора;

t - время истечения.

Опыты проводятся при температуре T = const, указанной в паспорте прибора.

Способы определения вязкости жидкости, основанные на определении времени истечения жидкости через отверстие.

Типичным представителем этого типа приборов является прибор Энглера, применяемый для определения вязкости жидкостей более вязких, чем вода.

Вязкость оценивают, по времени истечения t_и исследуемой жидкости, и времени истечения дистиллированной воды t_в при тех же условиях (температуре, объёме жидкости и др.).

В данном случае вязкость определяется в относительных единицах, градусах Енглера,

^оЕ = . (3.10)

Кинематический коэффициент вязкости находят по эмпирической формуле Уббелоде:

н = (0,0763^OE - ) ^. 10^-4, м²/с (3.11)

Поверхностное натяжение

Силовое взаимодействие молекул, которые находятся на поверхности жидкости, и молекул, расположенных вдали от неё неодинаково (рис.3.5). Молекула, расположенная на поверхности, находится в асимметричном силовом состоянии, верхняя часть силового поля её вынуждена взаимодействовать с молекулами, находящимися под поверхностью. В результате этого потенциальная энергия связи в поверхностном слое увеличивается, а сам слой находится в более напряженном состоянии. Это явление называют поверхностным натяжением. Потенциальная энергия связи в поверхностном слое равна

dE_nom = GdS,

где G - коэффициент поверхностного натяжения;

dS - поверхность жидкости, имеющая порядок dl².

Энергию dE_nom можно представить как некоторую силу, совершаемою работу на пути dl, поэтому

dFdl = Gdl²

dF = Gdl. (3.12)

Таким образом, поверхность жидкости стягивается силой dF пропорциональной длине, на которой она действует. Эту силу называют силой поверхностного натяжения.

Поверхностное натяжение проявляется в том, что выделенный объём жидкости стремится принять сферическую форму, особенно это заметно на малых объемах - каплях и капиллярах.

Действие силы поверхностного натяжения приводит к увеличению давления внутри капли.

Поместим капли различных жидкостей на горизонтальной поверхности твердого тела. Легко заметить, что капли разной жидкости ведут себя по- разному. В точке, где соприкасается твердое тело, жидкость и газовая среда, в одних случаях угол б будет острым, в других - тупым. Чем меньше жидкость смачивает твердое тело, тем угол б будет острее.

Жидкости, которые хорошо смачивают твердое тело, называются гидрофильными, плохо смачиваемые - гидрофобными.

Сила поверхностного натяжения на разделе твердое тело - жидкость равна

F_т-ж = F₀cosб,

где F₀ - сила поверхностного натяжения на свободной поверхности жидкости.

В зависимости от вида смачиваемости, получаем различные мениски жидкости (искривления поверхности жидкости у стенки сосуда).

Различная смачиваемость также приводит к разному поведению жидкости в капиллярах. Жидкости, которые хорошо смачивают стенки, поднимаются по капилляру. Высота подъёма (спускания) жидкости в капилляре равна

± h = cosб (3.13)

Движение жидкости по капиллярам и узким щелям имеет существенное значение в неживой и живой природе, а также в технических процессах.



РАЗДЕЛ 2. Гидростатика

2.1 Общие положения. Дифференциальные уравнения

Гидростатики

Гидростатика, раздел гидромеханики, изучающий равновесие жидкости и твёрдых, которые частично или полностью погружены в неё. Иначе гидростатика изучает поведение жидкостей при абсолютном и относительном покое.

Жидкость, которая покоится в системе координат, связанной с Землёй, находится в абсолютном покое. Покой жидкости в системе координат, которая движется относительно Земли, называют относительным.

В общем случае жидкость подвержена действию массовых и поверхностных сил. При этом покой жидкости наблюдается только в случае, если массовые силы обладают потенциалом и постоянны во времени.

Обычны, рассматривают покой жидкости, подверженной силам гравитации и инерции.

