Размещено на http: //www. allbest. ru/

Лекция 1. Введение

1.1 Предмет физики. Методы физического исследования. Связь физики с другими науками и техникой

Физика есть наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи.

Следовательно, задача физики заключается в изучении строения материи и форм ее движения (а именно: механического, молекулярного, теплового, электромагнитного, внутриатомного и внутриядерного) с целью открытия объективных законов природы для использования в интересах человека.

Чтобы выполнить задачу физики, необходимы методы исследований, позволяющие этого добиться.

Французский материалист-просветитель ДенДидрв работе «Мысли к объяснению природы» так характеризовал путь научного познания: «Мы располагаем тремя главными средствами исследования: наблюдением природы, размышлением и экспериментом. Наблюдение собирает факты; размышление их комбинирует; опыт проверяет результат комбинаций. Необходимы прилежание для наблюдения природы, глубина для размышления и точность для опыта».

Методы исследований:

а) экспериментальный;

б) теоретический.

Основным методом исследования в физике является эксперимент (опыт), т.е. наблюдение исследуемого явления в точно контролируемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздать его каждый раз при повторении этих условий.

Физика всегда и всегда будет наукой опытной. Любое физическое исследование начинается с опыта и опытом заканчивается.

Данные новых опытов уточняют физические законы и границы их применимости, уточняют физические теории.

Эксперименты проводятся с помощью физических моделей. Физической моделью называется схематизация изучаемых явлений, характеризующих процесс или свойства тел. В свою очередь свойства тел характеризуются физическими величинами.

Физическими величинами называются характеристики процессов или свойств тел, которые могут быть определены количественно с помощью тех или иных измерений.

Из курса «математическая обработка результатов измерений» вы уже знаете, что измерения могут быть произведены всегда лишь с ограниченной точностью, вследствие несовершенства измерительных приборов.

МОРИ: «Измерением называется нахождение значений физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств»

Точность измерения физических величин повышается по мере развития техники.

Физика тесно связана с другими науками, такими как:

– математика;

– астрономия;

– химия, геология;

– философия и др.

Как отметил в одной из своих статей академик С. И. Вавилов «Предельная общность значительной части содержания физики, ее фактов и законов искони сближала физику с философией… Иногда физические утверждения по своему характеру таковы, что их трудно отличить и отделить от философских утверждений и физик обязан быть философом» ([1], с.11).

Особое место занимает использование в физике математики, т.к. физические законы обычно выражаются в виде математических зависимостей между физическими величинами.

Математический аппарат позволяет не только выражать количественно физические зависимости, но и исследовать их.

Пример: ([??], № 1,32) Мяч бросили с начальной скоростью v0 под углом к горизонту. Требуется, допустим, найти: на каком максимальном расстоянии Sxmax от места бросания мяч (диск, копье, ядро, граната) упадет на землю.

Sxmax = sin 2.

Sуmax при:

а) v0max (при обеспечении максимального значения начальной скорости);

б) = 45 sin 2 = sin 90 = 1;

в) S = f(g) (Ташкент-Москва).

На стыке наук возникли новые:

- астрофизика;

- геофизика;

- химическая физика;

- биофизика и др.

Физика тесно связана с техникой.

Развитие физики движет НТП, ускоряет техническое развитие. В свою очередь развитие техники ускоряет развитие физики.

На основе физических достижений появляются новые разделы техники.

Например, при математическом описании колебательного движения. Анализ этих уравнений может привести к неожиданным новым физическим зависимостям, позволяющим, допустим, выйти на меры борьбы с такими отрицательными явлениями как:

- резонанс;

- флаттер;

- бафтинг.

* открытие Фарадеем электромагнитной индукции привело к появлению электротехники;

* достижения в оптике - к оптическая техника;

* достижения в нелинейной оптике - лазерная техника;

* успехи в атомной и ядерной физике - к появлению атомной (ядерной) энергетики;

* развитие физики твердого тела, полупроводников - полупроводниковая техника;

* гидродинамика и гидростатика - к аэродинамике и динамике стратостатов и космических кораблей, а также кораблей и подводных лодок.

1.2 Материя. Основные представления о строении материи в современной физике

Физика изучает закономерности наиболее общих форм движения материи.

Материей называют все то, что существует объективно (т.е. независимо от нашего сознания или ощущения).

В настоящее время известны 2 вида материи: вещество и поле.

а) Вещество - атомы, молекулы и все построенные из них тела.

Все тела состоят из молекул и атомов, атомы - из ядер и электронов, ядра - из протонов и нейтронов, а протоны и нейтроны состоят из кварков (учебник 11 класса).

б) Поле (гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное) ([2], с. 90-91).

Материя находится в непрерывном движении.

Движение есть неотъемлемое свойство материи, которое несотворимо и неуничтожимо, как и сама материя.

Материя существует и движется в пространстве и во времени, которые являются формами бытия материи.

1.3 Содержание и структура курса общей физики

В соответствии с различными формами движения материи различают следующие разделы физики:

1. Механика.

2. Молекулярная физика и термодинамика.

3. Электромагнетизм.

4. Оптика.

5. Квантовая физика (атомная и ядерная).

[Селезнев], с. 13: Механика рассматривает движение тел, не учитывая детали их внутреннего строения.

О механике более предметно поговорим при рассмотрении 4-го вопроса.

