Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Программа курса

1.1 Основные понятия

1.2 Растяжение и сжатие

1.3 Теория напряженного и деформированного состояний

1.4 Понятие о геометрических характеристиках поперечных сечений

1.5 Сдвиг и кручение

1.6 Изгиб прямых стержней

1.7 Теории прочности

1.8 Сложное сопротивление

1.9 Энергетические методы расчета упругих систем

1.10 Статически неопределимые системы: рамы и фермы

1.11 Продольный и продольно-поперечный изгиб прямого стержня

1.12 Динамическая нагрузка

1.13 Напряжения, переменные во времени

1.14 Тонкостенные оболочки

Рекомендации к выполнению контрольных работ

Условия задач к контрольным работам, методические указания и примеры выполнения

Контрольная работа № 1. Расчеты на прочность при растяжении и кручении

Контрольная работа № 2. Расчеты на прочность при плоском изгибе

Контрольная работа № 3. Расчеты на прочность при сложном сопротивлении

Контрольная работа № 4. Статически неопределимые системы

Список рекомендуемой литературы

Приложение

Введение

Учебное пособие включает программу основного содержания курса сопротивления материалов, необходимого для ознакомления студентов с основами расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В нем рассматриваются основные методы расчетов на прочность, широко используемые в дальнейшем при изучении курса “Детали машин” и в специальных дисциплинах. Основой курса являются разделы, в которых рассматриваются: простые виды деформаций (растяжение-сжатие, сдвиг, кручение, изгиб), механические свойства материалов, теория напряженного и деформированного состояния и теории прочности, расчеты при сложном сопротивлении, энергетические методы расчета упругих систем, динамическое действие нагрузок, расчет сжатых стержней на устойчивость и др.

Для более глубокого и успешного усвоения учебного материала в условиях обучения без отрыва от производства данное пособие включает методические рекомендации по изучению каждого раздела и подробные решения типовых задач, включаемых в контрольные работы.

В пособии даны справочные материалы, необходимые для решения задач.

Методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые позволяют решать широкий круг инженерных задач с приемлемой, с инженерной точки зрения, точностью. Поэтому важное значение имеет осмысление полученных численных результатов, что необходимо для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высокой квалификации по техническим направлениям.

Настоящее пособие предназначено для студентов, обучающихся по безотрывной форме обучения для механических специальностей. Пособие включает задачи, объединенные в четыре контрольные работы.

1. Программа курса

1.1 Основные понятия

Введение в курс. Определения. Реальный объект и расчетная схема. Модель материала (гипотезы о свойствах материала и характере деформации). Модели формы (объекты, изучаемые в сопротивлении материалов). Модели нагружения. Классификация внешних сил. Метод мысленных сечений. Внутренние усилия. Эпюры внутренних силовых факторов. Понятия о напряжениях и их связь с усилиями. [1, гл. 1; 3, гл. 3; 6].

1.2 Растяжение и сжатие

Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Условные и истинные напряжения и деформации. Механические свойства материалов. Основные параметры прочности и пластичности, определяемые в опытах на растяжение (сжатие). Допускаемые напряжения. Расчет на прочность.

Понятие о статически определимых и неопределимых системах. Расчет статически неопределимой стержневой системы. Местные напряжения [1, гл. 2; 3, гл.4].

1.3 Теория напряженного и деформированного состояний

Виды напряженного состояния. Круги Мора. Главные напряжения. Экстремальные касательные напряжения. Обобщенный закон Гука. Относительное изменение объема. Потенциальная энергия деформации [1, гл. 3; 3, гл. 6].

1.4 Понятие о геометрических характеристиках поперечных сечений

Центр тяжести; статические моменты; моменты инерции - осевые, центробежный полярный; радиусы инерции. Главные оси и главные моменты инерции [1, гл. 5; 3, гл. 2].