Дифференциальные уравнения гидростатики (уравнения Эйлера)

Рассмотрим напряженное состояние жидкой частицы, имеющей форму параллелепипеда со сторонами dx , dy , dz.

На элементарный параллелепипед действуют удельные массовые силы F_x, F_y, F_{z ,} поверхностные P_x ,P_y , P_z, на грани OABC,ОССО , АООА и Р_х рх ; Р_уру; Р_zрz на грани АВСО, АВВА, ВССВ так как при переходе от одной грани к другой в общем случае давление изменяется на некоторую величину.

Напишем условие равновесия жидкой частицы в направлении оси х-в:



После преобразования получаем F_xdx-dx=0

Аналогично по другим осям координат

F_ydy-dy=0 (4.1,а)

F_zdz-=0

Сократив на dx, dy, dz будем иметь

F_x-=0. F_y-=0 (4.1)

F_z-=0

Полученную систему уравнений называют дифференциальными уравнениями гидростатики или уравнениями Эйлера.

Просуммируем уравнение (4.1)

= 0,

где -полный дифференциал давления.

Тогда будем иметь

(4.2)



Уравнение (4.2) называют уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

При р=const dp=0 поэтому

F_xdx+F_ydy+F_zdz=0 (4.3)

Есть не что иное, как уравнение поверхности равного давления.

Интегрирование уравнений гидростатики.

Уравнение гидростатики Эйлера описывают как абсолютный, так и относительный покой жидкости и их решения для частных случаев достаточны для выявления всех сторон поведения покоящейся жидкости. Рассмотрим ряд частных случаев интегрирования уравнений Эйлера.

Основное уравнение гидростатики.

Рассмотрим рис. 4.2 случай, когда на жидкость действует только одна массовая сила - сила тяжести.

Тогда в уравнении (4.1) F_y=F_x=0, а F_z=.

Знак минус указывает, что положительное направление оси Z взято вверх от начала координат. С учетом этих замечаний имеем из (4.1)

(4.4)

После интегрирования получаем

(4.5)

Для случая, постоянную интегрирования можно найти из условия: при z = z₀, p = p₀, т. е.



₀+P₀ / (4.6)

Подставив из (4.4) значение С в (4.3), находим

₀+P₀ /,

откуда P=P₀+g(z₀+z). Таким образом

P = P₀+gh (4.7)

Последнее уравнение часто называют основным уравнением гидростатики. Оно показывает, что абсолютное гидростатическое давление в любой точке пространства, занятого жидкостью, равно сумме внешнего давления и избыточного давления Избыточное давление может быть как положительным так и отрицательным, например, в точке О₂, где избыточное давление P_изб.=₂

Так как Земля окутана атмосферой, то все объекты на поверхности Земли испытывают атмосферное давление. Поэтому в технических расчётах часто давление отсчитывают от атмосферного. Давление, отсчитываемое от нуля будет абсолютным давлением (). Положительное избыточное давление, отсчитываемое от уровня атмосферного давления называют манометрическим давлением:

P_м =P - P_a (4.8)

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом, т. е. В этом случае наблюдается разрежение по отношению к атмосферному давлению



B=P_a - P (4.9)

Очевидно, что величина вакуума не может быть численно больше атмосферного давления.

Давление в СИ измеряется в паскалях 1Па=1Н/1м². Для перехода к единицам измерения других систем приняты следующие переходные коэффициенты: 1ат=1кгс/1см²=98066,5Па (точно);

1мм. рт. ст.=133,322Па;

1бар=10⁵Па.

Размерность давления: lim p=ML^-1T^-2.

Уравнение (1.3) можно записать в виде, разделив на

. (4.10)

В уравнении (4.10) каждый член представляет собой напор. Напором называют энергию, содержащуюся в единице веса жидкости.

Напор измеряется в метрах, так как

Т. о. напор жидкости можно представить как столб жидкости некоторой высоты и как удельную энергию.

Величину называют полным гидростатическим напором, z - геометрическим напором, - пьезометрическим напором. Таким образом, в любой точке пространства, занятого покоящейся жидкостью, сумма геометрического и пьезометрического напоров постоянна и равна полному напору.