Молекулярная физика делает шаг в глубь тел, теория работает на уровне атомов и молекул, изучает поведение и взаимодействие атомов и молекул, пренебрегая их структурой.

В электродинамике на передний план выступают электрон и другие заряженные частицы, наделенные, кроме массы, новым свойством - электрическими зарядами.

В оптике приходится уточнять поведение электронов внутри атомов и из взаимодействие с электромагнитными явлениями.

Атомная и ядерная физика приводят нас к новой механике атомных частиц, к новым законам, которые имеет смысл рассматривать только на этом уровне.

1.4 Предмет и задачи механики

Механика есть наука о движении и равновесии тел.

В широком смысле слова движение материи есть всякое изменение ее. Однако под движением в механике понимается только простейшая форма его, а именно перемещение тела относительно других тел.

Механика изучает простейший вид движения - изменение положения тел относительно друг друга с течением времени.

Механика как раздел физики считается завершенным в начале 20 в.

I. Предистория физики (5 в. до н.э. - 17 в.)

Это физика древней Греции, Индии, Китая, Египта, физика средневековья.

Физика в этот период как наука не существовала. Изучаемые физические явления носили созерцательный характер, и эксперимент отрицался.

Архимед (ок. 287 - 212 до н.э.), Платон (428 - 348 до н.э.) - др.-греческий философ, Эвклид (геометрия Эвклида) Аристотель (384 - 322 до н.э.), Николай Коперник (1473 -1543) - польский ученый.

II. Физика как самостоятельная наука складывается в 17 в. Основоположником является великий английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727), который сформулировал основные законы классической механики. Надо всегда помнить, что Ньютон имел много крупных предшественников, на труды которых он опирался. Законы Ньютона (как и все физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. ([1], с. 49): Кеплера (1571-1630) - Германия; Галилея (1564-1642) - Италия; Гюйгенса (1629-1695) (маятниковые часы) и др.

И. Ньютон: «… если я и видел в физике что-либо дальше других, то это лишь благодаря тому, что стоял на плечах своих предшественников».

Ньютоновская механика оказалась настолько плодотворной, что у физиков в течении последующих почти 200 (двухсот) лет сложилось представление о том, что любое физическое явление можно объяснить с помощью ньютоновских законов.

III. Конец 19 в. - первая треть 20 в. - возникновение и развитие квантовой физики (квантовая механика) и теории относительности Эйнштейна (релятивистская механика). Наиболее проницательные физики понимали, что в классической физике есть слабые места ([1], с.13). В 1900 г. Макс Планк (1858-1947) ввел представление об испускании света отдельными порциями - квантами, решив задачу об излучении абсолютно черного тела.

Альберт Эйнштейн пересмотрел очевидные представления о пространстве и времени и обнаружил, что для тел, движущихся со скоростями, соизмеримыми со скоростью света в вакууме (c = 300.000 км/с), уравнения движения существенно отличаются от уравнений ньютоновской механики.

IV. Первая треть 20 в. - наше время - современная физика.

Большую роль в развитии механики сыграли такие выдающиеся ученые как Гук, Леонард Эйлер (ввел в физику аналитический метод исследований физических законов), Сади Карно, Лагранж, Лейбниц, Бернулли, Остроградский, Чебышев, Жуковский, Циолковский, Мещерский, Крылов, Софья Ковалевская, Королев, Келдыш.

Лекция 2. Понятие о материальной точке. Системы отсчета. Радиус-вектор. Векторы перемещения, скорости, ускорения. Траектория движения. Пройденный путь. Перемещение и путь при равномерном и равноускоренном движении

Что такое движение и как его описывать? На этот вопрос отвечает кинематика, описывающая движение тел. Движение -- это перемещение тела относительно других тел (изменение его положения в пространстве). Таким образом, описывая движение тела, мы всегда привязываемся к какой-то координатной системе, относительно которой тело движется 2, или к системе отсчета. Движение тела определяется движением всех его точек (маленьких кусочков тела), поэтому мы начнем с описания движения материальной точки.

Матеpиальной точкой называется тело, pазмеpами котоpого можно пpенебpечь, считая, что вся масса тела сосpедоточена в одной точке.

Прежде всего, выберем систему координат. Самая простая система -- это декартова система координат, три взаимно перпендикулярных оси x, y, z. Различают два вида координатных систем: правую и левую (pис. 1).

Рис. 1 Правая и левая декартовы системы координат.

Никаким пространственным поворотом их нельзя совместить друг с другом, как нельзя вложить правую перчатку в левую. Но если перчатку вывернуть, то последнее оказывается возможным. Так и левая система переходит в правую при изменении направления одной из осей, например оси x, на противоположное (x> -x) (pис. 2).

Рис. 2 Переход левой системы координат в правую при изменении знака одной из осей x> -x

После этого обе системы можно совместить взаимным поворотом и перемещением в пространстве. Такая операция (замена x> -x) называется зеркальным отражением. И именно поэтому левая система координат в зеркале кажется правой.

Левая система координат переходит в правую также и при изменении направления всех трех координатных осей (x> -x, y> -y, z> -z)

Рис. 3 Операция инверсии

с последующим поворотом. Такая операция (изменение знака всех трех осей) называется инверсией (см. pис. 3).

Законы природы, очевидно, должны быть записаны в форме, которая не зависит от выбора системы координат. Мы для определенности будем пользоваться правой системой. Положение точки в выбранной нами системе координат задается радиус-вектором 3 r, проекции которого на оси координат равны соответственно x, y, z.

