Давление в жидкостях и газах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 1. Давление в жидкостях и газах. Распределение давления в жидкостях и газах, находящихся в состоянии равновесия. Закон Паскаля. Сила Архимеда. Условие плавания тел. Стационарное слоистое движение жидкости. Уравнение неразрывности струи. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости и его применение. Формула Торичелли. Реакция вытекающей струи

Жидкости и газы рассматривают в механике как сплошные среды, непрерывно заполняющие часть пространства. Так же как и твердые тела, жидкости и газы принимают за систему материальных точек, каждая из которых является элементарным объемом.

Представление жидкости или газа в виде системы неизменно связанных между собой элементов допустимо, если жидкость покоится или движется как целое. В этом случае мы можем часть объема жидкости (или весь объем) рассматривать как твердое тело и применять к нему законы механики твердого тела. Этот прием носит название принципа отвердения.

Выделим внутри жидкости произвольный элемент и рассмотрим действующие на него силы. Их можно разделить на внутренние (действующие между частицами элемента) и внешние (действующие со стороны соседних элементов). Внутренние силы взаимно уравновешиваются, потому мы вправе их действия не учитывать.

Внешние силы, как и в случае твердого тела, разделим на массовые (действующие на каждую материальную частицу элемента) и поверхностные (приложенные к поверхности элемента). Вообще говоря, было бы важно знать и внутренние силы, чтобы характеризовать напряженное состояние внутри выделенного элемента жидкости. Однако в гидромеханике ограничиваются указанием некоторого среднего напряженного состояния для объема в целом. В самом деле, если в выбранном элементе находится большое число молекул, движущихся хаотически, то установить детальную картину распределения взаимодействия между ними практически невозможно.

На первый взгляд определение среднего напряженного состояния внутри выделенного элемента тоже невозможно, так как внутренние силы при суммировании уравнений, составленных для отдельных элементов, взаимно уничтожаются. Однако это затруднение можно обойти, если с помощью какого-либо приема внутренние силы сделать внешними.

Как и для сплошного твердого тела, результирующую внутренних сил, отнесенную к единице площади сечения, называют напряжением.

В покоящейся жидкости напряжения могут быть направлены только нормально к поверхности элемента. Это свойство обусловлено легкоподвижностью частиц жидкости. Если возникнет хотя бы малая составляющая внутренних сил в направлении, касательном к поверхности элемента, частицы жидкости придут в движение.

Возникновение внутренних напряжений в жидкости легко установить на опыте. Поместим жидкость в замкнутый сосуд с поршнем (Рис.1).

Рис № 1 Возникновение внутренних напряжений в жидкости.

Положим, на поршень действует сила F. Если при этом некоторый слой жидкости, непосредственно прилегающий к поршню, находится в равновесии, то, следовательно, на него со стороны соседних слоев жидкости действует сила, результирующая которой уравновешивает силу, действующую со стороны поршня.

В большинстве случаев силы, действующие на поверхность элемента жидкости, сжимают его, т. е. направлены внутрь элемента. Силы, направленные по нормали к поверхности объема внутрь его, называются силами давления.

Давление имеет размерность силы, деленной на площадь. За единицу давления принимают в СИ Н/

Давление на малой площадке, определяющей точку в покоящейся жидкости, одинаково при любой ориентации площадки.

Выделим внутри жидкости произвольную трехгранную призму (Рис.2 )

Рис. № 2 .Давление в плоскости жидкости не зависит от ориентации площадки.

Силы давления, действующие на противоположные основания призмы, равны по величине и противоположны по направлению.

Силы давления Ft, F2, F3 на боковые грани призмы перпендикулярны к ним.

Построим на этих силах силовой треугольник abc (Рис №2). Его стороны перпендикулярны сторонам треугольника ABC, полученного сечением призмы плоскостью, параллельной основанию и проходящей через векторы . Следовательно, треугольники ABC и abc подобны:

.

Напряжение на гранях призмы получим, если разделим силы на площади соответствующих граней. Но площади граней равны AC*h, AB*h, BC*h, где h-- высота призмы. Следовательно ,

или

Таким образом, давление в покоящейся жидкости (статическое давление) одно и то же на всех трех гранях. Так как призма была выбрана произвольно, то условие (2) будет выполняться для любой призмы (любой величины и любым образом ориентированной).

Уменьшая размеры призмы, мы придем к малым площадкам, различно ориентированным около некоторой точки. Как следствие этого положения может быть получен закон Паскаля: давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передается во все стороны.

Закон Паскаля используется в так называемых гидравлических прессах. Схема такого пресса изображена на Рис. 3.