Форма свободной поверхности жидкости в сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси.

В данном случае рис.4.5 на жидкость, кроме веса действует также другая массовая сила - центробежная, поэтому F_x=F_y=j, F_z=, где j - ускорение центробежной силы в точке О. Так как в данном случае оси x и y равноправны, то достаточно учесть только одно направление. Тогда из (4.1) Если угловая скорость вращения равна , то j=²x а, следовательно . Проинтегрируем это уравнение и найдём z

(4.15)

На поверхность жидкости p=p_a, поэтому

₀+²x²/ 2g -P_a / g, (4.16)

что представляет собой параболу в плоскости xoz а, следовательно, свободная поверхность жидкости есть параболоид вращения. Свободная поверхность жидкости является изобарой, так как _а .

Давление на стенки горизонтальной центрифуги.

В горизонтальной центрифуге рис.1.6 жидкость подвержена силам веса и инерции, однако, как правило, gо и весом пренебрегают. Тогда F_x=0, a F_y и F_z=j.

Дифференциальное уравнение гидростатики при этом запишется в виде: _yz Так как при g=0 направления y и z равноправны, то ²

Проинтегрируем последнее. Тогда ²

²(z² - z²₀) / 2 - (P - P_a) = 0.

P = P₀ + ²/2 (z² - z²₀). (4.17)

Из (4.17) следует, что давление на радиальные стенки изменяется по параболическому закону, а при остаётся постоянным.

2.2 Построение эпюр гидростатического давления

Сила давления на стенки сосуда.

Эпюрами гидростатического давления называют графическое изображение законов изменения давления на стенки сосудов или сооружений, в которые заключена жидкость.

Построение эпюр гидростатического давления основано на уравнении гидростатики:

а также на положении, что давление нормально к площадке, на которую оно действует.

Эпюры гидростатического давления на вертикальную стенку.

Допустим, вертикальная стенка гидротехнического сооружения затоплена жидкостью плотностью с на глубину h. Очевидно, что в точке А избыточное гидростатическое давление равно нулю, так как h=0, а полное давление, следовательно, равно внешнему давлению Р_а. В точке В согласно уравнению гидростатики избыточное давление равно сgh , а полное . Уравнение гидростатики есть уравнение прямой линии. Поэтому для построения эпюр избыточного и полного давления достаточно определить давление в двух точках и соединить найденные точки прямой линией. Поэтому отложим по горизонтальной линии от точки В значение сgh, найденную точку С соединим с точкой А. Полученный отрезок АС и представляет собой эпюру избыточного давления на стенку АВ.

Для получения эпюры полного давления отложим по горизонтали от точки А отрезок равный Р_а , то же от точки С, полученные точки А¹ и С¹ соединяем прямой линией А¹С¹, которая и будет эпюрой полного давления на вертикальную стенку. Для наглядности, вычерчивают (через произвольный интервал) стрелки, показывающие величину и направления действия давления на стенку.

Эпюры гидростатического давления на плоскую наклонную стенку.

Допустим стенка гидротехнического сооружения наклонена на угол б и затоплена на глубину h. Очевидно, что в точке А избыточное гидростатическое давление равно нулю, а в точке В величине сgh. Так как давление на стенку действует по нормали, то для построения нужно провести перпендикуляры к точкам А и В. На перпендикуляре, проходящем через точку В откладываем отрезок сgh и соединяем полученную точку С прямой линией с точкой А. Полученная прямая АС и есть эпюра избыточного давления на стенку. Для построения эпюры полного давления на перпендикулярах к точке А и В наносим точки А¹ и С¹ на расстоянии равном P_a. Соединив точки А¹ и С¹ получаем эпюру полного гидростатического давления. Так же как и в первом случае наносим стрелки, представляющие величину и направление движения.

Эпюра гидростатического давления на тонкую вертикальную стенку.

Построим эпюры гидростатического давления на вертикальную стенку АВ. В данном случае на стенку АВ внешнее давление P_a действует как справа, так и слева, и результирующее давление на стенку равно нулю. Поэтому в данном примере целесообразно строить эпюру только избыточного давления.