Рис. 4 Радиус-вектор в декартовой и сфеpической системах координат

Таким образом, вектор r вполне однозначно определяется заданием трех его проекций, хотя это могут быть и другие три числа, например длина r и два угла и и ц (так называемая сферическая система координат) (pис. 4). Декартовы координаты со сферическими связаны друг с другом соотношениями

(2)

Если ввести три единичных вектора i, j, k, направленные вдоль координатных осей (единичные орты), то радиус-вектор r можно представить в виде суммы трех векторов:

r = x i+y j+z k, |i| = |j| = |k| = 1. (3)

Это следует из известного еще в школе закона сложения векторов по правилу параллелограмма (pис. 5).

Рис. 5 Разложение радиус-вектора на составляющие вдоль координатных осей

Длину вектора r можно найти, скаляpно умножив его на себя самого. Вы знаете еще со школьных времен, что скалярным произведением двух векторов A и B называется число

(4)

равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Очевидно, что если два вектора перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение радиус вектора r на себя самого равно

(5)

так как (угол равен нулю). С другой стороны,

r· r = (x i+y j+z k)· (x i+y j+z k) =

= x2i·i+ y2j·j+ z2k·k+ 2xy i·j+ (6)

+ 2xz i· k+ 2yz j· k.

Но в силу взаимной ортогональности векторов i, j и k их скалярные произведения равны нулю,

i· j = i· k = j· k = 0. (7)

В итоге мы приходим к известному результату, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций:

r2 = x2+y2+z2. (8)

Аналогичным образом может быть доказано равенство

A· B = AxBx+AyBy+AzBz. (9)

Это легко сделать, если представить каждый из векторов в виде

A = Axi+ Ayj+ Azk (10)

и аналогично для вектора B. После этого остается только их скалярно перемножить и воспользоваться равенствами (7).



Рис. 6 Траектория и перемещение материальной точки

Рассмотрим теперь движение материальной точки, траектория которой изображена на рис. 6, и определим такие важные для дальнейшего понятия, как скорость материальной точки v и ускорение a. Пусть радиус-вектор материальной точки в момент времени t1 равен r1, а в момент времени t2 равен r2. Таким образом, при движении радиус-вектор r изменяется со временем, иными словами, он является функцией времени r = r(t). Если нам известен закон этого изменения, то мы знаем, где в каждый момент времени находится материальная точка, то есть мы знаем закон ее движения. Задание функции r(t) эквивалентно заданию трех функций x(t), y(t) и z(t) -- координат материальной точки, поскольку

r(t) = x(t) i+ y(t) j+ z(t) k. (11)

Разность векторов r2 и r1

Д r12 = r2-r1 (12)

называется перемещением материальной точки. Очевидно, что это тоже вектор и он направлен из точки 1 в точку 2. Ясно, что

r1+Д r12 = r1+ (r2-r1) = r2, (13)

и вы узнаете известное еще в школе правило треугольника для сложения векторов. Отношение перемещения материальной точки Д r12 к интервалу времени

Д t12 = t2-t1,

то есть Д r12 / Д t12, тоже является вектором, причем коллинеарным вектору перемещения.

Очевидно, что если мы будем уменьшать величину интервала Д t12 (приближая t2 к t1), то соответственно будет уменьшаться и длина вектора Д r12, то есть величина перемещения. Предел отношения перемещения Д r12 к интервалу Д t12, когда последний стремится к нулю, называют производной вектора r(t) по времени t:

(14)

Этот вектор направлен по касательной к траектории материальной точки в точке t1. По определению, скорость материальной точки равна

(15)



Рис. 7 Скорость материальной точки

Это, очевидно, вектор, направленный по касательной к траектории в точке, соответствующей моменту времени t, с компонентами

v =

v = (16)

хx =

Вектор скорости частицы v(t) так же, как и радиус-вектор, является функцией времени t. Аналогичным образом можно определить вектор, характеризующий скорость изменения скорости частицы и называемый ускорением:

(17)

Если величина и направление этого вектора не изменяются со временем, то есть если

a = const, (18)

то такое движение называется равноускоренным (равнозамедленным). Для равноускоренного движения скорость материальной точки v(t) и ее радиус-вектор r(t) изменяются со временем по закону

v(t) = v(0)+at,

r(t) = (19)

где v(0) и r(0) -- соответственно скорость и радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени t = 0 (проверка дифференцированием). Траекторией точки при равноускоренном движении является, как известно, парабола 4. Частным случаем равноускоренного движения является движение с ускорением, равным нулю. Такое движение называется равномерным. Очевидно, что оно происходит по прямой.

Рассмотрим теперь вопрос, как найти путь 5, проходимый материальной точкой при ее движении. Рассмотрим произвольного вида траекторию, по которой движется материальная точка.

Рис. 8 Как найти путь?

Пусть в момент времени t1 материальная точка занимала положение на траектории, характеризуемое радиус-вектором r1, а в момент времени t2 -- радиус-вектором r2, см. pис. 8. Спрашивается, какой путь прошла материальная точка между этими двумя положениями. Перемещение материальной точки определяется вектором Д r12 = r2-r1, но длина этого вектора, очевидно, не определяет пройденный материальной точкой путь, за исключением того случая, когда траектория материальной точки между двумя положениями представляет собой прямую линию. Это подсказывает способ нахождения пути при криволинейном движении. Для этого разобьем временной интервал t2-t1 на много одинаковых интервалов очень малой продолжительности Д t, так что в каждом таком малом интервале движение практически прямолинейное (pис. 9). Число таких интервалов pавно

(20)

Изобразим векторы перемещения материальной точки Д ri (i = 1,2,... ,n) в каждом из этих интервалов времени.