Рис.№ 3 Схема гидравлическрго пресса

Он состоит из двух сообщающихся между собой цилиндрических полостей С и Е, закрытых поршнями К и D, которые могут перемещаться вверх и вниз. Когда на поршень D действует сила , приложенная к рычагу H, то создаваемое ею давление передается жидкостью из цилиндра Е через вентиль В в цилиндр С. Сила действующая на поршень D, относится к силе F2, действующей со стороны жидкости на поршень К, как площадь сечения поршня D к площади сечения поршня К. При большой разнице размеров поршней (площади их сечений) можно получить большой выигрыш в силе, который и используется в гидравлическом прессе. Гидравлические прессы широко применяются в технике (при штамповке изделий, при подъеме тяжестей, например гидравлические подъемники автомобилей.

Выделим в однородной покоящейся жидкости элемент (Рис. 4) в виде прямоугольного параллелепипеда с площадью основания S и гранями, параллельными направлению силы тяжести и имеющими высоту z

Рис.№4 К выводу распределения гидростатического давления.

Так как жидкость, а вместе с ней и выделенный элемент покоятся, то, следовательно, давления на его боковые грани уравновешиваются. Для того чтобы найти условие равновесия параллелепипеда в вертикальном направлении, надо учесть давления и , действующие на нижнее и верхнее основания, и силу тяжести, действующую на параллелепипед. К верхнему основанию приложена сила , направленная вниз. Сила тяжести, действующая на весь параллелепипед, равна , где -- плотность жидкости, g--ускорение силы тяжести. На нижнее основание действует сила, направленная вверх. Применив принцип отвердения для равновесия выделенного элемента жидкости в вертикальном направлении, напишем условие, аналогичное условию равновесия твердого тела:

Уменьшая параллелепипед и полагая высоту и площадь его основания в пределе бесконечно малыми, получим из формулы (4):

(для равновесия элементарного параллелепипеда dp должно быть направлено противоположно силе тяжести, что и показывает знак «минус»).

Чтобы найти закон распределения давления в жидкости по высоте конечной величины, проинтегрируем правую и левую части этого уравнения:

где р0 -- давление на высоте z0 над условной горизонтальной плоскостью, р -- давление в данной точке, находящейся на высоте z. Получим:

,

где давление на нижнее основание призмы, создаваемое весом столба жидкости высотой h. Введя объёмный вес , перепишем уравнение (7) в виде:

.

Это уравнение называется гидростатическим уравнением.

Давление жидкости на дно не зависит от формы сосуда, а только от высоты ее поверхности над дном (Рис. 5). Давление на элемент боковой стенки сосуда зависит от его глубины под поверхностью жидкости.

давление жидкости на дно зависит не от формы сосуда, а только о высоты её поверхности над дном.

Свободная поверхность однородной жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одной высоте (Рис. 7). В случае неоднородных жидкостей высоты их свободных поверхностей в сообщающихся сосудах над нулевой плоскостью обратно пропорциональны плотностям жидкостей (Рис. 8).

Архимед установил, что кажущийся вес тела, погружённого в жидкость, меньше действительного на столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.

Выделим мысленно объём жидкости такой же поверхности, как и поверхность данного твёрдого тела. Вообразим, что выделенная нами жидкость затвердела, сохраняя неизменной свою плотность. Равновесие в жидкости при этом , очевидно, не нарушиться. Следовательно, вес отвердевшей части жидкости равен силе давления, с которой на него действует окружающая жидкость. Другими словами, результирующая давлений покоящейся жидкости на произвольную замкнутую поверхность равна по величине и противоположна по направлению весу жидкости, заключённой внутри этой поверхности.

Следовательно, если мы поместим в жидкость твёрдое тело , которое займёт тот же объём , что и отвердевшая часть жидкости, то на него будет действовать выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости,

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и остойчивости кораблей.

Условием плавания тел в жидкости, очевидно, является равенство его веса весу вытесненной им жидкости.

Представим себе в жидкости трубку, боковая поверхность которой составлена из прилегающих друг к другу линий тока.

Если течение стационарно, то все частицы жидкости, заключенные внутри этой поверхности, останутся внутри нее во все время движения. Таким образом, поверхность, образованная линиями тока в жидкости, представляет собой как бы непроницаемую трубку. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, пронизывающими замкнутый контур, называется трубкой тока. Размеры и положения контура выбираются такими, чтобы в его пределах скорость течения можно было считать постоянной и направленной по нормали к контуру.

Очевидно, всякое движение жидкости, происходящее без разрывов сплошности (без пузырьков и «пустот»), должно удовлетворять закону сохранения массы. Масса жидкости, прошедшей за время через какое-либо поперечное сечение трубки тока S, равна:

где -- скорость частиц, постоянная в данном сечении, -- плотность жидкости в том же сечении.

При стационарном потоке за один и тот же интервал времени через два разных сечения трубки тока и S2 должны проходить одинаковые массы жидкости. В противном случае масса жидкости, заключенной в объеме трубки между выбранными сечениями, изменялась бы, и течение перестало быть стационарным. Поэтому для стационарного течения

Для капельных жидкостей и для газов, когда сжимаемость последних роли не играет, можно считать плотность постоянной. Тогда уравнение (9) запишется в виде

,

(10)

Произведение величины скорости течения несжимаемой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока (теорема неразрывности).

