Теоретична механіка

Однорідний суцільний диск з центром в точці С радіусу R і маси m:

Повний циліндр

циліндр з масою розподіленою по ободу (обруч):

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює моменту інерції відносно осі їй паралельній та про ходячій через центр мас тіла плюс добуток маси тіла на квадрат відстані між осями:

Найменший момент інерції буде відносно тієї осі, яка проходить через центр мас. Момент інерції відносно довільної осі L:

якщо координати осі являються головними відносно свого початку, то :

Теорема про рух центра мас системи. Добуток маси системи на прискорення її центра мас дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил диференційне рівняння руху центра мас. В проекціях на осі координат: Закон збереження руху центра мас. Якщо головний вектор (векторна сума) зовнішніх сил залишається весь час рівним нулю, то центр мас механічної системи знаходиться в спокої або рухається прямолінійно та рівномірно. Аналогічно в проекціях на осі, якщо якщо при цьому в початковий момент

Кількість руху системи Q (іноді позначають К) - вектор, рівний геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи: М - маса всієї системи V_С - швидкість центра мас.

Теорема про зміну кількості руху системи:

- похідна по часу від кількості руху механічної системи геометрично дорівнює головному вектору зовнішніх сил, діючих на цю систему. В проекціях:

і т.д. Теорема про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

- імпульс зовнішніх сил.

В проекціях і т. д. кількість руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той же проміжок часу. Закон збереження кількості руху - якщо сума всіх зовнішніх сил, діючих на систему, = 0, то вектор кількості руху системи буде постійним по модулю та напрямку: аналогічно в проекціях: З закону витікає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть. Тіло змінної маси, маса якого безперервно змінюється з часом (пр.: ракета, паливо якої зменшується). Диференційне рівняння руху точки змінної маси:

- рівняння Мещерського , u - відносна швидкість віддаляючихся частин. секундні витрати палива, Реактивна сила направлена в протилежну сторону відносно швидкості витрати палива.

Формула Циолковського

- визначає швидкість ракети, коли все паливо буде витрачено - швидкість в кінці активної ділянки m_т - маса палива, m_k - маса корпусу ракети, v₀ - початкова швидкість. - число Циолковського, m₀ - стартова маса ракети. Від режиму роботи ракетного двигуна, тобто від того, наскільки швидко спалюється паливо, швидкість ракети в кінці періоду горіння не залежить. Для досягнення першої космічної швидкості 7,9 км/с при швидкість відкиду повинна бути 6 км/с, що складно здійснити тому використовуються складені (багатоступінчасті) ракети.

Головний момент кількості руху матеріальної системи (кінетичний момент) величина, рівна геометричній сумі моментів кількостей руху всіх точок системи відносно центра О.

. Теорема про зміну моменту кількості руху системи (теорема про змінення кінетичного моменту):

- похідна по часу від кінетичного моменту механічної системи відносно деякого нерухомого центра геометрично дорівнює головному моменту зовнішніх сил, діючих на цю систему відносно того ж центру. Аналогічні рівності відносно осей координат:

 і т.д.

Закон збереження кінетичного моменту: якщо

Головний момент кількості руху системи є характеристикою обертального руху. Кінетичний момент обертального тіла відносно осі обертання дорівнює добутку момента інерції тіла відносно цієї осі на кутову швидкість тіла: . Якщо момент інерції тіла.

Кінетична енергія системи - скалярна величина Т, рівна арифметичній сумі кінетичної енергії всіх точок системи:

Якщо система складається з декількох тіл, то . Поступальний рух:

.

Обертальний рух:

момент інерції відносно осі обертання. Плоско паралельний (плоске) рух

швидкість центра мас. Загальний випадок:

момент інерції тіла відносно миттєвої осі. Теорема Кеніга:

кінетична енергія механічної системи = сумі кінетичної енергії центра мас системи, маса якого дорівнює масі всієї системи, і кінетичної енергії цієї системи у її відносному русі відносно центра мас. Робота сили:

.

Потужність: Теорема про зміну кінетичної енергії системи а диференційній формі:

- елементарні роботи, діючих на точку зовнішніх та внутрішніх сил, в кінцевій формі:

.

Для незмінної системи

тобто зміна кінетичної енергії твердого тіла на деякому переміщенні дорівнює сумі робот зовнішніх сил, діючих на тіло на цьому переміщенні. Якщо сума робіт реакції зв'язків на будь якому можливому переміщенні системи дорівнює нулю, то такі зв'язки називаються ідеальними. Коефіцієнт корисної дії (ккд)

робота корисних сил опору (сил, для яких призначена машина), витрачена робота, робота шкідливих сил опору (сили тертя, опір повітря і т.п.). корисна потужність машини, потужність двигуна, приводячого її в рух. Закон збереження повної механічної енергії: Якщо система рухається під дією потенційних сил, то сума кінетичної і потенційної енергії зберігає постійне значення. ( Т + П - інтеграл енергії). Потенційні сили - сили, робота яких не залежить від виду траєкторії за якою переміщується точка ( пр.: сила тяжіння, сила пружності) Не потенційні - наприклад: сили тертя. Механічна енергія - сума кінетичної та потенційної енергії. Витрати механічної енергії зазвичай означають перетворення її в теплоту, електроенергію,звук або світло, а приток механічної енергії пов'язаний з оберненим процесом перетворення різних видів енергії в механічну енергію.