Очевидно, что слева эпюра избыточного гидростатического давления будет представлена линией FB, так как давление в точке В равно .Справа, очевидно эпюра избыточного давления будет представлена линией АВ₁₁. Давление справа и слева направлено друг против друга, поэтому стенка будет испытывать результирующее давление, равное разности. В точке F давление будет равно отрезку FF¹, а в точке В ВВ¹=ВВ¹¹-ВС. Соединим точки F¹ и В¹ прямой линией. Тогда ломаная AF¹B¹ будет результирующей эпюрой избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Эпюра гидростатического давления на криволинейную стенку.

Построим эпюру гидростатического давления на стенку железнодорожной цистерны. Цистерны, как правило, имеют сообщение пространства над жидкостью с атмосферой. Поэтому целесообразно построение только эпюры избыточного давления. Для упрощения решения целесообразно построить вспомогательную эпюру А¹¹В¹ (давление по диаметральной плоскости цистерны АВ).

Разобьем сечение цистерны и вспомогательного треугольника горизонтальными плоскостями. Тогда, очевидно, давление на любую точку поверхности цистерны будет равно отрезку сечения треугольника. Например, давление в точке С равно отрезку С¹С¹¹. Помня, что давление нормально к площадке, то давление на стенку будет направлено по радиусу. В данном случае СО. Отложим на этом радиусе отрезок СС¹¹¹, равный С¹С¹¹. Проделав аналогичные построения для всех сечений, получим кривую АО¹, представляющую собой эпюру давления на левую стенку цистерны.

Построение эпюр гидростатического давления для стенки любой конфигурации.

Приведенных решений (5.1….5.4.) достаточно для построения эпюр давления на стенку любой конфигурации. Приведено построение, характерное для многих практических случаев. Особенности построения ясны из чертежа. Эпюры можно строить с любой стороны стенки, при этом нужно соблюдать только направление стрелок.

Сила гидростатического давления на наклонную плоскую стенку

Определим величину силы гидростатического давления на участок плоской наклонной стенки площадью S.

Так как избыточное давление переменно и зависит от глубины, то для определения силы необходимо применить принцип интегрирования.

Элементарная сила, действующая на элемент поверхности dS

Выразим последнее через координаты положение площадки dS

Проинтегрируем полученное выражение для



где , а. есть статический момент участка площадью S

Так как , то

(5.1)

Таким образом, сила гидростатического давления на плоскую наклонную стенку равна произведению площади стенки на полное гидростатическое давление в центре тяжести стенки.

Из (5.1) следует, что полная сила состоит из силы внешнего давления и силы избыточного давления. Равнодействующая сил внешнего давления приложена в центре тяжести поверхности стенки, так как внешнее давление одинаково во всех точках пространства, занятого жидкостью.

Результирующая сила () избыточного давления не приложена к центру поверхности стенки, так как избыточное давление переменное с глубиной. Координата точки приложения равнодействующей силы избыточного давления можно найти из уравнения моментов сил относительно оси ОХ. Тогда:

(5.2)

где момент инерции поверхности, на которую давит жидкость.

Из (5.2) получаем



(5.3)

Заменим момент инерции относительно оси ОХ на момент относительно оси, проходящей через центр тяжести поверхности:

Подставим это значение в (5.3)

(5.4)

Таким образом точка приложения равнодействующей сил избыточного давления приложена в точке Д , расположенной ниже центра тяжести.

Сила гидростатического давления на криволинейную стенку

Выделим на криволинейной стенке элементарную площадку dS с углом наклона б. На площадку dS действует сила, равная:

Разложим эту силу на составляющие

где



-проекции площадки .

С учетом этого замечания для можно написать

Проинтегрируем это выражение, получим :

где - статический момент вертикальной проекции на криволинейную стенку. Поэтому:

(5.5)

Таким образом, горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на криволинейную стенку равна силе давления на её вертикальную проекцию.