Рассмотрим участок трубки тока, ограниченный двумя поперечными сечениями А В и CD, площади которых соответственно равны St и S2 (Рис. 10). Площади сечений возьмем достаточно малыми, чтобы скорости частиц и давления в пределах каждого из сечений можно было считать постоянными.

Перемещаясь от сечения АВ к сечению CD, жидкость переходит в суженную часть трубки и, как следует из уравнения неразрывности, движется ускоренно. Значит, на жидкость, находящуюся в данный момент в суженной части трубки, действует со стороны жидкости, находящейся в более широкой ее части, некоторая сила, которая может возникнуть только вследствие разности давлений в различных сечениях трубки. Сила направлена в сторону узкой части трубки, следовательно, в местах сужений давление меньше, чем в местах расширений.

Установим связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях трубки, ограничиваясь рассмотрением идеальной жидкости (не учитывая вязкость и сжимаемость жидкости), что позволит нам считать работу внутренних сил в жидкости равной нулю. Трение между жидкостью и стенками сосуда будем считать отсутствующим (это позволит нам выбрать трубку в произвольном месте потока); движение -- вполне установившимся (стационарным, при этом масса и энергия идеальной жидкости, заполняющей некоторый объем трубки тока, остаются постоянными во все время движения); линии тока -- слабо искривленными (что позволит пренебречь центростремительным ускорением частиц жидкости и связанным с ним изменением давления в поперечном сечении трубки тока).

К жидкости, заключенной в рассматриваемом объеме, можно применить второй закон динамики и написать для нее уравнение движения. Но так как в идеальной жидкости нет рассеяния механической энергии, то результат проще получить, применяя закон сохранения энергии.

Покоящаяся жидкость массой т обладает потенциальной энергией:

Если жидкость движется со скоростью о, то она обладает еще кинетической энергией, и полное значение энергии будет:

В выражении давление р отлично от давления рс, входящего в формулу, так как жидкость могла приобрести кинетическую энергию только за счет преобразования потенциальной энергии. При соблюдении первых трех из перечисленных выше ограничений энергия жидкости, заключенной в выделенном объеме, остается неизменной. Следовательно, энергия жидкости массой , втекающей в объем за время через сечение , должна быть равна энергии жидкости массой , вытекающей за то же время через сечение . Если плотность жидкости , то

Приравнивая правые части этих равенств и деля их на

получим:

или, учитывая, что

Так как сечения S1 и S2 взяты произвольно, то вообще для любого сечения данной трубки тока

Это уравнение, полученное Д. Бернулли (1738 г.), связывает изменение давления в стационарном потоке идеальной жидкости с изменением скорости течения и геометрической высоты.

Закон Бернулли представляет собой закон постоянства полной удельной энергии частиц движущейся идеальной жидкости при стационарном течении. Формулы (16) и (15) выражают тот же закон сохранения энергии для единицы объема жидкости: --кинетическая энергия единицы объема жидкости, -- его потенциальная энергия в поле силы тяжести, p -- работа силы давления при подъеме единицы объема на единицу высоты.

В выражении (14) все члены имеют размерность длины: и-- геометрические высоты, и-- пьезометрические высоты и -- скоростной, или динамический, напор.

Таким образом, в теореме Бернулли отражены два физических факта: 1) сумма потенциальной энергии и кинетической энергии на всем протяжении данной трубки тока -- величина постоянная; 2) сумма трех высот: пьезометрической, геометрической и скоростной -- остается постоянной в каждом сечении трубки.

Рассмотрим несколько практически важных применений теоремы Бернулли.

а) Скорость истечения из отверстия. Рассмотрим задачу, решенную еще Д. Бернулли, об истечении жидкости из открытого сосуда через малое отверстие под действием силы тяжести. Пусть имеется широкий сосуд с жидкостью (Рис. 171), уровень которой стоит на высоте z1 над дном сосуда. На высоте имеется малое (по сравнению с сечением сосуда) отверстие с плавно закругленными краями. На свободную поверхность жидкости в сосуде действует атмосферное давление р1 такое же давление действует и на поверхность вытекающей струи (сосуд невысок). Так как площадь сечения сосуда велика по сравнению с площадью сечения отверстия, то скорость движения частиц свободной поверхности мала по сравнению со скоростью частиц в отверстии и ею можно пренебречь.

Линии тока в отверстии можно считать параллельными и направленными перпендикулярно плоскости его сечения. Все линии тока начинаются на поверхности жидкости, которая медленно снижается по мере вытекания жидкости из сосуда. Тогда для каждого момента времени мы можем написать уравнение Бернулли:

,

где величины с индексом 1 относятся к сечению, совпадающему со свободной поверхностью жидкости в сосуде, а с индексом 2 -- к сечению струи в отверстии. Но по условию

и .