Динаміка твердого тіла

Диференційне рівняння поступального руху твердого тіла: і т.д. X^e_i - проекція зовнішньої сили. Всі точки тіла рухаються так само, як і його центр мас С. Для виконання поступального руху необхідно, щоб головний момент всіх зовнішніх сил відносно центра мас дорівнював 0: .

Диференційне рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі:

,

J_z - момент інерції тіла відносно осі обертання z, М_z^e - момент зовнішніх сил відносно осі обертання (обертаючий момент). кутове прискорення, чим більше момент інерції при даному М_z^e, тим менше прискорення, тобто момент інерції при обертальному русі являється аналогом маси при поступальному. Знаючи М_z^e, можна знайти закон обертання тіла , та навпаки, знаючи , можна знайти момент. Власні випадки: 1.якщо тіло обертається рівномірно; 2. обертання рівнозмінне. Рівняння аналогічне диференційному рівнянню прямолінійного руху точки

Фізичний маятник - тверде тіло, яке здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рівняння обертального руху: , позначаючи , отримуємо диференційне рівняння коливань маятника: частота коливань маятника. Розглядаючи малі коливання, можна вважати , тоді диференційне рівняння гармонічних коливань. Розв'язок цього рівняння: або амплітуда коливань маятника, в - початкова фаза коливань. Період малих коливань фізичного маятника . Для малих коливань маятника період не залежить від кута початкового відхилення, цей результат є нерухомим. Для математичного маятника (матеріальної точки, підвішеній на нитці, яка не розтягується, та рухається під дією сили тяжіння) має диференційне рівняння руху: довжина нитки. Якщо , то математичний маятник буде рухатися так само, як і фізичний (період коливань співпадає). Величина L називається приведеною довжиною фізичного маятника. Точка К, відстояна від осі підвісу на відстані ОК = L, називається центром качання фізичного маятника. Якщо вісь підвісу взяти в точці К, то точка О буде центром коливань і навпаки - властивість взаємності. Відстань ОК завжди > ОС, тобто центр коливань завжди розташований нижче центра мас.

Динаміка плоского руху твердого тіла

Положення тіла визначається положенням полюса та кутом повороту тіла навколо полюса. Диференційне рівняння плоского руху твердого тіла:

С

- центр мас тіла, J_С - момент інерції тіла відносно осі, перпендикулярної до плоскості руху тіла та проходячій через центр його мас.

Принцип Даламбера (метод кінетостатики)

В кожний момент руху сума активних сил, реакцій зв'язків та сил інерції дорівнює нулю - принцип

Даламбера для матеріальної точки. - зовнішня сила, - внутрішня сила. Сила інерції: , знак (-) показує, що сила інерції направлена в протилежний бік прискоренню. Для системи додається рівняння моментів:

.

Позначають: - головний момент сил інерції. Враховуючи, що геометрична сума внутрішніх сил та сума їх моментів дорівнює нулю

,

отримуємо:

- рівняння кінетостатики. Принцип Даламбера для системи - якщо в будь-який момент часу в кожній точці системи прокласти, окрім реально діючих сил, відповідні сили інерції, то отримана система сил буде знаходитись в рівновазі та до неї можна використати рівняння статики. Це спрощує процес розв'язання задач.

Головний вектор сил інерції

дорівнює добутку маси тіла на прискорення його центра мас та направлений в протилежну сторону цьому прискоренню. Головний момент сил інерції залежить від виду руху: при поступальному русі , при плоскому , при обертанні навколо осі z, яка проходить через центр мас тіла, .

Визначення реакцій при обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі.

При русі тіла навколо нерухомої осі виникають динамічні тиски на опори. Їх визначення добре вирішувати методом кінетостатики. Прикладаємо сили інерції для кожної точки: центробіжна , обертальна , r_i - відстань від точки до осі обертання. Проектуючи суму цих сил на осі та враховуючи, що та центр мас, отримуємо проекції головного вектора сил інерції:

Проекції головного моменту сил інерції = сумі моментів центр обіжних та обертальних сил інерції відносно осей координат:

-

центробіжні моменти інерції,

.

Враховуючи зовнішні сили, можна записати рівняння рівноваги кінетостатики:

Останнє рівняння не включає реакцій опор то являє собою диференційне рівняння обертання тіла. Останні п'ять рівнянь дозволяють визначити п'ять відомих реакцій. Динамічні складові реакцій визначаються доданками, які залежать від сил інерції.

Умови відсутності динамічних складових:

,

звідки , це означає, що центр тяжіння повинен знаходитись на осі обертання тіла та вісь обертання тіла z повинна бути головною віссю інерції тіла. Тобто вісь обертання повинна бути головною центробіжною віссю інерції тіла (ось, яка проходить через центр мас тіла, і центробіжні моменти інерції з індексом осі рівним нулю). Для виконання цієї умови проводиться спеціальна балансировка швидко обертаючихся тіл.

Размещено на Allbest.ru