Электромагнитные волны
Плоская электромагнитная волна и ее параметры. Поляризация плоских волн. Групповая скорость плоских волн. Плоские волны в однородных средах. Уравнение Гельмгольца в слабо неоднородной изотропной среде. Анализ плоских волн методами геометрической оптики.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.10.2017 |
| Размер файла | 349,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Электромагнитные волны
Введение
Рассмотрим электромагнитный процесс, который может протекать в свободном пространстве, если в нем нет ни зарядов, ни токов. Такой процесс можно описать однородными уравнениями Максвелла, Гельмгольца или волновыми уравнениями. Проведем расчет методом комплексных амплитуд и воспользуемся уравнениями Гельмгольца (2.2.1), которые сразу записаны для комплексных амплитуд. Электромагнитное поле может иметь различную симметрию. В зависимости от этого различают плоские, цилиндрические или сферические волны которые можно получить, решая уравнения Максвелла в прямоугольной, цилиндрической и сферической системе координат.
1. Плоская электромагнитная волна и ее параметры
Электромагнитную волну называют плоской, если и электрическое, и магнитное поле не изменяется в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Выражение для плоской волны удобно искать в прямоугольной системе координат (х, у, z). Пусть плоская волна распространяется вдоль оси z, то есть вектор Пойнтинга имеет единственную проекцию Пz, которую можно найти, спроектировав выражение (2.23)
на ось z. Запишем это равенство в проекциях на координатные оси. Известно, что векторное произведение двух векторов можно представить в виде определителя квадратной матрицы (см. приложение).
(3.1)
Воспользуемся этим равенством для того, чтобы переписать правую часть (2.23) в виде квадратной матрицы.
Разложим определитель на миноры по первой строке
(3.2)
Отлично от нуля только третье слагаемое (проекция вектора Пойнтинга на ось z), которое содержит только поперечные составляющие полей. Поэтому в плоской волне нет ни электрического, ни магнитного поля в направлении распространения волны - электромагнитная волна поперечная. Чтобы упростить анализ направим ось х вдоль направления вектора . Тогда электрическое поле будет иметь единственную проекцию Eх. Воспользуемся уравнением Гельмгольца для электрического поля (см.2.2.1).
.
Спроектируем это уравнение на ось х.
. (3.3)
Электрическое поле в плоской волне не зависит от поперечных координат х и у, поэтому первое и второе слагаемые равны нулю. Тогда вместо (3.3) можно записать:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение хорошо известно. Его можно представить тремя способами: в виде суммы двух мнимых экспонент, суммы синуса и косинуса с различными амплитудами и в виде Asin(z+), где А и - произвольные постоянные. Для плоских волн решение представляют в виде суммы двух мнимых экспонент.
(3.4)
Теперь рассчитаем магнитное поле. Можно воспользоваться уравнением Гельмгольца для магнитного поля, но тогда появится еще две произвольные постоянные и их нужно будет определять. Поэтому более рационально использовать уравнение Максвелла для ротора электрического поля и определить магнитное поле через электрическое, для которого решение уже получено. Распишем первое уравнение (2.1.4) с нулевой плотностью магнитного тока
в координатах. Для этого представим rot в виде векторного произведения вектора на и, воспользовавшись (3.2), получим
Учтем, что вектор имеет единственную проекцию на ось х и эта проекция не зависит от поперечных координат. Тогда в уравнении останется единственное слагаемое, проекция на ось у, и последнее равенство можно переписать в виде.
Подставим Ёх из выражения (3.4) и получим единственную проекцию магнитного поля:
(3.5)
где Zс = / - волновое сопротивление среды. Воспользуемся выражением для постоянной распространения (см.2.12) и упростим выражение для волнового сопротивления.
(3.6)
Итак, рассчитано электрическое и магнитное поле в плоской волне. Оба поля имеют по одной проекции в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. У обоих полей в показатель экспоненты входит сомножитель , который называют постоянной распространения. Электрическое и магнитное поле связаны между собой через волновое сопротивление. Представим комплексную постоянную распространения в алгебраическом виде, но, следуя общепринятым обозначениям, знак перед мнимой частью выберем отрицательный
(3.7)
и запишем выражения для и с учетом этого обозначения.
(3.8)
Перейдем от символического изображения, которое было использовано для упрощения расчетов, к выражениям для полей, как функций времени. Для этого воспользуемся стандартной методикой преобразования, которая состоит в следующем.
Сначала комплексная амплитуда преобразовывается в мгновенный комплекс, для чего ее умножают на exp(it). Затем от мгновенного комплекса берется действительная часть. Это и будет выражение для электрического или магнитного поля как функции времени. Проделаем эту процедуру для поля в плоской волне (3.8).
Проведя аналогичные расчеты для магнитного поля, получим:
У обоих полей с ростом z амплитуда первого слагаемого падает, а второго растет. Первое слагаемое можно считать электромагнитной волной, распространяющейся вдоль положительного направления оси z. Амплитуда этой волны экспоненциально уменьшается по мере распространения. Второе слагаемое - это волна, распространяющаяся в обратном направлении, то есть вдоль -z, из бесконечности в начало координат. Действительно, если не обращать внимания на постоянный коэффициент, то второе слагаемое можно получить из первого, заменив z на -z. Первому слагаемому соответствует прямая волна. Если на пути распространения волна встретит какую-либо преграду, то от нее она полностью или частично отразится и возникнет отраженная волна, описываемая вторым слагаемым.
Для прямой волны
(3.9)
Для обратной волны:
(3.10)
Если систему координат выбрать так, что электрическое поле направлено по оси у (= ), то магнитное будет направлено по оси х и связь y и x останется прежней с точностью до знака.
Рассмотрим параметры, которые входят в выражения для полей плоской волны, как функций времени. Выражение для Ex(t) и Hy(t) можно разделить на две части. Ту часть, которая стоит перед косинусом, называют амплитудой электрического или магнитного поля. Амплитуда экспоненциально уменьшается с ростом координаты z. Коэффициент , стоящий в показателе экспоненты перед z, называют постоянной затухания. Аргумент косинуса называют фазой плоской волны. Для прямой волны
(3.11)
Фаза - функция двух переменных: координаты и времени. Поверхность, для которой фаза постоянна, называется волновым фронтом. Как и следовало ожидать, у плоской волны волновой фронт - плоскость перпендикулярная оси z, вдоль которой волна распространяется. Скорость, с которой распространяется фронт волны, называется фазовой скоростью.
Чтобы определить фазовую скорость, зафиксируем фазу Ф =?t-z?=?const, и продифференцируем это равенство по времени.
. (3.12)
Теперь определим параметры периодичности колебаний в плоской волне. Поскольку фаза зависит от двух переменных, то периодичность наблюдается и по времени и по координате. Период по времени так и называется периодом колебаний, а период по координате - длинной волны.