1.5 Сдвиг и кручение

Чистый сдвиг. Внутренние усилия, напряжения и деформации при кручении. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига. Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге. Кручение прямого стержня круглого поперечного сечения. Внутренние усилия и напряжения в поперечном сечении. Полярный момент инерции. Главные напряжения. Угол закручивания. Расчет на прочность и жесткость вала круглого поперечного сечения. Статически неопределимые задачи. Приближенный расчет цилиндрических витых пружин с малым шагом витков. Формула для осадки пружин [1, гл. 4, гл. 6, §6.1-6.4, 6.7; 3, гл. 8-9].

1.6 Изгиб прямых стержней

Плоский поперечный изгиб балок. Определение опорных реакций. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Расчет на прочность и полная проверка прочности. Рациональные сечения балок при изгибе. Деформация балок при изгибе. Метод начальных параметров [1, гл. 4, гл. 7, § 7.1-7.10, § 7.14; 3, гл. 10].

1.7 Теории прочности

Основные теории прочности. Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии [1, гл. 8; 3, гл. 7].

1.8 Сложное сопротивление

Косой изгиб. Внецентренное растяжение - сжатие. Ядро сечения. Совместное действие кручения и изгиба. Расчеты по различным теориям прочности [1, гл. 9; 3, гл. 12].

1.9 Энергетические методы расчета упругих систем

Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Теорема Кастильяно. Метод фиктивной силы. Интеграл Максвелла-Мора [1, глава 11; 3, гл. 13].

1.10 Статически неопределимые системы: рамы и фермы

Метод сил. Установление степени статической неопределимости. Основная система. Канонические уравнения метода сил. Примеры расчета. Учет симметрии. Проверка результатов расчета [3, гл. 14].

1.11 Продольный и продольно-поперечный изгиб прямого стержня

Понятие об устойчивости систем. Формы и методы определения устойчивости. Задача Эйлера. Условия закрепления концов стержня. Критические напряжения. Расчет на устойчивость. Расчет составной колонны. Продольно-поперечный изгиб [1, гл. 13; 3, гл. 20].

1.12 Динамическая нагрузка

Динамическое действие сил. Силы инерции. Расчет кругового кольца. Техническая теория удара. Динамический коэффициент при ударе [1, гл. 14; 3, гл. 23].

1.13 Напряжения, переменные во времени

Современные представления о сопротивлении материалов циклическим нагрузкам. Природа усталости металлов. Предел выносливости. Влияние концентрации напряжений, качества поверхности, абсолютных размеров, окружающей среды и др. на величину предела выносливости. Проверка усталостной прочности. Диаграмма предельных амплитуд напряжений. Расчет на прочность при переменных напряжениях при одноосном напряженном состоянии и при симметричном и несимметричном действии кручения и изгиба. Повышение выносливости конструктивными и технологическими мероприятиями. [1, гл. 15; 3, гл. 22].

1.14 Тонкостенные оболочки

Безмоментная теория тонкостенных оболочек вращения. Уравнение Лапласа. Расчет тонкостенных сосудов, находящихся под давлением [3, гл. 18].

2. Рекомендации к выполнению контрольных работ

· Приступать к выполнению задания необходимо лишь после изучения соответствующего раздела курса.

· Студенты заочного отделения выполняют работу в тетради или на листах формата А4, разборчивым почерком, с полями 4 см для замечаний рецензента. Требования по оформлению работы сообщаются студентам вечернего отделения на практических занятиях.

· На титульном листе контрольной работы следует четко написать: наименование министерства, вуза, кафедры, номер контрольной работы и ее название, шифр (номер варианта), номер группы, фамилию, имя и отчество. Дополнительно указывается дата отсылки работы и точный почтовый адрес.

· Данные для решения задачи следует брать из заданий, приведенных по тексту в соответствии со своим личным номером (шифром), определяемым двумя последними цифрами (номера зачетной книжки), причем предпоследнюю четную принимать равной 0, а нечетную - 1. Например: 123456 - вариант 16, 123446 - вариант 6, 123440 - вариант 20.