Рис. 9 Способ нахождения пути при криволинейном движении.

Очевидно, что при достаточно малом Д t пройденный путь S может быть аппроксимирован суммой длин этих векторов:

(21)

По мере стремления Д t к нулю это приближение становится все лучше и лучше и в конце концов при бесконечном n обращается в точное равенство.

Разделим и домножим каждое слагаемое в этой сумме на Д t:

(22)

Как мы уже сказали, точное равенство получается в пределе Д t> 0:

(23)

Очевидно, можно поменять местами операции суммирования и предельного перехода (предел суммы равен сумме пределов) и вспомнить, что предел

(24)

равен скорости частицы v в i-том интервале. Тогда путь может быть представлен в виде суммы бесконечного числа бесконечно малых слагаемых:

(25)

Такая операция в математике называется вычислением определенного интеграла. Напомним, что существует еще и неопределенный интеграл. Так, для некоторой функции f(t)

 (26)

где dF/ dt = f(t), и функция F(t) называется первообразной по отношению к f(t). Определенный интеграл в пределах от t1 до t2 от функции f(t) вычисляется при этом по правилу:

(27)

Это разность значений первообразной на верхнем и нижнем пределах.

Таким образом, мы пришли к такому результату, что путь, пройденный частицей в интервале ее движения от t1 до t2, равен определенному интегралу по времени в этих пределах от модуля скорости частицы.

Такого же порядка скорость точки на поверхности Земли при ее вращении вокруг своей оси (? 470 м/с).

2Например, сидя в вагоне едущего поезда, мы не движемся относительно вагона, но вместе с ним движемся относительно Земли и т.д.

3В школьном курсе физики вектор -- это физическая величина, характеризуемая своей длиной и направлением в пространстве. Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма.

4В частных случаях эта парабола может вырождаться в отрезок прямой.

5 То есть длину траектории частицы.

Лекция 3. Движение точки по окружности. Векторы угловой скорости и углового ускорения

механика материя равноускоренный физика

При равноускоренном движении частица движется все время в одной плоскости, образуемой начальным вектором скорости v(0) и постоянным ускорением a (докажите это). Однако очевидно, что далеко не всякое плоское движение является равноускоренным. Пример плоского неравноускоренного движения, известный вам из школьного курса физики, -- это равномерное движение по окружности. Давайте рассмотрим его здесь. Поскольку это движение плоское, выберем в качестве этой плоскости, плоскость XY. Начало координат выберем в центре окружности (pис. 1).

Рис. 10 Равномерное движение по окружности

Координаты частицы выразим через величину радиуса окружности r и угол б:

(1)

Поскольку движение происходит по окружности, r от времени не зависит. Функцией времени является только угол б (t). Производная от угла по времени называется угловой скоростью вращения щ:

(2)

При равномерном вращении по окружности щ = const и можно проинтегрировать это уравнение. В результате

б = щ t + const. (3)

Константа интегрирования выбирается из условия б (0) = 0. Таким образом,

(4)

Это полностью определяет движение. Так, скорость материальной точки определяется производными по времени от координат:

хx =

хy = (5)

Скалярное произведение pавно

r· v = xхx+yхy = rcosщ t (-щ rsinщ t)+ rsinщ t (щ rcosщ t) = 0, (6)

что означает перпендикулярность векторов r и v, то есть скорость действительно направлена по касательной к окружности. Абсолютная величина скорости равна

х = |v| =

= щ r = const, (7)

она не зависит от времени, движение действительно равномерное (но по окружности).

Дифференцируя по времени скорость, мы можем определить ускорение:

ax =

ay = (8)

откуда следует, что ускорение зависит от времени, то есть движение не является равноускоренным. Абсолютная величина ускорения (модуль), тем не менее, остается постоянной:

(9)

или, так как щ r = х, то мы получаем

(10)

-- известную из школьного курса физики формулу для центростремительного ускорения. Почему центростремительного? Да потому, что вектор a направлен к центру. В этом нетрудно убедиться, подсчитав скалярное произведение:

a· r = axx + ayy = -(щ2rcosщ t) rcosщ t +

+ (-щ2rsinщ t) rsinщ t = -щ2r2. (11)

С другой стороны,

(12)

Из сравнения двух этих выражений получаем, что . Таким образом, вектор ускорения антипараллелен вектору r, то есть направлен к центру. В результате картина направлений векторов выглядит, как показано на рис. 2.

Рис. 12 Радиус-вектор, скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности

До сих пор при рассмотрении вращательного движения мы оперировали проекциями векторов на оси координат. Между тем, часто бывает полезно иметь соотношения, не зависящие от выбора системы координат, или, как говорят, записанные в векторной форме. Примером таких соотношений является выражение для координаты и скорости частицы при равноускоренном движении (см. лекцию 2).