Точку приложения этой силы можно найти с помощью зависимости (5.4).

Для силы соответственно получаем

есть не что иное, как элементарный объем жидкости с основанием . Тогда



После интегрирования получаем

где - объем, называемый телом давления.

Таким образом, вертикальная составляющая силы гидростатического давления на вертикальную стенку равна весу жидкости в объёме тела давления.

Тело давления представляет собой объём ограниченный поверхностью стенки, свободной поверхностью жидкости и поверхностью нормальной к проекции криволинейной стенки. Криволинейная стенка может быть спроектирована на плоскость произвольного наклона. Результирующая сила будет нормальна к плоскости проекции, а её точка приложения может быть найдена с помощью зависимости (5.4). Например, сила давления на криволинейную поверхность АВ равна составляющей веса тела движения, показанного штриховкой. Эта сила нормальна к плоскости проектирования mn . В зависимости от расположения тело давления может быть положительным или отрицательным.

2.3 Примеры приложения законов гидростатики

Сообщающиеся сосуды.

Сообщающимися сосудами называют сосуды, которые соединены трубопроводом, проходящим ниже уровней свободной поверхности жидкости в сосудах.

Уровень свободной поверхности в сообщающихся сосудах не зависит от формы сосудов, а определяется внешним давлением и массовыми силами, которые действуют на жидкость.

Сообщающиеся сосуды распространены в повседневной практике и их свойства использовались уже в глубокой древности. Так, например, монтажным уровнем, который является разновидностью сообщающихся сосудов, пользовались ещё при строительстве пирамид в древнем Египте.

При условии равновесия давления в сечении трубы I-I справа и слева одинаково ( Р_?=Р_n). Из основного уравнения гидростатики следует:

Р_?= Р₁+ г₁h₁

Р_n=Р₂+ г₂ h₂

Р₁+ г₁h₁ = Р_n=Р₂+ г₂ h₂

Р₁= Р₂, тог₁/ г₂₌ h₁/ h₂ (6.1)

Выражение (6.1) называют уравнением сообщающихся сосудов. Из него вытекает, что высота столбов жидкости в сообщающихся сосудах обратно пропорциональна удельным весам жидкостей, заполняющих сосуды. Уравнение (6.1) можно записать также как

h ₂/ h₁= с₁g₁/ с₂g₂ (6.2)

Из уравнения (6.2) следует, что высоты столбов жидкости зависят как от свойства жидкости, так и внешнего силового поля.

Для одной и той же жидкости и сосудов, расположенных относительно близко друг к другу Р₁= Р₂; с₁₌ с₂; g₁=g₂ а h₁= h₂, т.е. высоты столбов жидкости одинаковы. Этим свойством пользуются на практике для устройства монтажного уровня.

Если с₁ и с₂ существенно отличаются, то высоты столбов жидкости также будут различны. Это свойство положено в основу действия эрлифтов, где в одном из сосудов (труб) жидкость для уменьшения плотности насыщают воздухом.

Гидравлический пресс.

Свойства жидкости передавать внешнее давление в любую точку пространства, занятого жидкостью, используют в технике для создания больших усилий. Такие устройства называют гидравлическими прессами. Если сообщающиеся сосуды выполнить в виде цилиндров, герметизированных поршнем, то выполняя их с разными диаметрами можно получить значительное усилие при приложении существенно меньших сил.

Пренебрегая геометрическим напором, так как он мал, в подобных устройствах по сравнению с пьезометрическим напором можно записать

Р_?= F₁ /S₁;

Р_n= F₂/ S₂, откуда

F₁= F₂· S₁/ S₂

Из (6.3.) следует, что усилие F₁ обратно пропорционально отношению площадей сечения цилиндров.

В применяемых в технике гидравлических процессах достигнуты усилия 10⁶ Н и выше.

Закон Архимеда. Элементы теории плавания тел.

Закон Архимеда. Плавание тел.