Тогда

,

откуда

,

т. е. скорость частиц в отверстии такова, как если бы частицы под действием собственного веса падали с высоты h. Формула эта носит название формулы Торричелли.

Рис.№12. Сжатие струи:

а)отверстие без насадки, б)цилиндрическая насадка. в)насадка по форме струи

Решая задачу с помощью теоремы Бернулли, мы пренебрегали вязкостью жидкости и считали линии тока перпендикулярными плоскости сечения отверстия. На самом же деле частицы подходят к отверстию по криволинейным траекториям и не могут в отверстии внезапно изменить направление движения, вследствие чего струя оказывается несколько сжатой и площадь ее сечения меньше площади отверстия (Рис. 12).

Для проверки формулы Торричелли проще всего измерить объем жидкости, вытекающей из отверстия за время , и, разделив его на время, получить величину расхода жидкости Q, которая должна удовлетворять равенству:

где S -- площадь сечения отверстия.

При сравнении фактического и вычисленного расхода жидкости первый оказывается меньше второго. Коэффициент пропорциональности между ними называют в гидравлике коэффициентом истечения или коэффициентом расхода:

Коэффициент различен для разных жидкостей (зависит от их вязкости) и отверстий разной формы (зависит от степени сжатия струи).

б) Некоторые приборы для измерения давлений и скоростей в жидкости

( трубки Пито-Прандтля, трубка Орлова).

в) Использование в технике зависимости давления в жидкости от величины её скорости.

Лекция 2. Течение вязкой жидкости. Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса. Движение тела в жидкостях и газах. Сила лобового сопротивления и подъёмная сила . Подъёмная сила крыла самолёта, формула Жуковского

Рассмотрим течение смачивающей жидкости по горизонтальной трубе круглого сечения радиуса r. Жидкость считаем несжимаемой и вязкой. Предположим, что течение стационарное и происходит цилиндрическими слоями, параллельными стенкам трубы.

Обозначим скорость течения в некоторой точке поперечного сечения трубы v, расстояние этой точки от оси трубы у.

Выделим внутри жидкости элементарный цилиндрический объем с осью, совпадающей с осью трубы, и боковой поверхностью, параллельной стенкам трубы и проходящей через точку с координатой у. Высоту цилиндра вдоль течения обозначим (Рис. 1). Так как движение стационарное и равномерное, то силы давления, действующие на основание цилиндрического объема , и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра

должны уравновешиваться.

Cледовательно,

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии r от оси равна нулю (vr=0), получим:

Это соотношение устанавливает закон распределения скоростей течения в данном сечении трубы. Считая падение давления на единицу длины трубы постоянным ( ) и объединяя постоянные, получим:

т. е. скорость частиц жидкости распределяется в сечении трубы по параболическому закону. Вершина параболы лежит на оси трубы (Рис. 1).

Непосредственную опытную проверку этого закона провести трудно, так как любой измеритель скорости, помещенный в трубу, искажает распределение скоростей в месте измерения. Поэтому подсчитаем расход жидкости (количество жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени) в предположении, что выражение (1) справедливо, а затем сравним его с фактически измеренным расходом. Так как скорость частиц жидкости зависит от расстояния от стенки трубы, то мы подсчитаем элементарный расход жидкости через кольцевое сечение радиуса у и толщиной dy (Рис. 2), в пределах которой скорость течения можно считать постоянной.

За единицу времени через площадь кольцевого сечения вытекает объём жидкости:

или с учетом равенства (1)

Интегрируя по всем кольцевым сечениям от 0 до r, получим расход жидкости в трубе:

.

Разделив расход жидкости на площадь поперечного сечения трубы получим среднюю скорость в сечении:

Эта зависимость называется законом Гагена -- Пуазейля: средняя скорость параллелоструйного течения жидкости в трубе прямо пропорциональна падению напора на единицу длины трубы, квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости.

Движение жидкости параллельными слоями называется ламинарным течением.

Величина равна потере давления на единицу длины трубы,

Так как труба горизонтальна () и сечение ее постоянно, то. Следовательно,

,

где --величина диссипации механической энергии единицы объёма жидкости в единицу времени, т. е. сила сопротивления при ламинарном течении прямо пропорциональна первой степени скорости.

Проверка закона Гагена -- Пуазейля осуществляется легко. При этом получается неожиданный результат. Уравнение (6) оказывается справедливым лишь при малых скоростях течения жидкости и.малых размерах труб. Точнее говоря, при малых значениях безразмерного числа

где vcp-- средняя скорость, -- плотность жидкости, r -- радиус трубы, -- коэффициент вязкости жидкости. Число Re носит название числа Рейнольдса.