При рассмотрении вращательного движения мы ввели угловую скорость вращения щ как производную по времени от угла поворота б: щ = dб / dt. Давайте теперь зададимся вопросом, какой величиной, скалярной или векторной, является угол поворота. Ведь когда говорят о повороте, нужно указывать не только величину угла поворота, но и то, вокруг какой оси происходит вращение (поворот) и в какую сторону (по часовой стрелке или против). В разобранном выше примере осью вращения была ось z и, поскольку мы использовали правую систему координат, вращение происходило по часовой стрелке (если смотреть в положительном направлении вдоль оси z) (pис. 3).

Рис. 13 Направление вращения.

С этой точки зрения угол поворота должен быть величиной векторной. Однако, как мы убедимся на следующей лекции, произвольный угол поворота вектором, вообще говоpя, не является. Понятие вектора применимо лишь по отношению к бесконечно малым углам поворота.

Поэтому, говоря о повороте на какой-то малый угол Дб, можно приближенно говорить о векторе Дб, величина которого равна углу поворота, а направление показывает направление оси вращения так, чтобы поворот происходил по часовой стрелке, или в соответствии с правилом буравчика. В нашем конкретном случае вектор Дб коллинеарен с направлением оси z. Зададимся вопросом, как связано перемещение материальной точки Д r при повороте ее радиус-вектора r на малый угол Дб (pис. 4).

Рис. 14 Связь вектора перемещения с углом поворота.

На этот вопрос легко ответить, если речь идет о бесконечно малых поворотах dб. Тогда бесконечно малым является и перемещение dr. Его величина (равная длине хорды) совпадает теперь с длиной дуги, то есть

|dr| = rdб , (13)

а по направлению вектор dr совпадает с касательной, то есть перпендикулярен r. В результате мы имеем три взаимно перпендикулярные вектора r, dr и dб, образующие правую тройку (pис. 5),



Рис. 15 Взаимная ориентация трех векторов.

Причем

|dr| = |dб| |r|.

Те, кто помнят из школьного курса о векторном произведении векторов, без труда сообразят, что искомое соотношение можно записать в виде векторного равенства

dr = [dбЧ r]. (14)

Действительно, по определению, векторным произведением двух векторов [AЧ B] называется вектор

C = [AЧ B], (15)

который направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат (или которую образуют) два вектора A и B, в сторону от этой плоскости, соответствующую правилу буравчика (см. рис. 6).



Рис. 16 Оpиентация тpех вектоpов в векторном произведении.

Величина же вектора C равна произведению модулей векторов на синус угла между ними:

(16)

В нашем случае угол между векторами dб и r равен 90°, так что синус равен единице. А поскольку, как мы уже писали, |dr| = r dб, то мы убеждаемся в справедливости векторного соотношения dr = [dбЧ r].

Разделив обе стороны этого равенства на бесконечно малый временной интервал dt, в течение которого произошло изменение вектора r на dr, мы получим

(17)

Но величина, стоящая в левой части равенства, есть не что иное, как скорость частицы v, а производная

(18)

называется вектором угловой скорости. Ее мы вначале ввели по абсолютной величине, а теперь показали, что имеет смысл говорить об угловой скорости вращения как о векторе. Ее величина определяет величину угловой скорости (скорость вращения, или скорость изменения угла), а направление параллельно оси вращения, причем так, что имеет место правило буравчика. Итак, мы получили, что

v = [щЧ r]. (19)

Оpиентация этих тpех вектоpов показана на pис. 7.

Рис. 17 Ориентация радиус-вектора, вектора скорости и угловой скорости.

Чтобы получить ускорение a, надо от обеих частей взять производную по времени. Если щ постоянно (как по величине, так и по направлению) 1, то

(20)

то есть ускорение оказывается перпендикулярным угловой скорости вращения щ и скорости движения v. А поскольку последняя направлена по касательной, то, значит, ускорение направлено либо параллельно r, либо антипараллельно. Как именно, можно выяснить, подставив в вышеприведенную формулу значение v: 2

a = [щЧ v] = [щЧ [щЧ r]] = щ (щ· r)- r(щ· щ) = щ(щ· r)- щ2r. (21)

Поскольку в рассматриваемом нами примере начало кооpдинат выбpано в центpе окpужности, то угловая скорость щ и радиус-вектор r перпендикулярны друг другу а, следовательно, их скалярное произведение равно нулю (вообще говоря, как мы сейчас увидим, далеко не всегда ) и мы получаем

a = -щ2r, (22)

то есть антипараллельность векторов a и r (вспомните термин «центростремительное ускорение»). По величине они таковы: |a| = щ2|r|, то есть имеем уже знакомый результат.

Вы можете спросить, зачем нам понадобилось иметь дело с векторным и с двойным векторным произведением, если мы уже разобрали движение по окружности, дифференцируя по времени проекции материальной точки на оси координат (причем получили результаты, известные со школьной скамьи). Стоит ли игра свеч? Да, стоит, во-первых, потому, что мы записали законы движения в инвариантной, как говорят, форме, не зависящей от выбора конкретной системы координат. Во-вторых, записанные нами соотношения справедливы и в более общем случае, когда мы рассматриваем вращение системы материальных точек или твердого тела как целого (pис. 8).



Рис. 18 Вращение твердого тела.

Имея в виду эту картину, нетрудно показать, что здесь, хотя щ и r не перпендикулярны друг другу, тем не менее, выполняется прежнее соотношение для скорости движения некоторой выбранной нами точки с радиус-вектором r:

v = [щЧ r]. (23)

Действительно, как следует из рис. 8, точка движется по окружности радиуса с = rsinв со скоростью

х = щс = щ r sinв.

