Теоретична механіка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА

АРХІТЕКТУРИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ТЕОРЕТИЧНОЇ МЕХАНІКИ

О. Г. Приймаков

Харків 2009

Розділ 1. Статика

Статика - розділ теор. мех., у якому розглянуто. завдання на рівновагу систем сил.

Сила - міра механічної взаємодії тел. Сила векторна величина, характеризується трьома елементами: числовим значенням (модулем), напрямком і точкою прикладання. Ед. виміру - ньютон, 1Н = 1-----, ІкН (кілоньютон)= 10³Н.

Пряма, по якій спрямована сила, називають. лінією дії сили.

Аксіоми (закони) статики: 1) аксіома інерції: Під дією взаємно уравновешивающихся сил матеріальна точка (тіло) перебуває в стані спокою або рухається прямолінійно й рівномірно. 2) аксіома рівноваги двох сил: Дві сили, прикладені до абсолютно твердого тіла, будуть урівноважені тоді й тільки тоді, коли вони рівні по модулю, діють по одній прямій і спрямовані в протилежні сторони. 3) аксіома приєднання й виключення уравновешивающихся сил: Дія системи сил на абс. тверде тіло не зміниться, якщо до неї додати або відняти врівноважену систему сил. Наслідок: Дія сили на абс. тв. тіло не зміниться, якщо перенести точку прикладання сили уздовж її лінії дії.

Т. є. сила, прикладена до абс. тв. Тіла - ковзний вектор. 4) аксіома паралелограма сил: Рівнодіюча двох пересічних сил прикладена в точці їхнього перетинання й зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах.

R = F₁₊F₂;

R = д/Fj² + F₂ + 2FjF₂ cos a .

5) аксіома рівності дії й протидії (3-й закон Ньютона):

Усякій дії відповідає рівне й протилежно спрямовану протидію. 6) принцип тужавіння: Рівновага сил, прикладених до нетвердого тіла, не порушується при його затвердінні. Тіло називається вільним, якщо його переміщення нічим не обмежені. Тіло, переміщення якого обмежено іншими тілами, називають. невільним. Тіла, що обмежують переміщення даного тіла, називають. в'язями. Сили, з якими в'язі діють на дане тіло, називають. реакціями в'язів. Принцип звільнення від в'язів: Усяке невільне тіло можна

розглядати як вільне, якщо дія в язів замінити їхніми реакціями, прикладеними до тіла. Основні типи в'язів: а) опора на ідеально гладку поверхню - реакція поверхні спрямована по нормалі до неї, тобто перпендикулярно дотичній - нормальна реакція; б) одна з дотичних поверхонь є точкою (кут), реакція спрямована по нормалі до іншої поверхні;

в) нитка - реакція спрямована уздовж нитки до точки підвісу; г) циліндричний шарнір (шарнірно-нерухома опора) - реакція може мати будь-який напрямок у площині. При рішенні завдань заміняється двома взаємно перпендикулярними складовими; д) циліндрична шарнірно-рухлива опора (шарнір на ковзанках) - реакція спрямована

перпендикулярно опорної площини; є) сферичний (кульовий) шарнір - реакція може мати будь-який напрямок у просторі. При рішенні завдань заміняється трьома взаємно перпендикулярними складовими; ж) невагомий стрижень (обов'язково невагомий) - реакція спрямована уздовж стрижня; з) "глуха" закладення (умурована балка) - виникає довільно спрямована реакція - сила й реактивний момент, також невідомий по напрямку. Реакція розкладається на дві складові.

Система збіжних сил. Збіжними називаються сили, лінії дії яких перетинаються в одній точці. Рівнодіюча збіжних сил дорівнює геометричній сумі цих сил і прикладена

в точці їхнього перетинання R = ^TF;. Рівнодіюча може бути знайдена геометричним.

і=1

способом - побудовою силового (векторного) багатокутника або аналітичним. способом, проектуючи сили на осі координат. Проекції сили на осі координат (для плоскої системи.):



r_x=r-cosct; r_y=r-cosp=r-sins;

проекція >0, якщо напрямок складової сили збігається з направл. осі.

Модуль сили: F = JF_X + F² ; напрямні косинуси:

F F

cos a = --; cos p = --; розкладання сили на складові:

F F

F = F_x * і + F * j, де і, j - орт (одиничний вектор) відповідної осі. Для просторової системи: F = F_x * і + F * j + F_z * k,

F_x=Fcosa; F_y=FcosP; F_z=Fcosy; F = ^F_x² + F_y² + F² ;

I F* о ^Fy fH

cosa = --^icosp = -^-;cosy = --.

F F F

Проекщї рівнодіючої системи збіжних сил на координатні осі дорівнює алгебраїчним сумам проекцій цих сил на відповідні осі:

' Rx=ZF,_x; R_y=ZF_iy; R_z=ZF_iz; R = ^R_X+R²+R² .

Умови рівноваги системи. збіжних сил: геометричне:^^ = 0

аналітичні: ZFj_x=0; ZFi_v=0; ZFj_Z=0. Теорема про три непаралельні сили: Якщо під дією трьох сил тіло перебуває в рівновазі й лінії дії двох сил перетинаються, то всі сили лежать в одній площині і їхні лінії дії перетинаються в одній точці.

Теорія пар сил. Додавання двох паралельних сил: рівнодійна двох паралельних сил Fi і F2

одного напрямки має такий же напрямок, її модуль дорівнює сумі модулів сил, що складають, а точка прикладання ділить відрізок між точками прикладання сил на частини обернено пропорційним модулям сил: R=f1 + f2; AC/BP=f2/f1. Рівнодіюча двох протилежно

спрямованих паральних сил має напрямок сили більшої по модулі и модуль, рівний різниці модулів сил.

Система двох паралельних сил, рівних по модулю й спрямованих у різні сторони, називають. парою сил. Найкоротша відстань між лініями дії цих сил називають. плечем пари "h". Дії пари сил характеризується її моментом. Момент пари сил М = F-h - добуток модуля однієї із сил пари на її плече.