Определим период колебаний для плоской волны. Временная зависимость в плоской волне описывается косинусоидальной функцией, период которой составляет 2. Найдем разность фаз в моменты t и t +T в точке с координатой z 0 и прировняем ее 2.
(3.13)
Теперь определим длину волны. Зафиксируем время и найдем такое приращение пространственной координаты, при котором фаза изменится на 2.
(3.14).
Величина показывает, сколько длин волн укладывается в 2 метрах и называется волновым числом. Если в (3.14) подставить волновое число из (3.12), то получим выражение, связывающее длину волны и период
Длина волны, это то расстояние, которое электромагнитная волна проходит за период.
До сих пор мы рассматривали плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Рассмотрим общий случай, когда плоская волна распространяется вдоль произвольной оси, не совпадающей с осью z координатной системы. Повернем систему координат (x, y, z) так, чтобы в новой системе координат (х, у, z) волна распространялась вдоль оси z. Тогда для плоской волны можно записать
.
Здесь вектор расположен в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Волновые фронты в данном случае имеют вид бесконечные плоскостей, удовлетворяющих уравнению вида z = const. Требуется выразить величину z' через исходные координата х. у, z. Для этого заметим, что z является проекцией на ось распространения любого радиуса-вектора , который проведен из начала координат, а его конец расположен на волновом фронте.
z = ,
где можно записать через координаты:
= x+y+z,
а единичный вектор по направлению z через направляющие косинусы
=cos + cos + cos,
где , и - углы образуемые осью z с координатными осями х, у и z соответственно.
Запишем новую координату z через старые
z= x?cos + y?cos + z?cos
и подставим ее значение в выражение для плоской волны
= (x?cos + y?cos + z?cos)}=
=. (3.15)
В выражении (3.15) для сокращения записи введен волновой вектор
.
2. Цилиндрические волны
У цилиндрической волны фаза постоянна на поверхности цилиндра. Задача имеет цилиндрическую симметрию. Ее следует решать в цилиндрической системе координат. Как и плоские, цилиндрические волны есть результат решения волнового уравнения или уравнения Гельмгольца (2.2.1). Волна распространяется вдоль оси , и ее фаза не зависит от других координат z и . Электрическое и магнитное поле, как и в плоской волне, будут перпендикулярны направлению распространения. Не будем учитывать потери. Тогда постоянная затухания = 0, а постоянная распространения будет совпадать с волновым числом. Выберем ось z так, чтобы по ней было направленно электрическое поле. Тогда для комплексного изображения единственной проекции электрического поля можно записать уравнение в цилиндрической системе координат, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в обобщенных ортогональных координатах и значениями коэффициентов Лямэ (смотри приложение). Уравнение имеет следующий вид:
Электрическое поле не зависит от координат и z и второе, и третье слагаемые в левой части равны нулю. Кроме того, поскольку z зависит от единственной переменной , частную производную можно заменить на полную. В первом слагаемом проведем дифференцирование и запишем получившееся равенство.
Разделим обе части уравнения на 2 и обозначим х = .
(3.16)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Получено дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, которое является частным случаем одного из уравнений математической физики - уравнения Бесселя. Его решение хорошо известно. Это сумма двух цилиндрических функций нулевого порядка. Цилиндрической функции первого рода или функция Бесселя, J0(x), и цилиндрической функции второго рода или функции Неймана Y0(x).
(3.17)
В цилиндрической системе координат цилиндрические функции выполняют ту же роль, что и гармонические в прямоугольной. На рис.3.1 приводятся графики функций Jo(x), Yo(x) и sin(x). Чтобы удобнее было сравнивать, значения первых двух умножены на четыре. В начале координат функции сильно различаются. Jo(0) = 1, Yo(0) > ?, a sin(x) =?0. По мере увеличения аргумента цилиндрические функции все более похожи на синусоиду, но сдвинуты относительно нее по фазе. Они тоже меняют знак по мере увеличения аргумента, но они не периодичны. Экстремальные значения функций уменьшаются по мере увеличения аргумента, в то время, как у гармонической функции экстремум не изменяется. Изменение экстремума, сначала значительное, постепенно уменьшается и становится незначительным. В этом районе цилиндрические функции можно заменить синусом или косинусом.
Амплитуда цилиндрической волны в среде без потерь уменьшается сначала значительно, а затем практически не изменяется. На бесконечности цилиндрическая волна становится плоской. Это свойство можно пояснить так. В среде без потерь полная энергия, переносимая волной, не изменяется, но плотность энергии, которая и определяет амплитуду цилиндрической волны, уменьшается обратно пропорционально площади цилиндра, то есть обратно пропорционально его радиусу . Если - изменение радиуса, одинаковое на различных расстояниях, то изменение площади цилиндра пропорционально /, то есть обратно пропорционально радиусу, а изменение амплитуды поля - обратно пропорционально корню из радиуса. Поэтому на большом расстоянии от начала координат амплитуда цилиндрической волны почти постоянна.
Выражение (3.17) обращается в бесконечность в начале координат из-за второго слагаемого. Чтобы исключить бесконечность приходится постоянную В считать равной нулю. Итак, электрическое поле в цилиндрической волне описывается выражением:
(3.18)
Воспользуемся первым уравнением (2.1.4) с нулевой плотностью магнитного тока. Распишем его в цилиндрических координатах и получим
. (3.19)
У электрического поля существует единственная составляющая z, и зависит она от единственной переменной , поэтому в (3.19) отлична от нуля лишь проекция на ось , а у нее лишь второе слагаемое. Распишем и правую часть равенства в проекциях, тогда
(3.20)
Здесь использовано свойство функции Бесселя нулевого порядка и ее производной
(3.21)
Размещено на http://www.allbest.ru/
где Ji(x) - функция Бесселя первого порядка. На рисунке 3.2 приведены графики этих двух функций. Производная от функции Бесселя на достаточно большом удалении от начала координат приближается к синусоиде, а отношение электрического поля к магнитному, с точностью до фазы, к волновому сопротивлению среды.
3. Сферические волны
У сферической волны фаза постоянна на поверхности сферы. Задача имеет сферическую симметрию. Ее следует решать в сферической системе координат. Электрическое и магнитное поле не зависят от угловых координат и . Выберем систему координат так, чтобы электрическое поле было направлено по оси . Запишем однородное уравнение Гельмгольца (2.2.1) в среде без потерь в сферической системе координат (см. П2.28, приложение П2) для единственной составляющей электрического поля Е.
. (3.22)
Учтем, что производные по обеим угловым координатам и равны нулю:
.(3.23)
Это уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами с помощью подстановки: Ё = /r. Продифференцируем один и два раза это равенство для того, чтобы подставить результат в (3.23) и получить уравнение для .
После подстановки полученных выражений в (3.23) все слагаемые, содержащие первую производную, сократятся и уравнение примет стандартный вид:
Здесь частные производные заменены общими, поскольку - функция одной переменной.