Но поскольку в -- это угол между векторами щ и r, мы убеждаемся в справедливости этой формулы.

Теперь нам понятно происхождение дополнительного слагаемого в центростремительном ускорении (см. pис. 9):

a = щ(щ· r)- щ2r. (24)



Рис. 19 Центростремительное ускорение.

Таким образом, ускорение a на самом деле направлено не к центру, а к оси вpащения, поэтому его можно было бы называть осестремительным. Но, pазумеется, дело не в названиях.

В пользу соотношения v = [щЧ r] говорит и то, что оно справедливо в более общем случае, когда вектор угловой скорости щ не является постоянным и зависит от времени: щ (t). Тогда формула для ускорения изменится -- в ней появится дополнительное слагаемое:

a =

= [вЧ r]+ [щЧ v]. (25)

Величина в = dщ / dt

называется угловым ускорением. Оно появляется, если меняется по величине угловая скорость (замедляется, например, вращение вокруг фиксированной оси) либо поворачивается с течением времени сама ось вращения (либо и то и другое).



Рис. 20 Взаимное расположение единичных ортов.

В заключение для справок приведем выражение для декартовых компонент векторного призведения

C = [AЧ B]:

Cx =

Cy = (26)

Cz =

Здесь для запоминания следует использовать указанные выше циклические перестановки. Эти соотношения легко доказываются, если записать каждый вектор в виде

A = Axi+Ayj+Azk (27)

и, аналогично, вектор B. Затем следует учесть, что векторные призведения единичных ортов i, j и k между собой равны соответственно (см. pис. 10)

[iЧ j ] = k , [kЧ i ] = j , [jЧ k ] = i

и что при изменении порядка сомножителей изменяется знак векторного произведения:

[jЧ i] = - [iЧ j] и т. д. (29)

Далее нужно произвести векторное умножение

(30)

воспользовавшись приведенными выше правилами.

Лекция 4. Динамика

Динамика - это раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В основе динамики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные в 1687 г. Они явились обобщением работ его предшественников и современников: Кеплера, Гюйгенса, Гука и др.

1. Первый закон Ньютона (закон инерции)

Тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.

Такое тело называют свободным, а его движение - свободным движением или движением по инерции.

Свободных тел, строго говоря, не существует. Они являются физическими абстракциями.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называют инерцией тела.

Количественной мерой инерции тела является его масса. Единицей массы в СИ является килограмм (кг). Обычно массу тела определяют, сравнивая ее с массой эталонных тел (гирь) путем взвешивания на рычажных весах.

Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие неподвижно на гладком полу каюты движущегося равномерно и прямолинейно корабля, могут прийти в движение без всякого воздействия на них со стороны других тел, если корабль начнет изменять курс или скорость хода, т.е. когда корабль начнет двигаться ускоренно. Без указания системы отсчета закон инерции теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета.

Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует, по крайней мере, одна инерциальная система отсчета.

Всякая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета равномерно и прямолинейно, будет также инерциальной системой отсчета.

Понятие инерциальной системы отсчета является научной абстракцией. С очень высокой точностью инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему отсчета с началом в центре масс Солнца и осями, направленными на три звезды (такая инерциальная система отсчета используется в космонавтике).

Лабораторная (земная) система отсчета неинерциальная главным образом из - за суточного вращения Земли. Однако, это вращение медленное

рад/с

и для решения большинства технических задач инерциальной системой отсчета можно считать систему, жестко связанную с Землей.

Закон инерции отнюдь не очевиден. До Галилея считали, что воздействие обуславливает не изменение скорости (т.е. ускорение), а саму скорость.

2. Второй закон Ньютона

Для того, чтобы его сформулировать введем понятие силы.

Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел.

Сила полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и точка приложения.

Механическое воздействие может осуществляться как при непосредственном контакте тел (например, удар, трение, давление тел друг на друга и т.п.), так и между удаленными телами посредством гравитационных и электромагнитных полей.

Для материальной точки справедливо следующее утверждение: ускорение, вызываемое силой, обратно пропорционально массе, т.е.

. (1)

Это уравнение называется уравнением движения материальной точки. Оно будет справедливо также и для поступательно движущихся тел, поскольку в этом случае ускорения всех точек тела будут одинаковыми, равными .

В классической механике масса материальной точки не зависит от скорости, а ускорение

,

где - скорость. Поэтому уравнение (1) можно переписать в другой форме

(2)

или , (3)

где (4)

- импульс материальной точки.

В теоретической механике (а раньше и в физике), вектор называется количеством движения. Уравнение, записанное в форме (3), утверждает, что скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это утверждение называют вторым законом Ньютона, а соответствующее ему уравнение (3) - уравнением движения.

Уравнение (3) дает также количественное определение силы:

.

Второй закон Ньютона, записанный в форме (3), выражает принцип причинности в классической механике, т.к. устанавливает однозначную связь между изменением с течением времени состояния движения и положения материальной точки и действующей на нее силой. Этот закон позволяет, зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в начальный момент времени) и действующую на нее силу, рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

Из уравнений (2) и (3) следует, что при (т.е. в отсутствие воздействия на данное тело со стороны других тел) ускорение , т.е. тело, движется равномерно и прямолинейно (или, в частном случае, покоится).