Момент пари сил М - вектор, спрямований перпендикулярно площини сил, так, що, якщо дивитися йому назустріч, те бачимо обертання пари проти ходу часу. стрілки. М>0, якщо проти час. стрілки., М<0 - по час. стрілці (на рис М>0).

Теореми про пари. 1) Дві пари, що лежать в одній площині, можна замінити однією парою, що лежить у тій же площині, з моментом, рівним сумі моментів даних двох

пар. М = Mj + М₂. 2) Дві пари, що мають геометрично рівні моменти, еквіваленти. 3)

Не порушуючи стану твердого тіла, пари сил можна переносити в площині її дії. Т. є. момент пари сил є вільним вектором. 4) Система декількох пар сил еквівалента одній парі, момент якої дорівнює векторній сумі моментів даних пар. Т. є. система пар приводиться до однієї пари, момент якої дорівнює сумі моментів всіх пар. Умова

рівноваги пари сил: ^ М; =0 - геометрична сума їхніх моментів дорівнює 0. Пари сил, розташовані в одній площині, взаємно врівноважується, якщо алгебраїчна сума їхніх моментів ХМі=0.

Момент сили щодо точки - вектор, чисельно дорівнює добутку модуля сили на плече й спрямований перпендикулярно площини, що містить силу й точку, у таку сторону,

щоб дивлячись йому назустріч, бачити силу прагнучої повернутися проти ходу час. стрілки. Плече "h"- найкоротша відстань від точки до лінії дії сили. M₀(F) = R x F - момент сили дорівнює

векторному добутку вектора R на вектор F. Модуль векторного добутку: M₀(F) =R-F-sina= F-h. Для плоскої системи. сил звичайно

знаходять не вектор моменту, а тільки його модуль: М₀ (F) =

±Fh, >0 - проти час. стр.; <0 - по час. стр. Властивості моменту сили: 1) момент сили не змінюється при переносі

точки прикладання сили уздовж її лінії дії; 2) момент сили відносно точки =0 тільки тоді, коли сила =0 або коли лінія дії сили проходить через точку (тобто плече =0). Якщо x,y,z - координати точки прикладання сили, F_x, F_y, F_z - проекції сили на осі координат і точка 0 - початок координат, то

і J k

M₀(F) = RxF=x у z =(yF_z - zF_y) і +(zF_x - xF_z) j +(xF_y - yF_x) k , звідки проекції

F F F

^xx ^xy z

моменту сили на осі координат.: Mox(F )=yF_z - zF_y; Moy(F )=zF_x - xF_z; Mq_z(

F )=xF_y - yFx.

Головний вектор - векторна сума всіх сил, прикладених до тіла. Головний момент щодо центра - векторна сума моментів всіх сил, прикладених до тіла щодо того ж центра.

Теорема (лема) про паралельний перенос сили: сила прикладена в якій -

небуть точці твердь, тіла, еквівалента такій же сига, прикладеної в кожній іншій точці цього тіла, і пари сил, момент якого дорівнює моменту даної сили щодо нової точки прикладання.

Плоска система сил - система сил, розташованих в одній площині. Система сил приводиться до однієї сили - головному вектору й до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту. Момент пари сил спрямований перпендикулярно до площини, у якій лежать сили. У плоских системах немає необхідності використати векторне подання моменту. Теорема Вариньона - якщо плоска система сил приводиться до рівнодіючої, те її момент щодо якої-небудь точки дорівнює алгебраїчної (тобто з урахуванням знака) сумі моментів всіх сил относительно. тієї ж крапки.

Умови рівноваги пл. сист. сил: векторне: $] F_k = 0; J]M₀(F_k) = 0. аналітичних: |ІХ=0; ZF_ky=0; ZM_o(F_k)^a6oXM_A(F_k) = 0;ЈM_B(F_k) = 0;XM_c(F_k) = 0 де А,В,3 - точки, що не лежать на одній прямій, або ^M_A(F_k) = 0;J]M_B(F_k) = 0;jF_kx =0, вісь "х" не перпендикулярна відрізку АВ.

Рівновага тіл при наявності тертя. Закон Кулона (закон Амоніта - Кулона): максимальна сила зчеплення пропорційна нормальному тиску тіла на площину

F_c™^ax = f_сц * N , f_cu - коефіцієнт зчеплення (залежить від матеріалу, стану поверхонь,

визначається зксперно). Напрямок сили зчеплення протилежний напрямку того руху, що виник б при відсутності зчеплення. При ковзанні тіла по шорсткуватій

поверхні до нього прикладена сила тертя ковзання. її напрямок протилежно швидкості тіла F_Tp = f * N , f - коефіцієнт тертя ковзання

(визначається досвідченим шляхом). f<f_cil. Реакція шорсткуватої (реальної) поверхні у відмінності від ідеально гладкої має дві складові: нормальну реакцію й силу зчеплення (або силу тертя при русі). Кут ф_сц-

у гол зчеплення (ф_тр - кут тертя) tg(p_cu=i_cu (tg(p_Tp=i). Конус із вершиною в крапці торкання тіл, що утворить який становить кут зчеплення (кут тертя) з нормаллю до

поверхонь тіла наз. конусом зчеплення (конус тертя). Для того щоб тіло почало рух, необхідно (і досить), щоб рівнодіюча активних сил перебувала поза конусом тертя. Тертя катання - опір, що виникає при коченні одного тіла по поверхні іншого. Причина його появи в деформації котка й площини в точці їхнього зіткнення й зсуву нормальної реакції убік можливого руху. М_тр= fk - момент тертя катання, f_k - коефіцієнт тертя катання; має розмірність довжини.

Пространственна система сил. Момент сили щодо осі - скалярна величина, рівна моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі, узятому щодо крапки перетинання осі із площиною. Момент >0, якщо дивлячись назустріч осі, ми бачимо поворот, що прагне зробити сила спрямована проти час. стр.

|M_z(F) = M_z(F_xy) = M₀(F_xy) = ±F^h^

На рис. М>0. Момент сили щодо осі дорівнює 0:1) якщо сила паралельна осі (Fxy=0), 2) якщо лінія дії сили перетинає вісь (h=0); тобто якщо вісь і сила лежать в одній площині. Аналітичні вираження моментів сили щодо осей координат:

M_x(F)=yF_z-zF_y; M_y(F )=zF_x-xF_z; M_z( F )=xF_y - yF_x.