Запишем решение уравнения в виде суммы двух экспонент
а затем вместо подставим его выражение через Ё .
Второе слагаемое описывает волну, перемещающуюся из бесконечности в начало координат. Оно становится бесконечным при г = 0, поэтому его надо отбросить и считать В = 0. Окончательно для электрического поля в сферической волне получим.
(3.24)
Если в цилиндрической системе координат плотность энергии была обратно пропорциональна расстоянию от оси z, а электрическое поле - обратно пропорционально корню из этого расстояния, то в сферической системе плотность энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (площадь сферы равна 4г2), а амплитуда электрического поля обратно пропорциональна радиусу.
Рассчитаем комплексную амплитуду магнитного поля, воспользовавшись первым уравнением (2.1.4) с нулевой плотностью магнитного тока.
(3.25)
Запишем его в сферической системе координат. Чтобы сократить запись, учтем, что у электрического поля есть единственная проекция - и зависит она от единственной координаты г. В сложном выражении для ротора векторного поля в сферической системе координат отличная от нуля производная входит во второе слагаемое проекции ротора на ось (смотри приложение). Поэтому в левой части (3.25) оставим только это слагаемое, а в правой проекцию напряженности магнитного поля на ось . Подставим выражение для Ё и найдем магнитное поле:
(3.26)
Если систему координат выбрать так, что электрическое поле направлено по оси И, то связь и осталась бы прежней с точностью до знака.
В отличие от цилиндрических волн, у сферических связь между и точно, а не приближенно та же, что и для плоских волн. Это связано с характером изменения координат z и ц в цилиндрической и ц и и в сферической системе координат. Для цилиндрической координата z изменяется по прямой линии - образующей цилиндра, а ц - по кривой -окружности с = const. Характер изменения координат различный, что и приводит к изменению отношения z к . В сферической же системе и ц и и изменяются по окружности и связь между и та же, что и в плоских волнах. Впрочем, на достаточно большом удалении от начала координат вблизи точки наблюдения и сферу, и цилиндр можно приближенно представить в виде плоскости. Таким образом, основной вид электромагнитных волн - плоские волны.
4. Возможные виды поляризации плоских волн
Под поляризацией векторного поля понимают закон изменения вектора, характеризующего это поле, по направлению и величине, по мере распространения поля.
Для электромагнитного поля, как правило, поляризацию определяют по электрическому вектору. Если поляризация векторов и различна, то поляризацию для каждого из них определяют отдельно. В плоской волне поляризация и совпадают.
Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z. Ось х направлена произвольно в плоскости, перпендикулярной оси z, а ось у перпендикулярна им обеим. Тогда Еz = 0, а Еx и Еy могут отличаться от нуля. Поляризацию можно определить, если получить уравнение связывающее Еx и Еy. Определим эту связь. Проекции электрического поля на оси координат могут отличаться амплитудой и фазой.
Для упрощения записи введем обозначения:
и избавимся от y = x - ц. Тогда
Теперь в выражение для Eу(t) можно подставить cosФ, рассчитанный из выражения для Еx(t), и уравнение, связывающее эти две величины, будет получено.
Обособим слагаемое с корнем в правой части равенства и возведем в квадрат обе части уравнения для того, чтобы избавиться от корня.
Теперь приведем выражение к общему знаменателю и запишем его в форме уравнения второй степени относительно Еx и Еу.
(3.27)
Это квадратичная форма, которой соответствует одна из кривых второго порядка: гипербола, парабола, эллипс или окружность. В определенных условиях кривая второго порядка может выродиться в прямую. Вид кривой определяется знаком выражения
D = X2Y2- (Ч Х cos ц)2.
Выражение (3.27) описывает эллипс или окружность, если D>0; гиперболу, если D<0 и параболу при D = 0. В нашем случае
D = X2 Y2 - (Ч Х cos ц)2 = X2 Y2 sin ц 0,
поэтому в общем случае поляризация плоских волн эллиптическая, но при определенных условиях может переходить в круговую или линейную.
Частные случаи
1. Пусть разность фаз между проекциями на оси х и у отсутствует. Тогда
ц = 0; cos ц = 1; sin ц = 0 (3.28)
и уравнение (3.27) принимает вид
(X Eу - Х Еx)2 = 0 ; Eу = ЕxХ / Ч.
Это уравнение прямой. Связь между Ey и Еx линейна и поляризацию называют линейной.
2. Пусть разность фаз между проекциями на оси х и у составляет 90° и амплитуды обоих проекций одинаковы.
ц=р/2; cos ц =0; sin ц =l; (3.29)
Это уравнение окружности и поляризация электромагнитного поля круговая.
Итак, электромагнитное поле поляризовано линейно, если проекции вектора на координатные оси синфазны. Если же эти проекции одинаковы по модулю, но сдвинуты по фазе на р/2, то поляризация круговая. Во всех других случаях поляризация эллиптическая.
5. Групповая скорость плоских волн
Плоская монохроматическая волна - это идеализация реального процесса протекающего в природе. Известно, что информация передается модулированным колебанием, которое имеет узкий спектр, располагающийся вблизи некоторой центральной частоты. Такой сигнал можно заменить монохроматической плоской волной, амплитуда которой изменяется по определенному закону. Скорость перемещения максимума амплитуды этой волны и называют групповой скоростью.
Возьмем немонохроматический сигнал Е (t) e-iz. Тогда, используя преобразование Фурье, его можно представить в виде конечного или бесконечного числа гармоник с амплитудой G(), то есть в виде ряда или интеграла Фурье. Будем считать спектр сигнала непрерывным и запишем его в виде интеграла Фурье.
(3.30)
Сигнал считаем узкополосным, то есть Дщmax/щ 0 << 1, где Дщmax - максимальное отклонение по круговой частоте от центральной щ0. Воспользуемся этим свойством сигнала для того, чтобы представить его в виде гармонического колебания с несущей круговой частотой щ0. Для этого волновое число в разложим в ряд Тейлора вблизи несущей. Учитывая то, что отклонение частоты от центральной невелико, в ряду удержим лишь первые два слагаемые
(3.31)
где введено обозначение
(3.32)
Перепишем экспоненту в выражении (3.30) с учетом введенных обозначений.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Подставим полученное для экспоненты выражение в (3.30)
Последний сомножитель от щ не зависит и его можно вынести за знак интеграла.
(3.33)
Итак, негармонический сигнал представлен в виде гармонического с круговой частотой щ0 и волновым числом 0 (последний сомножитель в виде экспоненты). Амплитуда сигнала изменяется во времени и пространстве в соответствии с выражением в квадратных скобках.
.