· Перед решением каждой задачи надо записать полностью ее условие, привести все числовые значения исходных данных с указанием размерностей, составить аккуратно схему в масштабе и указать на ней величины, необходимые для расчета, отразить цель работы.

· Решение должно сопровождаться краткими и грамотными, без сокращения слов, пояснениями и чертежами, ссылкой на чертежи и использованную литературу. Необходимо избегать механического пересказа учебника.

· Все вычисления следует проводить с обоснованной точностью, соответствующей практической целесообразности. Чаще всего в прочностных расчетах достаточно в числовых ответах иметь три значащие цифры.

· Необходимо указывать размерность всех величин, получаемых в результате вычислений.

· После выполнения контрольная работа предъявляется для проверки и защиты. При защите студент должен уметь решать задачу по соответствующему разделу курса. Работа должна выполняться в установленные графиком сроки и регистрироваться в деканате не позднее недели до начала зачетно-экзаменационной сессии.

· В первом семестре изучения курса «Сопротивление материалов» выполняются контрольные работы №1 и №2, во втором - №3 и №4.

3. Условия задач к контрольным работам, методические указания и примеры выполнения

Контрольная работа № 1. Расчеты на прочность при растяжении и кручении

З А Д А Ч А № 1

Растяжение и сжатие ступенчатого статически определимого стержня

Ступенчатый стержень находится под действием продольных сил F, приложенных по концам или в центре соответствующего участка стержня. Материал стержня - сталь с допускаемым напряжением [у] = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 2Ч10⁵ МПа.

Требуется:

1) построить эпюры продольных усилий, напряжений и перемещений;

2) проверить прочность стержня.

Схемы для расчета приведены на рис. 1, числовые данные - в табл. 1

Таблица 1

Номер варианта	Длина участка, см	Площадь поперечного сечения, см2	Нагрузка, кН
	l1	l2	l3	А1	А2	А3	F1	F2	F3	F4	F5	F6
1	40	80	50	8	4	6	60	180	160	140	100	80
2	50	46	70	10	4	4	120	80	200	160	120	60
3	80	40	30	14	4	8	80	140	160	60	60	80
4	42	60	80	12	8	6	100	140	100	120	40	60
5	52	42	62	12	16	8	60	120	160	80	100	40
6	78	50	60	8	4	16	120	80	140	100	60	120
7	30	80	42	10	12	6	80	100	120	80	60	80
8	42	62	50	6	12	4	120	140	100	60	80	60
9	60	30	48	10	4	8	140	80	60	100	120	40
10	70	50	60	6	8	4	100	120	100	140	40	80
11	62	36	72	12	6	6	120	100	80	60	120	100
12	64	40	64	10	4	4	140	100	120	80	140	80
13	74	48	62	6	8	6	40	120	80	160	200	60
14	54	68	48	4	8	12	180	200	140	100	80	100
15	40	64	72	8	12	8	60	40	140	160	180	60
16	36	80	70	6	10	4	140	100	160	180	120	80
17	50	40	62	4	12	8	60	160	80	120	100	60
18	80	80	40	4	8	10	180	100	140	160	120	120
19	56	46	32	12	6	8	60	160	80	120	100	60
20	60	74	42	6	12	4	140	100	160	180	200	80

Пример решения задачи № 1

Исходные данные: F₂ = 60 кН; F₁ = 120 кН; A₁ = 6 см²; A₂ = 12 см²; l₁ = 50 см; l₂ = 80 см; E = 210⁵ МПа; [] = 200 МПа. Решение: Для построения эпюр разобьем стержень на участки I, II, III, IV, двигаясь со свободного конца стержня. За границы участков принимаем точки приложения сил, точки изменения площадей поперечных сечений (рис. 2). Для определения величины продольных усилий на каждом участке используем метод сечений.