Приведення просторової системи сил до даного центра вирішується за допомогою теореми про паралельний перенос сили. Будь-яка система сил, що діє на абс. тв. тіло, при приведенні до довільно взятого центра О заміняється однією силою R, рівної головному вектору системи й прикладеної в центрі приведення ПРО, і однією парою з моментом Мо, рівним головному моменту системи щодо центра О (головний вектор - векторна сума всіх сил, прикладених до тіла; головний момент щодо центра - векторна сума моментів всіх сил, прикладених до тіла щодо того ж центра). Статичні інваріанти пространство. систем. сил - такі характеристики цієї системи, які залишаються незмінними при зміні центра приведення. 1-ий інваріант -

головний вектор (квадрат модуля головного вектора): Іі= F_Q = F_x +F_y +F_Z ; 2-ий інваріант - скалярний добуток головного вектора на головний момент:

І2= F₀ * M₀=F_X-M_x+F_y-M_y+F_z-M_z.

При зміні центра приведення проекція головного моменту на напрямок головного вектора М не

__* M₀-F₀ I_{2 Л}

змінюється М = = --j= . Сукупність сили F₀ й

пари сил, з моментом М , розташованої в площині перпендикулярної лінії дії цієї сили, називають. динам ой (силовим гвинтом). Система приводиться до динами, якщо другий статичний інваріант не дорівнює 0. Пряма,

уздовж якого спрямовані F₀ й М , називається центральною віссю системи сил.

Центральна вісь системи сил - геометричне місце точок простору, щодо яких головні моменти заданої системи сил мають найменший модуль M_mi_n=M і спрямовані уздовж цієї осі. Якщо головний вектор F₀ = F_xi + F_y j + F_zk і головний. момент

М₀ = М_0хі +Моу j ч-М^к, то рівняння центральної осі:

|^мох ~(У^р₂ ~^zFy) ₌ ^Moy ~(zF_x ~^xFz) ~ ^MOz ~(^xFy -yF_x) 1

F F F,

^xx ^x у ^Az

Випадки приведення просторової системи сил:

1	I2=F0-M0 І2*0	F0	M0	Випадок приведення
		F0*0	M0*0	Динама
2	І2=0	F0^0	Mo^ 0; M0= 0	Рівнодіюча
3	І2=0	Fo-0	M0*0
4	І2=0	F0=0	M0=0	0

Теорема Вариньона (теорема про момент рівнодіючої сили): момент рівнодіючої щодо будь-якої точки = геометричній сумі моментів складових сил щодо тієї ж точки. Умови рівноваги пространство. систем. сил:

fcF_kx=0; ZF_kv=0; ZF^O; ZM_x(F_k)=Q; ZM_v(F_k)=0; ZM_z(F_k)=o[.

Умови рівноваги для системи паралельних сил (||z): ZF_kz=0; ЈM_x(F_k)=0; ZM_y(F_k)=0. Центр паралельних сил - точка, через як проходить лінія дії рівнодіючої системи ||-их сил при будь-яких поворотах цих сил біля їхніх точок прикладання в ту саму сторону й на той

У F -х самий кут. Координати центра ||-іх сил: х_с = ^кх---- і т.д.

Центр ваги твердого тіла - точка, незмінно пов'язана із цим тілом, через яку проходить лінія дії рівнодіючих сил ваги часток тіла при будь-якім положенні тіла в просторі. При цьому поле ваги вважається однорідним, тобто сили ваги часток тіла паралельні один одному й зберігають постійну величину при будь-яких поворотах тіла. Координати центра ваги:

SPkx'^Xk ХРку'Ук SPk7'^Zk г» V-

^хс = ^-?--~; Ус = Ј ; ^zc = ^-^--^L,

Де Р=ІРь x_k,y_k,z_k - координати

точок прикладання сил ваги р_к. Центр ваги - геометрична точка й може лежати й поза межами тіла (наприклад, кільце). Центр ваги плоскої фігури:

^хс ^{= k} , AF_k - елементарна площадка, F - площа фігури. Якщо площею не

F

1 _f І можна розбити на кілька кінцевих частин, то х_с = -- J xdF. Якщо однорідне тіло має

^F(F)

вісь симетрії, то центр ваги тіла перебуває на цій осі. Центр ваги: дуги окружності із

_, sin а „ 2 _ sin а

центральним кутом 2а: х_с = К ; кругової сектор: х_с = -- К ; трикутник: у

а За

точці пересікання. медіан (1/3 медіани від підстави).

Статичний момент площі плоскої фігури - сума добутків елементарних площ, що входять до складу площі фігури, на алгебраїчні значення відстаней до деякої осі.

S_x=Zyi-AFj= F-y_c; S_y=Exi-AFi= Fx_c.

Допоміжні теореми для визначення положення центра ваги:

Т. 1. Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, то центр ваги тіла перебуває на цій осі.

Т.2. Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то його центр ваги перебуває в цій площині.

Т. 3. Обсяг тіла обертання, отриманого обертанням плоскої фігури навколо осі, що

лежить у площині фігури, але не перетинає її, дорівнює добутку площі фігури на довжину окружності, описаної її центром ваги,

V=27TXC.

Т. 4. Площа поверхні обертання, отриманої обертанням плоскою кривою навколо осі, що лежить у площині цій кривої, але не перетинає її, дорівнює добутку довжини цій кривій на довжину окружності, описаної її центром ваги, F=2ttxc.

Визначаючи положення центра ваги плоскої фігури з вирізаної з її частиною, можна

вважати площі цієї частини негативної й тоді:

Т7 v р у

х_г = ---- --~ і т.д. -- спосіб

F, -F₂

негативних площ (обсягів).

Розділ 2. Кінематика

Кінематика - розділ механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл з геометричної точки зору, без урахування маси та діючих на них сил. Способи завдання руху точки: 1) природний, 2) координатний, 3) векторний. Траєкторія точки - безперервна крива, яку описує точка при своєму русі.