Амплитуда не зависит от времени, если z = vгрt . Следовательно, весь сигнал распространяется вдоль оси z со скоростью vгр, которая определена выражением (3.32). Иногда, например, в металлическом волноводе в выражении для плоской волны (3.9) роль волнового числа в выполняет другая величина, продольное волновое число h, которое заменяет в. В таком случае групповая скорость по-прежнему определяется через производную от этой величины по круговой частоте.
6. Плоские волны в однородных средах
Параметры плоской волны определяются свойствами среды, в которой она распространяется, и зависят от ее электрических и магнитных параметров. Рассмотрим плоские волны в различных средах.
6.1 Плоская волна в вакууме
Параметры вакуума = м0 = 4р10-7; еа = = 10?-9 /36р; э = м =0. Потери в вакууме отсутствуют и постоянная затухания = 0. Постоянная распространения совпадает с волновым числом:
(3.34)
где с = - скорость света, совпадающая с фазовой скоростью плоской волны, = щ / в = с. Волновое сопротивление вакуума оказывается равным
? 377 Ом, (3.35)
а длина волны
(3.36)
6.2 Плоская волна в диэлектрической среде без потерь
Параметры среды без потерь = е; = м, э = м = 0. Потери отсутствуют и постоянная затухания б = 0. Постоянная распространения совпадает с волновым числом:
(3.37)
где - показатель преломления среды. В среде без потерь изменяются все параметры, которые зависят от е и м.
vц=c/n; zc=nzс0/е; л=л0/n. (3.38)
6.3 Плоская волна в диэлектрической среде с малыми потерями
Параметры среды с малыми потерями == е; ==мп; м = 0, э/а<<1 . В связи с тем, что появилась электрическая проводимость, возникнут потери и постоянная распространения станет комплексной.
(3.39)
где tg = э /щ. Угол д называют углом диэлектрических потерь. tg обычно приводится в справочниках как один из параметров диэлектрика. Мнимая часть постоянной распространения мала по сравнению с действительной, поэтому при извлечении корня мы воспользовались формулой приближенного вычисления. Для постоянной затухания и волнового числа имеем:
(3.40)
Фазовая скорость и длина волны в диэлектрике с малыми потерями определяются так же, как и в диэлектрике без потерь:
(3.41)
У волнового сопротивления появляется мнимая часть, и оно становится комплексным.
. (3.42)
Чем больше потери, тем больше мнимая часть волнового сопротивления.
6.4 Плоская волна в неферромагнитном металле
Электромагнитные параметры металла = = ; = ; м = 0; э/а>>1. Основная особенность металла его высокая электропроводность. Это приводит к тому, что в СВЧ диапазоне диэлектрическую проницаемость можно считать чисто мнимой. Оценим действительную и мнимую часть диэлектрической проницаемости, например, для меди на частоте 1ГГц. Выражение для комплексной диэлектрической проницаемости выглядит так
. (3.43)
Относительная диэлектрическая проницаемость меди равна 1, =10-9/36р Ф/м, проводимость э =5*107 См/м. Подставим эти значения в (3.43) и сравним мнимую часть выражения в скобках с единицей.
Таким образом, действительной частью в выражении (3.43) можно пренебречь и считать диэлектрическую проницаемость у реального металла чисто мнимой. Постоянная распространения
.
Тогда для постоянной затухания, волнового числа и длины волны получим
. (3.44)
Постоянная затухания и волновое число одинаковы. Поле в металле сильно затухает. Та глубина, на которой поле волны уменьшается в е раз, называется глубиной проникновения электромагнитного поля в металл или глубиной скин слоя. Рассчитаем эту величину. Для плоской волны
Е =А exp(-z) cos(t -z).
Размещено на http://www.allbest.ru/
Амплитуда поля уменьшится в е раз при z = 1. Обозначим глубину скин слоя буквой d. Тогда
. (3.45)
Глубина скин слоя порядка длинны волны в металле. Из-за того, что поле существует лишь в узкой области, ток в металле течет по поверхности. Действительно, предположим, что все электромагнитное поле расположено в области толщиной скин слоя d (рис.З.3). Рассчитаем полный ток, пронизывающий сечение, ограниченное окружностью ?1 ). Внутри этой окружности электромагнитного поля нет и
По закону полного тока этот интеграл равен полному току, протекающему по сечению, ограниченному окружностью ?1, и этот ток равен нулю. Внутри проводника ток отсутствует. Он весь вытеснен на поверхность и находится в узком приповерхностном слое толщиной d. Поэтому реальное распределение токов в проводнике можно заменить поверхностным током нэ. Величину поверхностного тока можно рассчитать, пользуясь законом Гаусса. Из-за цилиндрической симметрии задачи магнитное поле и плотность электрического тока не зависят от угла, поэтому для тока в проводнике можно записать:
Для поверхностного тока получим следующие соотношения:
Поверхностный ток в металле по модулю равен тангенциальной составляющей магнитного поля на этой поверхности.
И поверхностный ток, и тангенциальная составляющая магнитного поля расположены на поверхности проводника перпендикулярно друг другу и перпендикулярно нормали к поверхности. Все эти рассуждения можно объединить в единое векторное соотношение:
. (3.46)
Определим фазовую и групповую скорость электромагнитной волны в металле.
. (3.47)
(3.48)
В металле фазовая скорость зависит от частоты, значит металл - дисперсионная среда для электромагнитных волн. Групповая скорость в нем в два раза больше фазовой. Обе скорости обратно пропорциональны проводимости и должны быть намного меньше чем в вакууме. Например, фазовая скорость в меди на частоте 1 ГГц примерно равна 1.4104м/с.
Волновое сопротивление металла рассчитаем, учитывая вид диэлектрической проницаемости.
, (3.49)
где d - глубина скин слоя (см.3.45). Волновое сопротивление - величина комплексная. Активная и реактивная часть сопротивления одинаковы по модулю. Реактивная часть имеет положительный знак, следовательно, реактивность имеет индуктивный характер.
6.5 Плоская волна в ионизированном газе
Электромагнитные волны используются для передачи информации в пределах Земли и за ее пределами. При этом они проникают в ионосферу, где условия распространения имеют свои особенности. Электроны и ионы, содержащиеся в ионосфере, сильно изменяют ее электромагнитные свойства. Рассчитаем диэлектрическую восприимчивость среды, содержащей электроны, положительные ионы и нейтральные атомы.
В переменном электромагнитном поле положительно и отрицательно заряженные частицы совершают колебательное движение в противофазе, смещаясь на некоторое расстояние от положения равновесия. Величина смещения обратно пропорциональна массе частицы, а масса электронов более чем на три порядка меньше массы любого иона. Следовательно, во столько же раз меньше будет воздействие ионов на параметры электромагнитного поля. При расчете взаимодействия электромагнитного поля с ионизированным газом достаточно учитывать его воздействие только на электронную составляющую. Ионы можно считать неподвижными. Энергия ионам и нейтральным атомам передается через столкновения. Рассчитаем диэлектрическую проницаемость ионизированного газа, учитывая прямое воздействие поля только на электроны.