Погружённое в жидкость твёрдое тело испытывает всестороннее давление. Равнодействующая сил давления совпадает по направлению с силой тяжести и направлена в сторону меньших давлений. Впервые этот вопрос подробно исследовал Архимед, поэтому эта сила носит его имя.

Для доказательства закона Архимеда рассмотрим равновесие симметричного относительно вертикальной оси погружённого в жидкость тела высотой h. В силу симметрии горизонтальная составляющая сил давления будет равна нулю. Для определения силы А - вертикальной составляющей, найдём силы давления на торцы 0 и 0₁

Вычтем из (6.4) выражение (6.5), тогда

A=F_n - F_b= г S (h₂ - h₁)= г S h;

но Sh=W - объём тела, поэтому

A= г W (6.6)

Полученное выражение есть математическая запись закона Архимеда, который формулируют так: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненная этим телом.

Возможны три случая:

1) A<G, ( тело тонет)

2) A=G, ( безразличное сост.) (6.7)

3) A>G, ( тело плавает)

Где G- сила веса.

В первом случае (6.7)тело тонет, во втором - находится в безразличном состоянии, в третьем - тело плавает, т.е. частично погружено в жидкость.

Закон Архимеда справедлив как для полностью погружённых тел, так и частично погружённых.

В последнем случае учитывается объём фактически вытесненный телом.

Сила Архимеда приложена к точке, которую называют метацентром (МЦ). Возможны три случая расположения метацентра по отношению к центру тяжести тела (ЦТ) к которому приложена сила тяжести.

При расположении центра тяжести ниже метацентра тело находится в устойчивом состоянии, так как при отклонении тела возникает момент, восстанавливающий положение тела (например, подводной лодки). При совпадении ЦТ и МЦ тело находится в безразличном состоянии и может принять любую ориентацию в пространстве. При расположении МЦ ниже ЦТ тело находится в неустойчивом состоянии, так как возникает опрокидывающий момент сил.



РАЗДЕЛ 3. Кинематика жидкости

3.1 Методы изучения движения жидкости. Элементы кинематики

Кинематика - раздел гидромеханики, изучающий движение жидкости без учёта действующих сил. Текучесть жидкости и газа создаёт дополнительные степени свободы и их движение становится более сложным, чем твёрдых тел. Поэтому изучение движения жидкости и газа намного сложнее изучения движения твёрдых тел.

Основные предпосылки и определения

Движущуюся жидкость можно рассматривать как совокупное движение материальных точек. Для каждого момента времени графически можно представить положение частицы и её скорость в виде вектора , определённой длины и направления. Совокупность всех векторов скорости материальных точек представит собой поле скоростей или векторное поле.

Соединив линией все последующие по времени положения материальной точки , получим линию , которую называют линией тока. Линия тока удовлетворяет требованию, согласно которому в каждой точке вектор скорости совпадает с касательной к линии тока.

Если и не равны нулю, то движение называют пространственным, если или,или равно нулю , то получаем плоское движение , если два компонента равны нулю , то получаем одномерное движение .

Проведём через каждую точку бесконечно малого контура линии тока. В результате получим поверхность, которую называют элементарной трубкой тока. Поверхность трубки тока непроницаема для жидкости. Это вытекает из определения для линии тока. Ограниченную трубкой тока жидкость называют элементарной струйкой. Поверхность нормальную в каждой точке к линиям тока называют живым сечением струйки. Из непроницаемости трубки тока следует, что количество жидкости, протекающее через живое сечение в единицу времени есть величина постоянная, т.е.

. (7.2)

Величину q называют потоком вектора скорости. Секундное значение потока вектора скорости называют расходом. Уравнение (7.2) называют уравнением неразрывности потока или просто уравнением неразрывности.

Если живое сечение конечно, то в общем случае распределение скорости по живому сечению неравномерно, поэтому расход определяется как интеграл,

. (7.3)

Течение с конечным живым сечением называют потоком. Уравнение (7.2) часто называют уравнением расходов.



РАЗДЕЛ 4. Динамика жидкости

Для установившегося потока :

П + Р/с +V² /2=Ht (8.1)

П (x,y,z) - функция потенциала массовых сил.