При ламинарном движении жидкость движется слоями, и скорости в каждом сечении параллельны друг другу; скорости частиц жидкости меняются от твердых границ внутрь потока по параболическому закону; сопротивление движению жидкости или твердого тела в ней прямо пропорционально первой степени скорости, причем сопротивление обязано своим происхождением действию сил вязкости.

Если траектории частиц жидкости искривляются, то на них должна действовать некоторая сила, сообщающая им центростремительное ускорение. В потоке вязкой жидкости на каждую частицу действуют сила давления р и сила вязкости FB. Эти силы и обусловливают возникновение ускорения частиц.

По второму закону Ньютона

Если система отсчета связана с движущейся частицей, то в этой системе на частицу будет действовать сила инерции, равная

Можно предположить, что степень устойчивости ламинарного течения характеризуется отношением сил инерции к силам вязкости, так как силы инерции, видимо, тем больше, чем больше отклонение траекторий частиц в потоке от прямолинейного направления, а сила вязкости препятствует возникновению этих отклонений.

Силы инерции выражаются через произведение плотности жидкости на объем и на производную скорости по времени.

Производную от скорости по времени можно представить как величину, пропорциональную отношению:

,

где --некоторая скорость, характерная для данной задачи, --некоторая характерная длина. Масса , т.е. произведение плотности на объём, пропорциональна . Тогда сила инерции:

=.

Сила вязкости пропорциональна производной скорости по расстоянию некоторой площади и коэффициенту вязкости:

Найдем отношение Fи к FB. Легко видеть, что оно равно с точностью до постоянного множителя безразмерному числу, которое мы назвали числом Рейнольдса:

где --коэффициент кинематической вязкости.

В число Рейнольдса (8) входят некоторая скоростью, размер /0 и коэффициент кинематической вязкости. Коэффициент вязкости определен, если известна жидкость в потоке, для которого вычисляется значение Re. Скорость 0 есть скорость, характерная для данного случая течения жидкости, например: для течения жидкости в длинной трубе это средняя скорость в сечении трубы, для случая обтекания жидкостью шарика это скорость его движения относительно жидкости и т. д. Характерным размером в случае течения жидкости в трубе служит диаметр трубы, при обтекании малого по сравнению с размерами потока шарика -- диаметр шарика и т. д.

Пока число Рейнольдса мало, силы вязкости преобладают над силами инерции и всякое возмущение, случайно возникшее в жидкости, гаситься.

При возрастании скорости токе воды, и размеров потока (или убывании вязкости) силы инерции становятся при прочих равных условиях близкими по величине к силам вязкости. Случайные искривления траекторий частиц жидкости возникают легче и существуют дольше. Этому режиму течения жидкости соответствует некоторая область значений числа Рейнольдса, которая называется критической.

Наконец, если число Рейнольдса больше критического значения, силы инерции значительно превышают силы вязкости и случайно возникшие возмущения развиваются в толще потока. На Рисунке 3 изображено развитие возмущения, возникшего на выступе твердой границы. Со временем весь поток оказывается заполненным возмущениями. Частицы жидкости движутся по искривленным, случайно изменяющимся во времени траекториям . Такое движение называется турбулентным.

Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения наблюдается для всех жидкостей при одном и том же значении числа Рейнольдса Reкр. Следовательно, критическая скорость , при которой осуществляется этот переход, меняется в зависимости от размеров потока и вязкости таким образом, что критическое значение числа Рейнольдса для всех жидкостей остается постоянным.

Ламинарному течению соответствуют значения чисел Рейнольдса примерно до Re=\000. Переход от ламинарного к турбулентному течению происходит в области значений Re от 1000 до 2000. При значениях больших 2000 течение турбулентное.

Подъемная сила Fn возникает в результате существования циркуляционного движения жидкости вокруг тела.

Строгая математическая теория подъемной силы разработана великим русским механиком Н. Е. Жуковским. Он показал, что течение вблизи крыла можно рассматривать как два одновременно существующих течения идеальной жидкости: непрерывного обтекания с плавно изогнутыми линиями тока и циркуляционного течения вокруг крыла (Рис. 4). Частицы жидкости при этом деформируются, но не вращаются, т. е. движение удовлетворяет условию потенциальности. При потенциальном движении особая физическая величина -- циркуляция скорости по любому замкнутому геометрическому контуру, охватывающему тело,-- величина постоянная.

Найдем подъемную силу. Пусть поток обтекает крыло, расположенное под углом атаки к направлению скорости v0 в невозмущенном потоке; давление в невозмущенном потоке р0. Положим, скорости циркуляционного течения в точках сверху и снизу крыла, отстоящих на расстоянии х от передней кромки, соответственно и v2 и давление и . Напишем уравнение Бернулли для двух трубок тока, проходящих одна сверху другая снизу крыла. Одно сечение возьмем в невозмущенной части потока, второе -- на расстоянии х от передней кромки.