Зная продольные усилия, вычислим напряжения на каждом участке:

Опасным будет участок, где напряжения по абсолютной величине максимальны. В рассчитываемом стержне это - второй участок: _max= ₂ = 200 МПа < [] = 210 МПа. Условие прочности выполняется. Недонапряжение 4,8%.

Перемещения сечений, которые обозначим буквами A, B, C, D, К (см. рис. 2), определяем как алгебраическую сумму удлинений участков, расположенных между рассматриваемыми сечениями. Удлинение i-го участка определяется по формуле:

_КA=_DA+l₁=_DA=0,55мм.

З А Д А Ч А № 2

Статически неопределимые стержневые системы

Для статически неопределимой стержневой системы (рис. 2), загруженной внешней нагрузкой, первый стержень, в которой нагревается на Дt =100o C, а второй изготовлен короче номинального размера на д2 = 0,25 мм.

Требуется:

1. Определить усилия в стержнях, учитывая, что первый стержень стальной (Е1=2105 МПа; бt = 1,25Ч10-5); а второй - медный (Е2 = 105МПа).

2. Определить напряжения в стержнях и проверить их прочность, принимая допускаемые напряжения: для стали [у] = 160 МПа, для меди [у] = 80 МПа.

3. Из условия прочности для наиболее нагруженного стержня определить допускаемую нагрузку [F]. Числовые данные - в таблице 2.

Таблица 2

Номер варианта	Нагрузка	Длина участков элемента и стержней, м	Площадь сечения,см2	Угол, град.
	F1, кН	F2, кН	q,кН/м	a	b	c	l1	l2	А1	А2	б1	б2
1	-	59	-	5,4	2,6	0,8	1,0	1,2	6	12	90	45
2	30	-	-	4,8	2,8	1,2	1,4	1,0	8	10	45	90
3	12	-	-	4,6	2,4	1,4	1,0	1,4	6	8	90	30
4	-	-	8	4,4	2,8	0,8	1,4	1,2	6	6	60	90
5	-	25	-	4,8	2,6	0,6	1,4	1,0	10	8	90	120
6	-	20	-	4,6	2,6	1,4	1,6	1,4	6	10	135	90
7	50	-	-	5,2	2,4	1,0	1,4	1,2	8	12	90	135
8	-	-	12	4,8	3,2	0,8	1,0	1,4	6	6	60	90
9	-	-	10	4,8	2,6	1,4	1,2	1,6	8	8	90	30
10	-	40	-	4,6	2,4	1,2	1,2	1,0	12	8	30	90
11	60	-	-	5,0	2,2	1,0	1,0	1,2	10	8	90	45
12	-	-	15	5,2	2,4	0,8	1,4	1,0	6	8	45	90
13	-	30	-	4,0	2,0	1,0	1,0	2,0	5	8	30	60
14	-	-	8	2,0	3,0	2,0	1,0	1,0	6	8	90	60
15	40	-	-	5,0	2,0	2,0	1,5	1,2	10	8	30	90
16	-	22	-	4,0	2,8	1,0	1,0	1,5	6	8	45	60
17	20	-	-	4,0	2,0	1,0	1,0	2,0	5	8	90	60
18	-	-	10	4,0	2,0	1,0	1,0	2,0	5	8	30	60
19	-	30	-	4,0	2,0	1,0	1,0	2,0	5	8	90	60
20	60	-	-	5,4	2,6	0,8	1,0	1,2	8	10	45	90



рис. 3

Пример решения задачи № 2

Исходные данные: Схема на рис. 4. a = 2,6 м; b = 2,7 м; c = 1,4 м; A₁ = 26 см²; A₂ = 13см²; t₁ = 50°; F = 400 кН; ₂ = 0,5 мм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

1. Статическая сторона задачи.

Определим длину первого стержня из геометрических соображений:

l₁ = = = 3,12 м.