Природний спосіб. Вказується траєкторія точки, закон її руху по цій траєкторії, початок і напрямок відліку дугової координати: закон руху точки. При прямолінійному русі:

Координатний спосіб. Положення точки в просторі визначається трьома координатами, зміни яких визначають закон руху точки: Якщо рух у площині, то два рівняння руху. Рівняння руху описують рівняння траєкторії в параметричній формі. Виключивши з рівнянь параметр t, отримуємо рівняння траєкторії в звичайному вигляді: (для площини).

Векторний спосіб. Положення точки визначається її радіус-вектором проведеним з будь-якого центру. Крива, яка викреслюється кінцем будь-якого вектора, називається годографом цього вектора. Тобто траєкторія - годограф радіус-вектора. Зв'язок між координатним і векторним способами:

,- орти одиничні

вектори, спрямовані з будь-якою віссю) модуль

спрямовуючи косинуси:

i т. д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Перехід від координатного способу до природного:

Швидкість точки. Вектор швидкості: - перша похідна від радіус-вектора за часом (точка позначає похідну за часом);

Проекції швидкості: Модуль швидкості:

,

спрямовуючи косинуси:

i

т. д. Якщо модуль швидкості не змінюється з плином часу, то рух називається рівномірним.

При природному способі: - модуль швидкості, вектор швидкості:

,- орт дотичній, тобто швидкість завжди спрямована по

дотичній до траєкторії. Якщо V> 0, то рух відбувається в бік позитивного відліку дугової координати і навпаки. Рух в полярній системі координат: - полярний радіус, - кут.

Проекції швидкості на радіальні напрями поперечний напрямок модуль швидкості

Прискорення точки.

Проекції прискорення:

ї т.д. Модуль прискорення: спрямовуючї косинуси: и т.д.

При завданні руху в полярних координатах: проекції прискорення на радіальний напрям поперечний напрямок модуль прискорення При природному способі завдання руху повне прискорення розкладають на нормальне і дотичне (тангенціальне) прискорення:

Модуль нормального прискорення:

I

радіус кривизни траєкторії, нормальне прискорення направлено по нормалі до траєкторії до дотичної) завжди до

центру кривизни тобто в бік увігнутості. Нормальне прискорення характеризує зміну V за напрямком.

Модуль дотичного прискорення направлено

по дотичній до траєкторії, або в бік швидкості, або в зворотний. Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості по величині. При прискореному русі напрямок дотичного прискорення та швидкості співпадають, при сповільненому - протилежні. . Вектор прискорення лежить у суміжній площині, його проекція на бінормаль дорівнює 0 (головна нормаль лежить в дотичній площині, тобто в площині плоскої кривої, бінормаль - до головної нормалі та дотичної). Окремі випадки руху точки: 1) прямолінійне: радіус кривизни ( нескінченно великий)2) 2)Рівномірний криволінійний рух: Прискорення з'являється тільки за рахунок зміни напрямку швидкості. Закон руху: при

Рівномірний прямолінійний рух: Єдиний рух, де а=0.

Рівномірний криволінійний рух:

,

При рівноприскореному русі знаки однакові, при рівноуповільненому - різні. Найпростіші рухи твердого тіла: поступальний і обертання навколо нерухомої вісі. Поступальний рух тіла - такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, при переміщенні, залишається паралельна сама до себе. При поступальному русі всі точки тіла описують однакові траєкторії і мають в кожний момент часу однакові по модулю і напрямку швидкості і прискорення. Обертальний рух тіла - такий рух твердого тіла, при якому всі точки, що належать деякій прямій, незмінно пов'язані з тілом, залишаються нерухомими. Ця пряма називається віссю обертання тіла. При цьому русі всі точки тіла рухаються в площинах, перпендикулярних вісі обертання,

та описують кола, центри яких лежать на вісі обертання. Рівняння (закон) обертального руху:- кут повороту тіла в радіанах.

Кутова швидкість: [рад/с] - визначає швидкість зміни кута повороту.

Вектор кутової швидкості тіла, що здійснює обертання навколо осі, спрямований вздовж вісі обертання так, що якщо дивитися йому назустріч обертання буде проти год. стрілки, "n" - число обертів за хв. [об/хв],

Кутове прискорення тіла:

I

Вектор кутового прискорення

також спрямований вздовж вісі обертання. При прискореному русі збігається за напрямом з кутовою швидкістю і протилежно при уповільненому обертанні. Окремі випадки обертання тіла: 1) Рівномірне обертання:

2) Рівномірне обертання: ; тут початковий кут

Швидкості та прискорення точок обертового тіла.

Швидкість будь-якої точки твердого тіла, обертового навколо нерухомої вісі, дорівнює векторному добутку вектора кутової швидкості тіла на радіус-вектор цієї точки. Модуль векторного добутку:- відстань від точки М до до вісі обертання. Вектор швидкості спрямований по дотичній до кола, по якому переміщюється точка М, в бік обертання.

Формули Эйлера:

- проекції вектора кутової швидкості. Проекція обертальної (окружної) швидкості:Якщо вісь оберту співпадає з

віссю Прискорення: . Обертальне прискорення модуль оберт. приск. спрямований по дотичній до траєкторії точки, тобто паралельно швидкості. Доцентрове (вісіпрагнуюче) прискорення , направлено по радіусу до вісі (центру) обертання.Модуль повного приск.:

Кут, між векторами повного і вісіпрагнуючого прискорення:

Плоский рух твердого тіла.