Ha смещенный от положения равновесия электрон действует со стороны неподвижного иона возвращающая сила, величину которой принято описывать вектором поляризации
Если в единице объема N электронов, и каждый из них будет иметь вектор поляризации , то суммарная поляризация в объеме
. (3.50)
Мы считаем, что все электроны сместятся на одно и то же расстояние и их вектора поляризации параллельны друг другу. С другой стороны вектор суммарной поляризации пропорционален электрическому полю:
. (3.51)
Объединим (3.50) и (3.51) и получим выражение для диэлектрической восприимчивости ионизированного газа
. (3.52)
Зная диэлектрическую восприимчивость, можно найти диэлектрическую проницаемость, воспользовавшись (1.3.6).
Итак, для решения задачи нужно рассчитать смещение электрона от положения равновесия. На электрон действует сила Кулона со стороны положительных ионов . Кроме того, при движении электрон сталкивается с другими частицами и, как правило, это нейтральные частицы, которых в ионосфере значительно больше, чем заряженных.
При столкновении электроны передают энергию, полученную от электромагнитного поля нейтральным атомам. Эта энергия переходит в энергию теплового движения тяжелых частиц и происходит поглощение энергии распространяющегося электромагнитного поля.
Пусть при каждом столкновении электрон передает тяжелой частице весь свой импульс mv. Если число таких столкновений в единицу времени равно о, то изменение импульса электронно в единицу времени равно - оmн. Учтем это в уравнении движения электрона.
Перейдем от векторного равенства к скалярному. Для этого выберем ось х прямоугольной системы координат вдоль направления вектора . Тогда все вектора будут направлены по оси х. Спроектируем уравнение на ось х.
(3.53)
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, преобразуем дифференциальное уравнение для истинных полей (3.53) в алгебраическое для комплексных амплитуд и решим его.
где = щ - Яо - комплексная угловая частота.
Подставим полученное выражение в (3.52) и рассчитаем диэлектрическую восприимчивость.
(3.54)
где введена плазменная или ленгмюровская частота коллективного движения электронов
(3.55)
Теперь посчитаем диэлектрическую проницаемость
. (3.56)
Диэлектрическая проницаемость оказалась комплексной. Воспользуемся общим выражением для комплексной диэлектрической проницаемости (см.2.1.5)
и запишем выражение для диэлектрической восприимчивости и электрической проводимости э ионизированного газа.
(3.57)
Итак, наличие заряженных частиц (электронов и ионов) в ионизированном газе приводит к изменению диэлектрической проницаемости и проводимости газа. Обе эти величины обладают дисперсией. На высоких частотах (щ2 + о2 > щ02) диэлектрическая проницаемость положительна. Ее значение проходит через 0 при щ2 + о2 = щ02. Дальнейшее понижение частоты приводит к изменению знака диэлектрической проницаемости. Она становится отрицательной. Проводимость, а следовательно и потери в ионизированном газе, падают с ростом частоты. На высоких частотах они меньше.
Теперь, зная диэлектрическую проницаемость ионизированного газа, можно определить параметры плоской волны в нем. Магнитную проницаемость считаем равной единице. Для упрощения столкновения учитывать не будем (о = 0). Запишем электромагнитные параметры ионизированного газа в этом случае.
Рассчитаем постоянную распространения,
(3.58)
Если нет столкновений, как в нашем случае, то проводимость отсутствует и нет потерь. Постоянная распространения - действительная величина, следовательно затухания нет, б = 0, а волновое число
(3.59)
В зависимости от того, больше или меньше единицы второе слагаемое под корнем, волновое число либо действительное, либо мнимое. Это приведет к различным условиям распространения плоских волн. Действительно, комплексная амплитуда электрического поля в плоской волне
Пусть щ >щ0. Тогда подкоренное выражение в (3.59) положительно и волновое число в - действительная величина.
.
Вдоль оси z без затухания распространяется плоская волна.
Теперь пусть щ < щ0. Подкоренное выражение в (3.59) отрицательно и волновое число в - мнимая величина. Введем в' = i в. Эта величина будет действительной и
Выражение описывает затухающий непериодический вдоль оси z процесс. Плоская волна не будет распространяться. Граница между этими двумя режимами щ = щ0.
Если учитывать столкновения, то в (3.59) нужно учесть комплексный характер диэлектрической проницаемости.
(3.60)
Пусть щ >щ0. Тогда выражение (3.60) можно записать в виде
, (3.61)
где выражение перед мнимой экспонентой - величина действите льная. Как и в предыдущем случае, вдоль оси z распространяется волна, но теперь она затухает. Чем больше проводимость плазмы, тем сильнее noлe затухает,
Пусть щ <щ0. Тогда выражение (3.60) можно записать в виде.
. (3.62)
Мнимая и действительная части поменяются местами. Вдоль оси z существует колебательный процесс, но величина затухания очень велика.
Таким образом, в ионизированном газе распространяются плоские волны с частотой выше плазменной. Если не учитывать потери, то волны с меньшей частотой отражаются. Учет потерь приводит к эффекту не полного отражения волны. Частично она проходит в ионизированный газ, но очень быстро затухает.
6.6 Плоская волна в сверхпроводнике
Явление сверхпроводимости состоит в том, что при очень низкой температуре у некоторых материалов полностью пропадает электрическое сопротивление. Постоянный ток, возбужденный в сверхпроводящем кольце циркулировал по нему в течение нескольких месяцев, если температура образца поддерживалась достаточно низкой. Если же температура становилась выше некоторого значения - критической температуры, то явление сверхпроводимости скачком пропадало. Сверхпроводящие свойства присущи многим неферромагнитным металлам. В 1986 году был открыт класс редкоземельных керамических материалов, у которых критическая температура достигает 92К. Эти материалы находятся в сверхпроводящем состоянии при температуре жидкого азота.
Явление сверхпроводимости можно объяснить так. В сверхпроводнике существует два типа носителей заряда: нормальные, которые подчиняются закону Ома, и сверхпроводящие, перемещающиеся по сверхпроводнику без какого-либо сопротивления. Электрический ток имеет две составляющие, и его плотность можно записать в виде:
(3.63)
где н и с - плотность тока для нормальных и сверхпроводящих носителей соответственно.
Нормальная составляющая состоит из тока проводимости и тока смещения.
, (3.64)
где Nн и vн - концентрация и скорость нормальных носителей заряда.
Ток проводимости сверхпроводящих носителей
. (3.65)
Получим связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля для сверхпроводящих носителей. Эта связь заменит для них закон Ома. Сверхпроводящие носители при столкновениях не теряют энергию, и их скорость связана с напряженностью электрического поля не через подвижность, а с помощью второго закона Ньютона.