Рассекаем стержни. Неизвестные усилия N_i направляем в положительную сторону (на растяжение стержня, рис. 5). Уравнение равновесия используем одно:

M_A= 0: N₂c - F·(c+a) - N₁·(a + b + c) cos = 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подставляя численные значения, получим:

N₂ - 2,86·F - 4,14·N₁ = 0. (1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Степень статической неопределимости системы определяем как разницу между числом неизвестных усилий N_i (их две) и числом независимых уравнений равновесия (одно). i = 2 - 1 = 1. Система один раз статически неопределима. Необходимо одно дополнительное уравнение.

2. Геометрическая сторона задачи.

Показываем расчетную схему в деформированном виде (рис. 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

l₁ = CC₂; l₂ = BB₁ + ₂: BB₁ = l₂ - ₂ ;CC₁ = =

из подобия -ов: ;

l₁ = (2)

3. Физическая сторона задачи. Записываем уравнения закона Гука для каждого стержня:

-l₁ =

l₂ = (3)

Знак минус у усилия первого стержня проставлен потому, что на рисунке деформированного состояния этот стержень сжат.

4. Математическая сторона задачи. Решаем совместно полученные уравнения (1)-(3) и вычисляем величины неизвестных усилий в стержнях.

Уравнения (3) подставляем в (2) ;

Получим N₁ = 28300-13,8N₂ . (4)

Подставляем (4) в (1) N₂ = 24,7 кН. Из (4): N₁ = - 271 кН.

5. Проверяем прочность стержней. Вычисляем напряжения в стержнях

Условие прочности выполняется: |у_i | ? [у] 104 160; 16,7 80.

6. Определяем допускаемую нагрузку, для этого заданную внешнюю нагрузку умножаем на минимальное отношение допускаемого напряжения и расчетного напряжения в стержнях:

[F] = F·[у] / |у₁| = 400Ч160/104 = 604 кН.

З А Д А Ч А № 3

Кручение валов круглого поперечного сечения

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними крутящими моментами в соответствии с расчетной схемой, показанной на рис. 7. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) определить диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая [ф] = 130 МПа; [и] = 2 ^о/м; G = 8Ч10⁴ МПа;

3) построить эпюру углов закручивания;

Числовые данные приведены в табл. 3.

Пример решения задачи № 3

Исходные данные: Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними крутящими моментами (рис. 8). [] = 130МПа, G = 810⁴МПа, [] = 2°/м. Те₁ = 29 кНм; Те₂ = 12 кНм; Те₃ = 18 кНм; l₁ = 1,2 м; l₂ = 1,6 м; l₃ = 0,7 м. растяжение сжатие сопротивление кручение

Решение:

1. Эпюру М_кр строим методом сечений.

2. Определяем диаметр вала. Из условия прочности

_max= [],

где W_p=- момент сопротивления кручению.

d = = = 111 мм.

Из условия жёсткости:

_max = [];

где I_p = - полярный момент инерции.

d = = 106 мм.

Таблица 3

Номер варианта	Длина участка, м	Момент, кНЧм
	а	b	c	Те1	Те2	Те3	Те4
1	1,0	0,8	1,7	28	14	23	6
2	1,3	0,8	1,4	5	22	10	26
3	1,1	1,7	0,4	10	17	9	28
4	1,1	0,9	0,6	7	24	11	21
5	1,3	0,8	1,4	5	13	10	26
6	1,2	1,0	0,5	33	22	25	8
7	1,2	1,1	0,7	14	8	23	12
8	1,4	0,5	0,8	27	10	26	6
9	1,5	0,7	1,2	32	15	20	4
10	1,4	1,5	0,8	27	10	26	10
11	1,5	1,5	1,0	25	1,2	1,1	1,2
12	1,0	1,5	0,8	7	10	6	6
13	1,0	0,5	1,8	17	10	26	6
14	1,6	1,5	0,6	15	10	25	5
15	1,2	0,5	1,5	21	10	20	16
16	1,2	1,5	0,5	10	10	26	6
17	0,8	1,5	0,8	28	10	28	8
18	1,8	0,8	0,8	22	10	26	16
19	1,0	0,8	1,6	29	14	23	6
20	1,2	1,1	0,5	10	1,2	1,1	1,2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8

Окончательно принимаем большее значение и округляем до стандартного значения d = 125 мм.