Тогда

для нижней трубки тока. Отсюда

Так как при малых углах атаки v1 и v2 мало отличаются от v0, положим

Тогда

Выделим около точки с координатой х полоску шириной dx вдоль хорды крыла и длиной в направлении размаха крыла /. Результирующая сила давления на выделенную полоску:

Значение результирующей, действующей на всю поверхность крыла:

Но интеграл

представляет собой циркуляцию скорости по контуру, проведенному вокруг крыла. Таким образом:

Эта формула носит название формулы Жуковского -- Кутта, где

Г=,

величина циркуляции скорости.

В природе и технике часто происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.

Качания маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин. Все эти процессы качественно отличаются друг от друга, но оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего. Именно это обстоятельство придает учению о колебаниях его важное значение. Изучая на этих двух лекциях механические колебания, мы получим также знания - в других областях, например, из области электромагнитных колебаний, радиотехники, оптики, и др.

1. Гармонические колебания

Изучим простейшую колебательную систему - тело массы m, прикрепленное к пружине и скользящее без трения по горизонтальному столу.

Рассмотрим движение этого грузика под действием однократно приложенной силы. Отклонение обозначим через х, и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае пружина действует на груз с упругой силой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону обратную смещению, т. e. F= - kx, где k - коэффициент пропорциональности, называемый также жесткостью пружины. Знак "минус" означает, что сила упругости противодействует смещению.

В физике встречаются силы иного происхождения, чем упругие, которые обнаруживают такую же закономерность, т. е. оказываются равными -kx, где k - постоянная положительная величина.

Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Под действием этой однократно приложенной силы грузик начнет совершать колебания.

Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором.

Промежуток времени, по истечению которого движение повторится, называется периодом колебания и обозначается Т, [Т] = с.

Частота колебаний равна числу полных колебаний за 1 с: . Частота измеряется в Гц. 1 Гц - это одно колебание за 1 с. В технике частоты измеряются также в килогерцах (1 кГц = 103 Гц), мегагерцах (1 Мгц = 106 Гц), гигагерцах (1ГГц = 109 Гц ).

Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора.

Напишем 2-й закон Ньютона: F = та, где F = -kx, а ускорение . В итоге получаем или

,

.

Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решением будет:

или , (3)

где А - амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение колеблющегося грузика от положения равновесия; оно задается начальными условиями при однократном приложении силы.

Поскольку значения как cos так и sin через 2 радиан повторяются, то можно найти связь между периодом Т0 и , откуда

- называется собственной круговой частотой. Она равна числу полных колебаний за секунд. Для вращательного движения круговая частота и величина угловой скорости совпадают.

Выражение в скобках (3) называют фазой колебания. Она определяет смещение в данный момент времени t; - начальная фаза. Она характеризует смещение в начальный момент времени t = 0 и определяется начальными условиями, как и амплитуда А.

Пусть , тогда .

График этого уравнения приведен на Рис. 2. Из (2) и (4) следует, что период колебания не зависит от амплитуды колебаний А.

Скорость

пропорциональна амплитуде и круговой частоте, и отличается по фазе от смещения (3) на . Максимальная скорость .

Ускорение

пропорционально A и , и по направлению совпадает с направлением силы , а по фазе отличается от скорости (6) на, и от смещения (3) - на . Максимальное ускорение .

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием.

Как следует из (5) и (6) скорость и ускорение колеблющегося груза изменяется со временем также по гармоническому закону, т. е. по закону sin и cos.

2. Потенциальная и кинетическая энергии

Установим изменение потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы. Известно, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна , где k - коэффициент упругости, х - смещение; откуда для потенциальной энергии колебаний находим

.

Кинетическая энергия , что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет

.

Анализ (7) и (8) показывает, что когда одна из энергий или увеличивается, то другая уменьшается. Полная же энергия

E=Wn+Wk=kA2/2

остается величиной постоянной и для пружинного маятника, (см. Рис. 1), она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины. Итак, мы рассмотрели свободные или собственные колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она была выведена из положения равновесия.

Но в реальных условиях всегда на механические системы действуют силы трения из-за чего свободные колебания переходят в затухающие, которые будут рассмотрены в параграфе 8.

3. Векторная диаграмма гармонического колебания

Гармоническое колебание можно представить в виде проекции вектора , вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной круговой частоте . Из Рис. 3 следует, что проекция вектора на направление ОХ будет.

4. Комплексная форма представления колебаний

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

, где .

Поэтому уравнение гармонического колебания (3) можно записать в экспоненциальной форме:

.

Вещественная часть представляет собой смещение х при гармоническом колебании .

Обычно обозначение опускают и пишут так

.

5. Сложение одинаково направленных колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых и .

Используем векторную диаграмму, Рис. 4; откуда следует, что где

.

Пусть , тогда

,

т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например, , , то результирующее колебание можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой и медленно меняющейся амплитудой . Такие периодические изменения амплитуды называются биениями.