Плоским (плоскопаралельним) наз. такий рух, при якому всі його точки перемыщуються паралельно деякій нерухомій площині. Рівняння плоского руху: точка А наз. полюсом. Плоский рух тв.тела складається з поступального руху, при якому всі точки тіла

рухаються так само, як полюс (А),і з обертального руху навколо цього полюса. Поступальне переміщення залежить від вибору полюса, а величина та напрямок кута поворота не залежать. Швидкості точок тіла при плоскому русі: ;,, тобто швидкість якої-небудь точки В плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса А і швидкості точки В при обертанні плоскої фігури навколо полюса А. Теорема: при плоскому русі проекції швидкостей двох точок тіла на вісь, проходящю через ці точки, рівні меж собой:Миттєвий центр швидкостей - точка плоскої фігури, швидкість якої в даний момент дорівнює нулю - Р. Якщо тіло рухається непоступально, тобто то м.ц.ш. завжди існує. При поступальному русі м.ц.ш. знаходиться в - швидкість будь-якої плоскої фігури має модуль, рівний добутку кутової швидкості фігури на довжину відрізку, з'єднуючий точку с м.ц.ш, і направлена цьому відрізку в

бік обертання фігури. , швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням до м.ц.ш. , кутова швидкіть тіла дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки до її відстані до м.ц.ш. Визначення положення м.ц.щ.: 1) м.ц.ш. - точка перетину перпенди-кулярів, відновленних до швидкостей точок (напр. в точці В і точці К); 2) якщо швидкості точок А і В паралельні меж собою і перпендикулярні АВ, то для визначення м.ц.ш. повинні бути відомі модулі і напрямки швидкостей (див. і ); 3) якщо вони при цьому рівні між собою, то м.ц.ш. знаходиться в а кутова швидкість 4) якщо відомо, що швидкості двох точок А і В рівні, паралельні і не перпендикулярні АВ, то м.ц.ш. в і кутова швидкість якщо це має

місце тільки до деяких моментів часу, то маємо миттєвий поступальний рух; 5) якщо плоска фігура котиться без ковзання по нерухомій поверхні, то м.ц.ш. плоскої фігури буде в точці дотику. Теорема Шаля: плоску фігуру можно перемістити із одного положення в будь-яке інше на площині одним поворотом цієї фігури навколо деякого нерухомого центра. Цей центр на нерухомій площині, співпадає з м.ц.ш. статика кінематика динаміка рух



і називається миттєвим центром обертiв (вісь обертань). При русі плоскої фігури м.ц.ш. безупинно змінює своє положення. Геометричне місце м.ц.ш, відзначених на нерухомій площині, називається нерухомою центроідою. Геометричне місце м.ц.ш, відзначених на площині фігури, наз. рухомою центроідою (колесо котиться по прямій: нерухома центроіда - пряма, рухома - коло). При русі плоскої фігури рухома центроіда котиться без ковзання по нерухомій центроіді (теорема Пуансо).

Прискорення точок:

- прискорення будь-якої точки (В) фігури геометрично складається з прискорення полюса (А) та доцентрового і обертального прискорень під обертальним рухом тіла відносно полюса.

,,.

Миттєвий центр прискорень - точка (Q) плоскої фігури, прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю. Для його побудови з точки А відкладаємо під кутом до прискорення

Відрізок

при цьому кут відкладається від прискорення в сторону, напрямку кутового прискорення . Модулі прискорень точок плоскої фігури пропорційні відстані від цих точок до мит.ц. прискорень, а вектори прискорень складають з відрізками, що з'єднують ці точки і м.ц.ш. один і той самий кут

.

Миттєвий центр швидкостей

Р і миттєвий центр прискорень Q є різними точками плоскої фігури. Сферичний рух твердого тіла.

Сферичний рух - рух твердого тіла, одна з точок якого у весь час руху залишається нерухомою (напр. рух вовчка). Точки тіла рухаються по сферичних поверхнях. Положення тіла визначають за допомогою трьох кутів. Для цього задаються дві системи координат: нерухома Oxyz і рухома пов'язана з твердим тілом. Лінія OJ - лінія вузлів, задаються кути:- кут прецесії,- кут нутації, - кут власного обертання - кути Ейлера. Таким чином, рівняння сферичного руху: Кути відлічується від осей проти ходу час.стр. Теорема Ейлера-Даламбера: кожне переміщення тіла, яке має нерухому точку, можна замінити одним поворотом навколо деякої миттєвої осі обертання, що проходить через цю точку. Швидкості всіх

точок тіла, що лежать на миттєвій осі обертання в даний момент часу дорівнюють нулю. Вектор кутової швидкості (миттєвої кутової швидкості) відкладається від нерухомої точки за миттєвою віссю в таку сторону, щоб, дивлячись назустріч цьому вектору, бачити обертання, що відбувається проти год.стр. Вектор кутової швидкості з часом змінюється не тільки за чисельної величини, але і за напрямком. Кінець вектора описує годограф швидкості вектора . Кутове прискорення: - швидкість кінця вектора , збігається за напрямком з дотичною до годографу вектора кутової швидкості. У випадку сферич. Руху, на відміну від випадку обертання навколо нерухомої осі вектор не співпадає з напрямком . Швидкості точок при сферич. русі.: - векторний добуток, - радіус-вектор точки, проведений з нерухомої точки, модуль h- відстань від точки до миттєвої осі обертання. Формули Ейлера:

Прискорення: , обертальне прискорення

модуль об. приск. відстань від точки до вектора направлено но площині, що проходить через точку М і вектор Вісепрагнуюче прискорення ,

направлено до осі обертання.

Рух вільного тв.тіла (загальний випадок руху). Вільне тв.тіло має шість ступенів свободи. При розгляді руху віл.тв.тіла, крім нерухомої системи координат Oxyz, вводиться рухома система координат яка пов'язана з тілом в точці А. Тоді руху. св.тв.тела являє собою складний рух, який можна розглядати як складається з поступального руху разом з полюсом (А) та сферіч. руху. навколо полюса. Рів-я руху віл.тв.тіла:

(кути Эйлера). Перші три рів-я визначають поступальну частина руху. і залежать від вибору полюса, інші три визначають сферич. руху. навколо полюса і від вибору полюса не залежать. Швидкість будь-якої точки віл.тв.тіла = геометричній сумі швидкості полюса і швидкості цієї точки в її сферичному русі навколо полюса.

Прискорення точки віл.тв.тіла = геометричній сумі прискорення полюса, вісепрагнуючого прискорення точки та її обертального прискорення, визначених щодо миттєвої осі і осі кутового прискорення, що проходять через полюс.

, два останніх члена дають прискорення точки в її русі навколо полюса.