Для дальнейших вычислений потребуются окончательные значения W_p и I_p : W_p = = 3,8310⁵ мм³; I_p = = 2,410⁷ мм⁴.

3. Построение эпюры углов закручивания начинаем от заделки:

_BA = = - = - 0,0219 рад = -1,26°;

_CB = = - = - 0,005 рад = - 0,29°;

_DC = = - = - 0,0066 рад = - 0,38°.

Двигаясь от заделки, алгебраически суммируем. Угол поворота свободного конца вала относительно неподвижной заделки будет равен _DА =_BA+_CB+_DC = - 1,93^о (см. эпюру на рис. 8).

4. Построение эпюры _max . На каждом i - м участке:

_i = ; _AB = - = - 91,31 МПа;

_BC = - = - 15,65 МПа; _DC = - = - 46,96 МПа.

5. Построение эпюры относительных углов закручивания . Определяем их на каждом участке.

_AB = = - = - 1,05 град/м; _CB = = - = - 0,18 град/м;

_DC = = - = - 0,54 град/м; _max = = 1,05 град/м;

Условие жесткости выполняется _max < []. 1,05 < 2 град/м.

Контрольная работа № 2. Расчеты на прочность при плоском изгибе

З А Д А Ч А № 4

Для стальной консольной балки, изображенной на рис. 9,а, из условия прочности по допускаемым напряжениям подобрать следующие поперечные сечения: круг, кольцо (d/D = 0,5), прямоугольник (отношение высоты h к ширине равно двум), двутавр, два швеллера ( ][ ). Геометрические характеристики для швеллеров и двутавров приведены в табл. 3 и 4 Приложения, соответственно. Построить эпюры распределения напряжений по высоте прямоугольного поперечного сечения. Сравнить расход материала балки для рассчитанных поперечных сечений. Принять коэффициент запаса прочности равным двум. Исходные данные приведены в таблице 4. Механические свойства стали взять в таблице 1 Приложения.

Таблица 4

№ варианта	№ схемы на рис. 9, 10	Длины, м	Нагрузки,	Индекс нагрузки	Материал
		а	в	с	F, кН	М, кНм	q, кН/м	F	М	q	Сталь, марка	Чугун, марка
	Рис. 9	10
1	1	1	1,0	1,5	1,3	20	30	10	2	3	1	20	СЧ 12
2	2	2	1,1	1,4	1,2	30	20	20	3	2	3	30	СЧ 28
3	1	3	1,2	1,3	1,1	40	30	20	4	3	2	40	СЧ 38
4	2	4	1,3	1,2	1,4	10	30	20	1	2	3	45	СЧ 12
5	1	5	1,4	1,1	1,5	30	10	20	1	3	1	50	СЧ 15
6	2	6	1,5	1,0	1,4	20	30	10	2	4	3	60	СЧ 18
7	1	7	1,4	1,1	1,3	10	20	30	3	1	2	10	СЧ 21
8	2	8	1,3	1,2	1,2	30	20	10	4	2	1	20	СЧ 24
9	1	9	1,2	1,3	1,1	20	10	30	4	3	3	30	СЧ 28
10	2	10	1,1	1,4	1,0	10	30	20	1	4	3	40	СЧ 32
11	1	1	1,0	1,5	1,1	20	20	10	2	3	2		45	СЧ 35
12	2	2	1,1	1,4	1,2	30	10	30	3	2	1		50	СЧ 38
13	1	3	1,2	1,3	1,3	40	20	10	4	1	2		60	СЧ 12
14	2	4	1,3	1,2	1,4	30	30	10	3	4	3		10	СЧ 15
15	1	5	1,4	1,1	1,5	20	30	20	2	4	3		20	СЧ 18
16	2	6	1,5	1,0	1,4	10	20	30	1	4	3		30	СЧ 38
17	1	7	1,4	1,1	1,4	20	10	10	2	3	2		40	СЧ 18
18	2	8	1,3	1,2	1,3	30	20	30	3	2	1		45	СЧ 21
19	1	9	1,2	1,3	1,2	40	10	20	4	1	2		50	СЧ 24
20	2	10	1,3	1,2	1,2	30	20	10	4	1	2		60	СЧ 12