Выражение (8.1) называют интегралом Бернулли. Постоянная Н_t представляет собой полный напор для стационарного безвихревого потока идеальной жидкости.

Или , разделив на g, получим :

(8.2)

Z - координата центра тяжести “живого” сечения потока;

сg = г - удельный вес жидкости.

Уравнение (8.2) называют уравнением Бернулли. Оно справедливо для установившегося плавноизменяющегося потока идеальной жидкости, когда массовые силы обладают потенциалом.

Уравнения движения реальной жидкости.

Ранее рассмотренные уравнения движения жидкости пригодны только для идеальной жидкости. При движении реальной (вязкой жидкости) вихревые и деформационные движения приводят к возникновению касательных и других дополнительных нормальных напряжений в жидкости. Поэтому кроме массовых сил и гидростатического давления проявляются дополнительные поверхностные силы.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости.



Это уравнение есть уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Каждый член уравнения Бернулли представляет собой удельную энергию - напор. Напором в гидромеханике называют удельную энергию жидкости, отнесённую к ёе единице веса, причём z называют геометрическим, - пьезометрическим, - скоростным напором.

Из (8.2) видно, что для струйки идеальной жидкости сумма удельных энергий есть величина постоянная, т.е. уравнение Бернулли отражает частный случай закона сохранения механической энергии.

То, что каждый член уравнения представления удельную энергию, легко увидеть, если каждый член помножить на единицу веса 1Н:

Z ·1Н = 1м·1Н = Н·м = Дж;

·1Н =1Н = Н·м = Дж;

Н·м = Дж.

На примере наклонной трубы для выделенных поперечных сечений можно записать следующие уравнения Бернулли:

(8.3)

Каждый член уравнений (8.1), (8.2) имеет размерность протяжённости, поэтому напор можно представить также как столб жидкости определённой высоты. Отсюда вытекает геометрическая интерпретация уравнения Бернулли, - для струйки жидкости в наклонной трубе сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высот есть величина постоянная.

Найденное уравнение Бернулли (8.2) справедливо для струйки идеальной жидкости. Реальная жидкость (вязкая) при своём движении испытывает сопротивление. На преодоление гидравлического сопротивления расходуется часть энергии жидкости. эта энергия в конечном итоге превращается в теплоту. Поэтому в сечениях струйки І-І и 2-2 напоры будут разные. Чтобы сохранить равенство к напору в сечении 2-2 добавляют напор, израсходованный на преодоление гидравлического сопротивления, а уравнение записывают в виде:

z₁ +P₁/ +V₁/2g = z₂ +P₂/ + V₂/2g + h_r, (8.4)

где h_r - потеря напора на участке 1 - 2.

Уравнение (8.4) называют уравнением Бернулли для струйки реальной жидкости.

Примеры, поясняющие уравнение Бернулли.

а) Измерение полного и скоростного напоров.

В вертикальной трубке, пьезометре 1,жидкость поднимается на высоту, соответствующую пьезометрическому напору. Если вход пьезометра - 2 выполнить так, чтобы входное отверстие находилось в плоскости живого сечения потока, то в результате торможения жидкости (в плоскости отверстия) скоростной напор перейдёт в пьезометрический напор, а жидкость поднимается на высоту, соответствующую полному напору.

Тогда для сечений 1 - 1 и 2 - 2 пренебрегая гидравлическим сопротивлением можно написать уравнение Бернулли в следующем виде:

z₁ + P₁/ + V₁²/2g = z₂ + P₂/ + V₂²/2g.



В нашем случае z₁=z₂, а внутри загнутой трубки V₂=0, поэтому

V₁²/2g = P₂ - P₁/.

P₂/ - P₁/ = h= ДP/сg, откуда

(8.5)

таким образом, измеряя h, или ДP мы легко получаем величину скорости.

Гидромеханик Прандтль предложил совместить пьезометр и трубку Пито в одном приборе 3. Такие приборы получили название трубок Пито - Прандтля.

...