Теперь продифференцируем (3.65) и подставим в него полученное значение для производной от скорости
. (3.66)
Для сверхпроводящих носителей не выполняется закон Ома. Вместо него действует соотношение (3.66).
Электрический ток в сверхпроводнике создают методом электромагнитной индукции, воздействуя на него переменным во времени магнитным полем. Выразим электрическое поле в (3.66) через изменяющееся магнитное поле, его вызывающее. В соответствии с законом электромагнитной индукции в отсутствие внешних зарядов и токов в среде с магнитной проницаемостью равной единице
. (3.67)
Чтобы подставить Е из (3.67) в (3.66) нужно в (3.66) взять ротор от обеих частей
(3.68)
Величину лL называют лондоновской длиной. Название произошло от фамилии немецких ученых, впервые получивших ее. Лондоновская длина выполняет роль скин слоя в сверхпроводнике. Покажем это, получив волновое уравнение для магнитной индукции в сверхпроводнике. Для этого запишем закон полного тока в сверхпроводнике, воспользовавшись (1.3.4)
возьмем ротор от обеих его частей
и используем выражения (3.67), (3.68) для того, чтобы исключить все зависимые переменные, кроме магнитной индукции.
Распишем левую часть в виде лапласиана и градиента от дивергенции вектора, воспользовавшись известным равенством векторного анализа.
, (3.69)
поскольку divB = 0.
Волновое уравнение для сверхпроводника отличается от волнового уравнения для вакуума последними двумя слагаемыми в левой части. Первое из них описывает затухание волн, возникающее из-за конечной проводимости нормальных носителей заряда и будет присутствовать в уравнении для любого проводящего вещества, а второе учитывает сверхпроводящие носители. Рассмотрим стационарный процесс, когда магнитное поле перестанет изменяться и его производная по времени равна нулю.
Выберем прямоугольную систему координат с осью х, направленной по магнитному полю. Тогда векторное уравнение переходит в скалярное
которое легко решается.
Второе слагаемое описывает экспоненциально нарастающее поле и не имеет физического смысла, поэтому В1(0) = 0, и для магнитного поля в сверхпроводнике получим:
В(х) = В(0) ехр (-л/лL) . (3.70)
Магнитное поле с ростом х уменьшается по экспоненциальному закону. Постоянная затухания равна L. Оценим эту величину. Считаем, что сверхпроводящие носители заряда - электроны. Типичная концентрация свободных электронов в металле N=1029 м-3 , заряд электрона е =1.610-19Kл , масса электрона m = 9.110-31кг, а магнитная проницаемость вакуума = 4р10-7Гн/м. Подставив все эти значения в выражение (3.68) получим L?1610-9м.
Итак, лондоновская длина - это глубина проникновения постоянного магнитного поля в сверхпроводник. Поверхностный эффект в сверхпроводнике и явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность проводника во многом схожи и являются следствием закона электромагнитной индукции. В проводящей среде возникает наведенное поле, которое препятствует проникновению электромагнитного поля в проводящую среду. Глубина проникновения электромагнитного поля в металл задается соотношением (3.45).
.
Используем это выражения для анализа проникновения постоянного поля в сверхпроводник. У сверхпроводника проводимость э> , а круговая частота щ>0. Возникает неопределенность, которая раскрывается предыдущими рассуждениями и глубина проникновения поля в сверхпроводникбудет рассчитываться по выражению:
. (3.71)
Высокочастотные свойства сверхпроводника можно проанализировать, если известна диэлектрическая и магнитная проницаемости. Магнитную проницаемость сверхпроводника можно считать равной единице, а диэлектрическая имеет особенности, связанные с его свойствами. Комплексная диэлектрическая проницаемость в соответствии с (2.1.5)
Действительная часть ?. Обычно она много меньше мнимой части и не влияет на поведение сверхпроводника в электромагнитном поле. Мнимая часть определяется проводимостью нормальных у1 и свeрхпроводящих у2 носителей.
Нормальная проводимость определяется законом Ома
.
Для сверхпроводящих носителей связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля определяется дифференциальным уравнением (3.66)
Будем считать процесс монохроматическим с круговой частотой щ и воспользуемся методом комплексных амплитуд, чтобы перейти от дифференциального уравнения для временных функций к алгебраическому уравнению для комплексных амплитуд.
. (3.72)
Для диэлектрической проницаемости можно записать
(3.73)
Оценим отдельные слагаемые в (3.73) на частоте 10 ГГц для типичного металла. е0=10-9/4р; 107Cм/м; с?5109 См/м, с/?1/4р, 1/?10-3/2р. Таким образом, все слагаемые намного меньше второго и для диэлектрической восприимчивости с большой точностью можно записать
(3.74)
Теперь можно посчитать постоянную распространения электромагнитного поля в сверхпроводнике,
(3.75)
Электромагнитное поле в полупроводнике не распространяется (в = 0). Это равенство приближенное, так как мы пренебрегли малой действительной частью. Ее учет приведет к волне с очень малым волновым числом. Однако и этот волновой процесс затухает на расстоянии лондоновской длины волны от поверхности сверхпроводника.
Рассчитаем волновое сопротивление.
(3.76)
Волновое сопротивление сверхпроводника носит чисто индуктивный характер.
7. Уравнение Гельмгольца в слабо неоднородной изотропной среде
Среду считаем неоднородной, если диэлектрическая и магнитная проницаемости непостоянны в объеме и зависят от координат. Среда будет слабо неоднородной, если изменение проницаемостей происходит значительно медленнее электрического и магнитного поля и ее изменение на размер порядка длины волны настолько незначительны, что ими можно пренебречь. В этом случае уравнения Гельмгольца в первом приближении не изменяются. Покажем это. В каждой точке объема существует связь между комплексными амплитудами поля, задаваемая материальными уравнениями (см.1.3.5)
,
где =(х,у,z) и =(х,у,z) - диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, слабо зависящие от координат. Будем рассматривать гармонический волновой процесс с круговой частотой , существующий в неоднородной среде без источников. Потери учитывать не будем. Тогда система уравнений Максвелла для комплексных амплитуд примет следующий вид:
; ;
(3.77)
Чтобы получить из этой системы уравнение Гельмгольца для вектора нужно взять ротор от четвертого уравнения системы (3.77) и появившиеся справаи rotзаменить их значением. Получим уравнение для вектора и, упростив его, уравнение Гельмгольца. Возьмем ротор от обеих частей четвертого уравнения.
. (3.78)
Теперь заменим в (3.78) и rot, полученные из третьего и четвертого уравнений системы (3.77)
;
. (3.79)
С другой стороны
. (3.80)
Рассчитаем дивергенцию , воспользовавшись вторым уравнением (3.77)
; .
Воспользуемся полученным значением для упрощения (3.80)
.