З А Д А Ч А № 5

Для балки на двух опорах, изготовленной из чугуна (рис. 9, б), подобрать поперечное сечение (рис. 10) согласно варианту задания, приняв величину нормативного коэффициента запаса прочности [n] = 2,5. Механические свойства чугуна взять из табл. 2 Приложения.

Пример решения задачи № 4

Исходные данные: М₀ = 30 кН·м, F = 10 кН, q = 20 кН/м, а = 1 м, b = 2 м, материал - сталь 10 (рис. 11).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение:

Для построения эпюр разобьем балку на два участка.

Аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид в соответствии с правилом знаков.

1-й участок: 0 x₁ a

, .

При х₁ = 0: , М_z = 0.

При х₁ = а: кН,

.

Определим экстремальное значение момента на 1-ом участке.

Для этого возьмем первую производную от изгибающего момента по x и приравняем ее нулю:

, м.

Тогда кН·м.

2-й участок: 0 x₂ b

, .

При х₂ = 0: кН,

кН·м.

При x₂ = b: кН,

Строим эпюры Q и M (см. рис. 11).

Проверка правильности построения эпюр.

В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

на эпюре Q будет скачок на величину приложенной силы F (сечение А, рис. 11);

на эпюре М будет скачок на величину приложенного момента М₀ (сечение В, рис. 11).

На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонной прямой, а эпюра М - квадратичной параболой (участок АВ, рис. 11). При построении эпюры М на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена навстречу стрелкам направления нагрузки q.

Эпюра Q представляет собой график производной от М.

На тех участках, где Q по длине участка равно нулю, момент имеет экстремальное значение.

На тех участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой, а эпюра М - наклонными (участок ВС, рис. 11).

Расчет на прочность при изгибе.

Условие прочности: , , .

Принимаем коэффициент запаса прочности n = 2. Материал - сталь 10. Из табл. 1 Приложения для стали 10 . Тогда . С эпюры моментов:

.

Тогда .

Подбор размеров сечений:

а) круглое сечение. Осевой момент сопротивления круглого сечения . Из условия прочности

;

б) кольцевое сечение (d/D = 0,5). Осевой момент сопротивления кольцевого сечения:

Из условия прочности:

Тогда внутренний диаметр кольца



в) прямоугольное сечение (h/д =2).

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

Нормальные максимальные напряжения возникают в точках максимально удаленных от нейтральной оси z (рис. 12).

.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на оси z (см. рис.12).

,

где Q_max=10 кН = 10000 Н, h = 0,179 м, д = 0,0894 м,

статический момент части площади поперечного сечения относительно оси z (рис. 12):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Эпюры нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 12;

г) двутавровое сечение: используя таблицы прокатного сортамента из Приложения, выбираем по W_z = 476 см³ наиболее близкий номер двутавра. Выбираем двутавр номер 30, для которого: W_z = 472 см³, h = 30 см, b = 13,5 см, d = 0,65 см, t = 1,02 см, А = 46,5 см², J_z = 7080 см⁴, S_z = 268 cм³.

Максимальные напряжения будут равны

.

Имеем перенапряжение , что допустимо.

Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям:

по III теории прочности

,

, прочность обеспечена.