Складний рух точки (тіла) - такий рух, при якому точка (тіло) одночасно бере участь у кількох рухах (наприклад, пасажир, що переміщуються рухомим вагоном). У цьому випадку вводиться рухома система координат (Oxyz), яка здійснює певний рух щодо нерухомої (основної) системи координат Абсолютним рухом точки наз. рух- по відношенню до нерухомої системі координат. Відносний рух - рух по відношенню до рухомого системи координат (рух по вагону). Переносний рух - рух рухомої сист. координат щодо нерухомої (рух вагона). Теорема про складання швидкостей:

Размещено на http://www.allbest.ru/

- орти

(одиничні вектора) рухомої системи координат, орт обертається навколо миттєвої осі, тому швидкість його кінця і т.д.,

- відносна швидкість.

; переносна швидкість: тому абсолютна

швидкість точки = геометричній сумі її переносной і відносной

швидкостей , модуль:

.

Теорема про складання

прискореннь (теорема Коріоліса):

і т.д. Складові виразу, що визначає прискорення : 1)- прискорення полюса О;

2)

3)

- відносне прискорення точки;

4)

отримуємо :

Перші три складових представляють собою прискорення точки в переносному русі: прискорення полюса О;- обертальне приск.,-

вісепрагнуюче приск., тобто . Теорема про складання прискорень (теорема Коріоліса): , где - прискорення Коріоліса (коріолісове прискорення) - у випадку непоступательного переносного руху абсолютне прискорення = геометричній сумі переносного, відносного і коріолісова прискорень. Коріолісово прискорення характеризує: 1) зміна модуля та напрямку переносной швидкості точки із-за її відносного руху; 2) зміна напрямку відносної швидкості точки із-за обертального переносного руху. Модуль прискорення Коріоліса: , напрямок вектора

визначається за правилом векторного добутку, або за правилом Жуковського: проекцію відносної швидкості на площину, перпендикулярну переносній кутовий швидкості, треба повернути на в напрямку обертання. Коріолісове приск. = 0 у трьох випадках: 1) тобто у випадку поступального переносного руху або в момент звернення кут. швидкості в 0; 2) тобто коли відносна швидкість параллельна осі

переносного обертання. У разі руху в одній площині-кут між та вектором

Складний рух твердого тіла При складанні двох поступальних рухів результуючий рух також є поступальним і швидкість результуючого руху дорівнює сумі швидкостей складових рухів. Складання обертань тв. тіла навколо пересічних осей. Вісь обертання, положення якої в просторі змінюється з часом наз. миттєвою віссю обертання тіла. Вектор кутової швидкості - ковзний вектор, спрямований вздовж

миттєвої осі обертання. Абсолютна кутова швидкість тіла = геометричній сумі швидкостей складових обертань - правило паралелограма кутових швидкостей.

Якщо тіло бере участь одночасно в миттєвих обертань навколо декількох осей, пересічних в одній точці, то

При сферичному русі твердого тіла, одна з точок якого у весь час руху залишається нерухомої, маємо рівняння сферичного руху: - кут прецессіі, - кут нутаціі,- кут власного обертання - кути Ейлера. Кутова швидкість прецессіі кут. Швид-кість нутаціі кут. швид. власного обертання

- модуль кутової швидкості тіла навколо миттєвої

осі. Через проекції на нерухомі осі координат:

- кінематичні рівняння Ейлера. Складання обертань навколо 2-х паралельних осей.

Обертання спрямовані в одну сторону. - миттєвий центр швидкостей і через неї проходить миттєва вісь обертання,

2) Обертання спрямовані в різні сторони.

С - м.ц.ш. и мит. вісь обиртання,

Вектори

кутових швидкостей при обертанні навколо -их осей складаються так само, як вектори паралельних сил. 3) Пара обиртань - обертання навколо -их осей спрямованих в різні сторони і кутові швидкості по модулю рівні (-пара кутових швидкостей). У цьому випадку результуючий рух тіла - поступальний (або миттєво поступальний) рух зі швидкістю - момент пари кутових швидкостей (поступальний рух педалі велосипеда щодо рами). М.ц.ш знаходиться в нескінченності. Складання поступального і обертального рухів. 1) Швидкість поступального руху до осі обертання - плоскопаралельний рух - швидке обертання навколо осі Рр з кутовою швидкістю 2) Гвинтовий рух - рух тіла складається з обертового руху навколо осі Аа з кут.швид. і поступального зі швидкістю Вісь Аа - ось гвинта. Якщо та в одну сторону, то гвинт - правий, якщо в різні - лівий. Відстань, пройдена за час одного оберту будь-якою точкою тіла, що лежить на осі гвинта, наз. кроком гвинта -Якщо та постійні, то при постійному кроці будь-яка М, що належить на осі гвинта описує гвинтову лінію.

направлена по дотичній до гвинтової лінії.

3) Швидкість поступального руху утворює довільний кут з віссю обертання, в цьому випадку рух можна розглядати як складові з серії миттєвих гвинтових рухів, навколо безперервно змінюючихся гвинтових осей - миттєво-гвинтовий рух.

Розділ 3. Динаміка

Динаміка - розділ механіки, в якому вивчаються закони руху матеріальних тіл під дією сил. Основні закони механіки (закони Галілея - Ньютона): закон інерції (1-ий закон): матеріальна точка зберігає стан спокою рівномірного прямолінійного руху до тих пір, доки дія інших тіл не змінить цей стан; основний закон динаміки ( 2-ий закон (Ньютона)): прискорення матеріальної точки пропорційно прикладеній до неї силі та має однаковий з нею напрямок ; закон рівності дії та протидії (3-ій закон (Ньютона)): всілякій дії відповідає рівна та протилежно направлена протидія; закон незалежності сил: декілька одночасно діючих на матеріальну точку сил повідомляють точці таке прискорення, яке б повідомила їй одна сила, яка дорівнює їх геометричній сумі. В класичній механіці маса тіла, яке рухається приймається рівній масі тіла в стані спокою, - міра інертності тіла та його гравітаційних властивостей. Маса = вазі тіла, розділеній на прискорення вільного падіння, m=G/g, g= 9,81 м/с². g залежить від географічної широти місця та висоти над рівне моря - не постійна величина. Сила - 1Н (Ньютон) = 1кг ^.м/с². Система відліку, в якій проявляється 1-ий та 2-ий закони, назив. інерційною системою відліку. Диференційне рівняння матеріальної точки: , в проекції на декартові осі координат:

,

на осі природного трьохгранника:

- проекція прискорення на бінормаль, тобто

радіус кривизни траєкторії в поточній точці). В випадку плоского руху точки в полярних координатах:

.