Таким образом, 1-й закон Ньютона, казалось бы, входит во второй закон как его частный случай. Несмотря на это, 1-й закон формулируется независимо от второго, поскольку в нем содержится утверждение о существовании в природе инерциальных систем отсчета.

Из (1) следует, что . В СИ за единицу силы принимается Ньютон (Н): 1Н = 1кг м/с2.

3. Третий закон Ньютона

Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой ,то и тело 1 действует на тело 2 с силой .

Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки:

. (5)

Таким образом, силы всегда попарно возникают, они приложены к разным телам, и поэтому не могут уравновесить друг друга.

4. Силы

Все силы, встречающиеся в природе, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, слабым и сильным взаимодействиям.

Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные - на расстояниях порядка 10-15 м, слабые - на расстояниях порядка 10-18 м.

В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.

В механике различают гравитационные силы, упругие силы и силы трения. Упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.

4.1 Сила гравитации, сила тяжести и вес

Сила гравитационного взаимодействия двух материальных точек

.

Здесь r - расстояние между точками, m1 и т2 - их массы, G - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной, . Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g, g = 9,81м/с2.

Отсюда вытекает - на всякое тело действует сила, которую называют силой тяжести (рис. 1, 2).

Вес тела - это сила , с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле (рис. 1, 2).

4.2 Упругие силы

Они возникают при деформации тела и направлены в сторону обратную смещению (рис. 3). Для малых деформаций справедливо (закон Гука):

, (7)

где k - коэффициент пропорциональности.

Для пружины он называется коэффициентом жесткости, измеряется в Н/м.

4.3 Силы трения

Они появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.

Трение, возникающее, при относительном перемещении тел называется внешним трением; если при этом нет смазки, то трение называют сухим

,

т.е. сила трения пропорциональна величине силы нормального давления , - коэффициент трения, безразмерная величина. Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, а в случае скольжения - еще и от скорости тела.

Трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) называется внутренним трением. Для него при небольших скоростях

, (9)

где r - коэффициент сопротивления, имеющий размерность (кг/с).

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой.

Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние.

Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой.

Для замкнутой системы остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: импульс, энергия и момент импульса.

Соответственно формулируются три закона сохранения.

1. Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Обозначим через силу, с которой материальная точка k действует на i -ю материальную точку (т.е. - это внутренняя сила). Обозначим через , результирующую всех внешних сил, действующих на i-тую материальную точку. Тогда, согласно второму закону Ньютона

(1)

Сложим все эти уравнения

(2)

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равна нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы всегда равна нулю, т.е.

. (3)

С учетом этого из (2) получим . (4)

Введем понятие импульса системы . (5)

С учетом этого из (4) находим , (6)

где ,

т.е. производная по времени импульса системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если , то соответственно и, следовательно,

. (7)

Итак, если геометрическая сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, т.е. не изменяется со временем. В частности, это имеет место, когда система замкнута: .

Импульс замкнутой системы сохраняется.

Это утверждение представляет закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы, не знающий никаких исключений. В таком широком понимании закон сохранения импульса не может рассматриваться как следствие законов Ньютона.

Оказывается, в основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства: т.е. одинаковость свойств пространства во всех его точках.

Однородность пространства означает, что если замкнутую систему перенести из одного места в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

2. Центр масс и закон его движения

В динамике широко используется понятие центра масс системы материальных то чек, который обычно обозначают буквой С. Положение центра масс определяется радиус-вектором

.(8)

Здесь mi - масса i-той материальной точки, - радиус-вектор, задающий положение этой точки,

- суммарная масса системы.

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра масс

, (9)

где - импульс системы. Согласно (9) импульс системы

. (10)

Подставив (10) в (6), получим уравнение движения центра масс

. (11)

Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы и, следовательно, [см. (11)]

, (12)

это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Эта система инерциальная.

3. Реактивное движение. Движение тел с переменной массой

Имеется много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Например, полет ракет (и работа реактивных двигателей) основаны на том, что в результате выбрасывания из сопла газов, ракете сообщается такой же импульс, который уносят с собой газы. Впервые мысль о возможности такого применения реактивных двигателей была высказана Кибальчичем в 1881 г. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Пусть m(t) - масса ракеты в произвольный момент времени t, - ее скорость в тот же момент времени, а - скорость убыли ее массы [ = (dm/dt)] за счет истечения газов. Импульс ракеты в этот момент будет . В следующий момент времени (t+dt) ракета будет иметь массу , а ее скорость получит приращение и будет равна . Отделившиеся от ракеты газы будут иметь относительно Земли скорость . Тогда импульс ракеты в момент времени (t+dt) равен: , импульс газов . Изменение импульса всей системы (ракета + ее газы) за время dt будет равно:

(13)

В уравнении (13), как членом второго порядка малости можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса за время dt равна внешней силе, действующей на это тело за это время, т. е.: . С учетом (13) находим

(14)

или , (15)

где - скорость истечения газов относительно ракеты. Уравнение (15) называют уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой. Если , то уравнение (15) переходит в уравнение вида:

, (16)

решая которое можно получить:

, (17)

где т0 - начальная стартовая масса ракеты (когда ).

Максимальная скорость

, (18)

где ттопл - масса топлива и окислителя. В действительности, скорость будет меньше. Формула (17) называется Формулой Ц и о л к о в с к о г о.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала

Пусть О - какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке A приложения силы (рис. 1).

Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу :

, , (1)

- угол между векторами и ; направление выбирается так, чтобы последовательность векторов , , образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора , то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от к по наикратчайшему пути.

Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки

. (2)

Отметим частный случай двух равных параллельных сил и , направленных в противоположные стороны.

Такие силы образуют так называемую пару сил. В этом случае

,

т. е. момент пары сил равен моменту одной из этих сил относительно точки приложения другой. Очевидно, что момент пары сил не зависит от выбора точки О.

В частности, если равные и противоположно направленные силы и действуют вдоль одной и той же прямой, то они коллинеарны с вектором , и поэтому момент пары таких сил равен нулю.

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на импульс :

. (3)

Для системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

(4)

2. Уравнение моментов

Предположим, что точка О неподвижна. В случае одной материальной точки, дифференцируя (3), получаем

.

При неподвижной точке О вектор , равный , параллелен и поэтому . Кроме того

.

Таким образом . (5)

Это уравнение моментов для одной материальной точки. Распространим его на систему материальных точек, для чего запишем уравнение (5) для каждой материальной точки механической системы, понимая под М момент всех действующих на нее сил, как внутренних, так и внешних. Затем сложим все эти уравнения. Внутренние силы входят в систему попарно так, что

где - сила воздействия k-й материальной точки на i-ю. Кроме того, эти силы и , действуют вдоль одной и той же прямой. Момент таких двух сил, а значит и моменты всех внутренних сил равны нулю. В результате опять получается уравнение моментов типа (5) только для системы материальных точек, в котором определяется выражением (4), а - выражением (2) для внешних сил, т. е.

. (6)

Моментом силы механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента силы системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси (рис. 2). Соответственно, моментом импульса относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса относительно любой точки на данной оси.

Можно доказать, что выбор точки на оси влияет на значения моментов импульса и относительно точки, но не влияет на значения соответствующих проекций моментов на эту ось.

Если мы выбираем прямоугольную систему координат с началом, совпадающим с полюсом, то имеем:

(7)

3. Закон сохранения момента импульса

Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), то и, следовательно, согласно уравнению (6) вектор не изменяется со временем, т.е. . Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям.

Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот не был осуществлен.

Наряду с законом сохранения импульса и энергии закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики. Такой расширенный закон сохранения момента импульса уже не является теоремой механики, а должен рассматриваться как самостоятельный общефизический принцип, являющийся обобщением опытных фактов.

4. Движение в поле центральных сил

Если на материальную точку действует сила вида

, (8)

то говорят, что материальная точка находится в поле центральных сил, если начало координат совпадает с центром сил.

Примерами материальных точек в таком поле являются искусственные спутники Земли.

Очевидно, что момент центральных сил относительно центра сил 0 равен нулю. Следовательно, при движении в центральном поле момент импульса материальной точки остается постоянным.

Вектор всегда ортогонален плоскости векторов и . Поэтому постоянство направления свидетельствует о том, что движение материальной точки в поле центральных сил происходит в одной плоскости.

Материальная точка, движущаяся в поле центральных сил, представляет собой консервативную систему. Поэтому при движении материальной точки сохраняется и полная механическая энергия точки, т. е.

. (9)

Для гравитационного центрального поля большой массы М имеем

. (10)

В этом случае траекторией материальной точки является эллипс, один из фокусов которого совпадает с центром силы, т. е. с положением центра массы М. При E = 0 траекторией частицы является парабола, а при Е > О - гипербола.

Лекция 5. Принцип относительности

1. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея

Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедлив 1- й закон Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Галилей установил: во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму.

В этом заключается суть принципа относительности Галилея.

Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью , вдоль направления OX, рис. 1.

Одну из них обозначим буквой K и будем считать неподвижной, другую, которая движется со скоростью обозначим . Предположим, что в начальный момент времени t=0 начало О совпадает с , Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в положении М, тогда

,

Причем

.

Таким образом,

. (1)

Запишем (1) в проекциях

. (2)

Формулы обратного преобразования имеют вид

(3)

. (4)

Формулы (2) или (4) носят название преобразований координат Галилея. В них время считается абсолютным и поэтому не преобразуется.

Соотношения (1) - (4) справедливы лишь в рамках классической механики, когда V<<c.

Дифференцируя (1) по времени t, получим

или , (5)

где - скорость точки М в системе отсчета K, а - в системе K'.

Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей или правило сложения скоростей в классической механике, (она остается справедливой и в случае, когда непостоянна).

Дифференцируя (5) в предположении , получим

или . (6)

Таким образом, ускорение в обеих инерциальных системах отсчета одно и то же, или говорят: ускорение инвариантно (неизменно, независимо) относительно преобразования Галилея.

Следовательно, уравнение движения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Таким образом:

уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это утверждение носит название принципа относительности Галилея. Из него следует, что никакими механическими опытами, проведенными внутри данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли система в покое или движется равномерно и прямолинейно.

2. Постулаты частной теории относительности

Исторически именно закон сложения скоростей (5) показал ограниченность галилеевых представлений о свойствах пространства и времени.

Действительно, согласно этому закону по отношению к системе отсчета, догоняющей свет, скорость света должна быть меньше, чем по отношению к покоящейся системе, т. е. должна быть равна (c - V).

...