6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть и , тогда траекторией будет прямая линия, Рис. 5: .

При и , траекторией будет эллипс:

(x2/A2)+(y2/B2)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Биение

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало различаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний буквой частоту второго колебания через По условию Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Чтобы не усложнять без надобности формул, допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем

(во втором множителе пренебрегаем членомпо сравнению с и). График функции ( ) изображен на Рис . График построен для

Заключенный в квадратные скобки множитель в формуле ( ) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия Асо <С и за то время, за которое множитель cos (cjt) совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в квадратных скобках, почти не изменяется. Это дает нам основание рассматривать колебание ( ) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в квадратных скобках, так как он изменяется в пределах от --2а до +2а, в то время как амплитуда по определению -- положительная величина.

График амплитуды показан на Рис. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид

Функция ( ) -- периодическая функция с частотой, в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля т. е. с частотой Дол .Таким образом, частота пульсаций амплитуды -- ее называют частотой биений -- равна разности частот складываемых колебаний.

Отметим, что множитель 2а cos (Auj/2t) не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки Mi и М2 на Рис. .

7. Гармонические осцилляторы

Математический маятник

Это материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити.

Хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити, Рис. 7. Тангенциальное ускорение а, возникает под действием тангенциальной силы . Для малых можно положить и .

С другой стороны тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением: .

Из второго закона Ньютона следует, что , или .

Деля правую и левую части этого уравнения на l, получим:

,

где . Решением его для малых ц будет:

,

.

Таким образом, период колебаний математического маятника T0, не зависит от его массы и амплитуды колебаний. Измерения T0 дают возможность с большой точностью определять g , что позволяет проводить гравитометрическую разведку и определять форму фигуры планеты.

Математический маятник сыграл большую роль в открытии закона сохранения энергии и в создании общей теории относительности, основным положением которой является равенство массы гравитационной и инертной.

Пружинный маятник

Это груз массой т , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания около положения равновесия, Рис. 1. Он был рассмотрен в параграфе 1. Для него и

Физический маятник

Это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела. На маятник, отклоненный на малый угол ц действует момент силы , который сообщает угловое ускорение , где J - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно Рисунку.

С учетом этого получается дифференциальное уравнение . Разделив правую и левую части последнего уравнения на момент инерции тела J, найдем: ,

.

Решением его будет .

Период колебания ,

где L = J/ml - приведенная длина физического маятника; L - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания данного физического маятника.

Точка О' , расположенная на расстоянии L от точки О (Рис. 8), через которую проходит ось подвеса физического маятника, называется его центром качаний. Периоды колебаний относительно точек О и О' совпадают.

8. Свободные затухающие колебания

Кроме силы упругости F = - kx на тело действуют также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т. е. , где r - коэффициент сопротивления, с размерностью [r] = кг/с.

С учетом сказанного, уравнение движения тела ( 2-й закон Ньютона ) ma=F будет иметь вид , или, разделив на массу т правую и левую части такого уравнения, имеем :

,

где - коэффициент затухания; . Его решение будет

.

Анализируя (17), можно видеть, что:

1) при ,

т.е. движение получается непериодическим, Рис. 9; его называют апериодическим, т.к. тело монотонно стремится к положению равновесия.

2) при

где - амплитуда, а

.

Из (19) следует, что затухающие колебания не являются строго гармоническими, их амплитуда A(t), уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания (Рис. 10).

Логарифмический декремент затухания

Натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времени t и называется логарифмическим декрементом затухания:

Величина, обратная , показывает число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7182 раз.

Величина

называется добротностью колебательной системы.

Заметим, что рассмотренная колебательная система является диссипативной, т.к. ее механическая энергия постепенно уменьшается с течением времени за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.

9. Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы)

,

где - круговая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:

m(d2x/dt2) = -kx - r(dx/dt) + Fmcost.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет, где - общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)

и с течением времени . Поэтому .

Из решения (23) следует, что

,

. (26)

Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины:

.

Это явление называется резонансом.

На Рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы , которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим , а при имеем, что объясняется инерционностью колебательной системы).

Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

8.Автоколебания

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, в противном случае они могут ослабить колебания и даже прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания-- автоколебаниями.

В качестве примера автоколебательной системы рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом -- анкером (Рис. ). На концах анкера имеются выступы специальной формы, называемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку.

Посредством этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.

Лекция 3. Распространение колебаний в однородной ciiлошной среде бегущие волны

В природе и технике мы встречаем огромное разнообразие волн: волны и зыбь океанов, волны землетрясений, сейсмические волны, волны звука, волны в натянутой струне или в кРисталле кварца, который используется для излучения или приема ультразвука, электромагнитные волны -- свет, радио и даже волны вероятности (!), которые рассматривает квантовая механика при изучении поведения электронов, атомов и т. п.