. (3.81)
Получено уравнение Гельмгольца для неоднородной среды. Уравнение значительно упрощается, если неоднородность невелика. Тогда последними двумя слагаемыми можно пренебречь по сравнению с первыми двумя. Уравнение Гельмгольца для слабо неоднородной среды
(3.82)
имеет тот же вид, что и в однородной среде, но теперь это дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Это уравнение - основа теории распространения электромагнитных волн в средах со слабой неоднородностью.
8. Анализ плоских волн методами геометрической оптики
Рассмотрим основы метода приближенного решения уравнения Гельмгольца, который применяют в том случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с любыми характерными размерами неоднородностей материальной среды. При этом уравнение (3.82) заведомо справедливо. Для этого приближения используют термин геометрическая оптика, поскольку описанная ситуация типична прежде всего для оптического диапазона волн. Однако этим методом удается эффективно решать многие задачи, связанные, например, с распространением радиоволн в ионосфере и тропосфере Земли, а также исследовать такие неэлектромагнитные волновые процессы, как распространение звуковых волн в Океане, движение сейсмических волн в земной коре и распространение света в волоконно-оптических световодах.
Считая, что потери в среде отсутствуют, вместо постоянной распространения используем волновое число . Запишем обобщенное уравнение для проекций вектора на координатные оси, обозначив обобщенную проекцию символом . Из (3.82) получим:
. (3.83)
где n2(r) = - квадрат локального значения коэффициента преломления неоднородной среды, 02 = 2 - квадрат волнового числа для вакуума, а г - радиус-вектор точки наблюдения.
В основе метода геометрической оптики лежит интуитивное представление о том, что в пределах малой окрестности любой точки наблюдения волновой процесс представляет собой локально-плоскую волну, которая может быть описана выражением
(r) = Аexp{-i0L(r)}. (3.84)
Здесь L(r) - уравнение поверхности, на которой фаза электромагнитной волны постоянна, неизвестная пока функция пространственных координат, которую называют эйконалом . Эйконал имеет размерность длины. В случае плоской волны, распространяющейся в однородной среде вдоль оси z, в качестве эйконала выступает плоскость перпендикулярная оси z.
Уравнение эйконала
Чтобы найти функцию L(x у z), подставим (3.84) в (3.83)
. (3.85)
Учтем, что лапласиан это дивергенция от градиента, и преобразуем выражение для лапласиана.
(3.86)
В правой части равенства записана дивергенция от произведения скаляра на вектор. Как известно из векторного анализа (см. П2.19), для скаляра и вектора справедливо равенство:
Полагая = , а , преобразуем выражение для лапласиана (3.86)
Теперь подставим выражение для лапласиана в (3.85)
Учтем, что в рамках метода геометрической оптики длина волны стремится к нулю, и поэтому волновое число 0 стремится к бесконечности. Второе слагаемое пропорционально 0, а два другие - 02, поэтому вторым слагаемым в левой части последнего равенства можно пренебречь. После сокращения на общий множитель приходим к уравнению
(grad L(r))2 = n(r)2; | grad L(r) | = ± n(r) (3.87)
Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и называют уравнением эйконала. Уравнение является основным соотношением геометрической оптики пространственно неоднородной среды. Отметим следующие важные факты.
* В уравнение эйконала не входит длина волны. Поэтому метод геометрической оптики не учитывает каких-либо дифракционных эффектов и явлений интерференции волн.
* Метод геометрической оптики справедлив лишь в том случае, когда n(r)>0 во всех точках пространства. Дело в том, что уравнение Гельмгольца с отрицательным вторым слагаемым левой части имеет совершенно другое решение.
Рассмотрим, как будет выглядеть эйконал в различных частных случаях. Сначала проведем расчет для плоской волны в однородной среде. Уравнение (3.87) в этом случае выглядит так.
| grad L | = n = const
решение этого уравнения:
. (3.88)
Получено обычное выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распространяющейся вдоль ось z. Для однородной среды эйконал - плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Теперь пусть волна по-прежнему распространяется вдоль оси z, и показатель преломления изменяется с ростом z. n =n(z).Уравнение эйконала будет выглядеть так
dL/dz = n(z)
решение этого уравнения:
(3.89)
Знак ±, стоящий перед интегралом говорит о том, что при положительном n возможны прямая и обратная волны, а суммарное поле будет их суперпозицией. Выражение (3.88 ) аналогично (3.89). И в том и в другом случае эйконал - плоскость перпендикулярная направлению распространения, но в первом случае эйконал зависит от z линейно, а во втором - нелинейно.
Особая ситуация возникает тогда, когда в некоторой точке z0 показатель преломления обращается в нуль. Пусть, например, при z<z0 показатель преломления положителен, а при z >z0 отрицателен. Распространяется только падающая волна. В самой точке z0 и в ее малой окрестности метод геометрической оптики теряет силу, однако ясно, что правее нее волновой процесс будет отсутствовать. Поскольку в среде нет потерь, падающая волна целиком отражается назад. Рассмотренную здесь точку принято называть точкой поворота.
Уравнение лучей
Чтобы описать волновой процесс в приближении геометрической оптики, достаточно располагать семейством поверхностей постоянных фаз L(x,y,z)=const, которое образовано решениями уравнения эйконала. При этом можно задаться какой-либо начальной поверхностью, а затем, интегрируя уравнение эйконала, построить другие поверхности.
На практике предпочитают вместо совокупности поверхностей равных фаз строить лучевую картину поля, более традиционную и наглядную. Лучи образуют семейство линий, ортогональных к волновым фронтам. Вектор, касательный к лучу в некоторой точке пространства, указывает направление перемещения волнового фронта локально-плоской волны. Отсюда следует, что касательная к лучу ориентирована вдоль вектора grad L, указывающего направление наибыстрейшего изменения эйконала в пространстве и направление, вдоль которого распространяется электромагнитная волна.
Рассмотрим какой-нибудь конкретный луч. Пусть - радиус-вектор выбранной точки на луче, a s(r) --длина кривой, отсчитываемая вдоль луча. Направление вдоль кривой задается градиентом эйконала
(3.90)
Выразим единичный вектор вдоль луча в прямоугольной системе координат через направляющие косинусы
(3.91)
Приравнивая правые части равенств, получим дифференциальное уравнение луча
. (3.92)
Это одна из форм уравнения луча. Некоторое неудобство уравнения (3.92) состоит в том, что правая часть его содержит эйконал L. Однако уравнение можно преобразовать таким образом, чтобы в правую часть входило только пространственное распределение показателя преломления n (г), известное заранее. Действительно, дифференцируя обе части уравнения (3.92) по переменной s получим
.