Дві основні задачі динаміки: перша задача динаміки - знаючи закон руху точки, визначити діючу на неї силу; друга задача динаміки (основна) - знаючи діючі на точку сили, визначити закон руху точки.

- диференційне рівняння прямолінійного руху точки. Дворазово інтегруючи його, знаходимо загальне рішення . Постійні інтегрування С₁, С₂ шукають з початкових умов: - частинне рішення - закон руху точки.

Коливальний рух матеріальної точки. Відновлююча сила (сила пружності) сила прагне повернути точку в рівноважне положення, «с» - коефіцієнт жорсткості пружини = силі пружності при деформації, рівній одиниці (Н/м). Вільне коливання позначивши , отримуємо - лінійне однорідне рівняння другого порядку, характеристичне рівняння: , його корені мнимі, - загальне рішення диференційного рівняння буде: - постійні інтегрування. Для їх визначення знаходимо рівняння швидкостей: , представляємо початкові умови для , звідки

Можна позначити - рівняння гармонічних коливань.амплітуда, початкова фаза вільних коливань; циклічна частота (кутова, власна) коливань, період: k та T не залежать від початкових умов - ізохронність коливань; амплітуда та початкова фаза залежать від початкових умов. Під дією постійної сили Р відбувається зміщення центру коливань в сторону дії сили Р на величину статичного відхилення Якщо Р - сила тяги, то .

Затихаючі коливання при дії сила опору, пропорційна швидкості (в'язке тертя). , позначивши отримуємо: , характеристичне рівняння: , його корені: .а)При n<k корені мнимі - загальне рішення диференційного рівняння має вигляд:

,

позначивши

Множник е^-nt показник, що коливання затухаюче.

Графік заключний поміж двома симетричними відносно вісі t кривими . З початкових умов:

;

частота затихаючих коливань:

; період:

,

період затихаючих коливань більше періоду вільних коливань (при невеликих опорах ). Амплітуди коливань зменшуються: - декремент коливальний; логарифмічний декремент; «n» - коефіцієнт затухання.

б) Аперіодичний рух точки при або . При n>k корені характеристичного рівняння речові, загальний розв'язок:

позначаючи

- гіперболічні синус та косинус), якщо ввести ,то

- це рівняння не коливального руху (аперіодичного), так як гіперболічний синус не являється періодичною функцією. При n=k корені характеристичного рівняння речові, рівні та негативні: загальний розв'язок: , або , рух також аперіодичний.

Вимушені коливання окрім відновлюючої сили діє змінна збурювальна сила, зазвичай, по гармонічному закону: - частота збурювальної сили, д - початкова фаза.

- диференційне рівняння вимушених коливань (неоднорідне лінійне диференційне рівняння). Його загальний розв'язок = сумі загального розв'язку однорідного рівняння та частинного розв'язку даного рівняння: - частинний розв'язок, який мається у вигляді, подобному правій частині рівняння. Підставляючи розв'язок в рівняння, знаходимо:

.

Величина статистичного відхилення:



- коефіцієнт динамічності, у скільки разів амплітуда коливань перебільшує статистичне відхилення. При - явище резонансу (частота здурювальної сили дорівнює частоті власних коливань, при цьому амплітуда безгранично зростає). При наступає явище, називаєме биттями:

.

Позначаючи

,

отримуємо - відбувається накладання додаткових коливань, визваних збурювальною силою, власно вимушені коливання - коливання частоти р, амплітуда яких являється періодичною функцією. Явище резонансу виникає при збіганні частот вимушених та вільних коливань точки p=k. Диференційне рівняння:

. Частинне рішення: тобто загальне рішення диференційного рівняння: Рівняння показує, що амплітуда вимушених коливань при резонансі зростає пропорційно часу.



Період , фаза вимушених коливань відстає від фази здурю вальної сили на

Вимушені коливання при наявності тертя:

загальне рішення в залежності від величини k та n:

Загальні теореми динаміки точки

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки. - кількість руху матеріальної точки, - елементарний імпульс сили. - елементарна зміна кількості руху матеріальної точки дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї точки (теорема в диференційній формі) або - похідна по часу від кількості руху матеріальної точки дорівнює рівнодіючій силі, прикладеній до цієї точки. Проінтегруємо:

- зміна кількості руху матеріальної точки за кінцевий період часу дорівнює елементарному імпульсу сили, прикладеній до цієї токи, за той же період часу. - імпульс сили за період часу . В проекції на осі координат:

.

Теорема про змінення моменту кількості руху матеріальної точки момент кількості руху матеріальної точки відносно центру О. - похідна по часу від моменту кількості руху матеріальної точки відносно якого-небудь центра дорівнює моменту сили, прикладеній до точки, відносно того ж центра. Проектуя векторну рівність на осі координат, отримуємо три скалярних рівняння: і так далі - похідна від моменту кількості руху матеріальної точки, відносно тієї ж осі. При дії центральної сили, яка проходить через О,

- секторна швидкість. Під дією центральної, тобто радіус-вектор описує («обмітає») рівні площини в любі рівні періоди часу (закон площин). Цей закон має місце при русі планет та супутників - один із законів Кеплера.

Робота сили. Потужність. Елементарна робота - проекція сили на дотичну до траєкторії, направлена в бік переміщення, або Якщо б - гострий, то , тупий - скалярний добуток вектора сили на вектор елементарного переміщення точки її положення; - аналітичний вираз елементарної роботи сили. Робота сили на любому кінцевому переміщенні

.

Якщо сила постійна, то . Одиниці роботи .

,

так як і так далі, то

Теорема про роботу сили: робота рівнодіючої сили дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил на тому ж переміщенні

Робота сили тяж есті: якщо початкова точка вище кінцевої. Робота сили пружності:

- робота сили пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на різницю квадратів початкового та кінцевого подовжень (або стиснень) пружини.

Робота сили тертя: якщо сила тертя const, то - завжди негативна, коефіцієнт тертя, N нормальна реакція поверхні.