При всех различиях в происхождении и проявлении волн они обладают целым рядом общих свойств. Эти свойства могут быть выявлены и математически описаны в общем виде, одинаковом для различных физических систем. Установив, что явление определяется волнами, мы можем предсказать многие особенности явления независимо от механизма возбуждения и передачи волн.

Наша задача -- выяснить некоторые общие свойства волн на примере волн механических. Как можно возбудить механические волны?

Система, помещенная в какую-либо среду (например, в воздух пли в воду), колеблясь, взаимодействует с частицами, находящимися в прилегающем слое среды. Она создает непрерывный ряд импульсов деформаций, следующих один за другим и распространяющихся в среде. Если скорость распространения каждого отдельного импульса не зависит от их амплитуд и формы (пока импульсы достаточно малы), то они распространяются, следуя в порядке их возбуждения колеблющейся системой, сохраняя свою первоначальную форму.

Положим, система колеблется по гармоническому закону, тогда вынуждающая сила, с которой она действует на прилегающие частицы среды, заставляя их колебаться, также меняется по гармоническому закону. Частицы среды колеблются с частотой вынуждающей силы, т. е. с частотой колебания системы.

Будем считать границу среды настолько удаленной от источника колебаний, что возмущения не успевают за время наблюдения отразиться от нее, и затухание колебаний настолько малым, что им можно пренебречь.

Частицы среды, прилегающие к колеблющейся системе, приходят в колебание одновременно с возникновением колебаний системы. Очевидно, частица, отстоящая от системы на расстоянии x в направлении распространения колебаний, начнет колебаться, когда до нее дойдет начало распространяющегося в среде возмущения. Пусть скорость распространения возмущения в среде с.

Если колебания системы происходят по закону:

,

То точка среды, отстоящая от нее на расстоянии х ,колеблется по тому же закону, но в момент t она имеет смещение, которое имела частица, прилегающая к возмущающей системе, в момент

.

Таким образом, частицы среды смещаются по закону:

Это уравнение носит название уравнения бегущей волны. Оно определяет величину смещения частицы от положения равновесия как функцию времени t и ее расстояния х от источника возмущения.

Введем вместо частоты период () :

Если зафиксировать определенное значение времени t, то уравнения (1) и (2) дадут нам распределение смещений частиц вдоль направления распространения волн в зависимости от расстояния х. Смещения точек, отстоящих друг от друга на расстоянии х=сТ, в один и тот же момент времени t1 будут, как следует из равенства (3), одинаковы. Следовательно, распространение колебаний в среде -- периодический в пространстве процесс. Если в уравнении (1) зафиксируем значение x=x1, т. е. выделим в среде определенную частицу, отстоящую на x1 от источника колебаний, то закон ее колебания:

где

Колебания в каждой точке среды -- процесс периодический во времени.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и в пространстве, называется волновым процессом.

Расстояние между двумя частицами среды, испытывающими в один и тот же момент времени одинаковое смещение, называется длиной волны л. Как мы видели выше, длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за один период:

л=сТ.

Равенство (3) можно записать в виде

Частицы среды колеблются с одинаковой амплитудой, но точка, отстоящая на x1 от начальной, имеет относительно нее сдвиг фаз . На расстоянии одной длины волны фаза колебания изменяется на 2р. Величину -- называют волновым числом. Оно показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2р. Вводя волновое число, уравнение бегущей волны можно записать в виде

Уравнения (2), (3), (4) и (5) совершенно равноправны. Они описывают один и тот же волновой процесс.

Как и в случае распространения импульса, частицы среды не перемещаются вслед за волной. При прохождении волны они лишь колеблются около положения равновесия. Еще в XV в. Леонардо да Винчи, гений, соединявший в себе наблюдательность художника и интуицию ученого, писал: «Волнения гораздо подвижнее воды, поэтому часто случается так, что волна ускользает от места ее возникновения, а вода остается на том же месте, подобным же образом ведут себя волны, создаваемые ветром на некошеном поле: волны бегут по полю, а стебли злака остаются на месте».

Скорость распространения волны с -- это скорость распространения возмущения, вызывающего смещение частиц от положения равновесия. Если на поверхность озера положить в направлении распространения волн веревку с пробковыми поплавками, отстоящими друг от друга на равных расстояниях, то легко заметить, что поплавки и веревка в целом не перемещаются в направлении движения волны. Они лишь поднимаются и опускаются, причем в известной и постоянной последовательности.

Мы видели, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны л=сТ, колеблются в одинаковой фазе. Можно сказать, что фаза за время одного периода «пробегает» расстояние л или движется со скоростью с. Поэтому скорость распространения волны называют фазовой скоростью. Если в данной среде скорость распространения импульса не зависит от его величины и формы, фазовая скорость совпадает со скоростью распространения отдельного импульса.

...