Проверка по теориям прочности в точке C на границе полки и стенки:

По III теории прочности (теория максимальных касательных напряжений) эквивалентные напряжения будут равны:

,

прочность обеспечена;

д) два швеллера (составное сечение):

Так как швеллера два, то

Используя таблицы прокатного сортамента, выбираем по W_z = 238 см³ наиболее близкий номер швеллера. Выбираем № 24, для которого: W_z = 242 см³, h = 24 см, b = 9 см, d = 0,56 см, t = 1 см, J_z = 2900 см⁴, S_z = 139 cм³.

Тогда максимальные напряжения

.

Имеем недонапряжение , что допустимо.

7. Сравним расход материала для выбранных поперечных сечений.

Объемный вес стали .

а) Круглое сплошное сечение: объем элемента конструкции

где площадь сечения , длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

б) Кольцевое сечение: объем элемента конструкции где площадь сечения

длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

в) Прямоугольное сечение: объем элемента конструкции V = AЧl = 0,016 Ч 3 = 0,048 м³, где площадь сечения A = hЧд = 0,179 Ч0,0894 = 0,016 м², длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

г) Двутавровое сечение № 30: по сортаменту вес погонного метра полученного двутавра равен 36,5 кГ, длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

д) Составное сечение из двух швеллеров № 24: по сортаменту вес погонного метра одного швеллера равен 24 кГ, длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

Анализ расхода материала показывает, что наиболее выгодным является двутавровое сечение. Наиболее невыгодное - круглое сплошное сечение.

Пример выполнения задачи № 5

Исходные данные: а = 1м, в = 2м, с = 3м, М₀ = 10 кН•м, F = 20 кН, q = 20 кН/м, материал балки - серый чугун марки СЧ 36. Согласно таблице 2 Приложения, , . Сечение балки показано на рис. 13.

Решение

Определение реакций опор: .

; .

.; .

.

Проверка правильности определения реакций:

,

46,7 - 20•6 + 30 + 43,3=0, 120 - 120=0.

Реакции определены верно.

Данная балка имеет три участка (рис. 13).

Аналитические выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид с соответствующим расчетом значений Q и М_z в характерных точках (начало и конец участка, экстремальные значения):

1-й участок: 0 ? х₁ ? а, , .

Размещено на http://www.allbest.ru/

При х₁ = 0; Q_y = R_A = 46,7 кН, М_z = 0.

При х₁ = а; .

2-й участок: 0 ? х₂ ? b, , .

При х₂ = 0; ,

.

При x₂ = b; ,

.

Определим экстремальное значение изгибающего момента М_z на втором участке. Возьмем производную от выражения изгибающего момента на втором участке по x и приравняем к нулю. Координата положения экстремума x_o определяется из условия равенства нулю поперечной силы Q_y = 0.

.

Тогда

3-й участок: 0 ? х₃ ? с (идем справа налево):

При х₃ = 0; , M_z = 0.

При х₃ = c; = - 43,3 + 20•3 = 16,7кН.

.

Определим экстремальный момент на 3-ем участке:

.

,

.

Строим эпюры Q_y и М_z (рис. 13).

Проверка правильности построения эпюр производится аналогично задаче 4.

По условию задачи сечение балки имеет вид тавра (рис. 14).

Определим положение главных центральных моментов инерции для чугунной балки (рис. 14): а) выбираем исходную систему координат y и z.

Показываем собственные центральные оси каждой фигуры y_i и z_i параллельно выбранным осям y и z.

Определим расстояние между параллельными осями y_i и y, z_i и z.

Вычислим статические моменты инерции относительно осей у и z.

Определение положения центра тяжести сложной фигуры.



б) проводим через центр тяжести оси у₀ и z₀.

Определим главные центральные осевые J_zo, J_yo и центробежный моменты инерции J_yozo. Для этого определим расстояние между центральными осями у₀, z₀ и собственными центральными осями у...