Робота сили тяжіння. Сила притягнення (тяжіння):

,

знаходимо коефіцієнт

- не залежить від траєкторії.

Потужність - величина, визначаюча роботу в одиницю часу,

.

Якщо зміна роботи відбувається рівномірно, то потужність постійна: (кіловат) = =

Теорема про змінення кінетичної сили точки. В диференційній формі:

- повний диференціал кінетичної енергії матеріальної точки = елементарній роботі всіх діючих на точку сил.

- кінетична енергія матеріальної точки. В кінцевому вигляді:

- зміна кінетичної енергії матеріальної точки, при переході її з початкового в конечне (поточне) положення дорівнює сумі робіт на цьому переміщенні всіх сил, прикладених до точки.

Силове поле - область, в кожній точці якої на розміщену в ній матеріальну точку діє сила, однозначно визначена по розміру та напрямку в довільний момент часу, тобто може бути відома . Нестаціонарне силове поле, якщо явно залежить від стаціонарне силове поле, якщо сила не залежить від часу. Розглядаються стаціонарі силові поля, коли сила залежить тільки від положення точки: і так далі. Властивості стаціонарних силових полів:

1. Робота сил стаціонарного поля залежить в загальному випадку від початкового М₁ та кінцевого М₂ положення та траєкторії, але не залежить від закону руху матеріальної точки.

2. Має місце рівність . Для нестаціонарних полів ці властивості не виконується.

Приклад: поле сили тяготіння, електростатичне поле, поле сили пружності. Стаціонарні силові поля, робота сил яких не залежить від траєкторії (шляху) руху матеріальної точки. Й визначається лише її початковим та кінцевим положеннями називається потенційними (консервативними). , де - любі шляхи, А_1,2 - загальні значення роботи. В потенційних силових полях існує така функція, безперечно залежна від координат точок системи, через яку проекції сили на координатні осі в кожній точці поля виражаються так:

.

Функція називається силовою функцією. Елементарна робота сил поля: . Якщо силове поле являється потенційним, елементарна робота сил в цьому полі дорівнює повному диференціалу силової функції. Робота сил на кінцевому переміщенні

,

тобто робота сил в потенційному полі дорівнює різниці значень силової функції в кінцевому та початковому положеннях та не залежить від форми траєкторії. На замкнутому переміщенні робота дорівнює 0. Потенційна енергія П дорівнює сумі робіт потенційного поля на переміщенні системи з даного положення в нульове. В нульовому положенні П₀ = 0. . Робота сил поля на переміщення системи з першого положення в друге дорівнює різниці потенційних енергій . Еквіпотенційні поверхні - поверхні рівного потенціалу. Сила направлена по нормалі до еквіпотенційній поверхні. Потенційна енергія системи відрізняється від силової функції, взятої зі знаком мінус, на постійну величину . Потенційна енергія поля сили тяжіння: . Потенційна енергія поля потенційних сил. Центральна сила - сила, яка в будь-якій точці простору направлена по прямій, проходяча через деяку точку (центр), та модуль її залежить лише від відстані r точки масою m до центру:. Центральною є гравітаційна сила

,

- постійне тяготіння. Перша космічна швидкість

- радіус Землі; тіло виходить на кругову орбіту. Друга космічна швидкість

траєкторія тіла параболи, при гіпербола. Потенційна енергія відновлюючі сили пружин:



- модуль приросту довжини пружини. Робота відновлюючої сили пружини:

- деформації, відповідаючі початковій та кінцевій точкам шляху.

Динаміка матеріальної системи

Матеріальна система - сукупність матеріальних точок, рух яких взаємопов'язаний. Маса системи = сумі мас всіх точок (або тіл), утворюючих систему: Центр мас (центр інерції) - геометрична точка, радіус-вектор , який визначається рівністю:

,

де - радіус-вектори точок, утворюючих систему. Координати центру мас

і так далі. Зовнішні сили - сили, діючі на точки системи з сторони тіл, невходячих в систему. Внутрішні сили - сили, викликані взаємодією точок, входячих в систему. Властивості внутрішніх сил: 1.Геометрична сума (головний вектор) всіх внутрішніх сил = 0; 2.Геометрична сума моментів всіх внутрішніх сил відносно довільної точки = 0. Диференційне рівняння руху системи матеріальних точок:

або в проекціях на осі координат:

і так далі для кожної точки (тіла) системи. Геометрія мас.

Момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі називається добуток маси m цієї точки на квадрат відстані цієї точки h до осі: mh2. Момент інерції тіла (системи) відносно осі

.

При безперервному розподіленні мас (тіл) сума переходить в інтеграл:

відносно координатних осей. сm - радіус інерції тіла - відстань від осі до точки, в котрій потрібно зосередити m всього тіла, щоб його момент інерції дорівнював моменту інерції тіла. Момент інерції відносно осі (осьовий момент інерції) завжди >0.Полярний момент інерції

.

Центробіжний момент інерції Jxy для матеріальної точки називається добуток її координат x і y на її масу m. Для тіла центробіжними моментами інерції називаються величини, які визначаються рівностями:

Центробіжні моменти інерції симетричні відносно своїх індексів, тобто і т.д. На відміну від осьових, центробіжні моменти інерції можуть мати любі знаки та обертатися в нуль. Головною віссю інерції тіла називається вісь, для якої обидва центробіжних моменти інерції, які містять індекс цієї осі, дорівнюють нулю. Наприклад, якщо - головна вісь інерції. Головною центральною віссю інерції називається головна вісь інерції, яка проходить через центр мас тіла. 1.Якщо тіло має площину симетрії то люба вісь, перпендикулярна до цієї площини, буде головною віссю інерції тіла для точки, в якій вісь перетинає площину. 2. Якщо тіло має вісь симетрії,то ця вісь являється головною віссю інерції тіла ( вісь динамічної симетрії). Розмірність всіх моментів інерції (кгм2 ).

Центр обіжний момент інерції залежить не тільки від напрямків координатних осей, але й від вибору початкових координат.

Тензор інерції в даній точці:

Моменти інерції деяких однорідних тіл: стержень мас m і довжини L

...