Преобразуем правую часть, воспользовавшись уравнением эйконала (3.87)
, (3.93)
и получим векторное уравнение луча, выраженное через показатель преломления, которое эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в проекциях:
d/ds (n dx/ds) = dn/dx; d/ds (n dy/ds) = dn/dy; d/ds (n dz/ds) = dn/dz. (3.94)
Уравнения (3.93) или (3.94) дают возможность решить основную задачу геометрической оптики - построить лучевые траектории. Для этого необходимо прежде всего задаться точкой входа луча (х0, у0, z0) и начальным направлением лучевого вектора, т. е. тремя производными (dx/ds, dy/ds, dz/ds), которые представляют собой направляющие косинусы лучевого вектора в исходной точке. Строя шаг за шагом интегральную кривую, приходим в точку выхода луча.
Таким образом, создав в одной точке пространства плоскую волну с заданным направлением лучевого вектора, мы получаем в другой точке пространства также плоскую волну, у которой направление распространения будет, вообще говоря, уже другим. Построив лишь один луч, мы не получаем никаких сведений об амплитудах волн на входе и выходе, а построив семейство лучей, получим сгущение лучей в тех сечениях, в которых амплитуда поля растет, и разряжение, где падает.
Простейший случай -- распространение плоских волн в однородной среде, для которой n = const и поэтому grad n = 0. Из (3.93) следует, что здесь d/ds2 = 0, откуда г = sa + b , где а и b --некоторые постоянные векторы. Луч представляет собой прямую линию.
Наклонные лучи в среде с показателем преломления, изменяющимся по вертикали. Простейшая математическая модель распространения достаточно коротких электромагнитных волн в неоднородной атмосфере Земли или в градиентном световоде в рамках метода геометрической оптики сводится к решению уравнений лучей (3.94) при условии, что показатель преломления среды зависит только от вертикальной координаты z. Будем считать, что распространение происходит в плоскости xoz. При этом dy/ds=0. Поскольку показатель преломления зависит только от z, первое уравнение из системы (3.94) приобретает вид
...Подобные документы
Линейная, круговая и эллиптическая поляризация плоских электромагнитных волн. Отражение и преломление волны на плоской поверхности. Нормальное падение плоской волны на границу раздела диэлектрик-проводник. Глубина проникновения электромагнитной волны.
презентация [1,1 M], добавлен 29.10.2013Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волны. Принцип суперпозиции, разложение Фурье и эффект Доплера. Наложение встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Зависимость длины волны от относительной скорости движения.
презентация [2,5 M], добавлен 14.03.2016Параметры упругих гармонических волн. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение стоячей волны. Распространение волн в однородной изотропной среде и принцип суперпозиции. Интервалы между соседними пучностями. Скорость распространения звука.
презентация [155,9 K], добавлен 18.04.2013Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Получение модуля вектора плотности потока энергии. Вычисление давления электромагнитных волн и уяснение его происхождения.
реферат [28,2 K], добавлен 08.04.2013Метод последовательных приближений. Генерация второй гармоники. Параметрическая генерация и усиление волн. Коэффициент параметрического усиления. Нелинейная поляризация на собственной частоте. Воздействие одной волны на другую. Фазовая скорость волны.
контрольная работа [81,0 K], добавлен 20.08.2015Интерференция двух наклонных плоских монохроматических волн. Построение 3D-изображения дифракционных решеток в плоскости y-z. Определение значения параметров решеток в средах с показателями преломления n2 и n1 для каждого угла падения сигнальных волн.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.05.2022Определение частоты и сложение колебаний одного направления. Пропорциональные отклонения квазиупругих сил и раскрытие физической природы волны. Поляризация и длина продольных и поперечных волн. Общие параметры вектора направления и расчет скорости волны.
презентация [157,4 K], добавлен 29.09.2013Интерференция и дифракция волн на поверхности жидкости. Интерференция двух линейных волн, круговой волны в жидкости с её отражением от стенки. Отражение ударных волн. Электромагнитные и акустические волны. Дифракция круговой волны на узкой щели.
реферат [305,0 K], добавлен 17.02.2009Понятие волны и ее отличие от колебания. Значение открытия электромагнитных волн Дж. Максвеллом, подтверждающие опыты Г. Герца и эксперименты П. Лебедева. Процесс и скорость распространения электромагнитного поля. Свойства и шкала электромагнитных волн.
реферат [578,5 K], добавлен 10.07.2011Нахождение показателя преломления магнитоактивной плазмы. Рассмотрение "обыкновенной" и "необыкновенной" волн, исследование их свойств. Частные случаи распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Определение магнитоактивных сред.
курсовая работа [573,6 K], добавлен 29.10.2013Свойства и структура акустических волн. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде с флуктуирующей плотностью: одномерный и трехмерный случаи. Корреляционные функции, метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений.
контрольная работа [482,1 K], добавлен 02.01.2013Изучение явлений интерференции и дифракции. Экспериментальные факты, свидетельствующие о поперечности световых волн. Вывод о существовании электромагнитных волн, электромагнитная теория света. Пространственная структура эллиптически-поляризованной волны.
презентация [485,0 K], добавлен 11.12.2009Основы теории дифракции света. Эксперименты по дифракции света, условия ее возникновения. Особенности дифракции плоских волн. Описание распространения электромагнитных волн с помощью принципа Гюйгенса-Френеля. Дифракция Фраунгофера на отверстии.
презентация [1,5 M], добавлен 23.08.2013Определение напряженности магнитного поля элементарного вибратора в ближней зоне. Уравнения бегущих волн. Их длина и скорость их распространения в дальней зоне. Направления вектора Пойнтинга. Мощность и сопротивление излучения электромагнитных волн.
презентация [223,8 K], добавлен 13.08.2013Монохроматическая электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой меняется по физическому закону. Рассеяние линейно поляризованной волны гармоническим осциллятором. Уравнение движения заряженной частицы в поле электромагнитной волны.
контрольная работа [111,7 K], добавлен 14.09.2015Системы полевых уравнений. Основная и отличительная особенность уравнений систем (2)-(4). Реальное электромагнитное поле. Волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны. Реальное существование чисто магнитной поперечной волны.
статья [129,5 K], добавлен 21.09.2008Отражение и преломление плоской однородной волны на плоской поверхности раздела двух сред. Формулы Френеля. Отражение и преломление на границе двух идеальных диэлектриков, на границе раздела с проводником. Фаза преломлённой волны и отраженной волны.
курсовая работа [983,0 K], добавлен 17.06.2012Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014Характеристика закона дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн, математическое описание ленгмюровских колебаний и волн в условиях холодной плазмы. Понятие плазмонов. Описание ионных ленгмюровских волн простыми дисперсионными уравнениями.
реферат [59,7 K], добавлен 04.12.2012- Распространение плоских, гармонических по времени, упругих акустических волн в периодичном волноводе
Волновые явления в периодических слоистых волноводах. Создание приложения, моделирующего процесс распространения плоских, гармонических по времени, упругих акустических волн в периодическом волноводе. Метод Т-Матриц для периодического волновода.
курсовая работа [910,2 K], добавлен 30.06.2014
